Lec_2

Волны
Механическая волна.
Механическая волна – распространение колебаний в упругой среде.
Виды: продольные, поперечные.
Классификация:
1) Одиночная волна (солитон)
2) Волновой пакет
( 0   )

- степень монохроматичности пакета (если маленькая – монохроматичность высокая)
0
3) ЦУГ

0
0
l  
4) Монохроматическая волна
- бесконечная синусоида, идеальная модель.
  0
Звук.
Звук – упругие волны малой интенсивности, распространяющиеся в упругой среде.
Звуковые волны частотой от 16 Гц до 20 кГц – слышимые звуки, менее 16 Гц – инфразвук,
более 20 кГц – ультразвук.
Продольные и поперечные волны.
Продольные волны: колебание точек среды параллельно скорости волны. Продольные
волны обусловлены объемной упругостью среды и могут распространяться в любой среде
– твердой, жидкой, газообразной. Примером таких волн являются звуковые волны в
воздухе.

k

 - плотность
Поперечные волны: колебание точек среды перпендикулярно скорости волны;
распространяются только в твердых телах. Примером поперечных волн могут служить
волны, распространяющиеся вдоль струн музыкальных инструментов.

G

Длина волны, фронт волны, волновая поверхность.
Длина волны – расстояние, которое волна проходит за период.
  T
Фронт волны – геометрическое место точек, до которых к данному моменту дошли
колебания.
Волновая поверхность – геометрическое место точек, в которых фаза колебаний имеет
одно и тоже значение.
Вывод уравнения плоской волны.
Бегущая волна


k (kx, ky, kz)
S (0,0,0, t )  A cos(t )
 ( x, y , z )

S ( x, y, z , t )  A cos[t  (k x i
  


 k y j  k z k )( xi  yj  zk )]


S (r , t )  A cos(t  k r ) ** - уравнение плоской волны
Волновой вектор.
S (0, t )  A cos(t   )
x



k  - волновое число

S ( x, t ) 
A cos(t   )    
x


A cos  (t  )    



A cos(t  kx   )
 2
k 


 
k  kx0 - волновой вектор
Фазовая скорость волны.
Фазовая скорость волны – скорость распространения фазы.
t  kx  const
x 
   o|o  
t k
Волновое уравнение.
(*): S ( x, t )  A cos(t  kx)
2S
  2 A cos(t  kx) 
2
dt
  2 S ( x, t )
2S
  k 2 S ( x, t )
2
dx
2S k 2 2S


x 2  2 dt 2
k 1

 
2S 1 2S
 
0
x 2  2 dt 2


S
(
r
,
t
)

A
cos(

t

k
r)
(**):
2
2
2
2




x 2
x 2 y 2 z 2
1 2S
2S  2  2  0
 t
Стоячая волна: вывод уравнения.
(Бегущая и отраженная)
Получается при наложении 2-х волн одинаковой амплитуды, частоты, направления,
разных фаз.
Sб  A cos(t  kx)
Sот  A cos(t  kx)
Sст  Sб  Sот 
A[cos(t  kx)  cos(t  kx)] 
2 A coskx  cost 

зависит_ от _ координат
2 Acoskx - амплитуда стоячей волны
Координаты узлов и пучностей.
Пучность: cos kx  1 , 2A – амплитуда
2
kx  2n  x 
 n - координаты пучности
k
Узел: cos kx  0 , 0 – амплитуда

 n
kx   n  x 

- координаты узла
2
2k k
Условия отражения.
1. Если отражение происходит от линии плотной среды, то в точке отражения пучность.
2. Если от более плотной среды – узел.
Продольные волны в твердом теле: вывод волнового уравнения,
скорость продольных волн.
Рассмотрим твердый стержень с площадью поперечного сечения S и плотностью  ;
производится удар по торцу стержня и вдоль него распространяются колебания – упругие
продольные волны.
 x, t  - смещение от положения равновесия точки, удаленной на расстояние х от места
удара в момент времени t.
Участок толщиной dx имеет массу dm  Sdx , его ускорение a 
 2
.
t 2
 2
По второму закону Ньютона: F x  dx  F x = dm a =   S  dx  2 .
t
Разложим F ( x  dx) в ряд и ограничимся двумя членами разложения:
F ( x  dx)  F  x  
dF
dx ,
dx
 2 dF
.
S 2 
dx
t
По закону Гука   E ,
F

