5. Задача де Бройля фазовой волны

Проблема фазовой волны де Бройля. (Фазовая волна де Бройля – это
волна, сопровождающая любую частицу материи). Задача в том, чтобы выяснить
причину возникновения и существования фазовой волны де Бройля, а также
почему она фазовая, а не групповая, и как это сказывается на теории элементарных
частиц.
Де Бройль ставил вопрос о причине существования этой волны, но ответ не
был получен, а в рамках Копенгагенской интерпретации – элиминирован.
Возможно, теперь мы с больше определенностью можем описать эту волну. (Но,
быть может, этот вопрос в рамках современных наших знаний останется без ответа,
потому что он связан со строением физического вакуума, о котором мы еще ничего
не знаем).
Далее приводятся выдержки из статей де Бройля, помогающие войти в курс
дела.
Как известно, гипотеза де Бройля о том, что движение каждой частицы
сопровождается фазовой волной, явилась исходным пунктом построения
Шредингером волновой механики. Менее известно, что эта гипотеза полностью
обоснована математически и, фактически, следует из электромагнитной теории
поля.
По де Бройлю каждая частица сопряжена с “внутренним периодическим
явлением” в частице. Приведем краткие выдержки из его двух основных статей.
Л. де Бройль. Попытка построения теории световых квантов (перевод с фр. в
«Вариационные принципы механики», сб. статей под ред. Л.С. Полака. ГИФМЛ, М., 1959). Стр. 631.
«Рассмотрим движущееся тело, масса покоя которого равна m0 ; движение
происходит по отношению к определенному наблюдателю со скоростью
υ = β c ( β < 1) . Вследствие принципа эквивалентности упомянутое тело должно
обладать внутренней энергией m0 c 2 . Квантовые соотношения наводят на мысль
приписать эту внутреннюю энергию некоторому периодическому явлению, частота
1
которого равная ν 0 = m0 c 2 . Для покоящегося наблюдателя полной анергией
h
m0 c 2
1 m0 c 2
, и соответствующей частотой будет ν =
является неличина
h 1− β 2
1− β 2
Однако, если на внутреннее периодическое явление смотрит покоящийся
наблюдатель, то частота данного явления ему будет казаться более низкой и равной
ν 1 = ν 0 1 − β 2 , т. е. наблюдателю процесс покажется протекающим
пропорционально sin 2πν 1t . Частота ν 1 , совершенно отлична от ν ; однако эти
частоты связаны согласно основной теореме, дающей нам физическую
интерпретацию величины ν ,
Предположим, что в момент t = 0 движущееся тело совпадает по длине с волной,
обладающей заданным выше значением частоты ν и распространяющейся со
c c2
скоростью =
.Согласно предположениям Эйнштейна, подобная волна не
β υ
может переносить энергии.
Наша теорема заключается в следующем: Если внутреннее явление в, движущемся
теле совпадает в начальный момент по фазе с волной, то это фазовое
соответствие будет сохраняться и в дальнейшем. В самом деле: в момент t
движущееся тело находится на расстоянии x = υ t от исходного положения, а
x
; волна в этой
υ
 βx 
1 β 
же точке определяется выражением sin 2πν t  t −
 = sin 2π ν x −  . Оба
c 

