    1

Задача 1. Провести полное исследование функции
и построить ее график
Решение.
1. Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки x  1
D( y)   ; 1  1;  
2. f ( x)   f ( x), č f ( x)  f ( x) Функция аморфна.
3. При y  0  x  0 - график проходит через начало координат.
4. Прямая x  1 являются вертикальной асимптотой графика функции:
lim
x10
 x6
1  x 
6

1
1  1
0
6

1
 
0
Найдем горизонтальные асимптоты.
x6
 6
 x6
 
x
lim
    lim 6
 1
6
5
x 
x

 x 6 x 15 x 4

1  x    
 x6  x6  x6  


Уравнение горизонтальной асимптоты: y  1.
f ( x)
 x6
k  lim
 lim
 0 - наклонных асимптот нет.
6
x
x 
x
1

x

x
 
5. Найдем первую производную функции
6 x5 1  x   6 x6 1  x 
6
y 
5
1  x 
12
6 x5 1  x  1  1  x 
5

1  x 
12

6 x5
1  x 
7
Найдем нули производной y  0,  x  0 - стационарная точка функции
Найдем интервалы монотонности и экстремумы
y  1  0,
y  0,5  0, y  2   0.
x  0 - точка максимума, y  0   0 ; на интервале  ; 0  1;   функция возрастает;
на интервале  0; 1 функция убывает.
6. Найдем вторую производную функции
 6 x5  30 x 4 1  x 7  42 x5 1  x 6 6 x 4  2 x  5 
y  

 
14
8
 1  x 7 
1

x


1  x 


x  5 2
Вторая производная обращается в ноль при 
x  0
x   5 2 -точка перегиба y   5 2   0,133
y  3  0,
y  2   0,
y  0,5  0, y  2   0
В точке x  0 нет точки перегиба, поскольку при переходе через эту точку знак 2-ой
производной не меняется.
 ,  2,5  1,   - интервал вогнутости графика функции;
 2,5; 0  0; 1 - интервал выпуклости графика функции.
7. Используя результаты исследования, строим график
Задача 2. Провести полное исследование функции
и построить ее
график
Решение.
1. Функция определена и непрерывна на всей оси Ох, кроме точек x   4 3  1,316

 
 
D( y)  ;  4 3   4 3; 4 3 
4
3; 

f ( x)  f ( x) - Функция четная, ее график симметричен относительно оси Ох.
2.
3. Если y  0  x   4 2;

4
 
2; 0 ,
4

2; 0 - точки пересечения графика с осью Ох.
4. Прямые x   4 3, x  4 3 являются вертикальными асимптотами графика функции.
4
x
4
3 0 x
lim
4
x 
 2 

3

4
4

3  0
4
3 0 2
4
3

302 1


3  0  3 0
x  2   3  0  2 3  0  2 1
lim



 
x 3
3

0

3

0
  3  0  3
x  2  3  0  2 3  0  2 1
lim



 
x 3
3

0

3

0
 3  0  3
x  2  3  0  2 3  0  2 1
lim




x 3
3

0

3

0
 3  0  3
4
x  4 3  0
4
4
4
4
4
4
4
4
x 4 3 0
4
4
4
x  4 3 0
4
4
4
4
4
4
Найдем горизонтальные асимптоты.
x4 2
 4
4
x4  2   
x
lim 4
    lim 4 x  1
x  x  3
   x x  3
x4 x4
Уравнение горизонтальной асимптоты: y  1.
f ( x)
x4  2
k  lim
 lim 4
 0 - наклонных асимптот нет.
x 
x  x  3 x
x


5. Найдем первую производную функции
y 
4 x 3  x 4  3  4 x 3  x 4  2 
x
4
 3
2

4 x3
x
4
 3
2
Найдем нули производной y  0,  x  0 - стационарная точка функции
Найдем интервалы монотонности и экстремумы
y  2   0,
y  1  0
y 1  0, y  2   0.
2
x  0 - точка максимума, y  0   ; на интервале  ;  4 3     4 3; 0  функция
3

