алгебра и геометрия - факультете информатики ТГУ.

МИНОБРНАУКИ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ФАКУЛЬТЕТ ИНФОРМАТИКИ
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета
С.П. Сущенко
«
»
АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ
(ЕН.Ф.1.06)
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
трудоемкость дисциплины 8 зачетных единиц
НАПРАВЛЕНИЕ 010400 – ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Томск
2010
2010 г.
УТВЕРЖДЕНО
СОСТАВИТЕЛЬ
кафедрой прикладной информатики.
к.ф.-м.н., доцент кафедры алгебры
Протокол №50
от 01.12.2010 г.
Зав. кафедрой, профессор
С.П. Сущенко
С.К. Росошек
I. Организационно-методический раздел
Цель курса – изучение алгебры и геометрии.
Задача учебного курса – освоение алгебры и геометрии.
Дисциплины-предшественники – нет.
Требования к уровню освоения дисциплины – знание алгебры и геометрии.
II. Содержание дисциплины
II.1. Лекционный курс
Тема 1. Множества и отображения.
Способы задания множеств. Операции над множествами. Понятие отображения
множеств. Классификация отображений. Композиция отображений. Обратное отображение.
Теорема о существовании обратного отображения.
Тема 2. Бинарные отношения.
Понятие бинарного отношения. Отношения эквивалентности, классы эквивалентности. Теорема об отношениях эквивалентности. Алгоритмы генерации бинарных отношений.
Частичные порядки, линейные порядки. Максимальные и наибольшие элементы (минимальные и наименьшие элементы). Алгоритмы генерации частичных порядков.
Тема 3. Группы.
Алгебраическая операция, ее свойства. Таблица Кэли. Понятие группы. Примеры
групп. Подгруппы. Критерий подгруппы. Аддитивная группа классов вычетов по модулю
натурального числа. Мультипликативная группа подстановок.
Тема 4. Кольца.
Понятие кольца, примеры колец. Подкольца. Критерий подкольца. Кольца классов
вычетов. Кольца многочленов. Кольца функций. Классы колец. Поля. Конечные поля.
Тема 5. Векторные пространства.
Понятие векторного пространства, примеры. Простейшие свойства векторного пространства. Линейная зависимость (независимость) векторов. Базис и ранг системы векторов. Эквивалентность систем векторов. Теорема о замене, ее следствия. Подпространства,
примеры. Критерий подпространства. Сумма и прямая сумма подпространств, пересечение
подпространств. Теорема о достройке базиса. Теорема о размерности суммы подпространств.
Тема 6. Матрицы.
Алгебраические структуры на матрицах. Понятие определителя. Простейшие свойства определителей. Вычисление определителей посредством приведения к треугольному
виду. Теорема Лапласа, ее следствия. Алгоритмы вычисления определителей. Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре, ее следствия. Алгоритмы вычисления ранга матрицы. Обратная матрица, алгоритмы вычисления обратной матрицы. Матричные уравнения.
Тема 7. Системы линейных уравнений.
Понятие системы линейных уравнений. Критерий совместности системы линейных
уравнений. Однородные системы линейных уравнений. Фундаментальная система решений. Теорема о фундаментальной системе решений. Алгоритм Гаусса решения системы линейных уравнений. Итерационные методы решения систем линейных уравнений. Алгоритм
Холецкого решения систем линейных уравнений с положительно определенной симметрической матрицей. Алгоритм прогонки решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей.
Тема 8. Элементы теории чисел.
Простые и составные числа. Факторизация чисел. Наибольший общий делитель и
наименьшее общее кратное чисел. Алгоритм Евклида нахождения НОД. Сравнения, классы
вычетов. Функция Эйлера. Теоремы Ферма и Эйлера. Группа классов вычетов, взаимно
простых с модулем. Дискретный логарифм. Поле классов вычетов по простому модулю.