- напряжение,
S
E - модуль Юнга,


- относительное удлинение.
x

F  S  E
S
x
dF
 2
 ES 2
dx
x
2

 2
S 2  ES 2
t
x
2
2
 
.

x 2 E t 2
 2 1  2
Получим волновое уравнение:

0
x 2  t 2
E
Где  
- скорость продольных волн в твердом теле.

Энергия, переносимая волной.
Рассмотрим малый объем V , скорость смещения v 

и относительное удлинение
t

можно считать одинаковыми во всем объеме V .
x
Кинетическая энергия

dm  v 2    
Wк 
   V .
2
2  t 
Потенциальная энергия
E 2
Wп 
V 
2
2
E   
  V 
2  x 
2
 v 2   
2
  V
2  x 
Полная энергия
W  Wк  Wп 
   
   
   v    V
2  t 
 x  
Объемная плотность энергии
2
2
2
w
W

V
   
2
   
   v   
2  t 
 x  
 x, t   Acost  kx

 A sin  t  kx
t

 kAsin  t  kx
x
w  A 2 2 sin  t  kx 
2
2
A 2 2 1  2 cos2 t  kx
- плотность энергии зависит от координаты и времени. Среднее значение квадрата синуса
равно 1 .
2
Соответственно среднее по времени значение плотности энергии в каждой точке среды
1
равно:  w   A 2 2
2
Среда, в которой распространяется волна, обладает дополнительной энергией, волна
переносит с собой энергию.
Поток энергии – энергия, переносимая через данную поверхность в единицу времени
W

t
Плотность потока энергии – поток через единицу поверхности, перпендикулярной

W

скорости волны: j 
S  t S 
Энергия, переносимая волной за время t :
W  w V  wS vt
wS  v t
j
 wv
t S 

v - фазовая скорость волны.
Вектор Умова-Пойтинга.


Вектор плотности потока энергии называется вектором Умова-Пойтинга: j  wv .
Интенсивностью волны называют среднее значение вектора Умова-Пойтинга:

 1

 j    w v   A 2 w 2 v
2
Фазовая скорость
Скорость распространения фазы
t  kx  const
x 
  Ф  
t k
Групповая скорость.
Скорость распространения сигнала
Скорость, с которой распространяется максимум огибающей пакета.

k
t
x  const
2
2
d
dx d
Г 

dt dk
Связь групповой и фазовой скорости.
(Для любого количества волн)

2
k  ;k 

n
dx d d (k )
Г 



dt dk
dk
d
 d d 
k
   k


dk
 d dk 
 d dk 
  k
:

 d  d 
2  d  2  


:

  d  2  
d
 Г  Ф  
d
Если нет дисперсии:
d
0
1.
d
 Г  Ф
Есть:
d
0
2.
d
 Г  Ф
нормальная дисперсия
d
0
3.
d
 Г  Ф
аномальная дисперсия
Дисперсия.
Дисперсия: показатель преломления или скорость волны зависит от длинны волны.
В среде без дисперсии волновой пакет не меняется, с дисперсией – изменяет форму.
Рассмотрим пакет из 2х волн:
1.  , k , A0
2. (   ) ; (k  k ) ; A0
  
A0 cos(t  kx) 
A0 cos[(   )t
 (k  k ) x]
2 Acos(t  kx) 

в ол на

k
 cos(
t
x)
2 
2

огибающая_ пакета
Уравнения Максвелла.

