1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ Целями

1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Целями освоения дисциплины «Математические методы в экономике» являются
изучение разделов матричной алгебры, решение систем линейных уравнений и векторного
анализа, позволяющие студенту ориентироваться в таких дисциплинах, как «Теория
вероятностей и математическая статистика», «Методы оптимальных решений».
Курс
"Математические методы в экономике" будет использоваться в теории и приложениях
многомерного математического анализа, математической экономики, эконометрики.
Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения
численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и
исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным
прикладным аппаратом для изучения студентами факультета Экономики математической
компоненты своего профессионального образования.
Основными задачами курса является усвоение студентами особенностей
применения математических методов в экономике.
II. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП
Дисциплина «Математические методы в экономике» относится к дисциплинам по
выбору математического и естественнонаучного цикла.
Данный курс позволяет студентам получить подробные знания о содержании
образовательной программы по направлению «Экономика», о сферах деятельности
специалиста в области экономики
применительно к особенностям применения
математических методов в экономике.
Предметом изучения являются математические методы в экономике.
Междисциплинарные связи учебной дисциплины «Математические методы в
экономике»
Для изучения учебной дисциплины
«Математические методы в экономике»
необходимы знания, умения и навыки, формируемые предшествующими дисциплинами:
- Математика;
- Математический анализ;
- Линейная алгебра.
1
Перечень последующих учебных дисциплин, для которых необходимы знания,
умения и навыки, формируемые
учебной дисциплиной «Математические методы в
экономике»:
- Комплексный анализ финансово-хозяйственной деятельности предприятия»;
- Финансовый анализ;
- Анализ финансово-хозяйственной деятельности;
- Методы оптимальных решений.
III. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического цикла,
дисциплина «Корпоративные финансы» обеспечивает инструментарий формирования
следующих общекультурных и профессиональных компетенций бакалавра-экономиста:
Код
Наименование компетенции
компетенции
владеет культурой мышления, способен к обобщению,
ОК-1
анализу, восприятию информации, постановке цели и
выбору
путей
ее
достижения;
способен находить организационно-управленческие
ОК-8
решения и готов нести за них ответственность;
владеет основными методами, способами и средствами
получения, хранения, переработки информации, имеет
навыки работы с компьютером как средством управления
ОК-13
ПК-3
информацией, способен работать с информацией в
глобальных
компьютерных
способен
необходимые
выполнять
сетях.
для
составления
экономических разделов планов расчеты, обосновывать их
и представлять результаты работ в соответствии с
принятыми в организации стандартами
2
способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных,
ПК-4
необходимых для решения поставленных экономических
задач;
способен
выбрать
инструментальные
средства
для
обработки экономических данных в соответствии с
ПК-5
поставленной
задачей,
проанализировать
результаты
расчетов и обосновать полученные выводы;
способен на основе описания экономических процессов и
явлений
ПК-6
строить
стандартные
теоретические
и
эконометрические модели, анализировать и содержательно
интерпретировать полученные результаты;
способен анализировать и интерпретировать финансовую,
бухгалтерскую и иную информацию, содержащуюся в
ПК-7
отчетности предприятий различи форм собственности,
организаций,
ведомств
и
использовать
полученные
сведения для принятия управленческих решений
способен,
ПК-9
используя
отечественные
и
зарубежные
источники информации, собрать необходимые данные
проанализировать их и подготовить информационный
обзор и/или аналитический отчет
ПК-10
способен использовать для решения аналитических и
исследовательских
задач
современные
технические
средства и информационные технологии.
В результате освоения дисциплины обучающийся должен:
Знать:
- терминологию, основные понятия и определения математических методов
финансового анализа;
- и применять на практике математические методы, используемые при
планировании и анализе эффективности финансовых операций.
Уметь:
3
- разрабатывать математические модели различных финансовых операций;
- на основе моделей получать численные результаты анализа с использованием
ЭВМ;
- понимать и применять на практике эффективные математические методы анализа
финансовых операций.
Владеть:
- навыками решения реальных практических задач анализа и планирования
финансовых операций.
4
IV. ОБЪЕМ ДИСЦИПЛИНЫ И ВИДЫ УЧЕБНОЙ РАБОТЫ
Общая трудоемкость дисциплины составляет 5 зачетных единицы. Вид
промежуточной аттестации – дифференцированный зачет.
Вид учебной работы
Всего
часов
Аудиторные занятия (всего)
56/16
В том числе:
Лекции
24/6
Практические занятия (ПЗ)
32/10
Семинары (С)
-
Лабораторные работы (ЛР)
-
Самостоятельная работа (всего)
108/160
В том числе:
Курсовой проект (работа)
-
Расчетно-графические работы
-
Реферат
-
Другие виды самостоятельной работы
8/-
Вид промежуточной аттестации (зачет, диф.зачёт,
8/4
экзамен)
Общая трудоемкость/ час.
180/180
Зач.ед.
5/5
5
V. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСОВ ПО ТЕМАМ И ВИДАМ
УЧЕБНЫХ ЗАНЯТИЙ
Общая трудоемкость учебной дисциплины составляет 5 зачетных единицы,
180 часов.
ПРИМЕРНЫЕ ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ
Примерный тематический план учебной дисциплины
(очная форма обучения)
Разделы
Всего
Лекции Семинар
часов
КСР
ы
Самост.
работа
Модуль 1
1
Модели и методы
34
4
6
2
22
34
4
6
2
22
34
4
6
2
22
33
4
7
1
21
37
8
7
1
21
дискретной
оптимизации
Модуль 2
2
Прикладные задачи
дискретной
оптимизации
Модуль 3
3
Модели управления
запасами и
леонтьевские задачи
Модуль 4
4
Задачи теории
расписаний и методы
их решения
Модуль 5
5
Сетевые модели.
Оптимизация на сетях
Диф. зачет
8

