Исходные данные R1 ≔ 25 Ом R2 ≔ 25 Ом R3 ≔ 25 Ом R4 ≔ 25 Ом L ≔ 125 ⋅ 10 -3 Схема до коммутации: E ≔ 50 В Гн Классический метод расчета 1. Составим дифференциальное уравнение: Для схемы после коммутации составим систему уравнений по законам Кирхгофа i1 - i2 - i3 ＝ 0 UL + i2 ⋅ R3 + i1 ⋅ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ ＝ E UL + i1 ⋅ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ + i3 ⋅ ⎛⎝R4⎞⎠ ＝ E Схема после коммутации: Выразим из второго уравнения: ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ UL E - i1 ⋅ ――― i2 ＝ ― - ―― R3 R3 R3 Выразим из третьего уравнения: ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ UL E - i1 ⋅ ――― i3 ＝ ― - ―― R4 R4 R4 Подставим в первое уравнение: ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ UL UL E E + i1 ⋅ ――― - ― + ―― + i1 ⋅ ――― ＝ 0 i1 - i2 - i3 ＝ i1 - ― + ―― R3 R3 R4 R4 R3 R4 ⎛ d ⎞ , UL ＝ L ⋅ ⎜―― i1⎟ ⎜⎝ dt ⎟⎠ ⎛ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ ⎞ ⎛ 1 1 ⎞ E E ⎜――― + ――― + 1⎟ ⋅ i1 + ⎜― + ―⎟ ⋅ UL ＝ ― + ― R3 R4 R3 R4 ⎝ ⎠ ⎝ R4 R3 ⎠ Группируем: ⎞ ⎛ L L ⎞ ⎛ d ⎞ ⎛ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ E E + + 1 + i ⋅ + ――― ――― ― ― ―― ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅ i1 ＝ ― + ― ⎜ ⎟ 1 R3 R4 R3 R4 ⎠ ⎝ R4 R3 ⎠ ⎜⎝ dt ⎟⎠ ⎝ Вычислим значения в скобках: ⎛ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2⎞⎠ ⎞ ⎜――― + ――― + 1⎟ = 5 R3 R4 ⎝ ⎠ ⎛ L L ⎞ ⎜― + ―⎟ = 0.01 ⎝ R4 R3 ⎠ Получим Обозначим: E E ―+―=4 R3 R4 ⎛ d ⎞ i1⎟ + 5 i1 ＝ 4 0.01 ⋅ ⎜―― ⎜⎝ dt ⎟⎠ d ―＝ p dt тогда 0.01 ⋅ p + 5 ＝ 0 Получили диф. уравнение первого порядка 2. Искомые величины представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих: i1 ((t)) ＝ i1ПР + i1СВ ((t)) i2 ((t)) ＝ i2ПР + i2СВ ((t)) i3 ((t)) ＝ i3ПР + i3СВ ((t)) 3. Находим принужденную составляющую: E = 0.8 i1ПР ≔ ―――――― R4 ⋅ R3 R1 + R2 + ――― R4 + R3 ⎛ R4 ⋅ R3 ⎞ i1ПР ⋅ ⎜――― ⎟ ⎝ R4 + R3 ⎠ i2ПР ≔ ―――――= 0.4 R3 A ⎛ R4 ⋅ R3 ⎞ i1ПР ⋅ ⎜――― ⎟ ⎝ R4 + R3 ⎠ i3ПР ≔ ―――――= 0.4 R4 A A 4. Найдем корень характеристического уравнения: 1 Способ Решаем полученное уравнение из пункта 1 2 Способ Составим уравнение через входное сопротивление R4 ⋅ R3 Z ((jw)) ＝ jwL + R1 + R2 + ――― R4 + R3 Далее Выразим Z ((p)) Получим корень 0.01 ⋅ p + 5 ＝ 0 Заменим приравниваем к нулю ⎛ R4 ⋅ R3 ⎞ -⎜R1 + R2 + ――― ⎟ R4 + R3 ⎠ ⎝ p ≔ ――――――― = -500 L Постоянная времени переходного процесса jw ＝ p тогда p ≔ -500 R4 ⋅ R3 Z ((p)) ＝ pL + R1 + R2 + ――― R4 + R3 R4 ⋅ R3 ＝0 pL + R1 + R2 + ――― R4 + R3 c -1 1 = 0.002 τ ≔ ―― ||p|| c 5. Запишем вид свободной составляющей: i1СВ ((t)) ＝ A1 ⋅ e -500 ⋅ t A i2СВ ((t)) ＝ A2 ⋅ e -500 ⋅ t A c -1 i3СВ ((t)) ＝ A3 ⋅ e -500 ⋅ t A i1СВ ((t)) ＝ A1 ⋅ e -500 ⋅ t i2СВ ((t)) ＝ A2 ⋅ e -500 ⋅ t i3СВ ((t)) ＝ A3 ⋅ e -500 ⋅ t 6. Определим независимые и зависимые начальные условия: Независимые начальные условия E i1 ((-0)) = i1 (+0)= ――――― = 1.333 R4 ⋅ R3 R2 + ――― R4 + R3 Зависимые начальные условия R4 ⋅ R3 i2 (+0)=( i1 (+0) ――― )/ R3 = 0.667 R4 + R3 A R4 ⋅ R3 i3 (+0)=( i1 (+0) ――― )/ R4 = 0.667 R4 + R3 A 7. Находим постоянные интегрирования: i1 ((t)) ＝ i1ПР + i1СВ ((t)) ＝ A1 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.8 А i2 ((t)) ＝ i2ПР + i2СВ ((t)) ＝ A2 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 А i3 ((t)) ＝ i3ПР + i3СВ ((t)) ＝ A3 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 А В момент коммутации: Получим: i1 ((0)) ＝ A1 + 0.8 ＝ 1.333 A1 ≔ 0.533 i2 ((0)) ＝ A2 + 0.4 ＝ 0.667 A2 ≔ 0.267 i3 ((0)) ＝ A3 + 0.4 ＝ 0.667 A3 ≔ 0.267 A Ответы в титульный лист i1 ((t)) ＝ 0.533 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.8 А i2 ((t)) ＝ 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 А i3 ((t)) ＝ 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 ⎛ d ⎞ UL ((t)) ＝ L ⋅ ⎜―― i1 ((t))⎟ ＝ -33.31 ⋅ e -500 ⋅ t ⎝ dt ⎠ А В t ＝ -0 t＝0 t＝∞ i1 ((t)) 1.333 1.333 0.8 i2 ((t)) 0.667 0.667 0.4 i3 ((t)) 0.667 0.667 0.4 UL ((t)) 0 -33.31 0 Операторный метод расчета 1. Составим схему замещения: Определяем по законам коммутации (6 п ННУ) E = 1.333 i0 ≔ ――――― R4 ⋅ R3 R2 + ――― R4 + R3 А 2. Составим систему уравнений и выразим нужный ток : I1 ((p)) - I2 ((p)) - I3 ((p)) ＝ 0 E I1 ((p)) ⋅ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ + I2 ((p)) ⋅ ⎛⎝R3⎞⎠ ＝ ―+ L ⋅ i0 p E I1 ((p)) ⋅ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ + I3 ((p)) ⋅ ⎛⎝R4⎞⎠ ＝ ―+ L ⋅ i0 p Выразим из 2-го уравнения: ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ L ⋅ i0 E + ―― - I1 ((p)) ⋅ ――――― I2 ((p)) ＝ ――― ⎛⎝R3⎞⎠ p ⋅ ⎛⎝R3⎞⎠ ⎛⎝R3⎞⎠ Выразим из 3-го уравнения: ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ L ⋅ i0 E + ―― - I1 ((p)) ⋅ ――――― I3 ((p)) ＝ ――― ⎛⎝R4⎞⎠ p ⋅ ⎛⎝R4⎞⎠ ⎛⎝R4⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ L ⋅ i0 L ⋅ i0 E E Подставим в 1-е уравнение: I1 ((p)) - I2 ((p)) - I3 ((p)) ＝ I1 ((p)) - ――― - ―― + I1 ((p)) ⋅ ―――――- ――― - ―― + I1 ((p)) ⋅ ―――――＝ 0 ⎛⎝R3⎞⎠ ⎛⎝R4⎞⎠ p ⋅ ⎛⎝R3⎞⎠ ⎛⎝R3⎞⎠ p ⋅ ⎛⎝R4⎞⎠ ⎛⎝R4⎞⎠ Выразим: ⎛ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ ⎞ L ⋅ i0 L ⋅ i0 E E + ―― + ―― I1 ((p)) ⋅ ⎜1 + ―――――+ ―――――⎟ ＝ ――― + ――― ⎛⎝R3⎞⎠ ⎛⎝R4⎞⎠ ⎝ ⎠ p ⋅ ⎛⎝R3⎞⎠ p ⋅ ⎛⎝R4⎞⎠ ⎛⎝R3⎞⎠ ⎛⎝R4⎞⎠ Подставим числовые значения в выражение, преобразуем к виду: L ⋅ i0 L ⋅ i0 E E 50 50 125 ⋅ 10 -3 ⋅ 1.333 125 ⋅ 10 -3 ⋅ 1.333 + ―― + ―― + ――― ――― + ―――――― ――+ ――+ ―――――― p ⋅ ⎛⎝R3⎞⎠ p ⋅ ⎛⎝R4⎞⎠ ⎛⎝R3⎞⎠ ⎛⎝R4⎞⎠ p ⋅ 25 p ⋅ 25 25 25 1333 ⋅ p + 400000 I1 ((p)) ＝ ――――――――――――― ＝ ―――――――――――――――― ＝ ―――――― ⎛ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ ⎛⎝R1 + R2 + L ⋅ p⎞⎠ ⎞ 1000 ⋅ p ⋅ ((p + 500)) 25 + 25 + 125 ⋅ 10 -3 ⋅ p 25 + 25 + 125 ⋅ 10 -3 ⋅ p 1 + ―――――――+ ――――――― ⎜1 + ―――――+ ―――――⎟ ⎛⎝R3⎞⎠ ⎛⎝R4⎞⎠ 25 25 ⎝ ⎠ Приравняем к нулю знаменатель 1000 ⋅ p ⋅ ((p + 500)) ＝ 0 Решаем уравнение и получаем корни p0 ≔ 0 p = -500 3. Переходим к оригиналу функции: F1 ⎛⎝p0⎞⎠ F1 ((p)) + ―――⋅ e p ⋅ t i1 ((t)) ＝ ――― F3 ⎛⎝p0⎞⎠ p ⋅ F'3 ((p)) где F1 ((p)) ＝ 1333 ⋅ p + 400000 А F2 ((p)) ≔ 1000 ⋅ p ⋅ ((p + 500)) F3 ((p)) ≔ 1000 ⋅ ((p + 500)) F'3 ((p)) ＝ 1000 Подставим числа в выражение F1 ⎛⎝p0⎞⎠ F1 ((p)) 1333 ⋅ 0 + 400000 1333 ⋅ ((-500)) + 400000 -500 ⋅ t i1 ((t)) ＝ ――― + ―――⋅ e p ⋅ t ＝ ―――――― + ―――――――― ⋅e ＝ 0.8 + 0.533 ⋅ e -500 ⋅ t ⎛ ⎞ ( ) ( ) ( ) F3 ⎝p0⎠ p ⋅ F'3 (p) 1000 ⋅ (0 + 500) 1000 ⋅ (-500) Ответы полученные классическим и операторным методами идентичны A Построение графиков Средняя продолжительность ПП 5-7 тау, возьмем интервал в 0,5 тау для построения графика i1 ((t)) → 0.533 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.8 t ≔ 0 , 0.02 τ ‥ 7 ⋅ τ = i2 ((t)) → 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 i3 ((t)) → 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 UL ((t)) → -33.31 ⋅ e -500.0 ⋅ t ⎡0⎤ ⎢⎣ ⋮ ⎥⎦ Подставим значения t в функции и строим графики i1 ((t)) ≔ 0.533 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.8 i2 ((t)) ≔ 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 i3 ((t)) ≔ 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t + 0.4 i1ПР ((t)) ≔ 0.8 i2ПР ((t)) ≔ 0.4 i3ПР ((t)) ≔ 0.4 i1СВ ((t)) ≔ 0.533 ⋅ e -500 ⋅ t i2СВ ((t)) ≔ 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t i3СВ ((t)) ≔ 0.267 ⋅ e -500 ⋅ t UL ((t)) ≔ -33.31 ⋅ e -500.0 ⋅ t Зависимость входного тока от времени Зависимость напряжения катушки от времени Зависимость второго тока от времени Зависимость третьего тока от времени
