Решение некоторых задач на смекалку главы 2.

Решение некоторых задач на смекалку главы 2.
№147. *
Первый вариант решения.
Заметим, что последняя цифра произведения натуральных чисел определяется
только последней цифрой каждого из сомножителей. Рассмотрим числа
Каждое следующее получается из предыдущего умножением на 2.
2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 ,
Посмотрим на последние цифры чисел 2, 22 , 23 , 24 , 25 , 26 . Это 2, 4, 8, 6, 2, 4. Заметим, что
цифры повторяются через 3. Они будут повторяться и далее, так как каждая следующая
цифра получается из предыдущей по одному и тому же правилу. Заметим, что
2011  502  4  3 . Поэтому у числа 22011 будет такая же последняя цифра, как и у чисел
23 , 27 , 211 , , то есть 8.
Второй вариант решения.
Опять заметим, что 2011  502  4  3 . Поэтому 22011  250243  24502  23  16502  8 . Число,
оканчивающееся на 6, в любой натуральной степени будет оканчиваться на 6. Поэтому
16502 будет заканчиваться на 6, а все произведение 16502  8 будет оканчиваться на 8.
№177. *
Предположим противное. Пусть уравнение прямой l1 (см. рис.) имеет вид y = bx + c. У
этой прямой самый большой угловой коэффициент, в частности b > c. Но прямая l1
пересекает ось ординат в точке с ординатой c, прямая l2 – в точке с ординатой b, причем
из рисунка видно, что c > b. Полученные неравенства противоречат друг другу,
следовательно, таких чисел a, b и c не существует.
Ответ: не существуют.
№178. *
Если система из трех линейных уравнений имеет единственное решение, то система,
составленная из любых двух из трех этих уравнений будет иметь либо одно, либо
бесконечно много решений.
а) Заметим, что система из первых двух уравнений будет иметь единственное
11
1
решение x  , y  . Чтобы исходная система имела единственное решение
5
5
необходимо и достаточно, чтобы указанное решение было решением третьего уравнения.
11
1
 4  3  a .
То есть
5
5
б) Заметим, что система из первых двух уравнений будет иметь единственное
решение (1; 0), если a  2 . В этом случае, чтобы исходная система имела единственное
решение (аналогично п. (а)), необходимо и достаточно, чтобы b  2 .
Аналогично, система из второго и третьего уравнений будет иметь единственное
решение (0; 0,5), если b  2 . В этом случае, чтобы исходная система имела единственное
решение (аналогично п. (а)), необходимо и достаточно, чтобы a  2 .
Пусть система из первых двух уравнений имеет бесконечно много решений (это
будет при a  2 ). В этом случае, чтобы исходная система имела единственное,
необходимо и достаточно, чтобы b  2 (иначе система будет иметь бесконечно много
решений).
Аналогично, если система из второго и третьего уравнений имеет бесконечно много
решений, то b  2 и a  2 .
в) Рассмотрим два случая: a  b и a  b .
Пусть a  b .
Заметим, что если числа x и y будут решениями третьего уравнения, то они также
будут и решениями первого уравнения (так как первое уравнение получается из третьего
умножением на a). Таким образом, исходная система имеет единственное решение тогда и
только тогда, когда единственное решение имеет система, составленная из второго и
a2 1
 , то есть а ≠ 3. При таких a решением
третьего уравнений. А это будет, когда
1
1
2
a 5
системы будет x 
, y
.
a 3
a 3
Пусть a ≠ b. Тогда система из первого и третьего уравнения будет иметь
единственное решение (1; 0). Но тогда это решение должно быть решением второго
уравнения, откуда а = 5 .
Ответ:
 11 1 
а) a = 3:  ;  ;
 5 5
 1
б) a = 2, b ≠ 2:  0;  , a ≠ 2, b = 2: (1; 0).
 2
 2 a 5
;
в) a = b ≠ 3: 
 , а = 5, a ≠ b: (1; 0).
 a 3 a 3
№194. *
Вычтем из первого уравнения системы второе.
Получим 3502х – 3502у = 3502. То есть х – у = 1.
Сложим первое уравнение системы со вторым.
Получим 10000х + 10000у = 50000. То есть х + у = 5.
Решив систему из двух полученных уравнений, найдем x  3 , y  2 .
Ответ: (3; 2).
№196. *
Пусть ( x1; y1 ) и ( x2 ; y2 ) – два различных целочисленных решения уравнения. Тогда
121x1  49 y1  1 и 121x2  49 y2  1 . Вычтя одно равенство из другого, получим
121( x1  x2 )  49( y1  y2 ) . Так как 121 и 49 – взаимно простые числа (то есть не имеют
общих натуральных делителей кроме 1), то x1  x2 делится на 49, а y1  y2 делится на 121.
Теперь заметим, что если x2  x1  49t , то y2  y1  121t .
Таким образом, если мы найдем одно целочисленное решение, мы найдем и все
остальные.
121x  1
23x  1
 2
. Нам нужно найти такое x (от 1 до
49
49
49), чтобы 23x 1 делилось на 49. Таким x будет число 32. Тогда y=79.
49 y  121x  1 . Откуда y 
Ответ: x  32  49t , y  79  121t , t – любое целое число.
№ 218*.
Пусть стоимость сандвича x центов, чашки кофе – y центов, пончика – z центов.
4 x  y  10 z  169
Тогда получим систему: 
.
3x  y  7 z  126
Домножим первое уравнение на 2, а второе на 3, и вычтем полученные уравнения
одно из другого. Получим, уравнение x  y  z  40 . Это и будет означать, что сандвич,
чашка кофе и пончик стоит 40 центов.
Ответ: 40 центов.
№ 313. *
Пусть x – доля свинца в первом сплаве, а y – доля свинца во втором сплаве. Пусть
от каждого куска отрезали по m килограмм и прибавили столько же килограммов другого
(6  m) x  my
. Доля свинца во втором
сплава. Тогда доля свинца в первом куске стала:
6
(12  m) y  mx
. Приравняем эти доли:
куске стала:
12
(6  m) x  my (12  m) y  mx

;
6
12
2(6  m) x  2my  (12  m) y  mx.
m(3 y  3x )  12 y  12 x.
Так как x  y , то m  4 .
Ответ: 4 кг