Количество часов в примерном тематическом плане корректируется в соответствии с действующими
учебными планами
6
Итого:
180
24
32
8
108
Примерный тематический план учебной дисциплины
(заочная форма обучения)
Разделы
Всего
Лекции Семина-
часов
КСР
Самост.
ры
работа
Модуль 1
1
Модели и методы
36
2
2
32
35
1
2
32
35
1
2
32
35
1
2
32
35
1
2
32
6
10
160
дискретной
оптимизации
Модуль 2
2
Прикладные задачи
дискретной
оптимизации
Модуль 3
3
Модели управления
запасами и
леонтьевские задачи
Модуль 4
4
Задачи теории
расписаний и методы
их решения
Модуль 5
5
Сетевые модели.
Оптимизация на сетях
Диф. зачет
4
Итого:
180
7
VI. СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛОВ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. Модели и методы дискретной оптимизации
Полная и точная информированность о неконтролируемых параметрах и функциях как
полезная математическая абстракция. Программное управление. План производства,
распределение ресурсов.
Допустимые и оптимальные решения. Причины их возможного отсутствия.
Определения максимума и минимума на допустимом множестве.
Итерационная схема построения оптимального решения через допустимые.
Эквивалентные, или взаимные задачи оптимизации (например, задача максимизации
прибыли при ограниченных сверху затратах эквивалентна задаче о минимизации затрат
при ограниченной снизу прибыли на том же допустимом множестве).
Повторение: множества и отображения.
Раздел 2. Прикладные задачи дискретной оптимизации
Общая постановка задач конечномерной оптимизации со связями и ограничениями.
Допустимое множество. Задача о потребительском выборе.
Типы максимумов: внутренний и граничный, единственный и неединственный,
глобальный и локальный. Последовательная максимизация как способ аналитического
решения задач малой размерности. Геометрическое отыскание максимума в двумерных задачах.
Достаточные условия глобального максимума: теорема Вейерштрасса о достижимости
максимума и минимума непрерывной функцией многих переменных на компакте; теорема
о максимуме вогнутых, т.е. выпуклых вверх, непрерывных функций на выпуклом компакте.
Достаточные условия выпуклости.
Экстремумы гладких и негладких функций. Конусы допустимых и улучшающих
вариаций. Необходимые условия и достаточные условия для локальных экстремумов
гладких функций. Матрица Гессе. Достаточное условие локального максимума в угловой
точке.
Условия Куна-Таккера, дополняющая нежёсткость, геометрическая интерпретация.
8
Чувствительность максимума к изменению вектора ресурсов. Окаймлённый Гессиан.
Теорема Куна-Таккера о седловой точке функции Лагранжа. Двойственная задача.
Схемы численных методов максимизации (прямых и непрямых): скорейший спуск,
проектирование градиента, штрафные функции, метод Ньютона. Поиск глобального
максимума в многоэкстремальных задачах.
Раздел 3. Модели управления запасами и Леонтьевские задачи
Истоки
многокритериальности.
Многокритериальная
предпочтительность
допустимых стратегий. Эффективность (оптимальность) по Парето или Слейтору.
Леонтьевская модель.
Построение
Парето-эффективной
границы
путём
решения
многопараметрической задачи однокритериалыюй оптимизации с ограниченными
величинами остальных критериев. Другие способы сведения к однокритериальной
оптимизации.
Парето-эффективных стратегий. Априорные процедуры многокритериального выбора
- свертки критериев, близость к идеальной точке. Апостериорные процедуры - выявление
функции полезности у лица, принимающего решения, лексикографическая оптимизация,
последовательные уступки по величинам разных критериев. Адаптивные человеко-машинные
процедуры.
Раздел 4. Задачи теории расписаний и методы их решения
Сетевое планирование, управление проектами, теория расписаний. Целочисленное
программирование. Схема ветвей и границ. • Оптимальные программы управления во
времени. Принцип максимума Л.С. Понтрягина и принцип оптимальности Беллмана.
Раздел 5. Сетевые модели. Оптимизация на сетях
Виды сетевых моделей. Задача управления запасами. Воздействие возмущений на
критерий качества и на множество допустимых управлений
Планирование и оперативное управление как типичный для экономики способ
9
реализации общей идеи обратной связи. Многошаговые процедуры управления. Обработка
текущей информации о возмущениях, адаптация модели.
Многошаговые схемы управления. Выделение этапов, различающихся составом
управленческих решений и информацией о возмущениях. Рекурсивное решение последовательное применение принципа наилучшего гарантированного результата от
заключительного по времени этапа к первому.
Аналитическое решение задачи о планировании договоров и оперативной
компенсации сбоев в сырьевых поставках.
10
VII. ТЕМАТИКА И СОДЕРЖАНИЕ ПРАКТИЧЕСКИХ (СЕМИНАРСКИХ)
ЗАНЯТИЙ
Практическое занятие №1
Тема: Модели и методы дискретной оптимизации
Вопросы к изучению:
1.
Допустимые и оптимальные решения. Причины их возможного отсутствия.
Определения максимума и минимума на допустимом множестве.
2.
Итерационная схема построения оптимального решения через допустимые.
3.
Эквивалентные, или взаимные задачи оптимизации.
Практическое занятие №2
Тема: Прикладные задачи дискретной оптимизации
Вопросы к изучению:
1.
Общая
постановка
задач
конечномерной
оптимизации
со
связями
и
ограничениями. Допустимое множество. Задача о потребительском выборе.
2.
Типы
максимумов:
внутренний
и
граничный,
единственный
и
неединственный, глобальный и локальный.
3.
Достаточные условия глобального максимума: теорема Вейерштрасса
4.
Экстремумы гладких и негладких функций. Конусы допустимых и
улучшающих вариаций.
5.
Условия
Куна-Таккера,
дополняющая
нежёсткость,
геометрическая
интерпретация.
6.
Схемы численных методов максимизации (прямых и непрямых): скорейший
спуск, проектирование градиента, штрафные функции, метод Ньютона.
11
Практическое занятие №3
Тема: Модели управления запасами и Леонтьевские задачи
Вопросы к изучению:
1.
Истоки многокритериальности. Многокритериальная предпочтительность
допустимых стратегий. Эффективность (оптимальность) по Парето или Слейтору.
Леонтьевская модель.
2.
Построение
Парето-эффективной
границы
путём
решения
многопараметрической задачи однокритериалыюй оптимизации с ограниченными
величинами остальных критериев.
3.
Парето-эффективных стратегий. Априорные процедуры многокритериального
выбора - свертки критериев, близость к идеальной точке.
4.
Апостериорные процедуры - выявление функции полезности у лица,
принимающего решения, лексикографическая оптимизация, последовательные уступки по
величинам разных критериев. Адаптивные человеко-машинные процедуры.
Практическое занятие №4
Тема: Задачи теории расписаний и методы их решения
Вопросы к изучению:
1. Сетевое планирование, управление проектами, теория расписаний.
2. Целочисленное программирование. Схема ветвей и границ.
3.
Оптимальные программы управления во времени.
4.
Принцип максимума Л.С. Понтрягина и принцип оптимальности Беллмана.
Практическое занятие №5
Тема: Сетевые модели. Оптимизация на сетях
Вопросы к изучению:
1.
Виды сетевых моделей. Задача управления запасами.
2.
Планирование и оперативное управление как типичный для экономики способ
12
реализации общей идеи обратной связи.
3.
Многошаговые схемы управления. Выделение этапов, различающихся
составом управленческих решений и информацией о возмущениях.
4.
Аналитическое решение задачи о планировании договоров и оперативной
компенсации сбоев в сырьевых поставках.
13
VIII. ОРГАНИЗАЦИЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ СТУДЕНТОВ
Мероприятия, создающие предпосылки и условия для реализации СРС,
предусматривают обеспечение каждого студента:

методом выполнения теоретических (расчетных, графических и т.п.) и
практических (лабораторных, учебно-исследовательских и др.) работ;

информационными ресурсами (справочники, учебные пособия, банки
индивидуальных заданий, обучающие программы, пакеты прикладных программ и т.д.);

методическими материалами (указания, руководства, практикумы и т.п.);

контролирующими материалами (тесты);

материальными ресурсами (ПЭВМ, измерительное и технологическое
оборудование и др.);

временными ресурсами;

консультациями (преподаватели);

возможностью публичного обсуждения теоретических и/или практических
результатов, полученных студентом самостоятельно (конференции, конкурсы).
Повышение роли самостоятельной работы студентов при проведении
различных видов учебных занятий также предполагает:

оптимизацию методов обучения, внедрение в учебный процесс новых
технологий обучения, повышающих производительность труда преподавателя, активное
использование информационных технологий, позволяющих студенту в удобное для него
время осваивать учебный материал;

широкое внедрение компьютеризированного тестирования;

совершенствование
методики
проведения
практик
и
научно-
исследовательской работы студентов, поскольку именно эти виды учебной работы,
студентов
в
первую
очередь
готовят
их
к
самостоятельному
выполнению
профессиональных задач;

модернизацию системы курсового и дипломного проектирования, которая
должна повышать роль студента в подборе материала, поиске путей решения задач.
Отчетность и контроль СРС
Виды отчетности:
14
- доработанные конспекты лекций;
- выполненные письменные работы, протоколы выполнения тестовых заданий,
решенные практические задачи;
- картотека по результатам поисковых заданий;
- тезисы выступления;
- отчет о результатах анализа;
- участие в деловой игре и т.п.
Требования к контролю:

Контроль за СРС должен быть индивидуальным.

Контроль осуществляется преподавателем в течение всего семестра с
выставлением оценки в журнале учебных занятий.

