НИС Алг и Гем - Высшая школа экономики

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский университет
«Высшая школа экономики»
Факультет Математики
Программа дисциплины НИС «Алгебра и геометрия»
для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра
Автор программы: Городенцев А.А., к.ф.-м.н., gorodentsev@hse.ru
Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2012 г.
Председатель С.М. Хорошкин
Утверждена УС факультета математики_____________________
Москва, 2011
Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
1
Область применения и нормативные ссылки
Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к
знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных
ассистентов и студентов по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
Программа разработана в соответствии с:
 ГОС ВПО;
 Образовательной программой 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра.
 Рабочим учебным планом университета по направлению 010100.62 «Математика»
подготовки бакалавра, утвержденным в 2011 г
2
Цели освоения дисциплины
Целями освоения дисциплины «Инварианты и представления классических групп» является
изучение дополнительных разделов алгебры и геометрии, не входящих в основные курсы, и
приобретение участниками семинара опыта проведения самостоятельных исследований и
представления результатов этих исследований в виде докладов и научных статей.
3
Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины
В результате участия в семинаре студент должен:
 Самостоятельно изучить один или несколько вопросов, входящих в программу семинара
и перечисленных ниже в разделах 5,6.
 Сделать по выбранным вопросам серию докладов на семинаре.
 Изложить свои результаты в виде научной математической заметки, поготовленной в
системе ТеХ.
 Принимать активное участие в работе семинара, следя за результатами и докладами
остальных участников и приобретая таким образом опыт академического общения.
Компетенция
умение
формулировать результат
Код по
ФГОС/
НИУ
ПК-3
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Правильно воспроизводит чужие
результаты.
Правильно формулирует собственные результаты.
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Компетенция формируется во всех сегментах
учебного процесса.
Формируется в процессе
докладов и записи результатов.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Компетенция
Код по
ФГОС/
НИУ
Дескрипторы – основные признаки
освоения (показатели достижения
результата)
Воспроизводит доказательства
стандартных результатов, услышанных на лекциях.
умение строго доказать
утверждение
ПК-4
умение грамотно пользоваться языком предметной
области
ПК-7
понимание корректности
постановок задач
ПК-10
выделение главных смысловых аспектов в доказательствах
4
ПК-16
Оценивает строгость и корректность учебных текстов по инвариантам и представлениям классических групп.
Распознает и воспроизводит названия основных объектов и математических структур, возникающих в
алгебре и геометрии.
Владеет и свободно использует
профессиональную алгеброгеометрическую лексику.
Умение переходить от геометрических моделей к алгебраическим и
обратно, умение использовать
единообразные алгебраические
структуры и геометрические образы для описания и решения широкого круга конкретных задач из
разных разделов математики.
Понимает и воспроизводит основные принципы алгебраической
геометрии и ключевые рассуждения, связывающие алгебраические
и геометрические структуры. Понимает мотивировки абстрактных
алгебраических конструкций в современной геометрии.
Формы и методы обучения, способствующие
формированию и развитию компетенции
Участие в семинаре. Активное выслушивание
докладов остальных
участников семинара.
Повышение собственной
математической культуры
и культуры академического общения в процессе
обучения
Продумывание услышанного на семинаре.
Беседы с руководителями
семинара и собственным
научным руководителем
в процессе подготовки
своих докладов.
Продумывание базовых
фундаментальных концепций алгебры и геометрии.
Вырабатывается в результате работы на семинаре и решения задач
Продумывание ключевых
моментов семинаров.
Вырабатывается путем
активного решения задач,
самообразования, общения с преподавателями.
Место дисциплины в структуре образовательной программы
Настоящий НИС относится к циклу научно исследовательских семинаров для студентов
младших курсов (просеминаров) и блоку специальных семинаров, обеспечивающих углублённую профессиональную подготовку бакалавров в избранном ими (самостоятельно при активном участии научного руководителя) направлении и призванных содействовать как можно более раннему вовлечению студентов в самостоятельную исследовательскую работу.
Для участия в семинаре от студентов не требуется никакой дополнительной начальной подготовки, однако программа семинара специально рассчитана на активное взаимодействие с параллельно читаемыми основными обязательными курсами алгебры, геометрии, анализа и математической логики.
Приобретённые на семинаре знания и опыт могут быть использованы для дальнейшего
изучения различных специальных разделов алгебры, алгебраической и комбинаторной топологии, алгебраической геометрии, теории представлений, арифметики.
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
5
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название раздела
Введение в диофантовы приближения.
Проективные коники.
Введение в коммутативную алгебру.
Теория пересечений плоских алгебраических кривых.
5 Введение в гомологическую алгебру.
6 Аффинная алгебраическая геометрия
Итого
1
2
3
4
6
Аудиторные часы
СамостояПрактичетельная
ЛекСемиские заняработа
ции
нары
тия
36
36
36
24
12
12
12
8
24
24
24
16
48
36
216
16
12
72
32
24
144
Формы контроля знаний студентов
Тип контроля
Форма контроля
Домашние
задачи.
