ОЛИМПИАДА 9 КЛАСС 2014 год

ОЛИМПИАДА 2014 год
9 КЛАСС
ВАРИАНТ 1
Задача 1
Что больше 1 2  3  ...  300 или 100 200 ?
Задача 2
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины B прямого угла опущена
высота BD на гипотенузу AC. Известно, что |AB|=13, |BD|=12. Найти
площадь треугольника ABC.
Задача 3
В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность,
которая касается боковой стороны AB в точке M. Через точку M проведен
перпендикуляр ML к стороне AC треугольника ABC (точка L – основание
этого перпендикуляра). Найти величину угла BCA, если известно, что
площадь треугольника ABC равна 1, а площадь четырехугольника LMBC
равна S.
Задача 4
На прямой дороге расположены последовательно пункты A, B, C, D.
Расстояние от пункта A до пунктов B, C, D находятся в отношении 1:2:4. В
направлении от A к D по дороге через равные промежутки времени с одной и
той же скоростью едут автобусы. Из A в D вышли в разное время три
пешехода и пошли по дороге с одной и той же скоростью. Первого пешехода
в пути между A и B обогнали 3 автобуса. Второго пешехода между A и C
обогнали 4 автобуса. Третий пешеход вышел из A и прибыл в D, когда через
эти пункты проезжали очередные автобусы. Сколько автобусов обогнали
третьего пешехода в пути между A и D?
Задача 5
Окружность задана уравнением x 2  y 2  2 x  8 y  8  0 . Найдите центр
окружности и ее радиус.
Задача 6
Определить, 2 7  83  16 3 кратно 37?
Задача 7
Упростите выражение:
 10  3
2

 10  4
2
Задача 8
Найдите наименьшее значение выражения 2 x 2  3 y  x  5   y  3  2 x 2
2
и значения x и y, при которых оно достигается.
Задача 9
Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые
делятся на 6.
Задача 10
Три числа составляют арифметическую прогрессию. Найдите эти числа, если
известно, что их сумма равна 27 и при уменьшении первого числа на 1,
второго – на 3 и третьего – на 2 они составляют геометрическую прогрессию.
Задача 11
При каких значениях С число 2 находится между корнями уравнения
2x 2 
1
x  (C  3)(C  5)  0 ?
2
Задача 12
Докажите, что уравнение ( x 2  8x  17)( x 2  4 x  7)  3 не имеет корней.