Ответы на олимпиадные задания

7 класс
7-1. Отец и сын возвращались с рыбалки каждый со своим уловом. Чтобы уравнять уловы, отец отдал сыну
несколько рыб. Если бы наоборот, сын отдал отцу столько же рыб, то у отца оказалось бы в два раза больше
рыб, чем у сына. На сколько процентов улов отца больше улова сына?
Решение. Обозначим улов сына за 100, а улов отца – за 100 + р , так что улов отца на р процентов больше улова
сына. По условию задачи: 100 + р + р/2 = 2(100 – р/2) . Отсюда находим, что р = 40 .
Комментарии.
Только правильный ответ – 0 баллов.
Только правильный ответ с проверкой – 1 балл.
7-2. Каким наибольшим количеством фигур
и
можно «замостить» квадрат 7 на 7 клеток ?
Ответ: двенадцатью фигурами
Решение. Так как число клеток квадрата равно 49 , то для его полного «замощения» можно использовать не
более 11 четырёхклеточных фигур, а всего – не более 12 фигур. (Достаточным будет и следующее обоснование:
49 = 11.4 + 5.1 = 6.4 + 5.5 = 1.4 + 5.9). Ниже приведён пример «замощения» квадрата 7 на 7 двенадцатью
фигурами:
Комментарии. Только правильный пример – 5 баллов.
Только обоснованная оценка максимального количества фигур – 2 балла.
7-3. Шесть стрелков участвовали в соревновании в стрельбе по мишени. Каждый стрелок сделал по пять
выстрелов. За один выстрел по мишени можно было выбить целое число очков, от 1 до 10 включительно. Очки,
набранные за 5 выстрелов, суммируются (и стрелок получает от 5 до 50 очков). Какую сумму набрал стрелок,
занявший третье место, если все стрелки набрали в сумме различное число очков, причём каждый стрелок хотя бы
раз выбил «семёрку», а общая сумма всех набранных стрелками очков равна 264?
Решение. Максимальное количество очков, которое в условиях задачи могли вместе набрать стрелки, равно 47 +
46 + 45 + 44 + 43 + 42 = 267 . Если стрелок, занявший третье место, выбил бы не более 44 очков, то общая сумма
набранных всеми стрелками очков была бы не больше 47 + 46 + 44 + 43 + 42 + 41 = 263 очков, что противоречит
условию задачи. Поэтому стрелок, занявший третье место, выбил ровно 45 очков.
Комментарии.
Замечено, что максимальное количество очков, которое в условиях задачи могли вместе набрать стрелки, равно 47
+ 46 + 45 + 44 + 43 + 42 = 267 – 2 балла.
7-4. В старших классах некоторой школы ровно n учащихся. Девочки пишут мальчикам «эсэмэски». Одна
девочка написала «эсэмэски» 5 мальчикам, другая – 7 мальчикам, третья – 6 мальчикам, четвёртая – 8
мальчикам, пятая – 7 мальчикам, шестая – 9 мальчикам, седьмая – 8 мальчикам, и так далее. Последняя
девочка написала «эсэмэски» всем мальчикам. Докажите, что n делится на 3 .
Решение. Обозначим за k – количество девочек в старших классах школы, тогда (n - k) – количество мальчиков в
старших классах школы. Заметим, что последней была девочка с чётным номером k , так что k = 2р . Так как
последняя девочка написала «эсэмэски» всем мальчикам, а число этих «эсэмэсок» равно (р + 6) , то получаем
уравнение: р + 6 = n – 2р . Отсюда находим, что n = 3р + 6 и, следовательно, n делится на 3 .
Комментарии. Замечено, что последней была девочка с чётным номером – 2 балла.
7-5. Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел 4 ,
5 и 6 , но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?
Решение. Заметим, что 4к делится на 4 , 4к + 1 = (2к + 1) 2 – (2к)2 , 4к + 2 делится на 2 , но не делится на 4 ,
поэтому оно не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел (так как a2 - b2 = (a - b)(a + b) является
произведением двух чисел одинаковой чётности), 4к + 3 = (2к + 2) 2 – (2к + 1)2 , 4к + 4 делится на 4 , 4к + 5 = (2к
+ 3)2 – (2к +2)2 , 4к + 6 делится на 2 , но не делится на 4 , поэтому оно не представимо в виде разности квадратов
двух целых чисел оно не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел, и т.д. Поэтому для любых трёх
подряд идущих трёхзначных чисел хотя бы одно из них делится на 4 или не представимо в виде разности
квадратов двух целых чисел.
