BelovBorPanin

Я. Н. Белов
Е. П. Борисенков
Б. Д. Панин
Численные методы
прогноза погоды
Д опущ ено Государственным комитетом СССР
по народному образованию в качестве учебника
д л я студентов вузов, обучаю щ ихся
по специальности «М етеорология»
_____ Л Е Н И Н Г Р А Д
^
^
М
№
1Г
о
и
з д
а т
1989
УДК 551.509.313 (075.8)
Рецензенты: д-р физ-.мат. наук А. Ф. Кивганов (Одесский гидрометеорологический
институт), д-р физ.-мат. наук В. П. Садоков (Гидрометцентр СССР).
Научный редактор д-р физ.-мат. наук В. П. Садоков.
В книге излагаются физические и математические аспекты методов гидродина­
мических краткосрочных прогнозов погоды. Н аиболее значительное внимание уде­
ляется вопросам построения прогностических моделей на основе полных уравнений
гидротермодинамики.
Книга предназначена в качестве учебника для студентов университетов и гидро­
метеорологических институтов, обучающихся по специальности «Метеорология».
Она может быть использована также студентами и аспирантами смежных специаль­
ностей и лицами, работающими в области практического применения методов прог­
ноза погоды.
Д ля изучения материала, излож енного в книге, требуются знания физики,
теоретической гидромеханики, общей и динамической метеорологии, математики
в объеме программ гидрометеорологических институтов, географических и физиче­
ских факультетов университетов.
The book describes physical and m athem atical aspects of the techniques for hydrodynam ic short-range weather forecasts. Most considerable atten tion is given to the
problem s of constructing prognostic m odels based on the com plete equations of hydro­
dynam ics. The pu blication is m eant asa textbook for students of un iversities and
hydrom eteorological in stitu tes sp ecializin g in m eteorology. It can be also used by
students and postgraduates of adjacent sp ecialities and those engaged in practical
app lication of weather forecast techniques.
To study the m aterial presented in the book, one should know ph ysics, theoretical
hydrom echanics, general and dynam ic m eteorology, m athem atics w ith in the programs
of hydrom eteorological in stitu tes, geographical and physical faculties of un iversities.
Учебник
Павел Николаевич Белов
Евгений Пантейлемонович Борисенков
Борис Данилович Панин
ЧИСЛЕННЫ Е
МЕТОДЫ
ПРОГНОЗА
ПОГОДЫ
Р е д а к т о р О . В. Л а п и н а . Х у д о ж н и к Е . Е . Г о р о д н а я . Х у д о ж ествен н ы й р е д а к т о р Б . А. Б у ­
р а к о в . Т ех н и ч ески й р е д а к т о р Н . Ф . Г р а ч е в а . К о р р е к т о р Л . А . С ан д л е р
И Б № 1925
С дано в н або р 17.08.89. П о д п и с а н о в п еч ать 24.10.89. М-17696. Ф о р м ат 60X 90V ie- Б у м а г а
т и п о гр а ф с к а я № 1. Л и т е р а т у р н а я га р н и т у р а . П е ч а ть в ы с о к а я . П еч. л . 23,5. К р .-о т т . 23,5.
У ч .-и зд . л . 25,68. Т и р а ж 3700 э к з . И н д ек с М О Л -Ю 1. З а к а з № 826. Ц е н а 1 р . 30 к .
Г и дро м етео и зд ат. 199226. Л е н и н гр а д , у л . Б е р и н г а , 38
Т и п о гр а ф и я
№ 6 о р д ен а Т р у д о в о го К р а с н о го З н ам ен и и зд а т ел ь с т в а «М аш и н остроени е»
при Г осу д ар ств ен н о м ко м и тете СССР по п еч ати . 193144, г . Л е н и н гр а д , у л . М оисеен ко, 10
О т п е ч а т а н о в т и п о гр а ф и и № 4 о р д е н а Т р у д о в о го К р а с н о го З н а м е н и
Л ени н градск ого
о б ъ е д и н е н и я « Т е х н и ч е с к а я к н и г а» им . Е в ген и и С о к о л о в о й п р и Г о с у д а р ст в ен н о м ко м и те те
СССР по п е ч а т и . 190000, г . Л е н и н г р а д , П р а ч е ч н ы й п е р е у л о к , 6
_ 18050404000-175
ь —
— 14-89
ISB N 5— 286— 00148— 3
©
Г идром етеоиздат, 1989
ОТ АВТОРОВ
Учебный курс «Численные методы прогноза погоды» предусмотрен
планом подготовки студентов университетов и гидрометеорологи­
ческих институтов по специальности «Метеорология».
Н астоящ ий учебник подготовлен авторами на основе лекций,
которые читались ими в течение ряда лет: П. Н. Беловым в М осков­
ском государственном университете, Е. П. Борисенковым в Л енин­
градском государственном университете и Л енинградском гидроме­
теорологическом институте (ЛГМИ) и Б . Д . Паниным в ЛГМ И.
Авторы ставили перед собой задачу последовательно излож ить тео­
ретические основы гидродинамических методов краткосрочного про­
гноза погоды, а такж е конкретные схемы интегрирования уравнений
и прогностические модели.
Номера формул указаны двумя цифрами, первая из которых
означает номер параграф а внутри данной главы, а вторая — номер
формулы в данном параграфе. П ервая цифра в номерах рисунков и
таблиц соответствует номеру главы, а вторая — номеру рисунка
внутри главы.
В конце книги приводится список основной литературы , рекомен­
дуемой студентам для самостоятельного углубленного изучения
курса.
В этой книге введение, главы 1, 6, 8 написаны П. Н. Беловым
(п. 1.3 — совместно с Е. П. Борисенковым); глава 9 — П. Н . Б ел о ­
вым и Л . В. Берковичем; глава 3 — Е. П. Борисенковым; главы 2, 4 ,
7 — Б . Д . Паниным (п. 2.2 — совместно с Л . В. Берковичем и
П. Н . Беловым); глава 5 — Б . Д . Паниным (п. 5.1, 5.2.1, 5.3.3,
5.4.2, 5.5, 5.6) и В. П. Садоковым (п. 5.2.2, 5.2.3, 5.3.1, 5.3.2, 5.4.1).
Авторы выраж аю т признательность Н. Ф. Вельтищ еву, В. В. Клемину, Л . Т. М атвееву, а такж е сотрудникам кафедры метеорологиче­
ских прогнозов ЛГМ И за ряд полезных советов и рекомендаций при
подготовке рукописи. Авторы вы раж аю т глубокую благодарность
такж е рецензентам — сотрудникам Гидрометцентра СССР и Одес­
ского гидрометеорологического института — за обстоятельное рас­
смотрение рукописи учебника и рекомендации.
1*
ВВЕДЕНИЕ
З а последние два-три десятилетия на основе теоретических р а з­
делов метеорологии, методов вычислительной математики и благо­
д ар я появлению современных ЭВМ образовался новый раздел метео­
рологии, получивш ий название «Численные методы прогноза по­
годы». Основателем этого нового раздела является советский ученый
И. А. Кибель, который еще в 1940 г. впервые в мире теоретически
обосновал возможность прогноза погоды на основе фундаментальных
законов физики, выраженных в форме уравнений гидротермодина­
мики, и разработал методику количественного прогноза давления
и температуры воздуха на сутки.
Больш ой вклад в развитие новых численных (гидродинамических)
методов прогноза погоды внесли Е. Н. Блинова, А. М. Обухов,
Г. И. М арчук и др. в СССР, Н. Ф иллипс, Д ж . Ч арни , К- Х инкельман и др. за рубежом.
Потребности в специалистах в области численных методов про­
гноза погоды привели к созданию в гидрометеорологических инсти­
тутах и в ряде университетов СССР новой учебной дисциплины, полу­
чившей аналогичное название. В соответствии с рекомендацией
Всемирной метеорологической организации (ВМО) курс по числен­
ным методам прогноза погоды введен такж е и во многих зарубеж ны х
университетах.
Н астоящ ая книга является результатом обобщения авторами
всего имеющегося теоретического и практического материала, отно­
сящ егося к данной дисциплине.
В главе 1 излагаю тся принципы построения прогностических
моделей, классификации атмосферных процессов, описываемых у р ав ­
нениями гидротермодинамики, обсуждаются сами эти уравн ен ия,
записанные в различны х системах координат, а так ж е их преобра­
зования с учетом различны х картографических проекций земного
ш ара. При этом выводы уравнений гидротермодинамики, которые
давались ранее в других дисциплинах учебного плана, не приво­
дятся.
Ввиду того что реали заци я прогностических моделей произво­
дится в основном численными методами, являю щ имися приближ ен­
ными, глава 2 посвящ ена методам конечно-разностной аппроксима­
ции дифференциальных уравнений гидротермодинамики и методам
их реш ения. Здесь авторы существенное внимание уделили ан али зу
точности аппроксимации, а такж е точности различны х способов
(вариантов) реш ения уравнений, составляю щ их систему уравнений
гидротермодинамики прогностических моделей атмосферы.
Все последующие главы посвящены построению различны х про­
гностических моделей и способам их реализации. Эти модели кл ас­
4
сифицировались в зависимости от типа метеорологических процес­
сов, от специфики их математической реализации, а такж е от заб л а­
говременности прогнозов и разм ера территории, для которой они
составляю тся. В соответствии с этой классификацией прогностиче­
ские модели делятся на квазигеострофические (квазисоленоидальные), описывающие лиш ь крупномасш табные процессы и инерцион­
ные атмосферные волны, и модели с полными уравнениями гидротер­
модинамики, описывающие как крупномасштабные, так и мезомасштабные процессы (в зависимости от ш ага сетки), инерционные,
гравитационные внешние и внутренние волны.
В зависимости от разм ера территории, охватываемой моделью,
и заблаговременности прогноза модели делятся на глобальны е (полу­
шарные), предназначенные для прогноза на несколько суток, регио­
нальные с уменьшенным шагом сетки, предназначенные для прогноза
по отдельным географическим регионам на 1—2 сут, и локальны е,
которые использую тся для детализированного прогноза в течение
суток для конкретной местности или города.
Среди глобальных (полуш арных) прогностических моделей можно
особо выделить модели, в которых используется спектральное пред­
ставление метеорологических полей при использовании тех или иных
ортогональны х функций. Они получили название спектральны х
моделей. Первые прогностические модели такого типа были созданы
в 1943 г. советским ученым Е. Н. Блиновой. В последние десятилетия
эти модели получают все более ш ирокое распространение.
Глава 3 посвящ ена квазигеострофическим моделям: дается их
теоретическое обоснование, излагаю тся методы практической реали ­
зации. При решении вопроса об относительной доле объема этой
главы по отношению ко всему объему книги авторы учиты вали, что,
с одной стороны, квазигеострофические модели можно считать
«морально устаревшими», а с другой — построение так и х моделей
и анализ их свойств в методическом отношении являю тся весьма
общими и поучительными. Многие результаты методических п рора­
боток таких моделей в дальнейшем успешно использую тся при по­
строении более сложных моделей.
Г лава 4, посвящ енная прогностическим моделям с полными уравн е­
ниями гидротермодинамики, является центральной в книге. Здесь рас­
смотрены различные подходы к построению прогностических моделей,
обсуждается и оценивается ряд математических способов их реализации.
Спектральные модели составляю т предмет излож ения главы 5.
Здесь значительное место занимает обсуждение основ разлож ени я
переменных в ряды по линейно-независимым ф ункциям, выбора
функций, схемы интегрирования уравнений по времени.
С помощью основных уравнений прогностических моделей удаетс?
учесть лиш ь те процессы, которые можно представить значениями
метеорологических переменных в узлах сетки модели. Чтобы учесть
другие процессы, имеющие меньший масштаб и не описываемые
данными в у зл ах сетки моделей (эти процессы называют процессами
подсеточного масштаба), применяются методы параметризации. Этим
методам посвящ ена глава 6 .
5
В главе 7 рассматриваю тся различные подходы к прогнозу в л аж ­
ности, облачности и осадков. При этом считается, что прогноз «основ­
ных» метеорологических величин (температура, скорость ветра
и др.) на каждом очередном шаге или в каком-либо интервале вре­
мени уж е имеется.
В главе 8 излагаю тся принципы построения региональных и
локальны х прогностических моделей. Региональны е прогностиче­
ские модели основаны на тех ж е уравнениях, что и глобальные
(полушарные). В отличие от них локальны е модели основаны на
уравн ен иях мезометеорологии. П одчеркивается, что региональны е
модели уж е нашли широкое практическое применение, локальны е ж е
модели находятся в стадии становления.
Н аконец, в главе 9, последней главе книги, в качестве примеров
дается описание трех оперативно действующих глобально-региональ­
ных моделей, реализованны х в Гидрометцентре СССР, Национальном
метеорологическом центре (НМЦ) США и Европейском центре средне­
срочных прогнозов погоды (ЕЦ СПП ). Здесь ж е даются некоторые
сравнительны е оценки качества численных прогнозов ряда метеоро­
логических величин.
Авторы полагаю т, что методы численного прогноза погоды нахо­
д ятся в стадии интенсивного развития и что р яд подходов имеет
пока дискуссионный характер. Они, однако, выраж аю т надежду
на то, что систематизированный анализ и изложение уж е сущ ествую­
щ их методов, предложенные в настоящей книге, будут способство­
вать успешной подготовке кадров специалистов в этой области и тем
самым развитию и усоверш енствованию самих методов численного
прогноза погоды.
ОСНОВНЫЕ
ОБОЗНАЧЕНИЯ
И
ПОСТОЯННЫЕ
А — термический эквивалент работы (0,2388 кал/Д ж ), ам­
плитуда волны, альбедо
& — приток какой-либо величины к единице объема
О
— порядок величины или характерное значение
Ф = g z — геопотенциал
а — средний радиус Земли (6369 км), абсолютная влаж ­
ность
В — поток тепла меж ду глубинными слоями почвы или
воды и их поверхностью
С, Сф — фазовая скорость перемещения волны
Св — удельная теплоемкость воды (4 ,1 8 7 -103 Д ж /(к г-К ))
Сг — групповая скорость перемещения волны
ср — удельная теплоемкость воздуха при постоянном дав­
лении (1 ,0 0 5 -103 Д ж /(к г-К ))
Сри — удельная теплоемкость водяного пара при постоянном
давлении (1 ,8 4 6 -103 Д ж /(к г -К ))
cv — удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме
(0 ,7 1 8 -103 Д ж /(к г- К))
cvп — удельная теплоемкость водяного пара при постоянном
объеме (1 ,3 8 6 -103 Д ж /(к г -К ))
с2 == R 2T (Va — V)/& — параметр статической устойчивости
D = — +
дх
— горизонтальная дивергенция скорости
ду
d — дефицит точки росы
F — сила, отнесенная к единице массы
F — поток длинноволновой радиации в полусферу
G — нисходящий поток длинноволновой радиации
g — ускорение свободного падения (9,81 м/с2)
V = grad — градиент
Я — турбулентный поток тепла
Я — высота изобарической поверхности
h — высота, высота Солнца
i — единичный вектор, направленный по оси х
i — мнимая единица, индекс точки на оси х или в про­
странстве
J — механический эквивалент теплоты (4,187 Д ж /к ал)
J (А, В) = (А, В) — якобиан
J s (Аа В) = ( А у В)8 — якобиан на сферической поверхности
j — единичный вектор, направленный по оси у
/ — индекс точки на оси у
к — коэффициент турбулентности, соответствующий верти­
кальной оси
кг — коэффициент турбулентности, соответствующий гори­
зонтальной плоскости
к — единичный вектор, направленный по вертикали
k — волновое число, соответствующее оси z; индекс точки
на оси z или р
L — длина волны, характерный горизонтальный масштаб
SE — 2,5-10® Д ж /к г — теплота конденсации или испарения влаги
<?в — 0 ,3 3 6 -106 Д ж /к г — удельная теплота плавления льда или кристаллизации
воды
/ = 2со sin ф — параметр Кориолиса
7
т - масштабный множитель; волновое число, соответству­
ющее оси х
- количество облаков (баллы)
- волновое число, соответствующее оси у
- стандартное давление на уровне моря
- функция пропускания
р » - присоединенный полином Л еж андра
гп
Р - давление воздуха, независимая переменная по вер­
тикали
Q - поток субстанции, количество осадков, общее влагосодерж ание воздуха
я - массовая доля водяного пара
R - удельная газовая постоянная сухого воздуха
(287 Дж /(кг* К) = 287 м2/(с2- К)), радиационный баланс
Rn - удельная газовая постоянная водяного пара
(462 Д ж /(к г-К ))
- радиус-вектор
- расстояние, коэффициент корреляции
s - интегральный поток прямой солнечной радиации
s° - солнечная постоянная (1353 Вт/м2)
s - индекс, объемная концентрация примеси
Т - температура по абсолютной шкале, период колебаний,
масштаб времени
T d - точка росы по абсолютной шкале
т* - температура почвы или воды
То - температура поверхности почвы или воды
t - время, температура в градусах Цельсия
■точка росы в градусах Цельсия
- скорость основного потока вдоль оси х , восходящий
поток длинноволновой радиации
составляющая скорости по оси х
и
й • средняя скорость
вектор скорости ветра
V
V ■абсолютное значение скорости, масштаб горизонталь­
ной скорости
v • составляющая скорости по оси у
вертикальная составляющая скорости
Vz = - W
составляющая скорости по меридиану (положительная
ve
при движении на юг)
V<K составляющая скорости по широте (положительная
при движении на восток) — зональная скорость
уф составляющая скорости по меридиану (положительная
при движении на север) — меридиональная скорость
W масштаб вертикальной скорости
составляющая скорости по оси г — вертикальная ско­
w
рость
декартова горизонтальная координата по оси х
X
декартова горизонтальная координата по оси у
У
декартова вертикальная координата по оси г
z
индекс зональной циркуляции атмосферы, угол
a
параметр Росби
6 = dtidu = 2co cos (p/a
параметр плавучести
P = gie
альбедо системы Земля— атмосфера
г
вертикальный градиент температуры
у = — dTldz
Va- сухоадиабатический градиент температуры (9,8 К/км)
y^a ■ влажноадиабатический градиент температуры
д = V2 = д21дх2 + д2/ду2 ■ оператор Л апласа на плоскости, разность координат
A x , Ay, Ar - шаги сетки по горизонтальным координатам
Az, Ар , Да - шаги сетки по вертикальной координате
оператор Лапласа на сферической поверхности
разность функций, средняя абсолютная ошибка
N
п
Р = 1000 гПа
&
0 =
8 — параметр малости И. А. Кибеля, невязка, относитель­
ная ошибка
£ = р / Р — безразмерная вертикальная координата
ц — обобщенная вертикальная координата
ц = dr\!dt — аналог вертикальной скорости в rj-системе координат
Т ( Р / р )^х ~
— потенциальная температура, где Р = 1000 гПа
0 = я /2 — ф — полярный угол
х = cp !cv — постоянная Кармана (к = 1,4)
% — Cppk — коэффициент теплопроводности, длина волны, долгота
места
v — 1/Г частота колебаний
р — плотность воздуха
рп — плотность водяного пара
а — круговая частота колебаний, среднее квадратическое
отклонение,
постоянная
Стефана— Больцмана
(5 ,669-10"8 Вт/(м2- К4))
а = p / p s — безразмерная вертикальная координата (p s — призем­
ное давление)
а = do /d t — аналог вертикальной скорости в a -системе координат
т = d p ld t — аналог вертикальной скорости в p -системе координат,
индекс, касательное напряжение трения
Ф — широта места, потенциал скорости
“ф — функция тока
Q — вихрь скорости
£2 — вертикальная составляющая вихря скорости
(о — вектор угловой скорости вращения Земли
со — угловая скорость вращения Земли (0,729* 10”4 с"1)
Глава
1
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ГИДРОТЕРМОДИНАМИКИ
МОДЕЛЕЙ АТМОСФЕРЫ
ПРОГНОСТИЧЕСКИХ
1.1. Принципы построения
прогностических моделей атмосферы
Основу численных методов прогноза погоды составляю т гидро­
динамические модели атмосферы. Построение таких моделей вклю ­
чает ряд этапов:
1) определение и описание физических процессов, приводящ их
к изменениям погоды;
2) выбор дифференциальных (или иных) уравнений, описываю­
щих эти процессы, и при необходимости преобразование уравнений,
записанны х в какой-либо системе координат, к системе координат,
связанной с картографическими проекциями земного ш ара;
3) замена сложной, непрерывной среды атмосферы более простой
средой с небольшим числом параметров и значениями метеорологи­
ческих величин в конечном числе точек пространства;
4) численное решение уравнений и расчет значений метеороло­
гических величин для фиксированных точек пространства и моментов
времени.
В этой главе будут обсуждены первые два этапа построения
прогностических моделей, в других главах — остальные.
При разработке прогностических моделей атмосферы для целей
краткосрочного ( 1— 3 сут) и среднесрочного (3— 10 сут) прогноза
погоды выделяют три основных типа атмосферных процессов: круп ­
номасштабные, среднемасштабные и мелкомасштабные процессы.
К р у номасштабные, или макромасштабные процессы характе­
ризую тся горизонтальными масштабами порядка тысяч ( 1— 10 ты с.)
километров. Они развиваю тся за период времени порядка несколь­
ких (1— 10) суток. Примерами таких процессов являю тся циклоге­
нез, струйные течения и др.
Среднемасштабные, или мезомасштабные процессы развиваю тся
на площади, линейные размеры которой имеют порядок десятков и
сотен километров, за период времени порядка часов. К числу мезопроцессов можно отнести атмосферные фронты, развитие кучевой
облачности, орографические возмущ ения и др.
Мелкомасштабные, или микромасштабные процессы характери ­
зую тся горизонтальными масштабами порядка сантиметров и метров
и временными масштабами порядка секунд и минут. В качестве
примеров таких процессов можно привести атмосферную турбулент­
ность, процессы в приземном слое.
Атмосферные движ ения имеют волновой характер, который не­
обходимо учитывать при разработке и реализации прогностических
10
моделей. В связи с этим приведем основные сведения о типах волно­
вых колебаний, наиболее важ ны х для прогностических моделей.
Крупномасштабные волны (инерционные волны, или волны
Росби) — синоптически значимые волны. Д ли н а этих волн состав­
л яет тысячи километров, период — несколько суток. Амплитуда
колебаний в поле давления имеет порядок десятков гектопаскалей,
а в поле ветра — десятков м/с. Очевидно, что эти волны являю тся
частью крупномасштабных процессов и обязательно долж ны учи­
ты ваться при разработке прогностических моделей.
Гравитационные волны образую тся при нарушении гидростати­
ческого равновесия. Эти волны относятся в основном к мезомасштабным процессам. Однако некоторые из них характерны и для мелко­
масштабных процессов. Амплитуды таких волн в поле ветра состав­
ляю т несколько м/с. Гравитационные волны играют важ ную роль
в процессах возникновения агеострофических составляю щ их ветра
и циклогенеза. Поэтому их учет в прогностических моделях такж е
необходим.
Н аконец, акустические волны относятся в основном к м икро­
масштабному диапазону и на формирование погоды влияни я не
оказываю т. Однако эти волны могут существенным образом ск а­
заться на результатах численного интегрирования уравнений модели.
Более подробные сведения о волновых движ ениях в атмосфере
приводятся в курсе динамической метеорологии.
Формирование погоды происходит под влиянием всех типов
атмосферных процессов (кроме акустических колебаний). Однако
«вклад» каждого процесса в различны х условиях будет неодинаков.
Т ак, формирование «однородной» погоды на больших пространствах
(«фона» погоды) происходит главным образом под влиянием круп н о­
масштабных процессов и крупномасш табных волн. М икропроцессы
при этом вносят свой определенный, но менее значимый вклад.
Погода ж е в конкретной местности и в определенное время суток
будет определяться в основном процессами мезомасштаба, р азв и ­
вающимися на фоне крупномасш табного процесса. Х арактерны м
примером является образование кучево-дождевых облаков и ливней
в тыловой части циклонов.
Из этих и аналогичных рассуждений следуют определенные прио­
ритеты для вклю чения тех или иных процессов в прогностическую
модель: крупномасш табных, мезомасштабных и микромасш табных
процессов. Таким образом, на начальном этапе создания прогности­
ческих моделей должны быть сформулированы уравнения гидротер­
модинамики, дающие математическое описание крупномасш табных
атмосфер ных процессов.
1.2. Система основных уравнений
гидротермодинамики
Основу всех прогностических моделей атмосферы составляю т
уравнения движ ения, притока тепла, неразры вности, переноса
влаги и атмосферных примесей, являю щ иеся математическим выра11
со
Рис. 1.1. Абсолютная
(инерционная)
система координат с началом в центре
Земли Ох и одной из осей (z) прямо­
угольной системы координат, совпадаю­
щей с осью Земли и направленной с юга
на север, а также относительные си­
стемы координат, связанные с Землей,
вращающейся с угловой скоростью (о.
Гринвиче
меридиа
С ф ерич еская систем а ко о р д и н ат Огг& к (г —
р ассто я н и е от ц ен тра Зем л и до д ан н ой м а­
т ер и ал ьн о й точки , г — р а д и у с -в ек то р , 0 =
= я /2 — ф — п о л я р н ы й у го л , ф — ш и р о ­
та места (п о л о ж и т е л ь н а я к с ев ер у от э к в а ­
т о р а и о т р и ц а те л ь н а я — к ю гу); X — д о л ­
гота места, о тсчиты ваем ая от гр и н в и ч ск о го
м ер и ди ан а к востоку; п р а в а я д е к а р т о в а
п р я м о у го л ь н а я систем а ко о р д и н ат O ^ X Y Z
с н ач ал о м в ц ен тре Зем л и ; п р а в а я д е к а р ­
това п р я м о у го л ь н а я л о к а л ь н а я систем а
ко о р д и н ат О хуг с центром в лю бой т о ч к е
зем ной п о вер х н о сти О и осью z, н а п р а в ­
лен н о й по м естной ве р т и к ал и .
X
Экватор
жением законов физики (законы сохранения импульса, энергии и
массы), а такж е уравн ен ия состояния. Вывод перечисленных ур ав ­
нений дается в курсе динамической метеорологии.
Эти уравнения для идеальной атмосферы (без учета турбулентной
вязкости), записанные в относительной системе координат, связанной
с вращ аю щ ейся Землей и с абсолютной системой координат, ось ко­
торой совпадает с осью вращ ения Земли (рис. 1.1), имеют следующий
вид:
ЧГ =
jjp Vp — 2о> X V + g,
(2. 1)
Здесь V = и\ + V] + wk — трехмерный вектор скорости; i, j, k —
единичные орты в декартовой системе координат х , у, z; u t v, w —
проекции вектора скорости .на оси координат; р, р и Т — давление,
плотность и тем пература воздуха; 0 — потенциальная температура:
0 = Т (PipyР = 1000 гП а, X = (ср — cv)/cpt ср и cv — удельная теплоемкость
воздуха при постоянном давлении и при постоянном объеме соответ­
ственно; g — вектор силы тяж ести, отнесенный к единице массы,
g z = — g — проекция вектора силы тяж ести на местную вертикаль;
со = (ох\ + (o^j + (ozk — вектор угловой скорости вращ ения Земли
с проекциями на оси координат (ох, ыу и (о2; уа = g/cp — сухоадиа­
батический градиент температуры; R — удельная газовая постоян­
ная сухого воздуха; sa — количество примеси а в единице объема
12
Рис. 1.2.
воздуха; <?ГЛ и
— скорости изменения ко­
личества тепла в единице объема за единицу
времени (приток тепла при знаке «плюс» или
сток тепла при знаке «минус») за счет лучи­
стого теплообмена и фазовых превращений
воды; <ГП — скорость изменения количества
водяного пара; <£а — скорость изменения
количества примеси в единице объема (приток или сток примеси);
V — градиент:
d/dt
индивидуальная производная:
d
dt
д
>
dt
1
\r Х-;д .
dt 1
д
дх
.
1
д
ду
.
1
д .
dz
div A — объемная дивергенция вектора А = А х\ + А уj + A zк:
dAz
d..i v AА = д_ А£х +, _д А у +,
dz
где A Xf A yi A z — проекции вектора; А -В — скалярн ое произведе­
ние векторов А и В:
А • В = А ХВ Х + АуВу + А гВ2,
где В = В х\ + Ву\ + B zk — вектор с проекциями B xt В у и B ZJ
А X В — векторное произведение векторов А и В:
А х В = (АУВЛ- А 2В у) i + (АШ
ВХ -
А хВ г) j + (АХВУ -
А УВ Х) к.
В локальной декартовой системе координат ось х направлена
на восток, ось у — на север, ось z — по местной вертикали, а про­
екции вектора угловой скорости вращ ения Земли ш равны: сох = О,
(ду = со cos ф, со2 = со sin ф (рис. 1.2), где со — абсолю тная вели­
чина угловой скорости вращ ения Земли, со = 2 я /7 \ Т — 1 сутки,
Ф — ш ирота места.
В этой системе координат уравнения принимают следующий вид:
du
1 др
,
,
1
1Г = - — T x * lvdv
1 др
l' w '
i
-ж = - - у т У - 1и'
dw
1
ЧГ
dp
p dz
dpи
dt “Г" дх ^
др
dpv
dpv_
~du
W _r
dT
dt
dq
1
dsn
hu — g,
dpw_
dz
n
где / = 2(0 sin ср — -параметр К ориолиса, 1г = 2со cos ср, g = — g z.
Д алее, наряду с этой системой уравнений для бароклинной ат­
мосферы, будет использоваться такж е система уравнений баротропной (эквивалентно-баротропной, или однородной) модели атмосферы:
(2.3)
где h — геометрическая высота.
Напомним, что в отличие от бароклинной среды в баротропной
среде поверхности постоянных значений давления, плотности и тем­
пературы либо совпадаю т, либо «параллельны» друг другу.
Рассмотрим теперь уравнения гидротермодинамики для т у р б у ­
лентного движ ения. К аж дую величину / или ср, входящ ую в систему
уравнений (2 .2) (кроме величины р), представим в виде
f (х, у , z , t ) = f (х, у, z, t) + г (х, у, z, 0 ,
(2.4)
где черта сверху означает осреднение по времени или пространству
(или по времени и пространству одновременно), а штрих — отклоне­
ние величин от их средних значений, обусловленных турб ул ен т­
ностью. Д л я отклонений примем
(2.5)
/' = 0.
Очевидно, что на основании этого предположения в соответствии
с правилами осреднения Рейнольдса
/ = / >
(2 .6)
/ ф = / ф + Г ф '-
П одставляя каж дую переменную в виде (2.4) в систему уравнений
(2 .2), произведя осреднение полученных новых уравнений и учиты ­
вая соотношения (2 .5) и (2 .6), вместо (2 .2) получаем систему уравн е­
ний для осредненных величин и , и, w, Т, q и sa (знак осреднения д а­
лее опущен):
ат,
14
р = RpT,
(2.7)
являю тся составляющими силы турбулентной вязкости, отнесен­
ными к единице массы, или ускорением составляю щ их средних ско­
ростей по осям х , у , 2, обусловленны х турбулентностью , а величины
(2.9)
представляю т собой скорости притоков тепла, водяного пара и а т ­
мосферных примесей, отнесенных к единице объема, обусловленных
турбулентностью . Все эти величины (F и ё>) определяю тся методами
параметризации (см. главу 6).
Д л я крупномасш табных атмосферных движений система у р авн е­
ний гидротермодинамики имеет тот ж е вид, что и система уравнений
(2.7), однако в этом случае вместо уравнения движ ения по оси г
используется уравнение статики
(2.10)
Систему уравнений (2.7) будем назы вать далее исходной системой
уравнений гидротермодинамики. В случае если все составляю щ ие F
и <£ считать известными, то у казан н ая система является замкнутой.
Системы уравнений в частных производных (2.2), (2.3) и (2.7)
являю тся нелинейными. В связи с этим их решение в аналитической
форме невозможно и для их интегрирования применяются числен­
ные методы.
Ф ормулируя начальные условия, необходимо исходить из того,
что число функций, задаваемых в начальный момент времени t = О,
долж но быть равным числу производных по времени. В системе
уравнений (2.7) с учетом формулы (2.10) это число равно шести.
Следовательно, число функций, задаваемых в начальный момент,
так ж е долж но быть равным шести.
Т ак как уравнения содерж ат пространственные производные, то
необходимо поставить граничные условия, число которых долж но быть
равным порядку производных, от каждой переменной по каждой
координате. Вопрос о формулировке начальны х и граничных уело15
вий будет далее обсуж даться при построении каждой конкретной
атмосферной модели.
Заметим такж е, что в ряде моделей атмосферы вместо тем пера­
туры Т используется потенциальная тем пература 0. У равнение при­
тока тепла в системе (2.7) и выражение для <?ГТ в системе (2.9) в этом
случае записываю тся в следующем виде:
(2. 11)
В заклю чение подчеркнем следующее. Система уравнений гидро­
термодинамики (2 .2) адекватно описывает все три вида атмосферных
колебаний — крупномасш табные, гравитационные и акустические.
Зам ена уравнения движ ения по вертикальной оси на уравнение
статики (2 . 10) приводит к отфильтрованию акустических волн,
поэтому т ак ая система уравнений описывает лиш ь крупном асш таб­
ные и гравитационные колебания. Эги же колебания описывает и
система уравнений баротропной модели атмосферы (2.3).
1.3. Система уравнений
гидротермодинамики с произвольной
вертикальной координатой
Система уравнений гидротермодинамики (2.2), записанная в де­
картовой системе координат, при построении прогностических моде­
лей атмосферы используется как основная. Однако для целей прог­
ноза крупномасш табных атмосферных движений целесообразно и с­
пользование более простой системы уравнений, в которой верти ­
кальн ая координата z заменена на другую координату с помощью
уравнения статики (2 . 10).
Рассмотрим общий подход к преобразованию уравнений гидро­
термодинамики к системе координат с произвольной вертикальной
координатой.
П усть имеется некоторая ф ункция /, под которой будем пони­
мать ту или иную метеорологическую величину, зависящ ую от коор­
динат х , у , z, U т. е. имеем f = f (х, у> г , ().
Рассмотрим систему координат, отличающ уюся от декартовой
только вертикальной координатой.
Обозначим новые независимые переменные x lf y lt г] (х, у , z, t), tx.
Тогда функцию / (я, у , z, /) в новой системе координат обозначим
h = fi t*i> Уи Л (х, У, z, t), h ) .
Частные производные в старой и новой системах координат св я­
заны следующим образом:
df
df,
дх,
, dft дуг
. a/i Л1 . df ! dt
Здесь s — лю бая из переменных х у у , г , t 9 т. е.
Аналогичным образом обозначим
* =
* .
ц
к
Примем, что х г = Ху у х = у , ^ = /. Тогда
d*i _ %i _
_ 1
~~
ду
~~ dt
д у х __ д*! __ д*х __ d t x __
дх
дх
ду
ду
дх
dz
__ % ! __ d t \
dz
dz
__ дх х _
dt
д у х __
0.
dt
С учетом сказанного выраж ение (3.1) приобретает вид
д[ =
ds
dfi , df i
dsx
di]
ds
dr\
*
(3.2)
Н а основании вы раж ения (3.2) можем записать:
JL =
дх
M l I dh
дхх *" drj
dr\
дх 9
df =
ду
д[г_ ,
д у х *" дг\
дц
ду 9
д[
dt
d fi
dti
df =
dz
. dfi
' drj
d fi
dr]
дт)
dt 9
dr\
dz
(3.3)
Д л я обратного перехода имеем
dfi ___ df dx
dsi
dx dsx
df
dy
dy
dst
, df
‘ dz
dz
dsx
df
dt ’
Тогда с учетом приняты х выше условий получаем:
dh
dxx
df
dx
df
dz
dz
dxi 9
d fi __ _df__ , df
dyi
dy *" dz
dz
dyx 9
d fi
d tx
df
dt
df
dz
d fi
dr\
df dz
dz dr\
dz
dh 9
(3.4)
В системе (3.4) z выполняет уж е функцию не независимой, а зависимой переменной. - 7- ~ ^ - г_==внвая>>
2
П . Н . Б е л о в и др.
.
17
П усть f — геопотенциал (Ф) поверхности ц = const: Ф = gz =
= gH . П оскольку / не зависит от х, у и t> то дФ/ds = 0 и выраж ение
(3.2) приобретает вид
а __ дФ1
и
dsl
дФ t дг)
дц
ds 9
откуда получаем
dr]
дФ! j дФ!
ds
ds
г /ж -
(3'5>
И спользуя последнее соотношение в системе (3.3) можем записать
дФ _
dz ~
дФ!
dr]
дт]
dz
или
■ & = « /- т £ *
<3-6>
С учетом формулы (3.5) вы раж ение (3.2) примет следующий вид:
дф 1 I дФг
dsx /
дт]
уч
V • /
внимание соотношение (3.6), из формулы
(3.3)
й = Oil _
ds
ds1
П ринимая
получаем
во
dz
dr]
£
дц /
dr\ '
( • )
Запишем теперь полную производную от /:
df
df
df
,
df
,
5-! = ^ + “ - а 7 + 1;Ж
df
/Q Q4
+ даГг -
<3 ‘9>
И спользуя (3.7) и (3.8), находим:
dfi
,
Ш = Ш[+ и1~ д ^ + игЖ
df
+
I d/i/dr| /
dfx .
dfx
дФг
.
дФх
^Фх
.
+ a ^ V — Ш Г ~ U l~ d ^ ~ V l^
\
+ g W l) ‘
/о i n \
(ЗЛ 0)
Обозначим
1
I
ЩЩ
дФг
дФг \
дФг
- S tr -
•
- и' - ж ) = л -
/о 11 \
(ЗЛ
Тогда
d f __ d ^
dfx
d fi
d fl
Ш ~ Ш1 ~ N 1 + UlN[ + Vl^
.
+ Ц дц •
(3 1 2 )
(6AZ)
Мы видим, что индивидуальная производная в новой системе
координат записы вается точно так же, как и в старой, если только
вместо производной по z взять производную по т), а вместо вертикаль­
ной скорости — Т)18
Д л я выяснения физического смысла г) применим (3.10) к т). В силу
независимости переменных ^ 3 - =
dr\
1
= ^ 3 - = 0 , получим
/
d<Di
^01 \
дл^
Vl dyi ) Ф
d/ "™дФх/дц
Сопоставив это выражение с выражением (3.11), видим, что
(3.13)
О днако из (3.11) находим
d®i
.
дФ.
^ Wl = ’ d i T +
.
U l ~d^' +
бФ.
. дФ,
V l~ d K +
r ] ~d^
с!Ф,
d tT '
Таким образом,
d01
«“* = - л Г ’
.
dr\
4 “
л*
1 dOi
щ = Т~йГ'
П реобразуем теперь систему уравнений
1. У равнение состояния не изменяется:
/0 t .х
(3 л 4 )
гидротермодинамики.
Pi = A l* 7 \.
(3.15)
2 . У равнение, описывающее первое начало термодинамики в п реж ­
ней системе координат, имеет следующий вид:
dT
dt
x — \ T d p
x
p
dt
1 op
cpp
(3.16)
x — 1 T
( легко показать, что -----------= — \ .
\
*
p
gp /
В новой системе координат изменится только вид записи индиви­
дуальны х производных.
3.
Третье уравнение движ ения (уравнение статики) запиш ется
следующим обр азом:
др
dz
д р х дт]
dr] dz
С учетом (3.6) и (3.8) полученное выражение можно переписать в виде
I E . = a?El /
dz
откуда
g дц /
дг\
= - Рл8
получаем
4. В уравнениях движ ения имеем
др __ д р х
дх
дхх
, д р х дт) __
' дг\ дх
дрг
дх х
д р 1 дФх/д х 1
дт) дФх/дт]
П одставляя сюда дрг/дг\ из (3.17), получаем:
др
дрх
, л
дФ!
/Q 1Q4
С учетом (3.18) первое уравнение движ ения и по аналогии второе
уравнение движ ения могут быть записаны следующим образом
(без учета члена lxw):
1
dux _
~dtZ ~
Pl
dvx
Жх -
Pl
1
дФх
r
+ tv x +
дхх
dpi
~
дхх
^
dpi
dyi
дФх
— 1иг + F y .
дух
Fx
(3.19)
5. П реобразуем теперь уравнение неразрывности.
В прежней системе координат оно записы валось в виде
т ! + 1 + - | - + 1 = 0-
<3-20>
И спользуя вы раж ения (3.2), (3.5) и (3.6), находим:
ди
дх
dw
dz
дих
дх
dv
d vx
~ду
~~д^Г
dwx dr]
dr] dz
дг\
1
д
д Щ д ц дг)
'
д и х дФх / м>1
>
дт] д х х /
*|
(3.21)
диг дФ х / дФг
>
дц
дух /
an
(3.22)
/ <w>i
I Л)
1
9 ( йф 1 \ _
дФ х/д ц дт] \ d t x )
дФх ,
^Ф1
дТх" 1 U i dXl
<9ФХ \
.
дФ х
+ л
1 v '~ d y x
Л) / ’
dw
1 Г д2Фх ,
д2Фх ,
д20>1
дг ~ дФх/Л) |_д*х *1 + Ul dxt дг\ + Vl ду1 дц
ИЛИ
/ д их
\ дт]
1
rf
дФх/дц d t x \
дФх di)\
дхх ' дц
дф х
дух
, дг]
дц
/ дФх \
df)
дц /
дц дФх/дц \ дт]
1
. . д2Фх
11 ft]2
д<1>1 \ “| ___
дц ) J
/ дих дф х
dt»x
дФх \
/о
ооч
дхх '
дт]
ду
'
^
/
Подставив формулы (3.21), (3.22) и (3.23) в уравнение (3.20), получим:
1
Pl
dp 1 , дих_
dt
“Г“
,
дщ_ ,
дх хд у х
_^П_ ,
1
дц дФх/дц
d / дФх \
d t x \ дц )
п
п
и *}
И спользуя уравнение (3.17), находим:
d
( д р г \ __
d t x V дт] /
^
d
/ дФх \
дФх dpx
dt
\
дт]
дт] /
d tx 9
или, поделив все на —рх (дФх/дц) = дрг/дг\9 получим:
1 dp 1
.
1
рх d t ' дФх/дц d t
d /
\
дФг \
__
дц ) д р г/дц d t
\
1d
дц /
/
*
дрх \
'
/о
'
П одставляя (3.25) в (3.24), находим:
^■+1г+^+^ ^ гШ -020
<
3'26>
О пуская теперь индекс 1 при ф ункциях и независимых пере­
менных, уравнения гидротермодинамики в новой системе координат
запишем в следующем виде:
du
1
др
дФ
-d r = ~ i r ^ ~ ^ r
dv
dt
_
~
др
ду
_ 1
р
.
Р
дФ
дг\ 9
1
х — 1Т d p __
х р dt ~
dT
dt
d
( дрХ ди
др/дг\ d t \ д г ] /
п
дФ_ _ .
, р
ду
Ш - Г Г У>
др __
дг\ ~
*
. ,
+ lv + F x’
дх
ср р
dv
р
ду
дц
’
= 0_
(3 2 7)
т
Н а основе системы уравнений (3.27) уравнения гидротермодинамики могут быть получены в системах координат с различными
вертикальными координатами. В частности, при г] = р получается
декартова изобарическая система координат, при г] = а = p /p s
(где p s = p s (,х , у , 0) а - с и с т е м а координат (см. п. 1.4.2), а при г] = 0
(где 0 — потенциальная температура) — изэнтропическая система
координат.
1.4. Уравнения гидротермодинамики
в различных системах координат
1.4.1. Локальная изобарическая система координат
В локальной изобарической системе координат (рис. 1.3), кото­
рую называю т такж е системой координат (х, у , р , /), в качестве не­
зависимых переменных принимаются х р = х, у р = у, р = г], t p = t y
в качестве зависимых переменных — и, у, Т, Н = Ф/g (высота изо­
барической поверхности) и величина
+ " ! •
-<41>
назы ваемая аналогом вертикальной скорости.
Полную производную в изоба­
рической системе координат можно
представить в виде
JL = J L d/
d tp
д
U дхр
+ 1' ^ 7 + ' ' Ж -
Рис. 1.3. Декартовы
координаты.
и
I
<4-2>
изобарические
21
В уравнениях движ ения в системе уравнений
в правых частях обратятся в нуль, так как
* =
дхр
= О,
дур
(3.27) первые члены
4d tг (\ д/др)) = 0.
В уравнении неразрывности будем иметь
d (дц \ _ ( ^ Е \
о
d t \ д р ) ~~ d t \ д р )
^2
дт
* дц 8=3 др *
У равнение статики примет вид
1
дФ
1 = — Р 1дц
7 »,
1
дФ
гг,
ж
др ,
1 -= — у
Р-^тг»
или
р
И
«И ТД -=
или
£
дФ
*
С учетом сделанных преобразований, уравнения гидротермоди­
намики (3.27) в изобарической системе координат принимают сле­
дую щий вид (индекс р у координат опущен):
«
_ди +. „ _ди +. 0 _ ди + . T _ ди^ _ g _ д_Н + ,t o, + , Fe,
ду
,
ду
ду
,
ду
дН
1
~дГ + и ~дГ + х’ ~дё' + х ~дё' = ~ £ ~ д Г ~
____ g
RР
дН
др ’
дТ
.
дТ
.
ае
,
де
rp
ди
дх
ди . д Т _
~т~ д у ^ др
дТ
с2
tи
+
и’
п
и’
,I
ср
—dt
-Г/---- 'F" ^ дх
Н-----f~
— “Я— Т -{---------(D ,
1 ^ ~3—
д*/
1ср р
ИЛИ
.
де
,
де
i
е
“ЗГ
----- ST-0
,
df +' ^ 3“
дх + ^5“
д у +' Т -з—
djtf = Срр
Т
•3-+«*#+<-£+Н£-т*-
(4'3)
В векторной форме уравнения горизонтального движ ения и не­
разрывности записываю тся следующим образом:
- ^ - = — g V H - / k x V + F,
W + - g - = 0.
(4.4)
У равнения баротропной модели атмосферы (2.3) в изобарической
системе координат примут вид
ди
,
ди
.
ду
дН
, ,
dv
df
.
1
ду
дх
.
[
ду
ду
d tf
& ду
f
тт ( ди
dv \
- ^д /r +1 u - дх
5 - ‘+1 V jдrу = — g& “д*
з---- 1Ь
дН
.
^
+ “^
дН
.
дН
+ °1Г = “ я Ь г + ж ) -
,А г .
<4-5>
В исследованиях крупномасш табных атмосферных процессов
ш ироко использую тся уравнения вихря скорости, дивергенции и
баланса. Приведем краткий вывод этих уравнений.
22
Уравнение вихря скорости. У равнение для вертикальной состав­
ляю щей вихря скорости
Q = Q
*L_du_
дх р
р
дур
получается на основе уравнения движ ения. Д ифф еренцируя второе
уравнение системы (4.3) по х, а первое — по у и вычитая второй" ре­
зультат из первого, получаем (без учета членов, описывающих ту р ­
булентную вязкость):
dQ
dt
,
dQ
' U дх
/гл
. dx dv
' дх др
.
dQ .
dQ
' V д у ' Т др
, 1\ / ди
.,
dv
ди \
dx д и __
ду др
dl
dl
д1
/л
= _ ( 0 + 0 ( - 5 г + -^г ) - и - а г - о - ^ - .
(4.6)
няя здесь только главны е члены, находим:
dQ
.
dQ
.
dQ
, / du
.
- w + u n r + v^ - = - 1
или
dv \
dl
dl
+
. - * +»^—4-S-+-S-)- (4-7>
dQ
U
d (Q - f /)
’
Уравнение дивергенции. К ак и уравнение вихря скорости, у р ав ­
нение для горизонтальной дивергенции
__ du
~ dxp
, dv
^ dyp
получаем на основе уравнений движ ения. Д л я этого первое уравне­
ние системы (4.3) дифференцируется по х, а второе — по у. С клады вая
результаты , получаем уравнение дивергенции в виде (опуская
члены, описывающие турбулентную вязкость)
dD
.
dD
dD
.
dD
^ Г + м ^ Г + у -1 Г + т Ж
,
dx
du
dx
( du \ 2
+ Ь г )
dv
in
,
. 0
du
dv
( dv \ 2 ,
+ 2 1 7 1 7 + (^ )
dl
+
dl A„ /Ao
+- -W l> F + l > i l > F - lQ + u l > i - v l>F = - z A H <4 -8>
С охраняя в этом уравнении лиш ь главные члены, получаем упро­
щенное уравнение дивергенции, называемое уравнением баланса
Ы) +2аГ17+(ж) +“Sf-‘"sr-/
S2=~giH- (49>
( ди \ 2
п dv
du
. ( dv \ 2 .
dl
dl
1ГЛ
A„
/A rw
В векторной форме уравнения вихря скорости и баланса имеют
вид
*°- + v - V ( Q + /) = - / W ,
V u -^ + V v ^ - k - V x l V = -g A ff.
(4.10)
Система координат (хр , у р , £, t p). В качестве вертикальной
координаты принимается
с= 4 .
(4.П)
23
где Р = 1000 гП а. М ежду производными по р и £ имеет место следую­
щ ая связь:
д
_
д
dt, __
1
д
д
~д£
_
р
д
~др'
1.4.2. a-система координат
В a -системе в качестве вертикальной координаты используется
где p s = p s (х , у, t) — давление на земной поверхности, являю щ ееся
переменной величиной.
Аналогом вертикальной скорости в этой системе координат я в ­
ляется переменная
. __ do __
d/ р \
° ~~ ~ЗГ ~ ЧГ
/’
Л егко убедиться, что на верхней (а = 0) и нижней (а = 1) границах
атмосферы а = 0 :
при о = 0 и а = 1
о = 0.
(4.13)
Горизонтальными координатами в этой системе будут следующие:
Xg ~
Хр ~
X,
У 0 = Ур = У •
П олагая г] = а и учиты вая, что
Л £до
— П д р — гг
~ P s ’ дха
°
др*
дха ’
др
— гг
dPs
дуа ~ °
дуа 9
из системы уравнений (3.27) получим следующую систему уравнений
в a -системе координат:
где оператор полной производной можно представить^ в виде
d
д
,
д
,
д
.
.
д
-dr = 'dT + u -dF + v ~ di + a ~ f o ’
/л 1 -v
(4Л5)
а а 0 = Я //7в (знак а у переменных опущен).
И з четвертого уравнения системы (4.14), являю щ егося преобра­
зованным уравнением неразры вности, можно получить вы раж ения
для d p j d t и а. Д л я этого проинтегрируем указанное уравнение по а
от 0 до 1 и учтем условия (4.13). В результате имеем
<4 Л 6 >
О
П роинтегрируем теперь то ж е уравнение по а от 0 до а и подста­
вим в него вы раж ения (4.12) и (4.16), в результате получим
<4 | 7 >
о
о
где а ' — переменная интегрирования.
У равнения (4.3), (4.5)— (4.14) в метеорологии называю т п о л ­
ными уравнениями гидротермодинамики. Они используются в к а ­
честве исходных уравнений во всех прогностических моделях атмо­
сферы.
1.4.3. Сферическая система координат
При рассмотрении атмосферных процессов и для реш ения задачи
их прогноза в глобальном масштабе удобно использовать сфериче­
скую систему координат.
П усть (см. рис. 1.1) г — расстояние от центра Земли до некоторой
точки в атмосфере; X — долгота места (восточная долгота — поло­
ж и тельная, и наоборот); 0 = я /2 — ср — полярный угол или допол­
нение широты (переменные г, 1 и 0 — сферические координаты).
Составляющ ие линейной скорости в этой системе координат будут
иметь вид
d&
v* = r ~dT>
.
^ =
dk
т 0 "5Г ’
Vr = Vz = w = _dr y
где
— меридиональная составляю щ ая скорости (полож ительная
направлена на юг), vk — зональная составляю щ ая скорости (поло­
ж и тельная направлена на восток), vz — вертикальная скорость
(г = г — а).
У равнение движ ения по осям 0 и А,, уравнение статики, у р а в ­
нения неразрывности, притоков тепла и влаги, а такж е уравнение
25
ви хря скорости в этой системе координат записываю тся следующим
образом:
* е_,
dt
„
d^e .
dz '
ve
а
dve
дв
,
v% dve
a sin 0 dX
ctg 0 y .2
a
= — ^ - - | r + 2(dCOS0^ + 'F e >
dt
'
dvx_
dz
'
z
”e_ dvx_
a
dQ
1 dpdX
—
vx
a sin 0
dve
dA.
,
c tg 0
_
e k
a
2(0 cos S vq — 2(0 sin S v z + / 4 ,
яр sin ©
dp
-* = -№ •
Ф. I
Л ^
, J
дуг
P \ dz
Ф
1
z dz ~r
,
1
а
dT
dt
_
_Ya_
/
gp
\
<*>e
дв
■
^
a sin 0
dp
Л r
c t§ в
a
v®
а
дТ
дв
дТ
dX
дв
' a sin © dX )
a sin 0
i
'
dq
.
1
<4
,
a sin в dK ^
dT
z dz
i
dt
dp
dQ
a
2 dz а
dq
\ _
) ~
1 ^
dp \
v A дя
у.
’
cpP
д?
1
^
■5Г + УгЖ + “Г 1 в + ^ Ж 0 Ж = ~
-^т+1 —а -J
j-(Q +1 2a>cos0)' 4-----^
н 'Ж " =
dt
дв v
‘ a sin в дл
_
~
R
a2p sin в
/ dp d T dp d T \
2cocose + Q \
\d B
dX
dX д в )
p
dpaz
J
dz
*
^
'
Здесь F e и F* — составляю щ ие сил турбулентной вязкости по осям ©
и 1 , й — верти кальн ая составляю щ ая вихря скорости:
Q =
»
a sm в \
дв
дл
(4.19)
/
4
1
И ндивидуальная производная в сферической системе координат
может быть представлена
дуе
1 . i
_ Ё _ _l ^
/4 Oft\
At
Л/
г
а/У
дв
I
/ar esin
i n fвt
dX •
(/± .Z U J
1.5. Учет картографических проекций
Необходимость учета картографических проекций возникает
в связи с тем, что земную поверхность невозможно спроектировать
на плоскость без искаж ения. Эти искаж ения различаю тся в зависи­
мости от типа картографической проекции.
26
1.5.1. Типы картографических проекций
К артографические проекции получаю тся при отображении зем­
ной поверхности на плоскость. В зависимости от способа отображ е­
ния получаю тся различны е типы картограф ических проекций. При
этом происходит некоторое искаж ение линейных расстояний, кото­
рое учиты вается путем введения масштабного множ ителя.
Под масштабным множителем т (параметром увеличения) пони­
мается отношение
(5-‘ >
где dl и dl8 — элем ентарная длина на плоскости изображ ения и
на местности. Это отношение, вообще говоря, зависит к ак от поло­
ж ения точки, так и от н аправления рассматриваемого бесконечно
малого отрезка dU В дальнейш ем, однако, мы будем рассматривать
лиш ь те случаи, когда т не зависит от н ап равлен ия, что справедливо
д ля всех равноугольны х (конформных) проекций. Отличие масш таба
изображ ения от единицы приводит к тому, что значения производных
по координатам на плоскости изображ ения и на местности разл и ­
чаю тся. М ежду ними сущ ествует следующее соотношение:
д
д
177 = т 1 Г '
/ЕГ оч
<5*2>
где индексом s обозначена производная по координатам на местности.
П ри представлении картограф ических проекций в виде геогра­
фической карты вводится, кроме того, масштаб карты М , меняю­
щ ийся от точки к точке (истинный масштаб), а так ж е главны й, или
общий масштаб карты М г, равный отношению длин на карте и на
местности в точках, для которых масштаб изображ ения т равен
единице. Именно главный масштаб и приводится всегда на бланках
географических карт. Очевидно, что М = т М г и т = М / М г.
Таким образом, масштаб изображ ения, или параметр увеличения
можно определить такж е как отношение истинного масштаба карты
в рассматриваемой точке к главному.
П ри реш ении задач численного прогноза погоды, как и вообще
в синоптической метеорологии, наиболее ш ирокое распространение
получили три типа картограф ических проекций: стереографическая
п о ляр н ая, коническая прям ая и цилиндрическая прям ая (меркато р ская). Все эти проекции являю тся конформными, т. е. равно­
угольными.
Стереографическая полярная проекция. Поверхность земного
ш ара проектируется из полюса на плоскость, проходящ ую через ши­
ротный к р у г фх. П ри этом, например, для изображ ения на карте
северного полуш ария проектирование производится из Ю жного
полю са, а к р у г широты фх выбирается в северном полуш арии
(рис. 1.4). Н а рис. 1.4 М — точка на поверхности земного ш ара,
М ' — отображ ение этой точки на плоскости картографической
проекции. В этой проекции круги широт на поверхности Земли
Ф = c o n st превращ аю тся в концентрические^окруж ности на пло27
Р ис. 1.4. Стереографическая проекция.