возрастает; на интервале 0;
4
 
3 
4

3;  функция убывает.
6. Найдем вторую производную функции

 12 x 2  x 4  32  4 x3  8 x3  x 4  3 4 x 2  5 x 4  9 
3

4
x
 
y  

4
3
4
4
  x 4  3 2 
x

3
x

3






Вторая производная обращается в ноль при x  0 , но точки перегиба в ней нет,
поскольку справа и слева от этой точки знак 2-ой производной не меняется.
y  2   0,
y  1  0,
y 1  0, y  2   0
 ,  3    3,  - интервал вогнутости графика функции;
  3;0   0; 3  - интервал выпуклости графика функции.
4
4
4
4
7. Используя результаты исследования, строим график
Задача 3. Провести полное исследование функции
и построить ее график
Решение.
1. Функция определена и непрерывна на всей оси, кроме точки x  0
D( y)   ; 0    0;  
2. f ( x)   f ( x), č f ( x)  f ( x) - Функция аморфна.
3. При y  0  x  2 - в этой точке график пересекает ось Ох.
4. Прямая x  0 являются вертикальной асимптотой графика функции:
1
1
2
x
0
lim  x  2  e   0  2   e  2e    0
x0
e
1
x
1
0
lim  x  2  e   0  2   e  2e  
x0
Найдем горизонтальные асимптоты.
1



lim  x  2  e     e    - горизонтальных асимптот нет.
x 


1
x
Найдем уравнение наклонной асимптоты.
k  lim
x 
1
x
f ( x)
 x  2 e  1 .
 lim
x 
x
x
1
1
  1x 



x
b  lim  f ( x)  k x   lim   x  2  e  x   lim  x  e  1  2e x  


x 
x 

 x  


 1

 ex 1


 lim 2e  lim  e  1  x  2  lim 

x 
x 
x
1




 x 
1
x
1
x
1
 1x 
 1 
ex   2 
 e  1
0
  2  lim
 x   2 1  3
 2     2  lim 
x 
x 
 1 
0
 1 
 2

 
x 

 x
Уравнение наклонной асимптоты: y  x  3
5. Найдем первую производную функции
1
x  2 1x
x  2  1x  x 2  x  2  1x  x  2  x  1

x
y  e  2 e  e  1  2   e 
e
2
x
x 
x
x2



1
x
x  2
- стационарные точки функции
 x  1
Найдем нули производной y  0,  
Найдем интервалы монотонности и экстремумы
y  3  0, y  0,5  0, y 1  0,
y  3  0
x  1 - точка максимума, y  1  0,368 ; x  2 - точка минимума, y  2   6,595 .
На интервале  ; 1   2;   функция возрастает; на интервале  1; 0   0; 2
функция убывает.
6. Найдем вторую производную функции
2
2
 1x  x 2  x  2  
1 1x  x 2  x  2  1x   2 x  1 x  2 x  x  x  2   1x  5 x  2 
e  4 
y   e 
   2 e 
  e 
2
2
4

x
x
x
x
 x 








Вторая производная обращается в ноль при x   2 5 -точка перегиба
y   2 5  0,131
y  2   0,
y 1  0
 ,  2 5 - интервал выпуклости графика функции;
  2 5,   - интервал вогнутости графика функции.
7. Используя результаты исследования, строим график
Задача 4. Провести полное исследование функции
и построить ее график
Решение.
1.
2.
3.
4.
Область определения функции D( y)   0;  
f ( x)   f ( x), č f ( x)  f ( x) - Функция аморфна.
При y  0  x  1 . 1; 0  - точка пересечения графика с осью Ох
Прямая x  0 являются вертикальной асимптотой графика функции:
Найдем горизонтальные асимптоты.
1

ln x   
 ln x   lim x  lim 1  0
lim 2     lim
2
x  x
   x x 2  x 2 x x x
 
y  0 -уравнение горизонтальной асимптоты
1

f ( x)
ln x
 ln x   lim x  lim 1  1  0 - наклонных асимптот нет.
k  lim
 lim 3  lim
x 
x x
x
x 2 x 2
x  2 x 3
x

3 
x
 
5. Найдем первую производную функции
1 2
x  2 x  ln x
1  2  ln x
x
y 

4
x
x3
Найдем нули производной y  0, ln x  1 2,  x  e  1,649 - стационарная точка
функции
Найдем интервалы монотонности и экстремумы
y 1  0, y  e   0
x  e - точка максимума, y
на интервале


 e   0,184 . На интервале 0; e  функция возрастает;
e ;  функция убывает.
6. Найдем вторую производную функции
 1  2  ln
y  
x3

2
 x3  3x 2 1  2  ln x 
x 
6  ln x  5
x



x6
x4

Вторая производная обращается в ноль при ln x  5 6  x  e5 6  2,301 -точка
перегиба
y 1  0,
y  e   0
 0, e  - интервал выпуклости графика функции;
 e ,   - интервал вогнутости графика функции.
56
56
7. Используя результаты исследования, строим график