B
rot E  
t


D
rot H  j 
t

div D  

div B  0
Свободное пространство:
j 0
 0
Если среда однородная (не зависит от пространства) и изотропная (не зависит от
направления):
D  0 E
B  0 H
Запишем уравнения для напряженностей:
H
, div E  0
t
E
, div H  0
rot H  0
t
Введем оператор Набла:



 i
j k
x y
z
rot E   0
  A  rot A
  A  div A
H
,  E  0
t
E
,  H  0
  H  0
t
  E   0
Волновое уравнение для электромагнитных волн и его решение.
Введем оператор Набла от 1-го уравнения

  (  E )    0 (  H )
t
  (  E ) 
  (  E )  (  )  E 

0
2
 E

E 
2 E
  0 0 2
0  0
t 
t 
t
1
 Ф
0 0
1 2 E
 2 t 2
дифференциальное волновое уравнение для напряженности электрического поля.
Для H вывод аналогичен
2
1 2 H
 H 2
 t 2
в однородной изотропной среде распространяется плоская монохроматическая волна.
Уравнение волны в произвольном пространстве. Решение.
E ( x, t )  E0 ei (t  kx )
2
 E
H ( x, t )  H 0 e i (t  kx )
 i k x E  i0 H
H k
H E
Связи векторов E и H :
k  ( k x ,0,0)
E  (0, E y ,0)
H  (0,0, H z )
kE 
i
j
kx 0
0 Ey
k
0  kx Ey k
0
0 H z k  k x E y k
Сделав подстановки, можно увидеть:
0 E  0 H
Энергия электромагнитных волн. Вектор Умова-Пойтинга.
Плотность энергии электрического поля:
 E 2
э  0
2
магнитного:
 H 2
м  0
2
  э   м 
0 E 2
2

0 0 2
E
20
  0 E 2  0 H 2 
1

HE
Плотность потока:
j   
j  EH
E, H - правая тройка
j  E  H - вектор Умова-Пойтинга (определяет плотность потока энергии
электромагнитной волны).
Давление света.
Давление света - давление, которое оказывает свет, падающий на поверхность тела.
Определяется формулой Максвелла.
Физический смысл
Согласно сегодняшним представлениям свет обладает корпускулярно-волновым
дуализмом, то есть проявляет свойства частиц (фотонов) и свойства волн
(электромагнитного излучения).
Если рассматривать свет как поток фотонов, то, согласно принципам классической
механики, частицы при ударе о тело должны передавать импульс, другими словами оказывать давление. Такое давление иногда называют радиационным давлением.
Для вычисления давления света можно воспользоваться следующей формулой:
где - количество лучистой энергии, падающей нормально на 1 м2 поверхности за 1 с; скорость света, - коэффициент отражения.
Излучение диполя.
Диполь:
Дипольный момент:
p  ql
p  p cos(t )
модель описывает большинство излучательных систем (или антенн).
1
E0 ~ sin 
r
1
H 0 ~ sin 
r
1
j ~ 2 sin 2 
r
максимум излучения – перпендикулярно оси диполя.
по оси диполь не излучает.
Диаграмма направленности
Диаграмма направленности (ДН) — зависимость амплитуды вектора напряженности E
поля антенны в дальней зоне от угловых координат точки наблюдения P, то есть
зависимость E ( ,  ) .
ДН обозначается символом f ( ,  ) . Ее нормируют — все значения E ( ,  ) делят на
максимальное значение E m и обозначают нормированную ДН символом f ( ,  ) .
Очевидно, 0  F ( ,  )  1 .
ДН обычно описываются не только в плоскости, но и в трехмерном отображении. Для
упрощения рассмотрения оных принимают две проекции ДН:
* горизонтальную (азимутальная)
* вертикальную (по углу места)
При совместном рассмотрении проекций проясняется более полная картина самой ДН и,
как подтверждает практика, по этим данным можно судить об эффективности антенны
применительно решения конкретной задачи.
Существуют амплитудные A( ,  ) , фазовые  ( ,  ) и поляризационные P  ( ,  ) ДН.
Экспериментальное изучение
Получение ДН небольших антенн производят в безэховых камерах. Для больших антенн,
не помещающихся в камеру, используют их уменьшенные модели; длину волны
излучения также уменьшают в соответствующее число раз.
В случае построения диаграммы направленности для радиотелескопов выбирается яркий
точечный источник на небе (зачастую - Солнце). Далее проводится серия наблюдений под
разными углами, позволяющая построить распределение интенсивности в зависимости от
направления, то есть искомую диаграмму направленности.