Комментарии.
Найдены какие либо три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел
4, 5 и 6 – 1 балл.
Показано, что числа вида 4к + 1 и числа вида 4к + 3
квадратов двух целых чисел – 1 балл.
(или числа вида 2к + 1) представимы в виде разности
Показано, что числа вида 4к + 2 не представимы в виде разности квадратов двух целых чисел – 2 балла.
8 класс
8-1. На какое наименьшее число треугольников потребуется разрезать прямоугольник 25 х 12 , чтобы из
получившихся треугольников можно было составить прямоугольник 20 х 15 ?
Ответ: на три
Решение. Прямоугольник 25 х 12 на два треугольника можно разрезать только по диагонали, но из двух
прямоугольных треугольников с катетами 25 и 12 нельзя сложить прямоугольник 20 х 15 . Возможность
разрезания прямоугольника 25 х 12 на три (прямоугольных) треугольника (с катетами 16 и 12, 9 и 12, 20 и 15) и
составление из этих треугольников прямоугольника 20 х 15 показана на рисунке:
16
9
12
25
Комментарии.
Только верный рисунок с указанием размеров треугольников – 6 баллов.
8-2. В старших классах некоторой школы ровно n учащихся. Девочки пишут мальчикам «эсэмэски». Одна
девочка написала «эсэмэски» 5 мальчикам, другая – 7 мальчикам, третья – 6 мальчикам, четвёртая – 8
мальчикам, пятая – 7 мальчикам, шестая – 9 мальчикам, седьмая – 8 мальчикам, и так далее. Последняя
девочка написала «эсэмэски» всем мальчикам. Докажите, что n делится на 3 .
Решение. Обозначим за k – количество девочек в старших классах школы, тогда (n - k) – количество мальчиков в
старших классах школы. Заметим, что последней была девочка с чётным номером k , так что k = 2р . Так как
последняя девочка написала «эсэмэски» всем мальчикам, а число этих «эсэмэсок» равно (р + 6) , то получаем
уравнение: р + 6 = n – 2р . Отсюда находим, что n = 3р + 6 и, следовательно, n делится на 3 .
Комментарии.
Замечено, что последней была девочка с чётным номером – 2 балла.
8-3. Целой частью числа х называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих х . Дробной частью
числа х называется разность между числом х и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых
вещественных чисел, что целая часть первого числа на шесть больше целой части второго числа и в пять раз
больше дробной части второго числа, а дробная часть второго числа в четыре раза больше дробной части первого
числа.
Ответ: (1,05; -4,8), (2,1; -3,6), (3,15; -2,4), (4,2; -1,2).
Решение. Обозначим за m целую часть первого числа, за p – дробную часть первого числа, за n целую часть
второго числа, за q – дробную часть первого числа. По условиям задачи: m  n  6  5q  20 p . Так как 0  5q  5
m  1, 2, 3 или 4 , а q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5 или 4/5 соответственно. Тогда возможны следующие
варианты: 1) q  1 / 5 . Тогда m  1 , n   5 , p  1 / 20 ; 2) q  2 / 5 . Тогда m  2 , n   4 , p  1 / 10 ; 3) q  3 / 5 .
Тогда m  3 , n   3 , p  3 / 20 ; 4) q  4 / 5 . Тогда m  4 , n   2 , p  1 / 5 .
и m  5q , то
Комментарии.
Показано, что m  1, 2, 3 или 4 , или что q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5 или 4/5
Показано, что m  1, 2, 3 или 4 , а q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5
или 4/5
– 2 балла.
и верно указаны все возможные варианты 1)-4),
но имеются ошибки в записи ответа – 5 баллов.
8-4. Продолжения сторон CN и AM выпуклого четырёхугольника NCAM пересекаются под прямым углом.