скости, а меридианы X = const — в р а ­
диальны е прямые, исходящ ие из точки
изображ ения полюса.
Д л я карт погоды, составляемых в
СССР в стереографической проекции,
Фх = 60°. Д л я такой проекции масш таб­
ный множитель описывается формулой
, ч
т (ф ) =
sin 60°
-----:------ .
1 - f sm ф
Равноугольная коническая проекция (проекция Л амберта). П олу­
чается путем установления соответствия между точками на земном
ш аре и на секущем конусе, который затем разверты вается на пло­
скость. Д л я кругов широт ф3 и ф4, на которых происходит пересече­
ние секущ его конуса и ш ара, масштабный множитель т = 1. Д л я
к а р т этой проекции, используемых в СССР, ф3 = 30° с. ш ., ф4 =
— 60° с. ш.
Д л я любой широты ф
где а — радиус земного ш ара; k = 1,793а; а = 0,7156.
П рям ая цилиндрическая равноугольная (меркаторская) проекция.
П олучается путем отображ ения поверхности ш ара на боковой по­
верхности цилиндра внутренней касательной или секущ ей. При
прямой цилиндрической проекции ось цилиндра совпадает с п оляр­
ной осью Земли. Б оковая поверхность цилиндра разрезается по
одной из образую щ их и разверты вается в плоскость, что дает цилин­
дрическую проекцию . В этой проекции меридианы изображ аю тся
прямыми, параллельны м и между собой и отстоящими д руг от д руга
н а расстояние, пропорциональное разности соответствующ их долгот,
а параллели — в виде прямы х, перпендикулярны х к линиям мери­
дианов. Эта проекция прим еняется главным образом для карт тро­
пической зоны. Д л я таки х карт, приняты х в СССР, масш табный мно­
ж и тель т описывается выражением
,
Ч
COS ф /t
т (ф) = ---- — ,
VT/
cos ф
где фь = 22,5°.
Все излож енное относительно проектирования на плоскость по­
верхности земного ш ара можно распространить и на изобариче­
ские поверхности, которые практически «параллельны» поверх­
ности земного ш ара. В аж но еще отметить, что преобразования,
связанны е с картографическими проекциями, не касаю тся вер­
ти кальной координаты, которая всегда направлена по местной
вертикали.
28
1 .5 .2 . Преобразование уравнений гидротермодинамики
для различных картографических проекций
П ереход к уравнениям в декартовой системе координат, св яза н ­
ной с той или иной картографической проекцией, производится на
основе уравнений, записанны х либо в векторной форме, либо в сфе­
рической системе координат.
Рассмотрим сн ачала случай перехода от уравнений в векторной
форме. Возьмем уравн ен ия горизонтального движ ения и неразры в­
ности в изобарической системе координат:
-Ц г + V . v sv + т - 0 . =
Zkx V,
- g v sH -
v sv + - l - ==0’
<5-3)
где V — вектор скорости
ветра, отнесенный к местности;Vs — гра­
диент на местности. В соответствии со сказанным в п. 1.5.1 имеем
Vs = mV,
где V — градиент, отнесенный к картографической проекции.
С учетом этого приведенные уравнения примут вид
+
т V . V'V +
т 2 L =
- m
g
у Я + /к X V,
mVV + l F = 0-
<5-4>
В локальн ой изобарической системе координат уравнения гидро­
термодинамики, отнесенные к картографической проекции, примут
следую щ ий вид:
ди
_
+
.
/
m ^
ди
_
dv
.
Ж
+ т {и Ж
(
dv
+
.
,
ди \
0 _
.
ди
)
+ T _
dv \
,
==_
mf i r
dv
дН
, ,
,
_
+ f o +
dH
#
F a tt
,
г?
+ и - ъ ) + Т - ^ = - т 8 - д Г - 1и + р у’
T = - J L PЖ
R P
I du
дТ
dt
-гг- +
.
dv \
,
dp ’
dx
n
m { - W + - d f ) + ~dF = 0 ’
.
( дТ
.
дТ \
с2
о— т =
m [ и -z ---- \- v -т— )
1 \
dx
1
dy J
Rp
1~
— <3 ,
Cpp
Hr+m(“■#+0|r) +Tw =тrт г + '" ( “ ^ - + ' ’ж ) + , Ж
- г '-
(6'5)
В этих уравн ен иях u , v — составляю щ ие скорости ветра на местности
(ось х н ап р авл ен а на восток и ось у — на север). Эти величины могут
быть вычислены по абсолютному значению скорости фактического
ветра с = | V | и значению азимута ветра А (угол между направле­
29
нием на север и направлением откуда «дует» ветер, отсчитываемый
по часовой стрелке) по формулам
и = с
И спользуя вы раж ение Vs = mV, для оператора Л ап л аса полу­
чаем:
As = Vs = т Д ,
где A s — оператор Л ап л аса, относящ ийся к местности, а А — тот ж е
оператор, отнесенный к картографической проекции. А налогично
для операторов Я коби, относящ ихся к местности и к картографиче­
ской проекции, находим:
(а ,
Ь )8 =
т 2 (а , Ь ) .
Векторы скорости ветра на картографической проекции Vn и
на местности Vs связаны соотношением
Vn = mVe.
(5.6)
С учетом этого предыдущ ая система уравнений гидротермодинамики
(5 .5) для случая вклю чения в нее вектора ветра на картографиче­
ской проекции Vn преобразуется к следующему виду:
—
g
~
^
-
b
+ Рг
gp дН
R др •
Здесь величины т а и то — составляю щ ие вектора скорости ветра Vn
на плоскости картографической проекции.
Система уравнений (5.5) используется в основном для прогнозов
по небольшим географическим регионам, а система (5.7) — для
прогнозов по крупным регионам и по полуш арию .
30
Глава0%
Ж
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ р е ш е н и я
УРАВНЕНИЙ ГИДРОТЕРМОДИНАМИКИ
В главе 1 рассмотрены системы нелинейных уравнений гидро­
термодинамики, которые являю тся основой прогностических моделей
атмосферы.
Методов точного реш ения такого рода нелинейных уравнений
практически не сущ ествует (исклю чая некоторые частные случаи).
Вследствие этого для реш ения уравнений гидротермодинамики в це­
л я х прогноза полей метеовеличин применяю тся приближенны е,
численные методы, в частности метод сеток.
Н аряду с методом сеток, в последнее время начинают ш ироко
применять методы, в которых предусматриваю тся разлож ения полей
метеовеличин с помощью рядов по ортогональны м ф ункциям , а ре­
шения строятся относительно коэффициентов разлож ени я.
В этой главе мы рассмотрим основные вопросы применения ме­
тода сеток и проиллю стрируем его использование на примере упро­
щенных уравнений гидротермодинамики. П ри этом будем опираться
на ту часть ку р са вычислительной математики, в которой рассма­
триваю тся конечно-разностные уравнения.
Вопросы, связанны е с решением прогностических уравнений
с помощью рядов, рассматриваю тся в главе 5.
2.1. Метод сеток. Основные понятия
Метод сеток предусматривает задание дискретны х значений ме­
теовеличин в области определения решений уравнений. В пределах
этой области выбирается система отсчета и вводятся дискретны е
значения независимых переменных и безразмерные координаты на
основе соотношений
к~ ~ Ь
k = ~k)'
s — ST'
где Ах, Ау, Az (А р, А£) — ш аги по пространству (расстояние между
соседними точками на координатны х осях); £ = р /Р (Р = 1000 гПа) —
безразм ерное давление; A t — ш аг по времени (расстояние между
соседними точками на оси времени). Совокупности точек, полож ение
которых определяется дискретными безразмерными координатами
в пространстве и во временй, назы ваю тся пространственно-времен­
ными сетками, а точки этих сеток назы ваю тся узлами.
Т аким образом, в методе сеток непрерывные пространство и
время заменяю тся дискретными множествами точек — узлам и сетки,
а поля функций (метеовеличин) / (х, у , z (р, С) 0 задаю тся в виде
множества дискретны х — сеточных значений функций / ?, / , £.
31
Сетки могут разли чаться по числу узлов, разм еру ш агов, струк­
т у р е ячеек и способу размещ ения метеовеличин в у зл ах сетки.
П оскольку в методе сеток предусматривается дискретное пред­
ставление полей, то производные в дифференциальных уравн ен иях
могут быть вычислены только с помощью конечных разностей. Зам ена
производных отношениями конечных разностей назы вается конечно­
разностной аппроксимацией производных. П роизводная, представ­
лен н ая конечной разностью , назы вается конечно-разностным анало­
гом производной.
В результате замены производных в дифференциальных уравн е­
н иях гидротермодинамики и в граничны х услови ях получаю тся конечно-разностные уравнения, которые называю т такж е конечно­
разностными аппроксимациями (аналогами) уравнений и граничных
условий или конечно-разностными схемами. Системы конечно-разностных уравнений называют так ж е численными моделями.
Совокупность конечно-разностных уравнений, аппроксимирую ­
щ их системы дифференциальных уравнений гидротермодинамики и
граничные условия на множестве узлов сетки в пределах области
определения решений, представляет собой зам кнутую систему алгеб­
раических уравнений.
Таким образом, метод сеток позволяет реш ение краевой задачи
с начальными условиями для дифференциальных уравнений свести
к решению систем алгебраических уравнений.
Рассмотрим в общих чертах процедуру прогноза на основе урав­
нений гидротермодинамики методом сеток, Д иагностические и про­
гностические уравн ен ия, а такж е граничные условия аппроксими­
рую тся конечно-разностными уравнениям и.
В начальны й момент времени t0 в у зл ах пространственной сетки
точек задаю тся начальны е условия. В граничны х у зл ах , т. е. в точ­
ках , леж ащ их на поверхностях, ограничиваю щ их область реш ения,
ставятся граничные условия. По начальным условиям с использо­
ванием граничны х условий рассчитываются конечно-разностные
аналоги всех членов прогностических уравнений, которые содерж ат
производны е по пространству, а такж е зависимые переменные,
не стоящ ие под знаком производных, во всех внутренних узл ах
сетки. Сумма этих членов в каждом прогностическом уравнении
численно равн а производной по времени.
Затем, используя конечно-разностные аналоги производных по
времени и начальны е услови я, вычисляю т значения зависимых
переменных (метеовеличин) в конце и нтервала времени, равного
ш агу по времени, т. е. в момент времени t0 + At. П осле этого с по­
мощью диагностических уравнений рассчитывают те метеовеличины,
д ля которых нет прогностических уравнений. В результате получают
прогноз всех метеовеличин, которые ф игурирую т в системе уравн е­
ний гидротермодинамики, в момент времени t0 +
т. е. в конце пер­
вого ш ага по времени. Полученные метеовеличины использую тся в к а­
честве начальны х условий для прогноза на следующем ш аге по времени.
П овторяя многократно эту процедуру, можно получить прогноз
метеовеличин для заданного момента времени t0 + N h t (N — число
32
шагов по времени, N A t — прогностический интервал времени),
рассмотренный метод последовательного реш ения уравнений назы­
вается методом ш агов по времени (методом интегрирования ш агами
по времени).
Во всех схемах интегрирования по времени уравнений гидро­
термодинамики, применяемых в задачах чйсленного прогноза, исполь­
зуется метод ш агов по времени.
2.2. Конечно-разностная
аппроксимация производных
Д л я аппроксимации первых производных по пространству и по
времени в уравнениях гидротермодинамики использую тся направ­
ленные вперед или назад и центральны е (центрированные) разности
следующего вида:
(£)<, ™ ~Е7 ^ +1 — ^)>
(2 - 1)
где
i
X
.
<7 =
i
k
s
II
У
2. (Р, 0
t
/ (г) — лю бая ф ункция.
В тех сл у ч аях , когда ф ункция зависит от пространственных
переменных и времени, для записи сеточной функции будут исполь­
зоваться два индекса, например fg.
Д л я получения оценок погрешностей производных, аппроксими­
руемых конечными разностями (2 . 1), представим функцию / в точках
г + Аг, г — Аг с помощью рядов Тейлора:
нг±Аг)-,П±(|)гл,+(0),^±(S)ri£ +... (2.2)
Если в конечно-разностны х аппроксим ациях (2.1) вместо сеточ­
ных значений / д+1, f q_l9 f q использовать функцию в точках (<ц + 1) Аг,
{Я — 1) r > q Д л т - е. / ((iq + 1) Ar), f {{q — 1) Aг), / (q А г), то можно
получить оценку различий между конечными разностями и произ­
водной:
3
П . Н . Б ел о в и д р .
33
Величину 8 называют ошибкой аппроксимации производных.
Ош ибка аппроксимации производных е показы вает, насколько точно
конечные разности приближ аю тся к производным при уменьшении
ш ага Аг. Среди отброшенных членов в разлож ени ях в ряды Т ейлора
члены, стоящие в правых частях вы раж ений для е, являю тся глав­
ными (наибольшими по порядку величины). П орядок величины г
определяется степенью Аг в главны х членах и назы вается порядком
точности конечно-разностной аппроксимации производной. И з вы­
раж ений для ошибок аппроксимации производных направленны ми
и центральной разностями следует, что они имеют соответственно
первый и второй порядок точности, т. е. О (Дг) и О (Дг2).
Следовательно, аппроксимация первых производных централь­
ной разностью является более точной по сравнению с аппроксима­
циями направленными разностями. Вместо термина «порядок точ­
ности аппроксимации» употребляю т такж е вы раж ения «ошибка
аппроксимации» или «порядок аппроксимации» производных.
Из вы раж ений для е видно, что при Дг
0 е
0, т. е. конечные
разности приближ аю тся к производной. А ппроксимация производ­
ных конечными разностями, обладаю щ ая этим свойством, назы вается
согласованной. А ппроксимация производной будет согласованной,
если она имеет по крайней мере первый порядок точности.
П рименяя последовательно аппроксимации первых производных,
можно получить конечно-разностные аналоги производных более
высокого порядка. Т ак, для второй производной
имеем
Следовательно,
(2.3)
И спользуя разлож ение функции / (г) в ряды Тейлора в точках
г + А/* и г — А/*, получаем оценку точности аппроксимации второй
производной (2.3). Эта аппроксимация имеет второй порядок е =
= О ((Аг)2).
И спользуя формулы (2.3), запишем конечно-разностный аналог
для двухмерного оператора Л ап ласа:
34
где Дг = Л* = Д*/.
Конечно-разностный аналог оператора Л ап л аса (2.4) имеет вто­
рой порядок точности по Дх и Ду: е = О ((Дх)2, (Ду)2).
Вполне очевидно, что точность представления производных ко­
нечными разностями зависит от х арактера функции / (г) и от соот­
ношения между шагом сетки и длиной волны в поле f (г).
Атмосферные движ ения и поля метеовеличин имеют волновой
характер. Поэтому оценим ош ибку конечно-разностной аппроксима­
ции первой производной в зависимости от размеров ш ага сетки
и длины волны L для функции / (/*), представляю щ ей собой волновую
гармонику, например синусоиду: / (7) = A sin mr, где А — ампли­
туда, т = 2n /L — волновое число.
Д л я аппроксимации производной используем центральную ко­
нечную разность
<Ы9
Запиш ем первую производную от f (г) по г
(jfr)q ~ ^ т (C0S mr^q = ^ т C0S
и ее конечно-разностную аппроксимацию цен!ральной разностью
(2.5)
х ~TKF[sin m ^ + !) Лг — sin m(<7 — 1) Дг] =
=
Аг
sin т Д г-cos т Дг.
Величина
- ms:
характери зует относительную ош ибку аппроксимации первой произ­
водной (2.6) центральной разностью (2.5).
В ы числяя е для различны х длин волн, получаем:
е «0,1
при
L = 6 Дг ( - 7 7 = -g -) ,
8 « 0,36
при
L = 4 Аг ( - 7 7 = *4") f
е « 1,0
при
L = 2 Дг
= “5" ) •
Таким образом, относительная ош ибка аппроксимации производ­
ной возрастает по мере уменьш ения длины волн (увеличения отно­
шения Дr/L ), а для волн, длина которых составляет два ш ага сетки,
конечно-разностное представление производной оказы вается не­
возможным. Отсюда следует, что для конечно-разностной аппрокси­
мации производных и уравнений ш аг сетки необходимо выбирать
с учетом длин волн, имеющих значимые амплитуды. О днако умень­
шение ш ага сопровож дается увеличением трудоемкости численного
3*
35
интегрирования уравнений, так как при этом возрастает число точек
сетки, в которых придется вычислять конечно-разностные аналоги
производных. Следует такж е считаться с тем, что систематические
измерения метеовеличин производятся на станциях, отстоящ их
д руг от д руга на сотни километров. По данным этих измерений не­
возможно правильно воспроизвести короткие волны. Поэтому исполь­
зование сеток с малыми ш агами не всегда целесообразно.
Точность аппроксимации производных можно увеличить не за
счет уменьш ения ш ага сетки, а за счет увеличения числа точек,
в которых использую тся значения ф ункций. Поясним построение
таки х конечно-разностных аппроксимаций на примере функции
/ (г) = A sin тг.
И спользуя разлож ение функции / (г) в ряды Тейлора в точках
(г + Аг), (г — Аг), получаем:
fq+1 — f q - i
2 Ar
_ (df\
, ( д Ч \ (Дг)2 .
~ \ d r ) g + \d r * )q
6
П роизводную
/ d5f \
(Аг)4
24 + ’ ”
(97
представим центральной разностью
2 A r L \ d r * ) q+1
W j g - lJ ’
где
(э!г^)^+1 *** JKFjF ^ q + 2 ^ q+1
(d r O * _ i
f q^
~~ У * - 1 +
Т огда вы раж ение (2.7) можно представить в виде
(d r)<7 ^ ~2Ar (fq+1 ~ f x T K r
= tsf [ 4
(fq+2 ~~ f q-2 ~
^+1 + ^ я-i) -
- - 4 - и**2 - m
] •
м
<2 -8)
П оскольку в формуле (2.7) отброшен главны й член с (Лг)4, то
аппроксим ация (2 .8) имеет четвертый порядок.
Если ф ормулу (2.8) применить для ф ункции
/ (mq А г) = A sin mq Ar,
♦
то получим
A sin т Ar Г «
/д /\я
\!Гг) ~ — А?—
Для e =
1
,
1 71
А ч
А ~]
+ — (1 — cos m Ar) cos mq A rJ .
имеем
П ри L = 6 Aг (Ar/L = 1/ 6) e = 0,03, при L = 4A r (A r/L = 1/4)
e = 0,15.
36
Следовательно, аппроксимация первой производной (2.8), в ко­
торой использую тся значения функции в четырех точках, является
более точной по сравнению с двухточечной (2.5).
Р азум еется, ошибки вычисления производных с помощью ко­
нечных разностей зависят такж е от погрешностей определения (из­
мерения или вычисления) метеовеличин, которые использую тся
для расчетов конечных разностей.
Если погрешности определения функции / известны в тех точках,
которые привлекаю тся для расчетов конечной разности, то можно
оценить ошибки аппроксимации производной за счет этих погреш ­
ностей. Т ак, если абсолютные погрешности определения функции f
в точках q + 1 и q — 1 равны соответственно 8/д+1 и 8f q_l9 то абсо­
лютная ош ибка аппроксимации первой производной центральной
разностью вы раж ается формулой
• (% \ - 6
Е сли 6/ д+1 = V n = 6f q = 6/, то 6
+ «W = "37 •
И спользуя такой прием, а так ж е таблицы погрешностей измере­
ния (или вычисления) метеовеличин, можно оценить ошибки ап­
проксимации производных любого п орядка и различны х дифферен­
циальных операторов, обусловленные этими погрешностями.
При аппроксимации производных в конечно-разностных схемах,
помимо согласованности и точности, долж ен учиты ваться и ряд
других требований, таких, к ак экономичность вычислений, сходи­
мость и устойчивость решений конечно-разностных уравнений, со­
хранение интегральны х свойств прогностических моделей, точность
воспроизведения процессов адаптации метеорологических полей.
Все эти вопросы будут обсуж даться ниже. Здесь ж е укаж ем , что
для построения конечно-разностных схем, удовлетворяю щ их у к а ­
занным требованиям, иногда применяю тся пространственно-вре­
менные сетки специальной структуры , на которых различны е метео­
величины могут разм ещ аться в разны х (несовпадающих) точках
сетки.
Такие сетки впервые были предлож ены Элиассеном и получили
название расш атанны х (ш ахматных) сеток, или сеток спуска. Суще­
ствует несколько вариантов сеток, расш атанны х по пространству
и по времени. Н а сетках, расш атанны х только по пространству,
различные метеовеличины (зависимые переменные) размещ аю тся
в разны х несовпадающих точках, но в каж ды й последующий момент
времени вычисляю тся в тех же точках, где они разм ещ ались в пре­
дыдущий момент времени. Сетки, расш атанны е только по времени,
предусматриваю т вычисление всех зависимых переменных в одних
и тех ж е точках в один момент времени, но в несовпадающих точках
в разны е моменты времени. Н а сетках, расш атанны х по пространству
и по времени, зависимые переменные размещ аю тся в разны х точках
сетки в один момент времени и в несовпадающих точках в разны е
моменты времени.
37
Примером сетки, расш атанной по времени, может служ ить сетка,
состоящ ая из двух квадратны х сеток с шагом Ах = Ау = Аг, сдви­
нутых одна относительно другой на полш ага (1/2Дг). В узл ах одной
из этих сеток размещ аю тся все зависимые переменные (в одних
и тех же совпадаю щ их точках), а в узл ах другой сетки вычисляю тся
центрированные конечные разности. Н а обычных сетках (нерасшатанных) все зависимые переменные и производные вычисляются
и размещ аю тся во всех точках (узлах) сетки.
Н а расш атанны х сетках зависимые переменные обычно разм е­
щаются в тех точках, в которых они требую тся для вычисления
производных с помощью центральны х разностей. Но в некоторых
случаях применяю тся такие расш атанны е сетки, на которых требуе­
мые д ля вычисления конечных разностей величины необходимо полу­
чать с помощью интерполяции. З а счет этого достигается уменьше­
ние числа зависимых переменных и объема вычислений.
При построении конечно-разностных схем на расш атанны х сетках
для вычисления производных использую тся операторы центральны х
разностей
и интерполяции
(сглаж ивания)
где
х
t
Применение операторов (2.9), (2.10) дважды по одной и той ж е
независимой переменной приводит к следующим формулам:
Vq = ~ Y ( f g+± + fg__ L j = “T ^ +1 + ^
(Ar = A x = Ay).
38
2^ ’
Если операторы (2.9) и (2.10) применить дважды, но по разны м
независимым переменным, то получим:
/ а2/ \
1 ^» + —
1 • b ~ f 1•
1 ~2 • Ь к
_ /* ч
\ d x d y j i , j, к ~ ЧхуН’ }> k ~
-
''
Дг
2 Дг ^7 •..,+ ^i . /..,+ ^i . ft t+- 'f I-, +. ^i . /. _ ^i. f t
2 Дл l^' i + — . / + -5-. ft,. _ f, , 1
+ f
<*Г ’ h- Л '
1
1
—/
* - Т ’/+Т ’Л
1
1
\
г / ;- 4 - - *)
;
1 *,. +
5-.
(Д^ = Дх = Ду).
Операторы центральны х разностей и интерполяции линейны и
перестановочны. И спользуя эти свойства, можно записать резуль­
таты многократного применения этих операторов в разны х сочета­
ниях.
Из приведенных формул видно, что применение этих операторов
четное число раз по одной и той ж е переменной приводит к форму­
лам, в которы х фигурирую т сеточные функции с целыми индексами,
т. е. функции в точках, отстоящ их одна от другой на ш аг сетки.
Если операторы использую тся нечетное число раз по одной и той ж е
переменной, то получаю тся формулы, содерж ащ ие функции с дроб­
ными индексами, т. е. функции в точках, отстоящ их на половину
ш ага сетки от точки, где вы числяется конечная разность.
Вполне естественно, что на точность численного интегрирования
Уравнений гидротермодинамики методом сеток влияю т ошибки ко­
нечно-разностной аппроксимации производных и по пространству,
и по времени. Однако влияние ошибки конечно-разностной аппрокси­
мации производных по пространству более сущ ественно, чем влияние
ошибки аппроксимации производных по времени. По существующим
оценкам ошибки численного интегрирования уравнений гидротермодинамики примерно на 40 % обусловлены конечно-разностной аппро39
ксимацией производных по пространству и только на 1 % — ко­
нечно-разностной аппроксимацией производных по времени.
У читывая эти обстоятельства, при построении конечно-разност­
ных схем для уравнений гидротермодинамики следует прежде всего
заботиться о точности расчетов производных по пространству.
Это, конечно, не означает, что вопросам построения схем интегриро­
вания по времени не следует уделять внимание. Н аоборот, к а к будет
показано ниж е, от х арактера этих схем во многом зависят свойства
численных решений уравнений гидротермодинамики.
2.3. Конечно-разностные схемы
Рассмотрим основные понятия и вопросы, связанны е с построе­
нием конечно-разностных схем, на примере неоднородного диффе­
ренциального уравнения, которое запишем в виде
L/=q>,
(3.1)
где L — дифференциальный оператор; / — искомая ф ункция (ре­
шение); ф — заданная (известная) ф ункция.
В такой общей форме можно записать линейные и нелинейные
обыкновенные дифференциальные уравнения, а такж е уравнения
в частных производных.
В уравн ен иях, используемых в задачах гидродинамического
прогноза метеовеличин, независимыми переменными являю тся время
и пространственные координаты.
Пусть оператор L содержит производные по пространству и
времени. П ространственные независимые переменные, как и раньш е,
обозначим через г. С учетом этого будем считать, что f = f (г, f)>
ф = ф (г, t).
Решение уравнения (3.1) будем изучать в области изменений про­
странственных независимых переменных D , ограниченной грани­
цей Г, и времени D t . Область D может представлять собой объем
(трехмерная область), поверхность (двухмерная) или линию (одно­
мерная). Соответственно границами Г для ограниченных областей D
(трехмерны х,двухм ерны х,одномерны х) являю тся поверхности, линии
или точки. Решение уравнения (3.1) в D будет однозначным, если
его подчинить условиям в начальны й момент времени t0 (начальным
условиям) и на границе Г (граничным условиям).
Задачу нахож дения реш ения дифференциального уравн ен ия,
подчиненного начальным и граничным условиям, называют смешан­
ной краевой задачей или нестационарной краевой задачей.
К таким задачам относится и решение уравнения (3.1).
Решение вопроса о том, каким образом следует задать начальны е
и граничные условия, зависит от характера задачи и конкретного
вида уравнения. П ока не будем обсуждать возможные способы за­
дания начальны х и граничных условий, записав их в виде
$ (г) = / (Г, /о) в D
при t = to,
g {г, t) = f (r, t) на T x Dtгде t0 — начальны й момент времени.
40
(3.2)
(3.3)
2.3.1. Точность численного решения.
Аппроксимация и согласованность
П риближенное решение дифференциального уравнения, получае­
мое с помощью конечно-разностного метода, назы вается численным,
а разность между численным и точным решениями — ошибкой
численного реш ения f sq — / ( г , t). П оскольку точное решение в об­
щем случае неизвестно, то неизвестна и ош ибка численного реш ения.
Можно, однако, оценить точность конечно-разностной схемы, с по­
мощью которой получено численное решение. Эта точность х аракте­
ризуется ошибкой конечно-разностной аппроксимации дифферен­
циального уравнения.
Поясним понятие аппроксимации и ошибки аппроксимации диф­
ференциального уравнения конечно-разностной схемой на примере
задачи (3.1)— (3.3).
Д ля того чтобы конечно-разностный метод можно было приме­
нить к этой задаче, необходимо выполнить дискретизацию незави­
симых переменных q = r/A r, s = (t — t0)/A t (будем полагать, что
Ar = h, A t = т), а непрерывной области изменения независимых
переменных (D + Г) х D t следует поставить в соответствие дискрет­
ную (сеточную) область — пространственно-временную сетку (Dh +
+ Г Л) х D T, узлами которой являю тся точки с индексами q и s.
Н а этой сетке определяю тся сеточные функции
ф? и сеточные oneраторы L h, ijv, g Q
sВ результате дифференциальной задачи (3.1)— (3.3) ставится
в соответствие конечно-разностная задача
Lhfq — ф<7>
(3.4)
% = f q В D h При S = О,
(3.5)
ГАх £>т-
(3.6)
g qs = f*
на
Рассмотренный подход к построению конечно-разностной задачи
остается формальным (т. е. не гарантирует получения численного
решения, близкого к точному) до тех пор, пока не будет доказано,
что конечно-разностное уравнение (3.4) и сеточные операторы н а­
чальных (3.5) и граничных (3.6) условий действительно аппроксими­
руют исходное дифференциальное уравнение (3.1), начальны е (3.2)
и граничные (3.3) условия.
Кроме этого, конечно-разностная схема (3.4), аппроксимирую щ ая
Дифференциальное уравнение (3.1), долж на быть устойчивой и
сходящ ейся. Эти понятия будут пояснены ниже. Только при вы­
полнении этих требований можно рассчитывать на получение числен­
ного решения конечно-разностной задачи, близкого к точному реш е­
нию дифференциальной задачи.
А ппроксимация конечно-разностным уравнением дифф еренциаль­
ного уравнения оценивается так же, как аппроксимация конечными
Разностями производных. Д л я этого в конечно-разностное уравнение
вместо сеточных функций подставляю тся разлож енны е в ряд Тей­
41
лора функции (т. е. точное решение f (q А г, s At)) в окрестности
точки с координатами q А г, s At. Затем из результатов подстановки
вычитается дифференциальное уравнение. П олученная таким спо­
собом разность представляет собой ошибку аппроксимации 8 диф­
ференциального уравнения (3.1) конечно-разностным уравнением
(3.4).
Ош ибка аппроксимации оценивается степенью приращ ений неза­
висимых переменных, т. е. шагов Дг и A t , в главны х из отброшенных
членов ряда Тейлора; ее называю т такж е порядком точности аппро­
ксимации или просто порядком аппроксимации. Если, например,
в главны х из отброшенных членов ряда Тейлора Дг и A t входят
в первой степени, то порядок аппроксимации будет первым по Дг
и Д/, т. е. 8 = 0 (Дг, Д/). Если при стремлении к нулю Дг и A t
ош ибка 8 такж е стремится к нулю, то конечно-разностное уравнение
приближ ается к дифференциальному уравнению . В этом случае
считается, что имеет место аппроксимация дифференциального урав­
нения (3.1) конечно-разностным уравнением (3.4) на ф ункциях
f (/*, t). Если при конечно-разностном представлении дифференциаль­
ного уравнения имеет место аппроксимация, то такое представление
(конечно-разностное уравнение) называется согласованным. Таким
образом, конечно-разностные уравнения (схемы) будут согласован­
ными, если они имеют, по крайней мере, первый порядок точности
аппроксимации.
Д л я более строгого определения аппроксимации, устойчивости
и сходимости необходимо использовать понятия функционального
анали за. Н екоторые из этих понятий будут использованы ниже и
пояснены. Более обстоятельно с этими понятиями и с теорией р аз­
ностных схем можно ознакомиться в учебной литературе по вы­
числительной математике.
При оценке точности численного реш ения и ошибок аппроксима­
ции необходимо условиться о том, как определять разности функций
или операторов, поскольку сеточные функции и операторы (f gs>
Lh, tyg, g l), а такж е функции и дифференциальные операторы
(/ (/» t); г|) (г, t); L; i|) (г); g (г, t)) определены в разны х областях. П ер­
вые определены в дискретной области, т. е. в точках сетки (Dh +
+ T h) X D T, и принадлеж ат к конечномерному функциональному
пространству сеточных функций (операторов); вторые определены
в непрерывной области (D + Г) х D t и относятся к ф ункциональ­
ному пространству непрерывных функций (операторов). Поэтому
прежде чем вычислять разности этйх функций (операторов), необ­
ходимо либо сеточные функции (операторы) доопределить во всех
точках непрерывной области (D + Г) X D t , либо, наоборот, не­
прерывным ф ункциям (операторам) тем или иным способом поста­
вить в соответствие сеточные функции (операторы) в у зл ах дискрет­
ной сеточной области (Dh + Г \) X D T.
Если сеточная ф ункция определена в пространстве непрерывных
функций, то ош ибка численного решения будет представлять собой
функцию , заданную в пространстве непрерывных функций. Если ж е
42
функция определена в пространстве сеточных функций (в узл ах
сетки), то ош ибка будет тож е сеточной функцией, заданной в узл ах
сетки (в пространстве сеточных функций). Если ош ибка определяется
в одной точке сетки, то ош ибка будет числом.
В дальнейш ем при оценке ошибок численных решений всегда
будем считать, что они определяю тся в пространстве сеточных
функций. В этом случае ош ибка численного решения может быть
оценена по норме (например, по максимуму модуля) в конечномерном
функциональном пространстве сеточных функций:
\\fsg - f ( q A r , sAt)\\Fh,
(3.7)
где || • || = m ax | • | — норма (максимум модуля); Fh — конечно­
мерное нормированное пространство сеточных функций; f (q Дг,
s Д/) — функция / (г, /), определенная в у зл ах сетки с индексами
q, s. М огут использоваться и другие нормы.
Норму в пространстве сеточных функций выбираю т так, чтобы
выполнялось условие
Т -> 0
где ||/ ||F — норма в пространстве непреры вны х функций / (г, t).
Обычно в процессе реш ения конечно-разностны х уравнений се­
точные функции вычисляю тся с конечным числом десятичных зн аков.
З а счет этого возникаю т ошибки округления (6°), значение \которых
зависит от местоположения точки, где производятся вы числения,
т. е. 6° = ( 6°)|.
Если учитываются ошибки округл ен и я, то оценку по норме
ошибки численного решения следует записы вать в виде
\П + (t>°yg - f ( q A r , s A * ) llv
(3.8)
Нормы ошибок характеризую т близость функций f qs и f (q Дг,
s Д/), являю щ ихся реш ениями конечно-разностного и дифф еренциаль­
ного уравнений.
По аналогии могут быть оценены близость по норме дифферен­
циального и сеточного операторов уравнений (3.1) и (3.4), правых
частей этих уравнений, граничны х условий (3.3) и (3.6), а такж е
близость конечно-разностной задачи (3.4)— (3.6) к дифференциальной
задаче (3.1)— (3.3) в целом.
Н а основе этих оценок можно сформулировать понятия аппро­
ксимации, устойчивости и сходимости конечно-разностных схем.
Сформулируем сначала понятие аппроксимации. К онечно-раз­
ностное уравнение (схема) Lhfsg = Ф? аппроксимирует дифферен­
циальное уравнение L f = ф на решении / (г, t) с порядком k x по
пространству и k 2 по времени, если при достаточно малых ш агах
Д^ и A t (h и т) имеет место оценка
II ( u f q - q>J) -
[Lf (qh, ST) - ф (qh, sx)] |Фл < M yhkl + M 2xk‘,
(3.9)
43
где M i и М 2 — ограниченные положительные постоянные величины,
не зависящ ие от h и т; ФЛ — конечномерное пространство сеточных
функций, определенных на той ж е сетке, что и ср£.
Выраж ение (3.9) представляет собой оценку по норме ошибки
аппроксимации конечно-разностной схемой (3.4) дифференциального
уравнения (3.1). П ри стремлении шагов h и т к нулю ош ибка аппро­
ксимации такж е стремится к нулю, а следовательно, конечно-раз­
ностная схема является согласованной.
Аналогичным способом оцениваются аппроксимация (согласо­
ванность) сеточных операторов L h и правых частей уравнения (3.4),
а такж е граничны х (3.5) и начальны х (3.6) условий.
П роиллю стрируем оценку ошибки аппроксимации на примере
линейного неоднородного дифференциального уравнения
■Ж +
с ^ г =
Ф
( О
0),
(ЗЛО)
где / = / (г, /) — решение; ср = ср (г, /) — известная ф ункция; с —
постоянная полож ительная величина.
Реш ение требуется найти в области изменения независимых
переменных
(D + Г) х
D*. В данном случае за область D + Г
примем отрезок прямой
на оси г (0 < ; r<C R ), границами которого
(Г) будем считать точки г — 0, R . Областью изменений времени D t
будем считать интервал 0 < t
Т.
В результате задача формулируется следующим образом. Необ­
ходимо построить реш ение уравнения
4 L + c-§r = ф
в
D x D t,
(3.11)
подчиненное начальным и граничным условиям, которые сформули­
руем в виде
^ (г) = / (г >0) в D
g (r , t) = ^
при t = 0,
(3.12)
= 0 на Г x D t .
(3.13)
Д ифференциальной задаче (3.11)— (3.13) поставим в соответ­
ствие конечно-разностную задачу.
В области (D + Г) х D x строится дискретная пространственновременная сетка, узлами которой служ ат точки с индексами q =
= 0, 1, ..., Q( q = г/Дг), s = 0, 1, ..., S (s = t/At). К ак и ранее,
считается, что Дг = й, Д / = т.
Тогда области D будет соответствовать дискретная область Dh —
отрезок прямой на оси г с узлам и <7 = 1, 2 , ..., Q — 1, а границе
Г — граница T h с узлами q = 0, Q. Непрерывному интервалу вре­
мени D t будет соответствовать дискретный интервал D x с узлами
s = 1, 2 , ..., S .
Ф ункциям , дифференциальным операторам, граничным и н а­
чальным условиям задачи (3.10)— (3.12) ставятся в соответствие
сеточные функции, операторы , начальны е и граничны е условия.
44
В результате получается конечно-разностная задача:
fH"1 _ fs
4 т
fs __ fs
4 + с 4— 9- 1 = q>‘ в D h X D ,
(<7 = 1, 2, . . . , Q -
1;
s = 1, 2, . . . , S),
(3.14)
*IV ~
в Dh (s = 0; q = 1, 2, . . . , Q - 1),
*S+1 _ rS
” ' ■* - о на ГЛ х В т (<7 = 0, Q; s = 1, 2 , . . . , 5).
(3.15)
(3.16)
Разум еется, конечно-разностная задача, соответствующ ая диф­
ференциальной задаче (3.11)— (3.13), может быть сформулирована
и в других вари ан тах. М ожно, например, представить дифферен­
циальное уравнение (3.11) с помощью конечно-разностной схемы,
в которой производные аппроксимирую тся центральными р аз­
ностями.
У словие (3.16) означает, что f sq = fq (q = 0 , Q; s = 1, 2 , ..., S).
Совокупность конечно-разностных уравнений (3.14), записанны х для
всех индексов q и s области Dh X Ьт, представляет собой систему
линейных алгебраических уравнений, число которых меньше числа
неизвестных сеточных функций /£+1. Недостающие уравнения вы­
водятся из начальны х и граничны х условий (3.15), (3.16).
Подставим в конечно-разностное уравнение (3.14) вместо сеточ­
ных функций f qs , f qs+ l , f qs- 1, ср£ функции / (г, t) и ф (г, t), определенные
в соответствующих точках сетки, и воспользуемся разлож ениям и
в р яд Т ейлора:
/(г , t + т ) = /(г , о + - J f T + ! / r J T +
+
/ < г - А , 0 = /(г. 0 - # А + ^ - ^ - з т +
’
*3 ' 17)
(3.18)
После подстановки функций / (г, /), ф (г, /) и рядов (3.17), (3.18)
в конечно-разностное уравнение (3.14) и вычитания из него диффе­
ренциального уравнения (3.11) получим формулу для ошибки аппро­
ксимации
И з этой формулы видно, что главны е члены содерж ат h и т в пер­
вой степени; следовательно, ош ибка аппроксимации имеет первый
порядок по h и т, т. е. г = 0 (ft, т).
Е сли поле функции / (г, t) гладкое (без разры вов), то при ма­
лых h и т главны е члены в правой части формулы (3.19) ограничены ,
так как ограничены производные.
Следовательно, для конечно-разностного уравнения (3.14) сп ра­
ведлива оценка вида (3.9), а поэтому имеет место аппроксим ация.
Из формулы (3.19) следует, что ош ибка аппроксимации стремится
к нулю при стремлении к нулю h и т. Следовательно, конечно-раз­
45
ностное уравнение (конечно-разностная схема) (3.14) является согла­
сованным (согласованной).
Н етрудно убедиться в том, что если в уравнении (3.11) производ­
ные заменить центральными разностями, то получаемая конечно­
разностная схема так ж е будет согласованной, однако она будет ап­
проксимировать дифференциальное уравнение со вторым порядком
точности по h и т, т. е. е = О (ft2, т2).
Если конечно-разностное уравнение (3.14) разреш ить относи­
тельно /£+1, то получим
п +1 = п - с х
(ft - f t - о + т
Отметим, что аппроксимация
ф
(
и согласованность
ностных схем не зави сят от величины с
з
.
20)
конечно-раз­
h
2 .3 .2 . Решение конечно-разностных уравнений
методом шагов по времени
Совокупность узлов пространственно-временной сетки, леж ащ их
на плоскости или на прямой и соответствующ их фиксированному
времени, назы вается временным слоем (уровнем).
Д л я области определения реш ения задачи (3.14)— (3.16) слоями
(уровнями) являю тся совокупности точек с индексами q = 0 , 1, ..., Q
при фиксированных значениях индекса s.
С помощью конечно-разностного уравнения (3.14), начальны х
(3.15) и граничны х (3.16) условий можно последовательно опре­
делить реш ение на уровнях s = 1, 2 , ..., s:
f t +1 = f t - с
fl = f t ' - c
( f t - f U ) + Т ф |,
j t 1 - /* - • ) + * ф Г ‘ (<7 = 1. 2,
, Q — 1). (3.21)
И з вы раж ений (3.21) видно, что численное реш ение f sq задачи
(3.14)— (3.16), определяемое на двухмерной сетке, представляется
набором решений на одномерных сетках с индексами точек q =
= 1, 2 , ..., Q — 1, полученных при фиксированны х индексах s.
Таким образом, можно говорить о том, что численное реш ение,
определенное на двухмерной сетке в плоскости (rot), расслоилось
и заменилось последовательностью решений
/ 2, ...,
определен­
ных на одномерных сетках.
В рассматриваемой задаче значение искомой сеточной функции
на последующем уровне s + 1 в точке q (/?+1) однозначно определяется
значениями этой функции на предыдущем уровне s в двух точках
46
q — 1 и q и известной сеточной функцией ф (правой частью уравн е­
ния) на уровне s в точке q.
Заметим, что для определения реш ения с помощью уравнений
(3 .21) на любом уровне в точке q = 1 требуется граничное условие
в точке q = 0. Граничное условие в точке q = Q не используется,
так к а к для определения реш ения в точке q = Q — 1 на уровне
s + 1 (/< Д ) необходимы значения f qs в точках q = Q — I, q = Q — 2 ,
а граничная точка Q не н уж н а. Это является следствием аппроксим а­
ции производной по г направленной разностью назад.
Процедуры последовательного получения решений от слоя к слою
называю т шаговыми или методом ш агов по времени. Ш аговыми
называют и конечно-разностны е схемы, с помощью которых реали ­
зуются ш аговые процедуры.
По числу используемых в схеме слоев (уровней) по времени
и точек в пространстве схемы могут быть двухслойны ми, трехслой ­
ными и т. д ., двухточечными, трехточечными и т. д. Схема (3.14)
является двухслойной (двухуровенной) по времени и двухточечной
по пространству.
В конечно-разностной схеме (3.14) использованы направленны е
разности по пространству и времени, поэтому ее следует назы вать
схемой направленны х разностей. Если в дифференциальном у р ав ­
нении (3.10) производные элементы заменить центральны ми р а з­
ностями, то получится схема центральны х разностей
x:S—
j—
1 _ rS—1
rS _______ j;S
“ ■— J 4 + с U+X^ q- ' = 4V
(3.22)
Эта схема является ш аговой, трехслойной (трехуровенной) по вре­
мени и трехточечной по пространству. Реш ение с помощью этой
схемы на уровне s + 1 в точке q однозначно определяется значениями
сеточной функции f sq на двух предыдущ их уровнях s и s — 1, в трех
точках q — 1, q и q + 1, правой частью ф^ и граничными условиям и
в двух точках q = 0 , Q:
}*+' = /*-> _ с J L ( £ +1 _ /*_,) + 2тф’.
(3.23)
Схему (3.22) иногда назы ваю т схемой «чехарды», подчеркивая
таким образом, что при ее реализации, отп равл яясь от слоя s — 1
и «перепрыгивая» через слой s, получаю т реш ение на уровне s + 1.
С помощью схемы центральны х разностей по времени нельзя
получить реш ение на слое s = 1, если начальное условие задается
только на слое s = 0 .
Д л я преодоления этой трудности на первом ш аге по времени
при получении реш ения на слое s = 1 приходится использовать
двухслойную схему с направленной вперед разностью по времени.
Рассмотренные две схемы (направленны х и центральны х р а з ­
ностей) относятся к явным, так как искомые величины (/£+1) опреде­
ляю тся непосредственно (явно) с помощью формул (3 .21) или (3 .22)
47
по начальным и граничным условиям и вычисленным ранее (на пре­
дыдущ их слоях) значениям /J _ b f sg (или /J+i).
Если записать в схеме (3.14) производную по пространству
с помощью сеточных функций, отнесенных к слою s + 1, то получим
f l +1 = f * - C j ( n +l - / £ ! ) + Тф|.
(3.24)
Эта схема является неявной, так как содерж ит две неизвестные
величины (в двух точках q и q — Г) и с помощью ее н ельзя непо­
средственно (не прибегая к другим операциям) вычислить неизвест­
ное значение сеточной функции в одной точке q на слое s + 1. Д л я
этого нужны разностны е уравн ен ия (3.24), записанны е для всех
точек (q = 1, 2 , ..., Q — 1), и граничное условие в точке q = 0 .
Совокупность этих уравнений реш ается как система. В результате
определяю тся значения сеточной функции на слое s + 1 во всех
точках (q = 1, 2 ,
Q — 1).
2 .3 .3 . Корректность, устойчивость и сходимость
Поясним понятия корректности, устойчивости и сходимости на
примере конечно-разностной задачи (3.4)— (3.6).
Считается, что для конечно-разностного уравн ен ия (3.4) с на­
чальными и граничными условиями (3.5) и (3.6) задача поставлена
корректно, если при достаточно малы х ш агах по пространству (ft)
и времени (т) реш ение уравнения (3.4) сущ ествует, единственно
и непрерывно зависит от начальны х, граничны х условий и правой
части уравнения.
По Р ихтм айеру, суть устойчивости состоит в том, что сущ ествую т
пределы, которых не могут превзойти компоненты начальной ф ун к­
ции, преобразую щ иеся в процессе вычислений.
Устойчивость конечно-разностны х схем для дифференциальных
уравнений определяется непрерывной зависимостью реш ений, п олу­
чаемых с помощью этих схем, от начальны х и граничны х условий,
а так ж е от правых частей уравнений. Эта зависимость обусловливает
соответственно устойчивость по начальны м условиям, по граничным
условиям и по правой части уравнений.
Конечно-разностная схема (3.4), аппроксимирую щ ая дифферен­
циальное уравнение (3.1), назы вается устойчивой, если имеет место
оценка
1fg ||^
С\ I
!чгн + С2 I g gS ||Gh +
|| ф? Цф^ >
(3.25)
где
с2, с3 — ограниченны е постоянные величины, не зависящ ие
от ft, т, я|), g, ф; Fhl y¥ hl Gh, <Ph — конечномерные пространства
сеточных функций, которым принадлеж ат f sqy % , gg, ф£ соответ­
ственно; || - 1 — нормы (максимумы модулей).
Из неравенства (3.25) следует, что если нормы сеточных ф ун к­
ций
gg, ф£ являю тся ограниченными (конечными) величинами,
то норма численного реш ения так ж е будет ограниченной при любых
значениях S .
48
Н а основе неравенства (3.25) понятие устойчивости можно сфор­
м улировать следующим образом. Численное реш ение и конечно­
разностная схема, с помощью которой оно получено, считаю тся
устойчивыми, если для ф иксированны х ш агов по пространству
и времени с увеличением числа шагов по времени численное реш ение
остается ограниченным при любых (гладких) начальны х, граничны х
условиях и правых частях конечно-разностного уравнения.
О сновная трудность при таком определении устойчивости со­
стоит в том, что точное реш ение дифференциального уравн ен ия,
которое аппроксимирует конечно-разностное, в общем случае может
быть неограниченным.
Когда известно, что точное реш ение ограничено, то понятие
устойчивости может быть сформ улировано для ошибки численного
реш ения
f l — f ( q А г, s АО,
которая в этом случае будет ограниченной (при выполнении всех
других требований).
Когда известно, что точное реш ение растет во времени, но не
быстрее, чем экспоненциально, то устойчивость (ограниченность)
численного реш ения может иметь место для ограниченны х интервалов
времени. Н и ж е будет показано, что оценки устойчивости по Н ейману
допускаю т экспоненциальны й рост численных решений.
П онятие сходимости численных реш ений так ж е ф ормулируется
на основе оценок поведения ош ибки. Ч исленное реш ение и конечно­
разностная схема, с помощью которой оно получено, назы ваю тся
сходящ им ися, если при стремлении ш агов по пространству и времени
к нулю , ош ибка численного реш ения стремится к нулю для ф и кси ­
рованного чм с з а и м р о ч и с времени. Таким образом, если имеет место
оценка по норме ошибки\ численного реш ения
4 ла сх ла хц t m a
!/| — /
Аг, sAO||Fft- > 0 при / г - > 0 , т - ^ 0 ,
то реш ение является сходящ имся.
Согласно теореме Л ак са об эквивалентности, если линейная
конечно-разностная задача поставлена корректно и конечно-разно­
стная аппроксим ация удовлетворяет условиям согласованности,
тогда устойчивость является необходимым и достаточным условием
сходимости.
Таким образом, для линейны х задач сходимость численных
решений следует из аппроксимации и устойчивости.
Что касается нелинейных задач, то доказать устойчивость и схо­
димость удается не всегда.
П онятия устойчивости и сходимости конечно-разностны х схем,
аппроксимирую щ их нелинейные дифференциальные уравн ен ия, как
правило, основываю тся на анали зе соответствующ их лин еари зи ро­
ванны х уравнений.
Мы пока не рассм атривали методы ан ал и за устойчивости конечно­
разностны х схем. Этот вопрос будет обсуж даться ниж е, где будет
4
П . Н . Б елов и др.
49
показано, что устойчивость и сходимость численных решений зави сят
от соотношения между величинами ш агов по пространству и по
времени.
2 .3 ,4 . Методы построения конечно-разностных схем
После того к ак сф ормулированы основные понятия и требования,
которым долж ны удовлетворять конечно-разностны е схемы, рас­
смотрим вопросы, связанны е с их построением.
В примерах, приведенных выше, при построении конечно-разно­
стных схем производилась непосредственная замена производных
конечными разностям и. Этот метод назы вается методом разностной
аппроксимации. О днако это не единственный метод построения
конечно-разностны х схем.
Построение любой конечно-разностной задачи начинается с вы­
бора пространственно-временной сетки.
Д л я двумерных гидродинамических задач прогноза (баротропных
прогностических моделей) в областях определения решений обычно
выбираю т прямоугольны е, чаще квадратны е (иногда треугольны е)
сетки точек, а для трехмерных (бароклинны х прогностических
моделей) — пространственные сетки, элементами которы х чаще всего
являю тся квазипрям оугольны е параллелепипеды или кубы . Эле­
менты двумерных и трехм ерны х сеток образую тся пересечением
линий (двумерные сетки) или поверхностей (трехмерные сетки).
По конф игурации сеточные области могут быть прямоугольны ми,
квадратны ми, ш естиугольными, восьмиугольными, круглы м и, сфе­
рическими и т. д.
Трехмерные области обычно конструирую тся из набора д ву ­
мерны х областей, каж д ая из которы х обычно разм ещ ается на фикси­
рован ны х уровнях по высоте или давлению .
В зависимости от конф игурации области D h и вида сетки боковые
границы области могут по разному совмещ аться (или не совмещ аться)
с узлами сеток. Т ак, если область D h представляет собой по конфи­
гурации прям оугольник или квадрат, то для прям оугольной или
квадратной сеток часть узлов может строго совмещ аться с боковой
границей.
У злы сеток, которые совмещаются (совпадают) с границами,
назы ваю тся граничными, а все остальны е — внутренними.
Если граничны е узлы совмещаются с боковыми границами, то
можно считать, что граничные условия конечно-разностной задачи
заданы в граничных узл ах сетки.
О днако возможны и таки е конф игурации областей D h и виды
сеток, при которых боковые границы не совпадают с узлами сеток.
Н априм ер, для области D h с криволинейными границами узлы
прям оугольной или квадратной сеток могут не лож иться на границу.
В этом случае точки пересечения линий сетки с границей можно
считать дополнительными, граничными узлам и, в которы х ставятся
граничные условия. М ожно поступить иначе: криволинейную гр а­
50
ницу заменить ломаной, проходящ ей через ближ айш ие к границе
узлы сетки.
В результате конечно-разностной аппроксимации производных
и дифференциальных уравнений получаю тся формулы, в которы х
ф игурирую т сеточные функции в некотором числе узлов (одном
и том ж е д ля данной конечно-разностной схемы), образую щ их сово­
купность определенной конф игурации. Эту совокупность узлов сетки
заданной конф игурации, используемых для записи кон ечн о-разн о­
стной схемы, называю т ш аблоном.
У злы сетки, в которы х можно полностью записать конечно­
разностную схему на шаблоне, не выходя за границы сеточной
области, назы ваю тся регулярны м и, а остальные — нерегулярны м и.
Н ерегулярны м и являю тся не только граничны е узлы , но и те (из
числа внутренних узлов), в которы х при записи конечно-разностной
схемы шаблон выходит за границу.
Следующим этапом построения конечно-разностны х схем после
выбора сетки явл яется определение ш аблона.
После того как определен ш аблон, строится конечно-разностная
схема. Н аиболее простым и распространенны м явл яется прим еняв­
шийся выше метод построения конечно-разностны х схем путем непо­
средственной замены производных конечными разностями. Этот метод
обычно называю т методом прямой конечно-разностной аппрокси­
мации.
Часто используется так ж е метод неопределенных коэффициентов.
Поясним применение этого метода на примере построения конечно­
разностной схемы для уравн ен ия диффузии (теплопроводности)
=
(v = const).
(3.26)
Будем полагать, что конечно-разностную схему следует по­
строить на прямоугольной сетке с ш агами Дг = h> А/ = т и что
шаблоном предусмотрено размещ ение сеточной функции f sq в узлах
на оси г с индексами q, q ± 1 на уровнях по времени с индексами s
и s + 1.
Н а этом ш аблоне запишем конечно-разностную схему в общем
виде:
<±! +
y f sA \ + в/? = о,
(3.27)
где а , р, 7 , б — неопределенные коэффициенты, которые следует
определить так , чтобы схема имела бы возможно более высокий
порядок точности по А и т.
Вставим в схему (3.27) вместо f sq, f Sg t \ y f gs+\ /£+1 функцию f (г, t)
и ее разлож ение в ряд Тейлора
f(r±h, t± x )= f(r , t ) ± - ^ r h + ^ - ^ ±
-
dr* 3 !
^ дг* 4 ! d t
dt2 2! ^
dr d t
Г ' '’’
/ ( r . / + T) = H r , / ) + f x + $ - £ + ■ • ■
4*
51
После подстановки и вычитания из полученного результата
уравнения (3.26) получим вы раж ение д ля ошибки аппроксимации
схемой (3.27) дифф еренциального уравнения (3.26):
8 = -—- — v ^ - - - ( a + P + V + S ) / “ (a + P + 7 ) T “^ f +
+ (а - 7 ) Л - | - (« + Y) - г ^
- (« + Р + ? ) 0 (т2) +
4- (а - Y) О (Л3) Н-----Е с л и а + Р + у = — 6 , то полученное вы раж ение можно переписать
в виде
6 = -| J - v j r - (a + Р + Y + б) / + 6 т +
+ (a - Y) Л- | - (« + Y) т - ^
+ 60 (т2) + (а - Y) О (Л3) + • • .
Д л я получения оценки п орядка аппроксимации уравн ен ия (3.26)
необходимо, чтобы все члены, сократились. Это будет достигнуто,
если положить
a + P + Y + 6 = 0, тб = — 1, a — y = 0,
(а + у)
—
=
— v.
Отсюда находим коэффициенты:
v
« =
Т = —
о
Р = 1 Г
2v
+
,1
— ,
«
6 = -
1
—
.
П одставляя эти коэффициенты в схему (3.27), находим:
-Г Й +' - й) = тт « И + №
- 2Я+1>-
Таким образом, получена н еявная конечно-разностная схема,
аппроксим ирую щ ая дифференциальное уравнение (3.26) со вторым
порядком по h и первым порядком по т, т. е. О (/г2, т).
Методы неопределенных коэффициентов и конечно-разностной
аппроксимации применимы к дифференциальным уравнениям с не­
прерывными и дифференцируемыми коэффициентами и искомыми
функциями (решениями).
