РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
«УТВЕРЖДАЮ»:
Проректор по учебной работе
_______________________ /Волосникова Л.М.
__________ _____________ 201__г.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010800.62 «Радиофизика»
очная форма обучения
«ПОДГОТОВЛЕНО К ИЗДАНИЮ»:
Автор (ы) работы ___________________/Спиридонова Н.А./
«__»___________2011 г.
Рассмотрено
на
заседании
кафедры
математического
моделирования
«__»___________2011 г., протокол №____.
Соответствует требованиям к содержанию, структуре и оформлению.
«РЕКОМЕНДОВАНО К ЭЛЕКТРОННОМУ ИЗДАНИЮ»:
Объем ______стр.
И.о зав. кафедрой _________________ /Татосов А.В./
«______»___________ 2011 г.
Рассмотрено на заседании УМК института математики, естественных наук и
информационных технологий «____»______________ 2011 г., протокол №____.
Соответствует ГОС ВПО и учебному плану образовательной программы.
«СОГЛАСОВАНО»:
Председатель УМК _________________/Глухих И.Н./
«______»_____________2011 г.
«СОГЛАСОВАНО»:
Зав. методическим отделом УМУ_____________/Федорова С.А./
«______»_____________2011 г.
РОССИЙСКАЯ ФЕДЕРАЦИЯ
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ТЮМЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Институт математики, естественных наук и информационных технологий
Кафедра математического моделирования
СПИРИДОНОВА Н.А.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Учебно-методический комплекс. Рабочая программа
для студентов направления 010800.62 «Радиофизика»
очная форма обучения
Тюменский государственный университет
2011
Спиридонова Н.А. Интегральные уравнения и вариационное исчисление. Учебнометодический комплекс. Рабочая программа для студентов направления 010800.62
«Радиофизика», очная форма обучения. Тюмень, 2011 г., 7 стр.
Рабочая программа составлена в соответствии с требованиями ГОС ВПО с учетом
рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению и профилю подготовки.
Рабочая программа опубликована на сайте ТюмГУ: Интегральные уравнения и
вариационное
исчисление
[электронный
ресурс]
/
Режим
доступа:
http://www.umk.utmn.ru., свободный.
Рекомендовано к изданию кафедрой математического моделирования. Утверждено
проректором по учебной работе Тюменского государственного университета.
ОТВЕТСТВЕННЫЙ РЕДАКТОР: и.о. зав. кафедрой математического моделирования,
д.ф.-м.н., доцент Татосов А.В.
© Тюменский государственный университет, 2011.
© Н.А. Спиридонова, 2011.
1. Цели и задачи курса
Целью курса «Интегральные уравнения и вариационное исчисление» является
изучение основных видов интегральных уравнений и их приложений, а так же основ
вариационного исчисления.
Основная задача учебного курса: освоение классических и современных методов
исследования в области интегральных уравнений и вариационного исчисления в целом.
2. Тематический план
1
4
Модуль 1
1. Классификация
линейных 12
интегральных уравнений.
2
2. Уравнения Фредгольма второго 32
рода.
4
Всего
4
Модуль 2
3. Линейные операторы.
52
6
4. Уравнение Вольтерра.
72
8
5. Задача Штурма – Лиувилля.
92
10
6. Понятие о корректно и
111
некорректно поставленных
12
задачах.
Всего
7
Модуль 3
7. Задачи с закрепленными
132
границами.
14
8. Задачи с подвижными
152
границами.
16
9. Задачи на условный экстремум. 172
18
Всего
6
Итого (часов, баллов):
17
3
Самостоятел
ьная работа
3
Практически
е занятия
2
Виды учебной работы и Итого
самостоятельная
часов
работа, в час.
по
теме
Лекции
Тема
недели семестра
№
Итого
количес
тво
баллов
5
6
7
9
2
2
6
0-10
2
4
8
0-15
4
6
14
0-25
2
2
6
0-5
2
4
8
0-10
2
2
6
0-5
1
4
6
0-20
7
12
26
0-40
2
2
6
0-10
2
4
8
0-10
2
2
6
0-15
6
17
8
26
20
60
0-35
0-100
3. Содержание программы курса по темам
1. Классификация линейных интегральных уравнений.
Уравнения Фредгольма первого и второго рода. Примеры задач, приводящих к
интегральным уравнениям.
2. Уравнения Фредгольма второго рода.
Метод определителей Фредгольма. Построение резольвенты при
итерированных ядер. Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
помощи
3.Линейные операторы.
Принцип сжимающих отображений. Линейный оператор. Метрическое
пространство. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных
приближений.
4. Уравнения Вольтерра.
Уравнения Вольтерра второго рода. Решение уравнений Вольтерра с помощью
резольвенты.
5. Задача Штурма – Лиувилля.
Характеристические числа. Собственные функции. Сведение краевой задачи к
интегральному уравнению. Однородное уравнение Фредгольма второго рода.
6. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах.
Корректно и некорректно поставленные задачи. Уравнение Фредгольма первого
рода как пример некорректно поставленной задачи.
7. Задачи с закрепленными границами.
Необходимое и достаточное условие экстремума. Понятие функционала. Вариация
функционала. Задача с закрепленными границами. Необходимое условие
экстремума. Уравнение Эйлера. Поле экстремалей. Достаточные условия
экстремума.