Контроль завершается перед аттестацией учебной работы студента по
дисциплине (перед зачетом или экзаменом).
Способы контроля:
-выборочный устный опрос перед началом ПЗ/СЗ;
-выборочная проверка конспектов, тезисов, рефератов и докладов;
-проверка контрольных работ;
-проверка выполнения задач и тестов.
Итоговая оценка СРС выставляется в журнал учебных занятий и учитывается
преподавателем при аттестации студентов в период зачетно-экзаменационной сессии
(сокращение числа экзаменационных вопросов при оценке СРС не ниже «хорошо»,
предоставление права выбора экзаменационных вопросов студенту из предложенных
преподавателем, выставление оценки «зачет» по результатам СРС).
15
Задания на самостоятельную работу:
1. Дайте несколько определений термина «Исследование операций» и сравните их между
собой.
2. Дайте определение термина «Операция».
3. В чем состоит цель, которую преследуют в процессе исследования операций?
4. Приведите примеры экономических проблем, решаемых с помощью ММИО.
5. Перечислите этапы ИО.
6. Опишите подробно третий этап ИО.
7. Какие переменные модели ИО называются управляемыми?
8. Какие переменные модели ИО называются неуправляемыми?
9. Запишите формулировку задачи математического программирования.
10. Приведите классификацию ММИО.
11. Дайте определение матрицы.
12. Перечислите виды матриц.
13. Какие матрицы можно складывать, умножать?
14. Дайте определение n-мерного вектора.
15. Является ли вектор матрицей или наоборот?
16. Что такое минор Mij матрицы А?
17. Что такое алгебраическое дополнение Aij?
18. Что такое определитель матрицы?
19. Как вычислить определитель квадратной матрицы второго порядка,
третьего порядка?
20. Для всех ли матриц существует понятие определителя?
21. Дайте определение обратной матрицы.
22. Что такое неособенная матрица?
23. Как вычислить обратную матрицу?
24. Как проверить, является ли матрица В обратной к А?
25. Запишите СЛАУ в матричной форме.
26. Как решить СЛАУ методом Крамера?
27. Как решить СЛАУ методом обратной матрицы?
28. Запишите решение матричного уравнения AX = B.
16
29. Какие системы можно решать методом Гаусса?
30. Какие случаи возможны при решении СЛАУ?
31. Что такое однородная СЛАУ?
32. Дайте определение общего решения СЛАУ.
33. Дайте определение частного решения СЛАУ.
34. Дайте определение базисного решения СЛАУ.
35. Сколько базисных решений может иметь СЛАУ.
36. Что называется линейной комбинацией системы векторов?
37. Какая система векторов называется линейно-зависимой (независимой)?
38. Что называется базисом n-мерного пространства?
39. Как определить линейную зависимость или независимость системы
векторов?
40. Как перейти от одного базиса векторного пространства к другому?
41. Запишите ЗЛП в форме ОЗЛП.
42. Запишите ЗЛП в форме ОснЗЛП
43. Запишите ЗЛП в форме КЗЛП
44. Приведите ОЗЛП к каноническому виду
45. Приведите ОснЗЛП к каноническому виду
46. Дайте определение плана КЗЛП
47. Перечислите свойства множества планов Р
48. Дайте определение оптимального плана КЗЛП
49. Какая ЗЛП называется разрешимой?
50. Дайте определение выпуклого множества.
51. Дайте определение гиперплоскости.
52. Дайте определение полупространства.
53. Что называется крайней, или угловой точкой множества Р?
54. Дайте определение градиента функции.
55. Запишите градиент функции ƒ(x) = с1x1 + c2x2.
56. Что называется линией уровня целевой функции?
57. В каких случаях при решении ЗЛП графическим методом можно
убедиться в ее неразрешимости?
58. Что означает разрешимость ЗЛП при графическом методе ее решения?
59. Запишите КЗЛП в алгебраической форме.
60. Запишите КЗЛП в векторно-матричной форме.
61. Дайте определение опорного плана КЗЛП.
17
62. Дайте определение К-матрицы КЗЛП.
63. Сформулируйте связь между опорным планом и К-матрицей.
64. Число опорных планов конечно или нет?
65. Какого числа не превышает количество опорных планов КЗЛП?
66. Сформулируйте связь между опорным планом и крайней точкой.
67. Сформулируйте утверждение о существовании оптимального опорного
плана.
68. Дайте определение симплекс-разности.
69. Сформулируйте критерий оптимальности в алгоритме симплекс-метода.
70. Сформулируйте критерий отсутствия решений в алгоритме симплексметода.
71. Сформулируйте основные моменты, которые должен содержать любой
конечный алгоритм решения ЗЛП.
72. Где в алгоритме симплекс-метода используется метод Гаусса?
73. Дайте определение Р-матрицы КЗЛП.
74. Дайте определение псевдоплана КЗЛП.
75. Сформулируйте критерий отсутствия решения в алгоритме Р-метода.
76. В каком случае к решению ЗЛП необходимо применять двухэтапный
симплекс-метод?
77. Какие ЗЛП не могут быть решены симплекс-методом?
78. Из чего состоит отчет по результатам поиска решения MS Excel?
79. Из чего состоит отчет по устойчивости поиска решения MS Excel?
80. Из чего состоит отчет по пределам поиска решения MS Excel?
81. Запишите двойственную задачу линейного программирования для
КЗЛП, ОснЗЛП, ОбщЗЛП.
82. Сформулируйте основные теоремы теории двойственности.
83. Как получить решение двойственной задачи из симплекс-таблицы
решения исходной задачи?
84. Сформулируйте экономический смысл условий теоремы 4 (условий
дополнительной нежесткости)?
85. Запишите задачу целочисленного линейного программирования.
86. Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ.
87. Перечислите область применения ЗЦЛП.
88. С какими трудностями приходится сталкиваться при алгоритмизации
методов решения ЗЦЛП?
18
89. Приведите классификацию методов решения ЗЦЛП.
90. Какая задача называется задачей с ослабленными ограничениями?
91. Сформулируйте принцип ветвления в методе ветвей и границ.
92. Какую задачу решает понятие границы в методе ветвей и границ?
93. Сформулируйте постановку задачи коммивояжера.