В тех сл у ч аях , когда эти методы неприменимы, или если необхо­
димо построить конечно-разностны е схемы, обладаю щ ие априори
определенными свойствами, прибегаю т к интегрально-интерполяционному методу (варианты этого метода назы ваю т методом баланса,
бокс-методом). При использовании этого метода после выбора сетки
и ш аблона сеточная область разбивается на ячейки (боксы), св язан ­
ные с ш аблоном.
Дифф еренциальное уравнение, д ля которого строится конечно­
разностная схема, интегрируется по ячейке и приводится к ин­
тегральной форме.
П риближ енно вы числяя интегралы с помощью квадратурн ы х
формул, получаю т конечно-разностную схему.
52
Поясним этот метод на примере линейного уравнения адвекции
- dt
|т +1 с -тгdr = 0 ,
с = const,
используя тот же шаблон, который прим енялся при построении
конечно-разностной схемы методом неопределенных коэффициентов
д ля уравнения (3.26). Определим ячейки на сетке, ограниченны е
узлами q ± 1 и s, s + 1, и проинтегрируем это уравнение по ячейке:
*s rq- 1
rq- 1
*s+l
+ c J (/g+i “ ‘ fq-1) ^ = 0*
(3.28)
Д л я вычисления интегралов в соотношении (3.28) использую тся
приближенны е квадратурны е формулы. Если отнести поды нтеграль­
ные функции к середине интервалов интегрирования, то к в ад р ату р ­
ные формулы запиш утся в виде
гя+1
(f+ l - p ) d r * t{ f i+ l-n )2 h ,
V i
tsf 1
J (kj + 1
I s+ —
f q —l ) d t
\fq+\
S+ — \
fq —\
/ T.
И спользуя эти формулы, получаем явную схему ц ен тральны х
разностей:
4 - (£+1 - я ) + ж ( ^+>т -
) = °-
Если шаблон изменить, например использовать уровни s — I
и s + 1, а при приближенном вычислении интеграла по t отнести:
подынтегральную функцию к уровню s + 1, то получается н ея в н ая
схема центральны х разностей:
-%■ ( f t 1 - / Г 1) +
( / # ! - П±\) = о.
Рассмотрим применение интегрально-интерполяционного метода
в случае, если необходимо, чтобы конечно-разностная схема д л я
нелинейного трехмерного уравнения адвекции
априори обладала свойством сохранения, например удовлетворяла
за к о н у сохранения массы (уравнению неразрывности)
£
+ |» + £
+ £ _
0
(3 3 0 )
в некоторой пространственной области D , на границах которой
Г отсутствую т потоки массы воздуха, т. е.
и |г = v |г = w | г = 0.
(3.31)
В области D построим пространственно-временную сетку, узлами
которой будут явл ять ся точки с индексами i = х /А х , / = у / Ay,
к = z/AZy s = t/Aty так чтобы граничны е узлы сетки леж али на
границе Г.
У равнение (3.29) с помощью уравнения неразры вности приведем
к дивергентной форме:
т
+^
+ т ^ + т г 2 " 0-
<3-32>
В качестве ш аблона будем использовать совокупность точек
•со следующими индексами: 1) t, /, &, s, s + 1; 2) i ± 1, /,
s; 3) t, / ±
± 1, k y s; 4) iy
/, k =h 1, s. П ространственными ячейками при так
выборе ш аблона будут яв л ять ся параллелепипеды с площ адью
граней 2 А х -2 А у; 2 А х - 2 А г; 2Д*/-2Дг, в центре которы х располож ены
точки с индексами /, /, k.
П роинтегрируем уравнение (3.32) в пределах ячейки по всем
независимым переменным:
*s+l zfe+l ^j+l *г+1
ПИ
X dx dy с/г d/ = 0.
(3.33)
При интегрировании по t второго, третьего и четвертого членов
левой части вы раж ения (3.33) воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса и отнесем эти члены к моменту времени t \ .
S+2~
В результате получим конечно-разностное уравнение
где
zh+1 y j +1 *г+1
zh+1 *i+l
(pM
>-./±i,*= I J^P/y)Чdxdz>
zL
(pfaOt./. *±i =
x i - i
J
y-TX t-rx
^
JJ
i
If/
1
Jf (р/и») 1LlЛ+1d
—
1 xdy.
Конечно-разностное уравнение (3.34) аппроксимирует дифферен­
циальное уравнение со вторым порядком точности: О ((Л0 2> (Л*)2>
(Ау )2, (Az)2) — и удовлетворяет закон у сохранения (3.30). В этом
легко убедиться, если просуммировать уравнение (3.34) по всем
индексам i, /, k в пределах сеточной области и учесть граничны е
условия (3.31).
Д л я соседних ячеек члены в квадратной скобке уравнения (3.34)
при суммировании будут входить с разными знакам и, поэтому сумма
этих членов как для внутренних узлов будет равна нулю. П оскольку
на границе Г потоки так ж е равны нулю в силу условий (3.31), то
S
(P/)S+1 = Zj (pfY- С ледовательно, величина 2
(p /)i\/. * сохраi, j, k
i , j,
i, j , k
няется, т. e.
i, /, k
2.4. Схемы численного интегрирования
по времени
При интегрировании уравнений прогностических моделей атмо­
сферы прибегаю т к методу сеток, так как в больш инстве случаев
их не удается проинтегрировать точно. Выше были рассмотрены
вопросы, связанны е с применением этого метода. При этом было
проиллю стрировано применение простейших схем численного ин­
тегрирования по времени. Д л я интегрирования уравнений прогно­
стических моделей атмосферы применяю тся и другие схемы. Р а с ­
смотрим наиболее распространенны е из этих схем на примере у р а в ­
нения, которое запиш ем в общем виде:
(4.1)
5S
где f — искомая ф ункция (решение), а через F обозначены все члены,
не содерж ащ ие производных по времени.
Все рассматриваемые далее схемы реализую тся методом шагов
по времени. Применение этих схем будем обсуж дать на одном ш аге
по времени, так как реш ение на слое (уровне) t + At (s + 1) одно­
значно определяется граничными условиями и решением на преды­
дущ их слоях.
В этом случае определение функции f на уровне t + At сводится
к интегрированию уравнения (4.1) в пределах от t или от t — At
.до t + At:
t+ A t
f (r, t + A t ) = f ( r , t ) +
C F [ f ( r , t), Щ 2 - ,
t]dt,
(4.2)
f F [ f i r , t), -д Щ ^ ~ , t ] dt.
(4.3)
t
t -|- A t
f ( r , t + A/) = f (r, t - At) +
t—At
В общем случае точно вычислить интегралы в вы раж ен и ях (4.2)
н (4.3) не удается. Именно поэтому приходится прибегать к числен­
ным методам интегрирования. В случае уравнения (4.1) д ля при­
менения численного метода интегрирования необходимо выбрать
-область определения реш ения, сформулировать начальны е и гран и ч­
ные условия, т. е. выполнить все то, о чем шла речь в п. 2.3. Здесь
мы не будем обсуж дать эти вопросы, а покаж ем к ак аппроксим иро­
вать производную по времени в уравнении (4.1) и к каком у моменту
времени отнести функцию F. В зависимости от того к ак решены эти
вопросы, строятся различны е схемы численного интегрирования
по времени, которые могут быть явными, полунеявны ми, неявными,
двухуровенными (двухслойными) или многоуровенными (многослой­
ными), одношаговыми или многошаговыми (однотактными или многотактны ми). Эти понятия будут дополнительно поясняться по мере
рассмотрения конкретны х схем.
Если производную по времени df / dt аппроксимировать нап равлен ­
ной разностью вперед, а функцию F заменить сеточной функцией F q
и отнести к уровню s, то получится д вухуровен н ая схема интегри­
рования по времени:
+
(4.4)
ко то р ая носит название схемы Эйлера.
У ровенность схемы определяется по числу уровней (слоев) по
времени, к которым относятся фигурирую щ ие в схеме функции.
В схеме (4.4) таки х уровней (слоев) два, поэтому она и назы вается
двухуровенной (двухслойной). Эта схема имеет первый порядок точ­
ности по A t (О (Д£)) и может быть получена из вы раж ения (4.2),
в котором ф ункция F заменена сеточной функцией F qy отнесенной
к моменту времени t (к уровню s). Схема (4.4) явл яется явной (экс­
плицитной) так как искомое значение
определяется по изве­
стному сеточному значению Fsqy не зависящ ем у от /£+1, и начальному
условию f Sq.
.56
Схемы, в которы х искомая сеточная ф ункция
определяется'
в один прием, т. е. путем однократного использования конечно­
разностного уравнения, назы ваю тся однотактными или однош аго­
выми. Если д ля определения сеточной функции /^+1 конечно-разно­
стное уравнение используется два или более раз, то такие схемы
назы ваю тся двухтактны м и (двухшаговыми) или многотактными (мно­
гошаговыми) соответственно. Схема (4.4) относится к однотактным
(одношаговым).
Если производную по времени в уравнении (4.1) аппроксим иро­
вать направленной разностью назад, то тож е получим д вухуровен ную схему первого п орядка (О (Д/))
/2+ 1 = f q + F s+l At.
(4.5>
Эта схема так ж е может быть получена из вы раж ения (4.2), в котором
функция / 7 заменена сеточной функцией F q y принятой постоянной
и отнесенной к моменту времени / + Д^ (к уровню s + 1).
П оскольку в схеме (4.5) Fsg+l зависит от искомой (неизвестной)
функции f s+l , то эта схема явл яется неявной (имплицитной).
В отличие от явной схемы (4.4) н еявн ая схема (4.5) не позволяет
получить реш ение уравнения в частных производных (4.1) в одной
точке, т. е. нельзя непосредственно вычислить /£+1. Д л я этого по­
требуется решить систему алгебраических уравнений, аппроксими­
рую щ их дифференциальное уравнение на всем множестве внутренних
узлов пространственной сетки с использованием граничных услови й.
В этом легко убедиться, воспользовавш ись неявной схемой
(4.5) для линейного одномерного уравнения адвекции. Неявнук>
схему для эт о ю уравнения запиш ем в следующем виде:
fi+1 = n - c - £ ( n +i
П оскольку в правой части этой схемы имеются неизвестные сеточ­
ные функции f sqfl и f qS- }, то непосредственно вычислить иском ую
функцию f s+l в одной точке невозможно. О днако если применить
эту схему д ля всёх внутренних узлов сетки с индексами q = 1, 2 , ...,
Q — 1 и воспользоваться граничными условиями в узле с индексом
q = 0 (например, в виде f* = /°), то получим зам кнутую систему
линейны х алгебраических уравнений с неизвестными сеточными
ф ункциями
во внутренних у зл ах с индексами <7 = 1, 2 , ..., Q — L
Реш ение этой системы позволит вычислить искомые значения
сеточной функции f s+l во всех внутренних узл ах сетки.
Б олее сложной оказы вается процедура применения неявной
схемы для численного интегрирования по времени нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных.
Рассмотрим этот вопрос на примере нелинейного одномерного
уравнения адвекции
ди
dt
.
ди
и дг
п
£.
и
,ч
^
57
д ля которого запиш ем неявную схему:
«‘+ 1 = и* - м‘+1 £
« + ' - uj+i),
q = l,
2,
(4.6)
В точке q = О, ставится граничное условие вида Щ = и°0.
С помощью этой неявной схемы искомые значения сеточной ф ун к­
ции usg+l могут быть определены в результате реш ения системы
нелинейных алгебраических уравнений (4.6).
Вопросы, связанны е с применением неявных схем д ля численного
интегрирования нелинейных уравнений в частных производных,
будут рассмотрены в главе 4. Здесь же отметим, что неявные схемы
численного интегрирования по времени обычно являю тся много­
шаговыми и реализую тся с помощью процедур последовательны х
приближ ений (итераций). Эта процедура для неявной схемы (4.5)
может быть представлена в виде
£ + 1 . (v+l) = f s + F *+1, (v) д/>
^ ^
где v = 0, 1, ... — номер итерации. Число итераций v определяется
с помощью условия тах \ f Sg+u (v+1) — f gs+u (v) | < ; e, где e — малое
полож ительное число. При v = 0 реали зуется яв н ая схема. Р а з ­
умеется, процесс итераций долж ен быть сходящ им ся. Это означает,
что с ростом v л евая часть неравенства долж на уменьш аться.
Если в выраж ении (4.2) поды нтегральную функцию заменить
сеточной, принять ее постоянной и равной полусумме ее значений,
соответствую щ их верхнему и ниж нему пределу интегрирования
- 4 - ( ^ + п +1)>
то получим неявную двухуровенную схему
fl+l = П + - ^ - ( К + П +1) Л*,
(4.8)
которая назы вается схемой трапеций. Эта схема второго
порядка
точности по At.
Помимо явны х и неявных схем, д ля численного интегрирования
по времени применяю тся полунеявны е схемы, в которы х часть членов
уравнений аппроксимирую тся явно, а д р у гая часть членов — не­
явно.
Примером таких схем могут служ ить следующие двухуровенны е
схемы первого порядка точности по At:
n +l = п +
П +1 = п +
4 - №
Г (^ )н л +
;)л +
( ^ + 1 )л ]
( П + 1 )л ] А* +
а /,
(4.9)
( F s) „л a t ,
( 4 .1 0 )
где через (Fq)n и (F)HJI обозначены линейные и нелинейные члены
лравой части уравнения (4.1).
58
Рассмотрим двухш аговы е (двухтактные) схемы: схему М ац ун о
(Эйлера с пересчетом)
(4.11>
и схему Хойна
/;+ '•
=
fl+l = / ^ + 4 ( ^
+
+ ^ +1’
А/>
(4.12>
(*) рассчиты вается с использованием f sq+ l’ ы
Д вухш аговы е схемы (4.11) и (4.12) состоят из схем предиктора
(первые формулы) и схем корректора (вторые формулы). С помощьн>
схем предиктора вычисляю тся предварительны е значения f gs+u U)
которые затем уточняю тся с помощью схем корректора. Вместе эти
схемы назы ваю тся схемами предиктор — корректор.
Существуют так ж е схемы с несколькими корректорам и, наприм ер
трехш аговая схема с двум я корректорам и:
где
(4.13>
Схемы (4.11) и (4.13) имеют первый порядок точности по Д t,
а схема (4.12) — второй порядок. Д вухш аговы е и трехш аговая
схемы (4.11)— (4.13) можно рассм атривать как частные случаи итера­
ционной схемы (4.7).
К двухш аговым явным схемам относится схема Л ак са — Вендрофа. Рассмотрим применение этой схемы для и нтегрирования
одномерного линейного уравн ен ия адвекции.
Схемой Л ак са — Вендрофа предусматриваю тся два цикла (ш ага)
вычислений. С начала строят реш ение в промежуточных точках по
пространству и времени q ± - у , s + V2, используя начальны е усло­
вия в момент времени s в точках q, q + 1, q — 1, с помощью следу­
ющих конечно-разностных схем:
В этих схемах применяю тся направленны е разности по времени
и центральны е — по пространству. Затем, используя полученные
59»
зн ачен ия /
\ , /
д+ Т
г и начальное условие f gsy с помощью схемы ценq~ T
тр ал ьн ы х разностей находится реш ение в точке q в момент времени
s + 1 (рис. 2 . 1):
1
-s + ~ .
.1
■/
S+ “T
?+4
/Г1
At.
Ar
(4.15)
Схемы (4.14) являю тся двухуровенными по времени и имеют
первый порядок по A t и второй порядок по Аг, а схема (4.15) —
трех у р о вен н ая по времени второго порядка точности по A t и А г.
Я вн ая трехуровен н ая схема центральны х разностей второго пор я д к а точности по А г и A t для уравнения (4.1) записы вается следу­
ющим образом:
/* + > = / * - * + 2 F sq М .
(4.16)
Схема (4.16) получается из формулы (4.3), в которой начальное
условие задается в момент времени t — A t , а поды нтегральная
ф ункция принимается постоянной и относится к моменту времени
t (s). Это схема «чехарды», которую мы уж е рассм атривали в п. 2.3.2
{формула (3.22)).
В некоторых случ аях для интегрирования уравнений гидро­
термодинамики применяется трехуровенная схема Адамса — Беш ф орта второго порядка точности по A t
(4.17)
М ногоуровенные схемы по времени более высокого порядка точ­
ности с использованием аппроксимаций вида (2 .8) применяю тся
сравнительно редко. При численном интегрировании уравнений,
описываю щ их процессы адвекции, целесообразно использовать такие
схемы, в которых производные по пространству аппроксимирую тся
с учетом направления переноса. Н априм ер, для одномерного урав­
н ения адвекции
dt + с dr -
и
в зависимости от зн ака с производную по г можно аппроксимировать
следующими
направленны ми
разностями:
П+ 1 = П - с ^ ( П + 1 - П )
при
О,
fS-H _ Р
/<7
—
\Q
Ar
при c > 0 .
q -1 q - j
60
q q+j
(4.18)
Рис. 2.1. Размещение зависимых пере­
менных при использовании схемы Лакса— Вендрофа.
В этих схемах разности по г направлены в ту сторону, откуда проис­
ходит перенос. Т акие схемы для уравнений, описывающ их адвекцию ,
назы ваю тся схемами «против потока».
Схемы, в которы х разности по г направлены в сторону, куда
происходит перенос, записы ваю тся следующим образом:
fg+l = f l ~ c -^r (fg+ 1 - ft) П р и С > 0,
ft+l = ft — c - j p - ( f i — f t - i ) ПРИ c < ° -
(4 -19)
Т акие схемы назы ваю тся схемами «по потоку».
Из физических соображ ений следует отдать предпочтение схемам
«против потока», так как именно значения метеовеличин в том на­
правлении, откуда происходит перенос, определяю т адвективные
изменения.
Схемы (4.18) и (4.19) являю тся явными и имеют первый порядок
аппроксимации по A t и А г.
Н еявны е схемы первого порядка аппроксимации «против потока»
имеют вид
ft+l = ft - с
(/*tl - #+l) ПРИ C< °’
f + l = П - с - % - (f l +l - ft± \) при С > 0 .
В заклю чение рассмотрим еще одну схему численного интегри­
рования д ля одномерного уравн ен ия адвекции, которая назы вается
схемой «бегущего счета».
Схема «бегущего счета» (н еявн ая, первого п орядка по А г и вто­
рого по А^) записы вается в виде
f s +i
Iq
f
- U
b t \ f S+ l + f t
С д7
ft±\+ft-l
2
2
при c > 0.
(4.20)
Эта н еявн ая схема может быть переписана в виде рекурентного
соотнош ения, которое позволяет последовательно строить решение
для точек в порядке возрастания индекса q, не прибегая к решению
систем уравнений вида (4.20):
M
С ——
At
с 7 -r-
(4.21)
Схемы «бегущего счета» могут прим еняться для многомерных
уравнений. Т ак, например, для трехмерного линейного уравнения
адвекции
рекуррентное соотношение, полученное на основе схемы «бегущего
счета», имеет вид
rs+l
__
/■f, /. *
г
1
/
^
VU 2Sc
ГГ 1
Д<\-| i L
L1+(M
2^+y2^+(°2^)J1
+ Ю2Д|) J '' k U2Дх
/> *
+ V2Ay
/
Д/
Д/
f*>i~x' *) “Ь ю2Д£
•>
/•
^
I
I
2Ау
"t"
ft—1+ /«'. /. ft—l)j »
где
t
1
-
—
i =
Ax’ 1
-9-
k =
Ay’
—
Ag *
2.5. Точные решения
линейных уравнений адвекции,
колебаний и трения
Выше было показано, каким образом можно построить конечно­
разностные схемы и оценить ош ибку аппроксимации. Более полный
ан али з свойств конечно-разностных схем для уравнений гидротермо­
динамики удобно проводить на примере уравнений, для которых
известны точные реш ения. Д л я изучения проблем, возникаю щ их
при разработке схем, в качестве таких уравнений обычно исполь­
зую тся линейные уравнения адвекции, колебаний и трения, так как
для более сложны х (нелинейных) уравнений гидротермодинамики
не всегда известны точные реш ения. Однако на основе ан али за
конечно-разностных схем для линейных уравнений можно получить
ряд результатов, которые оказываю тся полезными при построении
конечно-разностных схем для нелинейных уравнений.
2 .5 .1 . Уравнение адвекции
Представим члены прогностических уравнений, которые описы­
вают локальны е изменения метеовеличин, обусловленные переносом
(адвекцией), в виде
Л
Jf— г-• И„ тdf-----xг-r V, -хdf------\о. r,
df -—n U .
СО -Х7г
~Т7
^
dt
1
дх
ду
1
д£
Изменения метеовеличины / за счет переноса по любому из н а­
правлений
х
г =
У
I
62
в линейном приближении описываются одномерными уравнениями
адвекции вида
l
+ cf
= °>
(51>
где с — 'скорость адвекции, которая считается величиной постоянной.
Скорость адвекции с может быть интерпретирована как ф азовая
скорость перемещения возмущ ения вдоль оси г, которое в начальны й
момент времени t = 0 представляет собой волну:
f (г , 0) = А (0) е*тг9
(5.2)
где А (0) — амплитуда в начальны й момент времени; т = 2n IL —
волновое число; L — длина волны.
Реш ение уравнения (5.1) строится методом разделения перемен­
ных с помощью представления
/ (г, t) = ф! (г) ф2 (t).
(5.3)
После подстановки вы раж ения (5.3) в уравнение (5.1) и деления
результата на фх (г) ф2 (^) имеем
1
d<p2 (t) _
1
d Vl (г) _
ф2 (t)
dt
ф! (г)
dr
к
_
t
Выполнив интегрирование, получим:
Г
J ф2 ( 0
dt
dt--= — \ K d t , f
J
'
’ J Фi(r)
d4,l,(r) dr =
f — dr,dr J
с
или
In ф2 (t) = In A 2 — K t, In Фх (r) = In A ! +
r,
где A ly A 2 — постоянные интегрирования. Следовательно,
Кг
Ф1 (г) = А ге с , ф2 (0 = A 2e~K t,
ИЛИ
-Л
I
/(г , t) = А хА 2е
°
'.
И спользуя начальное условие (5.2), имеем: К = imc9 A LA 2 =
= А (0), а следовательно, реш ение можно представить в виде
f (г> t) = А (0) eim<r~ ct\
(5.4)
Если от независимых переменных г, t перейти к переменным ц =
= г — c t, t 9 то, имея в виду, что / (г, t) = F (т], f), из уравнения
(5 . 1) получаем:
ЭР (ч, 0 _ п
dt
63
1
Это означает, что F не зависит от t , а зависит только от т), т. е.
F = F (т]). Таким образом,
/ ( г , 0 = F (г — ct)
является решением уравнения (5.1), удовлетворяю щ им произволь­
ному начальному условию
f (г, 0) = F (г).
При г — ct = const, / (г, £) = const.
Если рассматривать реш ение на координатной плоскости г, t ,
то на лин и ях г — ct = const реш ение остается неизменным.
Напомним, что интегрирование дифференциальных уравнений
в частных производных равносильно интегрированию так назы ва­
емых характеристических систем. Д л я линейного однородного у р ав ­
нения адвекции (5.1) эта система имеет вид
dt _
dr
Т
Любой первый интеграл характеристической системы является реш е­
нием дифференциального уравнения.
И нтегральны е кривые, описываемые характеристическими систе­
мами, называю тся характеристиками дифференциального уравнения.
Д ля рассматриваемого уравнения (5.1) характеристиками я в ­
ляю тся прямые, уравнения которых представляю т собой интеграл
характеристической системы:
г — ct = const.
(5.5)
Значения / , соответствующие t = 0, представляю т собой начальны е
условия для этого уравнения. Н ачальны е условия однозначно
определяю т константу в правой части уравнения характеристик (5 .5).
На характеристиках реш ение не изменяется, т. е.
f (г, t ) = const.
2 .5 .2 . Уравнение колебаний
В соответствии с начальным условием (5.2) решение (5.4) можно
записать в виде
/ (г, t) = A (t) e imr,
(5.6)
где амплитуда A (t) зависит от времени.
После подстановки реш ения (5.6) в уравнение (5.1) получаем
обыкновенное дифференциальное уравнение для амплитуды
Ц р . = - 1 т с А ( t).
(5.7)
Реш ение уравнения (5.7) имеет вид
A (t) = А (0)
64
(5.8)
Если полож ить, что — cm = сг, то уравнение (5.7) преобразуется
в уравнение
4
d
=
M
(5.9)
,
которое, следуя А ракаве и М езингеру, будем назы вать уравнением
колебаний или частотным уравнением. Отметим,
что эти
н азван ия
не общ еприняты.
В уравнении (5.9) а = 2п / Т — частота, Т — период колебаний.
Общее реш ение уравнения (5.9) имеет вид
A (t) = А (0) ем .
(5.10)
Д л я дискретного времени t = s A t
A (s At) = A (0) e‘a5A*.
(5.11)
Таким образом, функция f (r, t) = A (t ) eimr является реш ением
линейного уравнения адвекции (5.1), если амплитуда А (t ) удовлет­
воряет уравнению колебаний (5.9). С ледовательно, реш ение уравн е­
ния адвекции (5.1) можно записать в виде
/ ( г , t) = А (0)е*<тг+°*К
(5.12)
Д л я дискретны х аргументов г = q А г, t = s A t реш ение (5.12) имеет
вид
fs =
А 0e t ( m i A r + o s A t ) '
щ
Реш ение уравнения колебаний представляет интерес с точки
зрения построения конечно-разностных схем для уравнений гидро­
термодинамики, так к а к при некоторых упрощ ениях к этому у р ав ­
нению можно свести уравнения горизонтального движ ения.
Н априм ер, если в уравн ен иях движ ения опустить члены с со­
ставляю щ ими градиента геопотенциала, то получим
du
, ,
dv
1 Г = + /У’ dT = -
|
/M-
Если полож ить, что V = и + ш, то эти уравнения можно зап и сать
в виде уравнения колебаний
1
dV
-ж = 1‘стУ>
где а = — I.
*
2;5 .3 . Уравнение трения
Если в прогностических моделях предполагается учет ту р б у ­
лентной диффузии и эффекта трения вблизи подстилающей поверх­
ности, то возникает необходимость оценить влияние конечно-разно­
стного представления соответствующ их членов уравнений на устой­
чивость численных реш ений.
5
П . Н . Б елов и д р .
65
Т акие оценки можно выполнить на примере диффузионного у р ав ­
нения
1T = V §
’ v>0-
(5Л 4>
ил
-£ = — kA,
k> 0,
(5.15)
и уравнения трения
где v — коэффициент турбулентной диффузии; k — коэффициент
трен и я. Если принять, что А = u + iv, то уравнение (5.15) описы­
вает эффект трен и я, пропорциональны й модулю вектора скоро­
сти с (и, у).
Общее реш ение уравнения трения имеет вид
A (t) = А (0) е г » ,
или для дискретного времени s — tIA t
A s = А°ё~к Ш .
Реш ение уравнения диффузии имеет вид
f (г , t) = A (t) eimr.
Если подставить его в уравнение (5.14), то получим уравнение
для амплитуды А (t )
d4
= -v m M .
Это уравнение эквивалентно уравнению трения, если принять, что
vm2 = k. Следовательно, уравнение трения описывает поведение
амплитуды в решении уравнения диффузии.
2.6. Сходимость численного решения
З а счет уменьшения приращ ений независимых переменных (ш а­
гов сетки) ош ибка аппроксимации согласованны х конечно-разностных схем может быть сделана сколь угодно малой. Однако это не
будет означать, что уменьш ится такж е ош ибка численного реш ения
f 9s - f ( q A r , s A t ) ( s = - + r , ? = - £ : ) ,
если Аг
0, A t
0. Здесь, как было условлено, ошибка оцени­
вается в пространстве сеточных функций.
Ош ибка численного реш ения будет уменьш аться при уменьшении
Аг и A t только в том случае, если используемая для численного
реш ения конечно-разностная схема будет сходящ ейся. Напомним,
что конечно-разностная схема назы вается сходящ ейся, если ош ибка
численного реш ения, полученного с помощью этой схемы, стремится
к нулю при Ar, A t “ >■0 для фиксированного момента времени s A t
66
при любых (гладких) начальны х условиях. Ч исленное реш ение,
полученное с помощью сходящ ейся схемы, назы вается сходящ им ся.
П окаж ем , что согласованная схема не обязательно является сходя­
щ ейся, на примере линейного уравнения адвекции
dt
+ с
дг
= 0,
(6. 1>
с = const > 0 .
Реш ение уравнения (6.1) F ( г — ct) удовлетворяет произвольному
начальному условию.
Н а рис. 2.2 представлена характеристика г — ct = г0, соответ­
ствую щ ая начальному условию при г0 = 0 , t = 0 .
Д л я численного реш ения уравнения (6.1) будем и сп ользовать
явную конечно-разностную схему с направленной вперед разностью
по t и с разностью по г «против потока»:
(6 .2)
/*+1 = П - с £А г( П - П- l ) (с = 10 М/с).
Эта схема согласована, так к ак ош ибка конечно-разностной аппро­
ксимации стремится к нулю при Дг -> 0, Д £ 0. Д л я схемы (6.2)
примем Дг = 100 м, Д t = 20 с. Предположим, что в точке с коорди­
натами г = 400 м, t = 40 с численное реш ение леж ит на х ар акте­
ристике. Эта точка обозначена на рис. 2.2 цифрой /.
Проследим, к ак формируется численное реш ение в точке / . П о­
скольку A t = 20 с, то реш ение в этой точке будет определяться
значениями функции f в точках I I и I I I . В свою очередь, реш ение
в точках / / и I I I будет определяться начальными значениями ф ун к­
ции f в точках I V , V и V, V I соответственно.
Таким образом, численное решение в точке / не зависит от н а­
чального условия в точке г0 = 0 , от которого зависит точное решение.
П оэтому, несмотря на согласованность схемы (6.2), численное реш е­
ние может как угодно сильно отличаться от точного и не будет схо­
диться к точному при Аг -> 0, A t
0. Причиной этого явл яется
наруш ение требования критерия устойчивости К уранта — Фридрихса — Л еви, так как в данном случае
At e _
Аг ~
Если же в рассмотренном случ
т. е. полож ить A t = 10 с, но
оставить шаг по г неизменным
и равным Аг = 100 м, то кри­
терий устойчивости
будет
удовлетворен, так как
At e
Аг
10-10
■=
100
1.
Р ис. 2.2. Характеристика г — ct —
— го (го — 0). Зависимость реше­
ния в точке / от начальных усло­
вий.
5*
2 0 -1 0
100 — Z >
1
ум еньш и ть ш аг по врем ени в 2 р а з а ,
ь ( 0)
50
y /r-C t^ O
s*
Ь0 30 20
X
10
ЮО
/
Hi /
/
—
/
I
То=0
/
/
VI/
200
j
iv
300
/
1
1
'//
?
'
\jv
400 т м
67
В этом случае реш ение в точке / будет зависеть от начального усло­
вия в точке г0 = 0 , и при Аг -> 0, A t -> 0 численное реш ение будет
сходиться к точному.
Таким образом, сходимость численного реш ения определяется
не величиной шагов по г и t, а их отношением A t/Ar, от которого
зависит наклон прямы х, ограничиваю щ их область зависимости
численного реш ения.
Н а рис. 2.2 при A tc/A r = 2 эта прямая проходит через точки / ,
I I I , V7, а при Atc/Ar = 1 — совпадает с характеристикой. Д л я
лю бых схем необходимое условие сходимости состоит в том, чтобы
характери сти ка располагалась внутри области зависимости числен­
ного реш ения. Нетрудно убедиться в том, что условие будет вы­
п олняться, если Atc/Ar
1 при любых начальны х условиях (не
обязательно при г0 = 0) и любом наклоне характеристики.
П риведенный пример иллю стрирует положение теоремы Л акса
о том, что устойчивость, н аряд у с согласованностью , обеспечивает
сходимость.
2.7. Устойчивость конечно-разностных
схем
В задачах численного прогноза погоды, особенно среднесрочного
и долгосрочного, а так ж е в задачах моделирования общей ц и р к у л я­
ции атмосферы вопрос об устойчивости конечно-разностны х схем
имеет первостепенное значение. В то ж е время разработка устойчи­
вых конечно-разностных схем для нелинейных уравнений сопряж ена
со значительными трудностями. А нализ устойчивости может быть
выполнен лиш ь для линейны х (линеаризированны х нелинейных)
и некоторых простых нелинейных уравнений. При этом устойчивость
конечно-разностной схемы для линеаризированного уравнения не
означает, что эта схема будет такж е устойчивой для соответству­
ющего нелинейного уравнения.
Существует ряд методов исследования вычислительной устойчи­
вости конечно-разностных схем, которые изучаю тся в курсах вы­
числительной математики. Рассмотрим применение некоторых из
этих методов на примере согласованной конечно-разностной схемы
д ля линейного уравнения адвекции.
Д л я линейных уравнений адвекции, колебаний и трения изве­
стны точные реш ения, а такж е известно, что эти реш ения ограничены .
Поэтому анализ устойчивости согласованны х конечно-разностных
схем для этих уравнений сводится к проверке ограниченности чис­
ленны х реш ений, которая будет одновременно означать устойчи­
вость и сходимость этих решений.
Запиш ем согласованную явную схему для линейного уравнения
адвекции с помощью направленной вперед разности по f и н ап рав­
ленной «против потока» разности по г:
rS+l
lala .
гS
ig
fS _ f S
lq—l
Схему (7.1) перепишем в виде
fi+l = ( l -
(7.2)
At
где \i = c w .
П ря м ой метод
При (1 — (i) >
0 (ц
1), используя формулу (7.2), получаем:
|£ + Ч < ( 1 -
v ) \ n \ + И /S-il*
(7.3)
Запиш ем условие (7.3) в точке q, где | /£+1 | имеет максимум, т. е.
ш ах (<7) |/^ + 11.Значения | / | | и \ f l - \ \ заменим максимальным значе­
нием, т.е.т а х (<7) | fg\. В этом случае правая часть неравенства (7.3)
может только увеличиться. В результате неравенство (7.3) преобра­
зуется к виду
тах(„) | /*+ 11< т а х (9) |
|,
откуда следует ограниченность, а следовательно, и устойчивость
численного реш ения, получаемого с помощью схемы (7.1). Таким
образом , условие fut < ; 1
l ) оказы вается достаточным для
устойчивости. Это условие совпадает с критерием
К уран та — Ф ридрихса — Леви (К Ф Л ).
устойчивости
Энергетический метод
Возведем в квадрат конечно-разностное уравнение (7.2) и вы­
полним суммирование по q от 0 до N:
Е
q
( П +ХУ = Е [(1 - R)2 ( П У + 2|Л(1 q
+ R2
'
(7.4)
Если на границах области определения реш ения уравнения (7.1)
в точках <7 = 0 , q = N использую тся периодические граничны е
условия /о = /iv* то
Е
Я
i f U Y = Е ( П ) 2Я
П оскольку в силу неравенства Ш варца
Е /51-1 <
q
\i ^
то при 1
/
f
Е
q
( П ) 2 Е { fU Y = Е ( П ) 2’
Я
Я
0 (\i < '1 ) из вы раж ения (7.4) следует:
•Е « +У < Id - (I)' + 2И(1 - rt + Л S (ЯГ.
q
Я
ИЛИ
£ « + Т <
Я
£ № )’•
я
Ь9
Это неравенство означает ограниченность (устойчивость) численного
реш ения и схемы (7.1). Это утверж дение основывается на том, что
если сумма квадратов S (/?+1)2 ограничена, то ограничены
Q
и /£+1. Таким образом, доказано, что условие (1 — \i) ^ 0 (jx < 1)
и периодические граничные условия являю тся достаточными для
устойчивости.
Рассмотренный метод назы вается энергетическим, так как к в а­
драты составляю щ их скорости ветра и геопотендиала (давления)
пропорциональны кинетической и потенциальной энергии. Энерге­
тический метод может использоваться при анализе вычислительной
устойчивости некоторых нелинейных конечно-разностных схем.
Метод Неймана
Метод Н еймана применяется при анализе вычислительной устой­
чивости конечно-разностных схем для линейных дифференциальных
уравнений, точные реш ения которых известны. Методом предусма­
тривается подстановка точных решений в конечно-разностную схему,
а ан али з устойчивости сводится к оценке множителя перехода, св я­
зывающего амплитуды возмущений на соседних уровнях по времени.
Точные реш ения линейных уравнений вы раж аю тся суммой частных
реш ений, представляемы х волновыми гармониками. Это позволяет
анализировать устойчивость для каж дой волновой гармоники. У стой­
чивость конечно-разностной схемы для каждой гармоники означает
устойчивость конечно-разностной схемы в целом.
Применим метод Н еймана к схеме (7.2). Точное реш ение линей­
ного уравнения адвекции для дискретны х аргументов имеет вид
f q = A seimqAr.
П одставляя это реш ение в схему (7.2) и сокращ ая полученный
результат на общий множитель eimqLr, получаем:
A s+l = K A S, или | A s+11 = | к 11 A s |,
(7?”5 )
где X — множитель перехода; | X | — модуль X.
Д л я схемы (7.2)
X =
1 — \i -f- \ie~imAr = 1 — fut + \i cos m Ar — i\i sin m Ar.
Реш ение будет ограниченным, а следовательно, устойчивым,
если амплитуда не будет возрастать, т. е. если множитель перехода
будет удовлетворять условию | Х | < ; 1.
В рассматриваемом случае
\Х\ = У (1 — [г + |i cos т Ar)2 + [A2 sin2 т А г =
= ] / 1 4- 2(ut (1 — jut) (1 — cosm Аг).
(7.6)
При получении соотношения (7.6) использовались формулы
Эйлера e±i(v = cos ф ± i sin ф, а такж е формула для модуля ком­
плексного
числа 2 = а 4 16, | z | = т / а 2 4- Ь \
70
А н ал и зи р у я соотношения (7.6), находим:
при (ш -^ 0 (Д ^ -^ 0 )
при [ i > 1 | Л,|#> 1,
при 0 < | ш < 1
|А , |< 1 .
(7.7)
(7.8)
В точном решении амплитуда не изменяется, так как
A (t) = А (0) еш , X = еш = cos at + i sin o t f
a
| X | = Y cos2 crt + sin2 at = 1.
(7.9)
Если | A, | > 1 , то амплитуда численного реш ения будет неограни­
ченно возрастать в процессе интегрирования методом шагов по в р е­
мени. Следовательно, условие (7.7) означает неустойчивость числен­
ного реш ения. Условие (7.8) обеспечивает либо уменьшение, либо
неизменность амплитуды, т. е. ограниченность, а следовательно,
устойчивость численного реш ения.
В зависимости от значения модуля множителя перехода | X |
схемы
подразделяю тся на неустойчивые (| X | > 1),нейтральны е
( \Х \ = 1), диссипативные (| X | < 1). Условия (7.7), (7.8)
совпадают
с критерием линейной устойчивости К уранта — Ф ридрихса — Л еви,
так как
Схемы, устойчивость которых зависит от величины \х (соотношен ия
назы ваю тся условно устойчивыми. Схемы, устойчивость
которы х не связан а с выполнением каких-либо условий, называю тся
абсолю тно устойчивыми.
>
П оскольку диссипативные и нейтральные схемы дают ограничен­
ные реш ения, то в соответствии с определением устойчивости их
следует относить к устойчивым.
М а т р и ч н ы й метод
А н али з устойчивости методом Неймана строится с помощью
м нож ителя перехода X, связываю щ его амплитуды реш ения на двух
соседних у р о вн ях по времени в одной точке.
Б олее общий подход к ан али зу устойчивости предусматривает
сравн ен и е численных решений на двух соседних уровнях по времени s
и s + 1 на множестве точек сеточной области с помощью матричного
уравн ен ия
f (s+ D =
B f(s)>
(7 1 0 )
где f (s> — вектор, составляющими которого являю тся значения про­
гностической переменной fqs) во всех узл ах сетки; В — матрица
перехода, назы ваемая так ж е матрицей усиления.
71
Здесь и далее в тех случ аях, когда верхний индекс s указы вает
на принадлеж ность к уровню по времени, он помещается в скобки
(в отличие от степени s).
М атрица В представляет собой конечно-разностную схему, опре­
деленную на множестве точек сеточной области.
Т ак, если д ля схемы
/<s+,) =
^
1 + ( l - (A)/<s), ц > 0 ,
использую тся нулевые граничные условия fgS) = 0 при q = О, N ,
матричное уравнение (7.10) имеет вид
1-
0
0
0
1 — ц 0 [0
0
0
ц
0
(л
0
\
f\s)
f l s)
(7.11)
\ / ^ ± 1 )/
' о
0
0
0
ц 1-
J
i f(s)
I N —1
И з (7.11) следует, что
{<0 = £ f ( s - n =
в
= ••• =
( B i {s ~ 2 ))
B si (0),
(7.12)
где f (0) ( / i ° \ /$ °\ • • • , / л - i ) — вектор начальны х условий.
И з вы раж ения (7.12) видно, что вычислительная устойчивость
зависит от свойства матрицы В. Собственные значения Хк матрицы В
являю тся корнями характеристического уравнения
(7.13)
| £ — Я/| = 0,
где | | — определитель, / — единичная матрица.
В рассматриваемом примере определитель имеет порядок N — 1.
Следовательно, число собственных значений так ж е равно N — 1.
Каж дому собственному значению
соответствует собственный
вектор фй, удовлетворяю щ ий матричному уравнению
k = \, 2, . . . , N - 1.
=
(7.14>
Вектор начальны х условий f (0> может быть представлен линейной
комбинацией собственных векторов <pfe:
| (0' -
(7.15)
£ « л ,
к
где ак — постоянные.
П одставляя (7.15) в (7.12), находим:
f (s) = £
a kB \ k =
£
a k B s- ' B v k
a kB sT ' l k<fk =
2
a kB s- \ hB<vk =
к
И спользуя (7.14), получаем:
f (s) =
2
к
к
к
= S ak В** 2Xk4>k = * * • = S UkXlffk •
k
72
k
Таким образом,
f(s) = Е акЦ щ .
(7.16)
к
Отсюда следует, что решение f (s) (/{s),
f (N - 1) будет ограничен­
ным, а следовательно, устойчивым, если собственные значения Хк
не будут превыш ать единицу:
|А * |< 1 ,
N — I.
* = 1 . 2,
Если |
| > 1 , то решенце будет неустойчивым. При | Kk | <
< 1 реш ение будет затухать. При | Кк \ = 1 реш ение устойчиво и ней­
тральн о.
Таким образом, полученные условия устойчивости согласую тся
с условиями (7.7), (7.8).
Методы Неймана и матриц могут применяться и в тех сл уч аях,
когда точное решение дифференциального уравнения не является
ограниченным, а растет со временем, но не быстрее, чем по экспо­
ненте. В этих слу ч аях численное реш ение может такж е расти экспо­
ненциально, но долж но оставаться ограниченным на конечном
интервале времени. Это означает, что для таки х численных решений
множители перехода к (или собственные значения А*) могут пре­
восходить единицу:
| К | = 1 -|“ б, б
О*
О днако при этом долж но вы полняться условие О (б) < ; О (Д£), или
|А ,|< 1 + 0 ( Д / ) .
(7.17)
Д л я того чтобы показать это, обратимся к соотношению
|А (*+ У \ = | М | Л <*> |,
которое перепишем в виде
| Л (5+1)| = |Л |<5)| Л (0) |,
где Л (0) — ам плитуда в начальны й момент времени (s = 0).
Реш ение будет устойчивым (ограниченным), если
Л (н-1) | = | X |s | Л (0) | < С\
(с\ — конечное число)
или
s l n l M c l n - j f g j - = сП оскольку s = t /A t, то In | А. | < с Дtit.
Д л я конечного времени t
\
1 п |Я ,|< 0 ( Д * ) .
(7.18)
В рассматриваемом случае | Я, | = 1 -f- б, In | X | = In (1 + 6).
73
В оспользуемся разлож ением в ряд:
С учетом этого оценку (7.18) можно записать в виде
6 < О (А/),
а следовательно,
| Я | = 1 Н- О (А/).
П оскольку In (1 + 6 )
б, то 1 + 6 « еб, а это означает, что
при 6 > 0 численное решение будет расти экспоненциально.
2.8. Анализ вычислительной
устойчивости конечно-разностных схем.
Вычислительная вязкость.
Вычислительные моды
П роанализируем методом Неймана устойчивость конечно-разностных схем, используемых при численном интегрировании уравнений
гидротермодинамики, на примере линейных уравнений адвекции,
колебаний и трения. Результаты этого анализа будут использоваться
при построении прогностических моделей в последую щ их гл авах.
2 .8 .1 . Уравнение адвекции
Я вная схема с направленными разностями
Д л я уравнения адвекции
(8. 1)
в случае если \х < О (с < 0), схема «против потока» записы вается
в виде
(8 -2)
fs __ p s eimqbr
(8.3>
приводит к следующему выражению для | А.|:
|Х | =
1 + 2ц (1 + |л) (1 — cos тАг),
откуда получаем:
Iх | < ; 1
|Х |> 1
74
при
при
о< |ц к
||i |> l .
1,
Таким образом, схема с разностями «против потока» при \х < О,
т а к ж е как и при
> 0, условно устойчива, если вы полняется
критерий К уранта — Ф ридрихса — Леви (К Ф Л ):
Нетрудно убедиться в том, что схемы «по потоку» оказываю тся
неустойчивыми.
Схемы с направленными разностями, в том числе и схемы «против
потока»
f s + l __ f s
J - At
f S ___ f S
4 + c fr" Д-Г 1 = 0 , c > 0 ,
f S- f 1
fS
J4 j ^
fS
(8.4)
tS
+ c J d i t r ± = 0> c < ° *
<8 -5>
в действительности аппроксимирую т уравнение
df
,
df
d2f
/Q
~ d t ~ ^ C~dr ~ V d i * ’
^
)
где ^ — коэффициент вычислительной (счетной) вязкости.
В этом легко убедиться, подставив в рассматриваемые схемы
вместо сеточных функций fg+\ fg± i функции / (г, t + Д£), / (г ±
± Дг, t), представленные рядами Тейлора:
fir, * + Д / ) = / ( г , i)+ VLAt + fLS% E +
f ( r ± Ar, t) = f ( r ,
^
+
------
П ри этом предполагается, что f (г, t) — глад кая ф ункция.
В р езу л ьтате подстановки рядов в схемы получим
b it
,
df
df
~Ш + С ^
d/ .
df
л
c A r T ^ A t d*f
= — --5 -« r
1
cAr
At d2f
i k + ci k = - ^ r - H r w
при
C> 0 ,
A
ПРИ c < 0 -
Из уравнения (8.1) следует, что
<Э2/ _
d2f
dt'2 ~ С dr df ’
д2[ _
d fd r -
d-f
C dr2 ’
т . e.
С
учетом этого имеем:
75
для схемы (8.4)
df
df
c ( A r — с &t) d2f
1 F + C1 F = - ^ ----t_
с (Aг — с At)
~
2
V
’
для схемы (8.5)
df
df _
c ( A r - c A t ) d2f
~dt + C ~dr ~
V
=
2
dF’
I c l Ar — c2 At
——
'--------------------------- .
2
При с At! Ar < 1 (с > 0), | с | A t/A r < ; 1 (с < 0) схемы (8.4) и (8.5)
построены корректно, так как при этом v > 0. Следовательно, усло­
вия корректности совпадают с условиями устойчивости. При v < О
задача оказы вается некорректной и неустойчивой.
Таким образом, конечно-разностные схемы с направленны ми
разностями в действительности аппроксимирую т не уравнение (8.1),
а уравнение (8.6), которое описывает не только адвекцию , но и учи­
ты вает вязкость. П оскольку появление вязкого члена явилось
следствием применения конечно-разностной схемы и не св язан а
с физическими соображ ениями, то эффект, описываемый этим чле­
ном, назы вается вычислительной (счетной) или фиктивной вязкостью ,,
а коэффициент v — коэффициентом счетной вязкости. Счетная в я з­
кость, так ж е как и ф изическая вязкость, способствует сглаж иванию
метеорологических полей.
Я вн а я схема Эйлера
В схеме Эйлера для уравнения (8.1) использую тся н ап равлен ная
разность по времени и ц ентральная разность по пространству:
V*"
^Q I r f q + l ^ f q —l _ Л
/о
А?
+ С----- 2Аг----- --<8 *7>
Эта схема является согласованной и имеет первый порядок точ­
ности по Д*и второй — по (Аг)2: О [At, (Дг)2 ]. Подставив точное
решение (8.3)в схему (8.7) и сократив на eimqAr, получим:
А *+» = A s [ l -
с ^ ( е ШАг - е - <тАг) ] .
П оскольку eimAr — e ~ imAr = 2 i sin m Дг, то в выражении
\А1+'\= Щ \А '\,
>2 sin2 m Ar > 1.
|К| = V 1 + M
Таким образом, схема неустойчива.
Подстановка в схему функций / (г, t + At), f (г ± А г, t )y пред­
ставленных рядами Тейлора, приводит к уравнению
°L + c °L = - v ? L
dt
dr
y dr2 9
76
где v = с2 A t 12 — коэффициент счетной вязкости (v > 0 ) .
П оскольку отрицательная вязкость не имеет физического смысла,
то задача реш ения уравнения (8.1) с помощью схемы Эйлера о к а зы ­
вается некорректной.
Схема центральных разностей. Вычислительные моды
С огласованная трехуровенная по времени схема центральны х
разностей второго порядка точности — О [(At)2, (Аг)2 ] — для у р ав ­
нения (8.1) имеет вид
П одставляя в схему (8.8) точное реш ение (8.3) и сокращ ая р езу л ь ­
тат на eim(*Lr, получаем:
A s~*~l = A s 1 — 2ic
Дг
A s sin m Ar.
(8.9)
П одставив в (8.9)
A s+l —
м
A s~i __ j[°eia (s— Aty
As=
и сократив результат на A°eiaSAt, находим:
П оскольку | s i n m A r |< ; 1, то условие устойчивости для схемы
(8.8) соответствует критерию К Ф Л : |с ( Д £ /Д г )|< ; 1. Таким образом,
схема центральны х разностей условно устойчива. Путем подста­
новки в схему (8.8) разлож ени й функции f в ряды Тейлора в точках
(г, t ± ДО, (г ± Ar, t ) нетрудно убедиться в том, что применение
этой схемы не сопровож дается проявлением эффекта вычислительной
вязкости.
77
Амплитуды реш ения на д вух соседних уровнях по времени св я­
зан ы соотношениями A s+l = XAS, A s = ХА8- 1. Следовательно, A s+l =
•= X2A s~ l . С учетом этих соотношений выраж ение (8.9) преобразуется
к виду
Х2А $~ 1 + 2ia>XAs~ l — A s~ l = О,
где
At
.
А
со = с - т — s in m A r .
Дг
С окращ ая полученное вы раж ение на A s~ l y получаем квадратное
уравн ен ие
X2 + 2 т Х — 1 = 0 ,
которое имеет следующие корни:
Хх = — to + 1^1 — со2,
Х2 = — /со — У 1 — со2.
Этим значениям X соответствуют два численных реш ения
где
( # » ) , = л}0)е ^ Аг, (/«°>)2 = л£0)е‘Л*Аг.
Н апомним, что верхний индекс s у X здесь означает степень. Н аличие
двух численных реш ений д л я линейного дифференциального у р ав ­
нения адвекции первого порядка явл яется следствием трехуровенности конечно-разностной схемы (8.8). В общем случае д ля схем
с N уровнями по времени будет N — 1 значений X. Этим значениям X
будут соответствовать численные реш ения, которые назы ваю тся
модами.
В точном решении f {s) = Xsfg°\ X = е10** -> 1 при At -> 0.
Д л я численных решений Хг - ^ \ , Х2 - > — 1 при Д ^ - > 0 . С ледова­
тельн о, численное реш ение, соответствующее Xlt стремится к точ­
ному. Это реш ение назы вается физической модой. Ч исленное реш е­
ние, соответствующее Х2, не яв л яется приближением к точному,
т. е. явл яется ложным, и поэтому назы вается вычислительной модой.
П оскольку реш ается линейное уравнение, то линейная комбина­
ция чИсленных решений ( f {gs))\ и (fgS))2 так ж е будет яв л ять ся решением
у равнения (8.8):
f q( s ) = a l l ( / Г ) . + ^ ( / Г ) 2.
(8Л0)
где а и b — постоянные.
Д л я реш ения дифференциального уравн ен ия первого порядка
по t необходимо одно начальное условие: f (г, 0). Д л я трехуровенного по времени конечно-разностного уравн ен ия (8.8) требую тся
д ва начальны х условия: ф и зи ч е с к о е /10) и вы чи слительн ое/^11. У сло­
в и е fqu назы вается вычислительны м, т ак как оно не требуется д л я
78
интегрирования дифференциального уравн ен ия. В то ж е время
численное решение (8.10) долж но удовлетворять двум условиям :
а « » ) . + ь (!” >), = Г ,
'
ah (/?0)) l + ЬХ2 (/^0>) 2 =
П олучив из этих условий вы раж ения
‘■
W
’). =V 3 r
b (jin h =
A»2— A«i
и подставив их в (8.10), получаем:
fM — М
. . ----/ уг - чГ---------с
. j . c - v r
1- Л/2 ----- л--------л------->
fq
где JLi
A i — А2
Л<1 — Л2
Л2 — Л<1
------ ф изическая мода,
----- г2-------вычислитель— Л«1
ная мода.
Точное реш ение содерж ит только физическую моду, которая
зависит от одного (физического) начального условия и описывает
одну волну. Ч исленное реш ение зависит от физического и вычисли­
тельного начальны х условий и содерж ит две моды, которы е описы­
вают две волны. Если начальное условие имеет [вид fgl) = К\fg°\
то fqs) = k\fq0), т. е. численное реш ение содерж ит только ф изическую
моду. Если fgl) = ^ f q K то fgS) =
т. е. численное реш ение
яв л яется лож ны м , так как содерж ит только вычислительную моду.
Вычислительное начальное условие может быть получено при­
ближ енно с помощью двухуровенной схемы. Это реш ение мож ет
содерж ать вычислительную моду. От выбора вы числительного на­
чального условия во многом зависит х арактер численного реш ения
д л я трехуровенной схемы. П оскольку Х2
— 1, то вы числительная
мода меняет зн ак в процессе численного интегрирования. При s =
= 0, 2, 4, ... Ц = 1, а при s = 1 , 3 , . . . Ц = — 1. Здесь индекс s
у к озн ачает степень.
В ы числительная мода представляет собой источник ошибок д ля
численного реш ения и ее необходимо подавлять.
Неявная схв^га направленных разностей
Рассмотрим согласованную неявную схему первого порядка точ­
ности — О (A t f А г) — с разностью по пространству «против потока»:
fS + l _
fS
f S- И
r1 _ r L + c f q
_
rS+1
A|/ « - * = o
( c > 0).
(8 . 11)
Д л я этой схемы
~]/\
(1 -\-ц) (1 —cos m Ar)
\
Ar
79
при любых значениях Д t и Дг. С ледовательно, схема (8.11) абсо­
лю тно устойчива и диссипативна. Схеме (8.11) свойственна вычисли­
тел ьн ая вязкость.
Неявная схема т рапеций
Н еяв н ая д ву хуровен н ая схема трапеций
О (A t2, Аг2) — записы вается в виде
п +1- п
,
I / ai-fffl
2 \
М
второго
|
2Аг
п орядка —
\
2Аг
/' *
Э та схема назы вается схемой К р ан ка — Н и колсон а. П оскольку
П +1 - f U = 2 i sin т ArA*einu>Ar, /# } - f + \ = 2i sin m ArA s+xeim^ r,
f + x - f sq = etm^ r { A s + l-
A%
TO
| Л 5+1| = | Х | | Л 5 |,
где
1
\ _
.C&t .
1— i
т— sin m Ar
2 Ar
A ~ i 1 +, t. с7 А/
.
Л
—;—sin m Аг
2 Аг
n
K 1+ ( li> ) 2sin2mAr
,
K1+(l^)2sin2m
Ar
Следовательно, н еявн ая схема трапеций нейтральна и абсолютно
устойчива при любых A t и Дг. Эта схема свободна от эффекта вы­
числительной вязкости .
Д ву хт а к т н а я схема М а ц у но (Э йлера с пересчетом)
С огласованная д вухтактн ая схема М ацуно первого порядка
точности по At и второго по Дг (О [At, (Дг)2]) состоит из схем пре­
диктора
rs-fl (*) _ f s
la
— / <7
ht /fs
C 2 ~ A r ^ g+l
cS \
tq—\)
и корректора
fs+ ! — fs ______
fl+1 = r 9 - c 4 2j r r ( f i t Ar
\ w - f l - l W )80
(8-13)
П од ставляя в схемы (8.13) реш ение (8.3) и сокращ ая резул ьтат на
e imq\rt находим:
Д .+1 (*) = А ° _ с
А 5 (gim\r _ е- . т д ^
Лв+1 = A s — с - ^ - A s+X w ( e imAr — е ~ ‘тЛг) .
