Вопросы к зачету для бакалавров I курса дневного отделения

Информация для студентов I и II курсов
дневного отделения
5 июля 2012 г. в 1400 состоится переэкзаменовка по математике
для студентов I курса в ауд. 624
для студентов II курса в ауд. 625
Допускаются все студенты , имеющие паспорт и
экзаменационный лист .
Вопросы к зачету для бакалавров I курса дневного отделения.
Направление «Строительство» . Семестр II – весенний, 2012 г.
1. Первообразная функция. Теорема о разности первообразных. Неопределенный
интеграл и его свойства.
2. Задача о площади криволинейной трапеции, приводящая к понятию
определенного интеграла по отрезку.
3. Геометрический смысл определенного интеграла по отрезку. Формула НьютонаЛейбница.
4. Задача о массе плоской пластины, приводящая к понятию двойного интеграла.
5. Задача о массе плоской кривой, приводящая к понятию криволинейного
интеграла по длине кривой. Механический смысл криволинейного интеграла по длине
кривой.
6. Составление интегральной суммы для определенного интеграла по отрезку,
двойного и криволинейного интегралов. Определение определенного интеграла по
фигуре: отрезку, плоской области, кривой.
7. Основные свойства определенного интеграла по фигуре. Свойство
определенного интеграла по фигуре от функции, тождественно равной единице.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------8. Определение полного и частного приращений функции z = f(x,y). Определение
частных производных в т. M0 (x 0 , y0 ) .
9. Определение дифференцируемой функции z = f(x,y) в т. M0 (x 0 , y0 ) и полного
дифференциала dz.
10. Определение непрерывной функции z = f(x,y) в т. M0 (x 0 , y0 ) .
11. Определение точек max, min функции z = f(x,y) с геометрической
иллюстрацией. Необходимый признак экстремума функции z = f(x,y).
12. Определение касательной плоскости и нормали к поверхности F(x,y,z)=0 в
т. P0 (x 0 , y0 , z0 ) . Записать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности.
13. Производная функции u  u(x, y, z) по направлению в т. P0 (x 0 , y0 , z0 ) :
определение, формула для вычисления.
14. Градиент функции: определение, свойства.
------------------------------------------------------------------------------------------------------15. Дифференциальное уравнение I порядка. Формулировка задачи Коши и
её геометрический смысл. Определение общего и частного решений.
16. Дифференциальное уравнение II порядка. Формулировка задачи Коши и
её геометрический смысл. Определение общего и частного решений.
17. Линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) n – ого порядка.
Определение линейно независимой системы функций. Определение фундаментальной
системы решений ЛОДУ (ФСР). Формулировка теоремы о структуре общего решения
ЛОДУ.
18. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n – ого
порядка. Формулировка теоремы о структуре общего решения ЛНДУ.
19. ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое
уравнение. ФСР и общее решение в случае действительных различных корней
характеристического уравнения.
20. ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами. ФСР и общее решение в
случае действительных кратных корней характеристического уравнения.
21. ЛОДУ II порядка с постоянными коэффициентами. ФСР и общее решение в
случае комплексных корней характеристического уравнения.
Примерные задачи для зачета.
1. Найти массу участка кривой L y 
x3
, x  0;1 , если плотность   12 y
3
 x  cos 3 t
2. Найти массу участка кривой L 
 y  sin t
3
t  0; 2 , если   y 2 .
3. Найти массу плоской области D, ограниченной линиями y  e x , y  e  x ,
x  1, если   xy .
4. Найти массу плоской пластинки, ограниченной линиями y  4  x 2 ,
y  1  x 2 , если   x 2  2y 2 .
5. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
y  x ln x , y  0 , x  e .
6. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями
y  x x 1, y  0.
7. Найти общее решение y   2 y   5 y  4 sin 2 x  cos 2 x .
8. Найти общее решение y   4 y   4 y  ( x  2 )e x .
9. Решить задачу Коши.
y
 e x ,
x
3y y 2
y 
 2  1,
x
x
y 
y( 1 )  e 1
y( 1 )  3
10.Найти частные производные
 z z
, , если z  y x 2  y 2 и вычислить их
 x y
в точке P0 ( 3;4 ) . Найти dz .
11.Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
x 2  y 2  z 2  xy  2 z  2  10 в точке M 0 ( 1;2;1) .
12.Найти точки экстремума функции z  x 2  2 y 2  2 xy  x  5 y  3 .