94. Сформулируйте алгоритм метода ветвей и границ для решения задачи
коммивояжера.
95. Сформулируйте транспортную задачу закрытого типа.
96. Запишите задачу, двойственную к транспортной.
97. Сформулируйте алгоритм метода северо-западного угла.
98. Сформулируйте теоремы двойственности применительно к
транспортной задаче.
19
Тестовые задания:
1. Что является объектом и языком исследования в экономико-математическом
моделировании:
1. различные типы производственного оборудования и методы его
конструирования;
2. экономические процессы и специальные математические методы;
3. компьютерные программы и языки программирования.
2. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева:
1. (E – A)*X = C;
2. A*X = X;
3. A*X = E.
3. Какое допущение постулируется в модели Леонтьева многоотраслевой экономики:
1. выпуклость множества допустимых решений;
2. нелинейность существующих технологий;
3. линейность существующих технологий.
4. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А:
1. (E – A)*X = Y;
2. A*X = B;
3. |A - lE| = 0.
5. Множество n – мерного арифметического точечного пространства называется
выпуклым, если:
1. вместе с любыми двумя точками А и В оно содержит и весь отрезок АВ;
20
2. счетно и замкнуто;
3. равно объединению нескольких конечных множеств.
6. Какая задача является задачей линейного программирования:
1. управления запасами;
2. составление диеты;
3. формирование календарного плана реализации проекта.
7. Задача линейного программирования называется канонической, если система
ограничений включает в себя:
1. только неравенства;
2. равенства и неравенства;
3. только равенства.
8. Тривиальными ограничениями задачи линейного программирования называются
условия:
1. ограниченности и монотонности целевой функции;
2. не отрицательности всех переменных;
3. не пустоты допустимого множества.
9. Если в задаче линейного программирования допустимое множество не пусто и целевая
функция ограничена, то:
1. допустимое множество не ограничено;
2. оптимальное решение не существует;
3. существует хотя бы одно оптимальное решение.
21
10. Симплекс-метод предназначен для решения задачи линейного программирования:
1. в стандартном виде;
2. в каноническом виде;
3. в тривиальном виде.
11. Неизвестные в допустимом виде системы ограничений задачи линейного
программирования, которые выражены через остальные неизвестные, называются:
1. свободными;
2. базисными;
3. небазисными.
12. Правильным отсечением в задаче целочисленного программирования называется
дополнительное ограничение, обладающее свойством:
1. оно должно быть линейным;
2. оно должно отсекать хотя бы одно целочисленное решение;
3. оно не должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план.
13. Какой из методов целочисленного программирования является комбинированным:
1. симплекс-метод;
2. метод Гомори;
3. метод ветвей и границ.
14. Какую особенность имеет динамическое программирование как многошаговый метод
оптимизации управления:
1. отсутствие последействия;
22
2. наличие обратной связи;
3. управление зависит от бесконечного числа переменных.
15. Вычислительная схема метода динамического программирования:
1. зависит от способов задания функций;
2. зависит от способов задания ограничений;
3. связана с принципом оптимальности Беллмана.
16. Какую задачу можно решить методом динамического программирования:
1. транспортную задачу;
2. задачу о замене оборудования;
3. принятия решения в конфликтной ситуации.
17. Метод скорейшего спуска является:
1. методом множителей Лагранжа;
2. градиентным методом;
3. методом кусочно-линейной аппроксимации.
18. Множители Лагранжа в экономическом смысле характеризуют:
1. доход, соответствующий плану;
2. издержки ресурсов;
3. цену (оценку) ресурсов.
19. Функция нескольких переменных называется сепарабельной, если она может быть
представлена в виде:
1. суммы функций одной переменной;
23
2. произведения функций нескольких переменных;
3. суммы выпуклых функций.
20. Платежной матрицей называется матрица, элементами которой являются:
1. годовые прибыли отраслевых предприятий;
2. выигрыши, соответствующие стратегиям игроков;
3. налоговые платежи предприятий.
21. Верхней ценой парной игры является:
1. гарантированный выигрыш игрока А при любой стратегии игрока В;
2. гарантированный выигрыш игрока В;
3. гарантированный проигрыш игрока В.
22. Чистой ценой игры называется:
1. верхняя цена игры;
2. нижняя цена игры;
3. общее значение верхней и нижней ценой игры.
23. Возможно ли привести матричную игру к задаче линейного программирования:
1. возможно;
2. невозможно;
3. возможно, если платежная матрица единичная.
24. Кооперативные игры – это игры:
1. с нулевой суммой;
24
2. со смешанными стратегиями;
3. допускающие договоренности игроков.
25. Какие математические методы можно применять для принятия хозяйственных
решений в условиях неопределенности:
1. линейного программирования;
2. массового обслуживания;
3. динамического программирования.
26. Главными элементами сетевой модели являются:
1. игровые ситуации и стратегии;
2. состояния и допустимые управления;
3. события и работы.
27. В сетевой модели не должно быть:
1. контуров и петель;
2. собственных векторов;
3. седловых точек.
28. Критическим путем в сетевом графике называется:
1. самый короткий путь;
2. самый длинный путь;
3. замкнутый путь.
29. Математической основой методов сетевого планирования является:
25
1. аналитическая геометрия;
2. теория электрических цепей;
3. теория графов.
30. Какая из данных экономико-математичеких моделей является однофакторной:
1. модель материализованного технического прогресса;
2. модель расширенного воспроизводства;
3. модель естественного роста.
26
