Применение производной к исследованию функций

Автор: Маеренкова Вера Васильевна
Полное название образовательного учреждения: Государственное
бюджетное общеобразовательное учреждение Самарской области
общеобразовательная школа-интернат среднего (полного) общего
образования № 5 с углубленным изучением отдельных предметов
«Образовательный центр «Лидер» города Кинеля городского округа Кинель
Самарской области
Аннотация к уроку: Урок разработан в соответствии с требованиями
ФГОС ООО. Подробно указаны формируемые УУД на каждом этапе урока.
На уроке применяется технология дифференцированного обучения
математике. В процессе урока используются ЭОР, которые расположены на
сайте http://fcior.edu.ru , а также электронные тесты, созданные автором с
помощью программы MyTestX.
Предмет: алгебра и начала анализа
Класс: 10
Тема урока: Применение производной к исследованию функций
Образовательная цель: обобщение и систематизация знаний и навыков по
теме «Применение производной к исследованию функций».
Развивающая цель: развитие умений в применении знаний в конкретной
ситуации, умения работать в проблемной ситуации; развитие умений
сравнивать, обобщать, правильно формулировать задачи и излагать мысли;
развитие самостоятельной деятельности учащихся.
Воспитательная цель: воспитание настойчивости в достижении цели и
заинтересованности в конечном результате труда.
Задачи урока:
 формировать умения применять производную к исследованию функций;
 рассмотреть методы решения заданий базового и повышенного уровня
сложности;
 способствовать активизации познавательной деятельности с помощью
информационно-коммуникационных технологий.
Учебно-методическое обеспечение: Алгебра и начала анализа, 10-11
классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. А. Г. Мордкович,
М., «Мнемозина», 2011 г. Задачник для общеобразовательных учреждений.
Под редакцией А. Г. Мордковича, М., «Мнемозина», 2011 г.
Время реализации урока: 40 минут
Авторский медиапродукт:
 Авторская презентация, созданная в среде POWER POINT.
 Электронные тесты, созданные с помощью программы MyTestX,
информация о которой находится на официальном сайте
mytest.klyaksa.net.
Необходимое оборудование и материалы для урока: компьютер,
мультимедийный проектор, индивидуальные задания на карточках,
документ-камера.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Этапы урока
Время,
Этапы урока
мин.
I.
Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний:
 проверка домашнего задания;
 устная работа по закреплении теоретического
материала;
 работа по готовым чертежам на интерактивной доске;
 проблемная ситуация;
 ЭОР: практикум по теме "Применение производной к
исследованию функций" Применение производной к
исследованию функций




III. Обобщение и систематизация знаний и
способов деятельности:
работа в парах с тестами;
практическая работа в группах с взаимопроверкой;
электронные тесты
творческое задание
IV. Инструктаж домашнего задания
V.
Подведение итогов урока
0,5
18,5
1,5
3
4
3
7
19
5
7
5
2
1
1
Методика проведения урока
Ход урока
УУД
I. Организационный момент
II. Актуализация опорных знаний
1. Проверка домашнего задания
2. Повторение теоретического материала.
Вопросы к теоретической части
1. Достаточный признак возрастания (убывания)
функции.
2. Алгоритм нахождения промежутков возрастания и
убывания функции (слайды 4, 5)
3. Определение критических точек функции, точек
экстремума и экстремумов функции.
4. Необходимое условие экстремума.
5. Достаточные условия существования экстремума в
точке: признак максимума и минимума. Примеры
функций, имеющих экстремумы и не имеющих.
Анализ;
выбор
оснований и
критериев для
сравнения;
умение
осознанно
строить
речевое
высказывание в
устной форме
6. Алгоритм отыскания экстремумов функции.
7. Схема исследования функции (с помощью
производной).
8. Алгоритм нахождения наибольших и наименьших
значений функции на отрезке (слайды 6, 7)
3. Привести примеры функций: (слайд 8)
1. Имеющих критические точки, в которых f’(x) не
существует.
2. f’(x0) = 0, но x0 не является точкой экстремума.
3. f(x) = x . Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 критической точкой.
1
x
4. f(x) = . Найти f’(x). Найти f’(0). Является ли 0 критической точкой.
5. Может ли значение функции в точке максимума быть
меньше ее значения в точке минимума.
(ответ: да, может)
4. Работа по готовым чертежам (слайды 9-20)
Типологизация
объектов;
умение
осознанно
строить
речевое
высказывание в
устной форме;
анализ с целью
выделения
существенных
признаков
5. Проблемная ситуация:
Задача. Определить какое из чисел больше?
Сравнить числа:
(cos 1990) и (1+cos 1991).
Возможно ли эту задачу решить известными ученикам
приемами? Формулы приведения применить нельзя;
использование формул тригонометрических
преобразований не приводит к нужному результату.
Пусть M = cos 1990; N= I +cos 1991.
Задача сводится к тому, какой знак между этими
Поиск и
выделение
необходимой
информации;
анализ с целью
выделения
существенных
признаков;
выбор
оснований и
критериев для
числами поставить: М>N либо M<N.
В связи с только что изученной теорией ученики
использовали свойство возрастания и убывания
функции:
Функция f возрастает (убывает) на множестве Р, если
для любых x1 и x2 из множества Р, таких, что x2 > x1
выполнено неравенство f(x2) > f(x1) .
Целесообразно вспомнить это определение и при
решении настоящей задачи. Тогда нужно определить,
как относиться к М и N: либо как к аргументам, либо
как к соответствующим значениям какой-то функции, и,
связав это с ее производной, выяснить характер ее
монотонности и ответить на вопрос задачи. Так как
составление функции в данных условиях для учеников задача непривычная, подсказка учителя не будет
лишней.