Докажите, что если углы М и N тупые, а отрезок МN виден из середины отрезка AC под прямым углом, то AM2
+ CN2 = MN2 .
C
Решение. Обозначим за В точку пересечения прямых CN и AM, а через О –
середину АС, угол NOM равен 900. Отложим от точки С отрезок СК, равный по
длине и параллельный отрезку МА . Тогда AM2 + CN2 = СК2 + СN2 = NK2. Так как
МСКА – параллелограмм и АО = СО , то О – точка пересечения его диагоналей, и
точки М, О и К лежат на одной прямой. В треугольнике MNK отрезок NO является
высотой и медианой, следовательно, NK = NM . Что и требовалось доказать.
K
N
О
B
М
A
Комментарии. Ссылка на свойство ромба, вписанного в прямоугольник, при условии обоснованного сведения
чертежа задачи к картинке ромба, вписанного в прямоугольник, может быть оценена полным баллом. Просто
ссылка на это утверждение при необоснованной картинке ромба, вписанного в прямоугольник, может быть оценена
только 1 баллом.
8-5. Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел 4 ,
5 и 6 , но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?
Решение. Заметим, что 4к делится на 4 , 4к + 1 = (2к + 1) 2 – (2к)2 , 4к + 2 делится на 2 , но не делится на 4 ,
поэтому оно не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел (так как a2 - b2 = (a - b)(a + b) является
произведением двух чисел одинаковой чётности), 4к + 3 = (2к + 2) 2 – (2к + 1)2 , 4к + 4 делится на 4 , 4к + 5 = (2к
+ 3)2 – (2к +2)2 , 4к + 6 делится на 2 , но не делится на 4 , поэтому оно не представимо в виде разности квадратов
двух целых чисел оно не представимо в виде разности квадратов двух целых чисел, и т.д. Поэтому для любых трёх
подряд идущих трёхзначных чисел хотя бы одно из них делится на 4 или не представимо в виде разности
квадратов двух целых чисел.
Комментарии.
Найдены какие либо три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел
4, 5 и 6 – 1 балл.
Показано, что числа вида 4к + 1 и числа вида 4к + 3
квадратов двух целых чисел – 1 балл.
(или числа вида 2к + 1) представимы в виде разности
Показано, что числа вида 4к + 2 не представимы в виде разности квадратов двух целых чисел – 2 балла.
9 класс
9-1. Шесть стрелков участвовали в соревновании в стрельбе по мишени. Каждый стрелок сделал по пять
выстрелов. За один выстрел по мишени можно было выбить целое число очков, от 1 до 10 включительно. Очки,
набранные за 5 выстрелов, суммируются (и стрелок получает от 5 до 50 очков). Какую сумму набрал стрелок,
занявший третье место, если все стрелки набрали в сумме различное число очков, причём каждый стрелок хотя бы
раз выбил «семёрку», а общая сумма всех набранных стрелками очков равна 264?
Решение. Максимальное количество очков, которое в условиях задачи могли вместе набрать стрелки, равно 47 +
46 + 45 + 44 + 43 + 42 = 267 . Если стрелок, занявший третье место, выбил бы не более 44 очков, то общая сумма
набранных всеми стрелками очков была бы не больше 47 + 46 + 44 + 43 + 42 + 41 = 263 очков, что противоречит
условию задачи. Поэтому стрелок, занявший третье место, выбил ровно 45 очков.
Комментарии.
Замечено, что максимальное количество очков, которое в условиях задачи могли вместе набрать стрелки, равно 47
+ 46 + 45 + 44 + 43 + 42 = 267 – 2 балла.
9-2.
При каких целых
к
только одно из всех целых нечётных чисел является корнем уравнения
kx  (k  53) x  2014  0 ?
2
Ответ: таких целых к нет
Решение.
При любых целых к и целых нечётных х значение выражения kx  ( k  53) x будет нечётным (как
2
сумма двух целых чисел разной чётности). Поэтому оно не может быть равным чётному числу 2014 .
9-3. Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел 5 ,
6 , 7 , 8 и 9 , но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?