И склю чим из этих вы раж ений A s+l (*>. В результате имеем
А *+' = А ° _ С ^ _
[ Л* - с ^
Л, (е йпАг - е - ,тАг) ] (в<тАг - е ~ ,тДг).
И спользуя формулу Эйлера
e i m b r _ e- i m b r = 2 t - s i n m A r >
получаем:
| Л 5+1| = | А | | Л 5 |,
где | А. | =
1 — (j,2 sin2 /и Дг + [j,4 sin4 т Д г < 1 при М ^ -^ - <
1•
Т аким образом, схема М ацуно устойчива при выполнении к р и ­
тер и я К Ф Л . Если из схемы корректора исклю чить /5+1
и f qS t \ i*)
с помощью схемы предиктора, записав ее д л я точек q+ 1 и q — 1,
то получим:
U
~
_
fq + \~ ~ fq —\
„
Д
2 Г
At
“•
2
|
Последний член полученной схемы при A t Ф 0, Дг
0 стремится
д2/
к с2 Д t ^
т. е. описывает эффект счетной вязкости . П оскольку
конечно-разностны й аналог второй производной d2f/dr2 ап п рокси ­
м ируется с использованием / д+2, f q- 2 и fq> т - е - на интервале 4Дг,
то вязкость м аксимально воздействует на волны длиной 4Дг. Н а
волны длиной 2Д г счетная вязкость не влияет.
Я в н а я схема четвертого порядка точности по пространству
Д л я линейного уравнения адвекции согласованная яв н ая схема
четвертого порядка по Дг и второго п орядка по A t (О [(ДО2» (Д^)4])
имеет вид
f qS+ l — f qS 1 _ _ с ^ ^
2А t
(/у+1 — fSq - l ) ___ 1_ (/£+2 ~~ fq - 2)
3
2А г 3 4 А г
(8.14)
П ри получении этой схемы для представления производной по г
использовалась аппроксим ация (2.8). П одставив в схему (8.14) реш е­
ние Гf qs = ^ 4 V asAV m<7Ar, сократив результат на общий множитель
и воспользовавш ись формулой Эйлера, получим:
sin a A t = —
6
П . H . Б ел ов и д р .
A
(2Ar)2 \/<7+2 +
sin т A r ------g- sin 2m Ar ^ .
81
П оскольку д ля вещественных о имеем sin о A t
с 4г" ( “Т ”sin 171
1, то
-----g -sin 2m A r ) | < 1.
(8 .15>
Соотношение (8.15) является условием устойчивости д ля схемы
(8.14). Выясним, какие ограничения следует налагать на
, чтобы
выполнялось условие (8.15). Д л я этого оценим м аксимальное значе­
ние вы раж ения в круглы х скобках .условия (8.15). С этой целью
продифференцируем его по т Аг и приравняем к нулю. В р езул ьтате
имеем
4
1
— cos т A r ---- g-cos 2т Аг — 0.
П оскольку
cos 2т А г = 2 cos2 т Аг — 1,
то
4
2
cos т Д г ----- g- cos2 т Дг +
1
= 0.
Р еш ая это квадратное уравнение, получаем:
(cos m Аг) = 1 ±
«
1,225.
Вещественному корню cos т Аг = —0,225 соответствует т Аг ж
103°. Следовательно,
m ax
sin т A r -----sin 2т Д г) = 1,37.
С учетом этого на основе (8.15) получаем условие устойчивости д ля
схемы (8.14):
\ с
At
Л < 0 ,7 3 .
Аг
(8.16)
Таким образом, для схемы (8.14) условие устойчивости о казы ­
вается более ж естким, чем для схем первого и второго порядка по Аг.
И з условия (8.16) следует, что д ля схем четвертого порядка по про­
странству ш аг по времени долж ен быть примерно на 27 % меньше,
чем д ля схем второго порядка (при одних и тех ж е с и Аг). В случае
применения схемы (8.14) эффект вычислительной вязкости не про­
является.
Схема Лакса — Вендрофа
Я вн ая согласованная схема Л ак са — Вендрофа второго п орядка
точности по A t и Аг представляет собой совокупность схем:
s+ 4 -
1\
“
1( s SX
c (/g —/g- i ) _
=
Af/2
(8.17)
Аг
(8.18)
Aг
s_j_L
Определив f
s+i
2\ и f i с помощью (8.17) и подставив их в (8.18),
*+г
*—
получим:
_
ДТ
(/^4-1 /<7—l)
-
с
При А? =т^= 0, Д г О
м и тся к у с2
|
2АТ
1
1 ~ ^ fq )
2 Д / (Vbl
h ~Tc
(А7р
/О 1П\
•
последний член в правой части (8.19) стре­
С ледовательно, этот член описывает эффект
вычислительной вязкости. Этот эффект аппроксим ируется на интер­
в ал е 2Д г (в конечно-разностном аналоге второй производной исполь­
зую тся f q+1, f q_x и f q) и поэтому максим ально подавляет волны дли ­
ной 2Аг, которы е н ельзя правильно представить на сетке. Это важ ное
свойство схемы Л ак са — Вендрофа используется д ля демпфирования
коротких волн в процессе численного интегрирования уравнений
гидротермодинамики.
П одстановка в (8.19) точного реш ения уравнения адвекции
^ _ £Se imqAr
приводит к выражению
1=
где
К = 1 + Н'2 (cos т Дг — 1) — щ sin т Дг,
[г == с
.
П оскольку
а
1
о . 9 т Аг
. о .
т Аг
cos т Дг — 1 = — 2 sin2 —g - ,
А
т Аг
sin m Дг = -+■ 2 sin —
cos —
. » т kr
m Аг
,
то
а
1
0
2
0.
т Аг
А = 1 — 2fT Sin2 —2----- 2 щ Sin —2“ COS —у ,
] А. | = J / ^ ( 1 — 2ц 2 sin2 т^ г У + 4ц.2 sin2 m^ r cos2
m Аг
= \ / 1 — 4ц,2 (1 — ц2) sin4 т^ г
6*
83
При 1 — (л2 ^ 0 | X | <
можно записать в виде
1. С ледовательно,
условие устойчивости
до бесконечности, то | Я | возрастает от 0 до 1, т. е. диссипативность
схемы уменьш ается по мере увеличения длин волн.
Схема центральных разностей
для двухмерного уравнения адвекции
Д вухм ерное линейное уравнение адвекции имеет вид
(8 .20)
где / (х, у , t)\ и, v — составляю щ ие двумерного вектора скорости
с (и , и); с = У и2 + и2, и = const, v = const. П ол агая п = х / А х г
j = у / Ay, s = t/At, запиш ем согласованную конечно-разностную
схему центральны х разностей для уравн ен ия (8.20):
Эта схема не диссипативна и имеет второй порядок точности по всем
независимым переменным: О [(Ах)2, (Ау)2, (А/)2]. Точное реш ение
уравнения (8.20) в дискретной форме имеет вид
0 ios A t i (тп Aar-f-р/ А#)
где р = 2n j L y — волновое число, L y — проекция волны на ось у.
Подставим это решение в конечно-разностную схему (8.21). С окра­
тив полученное вы раж ение на /Д,/, находим:
>—tcj At
Л/
im А х
g—im Ax'
_ D — — (e {P by — £— ip Ay y
У чи ты вая, что
— e r 1* = 2 i sin p, имеем:
2 i sin о A t = — 2 i At ( - j j - sin m A x +
sin p A y ) ,
или
sin о A t = — At
sin m A x +
П о с к о л ь к у |sin a A^j<! 1, то необходимо, чтобы
sin p Az/) .
Это условие долж но вы полняться д ля любых допустимых m И /7.
М аксимального значения вы раж ение в круглы х скобках достигает
при sin т А х = sin р A y = 1. П оскольку и = с cos а , и = с sin а»
(а — угол между осью х и направлением вектора скорости с), то
условие (8.22) при Дл; = Ду = Дг можно переписать в виде
с -д- | (cos a sin т Ar + sin a sin р Аг) | *< 1.
При sin т Дг = sin р Дг = 1 максимум д л я cos а + sin а = ] / 2
будет иметь место при а = я /4 .
Таким образом, условие устойчивости д л я рассматриваемой
схемы будет иметь вид
Это означает, что д л я двумерного уравн ен ия адвекции м аксимальное
значение A t долж но быть почти на 30 % меньше, чем для одномер­
ного.
2 .8 .2 . Уравнение колебаний
У равнение колебаний
(8.23)»
используется д л я изучения волновых процессов. Оценки свойствконечно-разностны х схем д ля этого уравн ен ия, в частности устойчивости, представляю т интерес и использую тся при разработке мето­
дов численного интегрирования более слож ны х уравнений.
Точное реш ение уравнения колебаний имеет вид
A ( t ) = A ( 0)е™.
Д л я дискретного времени s = t/A t
Д э __ ДОgies At
(8.24)»
Геометрический смысл реш ения (8.24) состоит в том, что в ком ­
плексной плоскости модуль ком плексного числа (Л°) постоянен;
а аргумент (as At) изменяется на угол 0 = о A t за ш аг по времени.
В точном решении ам плитуда колебаний не изм еняется. В числен­
ном реш ении ам п л и туда'м ож ет изм еняться в зависимости от вели ­
чины | X |.
Двухуровенные конечно-разностные схемы
Запиш ем конечно-разностную схему для уравнения колебаний
в следующем общем виде:
= A* - f i0 ( а А $ + М * +1)>
где 0 1 = а A t , а +
р =
1.
(8.25)
П ри а = 1, р = 0 получается явн ая схема с направленной
вперед разностью по времени; при а = О, Р = 1 — н еявная схема
с направленной назад разностью по времени; при а = р = г/2 —
неявная схема трапеций.
Разреш ив уравнение (8.25) относительно A s+ly получим:
ip0
или
где
ГД6
= ЯЛ®,
А, -
1+
* ~~ 1 - ф 0 •
Д л я явной схемы (а = 1, Р = 0)
|Х| = у Т + ^ > 1,
д л я неявной схемы (а = 0, Р = 1)
IM =
+ 1
д л я неявной схемы трапеций (а = р = V2)
|Х| = 1 /
Г
Г
1 + 4 - е2
—
^ - = I-
1+4-02
С ледовательно, явная схема неустойчива, н еявная схема устойчива
и диссипативна, а неявная схема трапеций нейтральна. Причем
неявная схема с направленной н азад разностью и н еявн ая схема
трап ец и й абсолютно устойчивы независимо от величины ш ага по
времени.
Диссипативность неявной схемы увеличивается с ростом частоты
колебаний о и ш ага по времени A t (т. е. 0 = аД£). Это свойство
неявной схемы может использоваться для селективного подавления
амплитуд высокочастотных колебан и й .
Схемы М а ц у но и Х о й н а
Эти схемы можно записать в общем виде
Л •+!•<•> = A s + iQA*f
A s+l = A s + /0 (а А* + М в+1’ (Ф)).
(8.26)
где а + р = 1.
При а = 0, Р = 1 имеем схему М ацуно; при а = Р = 1/2 —
схему Х ойна. Подставив первое уравнение (8.26) во второе, получим:
А *+1 = ХА°,
где
х =
•
86
1 — Р02 +
/0 .
Д л я схемы М ацу но (Р = 1)
■ к = 1 _ 0 2 + 1-0 ,
| Я | = т / ' 1 — 02 + 04 < 1
при
0<
1.
Таким образом, схема М ацуно условно устойчива при At
Ту
т. е. в том случае, если ш аг по времени достаточно мал по сравнению
с периодом колебаний. Чем больше частота, тем меньше должен
быть ш аг по времени. Д ифф еренцируя вы раж ение для | Х\ по 0,
находим:
d\X\ _
0 (202 — 1)
dQ ~ у 1 _ 0 2 + 04 в
М инимум для | Х\ имеет место при d | X\/dQ = 0. В этом случае202 — 1 = 0 , т. е. 0 = 1/]/~2. С ледовательно, | Х| имеет минимум
при 0 = 1/1^2.
Е сли выбрать ш аг по времени так, чтобы 0 < 0 < 1/ Y 2 для
всех рассматриваемы х частот (а ), то для высокочастотных колеба­
ний | Я | будет малым. В связи с этим амплитуды высокочастотных
колебаний будут подавляться. Это свойство схемы М ацуно исполь­
зуется при подготовке начальны х данны х для прогностических мо­
делей, основанных на полных уравн ен иях, методом динамического
согласования полей.
Д л я схемы Х ойна
A = l - i - 0 2 + /0,
|Х| = ] / 1
+ х 04 >
L
Схема всегда неустойчива, однако для малы х 0 (малых At) неустой­
чивость слабая.
Схема центральных разностей. Вычислительные моды
Рассмотрим трехуровенную схему центральны х разностей для
уравнения колебаний
Л 5+* = А 8- 1 + 2ША*.
(8.27)
Т ак ж е как в случае рассмотренной выше схемы центральны х р аз­
ностей для уравнения адвекции, для применения этой схемы необ­
ходимо исиользовать два начальны х условия: А 0 и А 1. В то ж е время
для Дифференциального уравнения колебаний достаточно одного
начального условия А 0. Необходимость привлечения начального
условия А 1 обусловлена структурой схемы (8.27). Н ачальное усло­
вие Л° назы вается физическим, а начальное условие Л 1 — вычисли­
тельным. У словие Л 1 (при s *= 1) не может быть получено с помощью
схемы (8.27). Д л я получения Л 1 необходимо применять двухуровенные схемы.
Амплитуды на двух уровнях по времени связаны соотношением
j[s+i = ЯЛ5. Д л я схемы (8.27) следует записать:
Л<5> - ЯЛ*5- 1*,
Л<«+!> - Х М ^ - 1).
87'
Е сл и подставить эти соотношения в схему (8.27), то получим квадрат­
н о е уравнение для X:
X2 — 2 iQX — 1 = 0 ,
которое имеет два корня:
= /0+ у 1- е 2,
х2= to - т/ 1 — о2
П р и Д / - > 0 ( 9 - > 0 ) ^ i - > l , Х2
— 1.
Ч исленное решение, соответствующее Хи стремится к точному
и представляет собой физическую моду. Ч исленное реш ение, соот­
ветствующее Х2 представляет собой вычислительную моду.
П оскольку | Хг | = 1, | Х2 1 = 1, то обе моды нейтральны . Вычис­
л и т ел ьн ая мода знакопеременна, т. е. осциллирует, так как
А 2^ =
при
А»2< с 0 .
•Линейная комбинация этих мод такж е является решением уравнения
{8.27). Возникаю щ ие при этом вопросы аналогичны тем, которые
обсуж дались в связи с уравнением (8.10).
2 .8 .3 . Уравнение трения
И сследования устойчивости конечно-разностных схем д ля у р ав ­
нения трения, которое описывает поведение амплитуд в решении
у р ав н ен и я диффузии, позволяю т получить практические рекомен­
дации по вопросам численного интегрирования уравнений гидро­
терм одинамики в тех случ аях, когда предполагается учет вязки х
и диффузионных членов.
У равнение трения
&£- = — k A ,
£> 0
(8.28)
имеет точное решение
A ( t ) = A ( 0 )e ~ kt.
.Д ля дискретного времени s = t/A t
A s = A°e~ks д<.
(8.29)
Двухуровенные конечно-разностные схемы
Д вухуровенную конечно-разностную схему для уравнения (8.29)
запиш ем в общем виде:
Л*+1 = А* - k A t (аА* + M s+1).
где а + Р = 1•
Н а основе (8.30) имеем
Л 5+> = XA S,
(8.30)
Я вн ая схема (а = 1, р = 0) при ft A t< L 1 устойчива, так
как
в этом случае X — 1 — k A t <. 1. Е сли ft A t >
1,
то X < 0 и
будет осциллировать. П ри ft A t > 2 реш ение будет неустойчивым
и осциллирую щ им, т а к к а к X <Г 0, | | > 1 .
Н еявная схема (а = 0, Р = 1) абсолютно устойчива, так
как
Я < 1 при любых k At.
Н еявная схема трапеций (а = х/ 2» р = 1/2) такж е устойчива,,
так как X < 1. П ри ft A t > 2 реш ение осциллирует.
Схемы М а ц у но и Хой на
Схемы М ацуно и Х ойна д ля уравнения (8.28) запишем в общем
виде: *
у4*+1. (*) = Л 5 — £ ДМ *,
ЛИ-i = Л 5 — ft A t (а Л ‘ + РЛИ-1- (•>),
(8.31>
где а И- р = 1.
П ри а = 0, р = 1 имеем схему М ацуно; при а = р = 7а —
схему Х ойна. И склю чая из схем (8.31) Л5+ 1(»>, получаем:
ЛИ-1 = ХА*,
где
К = 1 — ft A t + Р (ft At)2.
. При ft At.<Z 1 схемы М ацуно и Х ойна устойчивы. П ри ft A t = 2
схема М ацуно неустойчива (А, > 1), а схема Х ойна н ей трал ьн а
(X = 1).
Схема центральных разностей. Вычислительные моды
Трехуровенная
(8.28) имеет вид
схема
центральны х разностей для
A*+i = Л 5-1 -
2ft Д tAP.*
уравнения'
(8.32)»
П одставляя в схему (8.32) соотношения
Л* = ХЛ*-1,
Л®+> = ХЛ*,
получаем квадратное уравнение д ля
X:
X2 + 2k AtX — 1 = 0,
корни которого имеют вид
X1 = —kAt + V 1 + (ft А О2 »
^
— ft Д< - У 1 + (ft At)2.
П ри Д < - > 0 имеем А.!-*- 1, Я2 -»-------1.
Реш ение, соответствующее А,ь представляет собой физическую»
моду, а реш ение, соответствующее Х2, — вычислительную моду.
П оскольку £ Af > 0, то Х2 < — 1, а поэтому вы числительная мода
Л |5) = Я |Л (°) (индекс s у X означает степень) всегда неустойчива и
89-
осциллирует. С увеличением s вычислительная мода быстро растет.
Ф изическая мода устойчива, так к ак 1 > Хг > 0, но с увеличе­
нием k A t
-> 0.
У читывая эти свойства схемы центральны х разностей, можно
сделать вывод о нецелесообразности применения ее для тех членов
уравнений, с помощью которых описываю тся вязкость, диффузия
или трение.
Схема Адамса— Бешфорта
Схема Адамса— Беш форта для уравнения трения записы вается
в виде
ЛИ-' = A s — k M ( ^ - A s — 4 - Л * -1) .
(8.33)
П одставляя в схему (8.33) соотнош ения, связы ваю щ ие реш ения на
соседних уровнях по времени:
^
A s+ l = Х А 8,
А 8 = Х А 8-*,
получаем квадратное уравнение для К, корни которого описываются
вы раж ениям и
X - k A t + l - i k M f ') ,
^1 = 4 - ( 1
Ъ =
- \ k b t - Y
1 - Й А ^ + -5-(Й Д 02 ) .
При k A t ^ C l обе моды устойчивы (схема диссипативна), причем
вычислительная -мода подавляется сильнее. Следовательно, схему
А дамса— Беш форта можно применять для тех членов уравнений,
с помощью которых учитываются диффузия, вязкость и трение.
2 .8 .4 . Ошибки ложного представления,
Нелинейная вычислительная неустойчивость
Выше были рассмотрены вопросы, связанны е с построением ко­
нечно-разностных схем для линейных уравнений адвекции, колеба­
ний и трения. Однако в прогностических моделях приходится иметь
дело с нелинейными уравнениями, причем нелинейность уравнений
гидродинамики обусловлена наличием членов, описывающ их адвек­
цию.
Д ля нелинейных уравнений исследование конечно-разностных
схем, в частности вычислительной устойчивости, представляет боль­
шие трудности и может быть выполнено лишь для некоторых про­
сты х случаев. Обычно при разработке конечно-разностных схем для
нелинейных уравнений исследуется устойчивость их линеаризиро­
ванны х аналогов. Устойчивость для линеаризированны х аналогов
является необходимым, но недостаточным условием устойчивости
для нелинейных уравнений, так как не всегда устойчивая схема для
линейного уравнения будет устойчивой для соответствующего не­
■90
линейного уравн ен ия. Н еустойчивая схема для линейного уравн ения неустойчива и для нелинейного уравнения. В связи с этим мно­
гие результаты и выводы, полученные для линейных уравн ен ий ,
сохраняю т свое значение и могут быть полезны при р азраб отк е
конечно-разностны х схем д л я нелинейных уравнений.
Впервые явление, которое получило название нелинейной вы­
числительной неустойчивости, было обнаруж ено
Ф иллипсом при
численном моделировании общей ц иркуляц ии атмосферы. Этот вид
неустойчивости проявился в виде резкого увеличения энергии мо­
делируемой среды. Последующий ан али з результатов моделирова­
ния позволил Ф иллипсу выявить причину этого явлен и я. О казалось,
что причиной послуж или особого рода ош ибки, которые появляются,
при численном интегрировании нелинейных уравнений.
Рассмотрим на примере нелинейного уравнения адвекции
-g L + « . § - = О,
u = u (x ,t),
(8.34).
эффекты, обусловленные нелинейностью. Здесь под и (х> t) пони­
мается составляю щ ая вектора скорости вдоль оси х. П ри использо­
вании метода конечных разностей возникаю т трудности с пред­
ставлением коротких волн на сетке точек. Т ак, волны, длина кото­
ры х менее 2Дя, т. е. волновое число которых превыш ает т тах =
= п/АХу невозможно представить на сетке.
Д опустим, что ф ункция и (ху t) представляет собой синусоиду:
и (я, t) = А (t) sin тХу
(8.35)
которая может быть представлена на сетке, т. е.
-
т < rnmax
-
=
L* > 2 Д х ^ .
•
•П одставляя (8.35) в нелинейный член уравнения (8.34), получаем:
и
= А 2 (t) т sin т х cos т х =
■т sin т 'л \
(8.36)
где т! = 2 т .
Таким образом, за счет нелинейности появилась волна с волно­
вым числом т! = ■L
(д л и н ой —
Процесс* который описы­
вается нелинейными членами (в рассматриваемом случае произведе­
нием волновых компонент), назы вается нелинейным взаимодей­
ствием.
Если для волны, представленной формулой (8.35), волновое
число т в начальны й момент времени удовлетворяло неравенству
V2^max < т < гптаху то в процессе интегрирования уравнения
(8.34) за счет нелинейности может возникнуть волна с волновым
числом т > mmax, которая не может быть представлена на сетке.
П ри этом могут п оявляться такие волны, которые на сетке могут
быть интерпретированы как более длинные. Н апример, если появ­
ляется волна Lx = 4/ЗАху то она может быть ошибочно принята
за волну^ Lx = 4 А х (рис. 2.3).
91
L2=4-bx
\
\
а?
Рис. 2.3. Ошибочное представ4
ление волны L x =
А* (1) вол­
ной L = 4 А* (2).
Их
Такого рода ошибки можно назвать ошибками лож ного представ­
лен и я (aliasin g error).
П окаж ем на примере лож ное представление волны с волновым
числом т , появляю щ ейся за счет нелинейного взаимодействия.
Запиш ем тождество
ТС
sin m 'x == sin [2m max — (2rnmax — m')] x,
У читы вая, что х
ности, получаем:
^72max —
“АТ
n Ал:, и применяя формулу для синуса раз,2л;
sin m х = sin m 'n Ax = sin
а
A x cos
— cos ~Kx n ^ x sin ( ~Kx—
/ 2я
— m'^J n A x —
m ) n ^ x*
Однако
2n
A
л
s i n -7—
я Ax = 0,*
Ax
а поэтому
sin m' n A x = — sin (2rnmax — m ') n Ajc.
Таким образом, н ельзя отличить волну с волновым числом т '
о т волны с волновым числом 2т тах — т ' . С ледовательно, если
яг' > m max, то волна с волновым числом т ' на дискретной сетке
точек будет ложно представляться к а к волна с волновым числом
т * = 2т тах — т ' .
Н а рис. 2.4 показано ложное представление волны с волновым
числом m! > m max более длинной волной с волновым числом
2/72тах
^2 •
Е сли т '
2зх
= 4^зд^, то т * =
2я
4Дл. , т. е. волна L'x = 4 /ЗА х ложно
представляется волной Lx = 4 А х , что и показано на рис. 2.3.
В процессе численного интегрирования нелинейных уравнений
ш агами по времени за счет нелинейного взаимодействия постоянно
генерирую тся короткие волны (Lx < 2 Ах), которые не могут быть
2Ьх
Рис. 2.4. Ложное представление
волны с волновым числом tn' >>
> mmax волной с волновым числом
т * = 2ттах — т .
*92
771 *
771 ргСХ 771
Ах
/
п равильн о представлены на сетке и ошибочно представляю тся как
«более длинные. Д лины этих волн в основном приходятся на интер­
вал 2Дл; < Lx < 4Ax. М ногократно повторяющееся лож ное пред­
ставлени е коротких волн может сопровож даться быстрым ростом
амплитуды волн в интервале длин 2 Д л ;< Lx < 4Дл; и в конечном итоге
потерей вычислительной устойчивости. Это явление, обусловленное
нелинейностью уравнений и ошибками лож ного представления,
назы вается нелинейной неустойчивостью.
Р ост амплитуд волн, а следовательно, и энергии соответству­
ющих возмущ ений за счет ошибок лож ного представления обуслов­
л ен ложным притоком энергии к возмущ ениям, волновые числа
которы х несколько меньше чем пгтах2 .8 .5 , Влияние ошибок на устойчивость численных решений
В ычислительное начальное условие, необходимое для трехуроаенн ы х конечно-разностны х схем, может быть получено с помощью
какой-либо двухуровенной схемы. П оскольку это условие явл яется
приближ енны м , то нет гарантии, что это реш ение не будет содер­
ж а т ь вычислительную моду.
Отсюда следует, что к определению вычислительного начального
услови я следует подходить весьма осторожно.
По вполне понятным причинам наличие вычислительной моды
я в л яе т ся нежелательны м. Если даж е собственное число или множ и­
тел ь перехода вычислительной моды не превышают единицы, то
теоретически решение будет устойчивым, но искаженным. Следует
т а к ж е иметь в виду, что искаж ение решений может быть обуслов­
л ен о не только вычислительной модой, но возникать так ж е за счет
д р у ги х факторов как физического, так и математического х а р а к ­
т е р а , например за счет приближ енного учета неадиабатичности про­
цессов или за счет ошибок округл ен и я. Эти искаж ения независимо
о т их хар актер а могут приводить к потере вычислительной устой­
чивости, если их влияние будет возрастать с увеличением времени
интегрирован и я.
С точки зрения влияни я ош ибок на численные реш ения следует
стрем иться к тому, чтобы суммарный эффект ошибок был ограничен­
ным при возрастании числа ш агов по времени.
А нализ поведения ошибок в процессе численного интегрирования
уравн ен ий можно выполнить, поступая так ж е к ак при анализе
устойчивости реш ений. Т ак , если для ан ал и за ошибок использовать
матричный метод, то, введя вектор искаж енны х значений метеовели­
чин в начальны й момент времени
в соответствии с вы раж е­
нием (7.12) получим:
f' (s) == B sf' <°>,
где f '(s) — вектор искаж енны х значений метеовеличины через s
ш агов по времени. Ч ерез s шагов по времени вектор ошибок опре­
делим следующим образом:
8<s) = f(s) — f (s).
93
Тогда
e<s> = B se<°>,
где e (0) — вектор ошибок в начальны й момент времени.
По аналогии с (7.15) представим вектор ошибок в н ач ал ьн ы е
момент времени е<°> линейной комбинацией собственных векторов:
е<0) = £ bh<pfe,
k
где bk — постоянные. Тогда по аналогии с (7.16) получим
e (s) = Е
b k Л*ч>*,
где
— собственное число в степени s.
Сравнение последней формулы с формулой (7.16) показывает,,
что изменения ошибок во времени происходят так ж е как изменения
численного реш ения. Если Хк будет больше единицы, то ошибки
будут возрастать и решение окаж ется неустойчивым за счет ошибок.
Поэтому при интегрировании уравнений следует предусматривать
подавление вычислительных мод и ошибок различной природы
введением диффузионных членов, а такж е применение^ конечно­
разностны х схем, селективно подавляю щ их определенные моды или
об л адающи х выч исл ител ьн ой вя зкостью .
Некоторые из рассмотренных выше конечно-разностных схем
обладаю т вычислительной вязкостью или селективно подавляю т воз­
мущения с определенными длинами волн.
2.9. Анализ изменений фазы колебаний,
фазовых и групповых скоростей.
Вычислительная дисперсия
П ри построении конечно-разностны х схем для уравнений гидро­
термодинамики, описывающ их волновые процессы в атмосфере,
следует учитывать два главны х требования. Во-первых, необходимо,
чтобы реш ения, получаемые с помощью этих схем, правильно вос­
производили изменения амплитуд волн. При этом прежде всега
имеется в виду устойчивость решений. Д л я рассмотренных линейных
уравнений правильное воспроизведение изменений амплитуд озн а­
чает, что амплитуды численных решений должны оставаться не­
изменными, так как в точных реш ениях они неизменны. Строго эта
достигается с помощью нейтральны х схем. В тех сл уч аях, когда
применение нейтральны х схем затруднительно, использую т диссипа­
тивные схемы. Во-вторых, конечно-разностные схемы долж ны быть
построены так , чтобы правильно описывались изменения фазы коле­
баний, фазовые и групповы е скорости волновых возмущ ений.
Вопросы, связанны е с построением конечно-разностных схем,
удовлетворяю щ их второму требованию , рассмотрим на примере
линейны х уравнений колебаний и адвекции, для которы х известны4
точные изменения фазы колебаний, фазовые и групповы е скорости.
94
2 .9 .1 . Анализ изменений фазы численных решений
дл я уравнений колебаний
Д л я уравнения колебаний
4 г = 1 'аЛ
<9Л)
A ( t ) = A (0) еш .
(9.2)
точ н о е реш ение имеет вид
Д л я дискретного времени s = t/A t
A s = Д0еЬш Д*#
(9 .3 )
Геометрическое толкование реш ения (9.3) состоит в следующем.
М одуль комплексной величины A s , т. е. длина радиуса-вектора А 0
не изменяется. И зменения комплексной величины A s определяю тся
аргум ентом
os At. З а шаг по времени A t аргумент
изменяется на
угол 0 = о At. Это означает, что в комплексной плоскости радиусв екто р длиной Л° поворачивается против часовой стрелки на угол 0 .
У гол S0 назы вается фазой колебаний, а 0 — изменением фазы за
ш аг по времени (рис. 2.5).
А нализ устойчивости конечно-разностны х схем для уравнения
^9.1) методом Н еймана вы полняется с помощью соотношений
A s+l = X A S,
A s+l = A°eiG <s+ n л*,
As = A°eia* A*f
гд е X = eia*f = eiQ = cos 0 + i sin 0.
К ом плексная величина X представляется суммой X = Хя + Яь
где Хя = cos 0 и
= sin 0 — вещ ественная и мнимая части.
Таким образом, в точном решении | Х\ = ] / c o s 2 0 + sin 2 0 = 1,
6 = arctg {Xi/XR) = a At.
Оценим изменения фазы за ш аг по времени в численных реш е­
н и я х , полученных с помощью различны х конечно-разностны х схем.
К ак будет показано, изменения фазы в численных реш ениях могут
отличаться от 0 .
Е сли изменения фазы за ш аг по времени в численном решении
обозначить через ср, то свойства ко­
нечно-разностных схем удобно х ар а к ­
теризовать относительным изменением
фазы ф/0 . П ри ф/0 = 1 схемы яв­
ляю тся нейтральными по отношению
к изменениям фазы, при ф /0 < 1 — за­
медляю щ ими, при ф/0 > 1 — ускоряю ­
щими.
Рис. 2.5. Геометрическая интерпретация реше­
ния А 8 = А°еа Ш .
-
0
R e — д е й с т в и т е л ь н а я о сь, Im — м н и м ая.
95
Я вн а я
двухуровенная схема
Д л я явной схемы
А*+1 = А* +
X— 1+<0,
т. е.
XR = 1,
k i = 0.
Следовательно,
TT = - J - a r c tg 0 .
П оскольку
< ; 1# то
< ; 1, и, следовательно, явн ая схема
является замедляю щ ей.
Неявная двухуровенная схема
Д ля
неявной схемы
ДН-1 = А* + ШЛИ-I,
к =
(1 + 1-9)(
= -g- a rc t g 0 ,
т. е. XR = —jp- p , Xj = j - ^ 0 2 . С ледовательно,
<
1,
т. e. неявная схема такж е является замедляющ ей.
Неявная двухуровенная схема трапеций
Д л я неявной схемы трапеций
Л*+1 = Л* + - ^ - ( Л * + Л 8+ 1),
.
т. е. Aj^
1 + V402 ( 1
4" 02
*6 ) ’
0
„
j _j_ 1/402 • Следовательно,
k =
1 — 1/402 .
j _|_ i/402 »
T
= i arct g T = w *
0
Здесь не очевидно,
чему равен arctg
ственные оценки величины у-_
1/492"' О днако непосред-
для различны х значении 0 =
= a A t = (2п /Т ) A t = 2 n N (N = A t/T ) показы ваю т, что ср/0 » 0,9
при N = 1/5, ф/0 « 0,97 при N = 1/100.
Т аким образом, н еявная схема трапеций так ж е является за ­
медляющей. Замедление тем больше, чем больше ш аг по времени
или меньше период колебаний. Д л я малых значений N (N < 1/100)
схема трапеций нейтральна (ср/0 ~ 1).
Схемы М ацуно и Х о й н а
Схемы М ацуно и Х ойна можно записать в общем виде:
ЛИ-1* о = А* + *0Л5,
96
A s+l = А* + i0 ( а А* + р л * + 1. (*)).
В схеме М адуно (а = О, Р = 1)
х = 1 _ 02 + i0 ,
Xr = 1 - е2,
1
Я/ = 0 ,
е
1
• е2
0
Вычисление arctg j —gj для малы х 0 показы ваю т, что ф/0 > 1. П ри
0 = 1 (2я A t = Т) ф/0 = я /2 > 1. С ледовательно,
является ускоряю щ ей.
В схеме Х ойна (а = V2, Р = 1/2)
^ = 1 — i - е 2 + ie,
x * = i - i - 02,
схема М ацуно
а,/ = 0 ,
1
i - T e>
Оценки показы ваю т, что для малы х 0 (N < 1/10) имеем ф/0 > 1;
при 0 = 1 (2я At = 7) ф/0 « 2, т. е. схема Х ойна такж е является
ускоряю щ ей.
Схема центральных разностей
Д л я схемы центральны х разностей
A s+l = A s~ l + 2 iQA*
имеем
Хд = 1/ Г ^ 0 2 + i0>
х2 = —
+ 1’0 ,
\к \ = \к \ = и
/ = е,
K
r =
— V T^W ,
ч , = 0.
С ледовательно,
0 = T a rc te v i = F '
• $ - = T ‘ r c t g ( _ v ? _ e. )
П ри 0 < 0 <
1: 0 < ф, <
0 < 0, | 0 | <
1: ф2 = — я — фх.
, - 2 - < ф2 < я , ф2 = я — фх. П ри
<»
Таким образом, при 0 > 0 ф2= ± я — фь Д л я малых 0 <
(^N =
<
ю)
> 1,
> — 1, т. е. для
2я
физической и
вычислительной мод схема явл яется ускоряю щ ей.
П оскольку ф2 = ± я — ф ь то А* = A \e ls{i>\ A l = A \els (± я“ ф1).
Если рассматривать поведение физической и вычислительной
мод в комплексной плоскости, то за ш аг по времени физическая мода
поворачивается против часовой стрелки на угол фь а вы числитель­
ная мода — по часовой стрелке на угол ф2. При этом угол поворота
обеих мод за ш аг по времени по абсолютному значению превыш ает
угол 0 = а А/ в точном реш ении.
7
П . Н . Белов и др.
97
Таким образом, схема центральны х разностей явл яется у ск о р я­
ющей. Однако ускорение для физической моды в этой схеме оказы ­
вается меньшим, чем в схеме М ацуно.
2 .9 .2 . Анализ фазовых и групповых скоростей
численных решений для уравнения адвекции.
Вычислительная дисперсия
К ак было показано, линейному уравнению адвекции
=
с = const
(9.4)
удовлетворяет решен ие
/(г, t) = A ( t ) e imr
(9.5)
4- imcA = 0.
(9.6)
при условии, что
Реш ение уравнения (9.4) может быть записано в форме
f (гу t)= А (0) eim <r~ ct) = А (0) е* <«''-**>,
(9 .7)
где тс = о — частота колебаний, с — ф азовая скорость.
Таким образом, ф азовая скорость с в точном реш ении уравн е­
ния (9.4) постоянна для всех волн
Оценим фазовую и групповую скорости численных реш ений
уравнения (9.4), полученных с помощью некоторых схем.
Схема центральных разностей
Подставим в схему
П+' - П - ' + с - ъ г ( П + 1 - П - 0 = °
^ (9.8)
точное реш ение (9.7), записанное для дискретны х значений ар гу ­
ментов:
^m(l &r ~~GS
Тогда, сократив р езу л ьтат на общий множител^, получим:
£ — io A t __ g i o A t _|_ q
^
( e i m Д г __
e~ im Д г) =
0,
или
sin о A t — с -4—
sin т Аг.
Аг
С ледовательно,
а =
arcsin (с
sin т A rJ ,
СФ = -Ж = - Ш Г arcsin ( с. T F sin т Аг) '
где Сф — ф азовая скорость численного реш ения.
98
<9 9 >
.
При с
= с. Таким образом, в этом
= 1 имеем Сф =
случае ф азовая скорость численного реш ения равна истинной фазо­
вой скорости.
f* *
И спользуем разлож ения в ряды sin т Аг и arcsin
sin m A r):
Л ж т АЛ г -----з(т; ^ —
Г) 3
(- I. . .
sm т Аг
sin т A r) « С~^Г sin т
arcsin
1/
\3 .
^с
sin т Ar < 1) .
+
А ,
+ - у ( ^ ~ а г ) sin т Аг + . . .
П одставляя эти разлож ени я в вы раж ение (9.9) для отношения ф а­
зовой скорости численного реш ения к истинной, получаем:
^ 1—4- [ 1 — ( " - I f ) 2]
Лг>“-
Д л я обеспечения устойчивости следует полож ить с
<9 ,0 >
<
1.
И з вы раж ения (9.10) следует, что ф азовая скорость численного
реш ения за счет конечной разности по времени (член в квадратной
скобке) завы ш ается, а за счет конечной разности по пространству
(т Аг)2 зан и ж ается. Отсюда следует, что ф азовая скорость числен­
ного реш ения зависит от длины волны (волнового числа).
Чтобы оценить влияние на фазовую скорость только конечно­
разностного представления производной по г, запишем уравнение
(9.4) в дифференциально-разностной (полудискретной) форме:
JL 4- rls^LuJsbL —0
dt
2 Аг
— и*
П одставив в это уравнение точное реш ение в полудискретной форме
f q (t) = A ( t ) e t m« * r9
получим:
dA
,
.
/
sin т Аг \
И Г + ш (с- Ш
В точном решении
-
л
Г ) А = 0'
4 j L + i m c A = 0.
/л 1 1 \
<9 Л 1>
(9.12)
С равнивая уравнения (9.11) и (9.12), видим, что за счет конечно­
разностного представления производной по г фазовая скорость о к а­
зы вается зависящ ей от волнового числа:
п
_
sin т Аг
~ С
т Дг
*
А нализ этого вы раж ения показы вает, что по мере увеличения т Аг
начиная от нуля ф азовая скорость уменьш ается от с до н уля при
т Аг = я (L = 2 Аг).
7*
99
Все волны перемещаются с фазовой скоростью, которая меньше,
чем истинная ф азовая скорость. Замедление волн за счет конечно­
разностного представления производной по г возрастает с умень­
шением длины волны, а волны длиной 2 Аг оказываю тся стационар­
ными.
Таким образом, за счет конечно-разностного представления про­
изводных волны различной длины распространяю тся с разными
скоростями. Это явление назы вается вычислительной дисперсией.
В ычислительная дисперсия, н аряду с искаж ениями амплитуд
возмущ ений, является дополнительным источником ошибок числен­
ных решений. За счет конечно-разностного представления произ­
водных по г искаж ается такж е групповая скорость Сг, которая
характери зует скорость переноса энергии:
__ do
р
г
_
dm
d (тс)
dm
Напомним, что под групповой скоростью понимается скорость
распространения волны с максимальной амплитудой, порождаемой
суперпозицией группы волн с близкими волновыми числами.
Д ля точного решения уравнения (9.4) имеем
r
_
“
d(mc)
dm
_ л
~ С'
т. е. групповая скорость постоянна и равна истинной фазовой ско­
рости. Д л я дифференциально-разностного уравнения
sin т Аг
Следовательно,
~
d
(
с г = -Ш ( с-
sin т Дг \
аГ - )
А
= с cos т А г -
Отсюда следует, что групповая скорость Сг уменьш ается от с при
т = 0 до — с при т = я/А г. П ри rrj Аг =
JT
(L = 4Аг)
имеем
Сг = 0.
Таким образом, энергия волн длиной от 2 А г до 4Аг, которые
плохо представляю тся на сетках и поэтому воспринимаются в мо­
делях как шумы, может распространяться против потока, искаж ая
процесс переноса энергии. Энергия волн, длина которых превыш ает
4Аг, переносится в направлении потока, но с заниженными ско­
ростями.
Д л я оценки влияния на групповую скорость конечно-разностного
представления производных по времени и цо пространству восполь­
зуемся выражением (9.9). На основе этого вы раж ения получаем
или
q
__ с ___________cos т А г___________
] / 1 —( c4 r sin т дг) 2
П ри с
= 1 Сг = с, т. е. процесс переноса энергии описывается
правильно для всех волн. Если
<
1, то для волн длиной
L > 4Аг групповая скорость сохраняет зн ак с, но заниж ается по
модулю. Заниж ение тем меньше, чем длиннее волна. Если с ^ - <
1,
то
при L = 4Аг (т Аг = я/2) Сг = 0, при L = 2А г (т Аг = я)
Сг = —с.
Таким образом, если с (Af/Ar) < 1, то при представлении про­
изводных по пространству и по времени центральными разностями
перенос энергии искаж ается, особенно для волн длиной <^4Аг.
Я вная схема четвертого порядка точности по пространству
Рассмотрим конечно-разностную схему второго порядка по А/:
О (А/2) — и четвертого порядка по Аг: О (Дг4):
n +l - п ~ ' + с - Ц г [ 4 « + , - я - , ) - i
« + * - /;_ ,) ] .
Д л я этой схемы после подстановки реш ения в дискретной форме
получим
sinа А/ = с At
Аг
а ==
Gin т А г :— g- sin 2m Аг^ ,
sin т А г --- g” sin 2^ Аг^ J ,
arcsin
СФ=-%■=шгarcsin[с4г(тsinтАг- Тsin2mЛг)]’
-g- cos m A r ----------------cos 2m Ar
]
/ 1-
[c
(i-s in
« Дг - - i - s i n 2m Д. ) J
И з вы раж ения для Сф видно, что самая короткая волна, пред­
ставляем ая на сетке L = 2Аг ( т Аг = я ), стационарна, т. е. для
нее Сф = 0 .
Более длинные волны при удовлетворении критерию устойчи­
вости для этой схемы (с А//Аг) < ; 0,73) зам едляю тся, но замедление
меньше, чем для схемы центральны х разностей второго порядка
точности. Д л я волн L
8 Аг ( т Аг < я/4) при 0,2 < с (А//Аг) <
0,4
фазовые скорости практически равны истинной скорости
адвекции (Сф « с), а при 0,4 с (А//Аг) < 0,6 для L > 4Аг имеет
место незначительное ускорение (Сф > с ) . Д л я волн L > 4Аг при
0,6
с (А//Аг) < 0,8 такж е имеет место ускорение, а волны L =
= 4 Аг оказы ваю тся неустойчивыми.
101
Таким образом, схема четвертого порядка более правильно опи­
сы вает перемещение волн L > 2Дг, чем схема второго порядка.
А нализ вы раж ения для Сг показы вает, что энергия волн длиной 2Аг
переносится со скоростью Сг = 5/3 с при любых значениях с (А//Аг).
Д л я других волн (L > 2 Аг) групповая скорость зависит от значе­
ний с (Д //Д г). П ри этом следует учиты вать, что для обеспечения
устойчивости этой схемы значение с (Д//Дг) не долж но превыш ать
0,73. Е сли с (Д//Дг) = 0,7, то энергия волн длиной 4Дг переносится
со скоростью, близкой к скорости адвекции: т. е. Сг « с. Энергия
волн длиной L > 6 Дг переносится со скоростью, значительно пре­
вышающей скорость адвекции: Сг > с.
Свойства конечно-разностных схем с точки зрения точности опи­
сания фазовых и групповы х скоростей называются дисперсионными.
Р азум еется, при построении конечно-разностных схем для уравн е­
ний гидротермодинамики следует стремиться к тому, чтобы они
позволяли точно описывать процессы распространения волновы х
возмущений и их энергии.
А нализ дисперсионных свойств конечно-разностных схем будет
продолжен в главе 4 при рассмотрении вопросов, связанны х с чис­
ленным интегрированием полных уравнений.
Рассмотренные конечно-разностные методы применяются д ля
численного интегрирования уравнений гидротермодинамики про­
гностических моделей, которые будут обсуждаться в последующ их
гл ав ах .
Заметим, однако, что в квазигеострофических и квазисоленоидальны х моделях возникает необходимость прибегать к реш ению
краевы х задач для уравнений П уассона и Гельмгольца, которые
здесь не обсуж дались. Вопросы, связанны е с решением краевы х
задач, будут рассматриваться в главе 3.
)
Глава * %
ш%
КВАЗИГЕОСТРОФИЧЕСКИЕ
И КВАЗИСОЛЕНОИДАЛЬНЫЕ
ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Квазигеострофические и квазисоленоидальны е модели относятся
к классу «фильтрованных» моделей, имеющих ряд сущ ественных
ограничений, главное из которых — предположение о близости ветра
к геострофическому. Прогнозы по этим моделям менее успешны,
чем прогнозы по моделям на основе полных уравнений. Однако эти
модели предъявляю т существенно меньше требований к произво­
дительности вычислительных средств и к необходимому информа­
ционному обеспечению. Главное ж е их достоинство в том, что они
допускаю т достаточно ясную синоптическую интерпретацию и к а ­
чественный анализ ф акторов, определяю щ их эволюцию гидрометео­
рологических полей. Н а основе таких моделей были построены
первые методы гидродинамического прогноза. У казанны е обстоя­
тельства позволяю т считать целесообразным изучение квазигеострофических и квазисоленоидальны х моделей и способов их численной
реали зац и и .
В настоящ ей главе будут рассмотрены баротропные и бароклинные модели атмосферы в квазигеострофическом и квазисоленоидальном приближ ениях.
Б аротропная модель строится на основе уравнения вихря ско­
рости и позволяет осущ ествлять прогноз геопотенциала одной изоба­
рической поверхности.
Следующим этапом построения прогностических моделей яви лась
разр аб о тк а бароклинны х моделей атмосферы. В отличие от баротропны х моделей, которые не учитывают такого важ ного погодообра­
зую щ его ф актора, как адвекция температуры , бароклинны е модели
явл яю тся многоуровенными. Эти модели допускаю т интерпретацию
трехмерной структуры атмосферы и влияни я различны х факторов
н а изменение полей давления, ветра, температуры, вертикальны х
движ ений в атмосфере и др.
3.1. Баротропная
квазигеострофическая модель
3 .1 .1 . Баротропное уравнение вихря скорости
В квазигеострофических моделях одним из основных прогности­
ческих уравнений является уравнение вихря скорости. Вывод его
дан в главе 1.
юз
В изобарической системе координат без учета диссипативных сил
это уравнение запиш ется в следующей форме:
Здесь Q = du/d* — dw/dy — верти кальн ая составляю щ ая относи­
тельного вихря скорости, и и v составляю щ ие скорости ветра по осям х
и у, х = d p /d / — верти кальн ая скорость в изобарической системе
координат, I = 2 со sin <р — параметр К ориолиса.
П осле оценки порядка членов уравнение ( 1. 1) с учетом главны х
членов может быть записано в виде
% + t SJSg!L + v i q ± i L - - , ( * + * ) .
(1.2)
И з уравнения неразры вности получаем
ди dv . _ dv __дт
Лу ■"' дЯ//
дх
у ~
n Qv
\ * /
Лпдр*
С учетом (1.3) имеем
dQ
.
д (Q + /)
+ “
Тх
*~V
d (Q + /)
щ
__ , дт
л
а
Представим далее скорость фактического ветра в виде суммы
скорости геострофического ветра (точнее той части скорости факти­
ческого ветра, которая удовлетворяет геострофическому соотноше­
нию) и отклонения ветра от геострофического:
и = ug
+
и'; v = vg + v ,
__
g дг
I ду
_
1 дФ
I ду 9
^ = 7 1 7 = Т ^ -
(!-5>
Здесь z — высота изобарической поверхности р = const, Ф= gz —
геопотенциал, и' и v' — составляю щ ие отклонения ветра от гео­
строфического по осям х и у.
Кроме того, с ошибкой в 10—20 % имеем
I us I;
I« ' К
Iv> К I «*? I-
Тогда формула для вертикальной составляющей
вихря скорости может быть записана в виде,
О —
~ Т х
ди _
ду ~
I
Здесь
104
l x = dl/dx,
g
( дН
,
Т \~дх* +
дх
l y = д1/ду.
д 2г \
ду*
, * ди'
ди'
) ~т~ дх
__ g дг 1у
I
относительного
I
ду
I
( 1.6)
Оценив порядок входящ их в формулу (1.6) членов, нетрудно
показать, что
Q »-|-V 2z =-i-V2<D,
(1.7)
а2
где V2 = - ^ 2" + “^2----- двумерный оператор Л ап ласа.
У равнение вихря скорости (1.4) в квазигеострофическом приближ е­
нии может быть переписано в виде
g
I
2 дг
dt
g
l
dz
ду
д g
dx I
_ JL J*L /
l dy l x +
2
g
l
dz
дх
д g
ду I
2
4-JL*Li
I
п и
dx l « ~ l d p '
Из простых физических соображений очевидно, что вертикальная
скорость на нижней и верхней границах атмосферы близка к нулю
или в точности равна нулю и достигает на некотором уровне в атмо­
сфере экстремального значения. Н а этом уровне дт/др = 0, что
соответствует условию равенства нулю горизонтальной диверген­
ции скорости. А нализ поля вертикальны х скоростей показы вает,
что в среднем действительно вблизи поверхности 600 гП а верти кал ь­
ная скорость достигает своего экстремума. В связи с этим для
указанного уровня уравнение ( 1.8) перепишется следующим образом:
+ f |- '> - f # V
<L9>
Обозначим правую часть уравнения (1.9)через A g = A g (.х , у ).
Т огда, умножив (1.9) на / и введя g под знак дифференцирования,
с учетом того, что Ф = g z , получим:
V2 ^
= M g.
(1. 10)
Здесь
' - I
t
',
а выраж ение в скобках представляет собой якобиан:
=
(1 Л 1 )
Тенденцию геопотенциала дФ /д/ обозначим через q. Тогда уравн е­
ние ( 1. 10) будет иметь следующий вид
V2? = 1 А р
( 1. 12)
У равнение (1.12) является уравнением П уассона относительно тен­
денции геопотенциала q.
У равнение (1.9), как и уравнение (1.12), называют квазигеострофическим баротропным уравнением вихря скорости. У ровень же
105
вблизи поверхности 600 гП а, для которого это уравнение справед­
ливо, называют средним, эквивалентно-баротропным или бездивергентным уровнем. Обычно в качестве бездивергентного уровня при­
нимают изобарические поверхности 500 или 700 гПа.
Д л я любого другого уровня, где дт/др Ф 0, уравнение вихря
скорости с учетом введенных обозначений может быть записано»
следующим образом:
(1.13)
Если направить ось х на восток, а ось у на север, то парам етр
К ориолиса будет зависеть только от у (lx = dljdx = 0). Тогда
п равая часть баротропного уравнения вихря скорости примет сле­
дующий вид:
(1.14)
где Р = 1У. Прогностические модели, основанные на реш ениях ур ав ­
нения ( 1. 12), называются баротропными.
3 .1 .2 . Обобщенное баротропное уравнение вихря скорости
Выше мы рассмотрели баротропное уравнение вихря скорости,
полученное на основе гипотезы о сущ ествовании уровня, на котором;
верти кальн ая скорость достигает экстремума, что соответствует
условию равенства нулю горизонтальной дивергенции скорости.
Эквивалентно-баротропная модель атмосферы строится на основе
обобщенного уравнения вихря скорости.
Эквивалентно-баротропной назы вается так ая модель атмосферы,
в которой учитывается вертикальная структура всей толщи атмо­
сферы, однако интегральны е свойства атмосферы приписываются
одному уровню , называемому эквивалентно-баротропным. Д л я по­
строения уравнения такой модели воспользуемся уравнением вихря
скорости (1.1) и уравнением ^неразрывности (1.3).
Введем вместо переменной р переменную £ = р / Р у где Р —
= 1000 гП а — стандартное давление, и введем нормированную
вертикальную скорость со = т/р. Тогда уравения (1.1) и (1.3) примут
следующий вид:
\ дх + ду ) +
dl
ду
dl
дх ’
(1.15)
ди, J,— dv
. дсо- =
———j——
дх ' ду ' dl
Пусть
и = А (С) й (х, у, i),
v = А (£) v (х, у, t),
106
( 1 .1 7 )
где А (£) — некоторая ф ункция от £, черта сверху — зн ак осред­
нения.
Т ак, если обозначать некоторую функцию от р или £ через а , то
р
1
а = J a d p , или
a = J a dt>.
(1-18)
о
о
В соответствии с выражениями (1.17) для вертикальной состав­
ляю щ ей вихря скорости Q имеем
У> С, t) = A ( Q Q ( x , у , t).
(1.19)
И спользуя вы раж ения (1.17) и (1.18), получаем: и — u A t v = vA ,
откуд а следует, что
А = 1.
С учетом формулы (1.18)
теперь следующий вид:
( 1.20)
уравнение неразрывности (1.16) примет
дй
,
S=i
dv
“а---дх 1 л—
ду — ®
( 1.21)
5=0
Если полож ить, что верти кальн ая скорость на верхней и нижней
гран и цах атмосферы равн а нулю, то
- S - + - S — 0-
(1-22)
Д руги м и словами, при приняты х граничных условиях осредненная
атмосфера ведет себя к а к несжимаемая ж идкость.
Применим теперь операторы (1.17) к уравнению вихря скорости
(1.15). Последнее в результате запиш ется следующим образом:
А №
dt
л
'
дх
I л г \ I /\ / дй
= A -(A Q + l) ( _
Щ
±_« + «
ду
1
ц =
dA
_ dco
д со
1
,
dv \
+ _ ) +
.
—
dA
/л ооч
(1.23)
П реж де всего заметим, что с учетом уравнения (1.21) и приняты х
граничны х условий для со первый член в правой части уравнения
<(1.23) обращ ается в нуль.
И з анализа уравнения вихря скорости (1.23) следует, что послед­
ний член в левой части и два прследних члена в правой части малы
по сравнению с другими членами. К ак показано В. И. Губиным, это
несправедливо только для узки х фронтальных зон. По данным
А рнассона и Кестерсона, недопустимо пренебрегать одним из
у казан ны х членов, например вертикальной адвекцией вихря, и
оставлять другие члены, в данном случае два последних члена в п ра­
вой части, поскольку это приводит к фиктивному формированию или
исчезновению вихря. Следовательно, основываясь на оценке порядка
членов, мы можем пренебречь указанны ми тремя членами.
107
С учетом сказанного (1.23) может быть переписано в виде
A -g- + А Ч д (Q
a+ 1) + АЧ д-{^~- 1)- = 0.
(1.24)
После интегрирования (1.24) по переменной £, принимая во внима­
ние, что А = 1, получаем:
*2- + АЧ д {iidx~l) + A2v д^ ~ - П = 0.
(1.25)
Теперь, если мы найдем уровень £ = £*, для которого А 2 — А (£*),*
то для этого уровня уравнение вихря скорости можно записать сле­
дующим образом:
-g- + А (£«) и
l) + А (£*) V д (-^ + 1) = 0.
(1.26)
Умножим все члены (1.26) на А (£*). Тогда, учиты вая, что
А
dQ (С*)
^
'
dt
dt
А ( t ~ d ( 5 + /) =
'
dx
A
’ )
a [ Q ( e * ) + /]
dx
’
a (Q + o = a[Q(t*) + /]
'
dy
dy
’
A (£*) й - u (£*)>Л (£*) 6 = v (£*),
(1.27)
уравнение (1.26) для уровня £* может быть записано в виде
f
+
“i T
i
+ ” i T
r L ' 0,
(1.28)
где £2 + / =
— верти кальн ая составляю щ ая абсолютного вихря
скорости. Последнее уравн ен ие означает сохранение во времени
й а при движении вдоль траектории на уровне £*.
