Инвар. и представ. клас. групп-4к. бак

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"
Факультет Математики
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп
для направления 010100.62 "Математика" подготовки бакалавра
Автор программы: Финкельберг М.В., Ph.D, [email protected]
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики
«___»_____________2011 г.
Ученый секретарь Ю.М. Бурман_____________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, специализации Математика, утвержденным в 2011 г
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Инварианты и представления классических групп» являются получение представления о структуре алгебр Ли, классических матричных групп Ли;
знания об основных понятиях теории инвариантов и теории представлений алгебр Ли и
групп Ли; умения решать различные конкретные задачи, пользуясь теорией инвариантов.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате освоения дисциплины студент должен:
 Знать об основных понятиях теории представлений классических алгебр Ли и групп Ли.
 Уметь решать различные конкретные задачи, пользуясь теорией инвариантов.
 Иметь навыки (приобрести опыт) применения техники теории представлений в
различных областях математики.
4
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящая дисциплина относится к циклу общие профессиональные дисциплины и блоку основных дисциплин, обеспечивающих подготовку бакалавра.
Для освоения учебной дисциплины, студенты должны владеть следующими знаниями и
компетенциями:
владение курсом алгебры в объёме первых двух курсов;
владение курсом геометрии в объёме первого курса;
владение курсом комплексного анализа.
Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении
следующих дисциплин: алгебры Ли и группы Ли.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
5
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название раздела
Инварианты классических групп: начальные сведения
2
Представления классических групп:
начальные сведения
3
Представления и инварианты полной и
специальной линейной группы Ли
4
Представления и инварианты симплектических групп Ли
5Представления и инварианты ортогональных
групп Ли.
Итого:
1
6
Самостоятельная
работа
40
7
7
26
40
7
7
26
46
10
10
26
70
14
14
42
74
14
14
46
270
52
52
166
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
1 год
Текущий
(неделя)
1
Контрольная 7
работа
Коллоквиум
2
8
3
8
8
9
Промежуточный
Зачет
Экзамен
Итоговый Экзамен
6.1
Аудиторные часы
ПрактиЛекСемические
ции
нары
занятия
v
v
v
Параметры **
4
Письменная работа
90 минут
Устный коллоквиум
150 минут
Письменный зачет
240 минут
Письменный экзамен
240 минут
Письменный экзамен
240 минут
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма контроля - сдача задач из текущих листочков (15-20 задач по каждой те-
ме).
Контрольная работа: студент должен продемонстрировать умение пользоваться основными техническими (вычислительными) приемами, которые используются в изученном разделе
инвариантов и представлений классических групп и алгебр Ли. Предлагается 3--4 задачи на 90
минут.
Коллоквиум: устный, на 2,5 часа. Задания носят исследовательский характер и
предъявляют повышенные требования к теоретической подготовке студента.
Экзамен (зачет): письменная работа, состоящая из 5-6 задач на 4 часа. Преобладают задачи, требующие хорошего понимания происходящего в курсе инвариантов и представлений
классических групп и алгебр Ли отчетного модуля.
3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Содержание дисциплины
7
Раздел 1. Инварианты классических групп: начальные сведения
1
№ Тема
1.
2.
3.
Лекции
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
12
2
2
8
[1], §1.12.4
12
2
2
8
[1], §2.5;
[6], гл.4
Инварианты конечных подгрупп
специальной линейной группы ранга
2. Инварианты конечных групп,
порожденных отражениями. Теорема
Шевалле.
В задачах: вычисление инвариантных
форм Клейна для конечных подгрупп
SL(2,C) и соотношений между ними.
Вычисление базисных инвариантов
симметрической группы и других
классических групп Вейля.
Теорема Гильберта о базисе. Теорема
Гильберта о нулях. Конечная
порожденность кольца инвариантов в
кольце многочленов.
В задачах: классификация тернарных
кубических
форм.
Схема
вырождений
для
тернарных
кубических форм.
Полиномиальные
функции
на
матрицах,
инвариантные
относительно сопряжения полной
линейной
группой.
Теорема
Шевалле.
В задачах: полиномиальные функции
на
полной
линейной
группе,
инвариантные
относительно
сопряжения.
Итого:
7.2
Всего
часов
16
3
3
10
40
7
7
26
Лекции
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
[1], §2.62.8;
[9], гл.2;
[10], гл.3
Раздел 2. Группы Ли: начальные сведения
№
Тема
4.
Определение и примеры групп Ли,
примеры
представлений.
Присоединенное
представление,
функтор
Lie.
Левои
правоинвариантные векторные поля.
Инвариантная мера.
В
задачах:
обертывающая
Всего
часов
12
2
универсальная
алгебра
как
4
2
8
Литература
[1], §3.23.3;
[2], п. 1.3
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
5.
6.