Решение. Да, найдутся, например: 211, 212 и 213 . Проверка: 211 – простое число, 212 = 2 . 2 . 53, 213 = 3 . 71,
211 = 106 2 – 1052 , 212 = 54 2 – 522 , 213 = 107 2 – 1062 .
Комментарии. Только верный ответ без проверки – 4 балла.
Замечание. Список чисел, с которых может начинаться ответ: 211, 267, 291, 451, 507, 571, 627, 667, 771, 787.
9-4. Целой частью числа х называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих х . Дробной частью
числа х называется разность между числом х и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых
вещественных чисел, что дробная часть первого числа пары меньше дробной части второго числа пары, сумма
чисел пары в пять раз больше дробной части первого числа, а разность первого и второго чисел пары в восемь раз
больше дробной части второго числа.
19   12
23   6
11   14
14   8
3   16
6
27   4
 2
;   ,  2 ;   ,  2 ;   , 3 ;  2  , 3 ; 1  ,  4 ;  3  ,  4 ;  2  ,
35   35
35   35
35   35
35   35
35   35
35   35
35 
 35
1
9   26
 24
 4 ;  1  ,  5 ;  2  – всего девять пар.
35 
35   35
 35
Ответ: 1
Решение. Обозначим за m целую часть первого числа, за p – дробную часть первого числа, за n целую часть
второго числа, за q – дробную часть первого числа. Тогда a  m  p - первое число пары, b  n  q - второе число
пары. По условиям задачи: a  b  m  p  n  q  5 p ,
первых двух уравнений как линейную относительно
a  b  m  p  n  q  8q
p и q , находим:
p
и
0  p  q  1 . Решая систему
10m  8n
5m  3n
и q
. Отсюда
35
35
получаем, что 1  10 m  8n  34 , 1  5m  3n  34 и 10 m  8n  5m  3n . Умножая первое двойное неравенство на
3, а второе – на 8 и складывая, получим, что 11  70 m  374 , откуда m равно 1, 2, 3, 4 или 5 . Тогда с учётом
неравенств 1  10 m  8n  34 , 1  5m  3n  34 и 10 m  8n  5m  3n возможны следующие варианты:
1) m  1 , n   1 , p  2 / 35 , q  8 / 35 ;
2) m  2 , n   1 , p  4 / 35 , q  16 / 35 ;
3) m  2 , n   1 , p  12 / 35 , q  13 / 35 ;
4) m  3 , n   3 , p  6 / 35 , q  24 / 35 ;
5) m  3 , n   2 , p  14 / 35 , q  21 / 35 ;
6) m  4 , n   4 , p  8 / 35 , q  32 / 35 ;
7) m  4 , n   3 , p  16 / 35 , q  29 / 35 ;
8) m  4 , n   2 , p  24 / 35 , q  26 / 35 ;
9) m  5 , n   3 , p  26 / 35 , q  34 / 35 ; .
Комментарии.
Найдена (хотя бы подбором) какая-то подходящая пара – 1 балл.
Показано, что возможны только варианты 1)-9), но имеются ошибки в записи ответа – 5 баллов.
9-5. В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведены высота CD и биссектриса CE .
DG и DF – биссектрисы треугольников CDB и CDA соответственно. Доказать, что CFEG – прямоугольник.
Решение. Если угол А равен углу В , то точки D и E совпадают, а биссектрисы
DG и DF являются и высотами, поэтому CFEG – прямоугольник. Пусть теперь для
определенности угол В больше угла А . Тогда точка D лежит между точками В и
Е . Так как ∠FCE = ∠FDE = 450, то точки C , F , E и D лежат на одной окружности,
поэтому ∠CFE = ∠EDС = 900. Так как ∠ECG + ∠EDG = 450 + 1350 = 1800 , то точки
С, Е, D и G также лежат на одной окружности, и ∠CGE = ∠EDС = 900.
Следовательно, CFEG – прямоугольник, что и требовалось доказать.
А
Комментарии.
Доказано что один из углов четырехугольника (кроме угла С) – прямой – 3 балла.
F
E
D
C
B
G
10 класс
10-1. Целой частью числа х называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих х . Дробной частью
числа х называется разность между числом х и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых
вещественных чисел, что целая часть первого числа на шесть больше целой части второго числа и в пять раз
больше дробной части второго числа, а дробная часть второго числа в четыре раза больше дробной части первого
числа.