IX. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Состав образовательных технологий
В соответствии с требованиями ФГОС ВПО реализация компетентностного подхода
предусматривает использование в учебном процессе традиционных, активных и
интерактивных форм проведения занятий в сочетании с внеаудиторной работой
студентов.
По данной учебной дисциплине предусмотрены следующие образовательные
технологии:
- лекции;
- семинарские и практические занятия;
- самостоятельная работа;
- подготовка к экзамену;
- экзамен;
- прохождение производственной практики.
Методические рекомендации по реализации образовательных технологий изложены
в соответствующих разделах настоящей программы.
Принципы отбора содержания и реализации образовательных технологий
Концепция изучения курса строится на следующих положениях:
- комплексный подход к рассмотрению изучаемых процессов и событий;
- сочетание анализа современного состояния рыночной экономики с историей ее
предыдущего развития;
- рассмотрение, как общих закономерностей, так и особенностей их проявления
в конкретно-исторических и социально-политических условиях.
Программа изучения дисциплины предусматривает:
Курс построен на сочетании глубокой теоретической подготовки с конкретным
анализом реальных ситуаций по принципу «практика — теория — новые стратегические и
27
практические решения», организован по модульному принципу, суть которого —
сочетание аудиторных занятий с самостоятельной проработкой тем. При этом
используются активные и интерактивные формы проведения лекционных и практических
занятий.
Лекционные занятия и самостоятельное изучение курса по настоящей программе
проходят с использованием рекомендуемой литературы и источников.
Лекционный материал посвящается рассмотрению основных концептуальных
вопросов: основным экономическим понятиям и категориям, подходам, а также вопросам,
трактовка которых имеет особое значение для понимания сути учебной дисциплины и
раскрывает компетентностный подход к ее изучению.
В учебном процессе наряду с традиционными формами обучения предусматривается
использование различных активных и интерактивных форм и методов обучения
(дискуссии, круглые столы, деловые игры, разбор практических ситуаций, тренинги,
практикумы и др.). Для более эффективного усвоения студентами данной дисциплины
предлагается необходимая учебная и методическая литература.
Самостоятельная работа предполагает изучение теории и практики и
рекомендованных литературных источников, изучение по рекомендации преподавателя
наиболее интересных, проблемных вопросов, а также решение тестовых и практических
заданий, выполнение контрольной работы, подготовку сообщений и т.д.
Кафедра осуществляет содержательно-методическое обеспечение самостоятельной
работы: преподаватели проводят индивидуальные и групповые консультации со
студентами с целью оказания им помощи в усвоении основных тем, раскрывающих
компоненты компетенций, изучаемых по данной дисциплине.
Проведение семинарских и практических занятий. Такая форма занятий предполагает
активную, целенаправленную работу студентов.
Цель семинарского занятия - усвоение важнейших вопросов курса и выступление
каждого студента на каждом семинаре. На семинаре студенты должны уметь объяснить
понимание ими вопросов темы. Для этого при подготовке к семинару студент должен
внимательно изучить рекомендованную литературу
и методические рекомендации,
подготовиться и ответить на любой вопрос темы семинара, продолжить выступление
предыдущего выступающего. Студент должен иметь на семинаре основные нормативные
акты и может пользоваться конспектом изученной литературы. Каждый студент должен
28
по указанию преподавателя отрецензировать сообщение, сделанное предыдущим
выступающим.
Практические занятия, проводимые в активной и интерактивной формах, позволяют
вовлекать всех студентов в обсуждение того или иного вопроса, проблемы, разбор
конкретной ситуации, решение практических и тестовых заданий и практикумов.
Активное обучение студентов по данной дисциплине обеспечивается диалоговым
взаимодействием
преподавателя
и
студентов,
предусматривает
проблемную
(дискуссионную) постановку вопросов с целью закрепления и углубления полученных
знаний, формирования умений и практических навыков в соответствии с компонентами
компетенций.
Текущая аттестация работы студентов осуществляется в процессе проведения
семинарских и практических занятий на протяжении семестра путем оценки устных
ответов, а также выполнения контрольных работ, решения тестовых, практических
заданий и задач.
Если студент не выполнил ни одного задания, а также не проявил активности на
занятиях, то его работа в течение семестра оценивается как неудовлетворительная. Если
студент пропускает занятия по уважительной причине (по болезни, график свободного
посещения), то он выполняет задания самостоятельно, во внеаудиторное время, знакомя
преподавателя с полученными результатами. При этом тесты могут быть заменены
разбором проблемных ситуаций по названным темам.
Итоговая аттестация по курсу проводится в форме экзамена. Экзамен проводится
устно по билетам. При выставлении итоговой оценки оцениваются ответы на вопросы
экзаменационного билета, дополнительные вопросы и учитывается оценка за работу в
течение семестров, включая все элементы рубежного контроля
29
X. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАНЯТИЯ
Промежуточная
и
итоговая
аттестация
по
учебной
дисциплине
«Математические методы в экономике» предусмотрены в форме дифференцированного
зачета, который проводится в виде устного собеседования по контрольным билетам.
Контрольный билет на зачет содержит два теоретических вопроса и практическое задание
(задачу).
Важнейшими критериями оценки знаний обучаемых являются:

степень усвоения учебной программы;

содержание ответа на контрольные вопросы: логичность и доказательность
изложения;

степень творчества и самостоятельности в раскрытии поставленных вопросов;

умение применить теоретические знания в анализе конкретных деловых
ситуаций.
Оценка студенту на зачете выставляется:
«Отлично» – студент показывает глубокое и всестороннее знание предмета, имеет
целостное
представление
о
системе
инновационного
управления
в
условиях
конкурентного рынка, показывает умение творчески применять полученные знания при
выполнении профессиональных обязанностей менеджера организации, аргументировано
излагает материал, безупречно выполнил практическое задание (решил задачу).
«Хорошо» – студент твердо знает предмет, имеет целостное представление о
системе инновационного управления в условиях конкурентного рынка, логично излагает
материал, умеет применять конкретные методы оценки эффективности инновационной
деятельности, выполнил практическое задание (решил задачу).
«Удовлетворительно» – студент в основном знает предмет, имеет определенное
представление о системе инновационного управления предприятием, умеет применять
теоретические знания для анализа конкретных деловых ситуаций, определил правильный
алгоритм для выполнения практического задания (решения задачи).
«Неудовлетворительно» – студент не усвоил содержания учебной дисциплины.
Общая оценка знаний студента на экзамене выводится по частным оценкам за
выполнение теоретического и практического заданий билета. Оценка выставляется
комиссией (преподавателем) и объявляется после ответа на все контрольные вопросы.
Принимающий экзамен несет личную ответственность за правильность выставления
30
оценки. Положительная оценка «отлично», «хорошо», «удовлетворительно» заносится в
экзаменационную ведомость, журнал учебной группы и зачетную книжку студента.
Оценка «неудовлетворительно» проставляется только в экзаменационную ведомость и
журнал учебной группы.
31
Вопросы для подготовки к зачету
1. Линейные экономические модели.
2. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики.
3. Открытая и замкнутая модели Леонтьева.
4. Общая задача оптимизации.
5. Общая задача линейного программирования.
6. Примеры задач линейного программирования.
7. Транспортная задача.
8. Каноническая формулировка задачи линейного программирования.
9. Графический метод решения задачи линейного программирования.
10. Симплекс-метод и его алгоритм.
11. Двойственная задача линейного программирования.
12. Общая задача целочисленного программирования.
13. Метод Гомори решения задачи целочисленного программирования.
14. Общая постановка задачи динамического программирования.
15. Геометрическая интерпретация задачи динамического программирования.
16. Принцип оптимальности и уравнения Беллмана.
17. Глобальный и условный экстремумы.
18. Метод множителей Лагранжа для нахождения условного экстремума.
19. Выпуклые множества и выпуклые функции.
20. Выпуклое программирование.
21. Градиентные методы решения задач нелинейного программирования.
22. Виды игр. Основные понятия и определения
32
23. Платежная матрица. Верхняя и нижняя цена игры.
24. Принцип минимакса.
25. Решение игр в смешанных стратегиях.
26. Кооперативные игры.
27. Сетевая модель и ее основные элементы.
28. Построение сетевых графиков.
29. Анализ сетевых моделей.
30. Оптимизация сетевых моделей.
33
XI. ЛИТЕРАТУРА
Список основной учебной литературы:
1. Куликов В.В. Дискретная математика: Учеб. пособие. – М.: РИОР, 2010. – 174 с.
(Гриф).
2. Ковалев С.В. Экономическая математика: учебное пособие / С.В. Ковалев. – М.:
КНОРУС, 2010. – 248 с. (Гриф).
3. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Математика для экономического бакалавриата:
Учебник. – М.: ИНФРА-М, 2012. 472 с. (Гриф).
Список дополнительной учебной литературы:
1. Щипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. М. Высш.школа. 1998.
2. Щипачев В.С. Задачник по высшей математике. М. Высш шк.,1998.
3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб.пособие для
вузов. М. Высш.шк.,2000. (Гриф).
4. Математика: Хрестоматия по истории, методологии, дидактике
/ Сост.
Г.Д.Глейзер. М.: УРАО. 2001.(Гриф).
5. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. М. 1998.
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. Для вузов и втузов. М.1998.
7. А.С.Солодовников, В.А. Бабайцева, А.В.Браилов. Математика в экономике:
Учебник: В 2-х ч.Ч.1. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 224 с. (Гриф).
8. Никольский С.М. Элементы математического анализа: Учеб. пособие для студ.- 3е изд., перераб. и доп. – М.: Дрофа, 2002. – 272 с. (Гриф).
34
XII. ГЛОССАРИЙ
Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины,
соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его
частям при любом разбиении объекта на части. Характеристика системы аддитивна, если
она равна сумме тех же характеристик для всех составляющих систему подсистем и
элементов.
Адекватность модели - ее соответствие моделируемому объекту или процессу.
При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам модели,
которые для исследования считаются существенными.
Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более
простых, что часто значительно упрощает решение задачи.
Вариантные прогнозы - прогнозы, основанные на сопоставлении различных
вариантов возможного развития экономики при разных предположениях относительно
того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д.
Векторная оптимизация - решение задач математического программирования, в
которых критерий оптимальности представляет собой вектор, компонентами которого
являются в свою очередь различные несводимые друг к другу критерии оптимальности
подсистем, входящих в данную систему, например критерии разных социальных групп в
социально-экономическом планировании.
Верификация имитационной модели - проверка соответствия ее поведения
предположениям экспериментатора.
Вероятностная модель - модель, которая в отличие от детерминированной модели
содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой
совокупности значений, на ёе выходе могут получаться различающиеся между собой
результаты в зависимости от действия случайного фактора.
35
Взаимозаменяемость ресурсов — возможность использования разных ресурсов
для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет
заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет
смысл.
Генетический прогноз («поисковый») — прогноз, показывающий, к каким
состояниям придет прогнозируемый объект в заданное время при определенных
начальных условиях.
Глобальное моделирование или моделирование глобального развития — область
исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных,
экономических и экологических процессов, охватывающих земной шар.
Градиентные методы решения задач математического программирования методы, основанные на поиске экстремума (максимума или минимума) функции путем
последовательного перехода к нему с помощью градиента этой функции.
Декомпозиционные методы решения оптимальных задач - основанные на
рациональном расчленении сложной задачи и решении отдельных подзадач с
последующим согласованием частых решений для получения общего оптимального
решения.
Дескриптивная модель - модель, предназначенная для описания и объяснения
наблюдаемых фактов или прогноза поведения объектов - в отличие от нормативных
моделей, предназначенных для нахождения желательного состояния объекта (например,
оптимального).
Детерминированная модель - аналитическое представление закономерности,
операции и т. п., при которых для данной совокупности входных значений на выходе
системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать
как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упрощением), так и
детерминированную систему.
36
Детерминированная система - такая система, выходы которой (результаты
действия, конечные состояния и т.п.) однозначно определяются оказанными на нее
управляющими воздействиями.
Динамическая система - всякая система, которая изменяется во времени (в
отличие от статической системы). Математически это принято выражать через
переменные
(координаты),
изменяющиеся
во
времени.
Процесс
изменения
характеризуется траекторией (т. е. наборами координат, каждая из которых является
функцией времени).
Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай динамических
моделей экономики, основаны на принципе межотраслевого баланса, в который
дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения отраслевых связей во
времени.
Итеративные (итерационные) методы решения задач - заключаются в том, что
вычислительный процесс начинают с некоторого пробного (произвольного) допустимого
