МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН
Казахский национальный исследовательский технический университет имени К.И.Сатпаева
Институт информационных и телекоммуникационных технологий
Кафедра «Математика»
«Утверждаю»
Директор института
д.т.н., проф. Ахметов Б.С.
________________________
«________»___________2015__г.
ПРОГРАММА КУРСА (SYLLABUS)
По дисциплине «Математический анализ»
Специальность 5В060200– «Информатика»
Форма обучения - дневная
Всего - 3 кредита
Курс - 1
Семестр -1
Лекций - 30 часов,
Практические занятия - 15 часов,
Рубежный контроль (количество) - 2
СРС - 45 часов,
СРОП (аудиторных) - 45 часов,
Всего аудиторных - 90 часов
Всего внеаудиторных - 45 часов
Экзамен - 1 семестр
АЛМАТЫ 2015
Программа курса составлена Тулешевой Г.А. доцентом, к.ф.-м.н на основании типовой учебной
программы по дисциплине «Математический анализ»
Рассмотрена на заседании кафедры ____________________________________
«____»_______________2015г.
Протокол № __________________
Зав.кафедрой «Математика»
Сатыбалдиев О.С.
Одобрена методическим Советом института
«_____»________2015г.
Протокол №____
Председатель________________________ Ахметов Б.С.
Офис: кафедра «Математика»
Адрес: г. Алматы, Сатпаева - 22, КазНТУ
инд.
Тел.: 292-44-38
2
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ДИСЦИПЛИНЫ
Цель преподавания дисциплины
Математика играет важную роль в инженерно - технических исследованиях. Она
является не только аппаратом количественного расчета, но также методом точного
исследования и средством предельно четкой формулировки понятий и проблем. Математика
служит не только мощным средством решения прикладных задач и универсальным языком
науки, но и элементом общей культуры.
Без современной математики с ее развитым логическим и вычислительным аппаратом не
возможен прогресс в различных областях человеческой деятельности. Технические науки
широко используют математику. Математические методы стали составной части любой
технической дисциплины. Всё это приводит к необходимости усиления прикладной
направленности курса математики и повышения уровня фундаментальной математической
подготовки.
Математическое образование современного специалиста включает изучение общего
курса математики и специальных математических курсов (методы оптимизации, теория
вероятностей, математическая статистика, теория функций комплексного переменного,
операционное исчисление и т.д.). Общий курс математики является фундаментом
математического образования специалиста и в рамках этого курса проводится
ориентирование на приложение математических методов в профессиональной деятельности.
Задачи дисциплины:
- изучение основных понятий высшей математики и их приложений в различных областях;
- овладение фундаментальными понятиями, законами и теориями классической и
современной
математики, приемами и методами решения конкретных задач;
- умения использовать изученные математические методы;
- развитие математической интуиции;
- воспитание математической культуры;
- формирование научного мировоззрения и логического мышления.
Выпускники высших инженерно – технических учебных заведений должны:
- уметь строить математические модели;
- уметь ставить математические задачи;
- уметь подбирать подходящие математические методы и алгоритмы решения задачи;
- уметь применять для решения задачи численные методы с использованием современной
вычислительной техники;
- уметь проводить качественные математические исследования;
- уметь на основе проведенного математического анализа выработать практические
рекомендации.
Пререквизиты дисциплины:
Знание курса арифметики, алгебры, геометрии на уровне учебной программы средней
школы.
1.5 Постреквизиты дисциплины:
Все общеобразовательные инженерные дисциплины и дисциплины, читаемые
выпускающими кафедрами.
3
2. СИСТЕМА ОЦЕНКИ ЗНАНИЙ
Рейтинг дисциплины оценивается по 100 – бальной шкале.
Распределение рейтинговых баллов по видам контроля
Вид итогового контроля
Виды контроля
Баллы
Экзамен
Итоговый контроль
40
Рубежный контроль
20
Текущий контроль
40
Итого
100
Календарный график учебного процесса
по дисциплине «Математический анализ»
Недели
1
Виды контроля
Балл
2
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
СР ТР1 СР ТР1 СР ТР1 РК1 СР ТР2 СР ТР2 СР ТР2 РК2
2
Виды контроля:
3
3
2
3
2
3
8
4
5
4
5
4
5
10
К – контрольная, СР - самостоятельная работа, КЛ – коллоквиум,
РК – рубежный контроль, ТР- типовой расчет.