Ответ: (1,05; -4,8), (2,1; -3,6), (3,15; -2,4), (4,2; -1,2).
Решение. Обозначим за m целую часть первого числа, за p – дробную часть первого числа, за n целую часть
второго числа, за q – дробную часть первого числа. По условиям задачи: m  n  6  5q  20 p . Так как 0  5q  5
m  1, 2, 3 или 4 , а q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5 или 4/5 соответственно. Тогда возможны следующие
варианты: 1) q  1 / 5 . Тогда m  1 , n   5 , p  1 / 20 ; 2) q  2 / 5 . Тогда m  2 , n   4 , p  1 / 10 ; 3) q  3 / 5 .
Тогда m  3 , n   3 , p  3 / 20 ; 4) q  4 / 5 . Тогда m  4 , n   2 , p  1 / 5 .
и m  5q , то
Комментарии.
Показано, что m  1, 2, 3 или 4 , или что q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5 или 4/5
Показано, что m  1, 2, 3 или 4 , а q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5
или 4/5
– 2 балла.
и верно указаны все возможные варианты 1)-4),
но имеются ошибки в записи ответа – 5 баллов.
10-2.
При каких целых нечётных
к только одно из всех целых чётных чисел является корнем уравнения
kx  (k  53) x  2014  0 ?
2
Ответ: таких целых к нет
Решение.
При любых целых нечётных к и целых чётных х значение выражения kx  ( k  53) x будет целым
2
числом, кратным 4 . А число 2014 не делится на 4 .
10-3. Найдутся ли три подряд идущих трёхзначных числа, каждое из которых не делится ни на одно из чисел 5 ,
6 , 7 , 8 и 9 , но представимо в виде разности квадратов двух целых чисел?
Решение. Да, найдутся, например: 211, 212 и 213 . Проверка: 211 – простое число, 212 = 2 . 2 . 53, 213 = 3 . 71,
211 = 106 2 – 1052 , 212 = 54 2 – 522 , 213 = 107 2 – 1062 .
Комментарии. Только верный ответ без проверки – 4 балла.
Замечание. Список чисел, с которых может начинаться ответ: 211, 267, 291, 451, 507, 571, 627, 667, 771, 787.
10-4. В куче 2014 камней. Двое играют в следующую игру: сначала игрок А берёт из кучи некоторое количество
камней, от 1 до 30 включительно, затем игрок Б берёт из кучи 1 или 2 камня, затем игрок А берёт из кучи 2
или 3 камня, затем игрок Б берёт из кучи 3 или 4 камня, затем игрок А берёт из кучи 4 или 5 камней, и так
далее. Тот игрок, кто забирает последний камень, объявляется победителем. Если ни один игрок не сможет
забрать последний камень (в куче остался хотя бы один камень, но сделать следующий ход нельзя), то
объявляется ничья. Каков результат игры при правильной стратегии?
Решение. Заметим, что 2014 = 30 + (4 + 8 + 12 + … + 124) . Поэтому игрок А выигрывает, забирая из кучи на
первом шаге 30 камней, а на каждом последующем шаге забирая из кучи 2к камней, если на предыдущем шаге
игрок Б забрал 2к камней, и забирая (2к +1) камень, если на предыдущем шаге игрок Б забрал (2к -1) камней.
10-5. Треугольник АВС с прямым углом В вписан в окружность. М – точка пересечения прямой АС с
касательной к окружности в точке В . Р – точка пересечения прямой ВС с касательной к окружности в точке А . Н
– точка пересечения прямой АВ с касательной к окружности в точке С . Докажите, что точки М , Р и Н лежат на
одной прямой.
1-е решение.
Так как угол АВС прямой, то АС – диаметр окружности, а точка О – середина АС - центр этой
окружности. Обозначим угол ВАС за
 , а угол ВСА за  ,


 .
