ПРОГРАММА ЭКЗАМЕНА ПО КУРСУ "Высшая математика (теория вероятностей и мат. статистика)" для студентов 2 курса дневного отделения экономфака (специальность "Менеджмент организаций") 2009-2010 учебный год, 2-й семестр, преподаватель – доцент Ю.С.Налбандян ЛИТЕРАТУРА 1. Общий курс высшей математики для экономистов. Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2000. 2. Сборник задач по высшей математике для экономистов. Под ред. В.И.Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2001. 4 Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая школа, 1977 или любое позднее издание. 5 Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М., Высшая школа, 1977 или любое более позднее издание. 6 Луценко А.И. Задачи по теории вероятностей. Ростов-на-Дону, 1998 (2003). УРОВЕНЬ «3» ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ (все без доказательства) 1. Перестановки, сочетания и размещения (определение и примеры). 2. События (достоверные, невозможные, случайные, несовместные). 3. Классическое определение вероятности, свойства вероятности. 4. Произведение событий, условная вероятность, зависимые события, теорема умножения. Независимые события и вероятность их произведения. 5. Сумма и произведение событий. Формулировки теорем сложения для несовместных и совместных событий (с соответствующими определениями, включая следствия). 6. Полная группа событий, противоположные события, вероятности событий полной группы и противоположных событий. 7. Формула полной вероятности и формула Байеса. 8. Формула Бернулли и формула Пуассона. (с описанием ситуации, в которых они применяются). 9. Локальная теорема Лапласа, функция (x) и ее свойства. 10. Интегральная теорема Лапласа, функция (x) и ее свойства. 11. Независимые и взаимно независимые случайные величины. 12. Дискретные случайные величины, закон распределения, функция распределения, многоугольник распределения 13. Определения и основные свойства математического ожидания и дисперсии (перечислять, уметь применить). 14. Определение, формула для вычисления и основные свойства дисперсии (перечислять, уметь применить), среднее квадратическое отклонение. 15. Непрерывная случайная величина (НСВ), ее функция распределения (понятие и основные свойства). 16. НСВ, ее плотность распределения (понятие, связь с функцией распределения, основные свойства). 17. Равномерное распределение (постановка задачи, плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия). 18. Экспоненциальное распределение (плотность распределения, функция распределения, математическое ожидание и дисперсия). 19. Нормальное распределение (плотность распределения, математическое ожидание и дисперсия). 20. Вероятность попадания нормально распределенной НСВ в числовой интервал, вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ от ее математического ожидания по модулю меньше заданного числа. 21. Определения генеральной совокупности, выборки, повторной, бесповторной, репрезентативной выборки. 22. Вариационный и интервальный вариационный ряд, понятие вариант, частот, относительных частот, полигона частот и относительных частот, гистограммы частот и относительныхчастот. 23. Эмпирическая и теоретическая функции распределения и связь между ними. 24. Определения несмещенных, смещенных, эффективных, состоятельных оценок. 25. Среднее выборочное и его несмещенность, выборочная дисперсия и ее смещенность, несмещенная выборочная дисперсия, среднее квадратическое и исправленное среднее квадратическое 26. Теоретические моменты (определения начальных моментов к-го порядка, центральных моментов к-го порядка, примеры из числовых характеристик случайных величин), суть метода моментов. 27. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении при известной и неизвестной генеральной дисперсии. 28. Доверительная вероятность (надежность), доверительный интервал. Определение доверительного интервала для оценки среднего квадратического отклонения при нормальном распределении 29. Определение статистических гипотез, нулевой и конкурирующей гипотез, ошибок 1-го и 2-го рода. 30. Понятия статистического критерия, критической области, области принятия решения, критических точек и уровня значимости, неравенства для поиска критических точек. ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ - задачи на применение утверждений и формул вопросов 1-10, 17-120; - составление законов распределения ДСВ, вычисление их числовых характеристик (математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения), построение многоугольника распределения и функции распределения; - вычисление числовых характеристик НСВ, определение плотности распределения по известной функции распределения и функции распределения по известной плотности; использование свойства плотности для определения параметров закона распределения ; - определение вероятности попадания значения НСВ в заданный числовой интервал (для произвольного закона по общей формуле, а также для равномерного, экспоненциального и нормального распределений); - для дискретного вариационного ряда построение полигона частот (относительных частот), вычисление точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии, выборочного среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения); - для интервального вариационного ряда, построение гистограммы частот (относительных частот), вычисление точечных оценок (выборочного среднего, выборочной дисперсии и несмещенной дисперсии, выборочного среднего квадратического отклонения и исправленного среднего квадратического отклонения); - применение метода моментов для оценки параметров распределения генеральной совокупности; - определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. УРОВЕНЬ «4» И «5» (если нет положительной оценки по семестру – то дополнительно к основной части) Теорема сложения вероятностей для совместных событий (с доказательством). Биномиальный закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства вероятностей, построение закона распределения в конкретных случаях, вывод формул для определения математического ожидания и дисперсии). Геометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, проверка свойства вероятности, построение закона распределения в конкретных случаях). Гипергеометрический закон распределения (постановка задачи, общие формулы, построение закона распределения в конкретных случаях). Независимые случайные величины, их сумма и произведение, доказательство теорем о M(X+Y), M(XY). Определение дисперсии, вывод формулы для ее вычисления. Свойства дисперсии и математического ожидания (с доказательствами), их применение. Теоретические моменты (определения начального момента k-го порядка, центрального момента k-го порядка, вывод формул для вычислений центральных моментов 2-го и 3-го порядков через начальные моменты и проведение вычислений). Непрерывная случайная величина, функция распределения , плотность распределения и их свойства (с доказательствами) Вывод формул для вычисления математического ожидания и дисперсии для равномерного закона распределения. Вероятность того, что отклонение нормально распределенной НСВ от ее математического ожидания по абсолютной величине меньше заданного числа (с выводом) и правило трех сигм, применение формул. Практическое определение доверительного интервала для оценки математического ожидания при нормальном распределении при известной и неизвестной генеральной дисперсии, для оценки среднего квадратического отклонения при нормальном распределении. Проверка статистических гипотез в случаях: А) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии; Б) сравнение выборочной средней с гипотетической генеральной средней при известной генеральной дисперсии; В) сравнение исправленной выборочной дисперсии с гипотетической генеральной дисперсией нормальной совокупности.