Подробный конспект урока изучения нового на тему «Свойства функции y=tg x и y=ctg x их график» Название учебника: Алгебра: Учеб. для 10 - 11 кл. сред. шк./ Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др.-2-е изд.- М.: Просвещение, 1995-223 стр. Глава VII, § 42 - 43. Тип урока: Урок изучения нового Учебная задача урока: Изучит функции y = tgx, y = ctgx как модели процессов реальной действительности, выявить их свойства и вид графика. Диагностируемые цели: В результате урока ученик: Знает: свойства функций y = tgx, y = ctgx; Умеет: Строить графики тригонометрических функций y = tgx, y = ctgx; определять по графику основные свойства функций y = tgx, y = ctgx. Понимает: какие процессы реальной действительности связаны с функциями y = tgx, y = ctgx. Методы обучения: - Репродуктивный метод; - Эвристическая беседа, частично поисковые методы. Форма работы: Фронтальная. Средства обучения: Традиционные, презентация, Структура урока: Мотивационно - ориентировочный этап (15 мин.), Содержательный этап (25 мин.), Рефлексивно-оценочный этап (5 мин.). I. Мотивационно-ориентировочный этап. Актуализация. Выяснить, какие из данных функций являются четными и какие нечетными: 1. 𝑦 = 𝑥 2 𝑡𝑔2 𝑥 Учитель: Сперва выясним какова область определения данной функции 𝜋 Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ (− + 𝜋𝑛; 𝜋 2 2 𝜋𝑛) Решение: (−𝑥) 2 𝑦(−𝑥) = 𝑡𝑔 (−𝑥) 2 𝑥 𝑦(−𝑥) = − 𝑡𝑔2 𝑥 − нечётная 2 2. 𝒚 = 𝒄𝒕𝒈𝒙𝟐 Учитель: Выясним какова область определения этой функции Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ (𝜋𝑛; 𝜋 + 𝜋𝑛) Решение: 𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔(−𝑥)2 𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔𝑥 2 = 𝑦(𝑥) − чётная 𝝅 3. 𝒚 = 𝒕𝒈( 𝒙 − ) 𝟑 Учитель: Выясним какова область определения этой функции Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ (− 𝜋𝑛; 𝜋 6 5𝜋 6 + + 𝜋𝑛) Решение: 𝑦(−𝑥) = 𝑡𝑔 (−𝑥 − 𝜋 𝜋 ) = −𝑡𝑔(𝑥 + 3 )- общего вида 3 Доказать , что y = tg x 3 периодическая функция с периодом 3π Учитель: прежде чем доказать является ли данная функция периодической ,сперва скажите какая функция называется периодической? Ответ учеников: Периоди́ческая фу́нкция ― функция, повторяющая свои значения через некоторый регулярный интервал аргумента, то есть не меняющая своего значения при добавлении к аргументу некоторого фиксированного ненулевого числа (пери́ода функции) на всей области определения. Учитель: теперь выясним какова область определения данной функции? 𝜋 Ответ учеников: Область определения данной функции будет 𝑥 ∈ ( − + 𝜋𝑛 3 ; 𝜋 6 + 𝜋𝑛 3 6 ) Учитель: Теперь давайте докажем выражение Ответ учеников: Доказательство: Так как 𝑡𝑔 𝑡𝑔 𝑥 3 , 𝑡𝑔 𝑥−3𝜋 3 𝑥 𝑥 3 3 = 𝑡𝑔 ( − 𝜋) = 𝑡𝑔 , то 𝑡𝑔 𝑥 3 𝑥+3𝜋 3 𝑥 = 𝑡𝑔 ( + 𝜋 ) = 3 – периодическая функция с периодом 3𝜋 Определить значение 𝑡𝑔𝑥 и 𝑐𝑡𝑔𝑥 при значении 𝑥 равное: 1. 5𝜋 4 ; 2) 𝜋 3 ; Решение: 1. 𝑡𝑔 5𝜋 4 = 1(по формулам приведения) 5𝜋 =1 4 𝜋 2. 𝑡𝑔(− ) = −√3 3 с𝑡𝑔 𝜋 √3 𝑐𝑡𝑔 (− ) = − 3 3 Мотивация. Тангенс и котангенс исходно рассматривались как тени гномонов (древнейший астрономический инструмент, вертикальный предмет (стела, колонна, шест), позволяющий по наименьшей длине его тени (в полдень) определить угловую высоту солнца. Кратчайшая тень указывает и направление истинного меридиана. Гномоном также называют часть солнечных часов, по тени от которой определяется время в солнечных часах.) – горизонтального и вертикального – соответственно на вертикальной и горизонтальной стене. Отсюда их арабские названия «зилл ма'кус» (обращенная тень) и «зилл мустав» (плоская тень); затем они стали просто «тенью» и «тенью дополнения». Подобные термины использовались и в Европе: umbra versa (обращенная тень) и umbra recta (прямая тень). Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Tangens переводится как «касающийся» (линия тангенсов – касательная к единичной окружности). Функция тангенс — это частное от деления функции синус на функцию косинус. Учебная задача. Изучить функции y = 𝑡𝑔х и y = c𝑡𝑔𝑥 , а именно выявить из свойства и вид графика. Тема урока: «Функций y = = 𝑡𝑔х и y = c𝑡𝑔𝑥 , их графики и свойства» II. Содержательный этап. Учитель: Сегодня у нас первый урок изучения нового. С отдельными тригонометрическими понятиями вы уже могли встречаться на уроках геометрии и алгебры. А сегодня на уроке мы познакомимся со свойствами и графиками функций y = tgx и y = ctgx. Учитель: И так начинаем со свойств функции y = tgx Рис1 Учитель: Какова область определения функции y = tgx? Ответ учеников: Рассмотрим функцию y = tgx , это функция не имеет точки 𝜋 принадлежащей прямой 𝑥 = , нет точки принадлежащей прямой 𝑥 = 3𝜋 2 2 𝜋 , нет точки принадлежащей прямой 𝑥 = − . 2 Учитель: Эти прямые проведены пунктиром на рис. 1. Первое представление о графике получено: он состоит из бесконечного 𝜋 𝜋 множества ветвей (в полосе между 𝑥 = − и 𝑥 = в полосе между 𝑥 = 2 2 𝜋 2 и 3𝜋 2 ) Учитель: Какой является данная функция, чётной или нет? Ответ учеников: Данная функция является не чётной, т.к. 𝑡𝑔(−𝑥) = − 𝑡𝑔𝑥 . График нечётной функции симметричен относительно начала координат. Учитель: Молодцы, всё првильно. Учитель: Функция y = tgx является периодической? Ответ учеников: Да. Функция y = tgx является периодической с периодом 𝜋, это следует из соотношения 𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑡𝑔𝑥. Учитель: Правильно. График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Значит, нам можно действовать так: построить по точкам часть 𝜋 графика на промежутке от 0 до , а затем воспользоваться указанной 2 симметрией. π Учитель: Приступим к построению графика на полуинтервале [ 0 , ) Выберем 2 контрольные точки: Учитель: Отметим эти точки на координатной плоскости и проведем через них плавную кривую (рис. 2). Рис.2 Учитель: Добавим линию, симметричную построенной кривой относительно начала координат (рис. 3). Рис.3 Учитель: Воспользовавшись периодичностью, достроим график до конца (рис. 4). Учитель: На каком интервале возрастает функция y = 𝑡𝑔х ? Ответ учеников: Функция возрастает на интервале ( − возьмём 2 точки x1 = π 4 , x2 = π 3 π 2 π , ) т. к. например: 2 . Значение функции y = tgх в данных точках π соответственно равно 𝑦(х1 ) = tg = = 1 и 𝑦(х2 ) = tg = 4 𝑡𝑔(х2 ) → что функции y = 𝑡𝑔х возрастает. π 3 = √3 , 𝑡𝑔(х1 ) < Учитель: Функция y = 𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу? Ответ учеников: Да, функция y = 𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу. Учитель: У Функция y = 𝑡𝑔х нет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Почему? Ответ учеников: Т.к. функция y = 𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу. 𝜋 𝜋 Учитель: Функция y = tgх непрерывна на интервале ( − , ). Почему? 2 2 Ответ учеников: Так как Функция y = 𝑡𝑔х не имеет точек разрыва. Учитель: В более общем виде — функция непрерывна на любом интервале вида 𝛑 𝛑 (− + 𝛑𝐧, + 𝛑𝐧) 𝟐 𝟐 Учитель: : Решите уравнение графически: 𝑎) 𝑡𝑔𝑥 = √3. Ответ ученика: Построим в одной системе координат графики функций 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 и 𝑦 = √3. х 3 2 у 2 32 Решение: затем , находим точки пересечения этих двух графиков ,опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и находим решение данного уравнения. 𝜋 Ответ: решением данного уравнения является: 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍. 3 𝜋 Учитель: Построить график функции 𝑦 = −𝑡𝑔(𝑥 + ) 2 Ответ учеников: Для начала разберемся с главной ветвью тангенсоиды. 1) Перейдем к вспомогательной системе координат с началом в точке (− π 2 , 0) (прямая x − π 2 ) проведена на рис. 3 пунктиром). 