Функция и ее свойства Функцией называется закон f по которому каждому элементу x из множества Х ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y. Формула y = f (x) обозначает функцию, то есть зависимость одной переменной от другой. Где x - независимая величина, или аргумент, y - зависимая величина. D(y) - область определения функции или допустимые значения аргумента. Это все значения x, при которых функция имеет смысл. E(y) - область значений функции. Это все значения, которые принимает y, при допустимых значениях x. Пример 1. Найдите область определения и область значения функции y = √𝑥 − 1 √𝑥 − 1 ≥ 0 x−1≥0 x≥1 D(y) = [1; + ∞) E(y) = [0; + ∞) Пример 2. Найдите область определения и область значения функции y = 𝑥 2 D(y) = R (действительные числа) E(y) = [0; + ∞) На рисунке проиллюстрировано отображение множества X на множество Y (точками показаны элементы множеств). В отображении f каждый элемент множества Y является соответствующим некоторому единственному элементу множества X. Такое отображение называют взаимно однозначным отображением множества X на множество Y. Является ли отображение g и φ взаимно однозначным отображением? Нет. Например, функция y = √𝑥 − 1 является взаимно однозначным отображением множества X = [1; + ∞) на множество Y = [0; + ∞). Функция y = 𝑥 2 не является взаимно однозначным отображением множества X = R на множество Y = [0; + ∞), так как, например, элемент 4 множества Y является соответствующим двум элементам, -2 и 2, множества X. Существует 4 способа задания функции: – аналитический (с помощью формул); – табличный; – графический; – описательно. Пример 3. Подчеркните формулы, которые задают функции: 1. х = −2; 2. у = −2; 3. у = х; 4. х = у2 5. 𝒙𝟐 = у 6. 𝑥 2 + у2 = 4 Пример 4. Изучите изображенный график функции. Для каждого из заданных свойств найдите по графику соответствующий промежуток. 1. Возрастание функции [1; 5 ] 2. Область определения [- 4; 5 ] 3. Множество значений [- 3; 4 ] Пример 5. На графике изображена зависимость скорости движения легкового автомобиля на пути между двумя городами от времени. На вертикальной оси отмечена скорость в км/ч, на горизонтальной — время в часах, прошедшее с начала движения автомобиля. Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждому интервалу времени характеристику движения автомобиля на этом интервале. Второй час пути Третий час пути Скорость автомобиля достигла максимума за все время движения Скорость автомобиля постоянно снижалась Четвертый час пути Автомобиль сделал остановку Пятый час пути Автомобиль не разгонялся и некоторое время ехал с постоянной скоростью Ряд характеристик функции, которые помогают изучать ее свойства: – нули функции – промежутки знакопостоянства – промежутки возрастания и убывания Пример 6. Функция у = 𝑥 2 + 2𝑥, график изображен на рисунке. Нули – числа -2 и 0; Промежутки знакопостоянства – функция принимает положительные значения на каждом из промежутков ( - ∞; 2) и (0; + ∞); отрицательные значения на промежутке (-2;0). Функция убывает на промежутке (- ∞; -1] и возрастает на промежутке [-1; + ∞). Это далеко не все свойства. Рассмотрим новые понятия, которые помогают более полно охарактеризовать функцию. Пример 7. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = √𝑥 и множества М = [0; 4 ] min f(x) = f (0) = 0, max f(x) = f (4) = 2. Пример 8. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = |𝑥| и множества М = [-1; 2 ] min f(x) = f (0) = 0, max f(x) = f (2) = 2 Пример 9. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции f(x) = 𝑥 2 min f(x) = 0, наибольшего значения эта функция не имеет. Пример 10. Найдите наибольшее и наименьшее значение 1 функции f(x) = на множестве М = (0; + ∞) 𝑥 Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений. Пример 11. Является ли симметричным множество [-20; 20). Нет, так как -20 принадлежит этому множеству, а противоположный ему элемент -20 не принадлежит. Пример 12. Исследовать функцию y = |𝑥|, 𝑥 ∊ [-29; 29) на четность. Функция ни четная, ни нечетная, так как -29 принадлежит этому множеству, а противоположный ему элемент -29 не принадлежит. Пример 13. Выберите четную функцию и область определения данной функции. f(-x) = f(x) f(-x) = (-𝑥)4 + 2 (−𝑥)6 = 𝑥4 + 2 𝑥6 Пример 14. Определи, четная ли функция f(x) = 𝑥 3 - x Нечетная, так как область определения функции симметрична и выполняется условие f(-x) = - f(x) f(-x) = −𝑥 3 - (-x) = −𝑥 3 + x Пример 15. Даны функции, из них нечетными являются функции? 1) y=x-1 2) y = 𝑥 3 +6x 𝑥 3) y= 2 4) y = 4𝑥 3 - x + 7 2,3 Пример 16. На рисунке изображен 1) график четной функции 2) график функции общего вида 3) график нечетной функции 4) график периодической функции Пример 17. На координатной плоскости нарисуй ломанную ABC с координатами A (0;0) , B(2;3), C (7;5). Продолжи рисовать ломанную так, чтобы получился график четной функции. Запиши координаты, которые необходимы для построения графика четной функции. A1 = ( 0; 0) B1 = (-2;3) C1= (-7;5)