Промежу- Зачёт
точный
Итоговый Зачёт
1 год
Параметры **
1 2 3 4
1, 1, 1, 1,
3, 3, 3, 3,
5, 5, 5, 5,
7 7 7, 7,
9 9
v
v
Выдаваемый на дом
листок с задачами, которые надо письменно
решить и сдать преподавателю в течение
текущего модуля
Зачёт по итогам работы семинара
Зачёт по итогам работы семинара
Критерии оценки знаний, навыков
Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.
Главная форма текущего контроля — активное участие в работе семинара и сдача задач
из выдаваемых на дом раз в две недели листочков с задачами.
В конце 1-го и 3-го модулей участникам семинара выставляется зачётная оценка, отражающее участие в работе семинара, решение предложенных на семинаре домашних задач, выступления с докладами на семинаре и подготовленный текст.
6.1
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
Содержание дисциплины
7
Раздел 1. Введение в диофантовы приближения.
№ Тема
1.
Уравнение Пелля.
3.
Терема Лагранжа о квадратичных
иррациональностях.
Цепочка Маркова и уравнение Маркова.
Теорема Лиувилля о приближениях
алгебраических чисел.
Итого:
5.
Самосто
ятельная
работа
Литература
6
2
4
[9], [11]
6
2
4
[1], [2]
6
2
6
[6], [9],
[15]
6
4
6
[4], [13]
6
2
4
[6], [9],
[15]
36
12
24
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
9
3
6
[4] , [5],
[10]
9
3
6
[4] , [5],
[10], [16],
[17]
9
3
6
[4] , [5]
9
3
6
[4] , [5],
[13], [14]
36
12
24
Семинар
ы
Самосто
ятельная
Лекции
Непрерывные дроби.
2.
4.
Семинар
ы
Всего
часов
Раздел 2. Проективные коники.
№ Тема
1
2
Всего
часов
Лекции
Пространство коник, коники и дробно линейные преобразования, теорема Паскаля.
Поризм Понселе.
3
Цепочка Клиффорда.
4
Пучки коник.
Итого:
Раздел 3. Введение в коммутативную алгебру.
№ Тема
Всего
часов
Лекции
Литература
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
работа
1
2
3
4
Целые расширения колец. Лемма
Гаусса. Нормальные кольца.
Конечно порождённые алгебры над
полем. Алгебраические расширения
полей. Алгебраическое замыкание
Степень трансцендентности. Теорема
Нётер о нормализации.
Теорема Гильберта о нулях и о базисе полиномиального идеала.
Итого:
9
3
6
[2], [4],
[10]
9
3
6
[2], [4],
[10]. [12]
9
3
6
9
3
6
36
12
24
[2], [4], [8]
[10], [12]
[4], [10].
[12]
Раздел 4. Теория пересечений плоских алгебраических кривых.
№ Тема
1
Алгебраическая замкнутость поля
дробно степенных рядов. Разложение
алгебраической иррациональности в
ряд Пюизо.
Результант, детерминант Сильвестра,
исключение переменных.
3 Индекс пересечения плоских алгебраических кривых. Теорема Безу.
Итого:
2
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
12
4
8
[2], [14]
6
2
4
[4], [8],
[10]
8
2
4
[4], [10]
24
8
16
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
2
4
[3], [7]
Всего
часов
Лекции
Раздел 5. Введение в гомологическую алгебру.
№ Тема
1
Категории
и
функторы
Симплициальные
и
полусимплициальные
множества.
Симплициальные цепные комплексы.
Всего
часов
6
Лекции
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
2
3
4
5
6
Диаграммный поиск, леммы о
диаграммах, категория комплексов,
длинная
последовательность
гомологий.
Спектральные
последовательности.
Комплексы Кошуля и Де Рама.
Гомологическая
интерпретация
индекса пересечения.
Инъективные
и
проективные
резольвенты, функторы Ext и Tor
Квадратичная двойственность.
Гомотопическая категория комплексов, циллиндр, конус, точные треугольники.
Итого:
12
4
8
[3], [7]
6
2
4
[3], [7]
12
4
8
[3], [7]
6
2
4
[3]
6
2
4
[3]
48
16
32
Семинар
ы
Самосто
ятельная
работа
Литература
12
4
8
[4], [8],
[10]
12
4
8
12
4
8
36
12
24
Раздел 6. Аффинная алгебраическая геометрия.
№ Тема
1
2
3
Всего
часов
Антиэквивалентность
категории
аффинных
алгебраических
многообразий над алгебраически
замкнутым полем k и категории
конечно порождённых приведённых
k-алгебр.
Топология
Зарисского.
Неприводимые компоненты.
Рациональные
функции.
Структурный пучок.
Итого:
Лекции
[4], [8],
[10], [14]
[4], [8],
[10],
[12],[14]
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
8
Образовательные технологии
В начале каждого модуля участникам семинара предлагаются на выбор различные темы для самостоятельного изучения при поддержке руководителей семинара и научного руководителя, а
также задачи, решение которых участниками семинара приближается к самостоятельному научному исследованию и при благоприятном стечении обстоятельств может послужить началом
полноценной самостоятельной научной работы.
