Примеры методов решения олимпиадных задач

Примеры методов решения олимпиадных задач
Терентьева Ольга Ивановна, учитель физики МАОУ Лицей №1.
Задача №1
Тело движется прямолинейно вдоль оси 0𝑥. Начальная координата тела равна 0, а его
скорость в зависимости от координаты изменяется по формуле 𝑣 = 𝛼 √𝑥. Через какое время
тело окажется в точке 𝑥?
Решение:
1 способ.
𝑑𝑥
𝑣=
𝑑𝑡
𝑑𝑥
𝛼√𝑥 = 𝑑𝑡
𝑑𝑡 =
𝑑𝑥
𝛼 √𝑥
𝑡
𝑥 𝑑𝑥
∫0 𝑑𝑡 = ∫0
𝑡=
𝛼 √𝑥
2√𝑥
.
𝛼
Ответ: 𝑡 =
2√𝑥
𝛼
2 способ.
По условию задачи 𝑥(0) = 0 и 𝑣(0) = 0
Предположим, что движение равноускоренное, тогда
𝑣2
𝑥 = 2𝑎 , 𝑣 = √2𝑎𝑥.
Обозначим √2𝑎 = 𝛼, тогда 𝑣 = 𝛼 √𝑥, значит, движение данного тела равноускоренное.
𝑣𝑡
Координату можно рассчитать по формуле 𝑥 = 2 , 𝑡 =
Ответ: 𝑡 =
Задача №2
2√𝑥
𝛼
2𝑥
𝑣
=
2√𝑥
.
𝛼
Провод, по которому протекает ток, согнут под прямым углом (рис.1). Точки 1 и 2 лежат
на биссектрисе угла на расстоянии 𝑙 от вершины. Модуль вектора магнитной индукции
магнитного поля, созданного током, в точке 1 равен B1, а в точке 2 – B2. На рис.2
изображен провод, по которому протекает такой же ток.AB = 𝑙, BC = 2 𝑙. Определите
модуль вектора магнитной индукции в точке 3.
Решение:
1 способ.
По закону Био-Савара-Лапласа прямой проводник с током создаёт магнитное поле,
µ 𝐼
0
модуль вектора магнитной индукции которого B=4𝜋𝑙
(cos 𝛼1 − cos 𝛼2 ), где 𝐼 − сила тока в
проводнике, 𝑙 − расстояние от проводника до данной точки.
Для точки 1 𝛼1 =0°,𝛼2 =45°,𝛼3 =135°,𝛼4 =180°,
µ0 𝐼√2
B1=
4𝜋𝑙
(cos 𝛼1 − cos 𝛼2 + cos 𝛼3 − cos 𝛼4 ) =
µ0 𝐼√2
4𝜋𝑙
(1 −
√2
√2
− 2
2
+ 1)=
(1 +
√2
√2
+ 2
2
+ 1)=
µ0 𝐼√2
4𝜋𝑙
(2-√2)
Для точки 2 𝛼1 =0°,𝛼2 =135°,𝛼3 =45°,𝛼4 =180°,
µ0 𝐼√2
B2=
4𝜋𝑙
B1 + B2=
(cos 𝛼1 − cos 𝛼2 + cos 𝛼3 − cos 𝛼4 ) =
µ0 𝐼√2
4𝜋𝑙
µ0 𝐼√2
4𝜋𝑙
µ0 𝐼√2
4𝜋𝑙
(2+√2)
µ 𝐼
0
4, B2 – B1= 4𝜋𝑙
4
По рисунку 2: BMA=0
µ 𝐼
0
(cos 90° − cos 135°) =
BAB = 4𝜋𝑙
√2
(0+ 2 ),
µ 𝐼
µ0 𝐼 √2 √2
( +
4𝜋𝑙 2 2
µ 𝐼
µ0 𝐼 √2
( +1
4𝜋𝑙 2
0
(cos 45° − cos 135°) =
BBC = 4𝜋𝑙
0
(cos 45° − cos 180°) =
BCN = 4𝜋𝑙
µ 𝐼
µ0 𝐼
4𝜋𝑙
0
B=4𝜋𝑙
(2√2 + 1) =
B1 + B2
2
+
B2 – B1
4
=
),
).
B1 + 3B2
4
Очевидно, что задача переопределена, и решение требует знания закона Био-СавараЛапласа, что выходит за рамки программы в непрофильных классах.
Ответ: B=
2 способ.
B1 + 3B2
4
Обратимся к рисунку 1.
Очевидно, что через точку 1 проходит только одна магнитная линия с центром в вершине
угла. Обозначим магнитную индукцию в этой точке B*.
Через точку 2 проходят три линии: одна с центром в вершине
угла и две с центрами на сторонах угла (им соответствует
индукция B**).
Тогда B1 = B*, B2= B*+2 B** , или
B* = B1, B**=
B2 – B1
2
.
Индукция магнитного поля по мере удаления от источника убывает обратно
пропорционально квадрату расстояния, поэтому всем магнитным линиям на рисунке 2
будут соответствовать индукции в 2 раза меньшие B* и
B**.
1
1
B = 2(2 B*+3 B**) = 2(2 B1+3
Ответ: B =
B2 – B1
B1 + 3B2
2
4
)=
.
B1 + 3B2
4
.
Задача №3
Если равномерно заряженный шар разрезать пополам
и отпустить половинки, то после разлета на бесконечно большое расстояние они будут
иметь скорость v1. Если взять половину того же шара, разрезать пополам и отпустить
половинки, то после разлета на бесконечно большое расстояние они будут иметь
скорость v2. Берут первоначальный шар, вырезают из него четвертую часть и отпускают
получившиеся части. Какую скорость будет иметь на бесконечно большом расстоянии
меньшая часть? Считать, что при разлете части шара движутся поступательно (без
вращения).
Решение:
Рис.1
Рис.2
Обозначим W энергию взаимодействия двух частей (рис.1) и
W* - энергию взаимодействия двух частей (рис.2).
Тогда W1= 2 W + 2 W*,
W2 = W,
W3 = 2 W + W*.
Выразим W3 через W1 и W2
1
W* = W1- W2,
2
1
1
W3 = 2 W2 + 2W1-W2 = W2 + 2W1.
По закону сохранения энергии
𝑚 𝑣1 2
W1 = 2 2
2
𝑚 𝑣2 2
W2 = 2 4
W3 =
2
𝑚 𝑣3 2
4 2
=
=
𝑚𝑣1 2
2
𝑚𝑣2 2
4
,
,
3𝑚 𝑣4 2
+
4
2
.
По закону сохранения импульса
0=
𝑚𝑣3
4
W3 =
-
3𝑚𝑣4
𝑚 𝑣3 2
4 2
4
+
, 𝑣4 = 𝑣3 /3 и
3𝑚 𝑣3 2
=
4 18
𝑚𝑣3 2
6
1
Так как W3 = W2 + 2W1,
𝑚𝑣3 2
6
=
𝑚𝑣2 2
4
+
𝑚𝑣1 2
4
,
3
𝑣3 = √ (𝑣1 2 + 𝑣1 2 ).
2
3
Ответ: 𝑣3 = √2 (𝑣1 2 + 𝑣1 2 )