υ c 
эти содержащие синус выражения будут равны, и фазовое
соответствие
сохранится, если соблюдено следующее условие:
ν1 = ν 1− β 2
которое, очевидно, выполняется по определению величин ν и ν 1 . Этот важный
результат неявно содержится в лоренцевом преобразовании времени. Если
местным временем наблюдателя, движущегося вместе с телом, является τ , то это
время будет определять внутреннее явление посредством функции sin 2π ν 0τ .
Согласно преобразованию Лоренца, покоящийся наблюдатель должен описывать
1
 βx 
то же самое явление посредством функции sin 2πν 0
t −
 , которая
c 
1− β 2 
происходящее в нем внутреннее явление пропорционально sin 2πν 1
(
может
интерпретироваться
как
описание
)
волны
с
частотой
ν0
1− β 2
,
c
.
β
Мы, далее, склоняемся к тому допущению, что, быть может, каждое движущееся
тело сопровождается волной и что разделение движения тела и распространения
волны является невозможным.
Эта мысль может быть выражена также другим способом. Группа волн с очень
мало отличающимися частотами имеет «групповую скорость» V, которая недавно
была изучена лордом Рэлеем и которая в обычной теории является скоростью
«распространения энергии». Эта групповая скорость связана с фазовой скоростью
соотношением
ν 
d 
1
υ
=  
U
dν
2
1 m0 c
c
Если частота ν равна
, а величина υ равна
, то мы получаем
2
β
h 1− β
распространяющейся вдоль оси х со скоростью
соотношение U = β c , так что можно сказать:
скорость движущегося тела
является скоростью распространения энергии группы волн, обладающих при
1 m0 c 2
c
очень мало отличающихся значениях β частотами
и скоростями .
β
h 1− β 2
IV. Механика и геометрическая оптика
Попытка распространения предыдущих положений на случай переменной скорости
является, хотя и весьма трудной, но очень заманчивой задачей. Если движущееся
тело описывает в какой-либо среде кривую траекторию, то мы говорим, что
существует силовое поле; в каждой точке поля может быть подсчитана
потенциальная анергия и, проходя через эту точку, тело обладает скоростью,
которая определяется из условия постоянства значения его полной энергии. Повидимому, естественно предположить, что фазовая волна должна иметь в
некоторой точке скорость и частоту, определяемые тем значением, которое имела
бы величина β , если бы тело находилось в данной точке. Распространяясь, фазовая
волна обладает постоянной частотой ν и непрерывно изменяющейся скоростью υ .
Быть может, какой-либо новый электромагнетизм даст нам законы данного
сложного распространения, однако окончательный результат ясен, по-видимому,
заранее. Именно, лучи фазовой волны совпадают с динамически возможными
траекториями. В самом деле, траектория лучей может быть здесь подсчитана с
помощью принципа Ферма так же, как в средах с переменной дисперсией…
Настоящая теория подсказывает интересное объяснение условий устойчивости
Бора. В момент времени t = 0 электрон находится в точке А своей траектории.
Исходящая в этот момент из точки А фазовая волна опишет всю траекторию и
вновь встретится с электроном в точке А'. Очевидно, необходимо, чтобы при
встрече с электроном данная волна находилась с ним в одной фазе. Это можно
выразить так: «Движение может быть устойчивым лишь в том случае, если длина
фазовой волны соизмерима с длиной траектории». Условием соизмеримости в этом
случае будет соотношение:
T
m0 β 2 c 2
ds
=
∫ λ ∫0 h 1 − β 2 dt = n
( n — целое число; Т - период вращения).
Мы можем в квантовой теории записывать условия устойчивости в введенной
Эйнштейном общей форме, которая в квазипериодических случаях вследствие
существования бесконечного количества псевдопериодов вырождается в условия
Зоммерфельда. Обозначим импульсы через p x , p y , p z ; тогда с5щее условие
Эйнштейна примет вид ∫ ( p x dx + p y dy + p z dz ) = nh или, иначе,
T
∫
0
m0
1− β 2
(υ
2
x
)
T
+ υ y2 + υ z2 dt = ∫
0
m0 β 2 c 2
1− β 2
dt = nh
что в точности совпадает с полученным ранее результатом».
В следующей своей статье («Исследование по теории квантов», См. сборник,
стр. 647) де Бройль доказывает “теорему гармонии фаз” несколько иначе:
“Периодическое явление, связанное с движущимся телом, частота которого для
неподвижного наблюдателя равна
1
2
ν1 = mo c 2 1 − β
h
кажется тому постоянно находящимся в одной фазе с волной частоты
1 mo c 2
ν=
h 1− β 2
распространяющейся в том же направлении, что и движущееся тело, со скоростью
c
c2
υ ph = =
β υ gr
Эту теорему можно доказать… и другим способом, по существу таким же, но,
может быть, более убедительным. Для t o (собственное время движущегося тела,
связанного с наблюдателем) преобразование Лоренца дает
β x
t−
c
t =
o
2
1− β
Периодическое явление, которое мы вообразили, представляется этому
наблюдателю в виде синусоидальной функции ν o t o
(т.е.
-А.К.). Для
неподвижного наблюдателя это явление представляется той же синусоидальной
β x
β x
t−
c
2 π iν o
t−
2
c
1− β
2 π iν o t
функцией νo
(т.е. ψ = ψ o e
= ψ oe
- А.К.), которая
2
1− β
νo
представляет собой волну с частотой
, распространяющейся со скоростью
2
1− β
c
в том же направлении, что и движущееся тело”.
β
2 π iν o
t−
β x
c
2
2π i
νo
2

 t− x
 v ph





1− β
1− β
Действительно, ψ = ψ o e
= ψ oe
. Таким образом, мы
можем признавать или не признавать реальность внутреннего периодического
движения частицы, но оно формально обязательно существует как следствие
преобразований Лорентца.
Из гипотезы о внутреннем периодическом движении и вышеприведенных
формул де-Бройль выводит свою знаменитую формулу для длины волны частицы.
Поскольку фазовая скорость
υ ph = λ ⋅ ν , где λ - длина волны, ν - частота, то λ =
β=
υ gr
c
,
c 1− β
λ= ⋅
β
νo
а
2
νo
ν=
c 1− β
= ⋅
β
mo c 2
h
1− β
2
=
v ph
β
, но υ ph =
c
, где
β
2
2
=
h
mo v gr
1− β
1 mo c
⋅
h 1− β
=
2
h
, где
p
,
то
p=
получаем:
mo v gr
1− β
2
- импульс
2
частицы.
В заключение приведем важное замечание де-Бройля:
“Необходимо теперь подумать о природе волны, существование которой мы
c
(фазовая скорость только что предположили. Тот факт, что ее скорость υ =
β
А.К.) обязательно больше c ( β всегда меньше 1, т.к. иначе масса была бы
бесконечной или мнимой), показывает, что эта волна не переносит энергии. Наша
теорема показывает, что эта волна представляет собой распределение
рассматриваемого периодического явления в фазовом пространстве, это - так
называемая “фазовая волна”.