решения, а затем применяют алгоритм, обеспечивающий последовательное улучшение
этого решения.
Итерация - повторное применение математической операции (с измененными
данными) при решении вычислительных задач для постепенною приближения к нужному
результату. Итеративные расчеты на ЭВМ характерны для решения экономических (особенно оптимизационных и балансовых) задач. Чем меньше требуется пересчетов, тем
быстрее сходится алгоритм.
Коэффициенты
прямых
затрат
(технологические
коэффициенты)
в
межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной
отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли.
Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимостной (руб.).
Критерий оптимальности - показатель, выражающий меру экономического
эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных
37
решений (альтернатив) и выбора наилучшего из них (например, максимум прибыли,
минимум трудовых затрат, кратчайшее время достижения цели и т. д.)
Коэффициенты полных материальных затрат в межотраслевом балансе средние затраты i-го продукта на производство конечного продукта j по всей цепи
сопряженных производств. Таким образом, они складываются из прямых затрат каждой
отрасли на данный продукт и косвенных затрат.
Коэффициенты
прямых
затрат
(технологические
коэффициенты)
в
межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной
отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли.
Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимостной (руб.).
Математическое
программирование
(оптимальное
программирование)
—
область математики, объединяющая различные математические методы и дисциплины:
линейное
программирование,
нелинейное
программирование,
динамическое
программирование, выпуклое программирование и др. Общая задача математического
программирования
состоит
в
нахождении
оптимального
(максимального
или
минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны
принадлежать некоторой области допустимых значений.
Матричные модели - модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они
отображают соотношения между затратами на производство и его результатами,
нормативы
затрат,
производственную
и
экономическую
структуру
хозяйства.
Применяются в межотраслевом балансе, матричном плане предприятия и др.
Машинная имитация - экспериментальный метод изучения объекта с помощью
электронных вычислительных машин, Процесс имитации заключается в следующем: сначала строится математическая модель изучаемого объекта (имитационная модель), затем
эта модель преобразуется в программу работы ЭВМ.
Межотраслевой баланс (МОБ) - каркасная модель экономики, таблица, в которой
показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве.
38
Анализ МОБ дает комплексную характеристику процесса формирования и использования
совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.
Объективно обусловленные (оптимальные) оценки - одно из основных понятий
линейного программирования. Это оценки продуктов, ресурсов, работ, вытекающие из
условий решаемой оптимизационной задачи. Их называют также двойственными
оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа и целым рядом других
терминов.
Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты,
использующие эту модель. Обычно представляя собою систему уравнений и неравенств,
они в совокупности определяют область допустимых решений (допустимое множество).
Распространены линейные и нелинейные ограничения (на графике первые изображаются
прямыми, вторые — кривыми линиями).
Определенность в системе - ситуация, когда имеется точная информация о
возможных состояниях системы в случае принятия тех или иных решений.
Оптимальное планирование - комплекс методов, позволяющих выбрать из
многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный
вариант, т. е. наилучший с точки зрения заданного критерия оптимальности и определенных ограничений.
Оптимальное
программирование
-
применение
в
экономике
методов
математического программирования.
Оптимальное
управление
-
основное
понятие
математической
теории
оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием:
оптимальное управление); означает выбор таких управляющих параметров, которые
обеспечивали бы наилучшее, с точки зрения заданного критерия, протекание процесса,
или, иначе, наилучшее поведение системы, ее развитие к цели по оптимальной
траектории.
39
Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой
состоит в нахождении наилучшего (с точки зрения какого-то критерия) распределения
наличных
ресурсов.
Решается
с
помощью
оптимизационной
модели
методами
математического программирования.
Оптимизация - 1) процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор
наилучшего варианта из множества возможных; 2) процесс приведения системы в
наилучшее (оптимальное) состояние. Очередь — в теории массового обслуживания —
последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслуживания
занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или
ином
порядке).
Очередью
можно
назвать
также
и
совокупность
ожидающих
(простаивающих) каналов или средств обслуживания.
Пассивный (безусловный) статистический прогноз - прогноз развития,
основанный на изучении статистических данных за прошлый период и переносе
выявленных закономерностей на будущее. При этом внешние факторы, воздействующие
на систему, принимаются неизменными и считается, что ее развитие основывается только
на собственных, внутренних тенденциях.
Предельные и приростные величины в экономике. Предельная величина
характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение.
Поскольку в экономике большинство процессов (например, рост производства или
изменение его эффективности) являются функциями ряда аргументов (факторов), то
предельные величины здесь обычно выступают как частные производные процесса по
каждому из факторов.
Прогнозирование
-
система
научных
исследований
качественного
и
количественного характера, направленных на выяснение тенденций развития народного
хозяйства и поиск оптимальных путей достижения целей этого развития.
Прогнозирование спроса - исследование будущего (возможного) спроса на товары
и услуги в целях лучшего обоснования соответствующих производственных планов.
40
Прогнозирование подразделяется на краткосрочное (конъюнктурное), среднесрочное и
долгосрочное.
Производственная
функция
-
экономико-математическое
уравнение,
связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска).
Математически производственные функции (ПФ) могут быть представлены в различных
формах — от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного
исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные
соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды
времени. Широко распространены мультипликативные формы ПФ.
Равновесие - состояние экономической системы, которое характеризуется
равенством спроса и предложения всех ресурсов.
Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от
некоторой другой величины или нескольких величин. Распределение этих значений
называется условным распределением у при данном х. Множественная регрессия в
определенных условиях позволяет исследовать влияние причинных факторов.
Рекурсия - в общем смысле вычисление функции по определенному алгоритму.
Примерами таких алгоритмов являются рекуррентные формулы, выводящие вычисление
заданного члена последовательности (чаще всего числовой) из вычисления нескольких
предыдущих ее членов.
Статистическое моделирование - способ исследования процессов повеления
вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих
системах.
Стохастическая имитация — вид машинной имитации, отличающийся от
детерминированной тем, что включает в модель в том или ином виде случайные
возмущения, отражающие вероятностный характер моделируемой системы.
Устойчивость решения — обычно, говоря об устойчивости решения задачи,
имеют в виду, что малые изменения каких-либо характеристик, например, начальных
41
условий, ограничений или целевого функционала, не приводят к качественному
изменению решения.
Целевая функция в экстремальных задачах - функция, минимум или максимум
которой нужно найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя
экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых
переменных, которые k нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение
задачи.
Шкалы — системы чисел или иных элементов, принятых для оценки или
измерения каких-либо величин. Шкалы используются для оценки и выявления связей и
отношений между элементами систем. Особенно широко их применение для оценки
величин, выступающих в роли критериев качества функционирования систем, в
частности, критериев оптимальности при решении экономико-математических задач.
42