файл: Олимпиадные задания по математике

Задания I этапа республиканской олимпиады по математике
2014/2015 учебный год
8 класс
1. При каких значениях m уравнения mx-2010=2011 и 2011x=m-2010x имеют
общий корень?
(7 баллов)
2. На строительство дома не хватило места. Тогда архитектор убрал два
подъезда и добавил три этажа. При этом количество квартир увеличилось.
Обрадованный этим, он убрал ещё два подъезда и добавил ещё три этажа, но
при этом количество квартир оказалось даже меньше, чем в первоначальном
проекте. Покажите, как такое могло быть (в последнем проекте должно
остаться положительное количество этажей).
(8 баллов)
3. В треугольнике ABC точка D – середина стороны BC, точка E – середина
AD, причем BE = BD. Прямая CE пересекает сторону AB в точке K.
Докажите, что AK = EK.
(9 баллов)
4. На полке стоят 100 книг по белой и чёрной магии, причём никакие две
книги по белой магии не стоят через 13 книг (т.е. между ними не может
стоять 13 книг). Какое наибольшее количество книг по белой магии могло
стоять на полке?
(8 баллов)
5. Положительные числа x и y меньше единицы. Докажите, что
x
y

 1.
1 y 1 x
(9 баллов)
6. Докажите, что у любого неравнобедренного треугольника найдутся две
стороны, отношение которых больше 3/5, но меньше 1.
(9 баллов)
Максимальное количество баллов - 50.
Задания I этапа республиканской олимпиады по математике
2014/2015 учебный год
9 класс
1. Решите систему уравнений:
ху=1;
уz=2;
xz=8.
(7 баллов)
2. Натуральные числа m и n таковы, что m2 + n2 + m делится на mn. Докажите,
что m является квадратом натурального числа.
(8 баллов)
3. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и ВЕ. Оказалось, что DE –
биссектриса треугольника ADC. Найдите угол ВАС.
(9 баллов)
4. В комнате находится 10 человек, из них несколько обманщиков (которые
могут как сказать правду, так и солгать), а остальные – рыцари (которые
всегда говорят правду). Мудрец, зайдя в комнату, спросил у каждого, кто он
– рыцарь или обманщик, и по полученным ответам (каждый отвечал только
одно слово – «рыцарь» или «обманщик») смог определить, сколько тех и
других. Сколько обманщиков могло быть в комнате? Найдите все
возможности и докажите, что других нет.
(8 баллов)
5. Докажите, что
1 2
2010
  ... 
 1 .(n!=123…n – произведение всех
2! 3!
2011!
натуральных чисел от 1 до n включительно. Например, 5!=12345=120).
(9 баллов)
6. В выпуклом четырехугольнике АВСD А = 60, B = 150, C = 45 и АВ
= ВС. Докажите, что треугольник АВD – равносторонний.
(9 баллов)
Максимальное количество баллов - 50.
Задания I этапа республиканской олимпиады по математике
2014/2015 учебный год
10 класс
1. Найдите квадратное уравнение, корни которого были бы обратны корням
уравнения x2+px+q=0, (q≠0)
(7 баллов)
2. Последовательность натуральных чисел такова, что m+n делится на am+an
при любых натуральных m и n. Какие значения может принимать а2010?
(8 баллов)
a 2  2bc b 2  2ac c 2  2ab
 2
 2
3. Докажите, что
>3, где a,b,c – стороны
b2  c2
a  c2
b  a2
некоторого треугольника.
(8 баллов)
4. Рассмотрим числа 1, 2,…, 2010. Сколькими способами можно выбрать из
них 1005 чисел так, чтобы сумма любых двух выбранных чисел не равнялась
ни 2010, ни 2011?
(9 баллов)
5. В квадрате 30×30 Ирина Николаевна закрасила несколько столбцов и
несколько строк. После этого она дала задание Славику подсчитать, сколько
есть квадратов 2×2, в которых хотя бы одна клетка закрашена. Через 4 часа
Славик сообщил, что насчитал 600 таких квадратов. Докажите, что он
ошибся.
(8 баллов)
6. Есть таблица 8×8 и карточки с числами от 1 до 64. Двое игроков по
очереди кладут по одной карточке на свободные клетки таблицы. Когда все
карточки разложены, игроки отмечают в каждом столбце наименьшее число
и находят сумму всех отмеченных чисел. Если эта сумма чётна – выигрывает
первый игрок, а если нечётна – второй. Докажите, второй сможет выиграть
независимо от игры соперника.
(10 баллов)
Максимальное количество баллов - 50.
Задания I этапа республиканской олимпиады по математике
2014/2015 учебный год
11 класс
2
1. Назовем число n  1 унтерквадратом, натурального числа n. Докажите,
что произведение унтерквадратов двух последовательных натуральных чисел
также является унтерквадратом натурального числа.
(7 баллов)
2. Последовательность натуральных чисел такова, что m+n делится на am+an
при любых натуральных m и n. Докажите, что аk=k при всех натуральных k.
(8 баллов)
3. Существует ли одиннадцатигранник, у которого количество ребер
в каждой грани четно?
(9 баллов)
4. Положительные числа x, y, z таковы, что
Докажите, что
1
1
1
1


 .
2
2
2
2
1 x
1 y
1 z
1
1
1
1


< .
3
3
3
3
2 x
2 y
2 z
(8 баллов)
5. Найдите функцию f, определенную на N и удовлетворяющую следующему
соотношению f(x+1)=f(x)+d.
(10 баллов)
6. АМ – биссектриса равнобедренного треугольника АВС с основанием АС.
Докажите, что если В = 100, то АМ + ВМ = АС.
(8 баллов)
Максимальное количество баллов - 50.