И так, мы нашли, что при принятых для со граничных условиях
сущ ествует по крайней мере один уровень £*, для которого выпол­
няется условие постоянства в движущ ейся частице абсолютного
вихря скорости. Этот уровень и получил название эквивалентнобаротропного уровня.
Т еперь, используя для Q, и и v геострофйческие соотношения,
можно получить эквивалентно-баротропное уравнение вихря ско­
рости в квазигеострофическом приближении. П олагая, что
U - — S -—
“
I ду ’
V - 1 $ L
V I дх ’
Q -J-x p z
I
’
*
М ож но показать, что условие А 2 — А (£*) выполняется на двух уровнях
Один из них расположен вблизи £* == 700 гП а, а второй — вблизи £* = 200 гП а.
108
уравнение (1.28) приводим к виду
v 2 - § - = - f < 2> * * > - ? - £ - - * « - £ - •
<L 29>
Эквивалентно-баротропное уравнение вихря скорости в форме
(1.29) мы получили, приняв вертикальную скорость л а нижней и
верхней границах атмосферы равной нулю. Если это условие спра­
ведливо для верхней границы атмосферы, то для ее нижней границы
оно не является строгим.
Попытаемся отказаться от принятого допущ ения.
Вернемся к уравнению неразрывности, проинтегрированному
по вертикали. В соответствии с уравнением (1.21) при со |^=0 = О
имеем
да
ОЛч
.д а
I F + l j T - — ®°’
(1,30)
где
=
=
+
+
(L31)
где
= dz/dt — вертикальная скорость на уровне z = 0 (£ = 1),
а индекс 0 означает, что соответствующие значения берутся у нижней
границы атмосферы.
П олагая, в случае отсутствия орографии и трения w0 = 0, и
учиты вая, что в геострофическом приближении
U ^ B s .-1-а —5*. — О
U°
дх
ду
~ и’
находим
1 др0
СO n =
Р
dt
•
У равнение неразрывности примет теперь следующий вид:
Если теперь проинтегрировать уравнение (1.15) по £ в пределах
от 0 до 1, то, пренебрегая малыми членами и принимая во внимание
вы раж ения (1.17), (1.19) и (1.32), получаем:
dt
+1 ш
3 (°дх+ 1) +1 а*о з.(£ду+ 1)= -РL 4dt г -
(1.зз)7
v
Умножим уравнение (1.33) на А ( £ * ) = Л 2.
Тогда получим
А а*) -%г + А (£*) a A (£*) d(Q + t) + А (£*) v A (£*) d{Q + l) =--
= I
р
;
dt
•
Д л я ур о вн я £ = £* в соответствии с соотношениями (1.27) имеем
- g - + Ц i ..(Q + о + 0 д (° + /) = —4 ~ ~тг~ .
д/
дл:
1
д*/
Р
dt
(1-34)
4
7
109
В
квазигеострофическом приближении при £ = £* получим
_L у 2
/ V
дФ
dt
_ _ ____ L ( ф
/ v ’
/
^ ___ Р дФ .
) '
I дх +
1А
др0
Р
dt
П 35^
•
Допустим, что между d p j d t и d<P/dt сущ ествует линейная связь:
dpo/dt = Л' (d<P/dt), где k' — эмпирическая константа. Обозначим,
как и в п. 3.1.1,
Умножив уравнение (1.35) на / и введя обозначение
с учетом сказанного выше получим:
<ЭФ/д/ =
q,
Обратим внимание на то, что множитель A k ' l 2/P имеет размерность,
обратную квадрату длины. Обозначив его через \!3 S \% получим
(1.36)
У равнение (1.36) является уравнением Гельмгольца относи­
тельно q. К ак будет показано далее, оно более реалистично, чем
уравнение ( 1. 12), воспроизводит характер зависимости изменения
геопотенциала в некоторой точке от распределения адвекции вихря
в окруж аю щ ей области. Будем назы вать его обобщенным баротропным уравнением вихря скорости.
3 .1 .3 . Решение баротропного и обобщенного баротропного
уравнения вихря скорости
Решение баротропного уравнения вихря скорости
Перепишем баротропное уравнение вихря скорости (1.12) в ц и ­
линдрической системе координат:
(1.37)
где A g * = l A gy г — радиус-вектор; <р* — полярны й угол.
Проинтегрируем уравнение (1.37) по <р* и разделим на 2 я. Тогда
получим
о
о
о
о
110
2л
Обозначим
/ dcp* = f, где / — лю бая [и з
о
ных функций. В этом случае имеем
2л
1 г
2я J
о
2л
д2д ,
аг2 ^ ф *
д2 I
аг2
f ,
2л J q ^ ф * ~
о
Г
]
о
dr2 ’
2л
2Я
I
2л
подинтеграль-
1 dq
г дг
I
г
,
~
d
дг
l e
2я j
о
.
^
I
г
dq
дт 9
2Л
1 Г
Г
1 д'2я А
2jt JJ
г2Г 2 дф- “ ф<^>
**
_
i
1
dff
" 2я
г2
дф*
I1
г2
дф*
Ф.42Я
о
С учетом этого уравнение (1.37) приобретет вид
dqI
ф.==2я J
0 - +т т г= Ъ
_
где
<и 8 >
_
А} = А}(г).
У равнение (1.38) представляет собой обыкновенное неоднород­
ное дифференциальное уравнение второго порядка, в отличие от
уравн ен ия (1.37), которое является уравнением в частных произ­
водных.
Реш ение уравнения (1.38) строится при следую щ их граничных
у сл о в и ях .
1. При г = О q (0) = q (0) Ф ± о о .
2. При г = R 0 (где R 0 — радиус области интегрирования) q |(Ro)
зад ан о . Это решение записы вается в следующем виде:
2л R ©
= —
j 1пП Г
0
0
2л
+ " 5 Г f <1(р> Ф .М Ф .о
(1.39)
D
Введем обозначение: In — = G (р, R 0) — функция влияни я, или
ф ункция
Грина.
Тогда
2Л R 0
^ °) = - "Е г1
0
2Л
j G ^P> Я « М £ ( р , ф , ) р ф Л р . + ^ - j
Я (P.
<P.)dq>*.
о
0
(1.40)
П усть L
контур, стягиваю щ ий область интегрирования р а­
диусом R 0; тогда dL = R 0 dcp* — элемент этого контура.
С учетом этого решение (1.40) можно переписать в следующем
виде:
2л R 0
я(°) = —
j G (Р> ^?о)
0
0
(р, ф . ) р ф й ф . + - ^ г
\ q ( Р. 4>,)dL.
° /
(1.41)
111
Ф ункция влияния G обладает рядом свойств. Прежде всего она
изотропна, т. е. не зависит от полярного угла ср*, а зависит только
от расстояния р.
При р = R 0 функция G достигает нуля. Следовательно, значе­
ния A*g в граничных точках на контуре радиусом R 0 входят с нуле­
вым весом при определении q (0). При р = 0 ф ункция G имеет осо­
бенность. В связи с этим имеет смысл анализировать не функцию
б (р, /?о). а произведение pG (р, R 0) = р In
lim p i n —
р->0
= lim [ р In R 0 — р I n р ] lim р I n р
Р
при
p -v O .
р ->0
По правилу Л опиталя
Из реш ения для q (0) следует, что если
> 0 во всей области
интегрирования (или если средневзвешенное значение A*g с ве­
сами G по области интегрирования больше нуля), то q (0) будет
меньше нуля. И, наоборот, если везде A g* < 0 или средневзвеш ен­
ное с весом G значение A g* по области интегрирования радиусом R 0
меньше н уля, то q (0) будет больше нуля.
Исходя из физического смысла функции A g можно сформули­
ровать следующие правила, вытекающие из интерпретации реш ения
для q в форме (1.41).
1. Если вверх по потоку увеличивается циклоничность (У2Ф >
> 0,
V2 < 0)
или если вверх по потоку уменьш ается анти-
циклоничность ( у 2Ф < 0 , —
V2 < 0^ и эта закономерность пре­
обладает во всей области интегрирования, то A g > 0, a q (0) < 0
и геопотенциал будет уменьш аться
2. Если вверх по потоку увеличивается антициклоничность
если вверх по потоку уменьшается
цикличность
зависимость преобла-
дает во всей области интегрирования, то (поскольку дФ/ду < 0 ,
A g < 0) q (0) > 0 и геопотенциал будет возрастать.
При оценке влияни я широтного эффекта следует иметь в виду,
что в северном полуш арии при северных потоках дФ/дх < 0 , за
счет чего будет наблю даться дополнительное уменьшение геопо­
тенциала; а при южных потоках соответственно будет наблю даться
дополнительное увеличение геопотенциала.
Следует напомнить, что в решение для q (0) входит интеграл
по площади и при определении q (0) нужно учитывать р езул ьти ру­
ющий вклад функции A g с весом G во всей области интегрирования,
Полученное решение требует задания граничного условия на
контуре радиусом R 0. При прогнозе на ограниченной территории
112
это граничное условие необходимо либо прогнозировать, либо з а ­
давать из каки х-то других соображений.
В дальнейш ем мы еще вернемся к рассмотрению этого вопроса.
Решение обобщенного баротропного уравнения вихря скорости
Запишем обобщенное баротропное уравнение вихря скорости
(уравнение Гельмгольца) в квазигеострофическом приближении в ци­
линдрической системе координат:
^
+
+
=
<>•«)
К ак и в предыдущем случае, получим обыкновенное дифферен­
циальное уранение второго порядка д ля q следующего вида:
1 dq
^
,
dr2 ^
г
12% 4 - / l g ’
dr
q= q(r),
A l = Ag (r).
(1.43)
Это уравнение реш ается при следующих граничных условиях:
1) на границе области q |я 0 задано,
2) при г = 0 q |г=о = q (0) ф ± оо.
Рассмотрим соответствующ ее однородное уравнение
т
+т
т
г ^
^
0'
О-44)
Умножим это уравнение на 2?\\ тогда получим
+
?о = 0.
(1.45)
Вводя новую переменную г1 — г/3 ? 0 и учиты вая, что
'
d
dr
~
1d
3?оdr,
d2
’dr2~
I d 2
3™ dr\ ’
на основе уравнения (1.45) получаем:
+
=
<‘ -46>
У равнение (1.46) есть уравнение Бесселя.
Одно из решений этого уравн ен ия есть функция Бесселя первого
рода нулевого порядка, второе реш ение есть функция Бесселя
второго рода нулевого порядка.
Реш ение для q (0) может быть записано в виде
2л
Я (R o . <Р.) d 'r . —
~ — ----- I р„ S j
(£)
О
R о 2я
2лJ о /
Ko{ i k ) ~
/?о \ J j
\ &0 / о о
-
8
П . Н . Б елов и д р .
^
(
^
■
)
/ o
(
^
7
)
]
p d p d ( p *-
( L 4 7 )
113
Введем обозначения:
Jo (Яо/^о) = G i ( R <>' S ’o)’
■ s w
W
i ) *• Ш
- «• ( - I t ) '• Ш
] - «■<*•«>■
Ф ункции Gj (i?0, 3?0) и G2 (i?0, p, i ? 0) называются функциями вл и ян и я.
Реш ение (1.47) для q (0) может быть переписано в виде
R0 2я
j
4 (° ) = —
а й° 2 ( К о,
р, &o)pdpd<pt +
+ i s k r I q {Rm) Gi {^°’ * о) dL■
0
(1-48)
( I )
Н етрудно такж е показать, что функция G2, как и Glt полож итель­
н ая, изотропная и убывает с увеличением расстояния р.
В предельном случае, при R 0 -> оо, G*
0 так как J 0 (т^ -► оо
при Tj —► оо, а
G2 (р, /?0,
/Со (р /^о ).
В связи с этим, устрем ляя i?0
00» на основании вы раж ения (1.48),
получаем
оо 2 Я
Я (0) = <7(0) --------23ГI J Л 8 <р ’ Ф
о о
* ) ( l h ) p dp d<p* +
2л
+шттэ
о
Ф ункция влияния /С0 (р/Я?0) убывает несколько медленнее с рас­
стоянием, нежели весовая функция, входщ ая в решение для баро­
тропного уравнения вихря скорости.
3.2. Итерационные методы решения
баротропного уравнения вихря скорости
В п. 3.1.3 было рассмотрено аналитическое решение баротропного
уравнения вихря скорости, которое принимает вид либо уравнения
П уассона (1.12), либо уравнение Гельмгольца (1.36) относительно q.
В этом параграфе будут рассмотрены численные методы реали за­
ции баротропных схем предвычисления на ограниченной терри ­
тории.
При предвычислении на ограниченной территории можно осу­
ществить два варианта реш ения. Первый вариант предполагает по­
становку граничных условий вокруг каждой узловой точки, для
которой ведется предвычисление («локальное решение»). Во втором
варианте граничные условия ставятся на границе всей области
интегрирования.
114
Рассмотрим реализацию второго варианта. При этом исполь­
зую тся алгоритмы численного реш ения конечно-разностного уравн е­
ния эллиптического типа для тенденции геопотенциала q = дФ/dt.
Среди них наиболее распространенными являю тся итерационные
методы (последовательных приближений).
Метод Ричардсона
Здесь и в дальнейшем мы будем рассматривать реш ения для
уравнений П уассона и Гельмгольца.
Запиш ем для точки i y / уравнение П уассона (1.12) и уравнение
Гельмгольца (1.36):
Qi+lj + Ян+1 + tfi—lj + ЯН-1 — ^Яи ^ F ib
(6s)2
Ч ип + Чи+1 + 4i-u + Ча-1
^ Я н ------Ян = F а-
(2*1)
(2-2)
Здесь F a = \A*g (6s)2 ]t/, 6s = А х = Ay — шаг сетки.
У равнение (2.1) есть конечно-разностный аналог уравнения
П уассона, а уравнение (2.2) есть конечно-разностный аналог у р а в ­
нения Гельмгольца.
У равнения (2.1) и (2.2) можно записать в виде
Я и и + Яи+i +
где Р* = 4 — для
+ Ян-i
уравнения П уассона,
^ Fij*
(2*3)
|3* = 4 + ( “7“ “ )
— Для
уравн ен ия Гельмгольца.
Т акие уравнения мы можем записать для всех внутренних точек
сеточной области.
П ервоначально зададимся некоторыми произвольными значе­
ниями (например, можно положить в каждой точке q0it j = F itj).
Это будет нулевое приближение для q.
Подставив в уравнение (2.3) q°i, /, получим н евязку 6е?, / между
левой и правой частями этого уравнения:
6е?/ =
q j+ u
+
q1i + \ +
q l - 1/ +
qh- 1—
P.<7?/ — F U -
(2-4)
Если бы значения q° во всех точках совпали с точными значе­
ниями q, н евязка была бы равна нулю. П оскольку это не так , часть
невязки в данной точке прибавляется к q°n и таким образом опре­
деляется первое приближение q\j = q°u + абе,-/ и новая невязка,
причем
8е}/ = q\+ i/ + q}f+i + q \_ lt + q ] , ^ — $,q\t — F i}.
(2.5)
Эта процедура последовательно повторяется для всего поля точек
сетки, причем
<?У/+ ‘ = я Т/ +
(2 -6)
где v — номер приближ ения, а — коэффициент релаксации (при­
нимается равным примерно 0,2—0,3).
8*
115
Процесс повторяется до тех пор, пока для любой точки сетки
не будет выполняться условие
I
-
<71/ |<
ео>
(2 -7)
где е0 — заданная точность вычислений. В таком виде этот метод
иногда называю т методом Ричардсона—С аутвела или обобщенным
методом Ричардсона.
Слишком малые е0 приводят к увеличению числа итераций.
Обычно значение е0 задают по результатам эксперимента. Метод
Ричардсона сходится всегда, но недостаточно быстро. Число итера­
ций зависит от сложности поля.
Метод Л ибм ана
Естественно предположить, что итерационный процесс будет схо­
диться быстрее, если в процессе вычислений q ] f l использовать часть
уж е вычисленных значений q на (v + 1)-jvi приближении в тех точ­
ках, где это приближение уж е рассчитано.
У словимся производить вычисления в порядке возрастания ин­
дексов i и /'. Тогда по мере перехода к другим точкам в направлении
увеличения i и j у нас будут уж е вычислены значения q в (v + 1)-м
приближении в точке i , / — 1 и точке i — 1, /. В связи с этим
= т с W + .) + ««+. + « К ; + « Д - F «)•
<2 8 >
Н а боковых границах полагаем qT = 0.
Процесс итераций повторяется до момента выполнения условия
(2.7).
Видоизменением метода Л ибмана является метод п еререлакса­
ций Либмана.
При вычислении в 4порядке возрастания индексов i и / можно
записать н евязку следующего вида:
S e v, V+.= (?у+ | . +
q lj+1 + ^у+1. +
(?у+ 11 _
Р <(?у. _
F(j
( 2 .9 )
Д алее часть невязки прибавим к значению ^У/; тогда
fit' =
+
(2 Л °)
Такой метод назы вается методом перерелаксации, а коэффициент
а — коэффициентом перерелаксации. При этом
—
а ~
1
2(1 + sin у) ’
Y = arccos ( 4 " cos -j j - + cos
Процесс
(2 . 11)
итерации сходится достаточно быстро при
- j - < а < ~y (а « 0,42).
116
.
(2.12)
Рассмотрим теперь, наряду с невязкой типа (2.9), н евязку сле­
дую щ его вида:
= <п+1/ + <77/+, + яи , + Я / - . -
fW
- РФ
<2 Л З >
где
= ЯЪ + а б е ]+ '.
П одставляя последнее выражение в (2.13), получаем:
Sey+‘ = я1+и + Я1Ш + Я и + <??/-. -
P. W l + а Ю
- Р Ч■ <2Л 4>
П оскольку
Н
= *?/+1 + ^ + 1/ + ^ +1/ + ^ /- 1 -
М У/ - Р ф
(2 Л 5>
из (2.14) следует
бе^ 1 = бе^. — р^абе^.,
(2.16)
беу^ 1 - бе}\(1 - р та ) 9
(2.17)
или
Если в выражении (2.17) а = 1/р*, то бе]7/1"1 = 0. Этот случай
соответствует методу Ричардсона. Если а < 1/р*, то беУ/^1 сохра­
няет зн ак бе}/ (ниж няя релаксация). Если а > 1/р*, то бе]7/1"1 имеет
зн ак, противоположный зн аку беУ/ (верхняя релаксац и я, или перерелаксац и я).
В ерхн яя релаксация обеспечивает более быструю сходимость.
Неявный метод переменных направлений
Рассмотренные методы реш ения являю тся явными, или эксп л и ­
цитными, т а к как последую щ ие значения qv+l вы числяю тся через
ранее вычисленны е значения qv.
Н ар яд у с ними сущ ествую т неявные, или имплицитные методы,,
при реали зац и и которы х последовательно реш аю тся системы л и ­
нейных алгебраических уравнений.
Р ассм отрим один из таких неявных методов, назы ваем ы й н еяв­
ным методом переменных направлений.
Запиш ем уравнение (2.3) в следую щ ем виде:
(^Qi+ij + Qi-\j ~ -у- + (?*/+1 + Qii-\ — 4f" Qij) = F tf•
(2.18)
П ерепиш ем теперь это уравнение следую щ им образом :
~ 4 i+ u
Q t-и +
+ r *) Qii — Qii+i + Ч ц - 1 — (%■
г *)Чч ~ F ч»
(2.19)
117
Введем дробные (промежуточные) итерации v + 1/2 и на основе
вы раж ения (2.19) запишем два уравнения:
- « Я Г + ( - г - + r. ) n t m =«?№ +««-1 -
- « д
- д
И
г
-
О
« ? / - f .7 .
- «?д + ( 4 - - О
а + « i 'f -
<2 2 0 >
« у -1 =
( - r - + r . ) « u + l / ! - f «-
(2 -21>
Будем последовательно реш ать уравнения (2.20) и (2.21), считая
их правые части известными, т. е. находить (v + 1/ 2)-е приближ е­
ние, подставлять его в правую часть уравнения (2 .21) и находить
(v + 1)-е приближение.
Т ак ая процедура повторяется до тех пор, пока уравнения (2.20)
и (2 .21) во всех точках не обратятся в тождества.
Рассмотренные методы, реш ения прогностических уравнений наи­
более употребительны в задачах численного прогноза погоды.
П р ям ы е методы
С конца 60-х годов во многих работах итерационным
методам
реш ения уравнения
Гельмгольца (Пуассона) стали предпочитать
прямы е методы. Ч ащ е всего эти методы основываются на быстром
преобразовании Ф урье.
Рассмотрим один из наиболее простых методов, основанный на
быстром преобразовании Ф урье.
П усть в каждой строке 1 <1 / <! W — 1, q и F представляю тся
рядам и:
<7и = 2 ^ hi sin ~W~ ’
k=\
^
Fa — 2
<2 -22)
sin ~W~ ’
k=\
где
N -\
( . i 4 2 « » st,x
1
yv-i
^i= 4 - 2
^ sinT
’
<2 -23>
<2-24>
i —1
п ред ставляю т собой коэффициенты Ф урье, k — волновое число,
N — число узлов в строке (вдоль оси х ) .
П одставим ряд (2 .22) в уравнение (2.3) и, воспользовавш ись
условием ортогональности гармоник, получим N — 1 независимы е
118
трехдиагональны е системы линейных уравнений для определения
коэффициентов qh:
4hj-i — (Р* - 2 cos
qh) + qhUl = F kJ,
(2.25)
при этом $h0 = qkN = 0 .
П роцедура реш ения уравнения (2.13) при этом выглядит следу­
ющим образом:
1) в каж дой строке / с помощью быстрого преобразования Ф урье
определяю тся коэффициенты F kj по формуле (2.24),
2) для каждого волнового числа k реш ается трехд и агон ал ьн ая
система уравнений вида (2.25) относительно коэффициентов qhji
3) с помощью быстрого преобразования Ф урье в узлах каждой стро­
ки / находятся искомые значения qtj на основе первой формулы (2 .22).
Т ак ая процедура повторяется на каждом шаге по времени.
Существуют и другие прямые методы, в частности метод блочно­
циклической редукции или комбинация этого метода и быстрого
преобразования Ф урье.
Преимущ ество прямых методов состоит в том, что они даю т
точное решение конечно-разностных уравений (без учета ош ибок
округления). По этой причине в задачах прогноза исчезает источник
ошибок, связанны й с использованием прямых итерационных мето­
дов. Количество вычислений, необходимых здесь для получения ре­
шения, как правило, соответствует нескольким (трем-четырем) ите­
рациям. В связи с этим прямые методы вполне конкурентноспособны
с итерационными и в смысле затрат машинного времени.
Д л я уравнения Гельмгольца, в котором |3* зависит от х и у
(что имеет место в том случае, если
зависит от х и у) можно ис­
пользовать итерационную схему К онкуса и Голуба. Д л я уравнения
(2.13) эта схема имеет вид
ЯЩ + е д + ^
+ Qt-x ~ W
1 = Fu + (P. - К) Vi- (2‘26>
Здесь р* — среднее значение |3* для данного узла.
После того как получено v-e приближение для qijy реш ение
может строиться прямым методом, описанным выше.
Рассмотренные методы наиболее употребительны в задачах Чис­
ленного прогноза погоды.
3.3. Квазигеострофическая бароклинная
модель и методы ее реализации
3 .3 .1 . Система уравнений.
Точное решение для тенденции геопотенциала
Д вумерные квазигеострофические модели значительно умень­
шают требования, предъявляемы е к начальным данным и возмож ­
ностям вычислительной техники (быстродействию и памяти ЭВМ).
Однако принимаемые в этих моделях физические допущ ения и о гр а­
ничение не всегда, и даж е очень часто, не согласую тся с реальными
119
условиям и, и, следовательно, качество прогнозов по этим схемам
не может быть достаточно высоким. В связи с этим следующим шагом
на пути построения более точных методов прогнозов является отказ
от ограничений двумерных моделей и переход к построению трехм ер­
ных бароклинны х моделей. Впервые в квазигеострофическом при­
ближении так ая задача была решена в 1951 г. Н. И. Булеевым и
Г. И. М арчуком.
В качестве исходных принимается следующая система уравнений:
1) уравнение вихря скорости
v*>-P-sr + T - f r ;
(ЗЛ)
2) уравнение притока тепла
дТ
. g ,
8
~ З Г + Т (г’
\
,
) ~ ~ с ^ + "рg~
ч
(3.2)
— ^ т;
3) уравнение статики
т — — Ж - дг
1
4) уравнение
~
R
др
(3.3)
’
состояния
(3.4)
р = рR T .
Пятым уравнением является уравнение неразрывности, которым
мы уж е воспользовались при замене в уравнении вихря скорости
горизонтальной дивергенции скорости величиной дх/др.
В полученной системе уравнений четыре неизвестных (г, 7 \ т
и р). При условии, что приток тепла задан или может быть рассчи­
тан по имеющимся переменным, эта система зам кнута.
Введем вместо р новую переменную £ = р/Р> где Р — среднее
{стандартное) давление у поверхности, равное 1000 гП а. Тогда
dl = -p -d p .
П еременная £ меняется от 0 на верхней границе атмосферы до 1
н а нижней ее границе.
У равнение вихря скорости перепишется теперь следующим обра­
зом:
У * ж
+
1 -
(*’ V * ) + Р - | г = £ - £ - •
(3.6)
У равнение притока тепла запишем в следующем виде:
&Г
g /'г
ч
*
dt
I
2^
ср
^ ’
12# т
~
/
\
£ Pt * g Т
или
, rr
_д Т = -gг (7’,
*) +, _ $
+, _с2/ 2_
х
,
/Q д ,
(3.6)
где с2 = ^ т
^ — параметр устойчивости атмосферы, зависяё*'
щ ий от разности (уа — у) и имеющий размерность квадрата длины.
120
Этот параметр, введенный впервые И. И. Булеевым и Г. М. М арчу­
ком, принимается в дальнейшем постоянным. В действительности
этот параметр несколько меняется. Мы покажем, как можно отка­
заться от этого ограничения.
С новой вертикальной координатой уравнение статики (3.3)
перепишем в виде
г~ - iH -fr
(3J>
Будем реш ать систему из трех уравнений (3.5)— (3.7) с трем я
неизвестными (z, т и Т).
В качестве граничных условий на верхней и нижней границах
атмосферы примем следующие.
К ак известно, в изобарической системе координат
дгдг , ^ дгдг
\
_dp _лл> ( / дгдг ,
%= ~
= № \~ дГ+ U~dr + V~ d i ~ W) '
Н а основе геострофических соотношений имеем: и - ^ - +
тогда т = pg (dz/dt — w).
Н а верхней границе атмосферы (р = 0): £ = 0, р -> 0, т = 0.
Н а нижней границе атмосферы (£ = 1) без учета трения и орографии
можно положить w — 0 , в связи с чем
дг0
Т0 — gPo -$]Г 9
где индекс 0 относится к уровню 1000 гП а (£ = 1).
Чтобы решить систему полученных уравнений, продифферен­
цируем уравнение (3.7) частным образом по времени. Тогда
дТ _ _ ___ £ *
Л1_
dt
dt
R
/о оч
*
0
Исклю чив теперь с помощью уравнения (3.8) d T / d t из уравнения
притока тепла (3.6), получим:
-+<г-«"£--+‘ -Итг)-#-г-; <
39>
Умножим уравнение (3.9) на С и продифференцируем его по £,
тогда
(3|0)
Н а основе уравнений (3.7) и (3.10) построим одно уравнение,
не содержащее т. Д л я этого приравняем их правые части, умнож ив
предварительно уравнение (3.7) на с2 -Ц-. Тогда получим
___ е___ <L
R
di
121
С ократив обе части (3.11) на множитель g / R t находим:
^ Т
+Т ^ т т - ^ ^ » '
- i - k t L f V -
v 4 -H > -§ -]-
*> + - £ - ] •
(3-12)
Введем следующие обозначения:
-с*О <*.V4+Р-I-]- f Ж[-Г(Г’ 2)+^-] =
С учетом принятых обозначений уравнение (3.12) может быть пере­
писано в виде
+ cV<7 = fl {х' у ’ 1)-
(3-13)
У равнение (3.13) удобно реш ать в цилиндрической системе коорди­
н ат (г, ср*, £), где г2 = (х2 + у 2)1с2 — радиус-вектор в безразмерном
виде, а ср* — полярный угол.
У равнение (3.13) запишем в цилиндрической системе координат.
т
’р
*
* 0 -
(3 .М)
В качестве верхнего и нижнего граничных условий примем усло­
вия при £ = 0 и £ = 1, отвечающие сформулированным выше усло­
виям для переменной т. С учетом уравнения притока тепла (3.2)
на нижней границе атмосферы (£ = 1) имеем:
-if = +
<Го. * o ) + ^ + ( Y a - Y o ) - § ^
С учетом (3 .8) при £ = 1 это условие запишем в виде
i |. +
< ( т .- т )
_ _ J L [ J L (Tiii Za) +
= _ л (г, ф<>
R (Та^-То). ^ 0 д .
(3 . 15 )
Второе граничное условие на верхней границе атмосферы полу­
чим, считая, что
15 (СрРi t ) = й (СрР" г {Г’ 2 ) + + Ср(Уа8~ у)-т] = °>
поскольку на верхней границе атмосферы р и
0 , pv -* 0 , а вели­
чины д Т /д х и <377% — конечные. Кроме того, на верхней границе
атмосферы т = 0 , а приток тепла к единице объема (ер) пренебре­
ж им о мал.
При предельном переходе верхнее граничное условие, используя
уравнение (3 .8), умноженное на £, запишем в виде
дТ
u~ t 2 -
dz g
П оскольку при принятых условиях lim
= 0, то верх­
нее граничное условие может быть записано в виде
^ ■ | - ( i r ) = 0 ПР И £ = 0 (ЗЛб)
Таким образом, задача нахож дения величины q = dz/di сводится
к решению уравнения (3.14) с граничными условиями (3.15) и (3.16).
Представим функции Д (г, ф*, £) и А (г, ф*, 1) следующими рядами:
оо
оо
h (г, ф*£) = Re 2
ein
п = —оо
J F n ( р \ £) J„ (г, р') р' dp',
о
с»
А (г, ф*, 1) Re £
оо
е1п
[ Gn (р') J„ (г, р)' р' dp'.
Л = —оо
(3.17)
Q.
Здесь
2Л
Fn (р )
j
оо
e ~
ф*’ ^ Jn (р,> г ^ ^
ф*d(p* j ^
in
О
о
2Jt
= ~w
Gn
оо
ф* d<f>* ] ^ (г> ф*’ ^ J,>(р,> г ) r' d r’’
1
^
О
i= Y ~
(ЗЛ 8^
i = У — 1, J rt — функция Бесселя п-го порядка, Re — веществен­
на я, часть рядов.
Реш ение для q такж е ищется в виде ряда
оо
q = - g - - Re
оо
ф* S S n (P'. О ^ (r, p') p ' dp'.
(3.19)
0
П одставляя вы раж ения (3.18) и (3.19) в уравнение (3.14) и ис­
пользуя граничные условия (3.15) и (3.16), после ряда преобразова­
ний получим уравнение для новой введенной неизвестной ф унк­
ции S n (р', £) следующего вида:
S2
^
+ 2С
p " s n = F n ( р \ £).
-
(3.20)
Это неоднородное дифференциальное уравнение 2-го порядка яв­
ляется уравнением Бесселя. Реш ение этого уравнения составится
из общего реш ения однородного уравнения и частного реш ения
неоднородного уравнения. С решением подобного типа уравнений мы
уж е встречались (см. уравнение (1.43)). Решим уравнение (3.20) отно­
сительно S n-. Подставив (3.20) решение в уравнение (3.19), получим:
1 2Я
оо
4 (0 ’ 5) = - а г J J I е2 [ " г ( г > V2*) + Р -5 7 ] M i (г, ф „ C ) r d r ^ , d C * +
0 0 0
1 2л 00
+
"
s
r
И
I
0 0 0
[
т
1( Г »
г )
+
^
(Г>
ф * ’
r
d <p *
•
( 3 -2 1 )
123
т м О ,гХ *)
1,5-
Кривая
. .
I ...............
1
1,0
2
0,9
3
0,7
4
0,5
5
0,3
Здесь q (0, £) — искомое значение тенденции высоты изобарической
поверхности в точке г = 0 для уровня £ = const; М х (г, £, £*)
и М 2 (г, £, £*) — функции влияния, характеризую щ ие зависимость
реш ения в центральной точке от значений метеорологических вели­
чин в окружаю щ ем пространстве. Произведения г М х и г М 2 описы­
вают веса средних значений динамических (адвекция и широтный
эффект вихря) и термических (геострофическая адвекция тем пера­
туры и приток тепла) факторов на окруж ности радиусом г, с кото­
рыми эти факторы влияю т на изменения высоты изобарической
поверхности в центральной точке (г = 0). Ф ункции влияния М г
и М 2 являю тся функциями трех аргументов (£, £* и г ) ; переменная £
относится к уровню, для которого ведется расчет q\ переменная £*
относится к «влияющим» уровням; г — безразмерное расстояние по
горизонтали от точки, для которой рассчитывается прогноз, до
влияю щ ей точки (при этом область влияния — вся бесконечная
плоскость).
Функции влияния обладают круговой симметрией в горизонталь­
ной плоскости, т. е. не зависят от ср*.
Н а рис. 3.1 представлены функции г М х для £ = 1, а на
рис. 3.2 — функции М г для £ = 0,7 и £ = 0,5. З а единицу длины г
принято расстояние, равное
» 750 км.
Ф ункция г М х определяю щ ая весовые множители, с которыми
нужно брать значение функции источника
A 4 | = c2 [ - f (г, v V) + p | L ]
в точках, окруж аю щ их данную , с возрастанием расстояния затухает
сравнительно медленно. Однако практически область действия дина124
Р и с. 3.2. Функция влияния М г для поверхностей £ = £* = 0,7 (а) и £ = £* =
= 0,5 (б).
мических факторов на изменение высоты изобарических поверх­
ностей в данной точке можно ограничить радиусом, равным при­
мерно 2000 км. Н а окруж ности радиусом R 0 « 2000 км среднее
взвешенное значение вы раж ения r M xAg * мало.
Ф ункция М ± полож ительна во всей области. Это означает следу­
ющее. Если на всех уровнях выполняется условие (г, у 2г) < 0,
то за счет динамического ф актора q < 0. И, наоборот, при (г, у 2z) > 0
имеем q > 0 .
Ф ункция влияния М г обладает еще одним важным свойством.
О н а симметрична относительно уровня, для которого рассчитывается
прогноз.
З н ак и величина изменения геопотенциала q за счет динамиче­
ского ф актора определяю тся средневзвешенным (с весом г М х) зн а­
чением адвекции вихря и широтным эффектом на всех уровнях
и во всей области интегрирования по горизонтали.
Н а рис. 3.3 представлены функции М 2 и г М 2 для £ = 1, а на
рис. 3.4 — функции М 2 для £ = 0,7 и £ = 0,5.
В первую очередь обращ ает на себя внимание тот факт, что ф ун к­
ции М 2 и г М 2 по мере увеличения расстояния г затухаю т быстрее,
чем функции М х и г М х соответственно. Д л я £ = 1 ф ункция М 2
отри цательная во всей области. Это означает следующее. П усть
на всех уровнях наблюдается адвекция холода, тогда якобиан
(Г , z ) < 0 . П оскольку М 2 < 0, то на всех уровнях и во всей области
интегрирования по горизонтали у поверхности q будет больше н уля.
Эффект того ж е зн ака будет иметь место и в том случае, если во всей
области интегрирования будет наблю даться отрицательный приток
теп ла (е < 0). П ри адвекции тепла ((Г, z) > 0) во всей области
q < 0. П оложительны й приток тепла такж е будет способствовать
уменьшению высоты изобарических поверхностей.
125
ф
0,2
Рис. 3.3. Функции М 2 (а) и г М 2 (б) для £ =
ол
£* = 1.
0,6
0,8
1,0 Г
Вид функции М 2 для £ < 1 принципиально отличается от вида
функции М 1 для £ < 1 и функции М 2 для £ = 1. Ф ункция М 2 я в ­
ляется отрицательной для уровней, расположенны х выше того,
д ля которого дается прогноз, и положительной для уровней, рас­
положенных ниже того, для которого дается прогноз. Т ак, адвекция
холода выше уровня £ = const связан а с увеличением высоты этого
уровня, а ниже него — с уменьшением высоты. О братная картин а
имеет место при адвекции тепла.
В том случае, если во всей тропосфере наблюдаются приток
тепла и адвекция температуры одного зн ака, д ля некоторого сред­
него уровня влияние выш ележащ их слоев может быть скомпенсиро­
вано влиянием ниж ележ ащ их слоев. В этом случае влияние баро-
Рис. 3.4. Ф ункция М 2 для £ = £* = 0 ,7 (а) и £ = £* = 0 ,5 (б).
126
клинного ф актора на изменение геопотенциала среднего уровня
мало. В какой-то мере это подтверждает концепцию сущ ествования
среднего уровня в атмосфере. Однако из этого ж е рассмотрения
следует, что при наличии переменной адвекции по высоте и пере­
менного по зн аку притока тепла влияние бароклинного ф актора
мож ет существенно возрастать.
С учетом сказанного функции влияни я М х и М 2 можно интерпре­
тировать следующим образом. Пусть во всех точках трехмерного
пространства помещены единичные точечные источники «влияющих
субстанций» A*g и А т. Тогда функции влияния М г и М 2 будут описы­
вать изменение высоты изобарической поверхности, вызванные
действием этих единичных источников.
Если область влияния ограничена, то, как и в случае баротропной
модели, в решении будет ф игурировать интеграл от q по боковой
поверхности области влияни я.
В заклю чение отметим, что при реализации полученных аналити­
ческих решений уравнения динамики д ля q интегралы вычисляю тся
с помощью квадратурны х формул. Д л я реш ения уравнений бароклинной модели используются такж е итерационные методы. При этом
в прогностическом уравнении (3.13) все производные аппроксими­
рую тся отношениями конечных разностей. Полученное конечно­
разностное уравнение реш ается на множестве точек, образую щ их
пространственную сетку, одним из рассмотренных выше итера­
ционных методов. А налогичное решение можно получить для вер­
ти кальной скорости т.
3 .3 .2 . Решение уравнений бароклинной модели
методом плоскостей
Разделим (3.11) на c2/ R и запишем его для геопотенциала Ф:
Введем, кроме того, следующие обозначения:
дФ
dt
~ q'
[<Ф , V*®» + Р -
7
-
-
Л, .
Ф) + - £ - ] « Л т .
У равнение (3.22) теперь может быть переписано в виде
Разделим всю атмосферу от £ = 0 до £ = 1 на k — 1 слоев р ав­
ной толщины с помощью k уровней. Тогда 6 £ = l/(k — 1).
127
Запишем уравнение (3.23) в конечно-разностной форме по в ер­
тикальной координате £. Д л я уровня k (в точке ij) получим
(3.24)
Граничные условия зададим в следующем виде:
1) на боковой границе области интегрирования полагаем
Я т |г = 0 ;
2) при £ = 0
3) при £ = 1
дд0
I * _ R (Уа — У»)
«С
Уравнение (3.24) можно переписать в следующем виде:
V 29ft +
a k , ft+i (<Jk+1 —
Ян) — a k , fe-i (Qk — Q k -i) =
fk •
(3.25)
(3.26)
Здесь индексы при коэффициентах а указываю т уровни, для которых
записано уравнение и для которых привлекаю тся значения q.
Т акие уравнения мы можем записать для всех k уровней, в ре­
зультате чего в левую часть уравнения (3.26) будут входить значе­
ния q с индексами k + 1, k , k — 1. У равнение (3.31) может быть
записано следующим образом:
V2(7ft + a h, h+lQh+l + ah, k-lQk-1 — ah, hQh — fk-
(3.27)
Трудности при написании этого уравнения возникаю т на верхнем
счетном уровне, так как для него отсутствует q выш ележащ его
уровня, и для нижнего счетного уровня, так как отсутствует q ниж е­
леж ащ его уровня.
Д л я преодоления возникаю щ их здесь затруднений следует вос­
пользоваться граничными условиями.
Рассмотрим трехслойную задачу с четырьмя уровнями (k = 1, 2,
3, 4). При этом k = 1 соответствует верхнему уровню модели, a k =
= 4 — нижнему уровню (у поверхности).
Д л я уровня k = 1 в соответствии с граничным условием (3.25)
Я\ — Яо = 0- Отсюда q0 необходимо полож ить равным qx. Тогда
уравнение (3.27) запишем в следующем виде:
для уровня k = 1 (3.27)
(3.28)
для уровня k — 2
+ a 21q1 — a 22q2 + a 23q3 = f 2,
128
( 3 .2 9 ) _
для уровня k = 3
v 2<73 + я34<74 + <ЧгЯг ~ ЯззЯз = АН а основании граничного условия при k = 4 получаем
+ « » • = - 1
-4 ' -
откуда
?4 ^ ОДз
С0>
где
1
.
_ ^ ^ Г 4(^4
£з)
1 Ч-<с« — с»)/.* ’С о_ 1 + ( С « - С . ) ^ ‘
C l_
С учетом этого д ля уровня k = 3 имеем
V2<73 + а32<72 — %1<7з + аз4 (ОДз — с0) = /з-
(3-30)
Перепишем полученную систему уравнений (3.28)— (3.30) в сле­
дующем виде:
при k =
1
V2?!
+ qx (а10 — ап )+ a12q2 = / х,
при & =
2
V2<72
+ ^2i9i — а22Й2+ = /г»
при k = 3 V2<73 + Яз2<72 + (^34^1 — Язз) Яъ ~ /з + 034^0-
(3.31 >
Таким образом, решение трехмерной задачи сводится к реш ению
двумерных задач, так как полученная система уравнений для к а ж ­
дого уровня содержит оператор Л ап ласа, зависящ ий от горизонталь­
ных координат х и у на одном уровне. В связи с этим метод получил
название метода плоскостей.
П реобразуем систему (3.28)— (3.30), введя следующие обозна­
чения:
а10
а11 =
^11» а12 ~ ^12 > аЫ = ^21 у а22 ~ ^22»
^32 = ^32 > ^34^1
^33 =
^33*
В результате получим систему из трех уравнений с тремя неизве­
стными (qlt q2 и <7
з):
при k — \ V2?! — &n<7i + b12q2 + Q*qs = Д,
при k = 2 V2<72 + &2i9i — b22q2 + b23q3 = / 2,
при k = 3 V2<73 +
+ bZ2q2 — г?зз<7з — /з + Оз4Со-
(3.32)
Здесь первый индекс означает номер уровня, для которого зап и ­
сывается уравнение, а второй — номер соседнего уровня. Т акую
систему уравнений мы могли бы записать для большого числа у р ав ­
нений. Отметим только, что первое уравнение будет всегда содерж ать
значения q на данном* и нижележащ ем уровнях. Последнее уравнение
будет вклю чать значения q на данном и вышележащем уровнях.
У равнения для промежуточных уровней (в данном случае для уровня
k = 2) будут содерж ать значения q для данного, выш ележащ его
и ниж ележ ащ его уровней.
9
П. Н . Белов и др.
129
Следует такж е обратить внимание на то, что коэффициенты b, а
и с0 могут быть вычислены заранее, поскольку включают только
константы. Исключение составляет параметр устойчивости с2, кото­
рый в них входит в качестве сомнож ителя. При необходимости
можно учесть изменчивость параметра устойчивости.
Существуют различны е методы реш ения полученной системы
уравнений. Одним из эффективных методов является метод канони­
зации. Рассмотрим его применение на примере системы уравн е­
ний (3.32).
Умножим каж дое из уравнений системы (3.32) на некоторые
постоянные Х г, Х 2> Х 3 и сложим их. Тогда получим
з
“Ь (---Х\Ь\\ “Ь ^ 2^2l) Ql “Ь (Х\Ь\2 — Х г&22
л=1
з
+ Х 3&32) <72 + (^2^23 — Х 3&33) <7з =
(3.33)
k=\
/
Здесь f \ = fk + dky причем dk = О при k = 1, 2. При k = 3 dk =
= a34c0. П оскольку
не зависит от x и у, можем записать
3
3
3
= Е V2 (qkXk ) = V2 H
Е
(3.34)
3
J ] X kqk =
О бозначая
получаем:
V2 E
fe=l
= V2Y .
(3.35)
Н а коэффициенты X k наложим условие, чтобы они удовлетворяли
системе уравнений следующего вида:
— X A i + Х 2Й21 + Х 3-0 = —
--- Х 2Ь22
Х$Ь32 ~
(3.36)
X j/O + Х 2й23
Х 3&33 =
ЬХ3.
где А, — пока неопределенный параметр.
У равнение (3.33) с учетом выражений (3.35) и (3.36) мы сможем
теперь переписать в виде
V2¥ = XV = F ,
(3.37)
з
где F =
fe=l
,
В этом уравнении содерж ится одна неизвестная ф ункция Y
(при условии, что X и X определены).
130
Д л я нахож дения коэффициентов Я используется система уравне­
ний (3.36), записанная в виде
*1 (fell -
Я) -
Х 2Ь21 + 0 . Х 3 -
О,
^ 1^12 “Ь ^ 2 (^22
^3^32 ~
X v 0 — * А з + Х 3 (633 — Я) = 0 .
(3.38)
И з этой системы следует, что Я — собственное число матрицы коэф­
фициентов 6, которые известны.
Система (3.38) имеет ненулевое решение, если определитель
ее равен нулю:
&ц — Я
-&21
0
---^12
0
^22
— Я --- ^32
-£?2з &зз — А»
= 0.
Р асклады вая определитель системы по элементам первой строки,
получаем для собственных чисел следующее характеристическое
уравнение:
(Ьц
A,) l(b22
Я) (633
А;)
^23^32 1
^21 ^12 (^33
1~
Реш ение этого уравнения имеет
три корня (три собственных
числа)
= Я (Ях, Я2, Я3). Все собственные числа вещественны и поло­
ж ительны . Каждому Я4 соответствует свой собственный вектор X ik.
С учетом этого уравнения (3.37) следует записать в виде системы:
V*Vi - k iV i
= Fi
(i= 1,2,3),
(3.39)
где
3
3
(3.40)
F i = % X thf c V i = I> X lhqh.
k=l
k=\
После определения Я* находим значения
из уравнений (3.39) (для
каждого Xj). И з системы (3.36) находятся значения X ih. После этого
из уравнений
s
Vi = k=\ Xthgk
определяю тся значения qh. П оскольку матрица коэффициентов b
зависит только от выбора уровней, то Я* и X ih могут быть рассчи­
таны заранее.
П оскольку Я* — вещественные положительные числа, то у р ав ­
нения (3.39) являю тся уравнениями Гельмгольца, решение которых
мы рассматривали (см. п. 3.1, 3.2).
П оскольку Яi = 1 /2 7?, то 2% = \ / У К — характерны й масштаб
возмущений.
Точное решение уравнения Гельмгольца для бесконечной области
( R 0 -> оо) имеет следующий вид:
2 Л оо
(°> =
9*
J U (р* (р*)
о
о
{ ~ i ~ ) р dp
131
Если располож ить Яг в порядке их возрастания, т. е.
< к2 < Х3,
то ^ > г 2 > ^ и функции Ч'* будут описывать влияние все более
мелких возмущений на поле q.
По данным JI. В. Р уховц а, собственным числам X* = 1, 2,
7
будут соответствовать следующие значения 5YА , * .......................
2% км
. . . .
1
2500
2
1100
3
440
4
250
5
150
6
110
7
90
Очевидно, не имеет смысла искать решение для очень мелких
возмущений (малых 3?г). Обычно бывает достаточно ограничиться
тремя-четырьмя собственными числами. Поэтому такие модели полу­
чили название малопараметрических.
Существуют и другие методы реш ения уравнений квазигеострофической бароклинной модели, например метод интегральны х соот­
ношений, предложенный А. А. Дородницыным; метод М арчука Г. И .,
К урбаткина Г. П ., К а л е н к о в ^ а Е. Е. и др.; метод дробных шагов
Г. И. М арчука; метод неполной факторизации Н. И. Будеева.
3.4. Квазисоленоидальны е
прогностические модели
Уточнением квазигеострофического приближ ения является усло­
вие квазисоленоидальности, позволяющее учесть отклонение ветра
от геострофического. Этот эффект важ но учесть хотя бы частично,
поскольку отклонения ветра от геострофического иногда могут
достигать 20—30 % , причем максимальные отклонения характерны
для наиболее сложных синоптических ситуаций, связанны х с резкой
перестройкой термобарических полей.
Это дает основание считать, что модели, построенные на основе
квазисоленоидального приближ ения, долж ны несколько лучш е опи­
сы вать эволюцию метеорологических полей. Кроме того, некоторые
из этих моделей менее чувствительны к тому, что параметр Кориолиса в низких ш иротах может быть мал.
Н а экваторе параметр К ориолиса обращ ается в нуль, и здесь
квазигеострофическое приближение неприменимо.
Квазисоленоидальны е модели, в которых составляющ ие скорости
выраж аю тся через функцию тока, свободны от этого недостатка.
3 .4 .1 . Баротропная бездивергентная
квазисоленоидальная модель
Соленоидальным назы вается вектор, дивергенция которого равна
нулю. Применительно к вектору скорости ветра это условие записы ­
вается в виде
d i v c = ^ F + | - = 0где и и v — составляю щ ие скорости ветра по осям х и у.
132
<4Л )
У словие (4.1) позволяет выразить и и v через скалярн ую ф ун к­
цию тока г|), так что выполняются соотношения
дяЬ
W ’
~
дгЬ
V^ ~ ~ d F ’
Прогностические модели, в которых постулируется соленоидальность движ ения, называю тся соленоидальными бездивергентными
моделями или баротропными квазисоленоидальными моделями сред­
него уровня.
М одели, в которых и и v на изобарическом уровне вы раж аю тся
через функцию тока, но при этом принимается, что
ди
,
ди
. г,
~дГ + ~ЩГ ^
.
,
’ а и =
,
и ' 0= ^ + v ’
называю тся
квазисоленоидальными
дивергентными
моделями.
Квазисоленоидальны е дивергентные модели могут быть баротроп­
ными (одноуровенными) и бароклинными (многоуровенными).
Если в модели непосредственно рассчитываю тся и' и v \ то такую
модель называю т агеострофической.
Д л я среднего уровня, для которого постулируется, что горизон­
тал ь н ая дивергенция скорости равна нулю и Q = V2^ , уравнение
вихря ( 1.2) примет вид
- (V2x|> + /, х|>) = А & .
V2 ^
(4.2)
В правой части у равн ен ия (4.2) якобиан A*g представляет собой
горизонтальную соленоидальную адвекцию абсолютного вихря ск о ­
рости.
У равнение (4.2) является баротропным соленоидальным уравн е­
нием вихря скорости, которое представляет собой уравнение П уас­
сона относительно d ^/ d t и принадлеж ит к нелинейным дифферен­
циальным уравнениям в частных производных.
Сравнение этого уравнения с баротропным уравнением вихря
скорости в квазигеострофическом приближении показы вает, что они
аналогичны с точки зрения математической реализации, поэтому
рассмотренные в п. 3.2 методы реш ения применимы и к уравнению
(4.2). Различие заклю чается в том, что в квазигеострофических
моделях в качестве начальны х условий использую тся поля геопотен­
циала, в соленоидальных и квазисоленоидальны х моделях нуж но
зн ать поле функции тока.
Д л я определения функции тока используется уравнение балан са,
являю щ ееся следствием уравнения дивергенции:
dD
dD
dD
+ и ~ д Г + V~dy~
, / du \ 2
+ b r )
0
du
dv
dD
dx
~дР~
, f dv \ 2
+ 2 T г ’а г + Ь г )
du
дт
dv
'
~dp~ + ~W ~df +
1СЛ
dl
dl
- ' n + “ T > r - ‘’T s r “ - v 4 ) -
(4.3)
133
Здесь D = ди/дх + dv/dy — горизонтальная дивергенция скорости.
О ставляя в уравнении (4.3) лиш ь главны е члены, получаем:
IQ = V2® ,
(4.4)
Д72г|> =
(4.5)
или
Если пренебречь изменением парам етра К ориолиса с ш иротой,
то уравнение (4.5) может быть переписано в форме уравн ен ия Л а ­
пласа:
V2 ( > - - £ - ) = 0 .
Это линейное дифф еренциальное уравнение 2-го п орядка
то л ько одно ограниченное реш ение
(4.6)
имеет
= Ф //,
которое назы вается геострофич^ским приближением функции тока.
С охран яя в уравнении дивергенции члены п орядка 10~10, полу­
чим следую щее приближ ение для уравнения дивергенции:
'« - ( - I - y - H r - s - O S - y + '- i - - » - * - * *
<«>
У равнение (4.7) явл яется диагностическим, так к ак не содерж ит
производной по времени; оно более полно описывает связь между
горизонтальны ми компонентами вектора скорости ветра и геопотен­
циалом, нежели квазигеострофическое приближ ение.
Н аправим ось х на восток и будем считать, что I зави си т тол ько
от г/, т. е. от широты. В этом случае
д/
___
2(ocos<p
~~ Р “
ь
’
где а0 — радиус Земли.
В ы разив в уравнении (4.7) компоненты скорости ветра через
функцию тока, получим уравнение баланса в квазисоленоидальном
приближ ении:
<4 - 8 >
С помощью квазисоленоидального п рибли ж ен ия, так же как
и с помощью квазигеострофического, фильтрую т гравитационны е
волны. В связи с этим прогностические модели, основанные на квазигеострофйческом и квазисоленоидальном п риближ ениях, назы ваю тся
фильтрованны м и.
Относительно геопотенциала уравнение (4.8) явл яется уравн е­
нием П уассона; относительно ф ункции т о к а -if оно явл яется нелиней­
ным дифференциальным уравнением М онж а — Ампера.
В ряде случаев достаточно использовать линейное уравнение
баланса, связы ваю щ ее поле геопотенциала с полем ф ункции г|) в сле­
дующем виде:
(4.9)
134
Рассмотрим решение уравнения баланса (4.8). Для Численного
решения существенно, к какому типу это уравнение принадлежит.
Уравнение (4.8) может быть гиперболического, параболического
и эллиптического типов.
Запишем уравнение в общем виде:
, ач
д вч
г а**>
D
Е г зч
ач
i
ач \ П_ 0 м ^
Л a?" + s
+L
+
+
L d*2
U * a y j j ~ u-t4 1 u >
где А , В , С, D, E — некоторые непрерывные функции от х, у ,
frip/dx, д\р/ду.
Сравнивая уравнение (4.10) с уравнением (4.8), умноженным на /,
видим, что в нашем случае Л = С = /, В — 0, D = —
+ Р4^,
Е = 2. Как известно, эти коэффициенты могут удовлетворять сле­
дующим неравенствам:
АС — В 2 — D E > 0 (уравнение эллиптического типа),
АС — В 2 — D E <5 0 (уравнение гиперболического типа),
АС — В 2 — D E = 0 (уравнение параболического типа).
Подставив в эти выражения значения коэффициентов и отбросив
для простоты анализа член p(di|i/dy), эти неравенства запишем сле­
дующим образом:
I2 + 2У*Ф > 0,
(4.11)
Р + 2У*Ф < 0,
(4.12)
I2 + 2У2Ф = 0..
(4.13)
В общем случае уравнение баланса для атмосферных условий
может быть любого типа. Однако в подавляющем числе случаев оно
относится к эллиптическому типу, т. е. в атмосфере чаще всего вы­
полняется условие (4.11), которое удобно представить в виде
- у - У*Ф >
------- y
•
(4 1 4 )
В левой части неравенства (4.14) стоит геострофический вихрь,
которы й в среднем на порядок меньше /. Поэтому даж е если -у- V2® <
< 0 , все равно условие (4.14) будет вы полняться. О днако в н изких
ш иротах, при малых / и при больш их по абсолютной величине зн а ­
чениях антициклонического геострофического ви хря, условие элл и п ­
тичности может н аруш аться, а уравнение баланса при этом стано­
вится параболическим или гиперболическим.
При решении уравнения б аланса итерационными методами н ар у ­
ш ение условия эллиптичности приводит к расходимости итерацион­
ного процесса. В связи с этим в каж дой точке предварительно про­
веряется выполнение условия эллиптичности. Если где-то оно н ар у ­
ш ается и У2Ф < — //2 , поле геопотенциала в этой точке искусственно
сгл аж и вается так , чтобы вы полнялось условие эллиптичности V2® >
> — //2. Т акое исправление поля вследствие малости - j V 2® по
сравнению с / дает ошибки в пределах ошибок измерения геопотен­
ц иала и не влияет на точность расчета.
135
В качестве граничны х условий при решении уравнения М онжа —
Ампера на границе обычно задается геострофическая ф ункция тока:
г|) = Ф/1.