Студент допускается к сдаче итогового контроля при наличии суммарного рейтингового
балла  30. Итоговый контроль считается сданным в случае набора  20 баллов.
Оценка знаний студентов
Оценка
Отлично
Буквенный
эквивалент
В процентах %
В баллах
А
95-100
4
4
Хорошо
Удовлетворительно
Неудовлетворительно
А-
90-94
3,67
В+
85-89
3,33
В
80-84
3,0
В-
75-79
2,67
С+
70-74
2,33
С
65-69
2,0
С-
60-64
1,67
D+
55-59
1,33
D-
50-54
1,0
F
0-49
0
Перечень вопросов для проведения контроля по кредитам и промежуточной аттестации
Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.
1. Сформулируйте определения предела последовательности предела функции при стремлении
аргумента к некоторому конечному пределу и предела функции при стремлении аргумента к
бесконечности.
2. Какая функция называется бесконечно малой и каковы ее основные свойства?
3. Первый замечательный предел. Сформулируйте определение числа е (второй замечательный
предел).
4. Сформулируйте определения непрерывности функции в точке и на отрезке. Какие точки
называются точками разрыва функции.
5. Сформулируйте основные свойства функций, непрерывных на отрезке, и дайте
геометрическое истолкование этим свойствам.
6. Сформулируйте определение производной. Каков ее механический и геометрический смысл?
7. Сформулируйте определение дифференциала функции. В чем заключается свойство
инвариантности формы дифференциала функции? На чем основано применение дифференциала в
приближенных вычислениях?
8. Сформулируйте определения производной и дифференциала высших порядков.
9. Сформулируйте теорему Ролля, теорему Лагранжа. Геометрический смысл.
10. Сформулируйте определение точки экстремума функции. Два правила для отыскания
экстремумов функции.
11. Изложите схему общего исследования функции и построения ее графика.
12. Что называется кругом и центром кривизны, эволютой и эвольвентой плоской линии? Приведите пример.
13. Что называется функцией двух переменных, ее областью определения? Дайте геометрическое
толкование этих понятий.
14. Что называется функцией трех переменных, её областью определения? Как можно
геометрически истолковать область определения функции трех переменных?
15. Что называется поверхностью уровня и линией уровня? Какие поверхности являются
поверхностями уровня функции и = x2 + у2+z2 ? Постройте линии уровня функции z = х2у.
16. Что называется пределом функций двух переменных в точке? В каком случае эта функция
называется непрерывной в точке, в области? Что называется точкой разрыва функции двух
переменных? Приведите пример.
5
17. Как определяются частные производные? Сформулируйте правила нахождения частных
производных функций нескольких переменных. Выясните геометрический смысл частных
производных функции двух переменных.
18. Когда функция z = f(x; у) называется дифференцируемой в данной точке? Что называется
полным дифференциалом этой функции в данной точке? В чем состоит правило применения
полного дифференциала для вычисления приближенного значения функции, близкого к
известному?
19. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке Мо. Выясните
геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных.
20. Дайте определение частных производных высших порядков. Сформулируйте теорему о
равенстве смешанных частных производных функции двух переменных.
21. Что называется производной от функции u  u x, y, z в данной точке Мо по направлению
вектора s? Приведите формулу для ее вычисления.
22. Что называется градиентом скалярного поля и = и(х; у, z) в данной точке? Как выражаются
производная по направлению через градиент и единичный вектор? Сформулируйте известные вам
свойства градиента.
23. Сформулируйте правило нахождения экстремумов функции двух переменных.
24. Сформулируйте правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух
переменных в замкнутой области.
25. Что называется условным экстремумом функции z = f(x; у)? Изложите метод нахождения
условных экстремумов функции двух переменных, если эти переменные связаны одним
условием.
Интегральное исчисление функций одной и нескольких переменных. Ряды.


26. Дайте определение первообразной функции. Укажите геометрический смысл
совокупности первообразных функций. Что называется неопределенным интегралом?
27. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.
28. Теорема о среднем для определенного интеграла. Ее геометрический смысл.
29. Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям для
определенного интеграла. Приведите примеры.
30. Дайте определение несобственного интеграла первого рода (интеграла, у которого
один или оба предела интегрирования бесконечны), укажите его геометрический смысл в
случае, когда подынтегральная функция неотрицательна, приведите примеры.
