z E z t f t f

Лекция 2
Общее решение волнового уравнения (3) можно записать в виде:
z
z
E ( z, t )  f1 ( t  )  f 2 ( t  )
v
v
(4)
z
f 1 ( t  ) - описывает волну произвольной формы, движущуюся со скоростью v в направлении
v
положительных значений оси z. В процессе движения значение f1 в каждой точке волны не
изменяется. Аналогично и для второго компонента f 2 , который описывает волну, движущуюся со
скоростью v в направлении отрицательных значений z.
Волна, описываемая уравнением (4), является суперпозицией двух бегущих навстречу волн. В этом
случае уже нельзя говорить о скорости или направлении волны. В простейшем случае получается
стоячая волна, а в общем случае имеет место сложное электромагнитное поле, которое требует
специального изучения. Значение функции Е для фиксированных z и t является постоянным на
плоскости, перпендикулярной оси z. Поэтому такие волны называют плоскими.
Гармонические (монохроматические) волны
В фиксированной точке пространства
только от времени:
z  z 0 (r  r0 )
возмущение, вызванное волной, зависит
E ( z0 , t  )  f ( t  )
t  время, отсчитанное от того момента, когда точка z  z0
и представляет собой колебание, где
начала колебаться.
Особый интерес представляет периодическая гармоническая функция времени, т.е. когда
локализованный колебательный процесс
E (z0 , t  )  f (t  )  a cos(t   ) (5)
a- амплитуда, (t    ) - фаза,
T- период колебаний,
  2 
2
1
- циклическая частота,   -частота колебаний,
T
T
  начальная фаза колебаний.
Волна - процесс распространения колебаний в среде, электро-магнитная волна (ЭМВ) может
распространяться и в пустоте. Волна, порожденная гармоническими (синусоидальными)
колебаниями, называется монохроматической или гармонической.
Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси z. Она получается
при замене в формуле для гармонического колебания (5) t  на t 
z
v
z


E ( z , t )  a cos ( t  )     a cos(t  kz   ) .
v


Это распространяющийся вдоль оси z колебательный процесс. Для монохроматической волны,
распространяющейся вдоль произвольного направления n :
nr


E ( r, t )  a cos ( t  )     a cos(t  kr   )
v


Здесь:
k
 
2n 2
 n

v c
0

— численная величина волнового вектора k=kn
(постоянная распространения); вектор k направлен вдоль n. Отсюда следует, что
v

  k
1
фазовая скорость волны ( v


),
t
совпадающая для монохроматической волны со скоростью
распространения амплитуды волны.
Фазовая скорость - это скорость распространения постоянной фазы волны, она определяется
показателем преломления среды для данной длины волны. Понятие фазовая скорость применяется
только к строго монохроматическим волнам
В действительности мы всегда имеем более или менее сложный импульс. Для простоты представим
импульс как совокупность двух близких по частоте косинусоид одинаковой амплитуды. Наложение
таких близких по частоте косинусоид дает импульс вида:
A max
Другими словами, мы имеем биения двух близких по частоте колебаний.
Итак, импульс составлен из двух волн:
E1  a cos( 1 t  k1 z ) , E 2  a cos( 2 t  k 2 z ) ,
их амплитуды равны, а частоты и длины волн мало отличаются друг от друга:
 1   0   ,  2   0   ; k 1  k 0  k , k 2  k 0  k ,
где  и k - малые величины.
Импульс (или группа волн) есть сумма двух волн:
E  E1  E 2  a cos( 1t  k1 z )  acos( 2 t  k 2 z ) 
( 1   2 )t  (k1  k 2 ) z
(   2 )t  (k1  k 2 ) z
cos 1

2
2
2a cos(t  kz)  cos( 0 t  k 0 z )  Acos( 0 t  k 0 z )
2acos
A меняется во времени и в пространстве, однако меняется медленно по сравнению с периодом Т и
длинной волны . Выделив на импульсе точку, например, Amax , определим скорость перемещения
этой точки, которая и характеризует скорость распространения импульса. Таким образом, скорость
импульса (группы волн), называют согласно Рэлею, групповой скоростью. Групповая скорость - это
скорость перемещения амплитуды, а следовательно, энергии.
Для нахождения групповой скорости u нужно написать условие постоянства амплитуды
t  kz  const . Дифференцируя это соотношение, находим dt  kdz  0 или
u
z  d
.


t k dk
2
Итак, монохроматическая волна характеризуется фазовой скоростью
перемещения фазы, а импульс, характеризуется групповой скоростью
скорости распространения энергии поля этого импульса.

, означающей скорость
k
d
, соответствующей
u
dk
v
Нетрудно найти связь между u и v:
d d ( vk )
dv

 vk
,
dk
dk
dk
dk  ( 2 2 ) d
u
т.к.
k  2  , следовательно

k
dv
2

dk

u  v
При
при
dv
d
dv
dv
 
2  d
d
2

Формула Рэлея
dv
 0 - (нормальная дисперсия) u<v ,
d
dv
 0 (аномальная дисперсия) u<v.
d
3