О «хороших» числах (11 марта 2016 года)

О «хороших» числах (11 марта 2016 года)
1. Пусть τ(n) – количество различных натуральных делителей натурального
числа n. Докажите, что τ(n) зависит от разложения на простые множители



числа n  p1 1  p2 2  ...  pk k и τ(n)=(1+1)(2+1)…(k+1).
a) Читаем об этом также в книге Оре «Приглашение в теорию чисел»
(глава 3, с.35-41).
2. Найдите τ(100), τ(600), τ(2015), τ(2016), τ(2017).
b) Дайте определения простого и составного чисел с помощью τ(n).
3. Докажите, что для любого натурального a>1 существует бесконечно много натуральных чисел n, у которых τ(n)=a.
4. Решите в натуральных числах уравнения τ(n)=2017 и τ(n)=2016.
5. Найдите все натуральные числа, делящиеся на 30 и имеющие ровно 30
различных натуральных делителей.
6. Теорема: Докажите, что τ(n) – нечётно тогда и только тогда, когда n –
точный квадрат. (Докажите теорему двумя разными способами.)
7. Существуют ли два подряд идущих натуральных числа, у каждого из которых нечётное количество различных натуральных делителей?
Задача I. (47 ТЮМ, младшая группа, вторая лига) Число n назовём хорошим, если все его натуральные делители, отличные от единицы, можно разбить на две группы с равными суммами. Докажите, что если числа n и n+1
— хорошие, то их произведение — удвоенный квадрат натурального числа.
8. Существует ли такое хорошее число n, что число 5n также является хорошим?
9. Существуют ли три подряд идущих хороших числа?
Задача II. (47 ТЮМ, младшая группа, высшая лига) Число n назовём хорошим, если все его натуральные делители, отличные от единицы, можно
разбить на две группы с равными суммами. Могут ли для какого-то натурального n числа n, n+4 и n+8 быть хорошими?
10. Придумайте свою задачу про хорошие числа.
Напишите по адресу dkuznetcov@hse.ru о задаче с 47 ТЮМа, которую
хотелось бы обсудить на следующем занятии.