В оспользуемся в уравнении (4.8) тождественным п реобразова­
нием:
д2г|з
дх2
д2о|) _
ду2
Г (* $ _
4 L \ дх2
|
д2г[? \ 2 __ / д2а|) _ д2г[? \2~|
ду2 )
\ дх2
ду2 J J *
'
'
Тогда вместо (4.8) получим
w
+ 2 IV 4 - [ ( | i - - L ) 4 ( 2 ^
y
- 2 р - ^ - + 2У2ф ] = 0.
(4.16)
Р еш ая (4.16) как квадратное уравнение относительно У2,ф, п олу­
чаем:
^
- - / ±
v ? +(-
3 - т + (2ш -
+2
-
(4.17)
Из двух решений (4.17) для северного п олуш ария используется
одно, в котором перед радикалом стоит зн ак «плюс», так к ак только
в этом случае мы можем получить геострофическое приближ ение
для функции тока северного полуш ария. Отбросив в вы раж ении
(4.17) малые члены, находим:
= —/ ± / j / l + 2 - ^ - .
(4.18)
В северном полуш арии — / + | I \ = 0, в южном — / — | / 1 = 0.
П оскольку -|- У 2Ф почти на порядок меньше /, можно считать, что
0 УФ ^ i
член 2 - р - < 1.
_
/
_ У2Ф V /2
П редставим функцию ( 1 + 2
^ \
в виде степенного ряда
и запиш ем вы раж ение (4.18) в следующем виде:
V2i|> = - / + / ( l +
+
(4.19)
Таким образом, выбор зн ака «плюс» перед корнем и отбрасы вание
нелинейных членов приводит нас к геострофическому приближению
для вихря.
При решении уравнения баланса относительно функции тока
на основе (4.17) строится следующий итерационный процесс:
V2il?(v+i» М-) = —г-1 —
+ ] / р + ф
,.. „ _ ф
.» ) . + ( 2
^
+ 2 т
(4 .2 0 )
где индексы v, ц = 1, 2 , 3 , ... — номера итераций.
136
И терация по v обеспечивает уточнение значений у 2,ф на (v + 1)-й
итерации по значениям функции тока на предыдущей итерации v.
Д ал ее реш ается уравнение П уассона относительно функции тока
итерациями по \i. В качестве нулевого приближ ения для функции
тока задается ее геострофическое приближ ение: г|)° = Ф //.
И терации по v и \i продолж аю тся до тех пор, пока м аксим альны е
абсолю тные значения разностей У2<ф и г|) на последующей и предыду­
щей итерации не станут меньше заданной погрешности ех и е2: .
шах | V2\|>v+1 I < ei,
max |
— \|^ |
e2.
(4.21)
Р еал и зац и я квазисоленоидальны х моделей производится в сле­
дующей последовательности.
1. По полю Ф определяется начальное поле функции тока -ф.
В этом случае реш ается уравнение баланса в форме (4.20).
2. По баротропной или бароклинной квазисоленоидальной мо­
дели ищ утся прогностические значения функции тока на основе
прогностического уравнения (4.2).
3. По прогностическим значениям функции тока определяю тся
прогностические значения геопотенциала с помощью уравн ен ия
баланса, реш аемого относительно геопотенциала к а к уравнение
П уассона.
3.5. Интегральные свойства
3 .5 .1 . Интегральные инварианты баротропной
квазигеострофической и квазисоленоидальной моделей
При реализации прогностических моделей в конечно-разностной
форме приходится сталки ваться с появлением различны х ош ибок.
В процессе интегрирования ш агами по времени эти ошибки могут
н акап л и ваться.
В связи с этим в задачах численного прогноза погоды, особенно
в задачах прогноза на длительны й срок, необходимо следить за
выполнением интегральны х свойств (законов сохранения), вы тека­
ющих из физической сущности задачи.
Рассмотрим интегральны е свойства на примере баротропной
квазисоленоидальной модели. Полученны е здесь выводы легко р ас­
пространяю тся и на баротропную квазигеострофическую модель.
У словие бездивергентности позволяет ввести функцию тока -ф,
так что и = —dty/dy, v ~ dty/dx. Тогда баротропное уравнение вихря
скорости записы вается в виде (см. уравнение (4.2))
(5.1)
Е сли полож ить I = const, то получим:
у2
^
(5.2)
137
Рис. 3.5. Область интегрирования якобиана
(Л, В) в интервале а— в по оси х и с— d по оси у .
В правой части рассматриваемы х
уравнений стоит якобиан вида (А ,В). Н а­
помним некоторые свойства якобиана:
{А, В) = - ( В , А ) , (А, А ) = О,
(А, В + С ) = ( А , В ) + (А, С), ( А + С , В) =
= ( А , В ) + (С, В),
(А + С, В
+ D)
= (Л, В) +
= (А + С, В) + (А +
(С, В) + (А у D) + (С,
А (А, В) = ± ( А \
С, D) =
D ),
В ),
В (А, В) = ± - ( А , В 2),
а (Л, В) = (а Л , В) = (Л , а , В), если а = const.
(5.3)
Рассмотрим область интегрирования уравнений (5.2), представ­
ленную на рис. 3.5. Ее площ адь равн а S = (b — a) (d — с). Л егко
показать, что если на границе области величины Л и В постоянны
и определены с точностью до постоянного м нож ителя, т. е. Л |г =
= В |г = const, то
d
Ь
J (А, В) d x d y = 0 .
J (А, В) rfS = J
с
(S)
(5.4)
а
Д ействительно, можно записать:
<А - s » = ^ r ( ' 4- i £ - ) - i r ( A’
д ( R дА \
д ( R дА
= ~df\B -дГ )~ ~ дГ \в
(5.5)
W ) '
Однако
b
d
dy = 0,
dx = 0,
(5.6)
(5.7)
так как А |г = В |г = const.
Интегрируя уравнение (5.2) по площади S , получаем:
138
{ V2
J (V2 ^ y)dS.
(S)
(S)
(5 .8 )
Н а основании интегральны х свойств якоби ан а вида (Л , В) (условия
(5.7)) можно записать
I (***’
=f
l ^ ^ - d x d y - l
а с
(5)
l - i L w p - ^ L d x d y ^ О,
а с
(5.9)
откуда с учетом вы раж ения (5.8) находим
Г V * - ^ - d S = - | - j V2t|j d S — 0 .
(S )
(5.10)
(S )
О бозначив j A ^ d S = J l9
( S)
получим:
d J J d t = 0.
(5.11)
Таким образом, если полож ить на границе области
= const
(что обычно и делается при реализации баротропны х моделей на
ограниченной территории), то сохраняется интегральны й и нвари ­
ант J x.
Рассмотрим теперь другой случай. Умножим уравнение (5.2)
на У2<ф и произведем интегрирование полученного уравн ен ия по
площади S сиспользованием свойств якоби ан а (5.3). Очевидно,
что
Ь
d
Ъ
d
j j V21|> (V2t|), \|з) dx ' dy = - i - J j ((V2\p)2, ф) dx dy = 0.
а с
(5.12)
а с
Т аким образом,
Ь d
S
= j j V 4 (V2^ , ^) dx dy = 0.
(5.13)
(S)
или
-Г I - | - W
d 5 = 0 .
(5.14)
( S)
О бозначая
j m rd s-jn
(S )
получаем:
d J J d t = 0.
(5.15)
Это еще один зак о н сохранения квад рата вихря (энстрофии).
Умножим теперь уравнение (5.2) на if ипокаж ем, что
j ^ v 2 4 r dS =
J ^
(S )
(5)
W d S = °-
<5Л 6)
139
Д л я рассматриваемой области интегрирования
(S )
=
J
f
a
с
(
*
4
-
Ъ
d
a
с
т
е
+
“ й
г
)
^
Л г
=
- 1 |[ - Е - ( * - Я - Й - ) + Т 5 - ( * - Я - Й - ) ] ^ a
с
<5 1 7 >
Если на границе области г|) |r = const, а dty/dt = 0, то первый
интеграл в правой части (5.17) равен нулю. Тогда
j < ,* -$ ■ d S = -
4- j
(S)
a
( [ 4 - ( » L )! + 4
. ( ^ . ) ! ] d y dx. (5.18)
с
В квазисоленоидальном приближении
1 / df V
v%
1 / ЛЬ \2
ф
т Ш
; — U r) = — ;
и2 + у2
v
а - ^ — = к '
где К — кинетическая энергия единицы массы.
С ледовательно,
fl)V2^ d S = - J ^ - d S .
(5.19)
(s)
(S)
В силу рассмотренных выше интегральны х свойств якоби ан а вида
(А, В).
j х|> (V2i|>, ф) d S = —
j (V*4>, ip) d S = 0.
( S)
( S)
(5.20)
Таким образом, из (5.16) с учетом (5.19) и (5.20) для баротропной
квазигеостроф ической модели на среднем уровне следует еще один
закон сохранения:
$ i r d S = 4 - $ K d S = a(5)
<5 -2 | >
(5)
ИЛИ
d J J d t = 0,
(5.22)
где J 3 = [ K d S — интегральн ая по площади кинетическая энерги я.
( S)
Следовательно, ставя на границе области интегрирования гр а­
ничные условия в форме г|) = const, мы автоматически наклады ваем
140
условия сохранения трех интегральны х инвариантов: интегральной
завихренности (интегрального л ап ласи ан а Ух), интегрального к в а ­
драта абсолютного вихря (У2) и интегральной кинетической энергии
(У3). М ожно так ж е п оказать, что сохранение энстрофии автом ати­
чески означает сохранение еще одного инварианта, а именно к в а ­
драта полной деформации D \ + D\ , где
(5.23)
Следствием постоянства интегрального лап ласи ан а (интегральной
завихренности) является так ж е постоянство относительного углового
момента М а , под которым понимается произведение зональной ск о­
рости движ ения частицы относительно Земли на расстояние до оси
вращ ени я, равное а0 cos <р, где а0 — радиус Земли.
Д л я бароклинной модели при условии адиабатичности и отсут­
ствия трения долж ен вы полняться закон сохранения полной энергии
(сумма кинетической и доступной, или полезной, потенциальной
энергии). Существуют и другие интегральны е инварианты .
3 .5 .2 . Условия, обеспечивающие сохранение
интегральных инвариантов
Остановимся теперь на методах конечно-разностной аппроксим а­
ции, обеспечивающей выполнение законов сохранения для баротропной квазисоленоидальной модели.
В прогностическом уравнении этой модели содерж ится член
(5.24)
(У2г|) + /, г|)) = (Q, г|)).
Д л я конечно-разностной аппроксимации якобиана в формуле
(5.24) можно использовать несколько способов, которые вытекаю т
из трех форм записи якоби ан а (Й, г|)):
)
(Q, Ф ) " = —
(5.25)
В общем случае
(Q , \|з)
4 (5s)2
J
j) (H i, j+ l
j-l)
(5.26)
- (Qi, u i — Q , j-i) (Уш, j - to -1, j)l,
(Q , if )
+
(Q j-1 , j+ l ~
4 (6s)2 ^
( ^ i + 1 , j+ l
^ i-1 , j-l) ^ i- l, j +
^ i + 1 , j - l ) 'Pi+l, j "i '
( ^ i + l , j+ l —
(^ i+ 1 , j - l — ^ i - 1 , j - l ) 't’i, j-ll*
j+ l)
j+ l
(5 .2 7 )
141
(Q ,
“
l +!» J ( ^ * + 1 * 7+1
4 ( 6 s )2 ^
ф)
^ i- 1 , 7 O fi-l, j+ l “
^ г-l, 3-l) ~
+
Ф 1+ 1 , j - i )
7+1 ( ^ i + l , 7+1 ~
7-1 Ofo+1 , 7-1 “
^ i * l . 7 + l) +
7- 1)•
(5.28)
Л егк о видеть, что во всех трех сл уч аях якобиан представляется
в виде сумм парны х произведений Q и г|). О днако комбинации эти
в каж дом из трех вариантов различны .
Следуя А ракаве, конечно-разностны й якобиан можно записать
в общем виде:
4 (6s)2 (Q,
=
Е Е cftrsfirv|)s = Е a krQr,
Г
S
(5.29)
г
где
&kr ~
Е ^fcrstys»
(5.30)
S
ckrs — соответствующий данной комбинации коэффициент; индекс
k — хар актер и зу ет точку, д ля которой ведется расчет; г и s — ин­
дексы на двумерной сетке; aks — линейная ком бинация значений я])
или по сущ еству линейная ком бинация компонентов ви хря, вы ра­
ж енны х через конечные разности функции тока.
У множив вы раж ение (5.29) на
получим:
4 (6s)2 Qh (Q, *)к = E ahrQ hQT.
Г
(5.31)
Ч лен akrQkQr можно интерпретировать к ак энстрофию, полученную
в точке k сетки (т. е. 1/ 2Q&) за счет взаимодействия точки k с точкой г.
А налогично член arkQrQkможно интерпретировать к ак энстрофию,
полученную в точке г в результате взаимодействия с точкой к.
Д л я того чтобы избеж ать появления лож ной энстрофии, эти две
величины долж ны быть одинаковы по модулю ипротивоположны
по зн аку независимо от
значений Qk и й г. Д анное условие будет
вы полняться, если
Н етрудно показать,
гой общей форме:
аГк = — ahr.
(5.32)
что якобиан (Q, я|)) может быть записан и в дру-4 (6s)2 (й , \|))ft = Е bhs\1>S,
(5.33)
S
где,
как следует из вы раж ения (5.29)
frfes = £
г
c krs& r-
(5.34)
Здесь bks — линейная комбинация значений скорости ветра в рас­
сматриваемой совокупности точек сетки. У множ ая вы раж ение (5.33)
на % , получаем:
4 (6s)2
142
(й , ip)ft = E frfts'Ms-
(5.35)
Рис. 3.6. Точки, используемые при вычислении якобианов
по формуле (5.42).
.
*в
9
*9
П р авая часть вы раж ения (5.35) соответству­
ет временному изменению 1/ 2я|тк за счет адвек­
ции. М ожно, следовательно, интерпретировать
член bhsyphyps как кинетическую энергию , п олу­
ченную в точке k в результате взаимодействия
с точкой s. А налогично член bhstystyh можно
интерпретировать к ак кинетическую энергию , приобретенную
в точке s в результате взаимодействия с точкой k . Эти две величины,
так ж е как и агк и ahr, долж ны быть одинаковы по модулю и противо­
полож ны по зн ак у независимо от значений г|)8 и г|э* во избеж ание
п оявления лож ной кинетической энергии. Отсюда получаем еще
одно условие:
bsh = — bhs.
(5.36)
Теперь вернемся к трем конечно-разностным аппроксим ациям
якоби ан а (Q, *ф), описываемым формулами (5.25), (5.27) и (5.29).
К ак было показано в предыдущем параграф е, эти три конечно­
разностны е аппроксимации удовлетворяю т условиям, в соответствии
с которыми
J (Q, i|>) d S = 0 .
(5.37)
( S)
Следуя А ракаве, составим более общий конечно-разностны й
ан алог якоби ан а (Й, г|)) к ак средневзвеш енное значение из трех рас­
смотренных выше конечно-разностны х аналогов, т. е.пусть
(й, ^) = а0(Q, ф)* + р0 (Q, i|>)I + Yo (й >'l5)*»
(5-38)
где а 0, ро, у 0 — весовые множ ители, подчиненные условию нормировки:
ао
Ро
То = 1*
(5.39)
Я кобиан вида (5.38) получил название якоби ан а А ракавы . Его
часто обозначаю т
п оказал, что
следующим
образом:
J A = (А, В ) А . А ракава
а о ~ Ро = То == 1/3Т огда для сетки точек, представленной на рис. 3.6, якобиан А ракавы
мож ет быть записан в виде
В)А = J2 (fls)2 [(^4 — ^б) (^2 — Вз) — 0^2 — ^з) (^4 — Вь) +
В 2 (^9
+
(В9
^в) — В г (Л в — Ат) — В 4 (А 9 — А в) + В^ (А 8 — Ат) +
В в)
А ь (В8 — Вт) — А 2 (В9 — В 8) -f- А 3 (В. — В 7)],
(5.40)
Я кобиан А ракавы помимо сохранения вихря обеспечивает сох­
ранение энстрофии и кинетической энергии.
143
Глава
4
ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ,
ОСНОВАННЫЕ НА ПОЛНЫХ УРАВНЕНИЯХ
ГИ ДРОТЕРМОДИ НАМИ КИ
Теоретические исследования и оперативная п ракти ка позволили
вы явить целый ряд недостатков, присущ их фильтрованным (квазигеострофическим и квазисоленоидальны м) моделям, которые в основ­
ном связаны с неточностью описания движ ений в рам ках квазигеострофического или квазисоленоидального приближ ений. Реш ения
фильтрованны х уравнений описывают только длинные волны (волны
Росби).
Современные достиж ения динамической метеорологии и вычис­
лительной математики позволяю т снять ограничения на связи полей
ветра и давлен ия, налагаемы е в квазигеострофических и квазисоленоидальны х моделях, и перейти к построению моделей на основе
исходных (непреобразованных) уравнений гидротермодинамики
атмосферы.
Н епреобразованны е уравнения гидротермодинамики в метеоро­
логии принято назы вать полными (в литературе их иногда назы ваю т
примитивными), а прогностические модели, построенные на основе
этих уравнений, — негеострофическими или моделями, основанными
на полных уравн ен иях.
В большинстве негеострофических прогностических моделей
используется уравнение статики. В этом случае, кроме волн
Росби, уравнения описывают так ж е инерционно-гравитационны е
волны.
Д остиж ения в области разработки и практического применения
негеострофических моделей базирую тся на исследованиях И. А. Кибеля, Г. И. М арчука и их учеников, а такж е зарубеж ны х ученых —
С м агоринского,
Ф илиппса,
Ч арни ,
Ш умана,
Х инкельм ана
и др.
В настоящ ей главе будут обсуж даться вопросы, связанны е с р е ­
шением полных уравнений в конечно-разностной форме и постро­
ением прогностических моделей на основе этих уравнений в квазистатическом и адиабатическом приближ ениях для ограниченны х
территорий. В этом случае можно не использовать уравн ен ия в сфе­
рических координатах, а ограничиться уравнениям и в квазидекартовых координатах с вертикальной координатой, связан ной с д ав­
лением.
144
4.1. Решение систем полных уравнений
гидротермодинамики
в адиабатическом приближении
4 .1 .1 . Решение системы полных уравнений
гидротермодинамики в системе координат лг, у , £, t
Запиш ем систему полных уравнений в системе координат х , у , £, t :
ди
.
ди
.
ди
.
+
ду
ди
+
.
ду
.
дФ
ду
ду
дФ
~ зГ + u ~dT + v ~ d f + (0 “С
дт
.
дт
,
дТ
- w + u -dr + v i * ди
,
"Ж" +
ж
. ,
= ~ "аГ +
RT
—
ду
|
,
/
I F .
ч со
^ - ^
дсо
+ ю г
_
„
+ f *’
.
г
+
%
— = —
'
Л
U’
= ~ т т'
(М )
где и, v — составляю щ ие вектора скорости ветра по осям х и у\
£ = р/Р; р — давление; Р = 1000 гП а; со = d t j d t — ан алог вер­
ти кальной скорости; R — газовая постоянная для сухого воздуха;
Ф = gz — геопотендиал; g — ускорение свободного падёния; Т —
тем пература (К); / = 2со sin <р — параметр К ориолиса; со — угловая
скорость вращ ения Земли; <р — ш ирота; у а = —
— — сухоади а­
батический градиент; х = ——; ср , cv — удельные теплоемкости при
cv
постоянном давлении и объеме; у = — d T / d z — верти кальн ы й г р а ­
диент температуры ; FX1 Fy — проекции силы турбулентной вязкости
на оси х и у\ & — приток тепла к единице массы в единицу времени.
В системе уравнений (1.1) пока не будем учиты вать члены, опи­
сывающие неадиабатичность атмосферных процессов
= 0) и в я з ­
кость (Fx = Fy = 0), которые наиболее сущ ественно проявляю тся
в пограничном слое атмосферы. В этом случае систему уравнений
( 1. 1) наиболее оправданно использовать для краткосрочного про­
гноза в свободной атмосфере.
При Fx = F y = S ’ = 0 система из пяти уравнений (1.1) является
зам кнутой, так как содерж ит пять прогнозируемых переменных:
и у v, (о, Ф, Т — и в принципе позволяет рассчитать их зн ачен ия
в любой момент времени в пределах области интегрирования, если
заданы начальны е и граничны е (краевые) условия.
Эта система вклю чает три прогностических уравн ен ия, содер­
ж ащ их производные по времени, и два диагностических. Д и а гн о ­
стические уравнения позволяю т по трем спрогнозированным с по­
мощью прогностических уравнений ф ункциям и, v , Т определить
две другие функции: со и Ф .
10 П. Н. Белов и др.
145
Начальные и граничные условия
П оско л ьку в системе (1.1) три прогностических уравн ен ия, то
для получения реш ения этой системы необходимо задать в начальны й
момент времени t0 начальны е условия д ля трех ф ункций:
И (X, У> £• *о)> v (*» У» £. *<>)• т (*• у> £• *о) или ф (*> Уу с. *о).
Н ачальны е значения Ф (я, у, £, /0) определяю тся с помощью у р а в ­
нения статики. Д л я вы числения Ф (лс, у , £, /0) с помощью уравнения
статики требую тся значения д авления на уровне моря Р . Зн ачен ия со
определяю тся с помощью уравнения неразры вности.
Н ачальны е условия, при которы х строится реш ение системы (1.1),
долж ны представлять собой трехмерные поля трех метеорологиче­
ских величин: и , и, Т или и , v , Ф, которые могут быть получены
по данным измерений на сети метеорологических станций. Граничные
условия долж ны о траж ать влияние внешней по отношению к области
интегрирования среды на процессы, описываемые уравнениям и
системы (1.1). Н а верхней границе атмосферы, т. е. при £ = 0 (г =
= оо), естественно воспользоваться условием отсутствия потока
массы
Р W
|2 - * о о =
О,
где w = dz/4i — в ер ти кал ьн ая скорость в системе координат х у
У, z, U
П оско л ьку р -> 0 при z -> оо (£ -> 0), то
др
dt
_др_
дх
_др_
ду
/ др
dt 1
“i ”д*
0
О днако
\
I
1
.
СО |г=0и — ~~Л
—
— —Рп— (\
d* |£=о
др
др
1
др
^ “Б
— 1 ^ “ а— “1
“
ду
дг
\
~ч ) /.
Следовательно,
dt I
I
1
® 1с=о = -5г |г=0 = —
dp
1
w~ k = - —
9ё^
П о ско л ьк у pw = 0 при г ->• оо, то на верхней границе атмосферы,
т. е. при £ = 0 , вы полняется условие
со — 0.
(1.2)
Н а нижней границе атмосферы, которая
при отсутствии неров­
ностей поверхности Земли отож дествляется с уровнем z = 0, так ж е
принимается условие рw = 0. Это означает, что уравнение
d<$/dt — g w
(1.3)
приобретает вид йФ/ dt = 0 при z = 0. При этом приближ енно при­
нимается, что £ = 1 при z = 0 , иполагается
дФ
.
дФ
,
дФ
.
дФ
или
дФ .
дФ ,
дФ
~ д Г + u -d T + v - W ~
пт
п
°>R T = 0
приС =
1.
/ 1 л\
(1.4)
Если учиты вать рельеф, то при постановке ниж него граничного
условия возникаю т дополнительны е трудности, так как в этом случае
уровень £ = 1 тем более не совпадает с поверхностью Земли. О днако
в некоторы х моделях, основанных на уравн ен иях в ^-системе коор­
динат, используется уравнение (1.3), в котором учитываю тся оро­
графические вертикальны е токи, порождаемые обтеканием рельефа:
ш °р =
дФ .
u -frr +
дФ
v ~ d i'
л п
(L 5)
где Фг (х, у ) — геопотендиал подстилающ ей поверхности. П ри этом
используется весьма грубое предполож ение о том, что уровень £ = 1
всегда сущ ествует и именно к этому уровню относятся орограф и­
ческие вертикальны е токи. Тогда условие (1.4) записы вается в виде
1 г + ы[ - ^ ( ф - ф-)] + и[ - | г (ф _Ф г)] “ (OjRr = 0 при с = 1*
Подобный подход применяется и в отношении фрикционных
вертикальны х токов (дотр) на верхней границе пограничного
слоя,
обусловленны х влиянием турбулентной вязкости, которы е так ж е
относятся к уровню £ = 1. Н иж нее граничное условие, являю щ ееся
следствием уравн ен ия (1.3) при w = дотр, используется, если в у р а в ­
нениях системы ( 1. 1) учтены турбулен тная вязкость и турбулентны е
притоки тепла. В этом случае требую тся дополнительны е граничные
условия вида и = v = 0 при z = О, означаю щ ие «прилипание»
воздуха к подстилающей поверхности, и условия для турбулентны х
потоков тепла (а если реш ается уравнение для влаги, то и д ля пото­
ков влаги) и импульса на верхней и ниж ней границах атмосферы.
Здесь мы будем использовать условия (1.2) и (1.4), имея в виду
построение реш ения системы уравнений ( 1. 1) д ля свободной атмо­
сферы, т. е. без учета орографии, турбулентной вязкости и неадиабатичности.
Д л я глобальны х моделей боковые граничны е условия не тр е­
бую тся.
Очевидно, что прогностические модели для ограниченны х тер­
риторий являю тся более экономичными, чем глобальны е. Кроме того,
на ограниченной территории можно использовать мелкие сетки,
за счет чего обеспечивается более точный прогноз. О днако при этом
возникает слож н ая проблема, св язан н ая с постановкой боковых
граничны х условий. Если боковые граничны е условия поставлены
плохо, то на границах и вблизи них возникаю т фиктивны е волны
с большой амплитудой, которые распространяю тся в глубь области
определения реш ений уравнений модели и искаж аю т прогноз.
Х отя атмосферные процессы над ограниченной территорией
связан ы с процессами, происходящ ими над другими районами зем­
ного ш ара, однако на границах, разделяю щ их их, не происходит
каки х -л и б о особых процессов, помимо тех, которые описываются
10*
147
уравнениям и самой модели. Поэтому в принципе возможно рассчи­
ты вать все зависимые переменные на боковых гран и цах, и спользуя
направленны е внутрь области конечные разности по х и у так , чтобы
для их вычисления требовались только сеточные значения функций
на границах и в ближ айш их к границе внутренних у зл ах сетки.
Д ругой подход к постановке боковых граничны х условий для
прогноза на ограниченной территории, учитываю щих процессы над
районами, примыкающими к прогностической области, основывается
на использовании влож енны х сеток. При этом д ля всей области,
охватываю щ ей ограниченную территорию (прогностическую об­
ласть) и примыкаю щие к ней районы (например, для полуш ария),
строится прогностическая фоновая конечно-разностная модель, кото­
рая реали зуется на сетке с грубым разреш ением. В пределах о гр а ­
ниченной территории, которая разм ещ ается внутри этой области,
строится более м елкая (влож енная) сетка, на которой методом конеч­
ных разностей реш аю тся уравнения той же, что и на грубой сетке,
модели. Необходимые для модели на мелкой сетке боковые граничные
условия получаю тся с помощью фоновой модели с грубым р азре­
шением.
При численном интегрировании уравнений модели на влож енны х
сетках использую тся два метода. Первый метод предполагает только
односторонний учет влияни я процессов, . описываемых на грубой
сетке в окруж аю щ их рай он ах, на процессы, моделируемые на мелкой
сетке, а обратным влиянием пренебрегается.
Этот метод назы вается методом одностороннего взаимодействия
(воздействия).
В общих чертах процедура интегрирования уравнений модели
на влож енны х сетках с помощью метода одностороннего взаим о­
действия сводится к следующему. С начала производится интегри­
рование фоновой модели (на грубой сетке) на определенный интервал
времени (^) с запоминанием значений зависимых переменных на
каж дом шаге по времени в у зл ах грубой сетки, л еж ащ и х 'н а границе
между внешней и внутренней сетками. По этим значениям зависимых
переменных в граничны х узл ах (грубой сетки) на ш агах по времени
в пределах интервала времени tx путем интерполяции в пространстве
и во времени вычисляю тся значения зависимы х переменных в гр а ­
ничных у зл ах мелкой сетки в моменты времени, соответствующ ие
ш агам по времени, используемым во вложенной модели.
Затем интегрирую тся уравнения модели на мелкой сетке на
интервал времени tr с использованием граничны х значений, п олу­
ченных на основе фоновой модели путем интерполяции в граничные
узлы мелкой сетки. Т а к а я процедура повторяется до тех пор, пока
не будут получены прогностические значения метеовеличин на срок
прогноза.
Таким образом, при использовании метода одностороннего в за ­
имодействия интегрирование уравнений на крупной сетке осущ е­
ствляется независимо от вложенной модели.
Второй метод интегрирования уравнений модели на влож енны х
сетках, получивш ий название метода двустороннего взаимодействия,
148
предусматривает учет двустороннего взаимодействия между про­
цессами на грубой и мелкой сетках.
При использовании метода двустороннего взаимодействия интег­
рирование уравнений модели на грубой и мелкой сетках тесно с в я ­
заны между собой. При интегрировании уравнений модели на вло­
женны х сетках с помощью метода двустороннего взаимодействия
предусматривается следую щ ая процедура вычислений. П рогнози­
рую тся зависимые переменные в конце одного ш ага по времени на
грубой сетке. По их значениям путем интерполяции рассчиты ваю тся
значения в граничны х узл ах мелкой сетки. Затем интегрирую тся
уравнения модели на мелкой сетке на интервал времени, равны й
ш агу по времени на грубой сетке. После этого снова интегрирую тся
уравн ен ия модели на грубой сетке, но при этом использую тся р езу л ь ­
таты на мелкой сетке.
Ф изически более обоснованным представляется метод двусторон­
него взаимодействия, так как внешний поток, описываемый на
тр у б о й сетке, не только влияет на процессы во внутренней области
(с мелкой сеткой), но и сам подвергается обратному воздействию.
Ввиду того что реали заци я метода одностороннего взаимодей­
ствия более проста, он шире применяется на практике. О днако это
не означает, что применение этого метода не связан о с трудностями.
Одна из трудностей заклю чается в том, что на границе, разделяю щ ей
грубую и мелкую сетки, из ф изических соображ ений следует з а ­
давать переменные только там, где осущ ествляется влияние извне
(в местах втока во внутренню ю область). Это связан о с гиперболич­
ностью системы уравнений. Следовательно, задавать переменные
на всей границе на основе реш ений на грубой сетке н ельзя, так к а к
в этом случае может иметь место переопределение граничных условий
(задаю тся лиш ние условия), что приводит к большим ошибкам,
а иногда и к «взрыву» численного реш ения.
Метод одностороннего взаимодействия при постановке граничны х
условий используется в прогностических моделях в нескольких
вари ан тах.
В одном из вариантов в местах оттока на границе использую тся
экстраполированны е из внутренней области значения зависимы х
переменных. П редлож ен, наприм ер, вари ан т, в котором на границе
в точках втока из реш ений на грубой сетке задаю тся только состав­
ляю щ ие ветра; другие переменные использую тся во всех точках
границы , а в точках оттока ветер экстраполи руется из внутренней
области.
В ряде работ (Е. М. П екелис, J1. Я. Прессман и др.) использую тся
граничны е условия типа услбвий излучения. Эти условия стр о ятся
на основе предположений о том, что реш ения уравнений могут бы ть
представлены в виде набора гармоник вида Jel (<**—**) (f — ам плитуда
с» — частота, k — волновое число), энергия которы х переносится
с групповой скоростью . При этом полагается, что в окрестности к а ж ­
дой граничной точки преобладает одна гарм оника, для которой
проекции фазовой и групповой скоростей на нормаль к границе
имеют один зн ак . В этом случае можно приближ енно считать, что
149
реш ение в окрестности граничны х точек удовлетворяет уравнению
«(называемому условием излучения)
1L + Г - 1 L - 0
где Сф (t, х) = a/k — ф азовая скорость преобладающей волны в ре­
шении у границы в данны й момент времени. Зн ачен ия Сф в граничны х
то ч ках определяю тся путем экстраполяц и и из внутренних узлов
мелкой сетки, прилегаю щ их к границе, если ф азовая скорость на­
правлен а из внутренней области, и, наоборот, зависимые переменные
на границе в у зл ах мелкой сетки определяю тся по их значениям
в граничны х у зл ах грубой сетки, если ф азовая скорость н ап равлена
из внешней области.
При реализации метода двустороннего взаимодействия осн о в н ая
трудность заклю чается в согласовании реш ений на грубой и мелкой
сетках , необходимость которого обусловлена различием фазовых
скоростей. Н а грубой сетке фазовые скорости меньше, чем на мелкой.
Ф азовая скорость коротких волн меньше, чем длинных; Волны,
которы е могут быть представлены на обеих сетках при переходе
с грубой сетки на мелкую , ускоряю тся и поэтому вы тягиваю тся
в направлении их -перемещения, а при переходе с мелкой сетки на
грубую — зам едляю тся и сплю щ иваю тся. Те волны, которые могут
быть представлены только на мелкой сетке, на границе между сет­
ками отраж аю тся внутрь мелкой сетки или преобразую тся в другие
волны, порождаю щ ие различны е физические и вычислительны е
моды. З а счет различий в значениях фазовых скоростей на сетках
с различны м разреш ением возникаю т ошибки решений на грубой
сетке; этот эффект назы ваю т вычислительным преломлением.
В ариант процедуры численного интегрирования уравнений мо­
дели методом двустороннего взаимодействия на мелкой и грубой
сетках в общих чертах можно представить следующим образом.
П усть в некоторый момент времени t на грубой и мелкой сетках
(в том числе и в у зл ах грубой сетки, располож енны х в пределах
вложенной модели) известны значения зависимых переменных. По
значениям этих переменных в узл ах грубой сетки во внутренней
и внешней областях вычисляется прогноз на один шаг по времени,
соответствующ ий грубой сетке (Д ^ ). Спрогнозированные переменные
на границе и их потоки через границу запоминаю тся. И спользуя эти
значения в качестве граничных условий, осущ ествляю т прогноз
во внутренней области по данным в узл ах мелкой сетки (прямое
взаимодействие) шагами по времени на мелкой сетке (Д^2) на интер­
вал по времени, равный ш агу по времени на грубой сетке (Д ^ ).
Зн ачен ия зависимых переменных во внутренней области в узл ах
грубой сетки в момент времени t + Д ^ определяю тся интерполяцией
по данным в узл ах мелкой сетки (обратное взаимодействие).
Т ак же как в случае метода одностороннего взаимодействия,
при использовании метода двустороннего взаимодействия основные
трудности связаны с невозможностью точного описания процесса
распространения возмущений на сетках с различны м разреш ением.
150
В моделях с двусторонним взаимодействием ситуация несколько
лучш е, но мелкомасштабные возмущ ения, разреш аемы е только на
мелкой сетке, не могут проникать через границу и отраж аю тся.
Д л я подавления роста возмущений, отраж енны х или порождаемых
другими нежелательными эффектами на гран и цах, применяют сгл а­
ж ивание переменных в зоне границы или вводят диффузионные (вяз^
кие) члены в уравнения.
В ряде работ (например, JI. Н. М агазенкова и Д . А. Ш ейнина)
в целях уменьшения влияния шумов, возникаю щ их вблизи границ,
предлагается согласовы вать фазовые скорости и амплитуды к а к
медленных (длинных) метеорологических волн, так и быстрых (длин­
ных) гравитационны х волн. Такое согласование может быть достиг­
нуто за счет применения фильтров к уравнениям на мелкой и л и
грубой сетках, которые позволяю т сблизить по порядку величины
ошибки аппроксимации производных на сетках с различны м р аз­
решением. За счет этого уменьш ается различие в точности описания
фазовы х скоростей и амплитуд волн.
В настоящ ее время прогностические модели на вложенны х сетках
широко использую тся в СССР и за рубежом. П ож алуй, наиболе
широко влож енны е сетки применяются при моделировании тропи­
ческих циклонов. В ряде моделей тропических циклонов исполь­
зую тся несколько вложенных одна в другую сеток с увеличива­
ющимся разреш ением, в том числе и перемещающиеся вместе с тро­
пическим циклоном.
Схемы интегрирования уравнений моделей на нескольких вло­
женных одна в другую сетках с увеличиваю щ имся разреш ением
получили название телескопических.
Если система уравнений модели для ограниченной территории
реш ается без учета результатов моделирования процессов в о кр у ­
ж аю щ их районах, т. е. не на вложенны х сетках, то значения зависи­
мых переменных на боковых границах можно рассчитывать с по­
мощью уравнений модели, о чем говорилось выше. Однако такой
способ задания боковых граничны х условий не нашел ш ирокого
применения.
Простейшие условия на боковых границах Г имеют вид
ди
dt
I __
[г
dv
dt
I _
г
дТ
dt
r = o.
(1.6>
Эти условия означают неизменность искомых функций (ы, и, Г )
на боковых гран и цах, что заведомо не соответствует реальном у
процессу. В связи с этим такие условия называю т фиктивными.
При использовании их искаж ения реш ений, возникаю щ ие вблизи
боковых границ, распространяю тся внутрь области интегрирования*
сниж ая качество прогнозов.
Д л я уменьш ения искаж аю щ его влияния граничных условий та­
кого типа используется ряд приемов, предусматриваю щ их плавны й
переход от закрепленны х (неизменных) значений зависимых пере­
менных на границах к изменяющ имся в соответствии с реш ениями
151
прогностических уравнений значениям во внутренних узл ах сеточ­
ной области.
Один из таких приемов состоит в том, что значения производных
по времени, определяемых с помощью прогностических уравнений
во внутренних у зл ах , располож енны х вблизи боковых границ,
интерполирую тся так , чтобы на границах они обращ ались бы в нуль.
Т ак ая интерполяция выполняется с помощью соотношений вида
тде f — прогностическая переменная; N — номера узлов, в которых
получено решение для переменной /; п — номера узлов, располо­
ж енны х между граничными узлами (пг = 0) и узлом N (п = 0,
1, ..., N); а п = n / N — весовой множитель, изменяющ ийся от нуля
(при п = пг = 0) до единицы (при п = N).
Переход от закрепленны х на боковых границах зависимых пере­
менных к реш ениям в области прогноза может вы полняться с по­
мощью так называемых буферных зон, окайм ляю щ их область про­
гноза. В пределах буферных зон реш ается краевая задача для у р ав ­
нения Л ап ласа с изменяющ имися во времени граничными условиями
на внутренней границе, разделяю щ ей область прогноза и буферную
зону, и с закрепленными условиями на внешней границе буферной
зоны или с условиями вида
п
ди
дп
dv
дп
где Сп — нормальные к границе составляю щ ие горизонтального
вектора скорости, п — внеш няя нормаль к границе. Такой способ
используется в оперативной прогностической модели Н ационального
метеорологического центра США, которая рассматривается в главе 9.
В оперативной прогностической модели Гидрометцентра СССР,
которая такж е рассматривается в главе 9, использую тся боковые
граничные условия вида
В этой модели используется прогностическое уравнение для гео­
потенциала, а поэтому и граничное условие ставится для Ф.
В прогностических моделях, основанных на решении полных
уравнений, использую тся такж е периодические боковые граничные
условия следующего вида:
ф (х, у,
t) = ф (х + Lx , у , t); ф (х, у, t) — ф (*, у + L y , t )
(ф = и, V, Ф, ...),
где L Xi L y— размеры области интегрирования в направлении осей х и у %
Если граница области прогноза проходит вдоль экватора, то,
предполагая, что воздухообмен между полуш ариями мал, можно
п рин ять условия вида
(1.7)
152
Эти условия означаю т, что нормальные к границе составляю щ ие
скорости Спу а так ж е производные от касательны х составляю щ их
скорости Ch и от Т по нормали к границе равны нулю. Вопрос о по­
становке и использовании этих и других граничных условий будет
обсуждаться при рассмотрении конкретны х моделей. Здесь ж е
при рассмотрении вопроса о возможности построения решений систем:
уравнений (1.1) будем ориентироваться на условия (1.2), (1.4), (1.6).
Процедура интегрирования
После того как определены начальны е значения Т и со, пред­
ставляется возможность проинтегрировать прогностические у р ав ­
нения системы ( 1. 1) с учетом граничных условий.
В силу нелинейности этих уравнений выполнить точно их ин­
тегрирование невозможно, поэтому приходится прибегать к числен­
ному интегрированию , например конечно-разностным методом.
При этом вводится та или иная дискретизация пространства
и времени (i = х/ Ах; j = у / Ay; k = £/Д£; s = t / A t ) y строится пространственно-временная сетка точек, дифференциальные уравнения
системы (1.1) аппроксимирую тся конечно-разностными. Р еш ение
конечно-разностных уравнений осущ ествляется шагами по времени.
Один из возможных способов приближенного решения системы
уравнений (1.1) с помощью метода сеток состоит в следующем. И с­
пользуя конечно-разностную аппроксимацию производных по вре­
мени и начальны е сеточные значения и*/*»
^1/*» с помощ ью
прогностических уравнений вычисляю т u ^ t * * > v*j£At,
, т. е.
прогностические значения метеовеличин в конце ш ага по времени.
При вычислении этих величин в ближ айш их к боковым гран и цам
узлах сетки использую тся граничные условия (1.6). Затем, исполь­
зуя найденные значения u t yt **, v \ ) t Ai > с помощью уравнения не­
разрывности и граничного условия ( 1.2) рассчитывают значения
(Oc)tAt • При этом в уравнении неразрывности производные по х к у
заменяю тся конечно-разностными отнош ениями, а интегрирование
по £ выполняется с помощью той или иной квадратурной формулы.
Д л я определения геопотенциала уровня £ = 1 в момент времени
t0 4- A t используется граничное условие (1.4). Значения геопотен­
циала всех выш ележащ их уровней в момент времени t0 + A t опре­
деляю тся с помощью полученных значений
на основе уравн е­
ния статики
1
<t>(l) = R ^ d J i = R T \ n - ^ .
(1.8>
I
Т аким образом, получаются сеточные значения всех пяти метео­
величин в момент времени t0 + At: Ui)fAt,
Ф ijk
Процедура численного интегрирования повторяется шагами по*
времени на заданном интервале времени прогнозирования.
153*
4 .1 .2 . Решение системы полных уравнений
гидротермодинамики в ст-системе координат
В прогностических моделях, основанных на полных уравнениях,
ш ироко используется сг-система координат, предлож енная Ф и л­
липсом. В этой системе вертикальная координата определяется как
отношение давления р на переменном уровне z к приземному (не при­
веденному к уровню моря) давлению р8:
=
р (.х , у, г, /)
Ps ( * . у . / )
•
И спользуется такж е модифицированная сг-система координат, в кото­
рой а = ( р — Рв)/ (Рн— Рв)> где рн, р в — давление на нижней и
верхней границах атмосферы или на границах слоев атмосферы.
Основное достоинство сг-системы координат состоит в том, что
в ней земная поверхность совпадает с координатной поверхностью
<т = 1. Поэтому уравнения в этой системе координат позволяю т
описывать атмосферные процессы с учетом отклонений координатной
поверхности от горизонтальной, т. е. с учетом рельефа. У равнения
в изобарической системе координат не обладают этим свойством.
Достоинство сг-системы координат состоит такж е в том, что в этой
системе точно выполняю тся условия равенства нулю вертикальной
скорости а на нижней и верхней границах атмосферы:
do
= 0.
(1.9)
<т=0,
v 7
<т=1
Запиш ем квазистатическую систему уравнений в координатах х>
у , a, t исходя
из соответствующ их уравнений, рассмотренных
в главе 1. При этом приведем эти уравнения к удобному
для ин­
тегрирования виду.
У равнение состояния будет использоваться в виде
aps = p R T .
(1.10)
У равнение статики запиш ется следующим образом:
др
"da =
дФ
/1 1 1 \
Р ~да~ ’
<U 1 >
или с учетом уравнения ( 1. 10) — в виде
г —
(1. 12)
П роинтегрировав уравнение (1.12) по а в пределах от а до 1 при
условии, что Ф = Ф8 при а = 1, получим:
1
Ф = Ф8 + Я
(1.13)
а
где Ф8 — геопотенциал поверхности Земли.
154
У равнение неразрывности в координатах х у у у сг, t записы вается
в виде
d
( \ _±_ дР ( ди
dt
\
до ) '
_L dv
до
\ дх
дд Л _ п
\
'
ду
'
до ) ~ U’
ИЛИ
+ - § j - ( vP°) + P * - W = °-
+
( 1Л4>
При получении последнего уравнения учиты валось, что др/ да = ps,
и ps от о не зависит.
П роинтегрировав уравнение (1.14) по а от 0 до 1 и от 0 до сг*
с учетом условий (1.9) получим:
О
о
И склю чая из этих уравнений d p j d t , получаем диагностическое
уравнение для вертикальной скорости:
о
о
С учетом выш еизложенного квазистатическая система уравн ен и й
в сг-системе координат записывается в следующем виде:
ди
.
ди
.
"dT
ди
,
ди , .
da
.
dy . .
U ~diT ^ V~ d f +
00
,
du
RT
dps
дФ .
dv
RT
dps
~do =
pl
§y
dQ
,
dQ
.
.
дв
0
„
/t t сч
дФ i
«
/i ic v
dy
lu + Fy ,
(1.16)
’
(1ЛП
&
- д Г + и - д Г + г)1 ь + а ^ Г = ^ Г —
l
dps
_
=
Г / d (ups )
d (vps)
, .
0-181»
0
1
Ф = Ф s + R ^Z -d o ',
* - -k
о
(1.19>
*■- - k - 1 ( * & ■ + * & ■ ) •
0
(1.20>
в = Т ( - ^
) ~ -
( | 21)
155.
У множ ая уравнения (1.15), (1.16), (1.17) на ps и учиты вая ур ав ­
нение неразрывности (1.14), получаем эти уравнения в дивергентной
форме:
д ( u p s)
dt
,
д (u 2Ps)
дх
, д (“ VPs)
'
ду
_ Ps
=
,
'
д (u o p s)
до
^
_|_ ivps + PsF x,
a/ ■+' a* ~1' ay ,"l~ a<j
д (v p s)
|
д (v u p s)
d (vl p s)
= -R T
.
д (v a p s)
l up s + p . F „
д ф р й)
,
d (udP s)
,
д (авp s)
.
dt
'
dx
"■
ду
'
d (Q a p s) =
до
T
p sQ&
cp
Начальные и граничные условия
Система уравнений (1.15)— (1.21) содержит производные по вре­
мени от и> v , 0, p s. Д л я реш ения этой системы уравнений следует
задать начальны е значения t i \ i/°, 0*°, р [ \ При существующей
системе получения оперативной метеорологической информации эти
значения переменных на a -поверхностях (которые не совпадают
с изобарическими) приходится рассчитывать путем интерполяции
по данным на изобарических поверхностях.
В адиабатическом варианте (<$ = 0) без учета сил вязкости (Fx =
= Fy = 0) система уравнения (1.15)— (1.21) содержит семь зави ­
симых переменных: и , v, сг, Ф, ps, 0, Т , т. е. является замкнутой.
Граничные условия по а имеют вид
сг = 0
при
a = 0 ; 1.
0 -22)
Если использую тся уравнения с учетом неадиабатичности и вязкости,
то, помимо этих условий, необходимо поставить дополнительные
условия:
и = v = 0 при a = 1
и условия для потоков тепла и импульса при a = 0 и a = 1. На
боковых границах области определения реш ения могут быть исполь­
зованы условия для зависимых переменных и , и, 0 , ps вида ( 1.6).
Процедура интегрирования
Процедура численного интегрирования системы уравнений
(1.15)— (1.21) в адиабатическом варианте шагами по времени ан а­
логична описанной в п. 4.1.1. При этом прогностические уравнения
решаются на уровнях а = const (k = a/A a), поэтому и начальны е
условия следует задавать на сг-поверхностях, прибегая к и нтерполя­
ции с р -поверхностей на а-поверхности. Н ачальны е условия за ­
даю тся для и , v , ps. Значения 0 в начальны й момент времени р ас­
156
считываются с помощью уравнения (1.21), а геопотенциал Ф и вер­
ти кал ьн ая скорость о — на основе уравнений (1.19) и (1.20) соответ­
ственно.
С помощью прогностических уравнений (1.15)—(1.18) по н ач ал ь­
ным значениям ы ! \
0*°, pt° определяю тся и?0+А\ vto+Ai, 0*°+Л^
Ps0+A*. П ри влекая диагностические уравнения (1.19)— (1.21), рас­
считывают T fо+д*, ф*о+Д^ о*о+л*. Эта процедура шагами по времени
повторяется до тех пор, пока не будут получены значения всех
метеовеличин в конце прогностического периода.
Результаты прогноза метеовеличин (на уровнях о — const) и н ­
терполирую тся на изобарические поверхности.
И нтерполяция начальны х данны х и результатов прогнозов со­
пряж ена с дополнительными затратами времени и с ошибками.
Следует обратить такж е внимание на то, что в a -системе коорди­
нат в правых частях уравнений движ ения составляю щ ие градиентов
давления (ps) и геопотенциала (Ф) в районах с круты м наклоном
земной поверхности велики по модулю, но противоположны по
зн аку . В этих случаях силы будут определяться неточно, как малые
разности двух больших величин. Д л я преодоления этой трудности
разработаны специальны е процедуры расчета этих членов повыш ен­
ной точности.
4.2. Полные уравнения
баротропной модели атмосферы
В атмосферных исследованиях использую тся полные уравнения
баротропной модели атмосферы. Один из вариантов этих уравнений
называют уравнениями мелкой воды. Эти уравнения, а так ж е у р ав ­
нения баротропной модели в a -системе координат будут далее ис­
пользоваться для исследования свойств численных решений. У чи­
ты вая эти обстоятельства, а так ж е то, что в главе 1 вывод этих у р ав ­
нений не рассм атривался, приведем их вывод.
4 .2 .1 . Уравнения мелкой воды
Рассматривается тонкий слой однородной идеальной жидкости
(р = const), ограниченной снизу горизонтальной поверхностью z =
= 0 , а сверху — свободной поверхностью высотой h (х , у , t ), выше
которой располож ена среда с очень малой плотностью, так что на
свободной поверхности р = р 0 = const. Т ак как р = const, то из
уравнения статики dpldz = —pg следует, что
д
др
д
др
д , ч Л /
ч
~дГ ~дГ = ~дГ ~дГ = ~дГ
=
<S = * У)'
С ледовательно, составляю щ ие геострофического ветра ug и vg не
меняются с высотой:
_ди£ _ dvg __ Л
dz ~ dz
157
М ожно принять такж е (в силу близости реальн ого ветра и геострофического), что duldz ж dv/dz » 0 . П роинтегрировав уравнение ста­
тики по z от произвольного z до h и учиты вая, что при z = h р = р 0 =
= const, получаем:
1 др
~р“ ds
dh
ds
~ &
дФ
/
ч
~
— Х’
Таким образом, для рассматриваемой среды («мелкой воды»)
уравнения движ ения приобретают вид
ди
д/
+
.
дм
дм
дФ . i
и -=----- \~ V - 3 — = ------- з----- \- /у ,
1
дх '
ду
дх 1
d
v
. d
д/
v
. d
v
.
д*
+ °
ду
дФ
~
1
,
ду
/Л
’
где дФ!дх и дФШу не зависят от z.
П оскольку полагается, что р = const, то уравнение неразры в­
ности
1
р
dp
dt
ди
дх
dv
ду
,
'
dw __ ~
dz ~
упрощ ается и приобретает вид
<*■*>
И нтегрируя уравнения (2.2) по z в пределах от 0 до h (с учетом;
неизменности и и v по z, а такж е граничного условия w = 0 при
z = 0), получаем:
w z=h = — h
*
(2.3>
П ринимая во внимание, что h (х, у , /), имеем:
rf/i
dh
.
dh
dh
*v
“ ' - ' ■ ==^ Г = ^ Г + М- 5 Г + У1 Г <2 '4>
Объединяя вы раж ения (2.3) и (2.4) и вводя геопотенциал свободной
поверхности Ф = g h , получаем:
дФ
|
дФ
.
дф
, Л / дм
.
-а г + н ^ г + у^ - + ф ( - л г +
dv \
Л
% -) = 0’
/0
(2 -5>
ИЛИ
» . + ^ ( „ ф ) + ^ г („ф )„0 .
(2.6)
У равнения (2.1) и (2.5) представляю т собой зам кнутую систему
уравнений мелкой воды. Несмотря на исходные предпосылки (модель
мелкой воды), эти уравнения использую тся для моделирования
атмосферных процессов.
Система уравнений (2.1)— (2.5) аналогична по виду системе
уравнений баротропной модели, приведенной в главе 1.
На основе этих уравнений можно, опираясь на конечно-разност­
ный метод, прогнозировать скорость ветра и геопотенциал шагами
158
по времени. При этом необходимы ^начальные, условия (и*®, tA, Ф*®)
и граничные условия (например, 4 j - | r = — ■|р = ^ - | р = 0).
4 .2 .2 . Уравнение баротропной модели в а-системе координат
У равнения в a -системе координат для баротропной атмосферы
получаю тся из уравнений (1.15)— (1.21).
Д л я баротропной среды р = f (р). Н апример, при Т = const
из уравнения состояния имеем р = ср, т. е. р = / (р), где с = 1 / R T =
= const. В этом случае
ж
+
Т
Ч
г
4
-
г ' <ф
+
1 п
Л
W
+
f
W
=
W
<ф
+
R
T
(2.7)
Дифф еренцируя эти соотношения по а и меняя порядок диффе­
ренцирован и я , получаем:
* ( +
до
\
дх
'
* (
da
1
Rт -L
др \
дх )
*£-) =
р
д
дх
дФ . 1
др
( /ЗФ
+ J_ *Р
) = о,
\
до
1
р
до )
+ R T j - 3 L ) = 4 - ( ^ - + -L Ъ ) =
V ду
1
р
ду )
ду
\
до
р
о,
до )
*
так как
1
р
др
до
дФ
до
Таким образом, в баротропной среде составляю щ ие градиента
давления, а следовательно, и геострофический ветер н е зависят
от а и их можно относить к любому уровню . Реальны й ветер близок
,
к геострофическому, поэтому в уравнениях движ ения члены
о
.
о
ди
,
можно принять равными нулю. С ледовательно, уравнения
движ ения можно записать для любого уровня а = const в виде
ди
dt
ди .
дх 1
ди
ду
дФ
дх
1
р
др
дх
. t
1
—хг—— U —г— -j—V -~х— — ---- х— — ----- —х— -J—tv,
1
’
d v . d v . d v
dФ
1
dp
1
/Г| оч
-гг - + U - Z ---- = ---------------- ^------------------------------------------- ---1и
dt
dx
dy
ду
р
ду
7
При
в= 1
ди
^
,
+
_*L + и
а/
и - ^
а*
ди хш
ш ди
дФ8
1 др8
+ х ) -д^ = - - д Г - - ^ - д Г
+
ду
=
ду
___ L l E ± . _
р,
ау
,
+
1х)'
/п
( 2 -9 >
Ю)
lu
(2
ш*
^ ли;
где рв = / (рв), Фв — геопотенциал поверхности Земли.
У читывая граничные условия (1.22) и независимость и и у от сг,
и з уравнения неразры вности (1.14) после интегрирования его по о
в пределах от 0 до 1 находим:
др»
,
d ( u p s)
,
d (y p s)
/о 11ч
У равнения (2.9)— (2.11) представляю т собой зам кнутую систему
и позволяю т по начальны м данным для и \ i/°, р{° с использованием
боковых граничных условий рассчитывать прогноз метеовеличин и ,
v , p s шагами по времени.
4.3. Интегральные свойства моделей,
основанных на полных уравнениях
При конечно-разностной аппроксимации и построении схем
численного интегрирования полных уравнений руководствую тся
целым рядом соображ ений. Одно из них заклю чается в том, что си­
стемы конечно-разностных уравнений, называемые численными мо­
делями, долж ны сохранять интегральны е свойства соответствующих
систем дифференциальных уравнений, т. е. математических моделей.
Иногда это требование может ослабляться или вообще не учиты­
ваться, если имеется в виду построение моделей краткосрочного
прогноза погоды.
4 .3 .1 . Интегральные свойства баротропной модели
Интегральные свойства модели мелкой воды
Рассмотрим интегральны е свойства модели, основанной на си­
стеме уравнений мелкой воды (2.1), (2.5). Будем считать, что область
определения реш ения представляет собой прямоугольник с ориен­
тированными параллельно координатным осям х и у сторонами,
длина которых составляет х 2 — х 19 у 2 — у г.
Н а границах области поставим условия
U \ x = Xl ~
\х= х2
V \у = у1 = 0 ,
\у=у 2
V3 *1 /
означаю щ ие, что через боковые границы нет переноса.
