Практическая работа № 10 Тема: Применение обыкновенных дифференциальных уравнений при решении прикладных задач Цель: закрепить навыки решать линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка. Научиться применять решение дифференциальных уравнений к решению прикладных задач. Оборудование: инструкционные карты. Теоретический материал Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Однородное ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами имеет следующий вид: , где и – константы (числа), а в правой части – строго ноль. Алгоритм решения линейного однородного уравнения второго порядка: Для того чтобы решить данное ДУ, нужно составить так называемое характеристическое уравнение: – это обычное квадратное уравнение, которое предстоит решить. Существуют три варианта развития событий. Характеристическое уравнение имеет два различных действительных корня Если характеристическое уравнение корня , (т.е., если дискриминант имеет два различных действительных ), то общее решение однородного уравнения выглядит так: где – константы. В случае если один из корней равен нулю, решение очевидным образом упрощается; пусть, например, , тогда общее решение: Характеристическое уравнение имеет два кратных действительных корня Если характеристическое уравнение имеет два кратных (совпавших) действительных корня принимает вид: (дискриминант ), то общее решение однородного уравнения , где всё равно одинаковы. – константы. Вместо Если оба корня равны нулю в формуле можно было нарисовать , корни , то общее решение опять же упрощается: . Кстати, является общим решением того самого примитивного уравнения , Характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни Если характеристическое уравнение имеет сопряженные комплексные корни , принимает вид: ), то общее решение однородного уравнения (дискриминант , где – константы. Примечание: Сопряженные комплексные корни почти всегда записывают кратко следующим образом: Если получаются чисто мнимые сопряженные комплексные корни: упрощается: , то общее решение Содержание практической работы: выполнить задание соответственно варианту. 1. В 2. В 3. В 4. В 5. В 6. В 7. В № 1, 9, 17, № 2, 10, № 3, 11, № 4, 12, № 5, 13, № 6, 14, № 7, 15, 25 18, 26 19, 27 20, 28 21, 29 22, 30 23, 31 8. В № 8, 16, 24, 32