2) "Привяжем" функцию y = tgx к новой системе координат — это будет график π функции y = −tg(x + ) а точнее, главная ветвь искомого графика (рис.3 — 2 сплошная кривая) 3 2 π 3) Чтобы получить график функции y = −tg(x + ) достаточно построенную 2 ветвь отобразить симметрично относительно оси х (рис.5) Рис.5 4) Зная одну ветвь, можно построить весь график (рис. 6). (Рис. 6). Учитель: На самом деле, на рис. 6 построен график функции. y = ctgx. Почему? Потому, что имеет место тождество (формула приведения) 𝑐𝑡𝑔𝑥 = 𝜋 −𝑡𝑔(𝑥 + ). График функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 , как и график функции 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥, называют 2 тангенсоидой. Главной ветвью графика функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 обычно называют ветвь, заключенную в полосе от 0 до 𝜋 Учитель: Вот мы и построили график функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥 , теперь разберём все свойства функции 𝑦 = 𝑐𝑡𝑔𝑥, так же как мы делали с функцией 𝑦 = 𝑡𝑔𝑥 Учитель: Какова область определения функции y = ctgx? Ответ учеников: Область определения функции котангенс: , Z – множество целых чисел. Учитель: Каково множество значений данной функции? Ответ учеников: Область значений функции котангенс: , где . Учитель: Какой является данная функция, чётной или нет? Ответ учеников: Функция нечетная, так как 𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔 (−𝑥) = −𝑐𝑡𝑔 𝑥 , . Учитель: Функция y = ctgx является периодической? Ответ учеников: Да. Функция y = ctgx является периодической с периодом 𝜋, это следует из соотношения 𝑐𝑡𝑔(−𝑥) = −𝑐𝑡𝑔𝑥. Учитель: На каком промежутке убывает функция y=ctg x. Ответ учеников: Функция y = ctgx убывает при Учитель: Функция y = c𝑡𝑔х не ограничена ни сверху, ни снизу? . Ответ учеников: Да, функция y = ctgх не ограничена ни сверху, ни снизу. Учитель: Функция y = ctgх нет ни наибольшего, ни наименьшего значения. Почему? Ответ учеников: Т.к. функция y = ctgх не ограничена ни сверху, ни снизу. Учитель: Функция y = ctgх непрерывна на интервале ( 0 , π). Почему? Ответ учеников: Так как Функция y = ctgх не имеет точек разрыва. Учитель: В более общем виде — функция непрерывна на любом интервале вида ( πn, π + πn) Учитель: Решите графически уравнения. б) 𝑐𝑡𝑔𝑥 = − √3 3 Ответ ученика Решение: Сначала строим график функции 𝑦 = с𝑡𝑔𝑥 , затем строим прямую 𝑦 = − √3 3 , находим точки пересечения этих двух графиков ,опускаем перпендикуляр на ось абсцисс и находим решение данного уравнения. 𝜋 Ответ: решением данного уравнения является: 𝑥 = + 𝜋𝑛, 𝑛𝜖𝑍. 3 III. Рефлексивно – оценочный этап. Учитель: Какая была цель нашего урока? Ответ учеников: Изучить функции y = 𝑡𝑔х и y = c𝑡𝑔𝑥 , а именно выявить из свойства и вид графика. Учитель: Как мы достигли поставленной цели на уроке? Ответ учеников: Мы рассмотрели основные свойства функций и на их основе построили график данных функций. Учитель: Молодцы. Теперь запишем домашнее задание. IV. Домашнее задание. 1. Построить график функции 𝑦 = 𝑡𝑔2𝑥 + √3 и написать её свойства Решение: Свойства функции 𝜋 𝜋𝑛 1. Область определения 𝑥 ∈ ( − + ; 4 𝜋 2 4 + 𝜋𝑛 2 ) 2. Множество значений 𝑥 ∈ ℝ 3. 𝑦(−𝑥) = 𝑡𝑔 (−2𝑥) + √3 = −𝑡𝑔 2𝑥 + √3 − функция являтся общего вида 4. Функция периодическая , с наименьшим положительным периодом 𝜋𝑛 Т= 2 𝜋 𝜋𝑛 4 2 5. Монотонность: 𝑥 ↑ ( − + ; 𝜋 4 + 2 𝑥 𝜋 3 2 2. Построить график функции 𝑦 = 𝑡𝑔 + Решение: 𝜋𝑛 ) и написать её свойства Свойства функции 1. Область определение 𝑥 ∈ (− 3𝜋 2 + 3𝜋𝑛, 3𝜋 2 + 3𝜋𝑛 ) 2. Множество значений 𝑥 ∈ ℝ 3. 𝑦(−𝑥) = 𝑐𝑡𝑔 ( − 𝑥 3 + 𝜋 𝑥 𝜋 ) = −𝑐𝑡𝑔 ( 3 − 2 ) − данная функция общего вида 2 4. Функция является периодической с наименьшим положительным периодом Т = 3𝜋 5. Монотонность: 𝑥 ↓ (− 3𝜋 2 + 3𝜋𝑛, 3𝜋 2 + 3𝜋𝑛 )