По мере того, как участники семинара продвигаются в изучении своих тем, они делают на семинаре доклады о своих продвижениях и пишут тексты, если написание таковых предусмотрено их учебным планом (например, составляет часть курсовой работы).
Кроме того, примерно раз в две недели студентам выдаётся листок с задачами для самостоятельного решения, позволяющие лучше освоить обсуждаемые на семинаре вопросы и приобрести опыт практического использования представленных докладчиками результатов в различных
смежных математических дисциплинах. Задачи должны решаться дома, после чего индивидуально сдаваться (устно или письменно) преподавателям в их присутственные часы и/или во
время математических практикумов. Задачи, вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются на семинаре.
Студенты, испытывающие затруднения при решении некоторых задач или изучении выбранных
ими тем, могут соединяться в группы для совместной работы, возможно, под чьим-нибудь руководством (преподавателя или уже разобравшего эту задачу ранее студента старшего курса).
8.1
Методические рекомендации преподавателю
Задачи вызывающие значительные затруднения, коллективно обсуждаются в классе. Во время
докладов студентов следует уделять особое внимание ясности изложения и умению докладчика
поддерживать контакт с аудиторией. Следует стимулировать конструктивное академечиское
обсуждение докладов, воспитывать умение слушать собеседника и задавать содержательные
вопросы.
9
Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента
Основной задачей семинара является вовлечение студентов в самостоятельные математические
исследования и воспитание математического вкуса и культуры академического общения. В соответствии с этим, основным оценочным критерием является активность, с которой студент
принимает участие в работе семинара и качество его докладов и текстов. Для студентов, которые так и не осмеливаются сделать самостоятельный доклад и/или написать работу, имеется
возможность получения зачёта по сумме решённых ими задач из листков. Студент имеет возможность по согласованию с учебной частью пересдать низкие результаты за решённые задачи
путём досдачи последних в специально отведённый для этого день.
10 Порядок формирования оценок по дисциплине
Оценка промежуточного и итогового зачётов выставляется по 10-балльной шкале. Сделанный студентом доклад оценивается по 100 бальной шкале числом D, написанная работа
оценивается по 100 бальной шкале числом T, активность на семинаре и качество задаваемых
вопросов оценивается по 100 бальной шкале числом A, количество решённых домашних задач
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Программа дисциплины Инварианты и представления классических групп для направления 010100.62
«Математика» подготовки бакалавра
оценивается по 100 бальной шкале числом P, равным процентной доле от общего числа выданных задач. Итоговая зачётная оценка R вычисляется по формуле
R = min(D+0.8 T+0.5 A+ 0,6 P, 120) * 10 / 120
(и округляется до целого числа в соответствии со стандартными правилами). При вычислении
промежуточной оценки после второго модуля учитываются только результаты, полученные в
течение первых двух модулей. При вычислении итоговой оценки после 4-го модуля учитываются результаты полученные за весь год. В диплом ставится оценка за итоговый контроль, полученная в коне 4-го модуля.
11 Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
11.1 Основная литература
1. Айерлэнд, Роузен. Классическое введение в современную теорию чисел. - М.: «Мир»,
1987
2. Боревич З.И., Шафаревич И.Р. Теория чисел. - М.: «Наука», 1983
3. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры. Том 1. Введение в когомологии и производные категории. - М.: «Наука», 1988
4. Городенцев А.Л. Геометрическое введение в алгебраиескую геометрию. http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/stud/giag_ru/giag.pdf
5. Городенцев А.Л. Курс геометрии 2011-2012 года.http://vyshka.math.ru/1112/geometry.html
6. Касселс Дж.В.С. Введение в теорию диофантовых приближений.
7. Маклейн С. Категории для работающего математика. - М.: ФМЛ, 2004
8. Рид М. Алгебраическая геометрия для всех. - М.: «Мир», 1991
9. Хинчин А.Я. Цепные дроби.
10. Gorodentsev A.L. Algebraic geometry: start up course. - М.: МЦНМО, 2011
11.2 Дополнительная литература
11. Арнольд В.И. Цепные дроби.
12. Данилов В.И. Алгебраические многообразия и схемы. - В кн. «Алгебраическая геометрия — 1», Итоги науки и техники, Современные проблемы математики, Фундаментальные направления, М.: ВИНИТИ, 1989
13. Клеменс Д. Мозаика теории комплексных кривых. - М.: «Мир», 1984
14. Шафаревич И. Основы алгебраической геометрии. Том 1. Алгебраические многообразия
в проективном пространстве. - 2е изд., М.: «Наука», 1988
15. Gruber P.M., Lekkerkerker C.G. Geometry of numbers - 2ed., NH, 1987
16. Semple J.G., Kneebone G.T. Algebraic projective geometry. - Oxford, 1952
17. Semple J.G., Roth L. Introduction to algebraic geometry. - Oxford, 1949