Воспользуемся уравнением (2.6)
дФ_
dt +
д(и Ф ) ,
дх
+
д(иФ)
ду
__ Л
п
V
'
и проинтегрируем его по х и у в пределах от х х до х 2 и от у х до у 2:
~£~5 1фdxdy=~f I
У1
*1
y t xt
dxdy~I j ~h~(иф
)dydx■
(3-3^
xt y x
И нтегралы в правой части последнего уравнения равны нулю в силу
граничных условий (3.1). Таким образом,
У2
д
dt
‘
J
Уi
160
Х2
“
J Ф dx dy = 0,
У2
X%
[
J Ф dx du = const.
У 1 Xt
(3.4)
Следовательно, величина, стоящ ая в левой части вы раж ения
(3.3), является интегральны м инвариантом модели. У словие (3.4)
означает сохранение массы, заклю ченной в объеме
V = (х2 — х х) (у2 — y t ) h.
Д ействительно, масса М вобъеме V определяется
У2
М = J
Ух
Х2
у2
h
Х2
интегралом
Уг Х 2
j* j* р dz dx dy = р J j h dx dy =
J ^ Ф dx
Xt
y x Xt
о
Ух
xx
dy
(p = const),
т. e.
M = const. П оскольку
= const, то M = const.
П окаж ем , что для модели мелкой воды сущ ествует энергетический
инвариант. Получим уравнение для кинетической энергии единицы
массы Е = (и2 + v2)/2 в случае двумерного движ ения. У равнение
кинетической энергии является следствием уравнений движ ения
(2.1). У множ ив первое уравнение (2.1) на и , а второе — на v и слож ив
результаты , находим:
- | ^ + ы - | - ( £ + Ф) + у ^ - ( £ + Ф) = 0.
(3.5)
У множ ая уравнение (3.5) на Ф, а уравнение (3.2) на Ф и на Е , по­
лучим:
ф
Ц - Р + ф ) = о.
dt +1 и ф 4дхг (е + ф ') + «" ь - ду
_д__ I Ф2 \ , ^ д ,
Л д
dt ( - г - ) + ф 4 г (“ ф > + ф ~ w <у ф ) = °Е ж
(3-6)
(3 -7>
+ Е 4 г <ыф) + Е - W (иф) = °-
(3 -8)
Суммируя уравнения (3.6)— (3.8), получаем:
+ £ Ф ) + 4 - 1 “ Ф (Е + ф )1 + - | г [оФ (Е + ф )1
= 0-
(3-9)
В результате интегрирования уравнения (3.9) по х и по у в пре­
делах от х х до х 2 и от у х до у 2 с учетом условий (3 . 1) имеем
-ST S
I ( - Т - + Е ф ) dx dy =
°-
(з л °)
Ух
Таким образом, величина
у2 х2
J
J ( ~ 3— I"
Ух
Хх
d x d y = const
является интегральны м инвариантом модели.
Д ля того чтобы выяснить физический смысл этого инварианта,
рассмотрим вы раж ения для кинетической Е ипотенциальной П
11
П . Н . Белов и д р .
161
энергии массы воздуха в объеме интегрирования V = (х2 — х г) X
X (у%— У1 ) h:
Уг * 2
h
Уг
^ = I
\
^
dz dx dy = р J
i/i
*1
0
Ух
FT = | |
*i
I w * Л
х2
у2
j E h dx dy =.
J £ Ф dx dy,
xt
y\
= p* | | *-*cdy = f
0
-<i
|
0i
4w.
x,
т. e.
I
| ( - т - + £ ф ) ^
Ух
Xx
= 1 г ( £ + п ).
Следовательно, с точностью до постоянного множителя g/p велиУг Х2
ф2
2— 1- Е Ф ^ d x dy представляет собой сумму кинетиче-
чина J J
Ух х^
ской и потенциальной энергии массы воздуха в объеме V.
Кроме рассмотренных, могут быть построены и другие инва­
рианты. Среди них большое значение имеет интегральная потен­
циальная энстрофия (квадрат завихренности). Сохранение интеграль­
ной потенциальной энстрофии проиллю стрируем на примере модели
мелкой воды, уравнения которой запишем в виде
ди
.
ди
.
ди
дФ
, ,
- d T + u - W + v - W = - l ) r + lv'
d v . d v . d v
дФ
1
/о 1 1 v
~дГ + и ~дГ + 1>~ЩГ
~ w ~ 1и'
(3 1 1 >
дФ
~дГ
.
д (иФ)
дх
д (уф) _ ~
ду
~ U’
где Ф = g h y h — высота свободной поверхности.
Д о бавл яя и вычитая в левой части первого уравнения v (dv/dx),
а в левой части второго — и (ди/ ду)у получаем уравнения движ ения
в форме Лэмба:
где
£2 =
dv
* f . _ 0 (Q + /) + - | _ ( £ + ф ) = 0 ,
(3.12)
- ^ + и (£2 + 0 + - | Г (£ + Ф ) = 0 ,
(3.13)
ди
т-т
и2 + v2
----- Е = — ^-к инетическая
энергия. П ере­
пишем эти уравнения в виде
<Е + Ф) = ° ,
Т Г + “ й + - |г < £ + ф > “ 0 ’
162
(3.14)
<3 ] 5 >
где
т
и = иФ,
Q -j- 1
~
и = иф,
— ф—
С помощью этих уравнений получим уравнение потенциального
вихря скорости
(3.16)
или
j-j
дФ . д (иФ) д (иФ)
П оскольку
^
Л
= 0,
то
У множив это уравнение на Q, а затем на Ф и воспользовавш ись
последним уравнением системы (3.11), получим:
Д л я прямоугольной области, на границах которой
и \х= хг =
v |У = У1 =
У2 Xа
0,
У 2 Х2
Таким образом, для рассматриваемой модели потенциальная
энстрофия сохраняется, т. е. является инвариантом.
Интегральные свойства баротропной модели
в о-системе координат
Получим уравнение энергии баротропной негеострофической мо­
дели, уравнения которой записаны в сг-системе координат. Д л я этого
умножим уравнение (2.9) на ир 8У уравнение (2.10) — на vpSy уравн е­
ние (2.11) — на p s и результаты сложим. Тогда, если не учиты вать
рельеф
получим
- | - ( p s£ + 4 ~) + - | г [ы/?8 ( £
+ - § - ) ] + J - [ v p t (E +
-£2- ) ]
(3.19)
где Е = (и2 + v2)/2.
П*
163
П реобразуем правую часть этого уравнения:
1
Ps
д { р2Л
17 Iм—
.
д
(
Ps
+ ~ d f \ V ~2
ди
+
2Р:
(
1
, ^ l “ 4 ) + ' ! r ! o 4 ) J + If s £ e . ( £ + - ! ' ) '
Ps
<з -20>
где R T S = const. Таким образом, уравнение (3.19) с учетом соот­
ношения (3.20) приобретает вид
_д_
dt [_ р , ( е
+ - § - ) ] + - г г [ “Р * (£ + т ) ]
д '(
~дх
Р\
~2
, д
Ps
+ ^
\ V ~2
+ ж
[ 1,,’* ( Е + т - ) ] “
+ - ‘3 * * ( - £ + - £ ) •
<3-21>
П роинтегрируем это уравнение в пределах прямоугольной области
по х и у от х г до х 2, от у х до у 2. На границах области поставим условия
U \ x = x i — V \y= yt
\У=Уг
\х= Х2
0.
(3.22)
И нтегралы от второго и третьего членов левой части будут равны
нулю в силу условий (3.22). И нтеграл от правой части уравнения
(3.21) при ps = const так ж е равен нулю , поэтому
У2 Х 2
[ ? • { Е + - Y - ) d x d y = 0,
Ух Хх
ИЛИ
У2 Х2
d x d y = const.
J J p s (^Е +
(3.23)
Ух х х
Следовательно, эта величина сохраняется, т. е. является интеграль­
ным инвариантом модели. Таким образом, с точностью до постоян­
ных множителей механическая энергия (кинетическая и потенциаль­
ная) воздуш ной массы в пределах области интегрирования сохра­
няется. С охраняется так ж е масса воздуха М в этой области, так к ак
Ж 1 I Ps d x d y = -
1
[y & L + ^
У\ Х х
у х хг
У 2 Х2
у 2 х 2 оо
1 ] dxdy = 0,
j J p s dx d y = g J j f p dz dx dy = g M — const,
Ух X t
т. e. M = const.
164
y tx i 0
(3.24)
4 .3 .2 . Интегральные свойства бароклинной модели
Интегральные свойства бароклинной модели
в системе координат х , у, £, t
Воспользуемся системой уравнений (1.1) в адиабатическом при­
ближении без учета сил вязкости. Будем рассматривать процессы,
описываемые этой системой уравнений, в области, представляющ ей
собой квазипрямоугольны й параллелепипед, ребра которого ори­
ентированы по направлению координатных осей х , у, £; длина ребер
составляет х 2 — х 19 у г — у г. По высоте параллелепипед простирается
от уровня подстилающей поверхности (£s = p J P ) до верхней г р а ­
ницы атмосферы (£ = 0). Здесь £s =
(*, у , t).
Н а гр ан ях параллелепипеда поставим граничные условия:
и \x=xt = v \у=у1 = 0 ,
со \1=0 = 0 , w = 0 при £ = £в,
\у=у 2
\х= х2
= "Ж +
I F + Vs
при
£ = 5«-
(3-25>
У множив первое уравнение системы (1.1) на и у второе — на v
и слож ив результаты , получим уравнение для кинетической энергии
единицы массы двумерного движ ения Е к = (и2 + и2)/2:
дЕк
,
дЕк
.
дЕк
+
.
дЕк
,
дФ
.
дФ
~
+ ft)^ f + u ^ r + I' ^
/0
= 0- (3-26)
И з уравнения притока тепла в адиабатическом приближении, запи­
санного в виде
дТ
дТ
.
дТ
дт
R 'T
/0 0 _ ч
л
“ аГ + ы “л Г + у_^ Г + ® ' а Г ~ 7 7 1 " < 0 _
’
(
*
получим
уравнение для удельной энтальпии Е = ср Т. Д л я
этого
умножим уравнение (3.27) на ср и учтем, что —R T / Z = дФ/д£.
В результате получим
дЕ
,
дЕ .
д£
,
д£
.
дФ
Л
u - ^ - + u - ^ + ® ^ r + “ - ^ r = °-
/0 ооч
(3 -28>
Суммируя уравнения (3.26) и (3.28) и учитывая уравнение не­
разры вности, находим:
( Е Л + Е) + -gj- [и (Ек + Е + Ф)] +
[v (Ек + Е + Ф)] +
+ - |- [ с о (£„ + £ + Ф)] = 0.
(3.29)
165
Масса
элементарного
объема
dx dy dz
равна
р dx d y dz =
P
1
= — — dx dy dp = — — dx dy d £. П роинтегрируем уравнение (3.29)
по массе в пределах призмы:
( У2 Х2 ^8
'Т П
Х2 ^8
I
+
+ 1 j 5-^-[и(£к + £ + Ф ) 1 ^ ^ +
^ Ух X i О
y t Xi О
Х2 ^2
^2 Х2
+ J J j* -fy lv (Ея + Е + Ф)] dt, d y d x -f- ^ ^ ^ [ю ( £ к + Е +
*i
Ух о
y t Xt
+ Ф)] d£ dx dy
о
= 0.
(3.30)
Выполним сначала интегрирование по £, учиты вая, что £s я в ­
ляется величиной переменной:
J - | - ( £ k + е ж = 4 г \ (Е«+
^ J - [ u ( E K + E + <S>))dl = - ^ j u ( £ K+ £ + Ф ) ^ о
о
£ + ф )]„
j - | - f i> (£„ + Е + <b)]dt = -jjf j o (£„ + £ + Ф ) ^ -
О
о
- ^ И
£ к + £ + Ф)Ь,
^
^ = ^
.
ду
^8
I IT ^
о
^
где ниж ний индекс s у квадратны х скобок означает, что величины,
стоящ ие в скобках, относятся к уровню £s. У читывая эти соотноше­
ния и условия (3.25), выполним интегрирование уравнения (3.30):
У2 *2 (
%
>8
£8
f Л и | ( £ - + £ > « + 4 1 “ <£, + £ + Ф)«С +
Ух Хх '
о
0
ts
+ - L ^ v ( E K + E + < b ) d Z - [ - ^ ( E K + E ) s + u s - ^ - ( E K + E + <b)s +
+ v»
166
(Ек + Е + Ф)в —
(Е к + Е + Ф)« | \ d x d y — 0.
П оскольку в соответствии с последним условием (3.25)
( и . ^ + » . ^ - и . ) ( £ к + £ + Ф). = - - § Ч £ н + £ + Ф).,
то вы раж ение в квадратной скобке приобретает вид
<Ь d£s
8 dt
1
d ( p sФ)
Р
dt ‘
Здесь учтено, что Ф8 от t не зависит. В результате получим
_д_
dt
( Ек + Е + ФвРв) —
(3.31)
где
Уг Х г
ф sps = -J- j j ф sPs dx dy,
Vi *1
У2 X2
E K = - j - j j J E K dt, dx dy
У2 Xt 0
представляет собой кинетическую энергию массы воздуха в объеме
параллелепипеда,
^2 Х2 ^>S
F==~gSS l E<%dxdyУх
О
энтальп ия массы воздуха в этом же объеме.
П отенциальная энергия массы воздуха в рассматриваемом объеме
будет определяться выражением
У 2 Х 2 оо
П =
У2 Х2 £ s
J ^ J gzp dz d x dy = - j - j j ^ Ф dt, d x d y =
Ух Xt 0
y x Хх 0
У2
Р__
S
^2
X2 S
j j Ф ,р8 dx dy + j ^ ^ R T dt,dx dy
—Ух Xt
Ух
Xi 0
П оскольку внутренняя энергия массы воздуха
равна
Е в в этом объеме
У2 Х2 $8
Ё в = - j - ^ J j с0Т dt, dx dy,
Ух Хх О
a cv + R = ср , то Е + Ф8р 8 = П + Е г. Таким образом, условие
(3.31) принимает вид
- | - ( 1 к + £ в + П) = 0.
(3.32)
167
Это условие означает, что сумма механической (кинетическая плюс
потенциальная) и внутренней энергии в области определения реш е­
ния системы уравнения ( 1. 1) в адиабатическом приближении с гра­
ничными .условиями (3.25) сохраняется, т. е. является и нтеграль­
ным инвариантом модели. Д л я этой модели сохраняется такж е масса
воздуха в области определения реш ения.
Интегральные свойства бароклинной модели
в a-системе координат
С помощью уравнений (1.14— 1.17) в адиабатическом варианте
без учета вязкости получим уравнения для кинетической энергии
( £ к) и энтальпии (Е). Д л я получения уравнения кинетической энер­
гии умножим уравнение (1.15) на up Sf а уравнение (1.16) — на vps
и результаты сложим. Тогда получим
+ - i- («/>,£„) + -gftvp.E») + 4 г
<3 - 3 3 >
При получении уравнения (3.33) используется уравнение (1.14).
У равнение притока тепла (1.17) в адиабатическом приближении
[дв
dt
,
‘
дв
дх
'
,
ду
дв
,
1
.
дв
до
Л
умножим на р8' и с помощью уравнения неразрывности (1.14) пред­
ставим в дивергентной форме
Гd ( p sQ) , д ( и р $ )
dt
"*■
дх
,
f
d ( v p sQ) ,
ду
"f*
д ( а р 3в)
до
~
Л/0
К—1
Умножим уравнение (3.34) на функцию Экснера 'я = (р/Р)
*
и на ср ,введем ср п под зн ак производных и учтем, что
я0 = Т,
ср Т - Е.
В результате получим уравнение для Е:
д (р 3Е )
dt
,
'
д (u p sE )
дх
'
с ( дл
= cpPsQ ( —
У читы вая,
,
,
д (v p sE ) д ( a p sE) _
'
до
ду
дл
.
дл
дл
.
. дл
,
. дл \
+ u ^ + v^- + o -^).
что
дл
.
дл
.
йл
получаем:
d (PsE)
dt
,
д (upsE )
dx
д (v p sE )д (d p sE ) =
dy
'
do
'
_
_дФ_
do
dt
*
' '
g -.
'
Суммируя уравнения (3.33) и (3.35), находим:
~ jjf [P s ( Е к +
£)] + - f a
lu Ps ( Е к +
£)] + - f y - [VPs ( E K +
E)]
+
+ -|r [»p. (£» + £)l - - J’f ( « ■§ + »| r ) - ft (■“ | r + v ) -
У читы вая, что ps/p = —дФIda, др /да = ps, получаем:
"gjT IPs (EK + £ )] + -fa [wps (EK + £ )] + -fy [VPs ( Eк + £ )] +
I
d
г.
/С
,
Г7М
do
dp
(
дФ
дФ
= — - W W - \“ P° S T +
+ * r ta P ‘
.
5Ф \
-ЗГ + a p * -5 5 ") •
(3.36)
П оскольку
_(ud —
\
d*
+
- 4
vd
dy
d ( a p sФ)
■*"
da
дх
\ -
Л / ^ (ups)
,
й
d (v p s)
Т
ду
( д (ыр«ф> I 3 {vp^
da /
j +
ф Г d (u ps)
L
- an —
^
\
d (v ps)
+
^
dy
J —
да
I
d (a p s) \
dy i "
d (dps) ~| _
_1~
dx
5a
д
ф
/ ’
( др \
v dt V да ) '
™ -1 £ - + ф Л - ( д р _ \ = _ д _ ( ф д £ - \
do
dt
dt \ do J
'
do \
dt J 9
то
~df IPs ( E K + £ )] + -f a- lu P s ( E K ~h E + Ф)] +
[ v p s ( E K + E -f- Ф)] +
+ - | - [ o f t ( £ , + £ + ®)] = —
( 3. 37)
П роинтегрируем уравнение (3.37) в пределах от х х до х 2, от у х
до у 2, от 0 до 1. И спользуя граничные условия
W\х=хх ~
V Iг/=г/1 ~ ^ |а=0 ~ 0>
(3.38)
\ У = У 21ст=1
\х= х2
находим:
Уг *2 { 1
1 I I I ~сЙ~
Ух *i I О
+ J
1
^
I ~dx ^UP S
О
[ор. (£ „ + £ + ф)] da + Ф, ^
-
^
Ф о -^ 2 -1 d x d y = 0,
(3.39)
169
где Ф8, р8, Ф0, р0 — геопотенциал и давление на уровнях а = 1
и а = 0 соответственно. И нтеграл по а от последнего члена в левой
части уравнения (3.37) равен нулю в силу условий (3.38).
П реобразуем последние два члена уравнения (3.39). П оскольку
w i
= w i W (0 r i da - w j P - W da =
0
0
0
1
=
- ФоРо) - 1
j f
- .Л
P ^дф
d aЛ~ =
Ф dPs
^ +I Ps
6
dt
l
- ф ° 1 Г - P » n r + 4 - i K T Psd°,
R = c p - c v,
0
Q
- I - J ®P, * - w ( f t <C„ r <ta +
o
o
i ~ dOg
дФ8
/q /jn\
(3 -40'
+ P ° 1 ? ----- P s ~ d T '
Последние два члена в полученном выражении равны нулю , так как
геопотенциал на верхней и ниж ней границах атмосферы не зависит
от времени. Таким образом, учиты вая, что Е = ср Т , уравнение
(3.39) после замены в нем двух последних членов с помощью вы ра­
ж ения (3.40) представляется в виде
Ф. ■
Уг х 2
\
1 уг х2
~dt 1 j I
°v^
Ух X x 0
1
*2
^ I IXt«
1
0
yx
^K Cp^
Уг
+ Ф) } d x d y d a - \ - ^ J j
o Xi yt
[vps (EK + cpT + <!>))dydxdo = 0.
(3.41)
В силу граничны х условий (3.38) второй и третий члены в (3.41)
равны нулю. Таким образом,
Уг
*2
1
j j j p s ( Ек + cvT + Ф) do d x d y = 0.
Ух X x 0
Следовательно,
Уг X2
1
f ( \ р Л Е * + cvT + Ф) da dx dy = const.
Ух x t 0
Т аким образом, сумма кинетической, потенциальной и внутрен­
ней энергии в области определения решения системы уравнений
(1.15)— (1.21) в адиабатическом приближении с граничными усло­
виями (3.38) сохраняется, т. е. является интегральны м инвариантом
модели. Если использовать условия (3.38), то можно показать, что
170
сохраняется масса (М) в пределах области интегрирования, так как
на основе уравнения неразры вности, проинтегрированного по а
в пределах от 0 до 1, можно получить:
V2 Xj
1—у2
О
j
J
p
s
d
x
d
y
=
—
j
j u p s |£=£ + j* v ps Iy J y \ dx do = 0 .
ж
Ух xx
VI
*1
о _ух
Следовательно,
дМ = 0,
6 dt
M — const.
Помимо рассмотренных инвариантов, можно построить и другие.
Д л я несжимаемой баротропной среды сущ ествует бесконечное число
инвариантов, определяемых сохранением вихря скорости. И н ва­
рианты сущ ествуют для области любой конфигурации, если поток
массы воздуха через границы отсутствует и не учитывается неадиабатичность атмосферных процессов и вязкость. Если учитывается
неадиабатичность и вязкость, то инвариантность наруш ается. Зам ена
дифференциальных уравнений моделей конечно-разностными так ж е
может наруш ать интегральны е свойства.
В ряде исследований показано, что конечно-разностные схемы,
обладаю щ ие свойством сохранения интегральны х инвариантов и
называемые консервативными, оказы ваю тся более устойчивыми в вичислительном отношении. Во всяком случае при использовании кон­
сервативны х схем представляется возможность контролировать вы­
числительную устойчивость процесса численного интегрирования
уравнений с помощью инвариантов.
На практике модели строятся при предполож ениях, более общих,
чем те, которые использовались при получении инвариантов. В част­
ности, могут ставится другие граничны е условия, учиты ваться не­
адиабатичность и вязкость. О днако и для таких моделей контроль
вычислений с помощью инвариантов полезен. Быстрый рост или
уменьшение значений инвариантов в процессе численного интегри­
рования свидетельствует о неудовлетворительности выбранной
схемы интегрирования.
4.4. Предотвращение и подавление
нелинейной неустойчивости
При рассмотрении природы нелинейной неустойчивости в главе 2
в уравнении (8.34) составляю щ ая скорости и (х , t ) п редставлялась
одним волновым компонентом. В действительности для представ­
лен и я любой метеорологической величины необходимо использо­
вать сумму достаточно большого числа волновых компонент. На к а ж ­
дую волновую компоненту приходится определенная эн ер ги я .
Спектральный анализ метеорологических полей позволяет оце­
нить распределение энергии по волновым компонентам. А нализ
показы вает, что эти распределения сравнительно мало изменяю тся
171
во времени и что на короткие волны приходится весьма незначитель­
ная доля общей энергии. Это свидетельствует о том, что в атмосфере
преобладаю щего притока энергии к коротким волнам не наблюдается»
У казанное обстоятельство, наряду с интегральными свойствами
моделей, учитывается при построении конечно-разностных схем,
используемых для интегрирования нелинейных уравнений.
4 .4 .1 . Предотвращение нелинейной неустойчивости
В работах А ракавы намечен общий подход к построению конечно-разностных схем, обеспечивающих сохранение интегральны х
свойств и предотвращ аю щ их ложный приток энергии к коротким
волнам за счет ошибок лож ного представления, разреш аемы х на
сетках при L > 2Ах. С помощью таких схем предотвращ ается р аз­
витие нелинейной неустойчивости при численном интегрировании
нелинейных уравнений.
Рассмотрим этот вопрос на примере бездивергентной баротроп­
ной модели, для которой при I = const
<4Л>
----- ------------------якобиан.
где \|з — функция тока, (V2\|>, ф) =
На боковых границах будем полагать г|э = const, что означает отсут­
ствие потока через границы. В прямоугольной области, длина сторон
которой составляет L x и L yj представим поле функции тока двойным
рядом Ф урье, п олагая, что функция тока периодична по х и обра­
щ ается в нуль при у — О, L y :
j 2
♦и . j.
■
т= 0 /1=1
(4-2)
где атпу Ьтп — коэффициенты, зависящ ие от времени. П одставляя
р я д (4.2) в правую часть уравнения (4.1), получаем:
оо
оо
(V*. *. ♦) =т2= 0 2п= 1 {(“
-*slnТГ - Ь""cosТГ-)sln *хху
*
. . Г/
\ 2 , ( яп\2-| Чпт Л V V Г /
.
XL(— ) +Ur) J— }22 L (“~ C0S— +
' m=Q n = 1
oo
+
.
u
2nm x \
22 !_(>•~~цг~+
oo
V? X? Г/
ш— )—cos- j _ j -
nn
n n y “I
m = 0 n=l
oo
. -
+ bmn Sin
2 nm x \
Lx
nn
2nm x
,
2nm x
.
oo
Г(
n n y “I V ?
J x - ^ " cos ~L^~J
Lv
(Umn s in —Ц.
^
m = 0 n= 1
.
,
+ bmn cos
2nm x \
X
172
/
2nm
.
n n y “]
— sin - f -
J
.
/A оч
(4.3)
В результате перемнож ения рядов в правой части вы раж ения
(4.3) появятся произведения синусов и косинусов с различными
волновыми числами. Рассмотрим результаты такого перемнож ения
членов с волновыми числами:
^
__
2л
ftli
J
П оскольку
__
я
у
^
7
>
sin a sin |5 =
__
2л
1
^ 2
_
/о
>
2л
^2
—
?
Ly
•
[cos (а — |5) — cos (а + Р) L
cos а X
X cos Р = —- [cos (а — Р) + cos (а + |5) ], sin а cos |5 =
[sin х
X (а — Р) + sin (а + р)],
то
в
результате
перемножения
членов рядов (4.3) с синусами и косинусами, в аргументе которых
фигурирую т т хх , т 2х ,
п 2у , получатся синусы и косинусы, со­
держ ащ ие в аргументах четыре пары волновых чисел:
JTl i - f - m 2 ,
/!i
- f - /^ 2 >
^ 1
---- ^ 2 »
^1
m i -- m 2>
m i + Ш2> ^1 ---- ^ 2i
^2»
--- n2.
Таким образом, в результате нелинейного взаимодействия волн
с волновыми числами т ъ
и т 2, п2 появляю тся новые четыре пары
волн. Среди появляю щ ихся в результате нелинейного взаимодей­
ствия волн могут быть и такие, которых не было в разлож ении
(4.2). На вновь появляю щ иеся волны приходится определенная
доля энергии, которая переносится от волн, представленных в р а з­
ложении (4.2). Следовательно, можно считать, что нелинейный
член уравнения (4.1) описывает перенос энергии между волнами
с различными волновыми числами. Члены ряда (4.2) являю тся соб­
ственными ф ункциями уравнения Гельмгольца V2^ m п + Кп ntym п =
= 0:
.
/
___„
2пт х . и
.
Фтп, 71 — ( йтп COS
j \- Ьтп Sin
\
их
2л т х \
.
ппу
г
1 Sin j
их /
ь г/
,
/ 2 л т \ 2 . ( тспу \ 2
«2
Где
= (—
) + (тг)
представляю т собой собственные числа (обобщенные волновые числа).
В этом легко убедиться, если ряд (4.2) продифференцировать
дваж ды по а: и по y v
оо
2лтх
X? X? (
2л mx . i2л тх \ / л л \ 2 .
2 2
(<tm n C °s —
+ bm n s m s
л ny
i
дх*
V
~
,
d2\b
dy 2
= “
оо
22 ( )
+6».(-Ir) sin— Js,n-
d2ib
V
m --0 n = 1
u
Г
/ 2яm \2
\_ат п
( 2яm \ 2
.
Lx
2 n m x ~\
C° S
.
Lx
+
,
я ny
n
m=0 /г=1
173
а затем слож ить результаты :
*
♦
-
=
-
2
2
+
оо
X
s l n
т
Г
)
s i "
-
i
?
х
оо
[(^)!+(#*] — 2 2 [(^У+(^)г- ч*
Г / 2лт \ 2
L \
^;с
/ _ТГ« \ 2Н
/
Ч
У J
т = 0 я=1
С ледовательно, для ф иксированных т и п имеем Y~^mn + Чпп^пт =
= 0. В рассматриваемом случае средняя по прямоугольной области
кинетическая энергия £ к и средняя энстрофия Q2 сохраняю тся во
времени:
^ = im = i[(-£ )!+d),] =
2 2 т-)!+(22 —
ду
_ \
I
\ ~
т = 0 п= 1
~
дх
/\ т = 0
а>=(-1-- -S- У==( 2 2
\ т = 0 /г— 1
оо
Хтп (Е к)тп —
—
т = 0 /г=1
где (
) =
ОО
L L
^ J
х у о
Xmritymn — X ф
— COIlst,
т = 0 я=1
(
) dx dy, X не зависит от х и у.
о
При получении этих выражений использую тся соотношение
У2ф = —г|Л2, свойство ортогональности синусов и косинусов, а
так ж е условия на боковых границах области (ф = const). П оскольку
Е к и Q2 сохраняю тся, то сохраняется и их отношение: Q2/ Е к =
= 2Х2 = const, где X — среднее по спектру волновое число.
Таким образом, среднее волновое число такж е сохраняется,
т. е. не зависит от времени. П оскольку Е КХ2 =
ОО
оо
S
S ^~тп (Ел)тп =
т= 0 п=\
= const, то чем больше Хтп, тем меньше (Ек)тп. С ледовательно,
приток энергии к коротким волнам более ограничен, чем приток
к длинным волнам, так как даж е небольшое увеличение значений
{Ек)тПу умножаемых на большие значения У?тп, привело бы к сущ е­
ственному наруш ению постоянства суммы
оо
оо
£
£ Хтп {Ек)тп.
т —0 п — \
174
у2
ГБ
Это означает, что систематический перенос энергии в сторону ко­
ротких волн (больших волновых чисел) невозможен. А ракава пер­
вым п оказал, что разностные схемы могут быть построены так, чтобы
в процессе численного интегрирования сохранялись средние по
области интегрирования значения кинетической энергии и энстрофии. При выполнении этих условий предотвращ ается ложный при­
ток энергии к коротким волнам, а следовательно, не будут иметь
место ошибки ложного представления и не будет развиваться не­
устойчивость.
Конечно-разностные схемы, используемые для интегрирования
уравнений на длительные периоды времени, целесообразно строить
с учетом этих условий. Д л я моделей краткосрочного прогноза учет
этих условий не обязателен.
Учитывая это обстоятельство, а так ж е громоздкость вы кладок,
мы не будем обсуж дать построение конечно-разностных схем для
полных уравнений, сохраняю щ их энстрофию. Тем, кто ж елает озна­
комиться с этим вопросом, рекомендуем обратиться к оригинальны м
работам, например А. А ракавы , В. Р. Лэмба.*
В дальнейш ем будут рассмотрены лиш ь общие вопросы, св яза н ­
ные с построением консервативных конечно-разностных схем для
полных уравнений.
Предотвращ ение нелинейной неустойчивости может быть достиг­
нуто за счет использования лагран ж ева описания адвекции. В этом
случае изменения метеовеличин за счет адвекции определяю тся как
разности значений в начале и в конце траекторий частиц, рассчиты ­
ваемых для интервалов времени, равных ш агу по времен^.
4 .4 .2 . Подавление нелинейной неустойчивости
Р азвитие нелинейной неустойчивости при интегрировании пол­
ных уравнений может контролироваться с помощью периодически
вычисляемых интегральны х инвариантов и подавляться за счет
фильтрации коротких волн. Д л я фильтрации коротких волн могут
использоваться различны е приемы. Один из них состоит в том, что
поля метеовеличин, рассчитываемые в процессе интегрирования
уравнений, через определенное число шагов по времени разлагаю тся
в ряды Ф урье, из которых исклю чаю тся члены с большими волно­
выми числами. При этом стремятся исклю чить ошибки лож ного
представления, отфильтровы вая волны длиной в два и три шага
сетки.
В ц елях предотвращ ения роста вычислительных мод (для схем
центральны х разностей) и нелинейной неустойчивости применяю тся
пространственные и временные операторы сглаж ивания и ф иль­
трации.
* Аракава А ., Лэмб В. Р . Вычислительные схемы для основных динамических
процессов в глобальной циркуляционной модели Калифорнийского университета
в Л ос-А ндж елесе. — В кн.: Модели общей циркуляции атмосферы/Пер. с англ. —
Л .: Гидрометеоиздат, 1981.
175
Пространственный фильтр,
следующий вид:
п : ? = п . ,• -
предложенный
р [ ( 4 ^ )4
Р.
Ш апиро,
имеет
f a + { -Ч ~ У т * и. / ] -
где
(&ХУ f и 7 = (Дд.)4 (/1- 2, j — 4 fi_h j +
( f y / ) 4 / i, J —
( Д у ) 4 ( / г, 7 -2 “
4 / f>
6 f i9j — 4 f i+b j -f- f i+2t j),
-f* 6 / j , j — 4 / j t J+1 +
f i , 7+ 2)»
P — эмпирический коэффициент.
Д л я подавления вычислительных мод, возникаю щ их при исполь­
зовании центральны х разностей по времени, Робером и Асселином
предложен временной (частотный) фильтр вида
f l i = к / + 0,5v ( f t ) - 2/ Ь + t f } ) 9
где v — параметр ф ильтра, значение которого обычно принимается
равным 0,05, s = t / A t .
Вклю чение в уравнения диссипативных (вязких) членов и исполь­
зование конечно-разностных схем, обладающ их свойством вычисли­
тельной вязкости, или схем, сглаж иваю щ их короткие волны (типа
схемы Л ак са— Вендрофа), такж е способствуют уменьшению ам пли­
туд коротких волн, а следовательно, подавлению нелинейной не­
устойчивости. Вклю чение в уравнения членов, описывающ их в я з­
кость по линейным и нелинейным схемам, наш ло ш ирокое прим енение.
О днако линейные схемы оказы ваю тся недостаточно и збиратель­
ными в смысле подавления различны х волн. В частности, примене­
ние линейных схем приводит не только к подавлению коротких волн,
но и к затуханию метеорологически значимых волн, что не соответ­
ствует реальным процессам, а поэтому вредно. Б олее предпочтитель­
ными являю тся нелинейные схемы вязкости, включаемые в соответ­
ствующие уравнения неявно. Однако ф ильтрация и подавление
коротких волн, достигаемые за счет искусственной вязкости, при­
водят к определенным искаж ениям в распределении энергии по
спектру атмосферных возмущений, в том числе и для длинны х волн,
что не всегда приемлемо. Поэтому более предпочтительными следует
признать такие схемы, с помощью которых не подавлялись бы и скус­
ственно короткие волны, а обеспечивалось предотвращ ение нелиней­
ной неустойчивости и ложный приток энергии к коротким волнам.
К таким схемам относятся схемы, сохраняю щ ие энергию и энстрофию. Этим требованиям, в первую очередь, долж ны отвечать схемы,
используемые для интегрирования уравнений на длительные пе­
риоды времени. Д л я моделей краткосрочного прогноза погоды вы ­
полнение этих требований не столь обязательно.
176
4 .4 .3 . Конечно-разностная аппроксимация пространственных
производных, удовлетворяющая интегральным свойствам
Рассмотрим возможности построения схем, сохраняю щ их инте­
гральны е свойства, на примере одномерного нелинейного уравнения
адвекции
ди
/л л\
- д Г = - и 1)Г
ди
<4 -4)
и соответствующего ему уравнения для кинетической энергии
мерного движ ения и 2!2
д
( и2 \
о ди
1
ди3
одно­
/л сч
~дГ { — ) = ~ и* 1 F = — Т 1 Г
(4 ’5>
в области определения реш ения на оси х от 0 до L. И нтегрируя
уравнение (4.5) по х в пределах от 0 до L, получаем:
т кО- т - ) * —
t
W -"® -
Е сли поток на границах отсутствует, т. е. иь = щ = 0, то
о
С ледовательно, кинетическая энергия сохраняется.
Рассмотрим различны е аппроксимации производных по х в у р ав ­
нениях (4.4) и (4.5), сохраняя дифференцирование по t. Введем
одномерную дискретную сетку точек i = х ! А х (i = 0,1, ..., /). З ап и ­
шем на этой сетке уравнение (4.5) и выполним суммирование по i
в пределах от i = 0 до i = / , используя д л я производных по х
н ап равлен ны е разности вперед:
’o f 2 ( “Т") == 3 Дл;
i=0
+ (М2 — ил) + • • • + (*4+1
иЬ +
+ . . . + (и) _
Если использовать граничны е условия и0 = Uj = 0, то п равая часть
полученного вы раж ения будет равна нулю , так как промеж уточные
значения и в правой части сокращ аю тся. Таким образом, эта д вух­
точечная конечно-разностная аппроксим ация сохран яет кинетиче­
ск у ю энергию.
Рассмотрим уравнение (4.5) в форме
д
( и2 \
о ди
1Г (— ) = - “ 1712 п . Н . Б е л о в и д р .
177
Воспользуемся для аппроксимации производной по х цен траль­
ной разностью и просуммируем результаты по i в пределах от i = I
до i = I — 1:
_д_
dt
/-1
2
1
\~ 2 ~ )
+ uf
=
г
-------2 Ал;
22
U<1
' ' ' ~Ь
— Wt_i) + • • • + Ui—i (U/ — ^ / —2)]*
Здесь при u0 — Uj = 0 правая часть не обращ ается в нуль. Следо­
вательно, при использовании трехточечной конечно-разностной ап ­
проксимации интегральное свойство наруш ается.
Представим уравнение (4.4) в дифференциально-разностной
форме:
uUi _
~дГ =
ui
^
T ax *Ui+1 ~ Ui~1''
где и* = 1/3 (a;_i + Ui + u,i+1). У множ ая это уравнение на и г
и суммируя результат по i в пределах от i = 1 до i = / — 1, н а­
ходим:
i= 1
U2U1 — U2U\) +
• •• +
-f- ( u j — \ u 2j +
{ U i U t+1 -f" U i U i - 1-1 —
U 2j — \ U j —
U i U i — 1 — U i U i — 1)
-f-
U2
j — \ U j — 2 — U i — \U2j — 2j \ *
При и0 = щ = 0 сумма в правой части равна нулю, т. е. схема
обеспечивает сохранение кинетической энергии. Последний пример
показывает, что, применяя осреднение, можно построить конечно­
разностные схемы с центральными разностями, удовлетворяю щ ие
интегральны м свойствам.
Из рассмотренных примеров видно, что конечно-разностные
аппроксимации производных по пространству удовлетворяю т и н ­
тегральным свойствам (в данном случае сохраняю т кинетическую
энергию), если при суммировании конечно-разностных операторов
по области определения реш ения получаются вы раж ения, содерж а­
щие ut на границах области.
4 .4 .4 . Потоковая форма уравнений. Бокс-метод
При рассмотрении интегральных свойств было показано, что
основным способом, позволяющим доказать наличие инвариантов,
является запись уравнений в дивергентной форме. В этом случае
интегралы по области определения решений зависят только от гр а­
ничных условий. Это вполне естественно, так как в соответствии
с теоремой О строградского— Гаусса имеем:
178
д л я трехмерного потока
J [ | div3 f C d v = J j C n/d s ,
у *
s
д ля двумерного потока
j J di v2f C d S = (j) Cnf d l ,
где 1/ — объем; S — площ адь поверхности; L — контур; I — эле­
мент контура; С — вектор скорости (трехмерный или двумерный);
Сп — норм альная составляю щ ая вектора скорости С к поверх­
ности S, ограничиваю щ ей объем 1/, или к контуру L , стягиваю щ ему
поверхность S; f — лю бая ск ал яр н ая ф ункция; div3, div2 — трех­
мерный и двумерный оператор дивергенции.
Если на поверхности S или на контуре L, отождествляемы х
с границами областей определения реш ений, Сп равны нулю , то
ск ал яр н ы е
потоки
J J Cnf ds = 0 , (j) Cnf d l = 0 , а следовательно,
L
s
f J J div3 /С dv = 0, J J div2 fC ds = 0.
v
s
Если локальны е изменения по времени функции f (df /dt) опреде­
ляю тся div С /, то интеграл по области определения реш ений от
d f /d t равен нулю :
j* / dv = 0,
f ds = 0. Следовательно,
s
величины Ш f d v ' И f ds сохраняю тся. Если под / понимается
v‘
s
энерги я или энстрофия, то они будут сохраняться. П редставим
в прогностических уравн ен иях адвективны е члены в дивергентной
форме, а затем выразим дивергенцию в области определения
реш ений (в объеме или на поверхности) через потоки на границах.
Тогда при периодических граничны х условиях или при равенстве
нулю нормальны х к границам составляю щ их скоростей и н теграл ь­
ные по области определения локальны е изменения соответствующ их
метеовеличин, обусловленные адвекцией, будут равны нулю.
Запи сав прогностические уравнения в дивергентной форме, а за ­
тем преобразовав их с помощью теоремы О строградского— Гаусса,
можно получить уравнения, в которых фигурирую т скалярн ы е
потоки через границы. П олученные в результате таких преобразо­
ваний уравнения называю тся уравнениями в потоковой форме. П о­
строение конечно-разностных схем, обеспечивающих сохранение ин­
тегральны х свойств, для уравнений в потоковой форме обычно осу­
щ ествляется с помощью бокс-метода.
П оясним применение бокс-метода для построения конечно-разностной схемы на примере уравнения
3F
dt
.
1
dF
дх
.
dF .
ду 1
dF
д£
~г:— f- и —х------\- v —^-\- о) -■
12*
Л
= 0.
179
Это уравнение с помощью уравнения неразрывности
к дивергентной форме
dF
dt
d(uF ) d(vF )
дх
+
ду
^
д (соF)
1
_
л
dl
приводится
U’
или
- g l + d iv C F = 0,
(4.6)
где F — ск ал яр н ая ф ункция.
Будем рассматривать реш ение уравнения (4.6) в области, пред­
ставляю щ ей собой квазипрям оугольны й параллелепипед, ребра ко­
торого ориентированы по направлению координатных осей. П ред­
положим, что длина ребер по направлению осей х н у составляет
х 2 — х г и у 2 — у г соответственно, а по высоте параллелепипед про­
стирается от верхней границы атмосферы (£ = 0) до нижней границы
атмосферы, отождествляемой с уровнем £ = 1. На гран ях п ар ал л е­
лепипеда будем использовать граничные условия вида
и \Х=Х1 = v \У=У1 = со |s=o = о.
\х = х 2
Iу = у 2
(4.7)
|£ = 1
Если проинтегрировать уравнение (4.6) по объему призмы, то в
граничны х
условий
F dv = 0,
(4.7)
т. е.
силу
F = const,
у
г,це ^ = “р “ J J j* F dv; V — объем призмы.
Таким образом, дивергентная форма уравнения (4.6) и граничны е
условия (4.7), означающ ие отсутствие потоков на гр ан ях п ар ал л е­
лепипеда, обеспечивают сохранение скалярн ой величины F в объ­
еме V.
Построим для уравнения (4.6) с граничными условиями (4.7)
конечно-разностную схему, обладающ ую таким ж е интегральны м
свойством.
В объеме V построим пространственную сетку точек, узлы кото­
рой обозначим индексами i = х / А х , / = y l A y , k = £/Д£. В у зл ах
с индексами / = 0,1, ..., J; k = 0,1, ..., К при i = 0 , 1; i = 0,1, ..., / ;
k = 0,1, ..., К при j = 0, J; i = 0,1, ..., / ; j = 0,1, ..., J при k =
= 0 , /(, которые леж ат на гр ан ях параллелепипеда, ограничиваю ­
щих объем 1/, ставятся граничны е условия (4.7). В объеме V построим
пространственные ячейки (боксы), объем которых равен A V =
= А* Ау А £. Центры этих ячеек располагаю тся в точках с дробными
индексами i + V2, / + V2, k + V2.
П роинтегрируем уравнение (4.6) по объему ДУ:
AV
AV
С огласно теореме О строградского— Гаусса
j j j d i v C / W = j J C nF ds,
AV
180
AS
где Сп — нормальны е составляю щ ие вектора скорости ветра С ( иу
v , со) к граням ячейки (бокса); AS — площ адь поверхности, ограни­
чивающей объем AV. П оскольку
------------ Д У -----------divCfW «(divCf)Ay =
(div CF) i+1/2, 1+1/2, кн п Л*
Д£,
ДУ
J J CnF ds = — [(uytFyt)i+ 1, /+1/2, *+1/2 — {uy^Fy^)it /+1/2, л+1/2] A y A £ -fAS
+ [(y<F *fy+i/2, /+1. *+1/2 — ( y * ^ ) t + i / 2, i, Л+1/2] Ax A£ +
+ [(co*£F^)i+ i/2f /+ 1/2, *+1 — (<&xyj F xy) t + 1/2, /+ 1/2, *] Ax Ay,
TO
(div CF)*+i/2, y+i/2, *+1/2 =
[ ( ^ f ^ );+ i, y + 1 / 2 t Л+1/2 —
— (uytFvt)tt /+1/2, л+1/2] + - ^ [ ( 0 * ^ * t y + i / 2 f /+1, л+1/2 —
— (vx^Fx^)i^\/ 2, j , Л+1/2] +
— ( a xyF xy) i + l / 2, /+1/2, *] +
[(C0^F^) i+ i/2, /+1/2, *+1
—
[6* ( a ^ F * ) + 6„ (*«F*S) +
(©**F**)],+ 1/2. /+1/2, *+1/2,
(4 .8)
где вя (м0С/ЭД), 6y (y*£F*£), 6g (c o ^ F ^ ) — разности потоков через
противоположные грани ячейки А У. С учетом этих преобразований
уравнение (4.6) для центров ячеек A V , т. е. для точек с индексами
* + ги> 1 + ги> k + ги> записы вается в виде
f x y i = _ [§х(^уф 1 ) + 8У(vxt FxZ) + бс (<dxyFxy)\,
(4.9)
где
FX
i + l / 2, /+ 1/2, *+1/2 = -g-
+
F i + h j, ft +
/ , * + f t , /+ 1, * + f t , /. Л+Д + F i t /+ 1, *+ i +
f г+1, 7+1, k + f z+1, 7. ft+1 + f 1+1» 7+1, ft+l)*
Если просуммировать конечно-разностное уравнение (4.9) по
всей области определения реш ения, т. е. по всему объему 1/, то его
правая часть обратится в н уль, так как потоки через внутренние
грани, разделяю щ ие две соседние ячейки, равны по величине, но
различаю тся по.знаку и, следовательно, в сумме равны нулю , а по­
токи через внешние грани равны нулю в силу граничны х условий.
Таким образом, суммарное по области определения реш ения зн а­
чение 2j F u l f i l сохраняется, т. е. конечно-разностная схема облаi, j, *
дает интегральны м свойством дифференциального уравнения (4.6)
К онечно-разностная схема (4.9) позволяет осущ ествлять числен­
ное интегрирование уравнения (4.6) на шахматной сетке. В этом
случае ф ункция F будет вы числяться то в у зл ах с дробными индек-
181
сами, то в у злах с целыми индексами. Разум еется, при этом одно­
временно долж ны интегрироваться уравн ен ия, позволяю щ ие прогно­
зировать составляю щ ие скорости и , v f со.
Рассмотренный подход к построению конечно-разностны х схем,
сохраняю щ их интегральны е свойства, может быть применен для
уравнений в других системах координат.
4.5. Анализ конечно-разностных схем
для уравнений,
описывающих внешние гравитационные
и инерционно-гравитационные волны
Выше были рассмотрены вопросы, связанны е с конечно-разностной аппроксимацией производных и построением конечно-разност­
ных схем для уравнения адвекции.
Т ак как полные уравнения описывают не только низкочастот­
ные, но и быстрые волновые процессы, то конечно-разностны е схемы
д л я этих уравнений долж ны правильно воспроизводить, н аряд у
с крупномасш табными (синоптическими) процессами, и волновые
процессы более мелкого масш таба, в том числе гравитационны е
и инерционно-гравитационны е волны. Эта волны возбуж даю тся
при локальны х наруш ениях квазигеострофического процесса, а р ас­
сеяние их в пространстве приводит к восстановлению квази гео­
строфического процесса. Восстановление квазигеострофического про­
цесса назы вается геострофическим приспособлением или ад ап та­
цией полей.
Р азвитие во времени квазигеострофических процессов и про­
цессов геострофического приспособления происходит взаи м освя­
зано, так как инерционно-гравитационны е волны возбуж даю тся
не только вследствие влияни я орографии и неадиабатичности, но и
за счет нелинейности квазигеострофического процесса. О днако в силу
больш ой сложности этих процессов исследовать их во взаим освязи
затруднительно. Вследствие этого при разработке конечно-разност­
ных схем приходится опираться на результаты исследований к а ж ­
дого процесса в отдельности, учиты вая их основные особенности.
К вазигеострофические процессы адвекции описываются нелинейными
членами уравнений. Поэтому при разработке конечно-разностны х
схем д ля полных уравнений в ц елях правильного описания процес­
сов адвекции основное внимание уделяется предотвращ ению нели­
нейной неустойчивости. Что касается процессов геострофического
приспособления, то эти процессы могут быть в основных чертах
описаны с помощью линейны х уравнений (линейных членов у р ав ­
нений). При этом необходимо учитывать большие скорости распро­
странени я гравитационны х и инерционно-гравитационны х волк, что
сущ ественно затрудн яет построение устойчивых конечно-разностны х
схем, которые были бы одновременно пригодны для воспроизведения
медленных процессов адвекции и быстро протекаю щ их процессов
геострофического приспособления.
182
Теория адаптации полей давления и ветра была р азр аб о тан а
А. М. Обуховым, И. А. Кибелем, А. С. Мониным и др. К онечно­
разностны е схемы для уравнений адаптации исследовались Г. И. М ар­
чуком, Виннингофом, М езингером, А ракавой и др.
Виннингоф, исследуя процесс геострофического приспособления
на основе численного моделирования, п оказал, что точность воспро­
изведения этого процесса в значительной мере зависит от того,
каким образом размещены переменные в узл ах сеток. В дальнейш ем
эти исследования были продолжены в работах А ракавы и Л эм ба,
М езингера и А ракавы и др.
Приведем некоторые результаты этих исследований, сосредото­
чив внимание на численных реш ениях для скоростей инерционно­
гравитационны х волн в зависимости от разм ещ ения переменных на
сетках.
Отличия значений скоростей инерционно-гравитационны х волн,
полученных при использовании различны х сеток, от точных х а р а к ­
теризую т качество воспроизведения процесса геострофического при­
способления.
4 .5 .1 . Анализ конечно-разностны х схем для уравнений,
описываю щ их внеш ние гравитационны е волны
Рассмотрим систему двух одномерных линейны х уравнений:
ды
dt
^
1
j j ди
дх
+и^
дФ
дх 9
=~*Ж ’
<5Л>
где U — скорость адвекции; Ф — средний геопотенциал (прини­
маются постоянными).
Система уравнений (5.1) представляет собой систему ли н еари зи ­
рованны х уравнений мелкой воды, в которой не учитываю тся дви­
ж ения вдоль оси у
и кориолисовы ускорен ия. Эти уравнения описы­
ваю т
поведение внешних гравитационны х волн, точное реш ение
которых относительно фазовой скорости имеет вид
Сф = и ± Ф 2 .
Явную конечно-разностную схему для уравнений (5.1) запиш ем
с помощью • центральны х разностей на обычной (нерасш атанной)
сетке, в каж дом узле которой п = ^
заданы U и Ф:
Подставим в конечно-разностны е уравнения (5.2) волновые реш ения
U _
ф _
(тп Ах —as A t ) ^
(тп Ах —os A t
где и, Ф — амплитуды; т = 2п / Ь х — волновое число; L x — длина
волны; о = 2л,/Т — частота; Т — период колебаний. В результате
получим
;
"
(
^
+и
l ) =■о,
+ а (.^
+ и т
( ф ’Т / * ) + 4 (
т
2- ) “ О-
Р -З)
О днородная система линейны х уравнений (5.3) имеет нетривиальное
(ненулевое) реш ение, если ее определитель равен нулю . Р аск р ы в ая
определитель системы (5.3) и п риравнивая его к нулю , получаем:
sin a At =
а =
(U ± Ф 1/2) sin пг Дх,
(U ± Ф 1/2) sin m А х j .
arcsin
Ч астота о будет вещественной, если вы полняется условие
чивости:
устой­
sin m А х ^ U ± Ф 1/2)~4 ^г| ^
П оскольку s i n m A x ^ l , то д ля устойчивости требуется, чтобы
с ( A t / Ах)
1, где С = U ± Ф1/2 — скорость внеш них грави тац и ­
онны х волн.
Построим конечно-разностны е аналоги уравнений (5.1) на ш ах­
матной (расш атанной) одномерной сетке, представленной на рис. 4.1.
и
'
Ф
и
Ф
и
Ф
1C
71-1
71
71-1-1
71+2
71+3
Ах
I Ах
-J—---------i.------ 1------- 1_____ *____ I—
71-3
71-2
X
2
Рис. 4.1. Расшатанная сетка.
П ервое уравнение запиш ем д ля точки п + 1, а второе — д л я
точки /г, т. е. для точек, где заданы значения и и Ф : В результате
получим
,,s + l
un+ 1
f .s—1
u n+ 1
s
ns
,
JJ
/1+3
u n —1
,
d)S
/г+ 2
(j)S
n
Подставив в у равн ен ия (5.4) волновы е реш ения и выполнив три го­
нометрические п реобразования, находим:
sin a At =
(U cos т А х ± Ф 1/2) sin т ^ х- ,
а = —j - arcsin ^-—7 ((/ cos т А х ± Ф 1/2) sin
•
У словие устойчивости имеет вид
(U cos т А х ± ф 1/2) ^ г | < Т ’
^sin
т. е. С (At jAx) < ; 1/2, где С = U cos m Д х + Ф1/2 — скорость внеш ­
них гравитационны х волн.
Т аким образом, конечно-разностная схема на расш атанной сетке
д л я уравнений (5.1) будет устойчивой, если при интегрировании
использовать ш аг по времени, примерно в два р аза меньший, чем
в конечно-разностной схеме на обычной сетке. Следовательно, д л я
реализации схемы на основе конечно-разностного представления
уравнений на ш ахматной сетке требуется примерно в два р аза больш е
вычислительного времени.
Оценим фазовые скорости численных решений Сф = а /m , исполь­
зу я полученные вы раж ения для а. Д л я обычной сетки (Л) имеем:
arcsin (и ± Ф1/2) Sin /п Д х ] ;
Сф =
д л я расш атанной сетки (В)
Сф =
(U cos m Дх ± Ф 1/2) sin
arcsin
И стинная ф азовая скорость
= U ± Ф1/2. П оскольку
sin т А х
т Ах
описывается
sin т Ах/2
т Ах/2
•
выраж ением
.
’
то ф азовая скорость гравитационны х волн на расш атанной сетке
описывается точнее, чем на обычной. Это свойство расш атанны х
сеток имеет важ ное значение с точки зрен и я воспроизведения про­
цесса геострофического приспособления.
4 .5 .2 . Точное решение уравнений адаптации модели мелкой воды.
Дифференциально-разностные уравнения адаптации
Д л я исследования инерционно-гравитационны х волн восполь­
зуем ся системой линеаризированны х уравнений мелкой воды, опи­
сываю щих адаптацию метеорологических полей:
ди
дФ
. t
Ж ----- -ЪГ + Ы-
dv
дФ
4
дФ
/ ди
ТГ = ~ ф Ы
.
dv \
/Е-
+ - й ) ’ <55>
где Ф — среднее значение геопотенциала (считается постоянным).
185
У равнениям (5.5) удовлетворяю т волновые реш ения
ф = фе£ (miX+mty—ot)^
(5 .6 )
где ф и ф — амплитуды:
и
и
V
ф =
V
ф =
ф
ф
<т = 2 п / Т — частота; Т — период колебаний; т 1 = 2п / Ь ХУ пг2 =
= 2тс/Ьу — волновые числа; L x, L y — проекции волны на оси х и у.
П одставляя волновые реш ения (5.6) в уравнения (5.5) и сокращ ая
резу л ьтат на el
получаем:
—o u i = — m jO i + l v ,
— o v i — — m2Ф /— lu,
—а ф = — ф (miu + m 2v).
Реш ения полученных уравнений д ля частоты (а), фазовой (Сф)
и групповой (Сг) скоростей имеют вид
о « - Ф *t + p. с ф= - г - - ± ] / ф + ^ .
c, = 5 i = i
(5.7)
где пг2 = т\ + т\. Эти реш ения будем назы вать точными.
Ч исленное реш ение уравнений (5.5) будем строить на сетках,
представленных на рис. 4.2.
в
1
Ф
/
и ,ц ф
и 1) Ф
j
' '
ф
&-а
и,ь,ф
и,У,Ф
L
и
-V
Ф
-V
Ф и1
u ,v
ф
ф
ф
L+1
Ф
1
ф
и ,ь
и,и,Ф
V.
1
Ф
u ,v
u ,v
и,У,Ф
ф
ф
ф
J i-1
-V
V
Ф
ф
и
J-*L-J ^
L+f
и
в
?>
•
^L
сН
Е
ф
V
J+1
Ф
V
1 """
г
-и
ф I)1
-и
Ф V4.