31. Дайте определение несобственного интеграла второго рода (интеграла от
неограниченной функции). Укажите его геометрический смысл в случае, когда
подынтегральная функция неотрицательна, приведите примеры.
32. Приведите формулы для вычисления площади криволинейного сектора,
ограниченного кривой, заданной в полярной системе координат, для вычисления длины
дуги кривой, заданной уравнением в декартовой системе координат. Приведите примеры.
33. Что называется двойным интегралом от функции f  x , y  по области D ? Укажите его
геометрический смысл.
34. Каков геометрический смысл интеграла
2
2
 z   z 
1       dxdy ,
 x   y 

D
где z  z  x , y  - функция, обладающая непрерывными частными производными в
области D .
35. Каков механический смысл интеграла
 x, y x
D
2

 y 2 dxdy ,
где   x , y   0 - непрерывная функция в области D .
6
36. Что называется тройным интегралом от функции f  x , y , z  по пространственной
области V ? Укажите его механический смысл.
37. Каков механический смысл интеграла
 x, y , z x
2

 y 2 dxdydz ,
D
где   x , y , z   0 - непрерывная функция в области
V ? Напишите формулы для
вычисления координат центра тяжести тела V , объемная плотность которого
  x , y , z .
38. Дайте определения сходящегося и расходящегося рядов. Сформулируйте
необходимый признак сходимости ряда.
39. Сформулируйте теорему о сравнении рядов с положительными членами. Приведите
пример на применение этого признака.
40. Сформулируйте достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов.
Приведите примеры.
41. Дайте определение абсолютно сходящегося ряда. Сформулируйте свойства абсолютно
сходящихся рядов. Приведите примеры абсолютно и условно сходящихся рядов.
42. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующихся рядов. Приведите
пример на применение этого признака.
43. Дайте определение области сходимости функционального ряда. Приведите примеры
рядов с различными областями сходимости.
44. Дайте определение понятия равномерной сходимости последовательности функций.
Какой ряд называется равномерно сходящимся?
45. Сформулируйте признак Вейерштрасса абсолютной и равномерной сходимости ряда.
Основные свойства равномерно сходящихся рядов.
46. Теорема Абеля о сходимости степенных рядов. Приведите формулу для вычисления
радиуса круга сходимости степенного ряда.
47. Сформулируйте условия разложимости функции в ряд Тейлора.
48. Приведите пример оценки точности вычисления суммы знакочередующегося ряда
49. Приведите пример применения остаточного члена формулы Тейлора (в форме
Лагранжа) к оценке точности вычисления с помощью степенного ряда.
50. Изложите метод приближенного вычисления определенных интегралов с помощью
рядов. Приведите примеры.
3. СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИЛИНЫ
Распределение часов по видам занятий
Наименование
Количество академических часов
темы
Лекция
1
1. Введение в анализ. Функция. Предел
функции.
7
Практичес
кие
СРСП
СРС
ауд.
офф.
2
3
4
5
6
2
1
1
2
3
2. Непрерывность. Сравнение функций.
Вычисление пределов.
2
1
1
2
3
3. Производная и дифференциал.
2
1
1
2
3
4. Производные и дифференциалы высших
порядков. Основные теоремы
дифференциального исчисления и их
приложения.
5. Раскрытие неопределенностей.
Исследование поведения функций и их
графиков. Приложения
дифференциального исчисления к
геометрии.
6. Функции
нескольких
переменных.
Предел.
Непрерывность.
Частные
производные, градиент и дифференциал.
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
7. Частные производные и дифференциалы
высших порядков. Формула Тейлора.
Экстремумы
функции
нескольких
переменных. Условный экстремум.
2
1
1
2
3
8. Неопределенный интеграл.
Таблица основных формул.
Свойства.
2
1
1
2
3
некоторых
2
1
1
2
3
10. Определенный
интеграл.
Свойства.
Формула
Ньютона-Лейбница.
Приложения определенного интеграла.
2
1
1
2
3
11. Несобственные интегралы
2
1
1
2
3
12. Задачи, приводящие к понятию кратного
интеграла.
Определение,
основные
свойства и вычисление.
13. Замена переменных в кратных интегралах.
Приложения
2
1
1
2
3
2
1
1
2
3
14. Числовые ряды. Абсолютная и условная
сходимость рядов. Ряды с комплексными
членами.
