(Класс 11, модуль XI, урок 2) Урок 2. Общее, определение периодической функции План урока 2.1. Определение периодической функции 2.2. Основной период Тесты Домашнее задание Цели урока: сформулировать общее определение периодической функции, рассмотреть примеры не всюду определенных функций, которые обладают основным периодом. 1.1. Определение периодической функции Функция tgx определена лишь для чисел x 2 n (n Z ) Поэтому тождество (x ) x верно только для всех значений x из области определения функции x . Приведенный пример показывает, что общее определение периодической функции должно учитывать ее область определения. Определение. Функция f ( x) с областью определения D называется периодической, если существует такое число T 0 , что для всякого числа x из D числа x T и x T также принадлежат области D и выполняется равенство f ( x T ) f ( x) Число T в этом определении называется периодом функции f ( x ) Заменяя в предыдущем равенстве x на x T получим также f ( x T ) f ( x) Поэтому если функция f ( x) имеет период T , то число ( T ) также является периодом этой функции. Отметим, что число нуль не считают периодом функции. Периодическая функция должна иметь ненулевой период. Вопрос. Может ли быть периодической функция с областью определения D ( 0) (0) 2.2. Основной период Наименьший положительный период функции, если он существует, называется основным периодом. Теорема. Функция tgx обладает основным периодом, равным . Доказательство. Область определения D функции tgx состоит из чисел, отличных от чисел вида 2 n (n Z ) Поэтому если число x принадлежит этой области, то числа x и x тоже принадлежат области D и выполняется равенство tg ( x ) tgx Таким образом, число есть период для tgx Пусть T — произвольный положительный период тангенса. Тогда для всех чисел x из области D tg ( x T ) tgx Поскольку число 0 принадлежит области D , то, полагая x 0 получим равенство tgT tg 0 0 Но для T 0 это возможно лишь при T T 2 T 3 и так далее. Наименьшим из таких чисел является T Поэтому основной период функции tgx равен Вопрос Чему равен основной период функции tg 2 x Проверь себя. Общее, определение периодической функции Задание 1. Укажите правильный вариант ответа. x При каком из указанных значений x значение tg не определено? 2 1. 2 2. 2,5 3. 3 4. 3,5 (Правильный вариант: 3) При каком из указанных значений x значение ctg 1. 1 2. 1,5 3. 2 4. 2,5 2 x не определено? 3 (Правильный вариант: 2) Какoе из указанных чисел не является периодом функции f ( x) tg 1. 2 2. 32 3. 43 x ? 2 4. 84 (Правильный вариант: 3) Какое из указанных чисел не является периодом функции f ( x) ctg 1. 2. 3. 4. 6 28 39 72 (Правильный вариант: 2) x ? 3 Проверь себя. Общее, определение периодической функции Задание 2. Укажите все правильные варианты ответа. Какие из указанных чисел являются периодом функции f ( x) tg 3x ? 1. 6 2. 3 3. 5 4. 6 (Правильные варианты:2, 3) Какие из функций имеют период T 2 ? x 1. ctg 2 x 2. tg 3 3. ctg 2 x 4. tg 3x (Правильные варианты: 1, 3, 4) Какие из указанных чисел являются периодом функции f ( x) ctg 2 2. 3. 2 4. 4 (Правильные варианты:3, 4) 1. x ? 2 Какие из функций имеют период T 1. 2. 3. 4. 2 ? tg 2 x ctg 3x tg 4 x ctg 6 x (Правильные варианты: 1, 3, 4) Домашнее задание 1. Найдите область определения и основной период функции: а) tg 2 x ; б) tg x ; в) tg 2x ; г) tgx ctgx 2. Какие из функций являются периодическими: а) sin 1x ; б) sin1 x ; sin x в) ; x г) sin x tgx 3. Докажите, что основной период для функции ctgx равен . 4. Докажите, что число не является периодом функции sin x tgx Словарь терминов f (x) , определенная на Периодическая функция. Функция множестве D, называется периодической, если существует число T 0 такое, что при всех действительных x D числа x T и x T принадлежат D, и выполняется равенство f ( x T ) f ( x) . Период функции. Число T 0 из определения периодической функции называется ее периодом. Основной период. Наименьший положительный период периодической функции. Рисунки (названия файлов) Нет