2
Так как отрезки АР и СН
перпендикулярны диаметру АС и, следовательно параллельны друг другу, то точки М , Р и Н лежат на одной
прямой тогда и только тогда, когда АМ : СМ = АР : СН . Взяв радиус окружности за 1 , получим:
1
1
АМ ОМ  ОА cos 2
1  cos 2
2tg AP



 tg 2  

.
1
СМ CO  ОМ
1

cos
2

2
tg

CH
1
cos 2
Поэтому точки М , Р и Н лежат на одной прямой.
2-е решение. Прямоугольные треугольники PAC и ACH подобны треугольнику ABC, т.к. имеют с ним общий угол, а
значит, подобны и друг другу. Пусть k = AB/BC, тогда
AP/CH = (AP/AC)  (AC/CH) = k2. Рассмотрим треугольники
MBA и MCB . Поскольку углы MBC и CAB равны, эти треугольники подобны, и коэффициент подобия равен AB/BC =
k. Значит, AM/BM = BM/CM = k, и AM/CM = k2.
Из равенства AP/CH = AM/CM = k2 следует, что прямоугольные
треугольники PAM и HCM подобны по второму признаку, углы HMC и PMA равны, и лучи MH, MP совпадают.
Комментарии. Если доказано, что утверждение задачи является частным (вырожденным) случаем теоремы
Паскаля – 7 баллов.
Установление подобия треугольников PAC и ACH – 1 балл.
Установление подобия треугольников MBA и MCB – 1 балл.
Установление подобия треугольников PAM и HCM – 1 балл.
11 класс
11-1. Целой частью числа х называется наибольшее из всех целых чисел, не превосходящих х . Дробной частью
числа х называется разность между числом х и его целой частью. Найдите все такие пары нецелых
вещественных чисел, что целая часть первого числа на шесть больше целой части второго числа и в пять раз
больше дробной части второго числа, а дробная часть второго числа в четыре раза больше дробной части первого
числа.
Ответ: (1,05; -4,8), (2,1; -3,6), (3,15; -2,4), (4,2; -1,2).
Решение. Обозначим за m целую часть первого числа, за p – дробную часть первого числа, за n целую часть
второго числа, за q – дробную часть первого числа. По условиям задачи: m  n  6  5q  20 p . Так как 0  5q  5
m  1, 2, 3 или 4 , а q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5 или 4/5 соответственно. Тогда возможны следующие
варианты: 1) q  1 / 5 . Тогда m  1 , n   5 , p  1 / 20 ; 2) q  2 / 5 . Тогда m  2 , n   4 , p  1 / 10 ; 3) q  3 / 5 .
Тогда m  3 , n   3 , p  3 / 20 ; 4) q  4 / 5 . Тогда m  4 , n   2 , p  1 / 5 .
и m  5q , то
Комментарии.
Показано, что m  1, 2, 3 или 4 , или что q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5 или 4/5
Показано, что m  1, 2, 3 или 4 , а q  1 / 5, 2 / 5, 3 / 5
или 4/5
– 2 балла.
и верно указаны все возможные варианты 1)-4),
но имеются ошибки в записи ответа – 5 баллов.
11-2.
При каких целых нечётных
к только одно из всех целых чётных чисел является корнем уравнения
kx  (k  53) x  2014  0 ?
2
Ответ: таких целых к нет
Решение.
При любых целых нечётных к и целых чётных х значение выражения kx  ( k  53) x будет целым
2
числом, кратным 4 . А число 2014 не делится на 4 .
11-3. В куче 2014 камней. Двое играют в следующую игру: сначала игрок А берёт из кучи некоторое количество
камней, от 1 до 30 включительно, затем игрок Б берёт из кучи 1 или 2 камня, затем игрок А берёт из кучи 2
или 3 камня, затем игрок Б берёт из кучи 3 или 4 камня, затем игрок А берёт из кучи 4 или 5 камней, и так
далее. Тот игрок, кто забирает последний камень, объявляется победителем. Если ни один игрок не сможет
забрать последний камень (в куче остался хотя бы один камень, но сделать следующий ход нельзя), то
объявляется ничья. Каков результат игры при правильной стратегии?