Методы
исследования
сходимости.
2
1
1
2
3
15. Функциональные
ряды.
Разложение
функций в степенные ряды. Ряд Тейлора.
Приближенные вычисления с помощью
рядов.
2
1
1
2
3
Всего (часов)
30
15
15
30
45
9. Методы
функций
интегрирования
8
График проведения занятий
№
Дата
Время
Наименование тем
Лекции
1.
Введение в анализ. Функция. Предел функции.
2.
Непрерывность. Сравнение функций.
Вычисление пределов.
3.
Производная и дифференциал.
4.
Производные и дифференциалы высших
порядков. Основные теоремы
дифференциального исчисления и их
приложения.
5.
Раскрытие неопределенностей. Исследование
поведения функций и их графиков.
Приложения дифференциального исчисления к
геометрии.
6.
Функции нескольких переменных. Предел.
Непрерывность.
Частные
производные,
градиент и дифференциал.
7.
Частные производные и дифференциалы
высших
порядков.
Формула
Тейлора.
Экстремумы функции нескольких переменных.
Условный экстремум.
8.
Неопределенный интеграл.
9.
Методы интегрирования некоторых функций
10.
Определенный
интеграл.
определенного интеграла.
11,
Несобственные интегралы
12.
Кратные интегралы.
13.
Замена переменных в кратных интегралах.
Приложения
14.
Числовые ряды.
15.
Функциональные ряды.
Приложения
Практические занятия
1.
Введение в анализ. Функция. Предел функции.
9
2.
Непрерывность. Сравнение функций.
Вычисление пределов.
3.
Производная и дифференциал.
4.
Производные и дифференциалы высших
порядков. Основные теоремы
дифференциального исчисления и их
приложения.
5.
Раскрытие неопределенностей. Исследование
поведения функций и их графиков.
Приложения дифференциального исчисления к
геометрии.
6.
Функции нескольких переменных. Предел.
Непрерывность.
Частные
производные,
градиент и дифференциал.
7.
Частные производные
высших порядков.
8.
Неопределенный интеграл.
9.
Методы интегрирования некоторых функций
10.
Определенный
интеграл.
определенного интеграла.
11.
Несобственные интегралы
12.
Кратные интегралы. Определение, основные
свойства и вычисление.
13.
Замена переменных в кратных интегралах.
Приложения
14.
Числовые ряды.
15.
Функциональные ряды.
и
дифференциалы
Приложения
4. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
4.1 Основные учебно-методические материалы
п/п
Название книги
Фамилия, инициалы
автора
Издательство, год
издании.
В
библиоте
ке
На
кафедре
1
2
3
4
5
6
1. Элементы
линейной алгебры и
Бугров Я.С.,
Никольский С.М.
М.: Наука, 1988г.
112
__
1.
10
аналитической
геометрии
2.
Дифференциальное
и интегральное
исчисление.
Бугров Я.С.,
Никольский С.М.
М.: Наука, 1985г.
121
__
3.
Дифференциальные
уравнения. Кратные
интегралы. Ряды.
Бугров Я.С.,
Никольский С.М.
М.: Наука, 1985г.
142
__
4.
Высшая
математика. Том 1
Гусак А.А.
Мн.: Тетро
Системс, 2001г.
__
5.
Высшая
математика. Том 2
Гусак А.А.
Мн.: Тетро
Системс, 2001г.
__
6.
Краткий курс
математического
анализа для втузов.
Бермант А.Ф.,
Араманович И.Г.
М.: Наука, 1971г.
__
7.
Линейная алгебра
Ильин В.А. Позняк
Э.Г.
М.: Наука, 1983г.
13
__
8.
Основы
математического
анализа
Ильин В.А., Позняк
Э.Г.
М.: Наука, 1982г.
15
__
9.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения
Краснов М.Л.
М.: Высшая
школа,1983г.
7
__
10.
Дифференциальное
и интегральное
исчисление для
втузов. Т.1
Пискунов Н.С.
М.: Наука, 1985г.
17
__
11.
Дифференциальное
и интегральное
исчисление для
втузов. Т. 2
Пискунов Н.С.
М.: Наука, 1985г.
17
__
12.
Теория
вероятностей и
математическое
статистика
Гмурман В.Е.
М.: Высшая
школа, 1999г.