8. Задачи с подвижными границами.
Простейшая
вариационная
задача
с
подвижной
границей.
Условие
трансверсальности. Вариационная задача с подвижной границей для функционала,
зависящего от нескольких неизвестных функций.
9. Задачи на условный экстремум.
Задачи на условный экстремум. Изопериметрические задачи.
4. Планы практических занятий
1. Классификация линейных интегральных уравнений. (2 часа)
1. Уравнения Фредгольма первого и второго рода.
2. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям.
4
1.
2.
1.
2.
1.
2.
3.
1.
2.
3.
1.
2.
1.
2.
2. Уравнения Фредгольма второго рода. (2 часа)
Решение уравнений Фредгольма второго рода при помощи резольвенты.
Уравнения с вырожденным ядром.
3. Линейные операторы. (2 часа)
Решение уравнений Фредгольма методом последовательных приближений.
4. Уравнение Вольтерра. (2 часа)
Решение уравнений Вольтерра при помощи резольвенты.
Метод последовательных приближений.
5. Задача Штурма – Лиувилля. (2 часа)
Нахождение характеристических чисел и собственных функций.
Сведение краевой задачи к интегральному уравнению.
Решение однородных уравнений Фредгольма второго рода.
6. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах. (2 часа)
7. Задачи с закрепленными границами. (2 часа)
Задачи с закрепленными границами.
Нахождение экстремалей.
Нахождение геодезических линий поверхностей.
8. Задачи с подвижными границами. (2 часа)
Решение простейших вариационных задач с подвижной границей.
Решение вариационных задач с подвижной границей для функционала, зависящего от
нескольких неизвестных функций.
9. Задачи на условный экстремум. (2 часа)
Решение задач на нахождение условного экстремума функционала.
Решение изопериметрических задач.
5. Примерные задания для контрольной работы
1. Найти экстремали функционалов:
0
J[y]=∫−1(12𝑥𝑦 − 𝑦′2 ) 𝑑𝑥;
y(-1)=1, y(0)=0.
2. Найти характеристические числа и собственные функции интегрального уравнения
𝜋
φ(x)-λ∫04 𝑠𝑖𝑛2 (𝑥)𝜑(𝑡) 𝑑𝑡 = 0.
3. Найти точное и приближенное решение интегрального уравнения:
𝑥
φ(x)=x-∫0 (𝑥 − 𝑡)𝜑(𝑡) 𝑑𝑡, 𝜑0 ≡ 0.
6. Примерные вопросы для подготовки к зачету
1. Уравнение Фредгольма первого и второго рода.
2. Уравнение Вольтерра первого и второго рода.
3. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям.
5
Метод определителей Фредгольма.
Построение резольвенты при помощи итерированных ядер.
Интегральные уравнения с вырожденным ядром.
Линейные операторы. Принцип сжимающих отображений. Метод последовательных
приближений.
8. Уравнение Вольтерра второго рода.
9. Решение уравнения Вольтерра с помощью резольвенты.
10. Задача Штурма – Лиувилля. Сведение краевой задачи к интегральному уравнению.
11. Решение однородного уравнения Фредгольма второго рода.
12. Корректно и некорректно поставленные задачи. Уравнение Фредгольма первого рода
как пример некорректно поставленной задачи.
13. Понятие функционала. 1-ая и 2-ая вариации функционала.
14. Задача с закрепленными границами.
15. Необходимое условие экстремума. Уравнение Эйлера.
16. Поле экстремалей. Достаточные условия экстремума.
17. Простейшая вариационная задача с подвижной границей.
18. Условие трансверсальности.
19. Вариационная задача с подвижной границей для функционала, зависящего от
нескольких неизвестных функций.
20. Задачи на условный экстремум.
21. Изопериметрические задачи.
4.
5.
6.
7.
6. Литература
Основная литература
Краснов М.Л. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: УРСС,2006.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Интегральные уравнения. М.:
УРСС,2007.
1.
2.
Дополнительная литература
Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Изд-во МГУ, 1989.
Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные
уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1980.
Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.:
УРС, 2000.
1.
2.
3.
8. Планирование самостоятельной работы студентов
№
1
Модули и темы
2
Виды СРС
обязательные
дополнительн
ые
3
4
Семестр 4
Модуль 1
6
Недел
я
семес
тра
Объе
м
часов
Кол-во
баллов
5
6
7
1
2
Классификация
линейных
интегральных
уравнений.
Уравнения
Фредгольма второго
рода.
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
1-2
2
0-10
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
3-4
4
0-15
6
0-25
Всего по модулю 1:
Модуль 2
3
4
Линейные
операторы.
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
5-6
2
0-5
Уравнение
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
7-8
4
0-10
Задача Штурма –
Лиувилля.
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
9-10
2
0-5
Понятие о корректно
и некорректно
поставленных
задачах.
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
Вольтерра.
5
6
4
11-12
Всего по модулю 2:
0-20
12
0-40
Модуль 3
7
8
9
Задачи с
закрепленными
границами.
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Задачи с
подвижными
границами.
выполнение
домашнего
задания
работа с
литературой
Задачи на условный
экстремум.
выполнение
домашнего
задания;
решение
контрольной
работы
работа с
литературой
2
13-14
0-10
4
15-16
0-10
2
17-18
0-15
Всего по модулю 3:
6
0-42
Итого за семестр
26
0-100
7