Понятно, что прибавление одной и той же константы к
обеим частям неравенства сохранит знак этого
неравенства: M  N  M + C  N + C
Положим С=1990, тогда:
C + M = 1990 + cos l990; С + N = 1991 +cos l991.
Нетрудно видеть, что если рассмотреть функцию f(x) =
x + cosx,
то С + М = f(1990), C + N = f(1991).
Итак, имеем две точки x1 и x2:
x1 = 1990, x2 =1991; x1 < x2 ;
надо сравнить значения функции f(x) в этих точках.
Определим характер монотонности f(x):
так как f'(x) = 1 — sinx  0 и f'(x) = 0 при х=
, то f(x) возрастает на множестве всех
действительных чисел.
Поэтому: f(1990) < f (1991) => М + С < N + C => M < N
=>
(cos l990) < (1 + cos l991)
6. ЭОР: практикум по теме "Применение
производной к исследованию функций"
Применение производной к исследованию
функций
III. Обобщение и систематизация знаний и способов
деятельности
1. Работа в парах с тестами
Предлагается 3 вида тестов, дифференцированных на
три уровня глубины изучения темы:
сравнения;
умение
обосновывать
собственное
мнение
Оценка
(осознание
качества
и
уровня
усвоения);
структурирован
ие знаний.
Контроль в
форме
сличения
способа
А – минимальный уровень
Б – базовый уровень
В – углублённый уровень.
действия и его
результата с
заданным
эталоном с
целью
обнаружения
отклонений и
отличий от
эталона;
Коррекция.
Знаковосимволическая
деятельность;
построение
логической
цепи
рассуждений.
Взаимопроверка с помощью ответов, выведенных с
помощью документ-камеры.
Ответы:
График функции и график производной
А-1
А-2
Б-1
+
+ +
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Б-2
В-1
В-2
+
+
+
+
+ +
+ +
+
+
+ +
+
+
+
2. Практическая работа
1.На данном этапе урока при проведении мини исследовательской работы применяются методы
контроля и самоконтроля, а также самоуправления
учебными действиями. Обучение на
немногочисленных, но хорошо подобранных задачах
решаемых школьниками в основном самостоятельно,
способствует вовлечению их в творческую
исследовательскую работу, последовательно проводя
через этапы научного поиска.
Индивидуальные задания для мини исследовательской работы:
1, 2 вариант – минимальный уровень
3, 4 вариант – базовый уровень
5, 6 вариант - углубленный уровень
Задание: исследовать и построить график
функции
1.
4.
2.
5.
6.
3.
3. Электронные тесты по теме «Применение
производной к исследованию функций»
(Приложение 1)
4. Творческое задание (слайд 21)
Контроль и
оценка
процесса
и
результатов
деятельности;
структурирован
ие знаний;
выбор
эффективных
способов
решения задачи
в зависимости
от конкретных
условий.
построение
логической
цепи
рассуждений.
Самостоятельн
ое
создание
алгоритмов
деятельности
при решении
проблем
творческого и
поискового
характера,
поиск
и
выделение
необходимой
информации.
Оценка
(осознание
Отыщите функцию в таблице, исходя из её
«автобиографии». Найдите область определения,
корень, точку разрыва, промежуток возрастания и
убывания.
Я – функция сложная, это известно,
Ещё расскажу, если вам интересно,
Что точку разрыва и корень имею,
И есть интервал, где расти не посмею.
Во всём остальном положительна, право,
И это, конечно, не ради забавы.
Для чисел больших я стремлюсь к единице.
Найдите меня среди прочих в таблице.
IV. Инструктаж домашнего задания (слайд 22)
УРОВЕНЬ А
1. Исследовать и построить график функции
а) у = (х+1)3(х-2)
б) у = (х+2)2(х-2)
2. Нестандартное задание:
составить формулу, задающую функцию, графиком
которой была бы прямая с выколотой точкой.
УРОВЕНЬ Б
1.Исследовать и построить график функции
качества и
уровня
усвоения);
структурирован
ие знаний;
выбор
эффективных
способов
решения задачи
в зависимости
от конкретных
условий.
Постановка
учебной задачи
на основе
соотнесения
того, что уже
известно
учащимся, и
того, что
предстоит
x2  5
узнать;
а) f ( x) 
2 x
поиск и
x2  3
выделение
б) f ( x) 
x 1
необходимой
2. Нестандартное задание:
информации;
составить формулу, задающую функцию, графиком самостоятельно
которой была бы одна точка.
е создание
УРОВЕНЬ В
алгоритмов
1. Исследовать и построить график функции
деятельности
а) f ( x)  x 2 1  2 x
при решении
2
б) f ( x)  4 x 1  4 x
проблем
творческого и
2. Нестандартное задание:
отыскать функции, описывающие реальные физические поискового
процессы, которые вы изучали на уроках физики, и характера,
поиск и
исследуйте их.
V. Подведение итогов урока (слайд 23)
Заслушиваются оценки учеников.
Рефлексия.
Как вы считаете, кто из вас работал в полную силу
своих возможностей, чувствовал себя уверенно?
А кто из вас работал хорошо, но не полную силу,
испытывал чувство неуверенности, боязни, что отвечу
неправильно?
А у кого из вас не было желания работать, то есть
сегодня не ваш день?
Я хочу вам пожелать, чтобы у вас была только
положительная производная, чтобы знания ваши только
возрастали. Спасибо за урок.
выделение
необходимой
информации.
Анализ
деятельности;
выделение и
осознание
учащимися
того, что уже
усвоено и что
ещё подлежит
усвоению,
осмысление
полученных
знаний.