Оценочные средства для текущего контроля успеваемости и промежуточной аттестации Текущая аттестация проводится еженедельно. Критерии формирования оценки – посещаемость занятий, активность студентов на семинарских занятиях, уровень подготовки к семинарским занятиям, выполнение домашних заданий. Примеры домашних задач содержатся в разделах «Задачи для самостоятельного решения» в учебном пособии Волков В.Т., Ягола А.Г. «Интегральные уравнения. Вариационное исчисление (методы решения задач).» М.: КДУ, 2009., доступном по адресу http://yagola.professorjournal.ru/integral_equation Промежуточная аттестация проводится в середине (по 1 части курса - интегральным уравнениям) и в конце семестра (по второй части курса – вариационному исчислению) в форме контрольных работ с оценкой. Критерии формирования оценки – уровень знаний пройденной части курса. Примерные варианты контрольных работ: Контрольная работа №1 (интегральные уравнения) 1. Найти характеристические числа и собственные функции y ( x) sin x sin s s y ( s) ds . 2. Исследовать разрешимость при различных значениях и решить интегральное 1 уравнение Фредгольма 2-го рода y ( x) (2 xs 3 5 x 2 s 2 ) y( s) ds x 2 . 1 3. Решить уравнение Фредгольма y ( x) 1 2 K ( x, s) y(s) ds sin 2 x с 0 симметрическим непрерывным x (1 s), K ( x, s) s(1 x), ядром x, s0;1 . 0 x s s x 1 , 4. Построить резольвенту уравнения Фредгольма y ( x) cos( x s) y ( s) ds f ( x) . 0 5. Проверить, что 0 не является собственным значением оператора L[ y ] y с указанными граничными условиями, и свести задачу Штурма-Лиувилля к интегральному уравнению Фредгольма с симметрическим ядром: 2x y e y 0, 0 x 1; y(0) 0, y(1) 2 y (1) 0 . 6. Найти собственные значения и собственные функции задачи ШтурмаЛиувилля: y(0) 0, y (2) 0 ; а) y y 0 , y (0) y (0), y( ) 0 ; б) y y 0 , y (0) y (l ), y(0) y(l ) . в) y y 0 , Контрольная работа №2 (вариационное исчисление) 2 1. Исследовать на экстремум функционал V [ y ] ( x 2 y ' 2 12 y 2 sin 3x)dx в 1 задаче с закрепленными концами y (1) 1 , y (2) 8 . Достаточные условия проверить с помощью функции Вейерштрасса. 1 2. Исследовать на экстремум функционал V [ y ] ( y '3 y ' 2 )dx в задаче с 1 3. y (1) 1 , y (1) 3 . закрепленными концами Достаточные условия проверить в форме Лежандра. Найти минимальное расстояние от прямой y 2 x 4 до параболы y x2 1 . 1 4. Исследовать на экстремум функционал V [ y, z ] ( y '2 z '2 1)dx с условиями 0 y (0) 0 , y (1) 2 , z (0) 0 , z (1) 0 и голономной связью y z 2x2 1 5. Исследовать на экстремум функционал V [ y, z ] ( y'z ' )dx с условиями 0 1 1 xydx 0 , xzdx 0 , 0 y (0) 0 , y (1) 0 , z (0) 0 , z (1) 1 . 0 Итоговая аттестация - экзамен. Экзамен по курсу "Интегральные уравнения. Вариационное исчисление" состоит из 2-х частей. 1-я часть экзамена – письменная работа на знание определений, формулировок теорем и имение решать простые задачи. 2-я часть экзамена - теоретическая. К ней допускаются только студенты, успешно выполнившие первую. Для получения оценки "хорошо" и "отлично" необходимо уметь доказывать утверждения и теоремы, включенные в изучаемый курс. Полный перечень вопросов и задач к первой и второй части экзамена доступен по адресу: http://yagola.professorjournal.ru/integral_equation Образец билета первой части экзамена 1. 2. Записать интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода. Найти норму функции y sin x cos x в пространстве C[0, 2 ] . 3. Найти характеристические числа и собственные функции y ( x) cos( x s) y ( s) ds . 0 4. 5. Сформулировать определение сжимающего оператора. Сформулировать теорему о необходимом условии экстремума функционала b V [ y ] F ( x, y, y) dx в задаче с закрепленными концами y (a) A, y (b) b . a 6. Сформулировать постановку задачи поиска экстремума функционала b B[ y ] V [ y] 1 y2 dx , считая, что левый конец закреплен, а правый - подвижен. a Образец билета второй части экзамена: 1. Описать процесс построения собственных значений и собственных функций вполне непрерывного самосопряженного оператора A , действующего в бесконечномерном евклидовом пространстве. 2. Доказать, что любое интегральное уравнение Фредгольма 2 рода y A y f с невырожденным ядром при фиксированном можно заменить эквивалентным интегральным уравнением с вырожденным ядром. 3. Доказать, что необходимым условием экстремума функционала является равенство нулю его вариации при условии, что вариация существует.