алгебра
инвариантных
дифференциальных операторов и
как алгебра обобщенных функций
относительно свертки.
Подгруппы
Ли.
Односвязная
накрывающая группы Ли. Накрытие
SU2 \to SO3. Представления групп
SU_2 и SL2(C). Действие группы Ли
на многообразии. Действие алгебры
Ли полями скоростей.
14
3
2
9
14
2
3
9
40
7
7
26
В задачах: накрытия SU2\times SU2
\to SO4, SU_4 \to SO6 и др.
Вычисление
фундаментальных
групп классических групп Ли.
Гармонический анализ на сфере.
Теорема Бореля--Вейля для CP1.
Экспоненциальное отображение и
его
свойства.
Виртуальные
подгруппы
Ли.
Существование
(б/док)
и
единственность
односвязной группы Ли с данной
алгеброй Ли.
В
задачах:
ряд
Кэмпбелла-Хаусдорфа,
существование
и
единственность формальной группы
Ли с данной алгеброй Ли,
дифференциал экспоненциального
отображения.
Итого:
[2], гл.2
[8], §6
[1], §3.84.5
7.3 Раздел 3. Представления и инварианты полной и специальной линейной группы Ли
№
Тема
7.
Теорема
Веддерберна.
коммутант.
Взаимность
Вейля.
8.
Всего
часов
Лекции
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
10
2
2
6
12
2
2
8
Литература
Второй
Шура-
В задачах: косая двойственность
Хау. Связь между умножением
Литтлвуда-Ричардсона и тензорным
произведением.
Классификация
неприводимых
рациональных
представлений
полной
линейной
группы.
Полиномиальные функторы.
В задачах: Вычисление характеров
неприводимых
представлений
5
[3], §5
[7], гл. 2.2
[1], §3.6,
§3.9
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
9.
полной линейной группы через
функции Шура.
Тождество
Капелли.
Первая
основная
теорема
теории
инвариантов
для
полной
и
специальной линейной группы Ли.
В задачах: соотношения между
инвариантными полиномиальными
функциями.
Итого:
24
6
6
12
46
10
10
26
[1], §3.10;
[2], п. 3.13.5
7.4 Раздел 4. Представления и инварианты симплектических групп Ли
№
Тема
10. Полупростые
комплексные
классические алгебры Ли: полная
приводимость
конечномерных
представлений,
разложение
Жордана, картановские подалгебры,
системы корней, группа Вейля.
Всего
часов
20
Лекции
4
Семинар
ы
4
Самосто
ятельная
работа
Литература
12
[1], §4.14.3;
[7], гл. 2.5
В задачах: картановские подалгебры
в классических алгебрах Ли. Все
картановские
подалгебры
сопряжены. Группа Вейля как
нормализатор максимального тора.
11. Классификация
неприводимых
конечномерных
представлений
классических алгебр Ли. Формула
Вейля для характера.
В
задачах:
конструкция
неприводимых
представлений
симплектической
группы
из
неприводимых
представлений
полной линейной группы методом
свёртки с инвариантной формой.
12. Первая основная теорема теории
инвариантов для симплектической
группы Ли.
27
6
6
15
[1], §4.4
[2], гл.4;
[7], гл. 2.62.8
В задачах: Соотношения между
инвариантными полиномиальными
функциями для симплектической
группы Ли.
Итого:
23
4
4
15
[1], §4.5
70
14
14
42
7.5 Раздел 5. Представления и инварианты ортогональных групп Ли.
6
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
№
Тема
13. Построение
неприводимых
представлений
ортогональной
группы
из
непривоидмых
представлений полной линейной
группы
методом
свертки
с
инвариантой
формой.
Классификация
неприводимых
представлений
специальной
ортогональной группы и спинорной
группы.
Всего
часов
33
Лекции
6
семинар
ы
7
Самосто
ятельная
работа
20
В
задачах:
спинорное
представление, дуальные пары,
базисы Гельфанда-Цетлина.
14. Первая основная теоренма теории
инвариантов для ортогональной
группы Ли.
В задачах: соотношения между
инвариантными полиномиальными
функциями
для
ортогональной
группы Ли.
Итого:
8
41
8
7
26
74
14
14
46
Литература
[1], §4.66.3;
[5], гл.3,
гл.4, гл.6;
[7], гл. 2.9
[1], §6.46.7;
[3], §6
[5], гл.7
Образовательные технологии
На лекции даются все необходимые определения, доказываются ключевые теоремы курса,обсуждаются логические и неформальные связи между ними, а также теоремами из других
разделов математики и физики. Кроме того, приводятся примеры использования этих результатов для решения конкретных задач.
После этого студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, содержащийкак рутинные упражнения для усвоения стандартных вычислительных приёмов, так и теоремы для самостоятельного доказательства (или прочтения в учебнике), которые будут существенно использоваться в дальнейшем. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально сдаваться (устно или письменно) преподавателям во время семинарских занятий.
