Примеры исследования функций с помощью производных и

Примеры исследования функций с помощью производных и построение
графиков.
х
Пример 1.Исследовать функцию у =
х3
Решение. 1) Функция у =
3
( х  1)
и построить ее график.
2
определена всюду, кроме точки x=1. Отсюда область определения
( х  1) 2
её: (–,1) (1,+) .
2) x=1 – точка разрыва функции.
Исследуем поведение функции в граничных точках области определения:
х
lim f (x) = lim
x10
x10
lim f (x) =
( х  1)
х
lim
x10
3
x10
2
= +,
3
( х  1)
так как при
= +,
2
х1 знаменатель дроби является положительной
бесконечно малой.
lim
x
х
3
( х  1)
х
2
= lim
x
х
 1
х 1  
 x
2
= lim
x
2
3
х3
x
1  1 
 x


2
=+;
x
=–.
2
x
1
1

х 1  
1  x 
x



3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. При х = 0 получаем у = 0, т.е.
график функции пересекает координатные оси в точке O(0,0).
4) Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции.
Найдем наклонные асимптоты:
lim
x
( х  1)
2
= lim
3
x
2
2
= lim
3
х
f ( x ) = lim
= lim
2
x


x
( х  1)  x x
k= lim
x
х
2
1
2
х 1  
 x
2
= lim
x
1
1  1 


 x
2
= 1, т.е. k =1;
3
2
3
2
 х3

х  x( х  1)
х  x( х  2 x  1)
=
=
=

x
lim
lim

 x
2
2
x
x ( х  1) 2
x
( х  1)
( х  1)


1
1
2
х 2  
2
3
3
2
2
x
х  х  2х  x
2х  x

x =2,
= lim
= lim
= = lim
= lim
2
2
2
2
x
x


x


x


( х  1)
( х  1)
1
1  1 
2
х 1  


 x
 x
b = lim
( f (x)– kx ) = lim
т.е. b=2. Имеем уравнение правой наклонной асимптоты y = x+2.
Легко убедиться, что при x – k и b имеют те же значения, т.е. уравнение левой наклонной
асимптоты такое же y = x+2.
2
5) Найдем производную функции: y' =
=

( x  1) 3 х 2 ( x  1)  2 х 3
2
3
3 х ( х  1)  х  2( x  1)
 = 3х 3  3х 2  2 х 3
( х  1)
3
х  3х
=
2
.
4
3
3
( х  1)
( х  1)
( х  1)
Приравнивая y' к нулю, получим x3–3x2=0, откуда имеем критические точки x1=0, x2=3. Для
исследования знака производной в интервале (–;0), (0;3) и (3; +) на числовой оси отметим точки x=0, x=3
и х=1.
Определим знаки y' =
+
х 2  x  3
( х  1) 3
0
в указанных интервалах.
–
+
1
=
4
+
3
x
Таким образом, в интервале (–;1) функция возрастает, в интервале (1,3) – убывает, в интервале (3,+ )
она возрастает. В точке x=3 функция имеет минимум: f (3) =
3
3
(3  1)
2
= 27 = 6,75.
4
6) Найдем вторую производную:
/
 х  3х  = (3х
y''= 

(
х

1
)


3
2
2
 6 x)( х  1) 3  ( х 3  3х 2 )3( х  1) 2
3
3
2
2
3
3х  6 х  3х  6 x  3х  9 х
( х  1)
6
2
6x
= =


( х  1) 2 (3х 2  6 x)( x  1)  ( х 3  3х 2 )  3
=
( х  1)6
, y''=0 при x=0. Так как знаменатель дроби (x–1)4>0 всегда
4
( х  1)
( х  1)
(кроме x=1), то знак второй производной зависит лишь от числителя. При x<0 y''<0, при x>0 y''>0.
Точка x=0 является точкой перегиба. При x<0 кривая направлена выпуклостью вверх, так как y''<0, а
при x>0 – выпуклостью вниз. В точке перегиба f (x) имеет значение f (0)=0.
Результаты наших исследований объединим в таблицу.
x
0
(0,1)
1
(1,3)
3
(–,0)
(3,+)
y' +
0
+
–
0
+
y'' –
0
+
+
+
y 
точка
не
суще–
min
 ствует


перегиба
Строим график функции, предварительно построив асимптоты и отметив точки минимума, перегиба и
пересечения графика с осями координат.
=
4
=
Пример 2. Исследовать функцию x  2arctgx и построить ее график.
1. Область определения: (;) .
x  0 , тогда y=0.Пусть y=0, тогда x  2arctgx  0 - решить уравнение точно не удается.
Найдена точка (0;0) пересечения графика с осями координат.
3. y ( x)   x  2arctg ( x)  ( x  2arctgx)   y ( x) – функция нечетная.
2. Пусть
4. Функция непрерывна во всей области определения. Вертикальных асимптот нет.
5. Невертикальные асимптоты.
y  kx  b .
k  lim
x  
f ( x)
f ( x)
x  2arctgx
2arctgx
 lim
 lim
 lim (1 
)  1,
x


x


x


x
x
x
x
b  lim ( x  2arctgx  x)  2 lim arctgx  2 
x  
x  

2
  .

b  lim ( x  2arctgx  x)  2 lim arctgx  2  ( )   .
x  
x  
2
y  x   - асимптота при x   , y  x   - асимптота при
x   .
2
x2  1
2
6. y '  1 
; 1  x  0 при x  (;) .

2
2
1 x
1 x
y ' 0 , если x 2  1  0 , откуда x  1 и x  1 - критические точки. Нанесем критические точки на
числовую прямую и определим знаки производной в образовавшихся интервалах.
+
-
+
1
На интервалах ( ;1) и (1;) функция возрастает, а на интервале (1;1) – убывает.
-1
Ymax (1)  1  2arctg (1)  1 
7.
y' ' 

2
 0,57 , Ymin (1)  1  2arctg1  1 

2
 0,57
4x
; y ' '  0 , если 4x  0 , откуда x  0 - критическая точка второго порядка. Нанесем
(1  x 2 ) 2
ее на числовую прямую и определим знаки второй производной в образовавшихся интервалах.
-
+
0
На интервале (;0) график выпуклый, а на интервале (0;) - выгнутый. (0;0) - точка перегиба.
8. lim ( x  2arctgx)   , lim ( x  2arctgx)   .
x  
x  