Новый численный метод решения интегральных уравнений

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Численные методы решения линейных интегральных
уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода.
А.Ф. Латыпов
Институт теоретической и прикладной механики СО РАН им. С.А. Христиановича,
ул. Институтская, 4/1, 630090, Новосибирск, Россия
E-mail: [email protected]
Решения интегральных уравнений Фредгольма и Вольтерра 1-го рода строятся в классе
кусочно-постоянных функций. В основе методов лежит условие равенства нулю средних
значений «невязок» уравнений на каждом интервале из множества разбиений области
построения решения. Число интервалов N и их распределение при заданном числе
определяются из условия минимума среднеквадратичной по всей области «невязки». Решения
строятся для последовательности значений N, квазиоптимальные распределения определяются
численно методом покоординатного спуска. Приводятся примеры решения двух модельных
задач и задачи восстановления аэродинамических нагрузок при испытаниях моделей в
аэродинамических трубах кратковременного действия (ПМТФ,2006, №5).
1. Решение g  ,  a,b интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода вида
b
 K x ,  g   d  f x , x  c , d ,
(1.1)
a
будем искать в классе кусочно-постоянных функций, ядро K x,  и правая часть f x  –
известные интегрируемые функции. Разобьем отрезок a ,b на n интервалов, y j – точки
разбиения, номера интервалов,
g    g j  const , и обозначим
j  1, n  1, y1  a , y n1  b . Пусть на
j -ом интервале
y j 1
 K x ,  d  k j x , y j , y j 1 .
yj
Тогда уравнение (1.1) запишется в следующем виде
z x    k j x , y j , y j 1  g j  f x   0 .
n
(1.2)
j 1
Разобьем отрезок c , d  также на n интервалов, x i – точки разбиения, номера интервалов,
i  1, n  1, x1  c , xn1  d . Примем, что на каждом i -ом интервале уравнения (1.2)
удовлетворяются в «среднем», т.е.
1
z x  
xi
xi 1
 z x  dx  0 .
xi
Обозначая
k j x , y j , y j 1  
 
1
xi
матрицу M  k ij y j , y j 1

 k j x , y j , y j 1 dx  k ij y j , y j 1 , f x  
xi 1
xi
 
1
xi
xi 1
 f x  dx 
fi ,
xi
и матрицы-столбцы G  g j , F   f i  , получим из
(1.2)
уравнение
M G  F .
Решение уравнения (1.3)
G  M 1  F
(1.3)
(1.4)
 
зависит от числа разбиений n и распределений точек разбиения интервалов, xi  и y j .
Введем функционал
 n , xi , y j    z 2 x  dx .
d
c
Задача
*  inf  n , xi , y j , xi 1  xi  xi 1 , y j 1  y j  y j 1 ; i , j  2 , n
(1.5)
n , xi , y j
дает искомое решение. Задача (1.5) решается приближенно, т.к. получение точного решения
требует большого объема вычислений.
2. Решение g  ,  a,b интегрального уравнения Вольтерра 1-го рода вида
x
 K x ,  g   d  f x , x ,  a , b,
(2.1)
a
будем искать в классе кусочно-постоянных функций, ядро K x,  и правая часть f x  –
известные интегрируемые функции. Разобьем отрезок a ,b на n интервалов, x i – точки
разбиения, номера интервалов,
g    g i  const , и обозначим
i  1, n  1, x1  a , x n 1  b . Пусть на
i -ом интервале
xi 1
 K x ,  d  ki x , xi , xi 1  .
xi
Пусть на отрезках xl , xl 1 решения g l  определены, l  0 ,i  1 . Тогда функция «невязки»
zx  для i -го интервала записывается в следующем виде
z x   Qi x   k i x , xi , xi 1  g i , x  xi , xi 1 ,
i 1
Qi x    k l x , xl , xl 1  g l  f x 
.
(2.2)
l 1
Используя условие zx   0 , получим
g i    k i x , xi , xi 1   1   Q i  , i  1, n .
(2.3)
Решение зависит от количества интервалов n и распределения их длин. Далее, как в п.1.
Функционал среднеквадратичной «невязки» – многоэкстремальная функция. Это
обстоятельство необходимо учитывать при выборе метода решения задачи (1.5). В данной
работе используется алгоритм покоординатного сканирования функционала в заданном числе
точек с выбором лучшей точки для последовательности значений n . В общем случае алгоритм
не позволяет получить глобальный минимум функционала, поскольку для этого требуется
громадный объем вычислений. Однако по сравнению с алгоритмами поиска локального
экстремума он дает существенно меньшие значения функционала.