Сравнения первой степени. Квадратные вычеты и невычеты. Символ Лежандра. Закон взаимности. Символ Якоби.
Тема 9. Аффинное пространство.
Понятие аффинного пространства. Введение координат в аффинном пространстве.
Переход к новой системе координат. k-мерные плоскости в аффинном пространстве.
Тема 10. Линейные операторы.
Алгебра линейных операторов. Матрица линейного оператора. Изменение матрицы
линейного оператора при переходе к новому базису. Образ и ядро линейного оператора.
Ранг и дефект линейного оператора. Невырожденный линейный оператор. Собственные
векторы и собственные значения линейного оператора.
Тема 11. Евклидово пространство.
Скалярное произведение. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации.
Ортогональное дополнение. Многомерная геометрия: длина вектора, расстояние и угол
между векторами, многомерные теоремы косинусов и Пифагора.
Тема 12. Прямая и плоскость.
Уравнения прямой линии на плоскости и в трехмерном евклидовом пространстве.
Уравнения плоскости в пространстве. Расстояние между точкой и прямой на плоскости и в
пространстве. Векторное и смешанное произведения.
Тема 13. Линейные операторы в евклидовом пространстве.
Сопряженный оператор. Сопряженный критерий самосопряженности линейного
оператора. Ортогональный оператор. Критерий ортогональности линейного оператора.
Тема 14. Элементы машинной графики.
Матричное представление данных. Элементарные линейные операторы машинной
графики. Проективное пространство и его применение в машинной графике. Полярное разложение линейного оператора. Сингулярное разложение линейного оператора. Основная
теорема машинной графики о представимости любого линейного оператора машинной графики в виде композиции конечного числа элементарных линейных операторов машинной
графики (т. е. масштабирований, вращений, отражений и ортогональных проектирований).
Тема 15. Квадратичные формы.
Приведение квадратичных форм к каноническому виду. Закон инерции квадратичных форм. Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичных форм.
Приведение квадратичных форм к главным осям.
Тема 16. Кривые и поверхности второго порядка.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду. Инварианты кривой второго порядка. Классификация кривых второго порядка. Эллипс, гипербола, парабола. Поверхности второго порядка, их классификация.
Тема 17. Метрические и топологические пространства.
Метрические пространства. Непрерывные отображения метрических пространств.
Определение и примеры топологических пространств. Непрерывные отображения и гомеоморфизмы топологических пространств. Компактные топологические пространства.
II.2. Практические занятия
По всем темам лекционной части курса предусмотрены практические занятия.
III. Распределение часов курса по темам и видам работ
№№ пп
Наименование тем
Всего Аудиторные занятия (час),
часов
в том числе
практилекции
ки
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
Множества и отображения
Бинарные отношения
Группы
Кольца
Векторные пространства
Матрицы
Системы линейных уравнений
Элементы теории чисел
Аффинное пространство
Линейные операторы
Евклидово пространство
Прямая и плоскость
Линейные операторы в евклидовом пространстве
Элементы машинной графики
Квадратичные формы
Кривые и поверхности второго
порядка
Метрические и топологические
пространства
ИТОГО
Самостоятельная
работа
лабораторные
занятия
8
8
10
10
24
38
34
18
10
24
10
10
2
2
2
2
6
8
8
6
2
6
2
2
2
2
2
2
6
10
8
4
2
6
2
2
4
4
6
6
12
20
18
8
6
12
6
6
22
6
4
12
24
16
4
4
6
4
14
8
24
6
6
12
16
4
4
8
306
72
72
0
162
IV. Учебно-методическое обеспечение курса
IV.1. Основная литература
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука,
1987.
2. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966.
3. Воеводин В.В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.
4. Головина Л.И. Линейная алгебра и некоторые ее приложения. М.: Наука, 1979.
5. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.
6. Кострикин А.Н. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.
7. Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Дифференциальная геометрия и топология. М.: Изд-во
МГУ, 1980.