100
__
13.
Сборник задач по
курсу
математического
анализа
Берман Г.Н.
М.: Наука, 1985г.
89
__
11
14.
Сборник задач по
математике для
втузов: Линейная
алгебра и основы
математического
анализа
Под редакцией
Ефимова А.В. и
Демидовича Б.П.
М.: Наука, 1986г.
172
__
15.
Сборник задач по
математике для
втузов.
Специальные
разделы
математического
анализа, часть 2
Под редакцией
Ефимова А.В. и
Демидовича Б.П.
М.: Наука, 1981г.
172
__
16.
Сборник задач по
математике. Теория
вероятностей и
математическая
статистика, часть3
Под редакцией
Ефимова А.В. и
Демидовича Б.П.
М.: Наука,1986г.
77
__
17.
Сборник заданий по
специальным курсам
высшей математики
(типовые расчета)
Чудесенко В.Ф.
М.: Высшая
школа, 1983г.
1
__
18.
Руководство к
решению задач по
теории
вероятностей и
математический
статистике
Гмурман В.Е.
М.: Высшая
школа, 1999г.
100
__
19.
Сборник
индивидуальных
заданий по высшей
математике ч.1
Под редакцией
Рябушко А.П.
Минск:
Вышейшая
школа, 2001г.
300
__
20.
Сборник
индивидуальных
заданий по высшей
математике ч.2
Под редакцией
Рябушко А.П.
Минск:
Вышейшая
школа, 2001г.
300
__
21.
Сборник
индивидуальных
заданий по высшей
математике ч.3
Под редакцией
Рябушко А.П.
Минск:
Вышейшая
школа, 2001г.
300
__
22.
Высшая математика
в упражнениях и
Данко П.Е., Попов
А.Г., Кожевников
М.: Высшая
школа,1986г.
5
__
12
23.
задачах. Ч.1,2
Т.Я.
Сборник заданий по
высшей математике
(типовые расчеты)
Кузнецов Л.А.
М.: Высшая
школа, 1983г.
2
__
4.2 Дополнительные учебно- методические материалы
24.
Линейная алгебра в
вопросах и задачах
Крутицкая Н.Е.,
Шишков А.А.
М.: Высшая
школа, 1985г.
1
__
25.
Краткий курс
математического
анализа
Кудрявцев Л.Д.
М.: Высшая
школа, 1989г.
3
__
26.
Высшая
математика.ч. 1-5
Жевняк Р. М.,
Карпук А.А.
Минск:
Вышейшая
школа, 1998
4
56
__
5
6
1
2
3
27.
Курс
математического
анализа. Т. 1,2
Кудрявцев Л.Д.
М.: Высшая
школа, 1981г.
8
__
28.
Функции колексного
перемененного.
Операционное
исчисление. Теория
Краснов М.Л.,
Киселев А.И.,
М.: Наука,1981г.
50
__
Макаренко Г.И.
устойчивости .
29.
Векторный анализ.
Серия типовых
расчетов
Айдос Е.Ж.
Алматы:
Каз НТУ, 2001г.
__
30.
Теория функций
коплексного
переменного.
Операционное
исчисление. Серия
типовых расчетов.
Айдос Е.Ж.
Алматы:
__
31.
Высшая математика.
Задачник
Бугров Я.С.,
Никольский С.М.
32.
Сборник задач по
аналитический
геометрии
Клетеник Д.В.
33.
Сборник задач по
Минорский В.П.
Каз НТУ, 2004г.
13
М.: Наука,
1982
75
__
М.: Наука,
1986г.
7
__
М.: Наука,
1987г.
15
__
высшей математике
34.
Учебное пособие по
дисциплине “Теория
вероятностей и
математических
статистике”
Бугланова П.А.,
Жанбырбаева У.Б.,
Калижанова А.У.
Алматы:
КазНТУ, 1997г.
18
2
35.
Типовые расчеты по
высшей математике
ч. 1-3
Хайруллин Е.М.
Алматы,
КазНТУ, 1982г.
3
3
4.3. Справочно- нормативные учебно- методические материалы
36.
Справочник по
математике
Корн Г. и Корн Т.
М.: Наука,
1977г.
1
__
37.
Справочник по
математике для
инженеров
Бронштейн И. Н.,
Семендяев К.А.
М.: Высшая
школа, 1997г.
10
__
14