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Студенты,
испытывающие затруднения при решении некоторых задач иногда соединяются в группы для
совместной работы над не получающейся задачей, возможно, под чьим-нибудь руководством
(преподавателя или уже разобравшего задачу студента).Однако разобранные таким образом задачи всё равно должны сдаваться каждым студентом индивидуально.
Общее число решённых каждым студентом задач в течение каждого модуля учитывается, и
оказывает заметное влияние на итоговую отметку за модуль (см. п.9 ниже). Крайний срок сдачи
задач из листков, выдававшихся в каждом модуле – последнее семинарское занятие этого модуля.
7
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
8.1
Методические рекомендации преподавателю
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе.
9
9.1
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Тематика заданий текущего контроля
Примеры задач контрольных работ:
1. Найдите полиномиальные функции на плоскости, инвариантные относительно
группы симметрий правильного n-угольника.
2. Расклассифицируйте кубические формы от двух переменных.
3. Найдите размерность неприводимого представления полной линейной группы,
заданного диаграммой Юнга.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
Примерный перечень вопросов к коллоквиуму:
1. Докажите теорему Шевалле об инвариантах групп, порожденных отражениями.
2. Сформулируйте и докажите теорему взаимности Шура-Вейля.
3. Опишите все конечномерные представления группы Ли SL_3 с точностью до изоморфизма.
4. Опишите конструкцию спинорного представления для ортогональной алгебры Ли в
чётномерном/нечётномерном векторном пространстве.
5. Сформулируйте и докажите тождество Капелли.
6. Сформулируйте и докажите формулу Вейля для характеров неприводимых представлений полупростых алгебр Ли.
7. Сформулируйте и докажите косую двойственность Хау.
8. Сформулируйте и докажите первую основную теорему теории инвариантов полной
линейной группы Ли.
9. Докажите конечную порождённость кольца инвариантов полупростой группы Ли в
кольце многочленов.
10. Докажите, что фундаментальная группа полупростой компактной группы Ли конечна.
11. Дайте определение картановской подалгебры и укажите таковые в классических алгебрах Ли.
12. Дайте определение системы корней и группы Вейля. Опишите их для классических
алгебр Ли.
13. Опишите неприводимые конечномерные представления симплектической группы Ли
с точностью до изоморфизма.
9.2
Примеры заданий промежуточного /итогового контроля
Примеры экзаменационных задач:
1. Вычислите характер неприводимого представления группы Ли Sp(4), заданного диаграммой Юнга.
2. Разложите на неприводимые GL(4)-представлениене Sym^3(V\oplus \Lambda^2V).
3. Выпишите образующие кольца функций на кососимметрических матрицах 6x6, инвариантных относительно сопряжения ортогональными матрицами.
9.3
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется
8
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
по 10-балльной системе.
Результирующая оценка за текущий контроль учитывает результаты студента по текущему контролю следующим образом:
Отекущий = n1* Ок/р + n2* Окол + n3* Осам. работа
Преподаватель оценивает самостоятельную работу студентов: правильность выполнения
домашних работ, задания для которых выдаются на семинарских занятиях, правильность решения задач на семинаре. Оценки за самостоятельную работу студента преподаватель выставляет
в рабочую ведомость. Накопленная оценка - Осам. работа определяется перед промежуточным
(итоговым) контролем.
Сумма удельных весов должна быть равна единице: ∑ni = 1 Способ округления накопленной оценки текущего контроля в пользу студента.
Результирующая оценка за промежуточный (итоговый) контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за экзамен/зачет, удельный вес k2 = 0,5.
Опромежуточный/итоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет/экзамен
Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме
зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей
оценкой по учебной дисциплине.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Базовый учебник
1. Вейль Г. Классические группы, их инварианты и представления.– М.: Гос. Изд.
Иностранной литературы, 1947.
11.2 Основная литература
2. Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений.– М.: МЦНМО, 2003
3. Парамонова И.М., Шейнман О.К. Задачи семинара "Алгебры Ли и их приложения".– М.:
МЦНМО, 2004.
4. Fulton W., Harris J. Representation Theory, a first course.-- Berlin: Springer, Graduate Texts in
Mathematics 129, 1991.
5. Серр Ж.П. Алгебры Ли и группы Ли.–М.: Мир, 1969.
11.3 Дополнительная литература
6.
7.
8.
9.
Спрингер Т. Теория инвариантов.– М.: Мир, 1981.
Желобенко Д П Компактные группы ли и их представления.–М.:МЦНМО, 2007
Крафт Х. Геометрические методы в теории инвариантов.– М.: Мир, 1987.
Дьёдонне Ж.., Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов.--М.: Мир, 1974.
9