Решение. Заметим, что 2014 = 30 + (4 + 8 + 12 + … + 124) . Поэтому игрок А выигрывает, забирая из кучи на
первом шаге 30 камней, а на каждом последующем шаге забирая из кучи 2 к камней, если на предыдущем шаге
игрок Б забрал 2к камней, и забирая (2к +1) камень, если на предыдущем шаге игрок Б забрал (2к -1) камней.
11-4. В окружность вписан прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB . Пусть K – середина дуги BC ,
не содержащей точку A , N – середина отрезка AC , M – точка пересечения луча KN с окружностью. В точках A
и C проведены касательные к окружности, которые пересекаются в точке E . Докажите, что угол EMK равен 900 .
A
M
E
O
N
C
B
K
Решение. Пусть точка O – центр окружности. Так как треугольник ABC прямоугольный, то точка O – середина
гипотенузы AB.
1. Так как К делит дугу пополам, то ОК – биссектриса угла СОВ равнобедренного треугольника BOC ,
т.о., ОК перпендикулярна СВ , а так как NO – средняя линия треугольника АВС , то ∠NOK = 900.
2. Так как ЕА = АС, то медиана ЕN треугольника АЕС является высотой и, следовательно, точки Е , N
и О лежат на одной прямой.
3. Точки A , E , C и O лежат на одной окружности, так как ∠ECO = ∠EAO = 900 . Из теоремы о
пересекающихся хордах окружности следует, что AN·NC = EN·NO. (1)
Применяя ту же теорему к хордам AC и MK исходной окружности, получаем AN·NC = MN·NK . (2)
Комбинируя (1) и (2), получаем, что MN·NK = EN·NO . По теореме, обратной к теореме о пересекающихся хордах,
получаем, что точки M , K , E и O лежат на одной окружности. Углы EMK и EOK равны, как опирающиеся на
одну дугу. Но угол EOK – прямой, значит, и угол EMK – прямой.
Комментарии.
За каждый из пунктов 1.-3. доказательства – по 1 баллу.
Замечание. Возможны другие доказательства. Например, с использованием свойства инверсии относительно
окружности: «Пусть КОК1 – диаметр окружности, тогда EOE1 – перпендикулярный (сопряжённый) к КОК1 диаметр.
Обозначим за Е1 точку пересечения прямых К1M и ON. Так как точки N и E1 получаются друг из друга инверсией
относительно окружности (возможно с пояснением, например: ON равно тангенсу угла К , а OE1 равно котангенсу
этого угла), то Е1А – касательная к окружности и, следовательно, точка Е1 совпадает с точкой Е . Поэтому угол
EMK равен 900».
11-5. Рассматриваются всевозможные треугольные пирамиды АВСТ, высоты которых, опущенные из вершины Т,
попадают в центр вписанной окружности основания АВС . ТК , ТН и ТМ – высоты боковых граней, опущенные на
стороны основания АВ , ВС и СА . Какое наименьшее возможное значение может принимать сумма длин высот
ТК , ТН и ТМ , если периметр основания пирамиды равен 24 , а объём пирамиды (одна треть произведения
площади основания на высоту) равен 4 .
Ответ: 3 2
Решение. Так как высота, опущенная из вершины Т, попадает в центр вписанной окружности основания АВС ,
то точки К , Н и М являются точками касания вписанной в основание АВС окружности, а высоты ТК , ТН и ТМ
равны между собой. Обозначив за H длину высоты ТН, за h – высоту пирамиды, за r – радиус описанной
окружности
основания,
а
за
S
–
площадь
основания
пирамиды,
получаем:
2
2
2S 12
 2S 
 12 
(3H ) 2  9r 2  9h 2  9   9   18 
  18 , поэтому 3H  3 2 , и равенство достигается при S  12 .
24 S
 24 
S
Примером треугольника с площадью
гипотенузой 10 и катетами 6 и 8 .
12
и периметром
24
является прямоугольный треуголь ник с
Комментарии. Замечено, что высоты ТК , ТН и ТМ равны между собой – 1 балл.
Составлено выражение для квадрата бокового ребра – ещё 1 балл.
Обоснованно получена верная оценка для суммы длин высот, но отсутствует пример (или обоснование
существования) треугольника с площадью 12 и периметром 24 – 6 баллов.