-и
-и
Ф
V
Ф
u.v
Ф
ф
И/а
Ф
<г\
V
.. __1____
\
it
Vz
ф
&
Рис. 4.2. Сетки точек, используемые для решения уравнений (5.5) ( d = Ах =
186
Ау ) .
С начала исследуем свойства решений, обусловленные примене­
нием конечных разностей по пространству. В этом случае для каж дой
сетки уравнения (5.5) записы ваю тся в дифф еренциально-разностном
(полудискретном) виде в тех точках, где размещены соответствую­
щие переменные, с сохранением производных по времени, а произ­
водные по х и у аппроксимирую тся центральны ми разностями:
ж =
+ lv' ж = ~ ь^ у~ 1и' ж =
+ м*);
(5.8)
Ж
С)
= - e * ^ + lv ’
W = ~ 8»®х ~ 1и’
= — бяФ + & » ,
= - 8 уФ — / « Ч
Ж
=
~
^
+ б» ^ );
(5.9)
= - Ф ( Ь хи + ^ у ,
(5.10)
£>) - ^ = — Ь & у +
= — ЬуФ*у— Ы*у, ^
= — Ф { b j i x« + б „ ^ ) ;
(5.11)
£) ж
=
i f = - ^ ф “ /м’
Ж
=
<6*м + V ) (5.12)
4 ,5 .3 . Анализ свойств решений одномерных уравнений
адаптации в полудискретной форме
С начала рассмотрим одномерный случай, когда и , и, Ф не за ­
висят от у . В этом случае реш ается система уравнений
а/~
ди
дФ
4
dv
t
Ж ~~
дФ
'
-г- dtf *
Ж ~ ~
Ж ’
(5-13)
10Ч
Этим уравнениям удовлетворяю т волновые реш ения
и = ие*
v = vel (mi х ~ Gt\
Ф = Фе1 (mi х ~ atK
Д л я дискретны х значений аргумента п =
(5.14)-
эти реш ения пред­
ставляю тся в виде
ф е 1 ( mnd- ot ) ^
(5 Щ
где
А х = dj т = т х. Точное реш ение системы уравнений
д ля частоты имеет вид
(5.13)
Un ( t ) = U£ 1 <mn d - i o t ) 9Vn ( / ) =
(m n d - o t ) 9
а 2 = Фт2 + /2,
ф п до =
(5.16)
где т =
= 2 n /L x . В дальнейш ем это реш ение будем использо­
вать в следующем виде:
(в/1)2 = 1 + Х2т 2у
(5.17)
где о/l — безразм ерная частота; X = V Ф/1 — радиус деформации^
187
В полудискретной форме уравнения (5.13) на одномерных сетках
записы ваю тся следующим образом:
А) ж
= ~ Ь*ф x + lv '
Ж
= ~ 1и'
ж
= ~ Ф Ь *“х '
(5Л 8>
~б*ф+ lv' Ж = ~ 1и’ Ж = -ф8*и;
Ж =~б
*ф+ 1* ’
Ж = Ж = _фS
*u;
(5-19)
(5-2°)
Ж = ~ б*Ф* + 1 Г = - z“ *
(5.21)
В>> Ж =
^
£ ) ж = ~ 8*ф + lv>
ж
= - ® Ь хйх ,
ж = - /ы’ ж = - ф б*“-
<5-22>
П одставляя волновые реш ения (5.14) в полудискретные уравн е­
н и я (5.18)— (5.22), получаем следующие формулы для безразм ерны х
частот:
А)
= 1 + ( - j - ) 2 sin2 md,
(5.23)
в > ( т ) ! = 1 + 4 ( т ) 2 51"а ( т - ) -
<5-24>
C) ( - ^ ) г = со8* ( 2 |- ) + 4 ( А ) г а „‘ ( - ^ . ) ,
(5.25)
D) (-у -)2 = cos- (
(5.26)
sin1 (md),
£ > ( т ) , = 1 + 2 ( т ) , 81л* ( # ) -
<5 2 7 >
В решении дифференциальных уравнений (5.13) в форме (5.17)
б езразм ерн ая частота инерционно-гравитационны х волн пропорцио­
н ал ьн а волновому числу т , т. е. увеличивается с ростом волнового
числа. П оскольку X Ф О, то груп повая скорость Сг = do/dm =
= т ф / о Ф 0, если т Ф 0. Следовательно, груп повая скорость
д л я любых волн отлична от н у л я. Таким образом, энерги я инерцион­
но-гравитационны х волн не может н акап ли ваться, а только рассеи­
вается, что и приводит к восстановлению квазигеострофического
процесса.
Н а основе формул (5.23)— (5.27) нетрудно получить формулы для
групповой скорости Сг = do/dm на различны х сетках:
A ) Сг = 12 ^
( - j - ) 2 sin md cos m d ,
(5.28)
B ) Сг = 2Р 4 ( - ^ ) 2 Sin
cos
С > Сг = р 1 5 - [ 4 ( т ) 2 -
l]s in -^ -c o s -^ -,
D) Сг = /2
^2 (" з" ) 2 sin ^
cos
,
(5.29)
~ sln ~ y ~ cos
E) Cr = ^ 2 / 2 4 - ( A ) 2 s i n ^ c o s ^ .
188
.
(5.30)
’(5.31
(5.32)
А нализ формул (5.23)— (5*32) показы вает, что численные реш ения
д л я безразм ерной частоты и групповой скорости зави сят от п ар а­
метров md, md/2, md/]/r2> X/d. Д ли н а самой короткой волны, пред­
ставляем ой на сетках А — D , составляет L x = 2d (mmax = я /d),
а на сетке Е L x = ] ^ 2d (m max = ]/"2jt/d). Поэтому при ан али зе
мож но ограничиться рассмотрением следующих диапазонов зн а ­
чений md:
О < md < тс
0 ^ m d ^ ] / r2 n
д л я сеток А — D ,
д ля сетки
Е.
Н а сетке А частота имеет максимум, а групповая скорость об ра­
щ ается в нуль при m d = тс/2 (L x = 4d) и md = п (L x = 2d). Это
озн ачает, что если вблизи какого-либо у зл а сетки возбуж даю тся
инерционно-гравитационны е волны с волновыми числами m = n/2d,
m — тс/dy то их энергия не будет переноситься, а следовательно,
не будет реализовы ваться процесс геострофического приспособле­
н и я. При я /2 < md < я частота уменьш ается с увеличением вол­
нового числа (решение (5.17) дает рост частоты), а груп повая ск о ­
рость имеет отрицательны й зн ак, т. е. энергия переносится в про­
тивополож ном направлении.
Н а сетке В в диапазоне 0 < m d/2 < зх/2 частота и груп повая
скорость возрастаю т с увеличением волнового числа. При md/2 =
= тс/2 (Ьх = 2d) груп повая скорость обращ ается в н уль, а при
л /2 < md/2 < я она становится отрицательной.
Н а сетке С в диапазоне 0 < md/2 < ; тс/2 частота увеличивается
с ростом т , если X/d > 1/2, и уменьш ается, если X/d < 1/2. В этом
диапазоне груп повая скорость полож ительна, если Я/d < 1/ 2 , и
отри цательна,
если
tyd > 1/2.
При
md/2 = тс/2 (.L x = 2d) ■
частота м аксим альна, а груп повая скорость равн а нулю д ля
всех волн.
В диапазоне я /2 < md/2 < тс груп повая скорость полож ительна,
если X/d < 1/ 2 , и отрицательна, если X/d > 1/ 2 .
Н а сетке D частота имеет максимум при md = тс/2. При md = тс
( L x = 2d) груп повая скорость равн а нулю .
Д л я сетки Е при md = я / | / 2 частота м аксим альна, а груп повая
скорость равна нулю . В диапазоне тс/2 < m d /]/2 < тс груп повая
скорость отрицательна.
Значен ия фазовы х и групповы х скоростей д л я численных решений
н а всех сетках меньше, чем д л я точного реш ения диф ф еренциаль­
ных уравнений (5.16). Заниж ение фазовы х и групповы х скоростей
на всех сетках наиболее сильно п роявляется д ля волн L < 4d.
О ш ибка м аксим альна д ля сеток А и D .
В целом ан али з частот и групповы х скоростей д ля одномерного
с л у ч а я дает основание считать, что с точки зрения описания процесса
геострофического приспособления лучш ими свойствами обладаю т
расш атанны е сетки В и С, а худшими — н ерасш атанная сетка А
и р асш атан н ая сетка D .
1в9
4 .5 .4 . Анализ свойств решений двумерных уравнений
адаптации в полудискретной форме
Д л я получения формул, описывающ их зависимость безразм ерны х
частот от т 1 и т 2 в двумерном случае, следует волновые реш ения
(5.6) подставить в полудискретны е уравнения (5.8)— (5.12) и полу­
ченные соотнош ения разреш ить относительно безразм ерной ча­
стоты о/l. Продифференцировав полученные таким образом формулы
по
и т 2, будем иметь вы раж ения для составляю щ их групповы х
скоростей по осям х и у. П роиллю стрируем получение этих ф ормул
на сетке С. П одставляя волновые реш ения (5.6) в уравнение (5.10)»
получаем следующую систему уравнений:
^
*=»
irrijd
/
— iou = - - j - U
A
im t d
/
+ lJ L {e
— im td \
- e ~
2
— irtiyd \
2 /
i m2d
--
— iav = -----a ~ \ e 2
i m 1d
/
— I - 4- U
— Г
im 2d
/
+ e — S— ) \ e ~
2
—i m1d
2 + e
—
—i m2d \
2
/ —
\
/
2) ,
i m2d
/
2
i m2d — i m2d \
+e
Vе 2
—i mxd \
2 —e
im 2d \
+
~ e
)
2
i m2d
/
— шФ = --- j - [ _ u \ e
/ +
) +v\e
2
—i m2d \ H
—e
2
JJ.
И спользуя формулы Э йлера eiz = cos z + i sin z, e~iz = cos z —
— i sin z, приведем эти уравн ен ия к виду
. ~
0. Ф
.
тЛ
. 1 v
— гои = — 2 1 —f
sin —±-----'1- / -jcos
d "A11 2
4
m xd
m 2d
cos - 2
2
*
. a
0. Ф .
, й
mid
m 2d
— iav = —2i - j - sin —^------ I -j- cos — cos - y —,
— юФ = —2 t-^ - ( a sin
^ sin
«
Р еш ая эту систему уравнений относительно (сг//)2, находим:
(т)2=4(т)!(sl"aТ1 + Т1)+ТГ ¥- ■
¥-■
Д иф ф еренцируя эту формулу по т 1 и т 2, получаем формулы для со­
ставляю щ их групповой скорости по осям х и у:
д о _„2 Г0 / X \ 2 .
mxd
m xd
Сга. = -т— = dl2
"р [ 22 ( -тг ) ) sin —±— cos
m id
1
— sin —A— cos —
9 m2d
cos2 —2—
СП' = Ж Г “ ‘" “ [ 2 ( 4 ) ! s m ^ c o s .
1
.
—
16 0sin
111 2I
190
m 2d
cos —2
о mirf
cos2 ——
2
] •
Не приводя формул д ля других сеток и не останавли ваясь по­
дробно на ан али зе частот и групповы х скоростей, отметим, что и
в двумерном случае процесс геострофического приспособления более
точно описывается на расш атанной сетке С. Н а сетке С груп повая
скорость всех волн, кроме двухш аговы х (L x = L y = 2d), не обра­
щ ается в нуль, а при X/d > 1 нет волн, груп повая скорость которы х
имеет неверный зн ак. Д л я сеток, обычно используемых в круп н о­
масш табны х атмосферных моделях, к/d > 1. Поэтому с точки зрен и я
воспроизведения процесса геострофического приспособления при
конечно-разностной аппроксимации полных уравнений целесообразно
размещ ать переменные на расш атанной сетке С. О днако на всех
сетках , в том числе на сетке С, фазовые и групповы е скорости о к а ­
зы ваю тся заниж енны м и для волн L < 4d.
4 .5 .5 . Анализ свойств решений одномерных уравнений
адаптации в дискретной форме.
Оценка влияния конечных разностей по времени
Оценим влияние конечных разностей по времени на свойства
реш ений одномерных уравнений (5.13) на сетке С, которые запиш ем
в дискретной форме с помощью схемы центральны х разностей:
бги* = — 8ХФ + lvx,
8 ^ —- — 1их,
6*Ф* = —Ф бхи.
(5.33)
П о д ставл яя волновые реш ения (5.15), в которы х время t представ­
л ен о дискретно (t = s At), в уравн ен ия (5.33), получаем:
2 At
/
_— /пг A t
Ап At
\^
( imd — im d \
И сп о л ьзу я формулы Э йлера eiz = cos z + i sin z, e iz = cos z —
— i sin z, получаем реш ение этих уравнений относительно sin 2 о At:
Н а основе реш ения (5.35) получим формулу для групповой ск о ­
рости
sin a At cos a At
(
2Ф
14
d
2
co s^ -,
(5.36)
первый сомнож итель в которой характери зует влияние конечной р а з­
ности по времени.
Сравним эту формулу с формулой для групповой скорости (5.30),
соответствующ ей решению одномерных уравнений в полидискретной
191
форме на сетке С. Д л я удобства сравнения преобразуем формулу
(5.30) к виду
1 / 2Ф
14 \
.
md
md
Сг = - 5 - ( “ 5-------- r J s i n ^ - c o s —
.
0_ч
(5.37)
Ф ормула (5.37) отличается от формулы (5.36) первым сомнож ите­
лем в правой части, который характери зует влияние конечных р а з­
ностей по времени. Р азум еется, ш аг по времени Д t долж ен быть
меньше периода колебаний Т . Если принять, что A t / T < 1/5, то
получаем:
А'
/ 1> 25
sin о At c o s o At / а
т. е. за счет конечных разностей по времени груп повая скорость
сущ ественно увеличивается. Таким образом, в решении дискретны х
уравнений д ля инерционно-гравитационны х волн, полученном с по­
мощью схемы центральны х разностей, замедление переноса энергии,
обусловленное использованием пространственных конечных р а з­
ностей, может ком пенсироваться за счет конечных разностей по
времени.
Рассмотрим влияние центральны х разностей по времени на свой­
ства реш ений уравнений (5.13), записанны х в дискретной форме
по неявной схеме трапеций:
б tu ‘ = — \
8tv ‘ = -
(6*0°+' + б^Ф5- 1) + 4
4 - [(«*)s+1 + (w*)*-1].
[(0*)S+1 + (в * )* -1],
= - -f - (6xu°+' + 6xu ° - ‘).
(5.38)
В результате подстановки волновых реш ений (5.14) в дискретной
форме в уравн ен ия (5.38) получаем систему, уравн ен ия которой
отличаю тся от уравнений (5.34) сомножителем 1/2 (e~iaAt + eioAt).
Реш ение полученной системы уравнений относительно частоты и
соответствую щ ая ф ормула д ля групповой скорости имеют вид
tg 2 a A t = 4 (У Ф sin2 - ч р + (At)2 /2 cos2 -ag- ,
(5.39)
п
/c
=
At cos3 о At ( 2Ф
l2d \ s md
md
sin q A t
( - 3 ---------- 2 ~ ) Sin —
C0S —
*
(5 '4 ° )
Сравним формулы (5.40) и (5.30). Отношение групповы х ск оро­
стей (формулы (5.40) и (5.30)), характеризую щ ее влияние конечных
разностей по времени на групповую скорость, д ля неявной схемы
трапеций имеет вид
At cos3 о At j 1
sin о At
j о
При A t / T < 1/5 значение этого отнош ения составляет около 1/6.
Это означает, что за счет применения неявной схемы наблю дается
заниж ение групповой скорости.
192
Т аким образом, конечные разности по времени в явной схеме
п риводят к увеличению групповой скорости, а в неявной схеме —
к уменьшению . А налогичная ситуация имеет место и для двумерных
уравнений.
4 .5 .6 . Анализ устойчивости явных и полунеявных схем
для одномерных уравнений адаптации
Рассмотрим полунеявную схему с направленны ми разностям и
по времени и с неявной записью дивергенции д ля одномерных у р ав ­
нений (5.13) на сетке С:
<j>s
f/s+ 1 .
л +
-0S
vS
п — 1/2
1/2
+ V*
л + 1/2
------------------------------ 1_
/
Л -1/2
---------------------
At
+ US
ris+ 1.
Л +
1/2
1/2
= —I
At
<bs_H _<bsn
_
r#s_b!
- US + l
n — 1/2
л + 1/2
Ф ----------
At
(5.41)
М ожно получить и другие полунеявны е схемы, например, такие,
в которы х неявно записы ваю тся градиенты геопотенциала или
кориолисовы ускорен ия. В литературе таки е полунеявны е схемы
иногда назы ваю т схемами с направленны ми разностями по времени
«вперед — назад».
Волновые реш ения будем записы вать для дискретны х значений
s = t/A t, п = х / А х в следующем виде:
ф М
=
Ф Х *еШ па,
u ^
=
SAtntld
u l se
Vn{s) = v X seimnd,
(5.42)
где Я =
— множ итель перехода, связы ваю щ ий реш ения на
двух соседних уровнях по времени.
Подставив реш ения (5.42) в уравн ен ия (5.41), сократив резул ьтат
на общий множитель e imnd и воспользовавш ись формулой Э йлера
e±iz = cos z _!_ i sjn
получим систему уравнений для множ ителя
перехода X, определитель которой имеет вид
— t A t cos
1
I At cos
md
md
0
o-. A t . m d
2 ‘ — S ln^ -
% - 1
0
0
X - 1
П ри р авн и вая определитель к нулю , получаем характери сти че­
ское уравнение для Я:
( X — 1) [ (X — 1)2 + 2АХ + В ]
13 п. Н . Б е л о в и д р .
О,
(5.43)
193
где
A = 2 ( - ^ - ) 2O sin 2 - ^ - ,
B = l2 ( A t f c o s 2^ -
(Л > 0 , B > 0 ).
(5.44)
Отметим, что значение А больше, чем значение В, примерно на
три п орядка у Р еш ая уравнение (5.43), получаем: Х± = 1. Д в а других
корн я определяю тся формулой
X = 1 _ А ± V —A (2 - А ) - В .
(5.45)
Значению XL = 1 соответствует нейтральное реш ение системы у р ав ­
__
нений (5.41).
П ри А
2 (}/Г2А
2) под радикалом в (5.45) будет стоять отри­
ц ател ь н ая
величина.
Поэтому при ] / 2 А < 2 Х = 1 - А ±
± i V А (2 — А ) + В
|Ь|* = (1 — Л )2 + Л ( 2 -
Л) + В = 1 + В .
П оскольку В да 0, то | К | да 1. Следовательно, значениям К, опреде­
ляемы м по формуле (5.45), соответствуют устойчивые реш ения.
Т аким образом, условие У~2А
2 яв л яется условием устойчивости
д л я схемы (5.41). И спользуя вы раж ение д ля А , условие устойчивости
д л я схемы (5.41) запиш ем в виде
2 - j - Y W sin -Hg- < 2,
(5.46)
где j/^f) — скорость внеш них гравитационны х волн в покоящ ейся
среде.
Отметим, что если в последнем уравнении системы (5.41) правую
часть записать явно, то уравнение д л я X будет иметь вид
(X — 1) [(X — I )2 + 2А + В ] = 0.
Этому уравнению удовлетворяю т корни Хг = 1,
Яг, з == 1 dz i ~V2 A -f- В 9 | Хг, з |2 = 1 + 2 А
В
1,
|Я2| > 1 ,
| А,3 1> 1
Следовательно, яв н ая схема с направленны ми вперед разностям и
по времени д ля уравнений (5.13) будет иметь одно нейтральное
реш ение, соответствующ ее 1 ^ 1 = 1, и два неустойчивых реш ения,
соответствующ их | Х2 1 > 1, I ^з I > 1•
Разум еется, такие схемы прим енять нецелесообразно. Чтобы
показать преимущ ества полунеявны х схем (схем с разностям и «впе­
ред — назад») по сравнению с явной схемой центральны х разностей,
ш ироко используемой в атмосферных м оделях, получим условие
устойчивости д ля схемы центральны х разностей на примере у р ав н е­
ний (5.13). Эта схема на сетке С представлена системой уравнений
(5.33).
П одстановка волновых реш ений (5.42) в уравн ен ия (5.33) п ри­
водит к следующим уравнениям для м нож ителя перехода X:
и (X2 — 1) — 21 Д tvX cos
194
+ 4 i - у - ФХ sin
= 0,
21 AtuX cos
4t
ФиХ sin
— |- v (A,2 — 1) = 0,
+ Ф (X2 — 1) = 0.
(5.47)
П р и р ав н и в ая определитель системы (5.47) к нулю, получаем уравн е­
ние д ля X:
(к2 — 1) 1(Х2 — I )2 + 4Х2 (2А + В) ] = 0,
(5.48)
где А и В определены соотнош ениями (5.44). У равнение (5.48) —
шестой степени, а следовательно, оно имеет шесть корней. У равнению
(5.48) удовлетворяю т корни
= 1, Х2 = — 1» которым соответ­
ствуют нейтральное реш ение ( ^ = 1) и л ож н ая вы числительная
мода (Я2 = — 1) (наличие ее связан о с тем, что используется тр ех ­
уровенная по времени схема центральны х разностей). О стальны е
четыре корн я * определяю тся формулой
X2 = 1 — 4А — В ± 2 У (2А + В) (2А + В -
1).
(5.49)
Реш ения уравнений (5.13), получаемые с помощью рассматриваемой
схемы, будут устойчивы, если 2А + В ^ 1. П оскольку В ж 0,
то условие 2А + В < ; 1 можно записать в виде 2А = 1 или ] / 2 А —
= 1. У читы вая вы раж ение д ля Л , условие устойчивости мож но
записать в следующем виде:
2 - Г V ^ 15111 н г ^
1•
(5-50>
И з сравнения условий (5.46) и (5.50) следует, что п олун еявн ая
схема с разностями по времени «вперед — назад» явл яется устойчи­
вой с ш агами по времени, в два р аза больш ими, чем д ля явной схемы
центральны х разностей. С ледовательно, полун еявная схема яв л яется
более экономичной. Кроме этого, рассм атриваем ая п олун еявн ая
схема не содерж ит вычислительную моду. Аналогичные результаты
имеют место и д ля двум ерны х уравнений адаптации, в том числе и
в тех сл у ч аях , когда неявно записы ваю тся составляю щ ие гради­
ента геопотенциала или ускорение К ориолиса.
4 .5 .7 . Анализ устойчивости неявных схем
для одномерных уравнений адаптации
Н а основе выш еизлож енного мож но констатировать, что при ин­
тегрировании уравнений адаптации целесообразно применять полу­
неявные схемы. О днако и в этом случае ш аг по времени оказы вается
сущ ественно меньшим, чем ш аг, которы й обеспечивает устойчивое
интегрирование уравнений адвекции.
* Студентам рекомендуем проанализировать эти корни самостоятельно.
13*
195
Рассмотрим неявные схемы трапеций на сетке С с направленны ми
разностями по времени
— us
ип
п
—
At
и [ ( ф; +л
- ф: - х ) +
+ т [ ( ” ; + 4 . + » : - 4 . ) + ( С 4 - + о: - ± ) ] -
-’ ^ - - Ц
ф^+1 _ ф s
п
( <
^ + и ’ - т ) + ( и^
+и^ ) }
- 1 [ ( < ^ - с 4 ) + ( “Г ч - “:+- . ) ]
At
«и»
и с центральны ми разностями по времени
«£+12—«
Г1
Дt
1
Ц ( * - Л ± - к : ± ) + ( » : +1 ± - » ? 1 ± ) ] +
VП
s* 1 — о * - ’
П
- 4 - [ ( C i- +
2 At
С - ± ) + ( < + i - + “Г - 4 -)]-
фН-1 — ф**—1
п
2 At
(5.52)
П одставляя волновые реш ения (5.42) в уравн ен ия (5.51) и (5.52),
получаем уравнения д л я м нож ителя перехода X, определители кото­
ры х имеют следующий вид:
д л я схемы с направленны ми разностям и по времени
Я— 1
Я»-}-* 1
D Hр =
A tl
A tl
d
- j - cos m - j
iA t
—
ж
.
ф5 шт т
d
. At z:
.
d
-y -c o s m -j-
i - J - Ф sin m —
l
Я»-j- 1
0
0
Д,— 1
Я»-f- 1
(5.53)
д л я схемы с центральны ми по времени
Я,2 — 1
Я2 + 1
£)цр =
196
— Дtl cos т -j -
2t
®sin m -~
Д£/ cos т -
Я2 — 1
Я2 + 1
0
ж sin
. m y
2o i• - Д*
j -Ф
0
Я2 — 1
A,2 + l
(5 .5 4 )
П ри равн ивая определитель (5.53) к нулю,
Д в а других ко р н я определяю тся формулой
1
^ --------- f - ± V — (2А + В)
^ 2»3
П ри
A
R
2
4
( l - 4 “
14-— 4-—
находим:
= 1.
j - ) ± i V 2 A + b
A
R
2
4
1 ----- — 4- —
ЭТОМ
\Ч =
1-2(4+4) +(4+4)2+<
2Л+в>
О+(4+4)]
1 + - i f (2 ^ + В) + ( - £ - + --г-Л
1+ 4 . ( М + в ) + ( 4 + 4 )
П ри равн ивая определитель (5.54) к нулю , для схемы (5.52)
находим :
= 1, Х2 = — 1. О стальны е четыре корня определяю тся
ф орм улой
* 2 ___ 1— 2А + В ± 2 У — (2А + В) __ ( 1 — 2 А + В ) = Ь 21 ~\/2А
К ~
1+ 2 А В
~
1+ 2 А + В
+ В
С ледовательно,
, л 2 , 2 __ [ 1 - ( 2 Л + В ) ] 2 + 4 (2 Л + В)
1 ~
[1 + (2Л + В )]2
_ [1 + (2Л + В )]2 _ t
” [1 + (2А + В )]2 А’
u I_
\А \ —
1
Ф ункции А и В определены соотношениями (5.44). Таким о б р а­
зо м , обе неявные схемы трапеций — с направленны ми разностями
л с центральны ми разностями по времени — абсолютно устойчивы
п р и любых At. Схема с центральны ми разностями имеет лож ное
реш ение, соответствующее Х2 = — 1.
К ак было показано выше, применение неявных схем сопрово­
ж д ается заниж ением групповы х скоростей. З а счет этого у худ ­
ш ается описание процесса геострофического приспособления. В то ж е
врем я в явны х схемах за счет конечных разностей по времени н а­
блю дается увеличение групповы х скоростей, которое компенсирует
эффект их зан и ж ен и я за счет конечных разцостей по пространству.
С корости гравитационны х и инерционно-гравитационны х волн на
порядок больш е скоростей адвекции. Поэтому д ля воспроизведения
процесса геострофического приспособления с помощью явны х схем
в соответствии с критерием устойчивости К уран та— Ф ридрихса—
Л е в и приш лось бы использовать малые ш аги по времени, заведомо
меньшие, чем это требуется д ля квазигеостроф ических процессов,
ч то сопряж ено с большими затратам и маш инного времени. В связи
с этим при разработке конечно-разностны х схем для полных у р а в ­
нений члены уравнений, описывающ ие инерционно-гравитационны е
волны, предпочитают записы вать полунеявно или неявно. В этом
«случае ш аг по времени выбирается из соображ ений устойчивости
т о л ь к о д ля квазигеострофического процесса.
197
4.6. Конечно-разностные схемы,
применяемые в прогностических моделях
В прогностических моделях, основанных на полных у р ав н ен и ях ,
использую тся различны е схемы интегрирования. Ш ирокое примене­
ние наш ли явные схемы с использованием центральны х разностей и
различны е модификации схемы Л а к с а — Вендрофа, а так ж е полунеявные и неявные схемы. П олунеявны е и неявные схемы интегрирова­
ния полных уравнений разви вались в основном в СССР.
Основное достоинство неявных и полунеявны х схем заклю чается
в том, что в случае применения этих схем допускается использование
значительно больш их ш агов по времени, чем при использовании
явны х схем, без заметного увеличения ошибок прогноза.
В последнее время особое внимание уделяется полунеявны м схе­
мам, так к ак д ля их реализации требуется значительно меньше вы­
числительного времени, чем д ля реализации явны х и неявных схем.
4 .6 .1 . Явные схемы для баротропных моделей.
Схема центральных разностей
В качестве примера приведем явную схему на сетке А д л я мо­
дели, основанной на уравн ен иях мелкой воды. Эта схема построена
Ш уманом; в ней используется адвективная форма уравнений с ф иль­
трую щ ими м нож ителям и:
6,й* = - [тху {иху 8хиу + vxy 8уйх + Фу) - T yvxyY u,
8 ,7 = -
[тху {иху 6 & + vxy 8У
ЪХ+ Ф£) + ~1хуйху]Ху,
8,ф ' = - тху [йху 8ХФУ+ vxy 8УФХ+ Фху (бх1 у + 6&*У\ху
(6.1)
где т — масштабный множ итель.
Внешнее осреднение по х у всех членов в правых частях уравнений
обеспечивает дополнительное сглаж иван и е и получение реш ений
на следующем уровне по времени в тех ж е у зл ах , в которы х задаю тся
функции и , v , Ф на предыдущем уровне. Н а первом ш аге использую тся
направленны е разности по времени. Д ан н а я модель была применена
д л я прогноза и , v, Ф на изобарической поверхности 500 гП а в пре­
дел ах северного п олуш ари я с граничными условиями на экваторе
вида
с » 1г “ 0 ’
т Н
= °-
т Н
- 0’
(6' 2)
где Сп и Ск — н орм альная и касательн ая к границе составляю щ ие
вектора скорости ветра С (и, у); п — нормаль к границе.
Р я д явны х схем д ля моделей, основанных на уравн ен и ях мелкой
воды, был разработан в СССР.
198
Схема Лакса— Вендрофа
Применение схемы Л а к с а — Вендрофа, обладающей свойством
►фильтрации коротких волн, способствует подавлению нелинейной
н еустойчивости.
Рассмотрим применение схемы Л а к с а — Вендрофа на расш атанной
по пространству сетке, которая представляет собой совокупность
д ву х видов точек с целыми (i, j) и дробными (i ± 1/ 2 , j ± 1/ 2) ин­
дексам и . В начальны й момент времени переменные задаю тся в у зл ах
•с целыми индексами. Реш ение на каж дом ш аге по времени осущ е­
ст в л я е т ся в два этапа.
С начала определяется реш ение на уровне s + 1/2 в точках сетки
с дробными индексами i ± -у-, / ± - j - с
использованием схемы
направлен ны х вперед разностей по времени и центральны х р азн о­
стей по пространству.
У равнения записы ваю тся в виде
Щ
- (йхуЬхау + ЪхуЬуих + Ь~ФУ~ lvxyf.i ±
*
s
~
"
(и ху
+ Ъху 8УЪХ + 8УФХ + 1ихуУ.
Ii
Ц- [иху 8ХФУ+ vxy 8ВФХ + Фху (8хиу + вво*)]( ±
(6.3)
З а т е м , используя схему центральны х разностей по времени и до
пространству, вычисляю т прогностические переменные на уровне
5 + 1 в точках с целыми индексами t, / с помощью уравнений, пред­
ставл ен н ы х в следующей форме:
(6.4)
199
и
( f‘+ T 'I
+ f
+f
V
/+
.
ф
Т аким образом, эта схема реали зуется на расш атанной по вре­
мени сетке, но не расш атанной по пространству. В качестве гран и ч­
ных условий могут и спользоваться условия (6 .2).
Схема центральных разностей на расшатанной
по пространству и по времени сетке
Конечно-разностные схемы и методы интегрирования полны х
уравнений могут быть построены на сетках, расш атанны х и по про­
странству, и по времени. П рименение таких сеток представляется
целесообразным, во-первых, из-за экономичности расчетов, которая
обусловлена тем, что вычисление прогнозируемых метеовеличин на
каж дом временном уровне предусматривается не во всех точках про­
странственно-временной сетки. Во-вторых, если при этом исполь­
зую тся центральны е разности по времени, то реш ение в одних и тех ж е
у зл ах получается через ш аг по времени. З а счет этого исклю чается
вы числительная мода. Д ействительно, п оскольку множитель пере­
хода, соответствующ ий вычислительной моде, X = — 1, то / s+ 2 =
= (— I )2 / s. Следовательно, реш ение не осциллирует. В этом зак л ю ­
чается достоинство т ак р х сеток. Н едостаток расш атанны х по про­
странству сеток и по времени (так же, как и сеток, расш атанны х
тол ьк о по пространству) состоит в том, что д ля точек, в которы х
значения зависимы х переменных не определяю тся, эти зн ачен ия
приходится вычислять путем интерполяции.
Зи
j +1
vM
1------- 1
дф
a t 5 м.—
Ф
и г \г
*
дФ
и dv
d t J 7 ’ dt
к
J - 1.
ЗФ
dt
Зф
W
7*
oiM.
ф
'd t
>-------1
u p 3Ф
dt
p
Кa t
v
Ф
,Л
—' d ,t ^
)
4>dt^
i+1
%
dv дФ
£ 7t l i
дФ
? ’ дь dt
1
ди
ф
v' d t *%------ v’ dt . Ф
Зи ф
Ф
v dt
Ф
j-
дФ
71
ф
С
%
)
pи a&t
)
,
V' d t ^
-\
----
п
ф
° > d t1
дФ
Зф
v —
dt
ф
Л dv-t d t
Г’
U& L
ч ' dt
%
Рис. 4.3. Размещение зависимых переменных на расшатанной сетке для соседних
уровней по времени s (а) и s + 1 (б).
200
Рассмотрим явную конечно-разностную схему центральны х р а з ­
ностей на расш атанной сетке (Элиассена) д л я уравнений мелкой воды,
описанную Х инкельманом. С труктура расш атанной сетки на двух
соседних уровнях по времени s и s + 1 представлена на рис. 4.3.
И з рисун ка видно, что такое размещ ение зависимых переменных
соответствует сетке D . С учетом принятого размещ ения зависимых
переменны х конечно-разностны е уравнения записы ваю тся для тех
точек, где предусмотрено вычисление производных по времени,
в следую щ ем виде:
в*й* + {йхиЬхйу + х>ууЬуйхУ = -
6ЖФ5 + lvs + fxV V -
,
6, 6 * + (a xxbxv y + VхуЬу6хУ = -
буФ5 - lu s + |W V ’
,
б ,ф ' + [б , ( ы ф ^ ) + 8У (УФ**)]5 = 0,
я -t
us+l— us~ l
где 8t u —
2Д?
’
£ -t
vs+l— vs~ 1
&tv —
2д7
’
*
(6.5)
£Os+ I _ O
’
ш
~
ц — коэффициент вязкости ;V — конечно-разностный ан алог оператора
Л апласа
У
+ /* ,
.
i
2
’
,
.+ . + f
,
1 "Ь ~
,
1 -4 Г /).
1
2
.
,+ Г
2
t=
,
* +2 “ о"* /
.+
2 о" 1 о " » ^ + “о"
-
v 7 J:r= -a r/r
d = А х = Ay.
В язки е члены вводятся д ля подавления коротких волн. В к о ­
нечно-разностном аналоге оп ератора Л ап л аса f a относится к моменту
времени s — 1, так как в момент времени s нет значений и и v в у з­
л а х , где вычисляю тся производные по времени. Кроме того, т ак ая
зап и сь в язк и х (диффузионных) членов позволяет избеж ать вы числи­
тельн ой неустойчивости, п оскольку схема центральны х разностей
по времени для уравнения диффузии явл яется неустойчивой. З а счет
этого приема достигается так ж е более тесная связь реш ений на со­
седних уровнях по времени, которая при возрастании числа ш агов
по времени может ослабевать.
Запись уравнений (6.5) предполагает, что параметр К ориолиса
разм ещ ается в тех точках, где имеются значения и и v. П ри интегри­
ровании уравнений (6.5) могут использоваться различны е боковые
граничны е условия, например условие твердой стенки.
Рассмотрим применение условия твердой стенки .для восьми­
угольн ой сеточной области. Ф рагмент этой сетки представлен на
ри с. 4.4.
У словия твердой стенки позволяю т вы числять производные по
времени не только для внутренних узлов, но и для узлов, леж ащ их
на границе. Д л я этого используется прием, с помощью которого
зн ачен ия переменных «отражаются» из ближ айш их к границе вн у ­
тренних узлов в ближ айш ие узлы , леж ащ ие за пределами сеточной
области. М еханизм «отражения» состоит в том, что в ближ айш ие узлы
201
N
f r
^
\
/
IL ; , V ;
► 6;
L
/
Рис. 4.4. Фрагмент восьмиугольной
сеточной области.
t Ф с
>
/
/
за пределами сеточной об­
ласти переносятся значен ия
U -o V o '
переменных из ближайш их,
/
внутренних
узлов. Зн ач ен и я
' \
!
*
\
/
^
!
«отраженных»
переменных,
%
1
K o ,v 0
снабжены на рис. 4.4 индек­
1
ф О
t V o, v 0
t
сами о, а значения во внут­
ренних узлах — индексами
В нутренние узлы , из которы х
переносятся значения, обозначены точками, а направления пере­
носа указаны штриховыми стрелкам и. Перенос производится так , ч то
Ф0 = Ф*, и0 = — vi9 v0 = щ (на участке границы Гс), Ф 0 = Ф*, и0 = и ь
v0 = — vt (на участке границы Га). М асштабный множ итель и п ар а­
метр К ориолиса переносятся из тех внутренних узлов, где они з а ­
даны, в ближ айш ие узлы за пределами сетки. При переносе у п ар а­
метра К ориолиса изменяется зн ак, т. е. /0 = — /*. Т ак ая п роцедура
позволяет получить все зависимые переменные и параметры на гр а­
ницах, которые необходимы д ля вычисления производных с помощью»
уравнений (6.5).
V'
U L ,V i
|
|ф6
v i
- * ■ -------------------
\
£
/
/
>
Д
4 .6 .2 . Я вны е схемы для бароклинных моделей
Схема центральных разностей для пространственной
(бароклинной) модели в a -системе координат
на расшатанной по пространству и времени сетке
Рассмотрим один из вариантов схемы центральны х разн остей
для квазистатических уравнений бароклинной модели в а-систем е
координат. У равнения модели запиш ем в виде
ди
(
ди .
ди ,
х
—
. ди
, дФ
, 0
\
. п
ь x—l
—
- +
- + 1т дх
- + 1R o я
dt = — \М тдх
1 ^ тду- +1 а 1до
dv
w
(
dv .
dv
= - { u -E + v ^ +
+
202
w
х
»
.
. dv
aw
. d<&
+ - ^ + Ro n
- цУ2» ) ,
w
x
где
x= 2^_L = A , x = f*-, n = Ps
P 9
P = 1000 гП а, остальные обозначения общепринятые.
У равнения движ ения и уравнение статики системы (6 .6) полу­
чены с использованием следую щ их преобразований. П оскольку
Т = 0 (р /Р )ку то
___ 1
р
___ 2_dps=
др
дх
р
дх
1 др
р ду
—
р
р
\ Р )
а др8 _
р ду
= _ л _
р
da
£#9 ( ^ Л Х— =
R(JXJtK~ l 0 — *
дх
г)
дх ’
я,
я,— 1л д л .
ду 9
Д 0о*-»я \
=
р
т . е. дФ/до = — RQoK~ ln K. Граничные условия имеют следующий
вид: а = 0 при а = 0 и а = 1; Ф = Ф8 при о = 1. Н а боковых гра­
н и ц ах могут использоваться условия твердой стенки, подобные тем,
которы е применялись при интегрировании баротропных уравнений
<6.5).
Конечно-разностные аналоги уравнений (6 .6) записы ваю тся на
расш атанной пространственной сетке с таким ж е размещением з а ­
висимых переменных на основных уровнях a = const, которое
использовалось для уравнений (6.5). Зависимые переменные 0 ,
л и dQ/dty dn jdt размещ аются на основных уровнях в тех ж е узл ах,
где Ф и дФ /dt соответственно, а а — в узл ах , где размещ аю тся
дФ /dt (см. рис. 4.3), но на промежуточных уровнях а ± Д а/2.
При таком размещении зависимых переменных производные по
ди
dv
д0
дл
времени
.., ^ ..,
рассчитываю тся в момент времени s
в тех у злах на уровнях a = const, где были заданы и , v, 0 , дх в мо­
мент времени s — 1 и где они рассчитываются в момент времени
s + 1. С учетом такого размещ ения переменных конечно-разностные
уравн ен ия записываю тся для тех точек на основных уровнях, где
предусмотрено вычисление производных по времени
дл
—ду- ,
„
ди
dv
дв
^
а так ж е значении Ф, в следующем виде:
Ьй1 = - (йхЧ хйу + Х,ууьуйх + Ьуб„йх% -
Ь Ж
-
R e xk ( ^ 0 6 х п)% +
Ivl +
jiV2^ ’
203
О
8t v{ = — 8УФ1 -
{uxxbxv y + v xybyv x + ~6xbav xy)s*■
R a kx ( я ^ 'б б ^ я ) ! -
lu l + n V 2vSk 5~ \
8Л = -
(6 *6*6* + v 4 y¥ + 6 ь Ж у)1 + H-V20*
К
6tn* = —
[6* (u k ^ y) + by ( w t* ) ) s Ao k' ,
k=0
k+ T
a [;
k+—
1 = — - i - 2 (u kn y)+ by(y*j
я
*3
°k -f ~
H------ ^
K
( Uk^
+ 8 у [y^ ) ] s Aok' ,
k=0
к
Ф* = Ф/с + R
2J
l®k J ^°k' 9
(6*7)
где
k = ^
’ K A o = 1, Aok. = o k+1 — ад> (/5 = 0, 1, /С — 1),
6f{ = (fx+t -
r
l) 2+
.
П ри вычислении первой суммы в правой части уравнения д л я
последний член этой суммы, соответствующий слою k ...
fe-f- 1/2
^ + V2> записывается для A o k = а *+1/2 — ok. Чтобы рассчитать
ч лены уравнений (6.7), содерж ащ ие осреднение и дифференцирова­
ние по о на уровнях k — 0 (а = 0) и k = /С (а = 1), использую тся
фиктивны е уровни k = — 1 и Л = /С + 1, на которых зависимым
переменным присваиваю тся соответственно значения на уровн ях
й = 1 и Л = /С — 1.
а
Схема Лакса— Вендрофа для бароклинной модели
в сi -системе координат
на расшатанной по пространству и времени сетке
Рассмотрим применение схемы Л ак са—Вендрофа для системы
уравнений (6 .6) на той ж е пространственной сетке, для которой
записана конечно-разностная схема (6.7). В схеме Л а к с а — Вендрофа
на первом этапе предусматривается прогноз в момент времени s + г/ 2
на промежуточных уровнях k + г/2 в тех точках, где размещены м,
v, 0, я в момент времени s. Относительно точек с производными
•4^—,
204
эти точки смещены на полш ага. Поэтому точкам, где
предусматривается прогноз в момент времени s + 7 г на уровнях
k + 7г. присваиваю тся дробные индексы i ± 7г. / ± 7г- Д л я аппро­
ксимации производных по времени на интервале от s до s + 7 г
использую тся направленны е вперед разности. С учетом этого конечно­
разностны е аналоги уравнений (6 .6), используемые д ля реализации
первого этапа прогноза по схеме Л а к с а — Вендрофа, записываю тся для
точек с индексами t ± 7 2, / ± 7 г. & ± 7 г в следующем виде:
S+ -
и
2 = (й°У - Ц-
+ 8хФхуа + R
+ Vxy°byuya + 6X8aU +
) вуа8хл ху -
v + ~* = (v°)s - ^
lv xy° - li (8ххйха + бууйуа) ] \
[uxya8xvxo + v a8yvy° + -a y8„v + 8уФхуа + J ,
+ R (ol ) (n1- 1) Qx°8ynxy + m xya - (x (8xxvx° + 6w ^ a) ] s,
0 s + 2 = (e°)s - M [йуа8х¥ * + vx°8yBya + o~xv8yQ я
=
(x (8xxQxa + 6^
a) ] s,
S [6, № & ) * + 8y ( t № ) ] A a * 'V >
U=o
J
2
**4-
1 /С
+
<DS
ft*»
2
Is
t 6* (“ ft"1') +
i = Фк + R
( ^ й*)] Дст*' | >
к
nx
^
(a* lQl) Aok'
k=k± T
(6.8)
Н а втором этапе реализации схемы метеовеличины, полученные
в момент времени s + V2 по схеме (6 .8), .использую тся д л я прогноза
с помощью схемы (6.7) в точках с целыми индексами, где предусмо­
трено вычисление производных по времени
~ Ж 'У "1 йГ и
4 .6 .3 . П олунеявные схемы
Впервые полунеявны е схемы д л я полны х уравнений" с неявной
аппроксимацией линейных членов были предложены С. В. Немчи­
новым и В. П . Садоковым.
205
Полунеявные схемы для баротропных моделей
Н а расш атанной сетке по времени, представляющ ей собой сово­
купность двух сеток А , сдвинутых одна относительно другой на пол­
ш ага 7 2d, где d = А х = Ау, рассмотрим следующие варианты полунеявны х схем для уравнений модели мелкой воды.
В а риант I:
Ьй* + {йхуьхйу + дхЧуйхУ = - (ЪХФУ- lvxy)s,
8iV( + {uxybxvy + vxybyvxY = - (6,ф* + 1йхуУ,
Ь(ф { + ( й хуЬхФу + ? УЬ & У = -
(Фад) ‘ (Ъхи у + б ,б * )'+1-
(6-9)
В ар и а н т II:
бta* + (ахуьхйу + vxy8yax)s = - (б*Ф*)5+1 + / (vxy)s,
6t v* + ( й х% и у + Vxybyv xy = -
(буФхУ+1 -
I (Ихуу ,
ЪФ* + ( й ху6хФу + х>хуЬуФхУ = -
[ Ф ^ (дхй у + 6yVx) ) s. (6.10)
В полунеявны х схемах (6.9) и (6.10) неявно записаны не все
члены уравнений, описывающие поведение инерционно-гравитационных волн. При применении этих схем следует сначала интегри­
ровать те уравнения, в которых все члены записаны явно. В схеме
(6.9) сн ачала необходимо интегрировать первые два уравнения.
Полученные значения u s+l и
затем подставляю тся в выраж ение
д л я дивергенции в третьем уравнении.
В схеме (6.10) сначала вычисляю тся Ф^ 1 из третьего уравнения.
П олученные значения Ф^ 1 использую тся затем в первых двух
уравнениях. Таким образом, если придерж иваться указанной после­
довательности реш ения, то полунеявны е схемы (6.9) и (6.10) реали ­
зую тся как явные. При этом прогноз осущ ествляется на расш атан­
ной по времени сетке. Н а четных ш агах по времени (s = 2 , 4, 6, ...)
все переменные вычисляю тся в узл ах с целыми индексами t, /, а на
нечетных (s = 1, 3, 5, ...) — в узл ах с дробными индексами i ± х/г»
/ ± 7*.
Вари ант I I I . Построим полунеявную конечно-разностную схему
на расш атанной сетке по времени с неявной записью всех членов
уравнений, описывающих поведение инерционно-гравитационны х
волн. Д л я этого сначала выполним преобразования уравнений.
У равнения движ ения запишем в полудискретной (дифференциально­
разностной) форме, представив производные по времени цен траль­
ными разностями, а составляю д ие градиента геопотенциала и кориолисовы ускорения включим неявно по схеме трапеций:
ы5+*=и5-1_ 2ДtAS
u- At[(5)S_I+ (^-)S+I] + 1At^S_1+ yS+')’
2
(6. 11)
*■+' =t,5-1- am; - At Г(жГ' + (w)s+1] - 1Ai(u$~' +nS+,)’
206
(6 .12)
где
л»
/
ди
,
д и \*
Аи = ( и ж + и ж )
„s
/
dv
,
d v \s
v ~ \ U ~dZ + v - d j ) ■
’
В уравнении неразрывности производную по времени представим
центральной разностью , а дивергенцию запишем неявно на схеме
трапеций:
Ф «* - О - ' -
2ДМ ф - д е [ ( *
+ f
)-' + (*
+ £ ) - + I] ,
(6.13)
AS
(
ОФ
^Ф \ S
,
где Л ф = ( U — + V — ) .
Разреш ив уравнения (6 . 11) и (6 . 12) относительно us+x и сН-1,
получим:
us+> = сс [(1 — (/ ДО2) « 5-1 - 2 Д t A u - Д^ ( ^ - ) S_1 + 2/ A/ys_1 -
2 / (ДО2 A
l -
/ ( A 0 * ( f Г ' - ** ( £ Г ' -
НАО2 ( f ) S+1] , (6.14)
ys+ ' = а [ ( / - (I At)2) vs- 1 - 2 AMS - A t ( ^ ) S_1 - 2/ A tu s~ l +
+ 21 (At)2A t + I (At)2 ( ^ ) s_1 - A t ( ^ ) s+‘ - I (At)2 ( ^ ) S+1] , (6.15)
где a
j _|_
•
П одставляя «s+ ‘ и i»s+1
+ -g £ - )S+> уравнения
в выраж ение для дивергенции
(6.13),
+
получаем:
( ^ - ^ ) ~ IН£ +*Г)
- '
(6. 16)
где
f
-
-
2 AMI -
A t #
+ 2/ A t (v - и ) - ' -
+ 2, W
(Я * -' -
[( *
+
£ ) -
+
«] -
2 ( A t? ( § А 1 - ^ А 1 ) -
« » - ) + (1 Atf ( § - % ) - ' ] ,
f = a O s (At)2.
При получении уравнения (6.16) полагалось, что а = const.
207
Запиш ем уравнения (6.14)— (6.16) в конечно-разностной форме
на расш атанной сетке по времени так , чтобы на четных ш агах по
времени (s = 2, 4, 6 , ...) все зависимые переменные вычислялись
в узл ах с целыми индексами /, /, а на нечетных ш агах (s = 1, 3,
5 , . . . ) — в промежуточных узл ах с дробными индексами i ± 7 2,
У ± V,:
us+l = а [(1 - (IА t f ) «s_l -
2Afv
- А* (6,Ф x) s~ l +
+ 21 A t v*' 1 - 21 (At)2 * A S
0 - I ( A t f (8уФуУ~' - At (6*Ф*)5+1 - /(А О ^ б у Ф ^ + Ч ,
xf+l = а [1 - ( l A t f )
(6.17)
- 2At VA* - At ( 6 ^ ) s_i -
- 21 At us~' + 21 (At)2 7 A SU + I (At f ( 8ХФХ)5-1 - At ( 6 ^ ) s+1 - I ( A t f (6*Ф*)5+1],
(6.18)
{Ф — f At (8Х18УФУ - 8У18ХФХ) + f (8ХХФ + б^Ф)}5+1 = Ф5- 1 + Fs’ s~ \
(6.19)
где
Fs, s-i = _ 2АРА% - А/Ф5 [(6,iZ*)s- ‘ + ( б ,^ ) 5- 1 + а] -
— аФs At { _ 2At ( б / Л * + 6 j A g ) - At (б*Ф* + бД*,)5-1
+ 21 At (t> - u)s~ 1 - 2 (At)2 (6J v A l -
+
бyl M su) -
- 21 (At)2 (8X *A% - б, ' А 1 У - ( A t f [б,/ (б,®")5- 1- byl (б*Ф*)*_ '] + 21 ( A t f ( us~'8xl -
vs-' 8yl ) +
+ ( l A t f ( 8 xux - 8 yv y) s- 1} ,
*А°и = (йху8хйу +х >ху8уйхУ,
*A S
V = ( Uxy8xv y + v xy8yvx)s,
уЛф = (йху8хФу + а ^ Ф * ) 5.
У равнение (6.19) яв л яется конечно-разностным^аналогом линей­
ного диф ф еренциального уравнения в частных производных второго
порядка с переменны ми коэффициентами, которое в общем виде
записы вается следую щ им образом:
A pдх2
£ +1 2 B -дх
p Lду- +1 C ду1
& +1 D &
+ E №ду- = дх *
F,
где
В = 0;
А = С = аФ5 (A*)2;
Е = — аФ* ( A t f 8xl\
208
D = аФ5 ( A t ) \ l ;
F = Ф5-1 + F s' 5-1.
П оскольку A C — В 2 = [а Ф в (А/)2 ]2 > 0, то уравнение (6.19) от­
носится к эллиптическому типу. Д л я реш ения этого уравнения при­
меняю тся релаксационны е методы, подобные тем, которые исполь­
зую тся в квазигеострофических и квазисоленоидальны х моделях.
После того как решено уравнение (6.19), полученные значения
Ф^Н-1 использую тся для вычисления us+l и vs+l с помощью у р ав ­
нений (6.17) и (6.18). Рассмотренные полунеявны е схемы централь­
ных разностей были построены на расш атанны х сетках только по
времени с размещением всех зависимых переменных в одних и тех
ж е у зл ах пространственной сетки. При этом зависимые переменные
на нечетных и четных ш агах по времени вычисляю тся в у зл ах двух
сеток, сдвинутых одна относительно другой на полш ага по про­
странству.
П олунеявны е схемы могут быть построены на сетках, расш атан­
ных и по времени, и по пространству. Рассмотрим такого рода схему
для уравнений модели мелкой воды с неявной аппроксимацией д и ­
вергенции и с размещением зависимых переменных на двух соседних
уровнях по времени, показан на рис. 4.3. При таком размещ е­
нии зависимы х переменных п олун еявная схема центральны х р а з­
ностей с
неявной аппроксимацией дивергенции на расш атанной по
пространству и по времени сетке записы вается в следующем виде:
6/й ' + ( й ху8хйу + vbyuxy = -
- lv)\
6tv* + (u8xvy + v x% v xY = -
(8УФ ХУ + l u ) \
6,Ф ' + {йуЬхФу + ихЬуФ хУ = — (Ф ^ ) 5 (8*и + 6j,t»)s+1.
(6.20)
С помощью этой схемы прогнозируемые метеовеличины рассч и ­
ты ваю тся на четных и нечетных ш агах по времени в соответству­
ющих точках сеток, представленных на рис. 4.3. В качестве боковых
граничных условий для рассмотренных полунеявных схем могут
использоваться условия твердой стенки.
Полунеявные схемы для бароклинных моделей
Т ак ж е как в случае баротропных моделей, при построении п олу­
неявны х схем, используемых для численного интегрирования у р ав ­
нений бароклинны х моделей, линейные члены уравнений, описы ва­
ющие быстрые волновые процессы, целесообразно аппроксимировать
неявно. В этом случае шаг по времени может быть достаточно боль­
шим (как показываю т эксперименты, в 4—6 раз больше, чем в явных
схем ах), так как критерий К уран та— Ф ридрихса—Л еви (К Ф Л )
долж ен выполняться только для медленных квазигеострофических
процессов адвекций.
П ри использовании систем уравнений бароклинны х моделей
представляю тся более широкие возможности для разработки р а з­
личных вариантов полунеявны х схем, чем в случае баротропных
моделей. Это обусловлено большим числом уравнений и их модифи­
каций, а так ж е большим разнообразием возможных способов разме14 П. Н. Белов и др
209
щ ения переменных на нерасш атанных и расш атанных по простран­
ству и времени сетках.
Основные подходы к построению конечно-разностных схем н а
расш атанны х сетках были рассмотрены выше. Поэтому, чтобы н е
услож нять изложение, ограничимся рассмотрением процедуры инте­
грирования по времени полунеявной схемы с неявной ап п рокси м а­
цией линейных членов на примере уравнений бароклинной модели
в a -системе координат (6 .6). Д л я конечно-разностного представления
производных по пространству будем использовать центральные р а з­
ности.
В уравнениях движ ения производные по времени представим
центральными разностями, составляю щ ие градиентов геопотенциала
и давления, а так ж е кориолисовы ускорения запишем неявно п о
схеме трапеций:
„«-■ = и, - , + , ы (^ -1 + ^ + 1) _ 2Д (Р, _ д ( (
At (и
'j _
+
+ «и-') _ 2ДtFl - At (
+ 2^1) -
где
~
ди
.
ди
.
. ди
_«
г
d v t
d u . . d v
Разреш ив эти уравнения относительно us+l и ys+ !,
“ s+1 =
+
получим:
_ 2 A tF “ ~ 21 (А*)2 pS° +
{mS_1 [1 _
+ 21 Д » « - Д, ( * £ . +
^
) + ,(А,? ( ^
+ * £ .) -
- д « о 1 [ ( я М , £ ) • - ' + ( л ‘ - ' е £ ) ’+ |] -
- 1 (At? R j [ ( « ‘ - ' e f ) - ' +
v+ ~
) ‘+1] } .
(6.21)
1 + (IM)2 {uS ' П — (I A^)2] ~ 2 A tF l +
+ 21 (At)2 F us — 21 A tu s~ l — A£ (
) +
+(4?+*£■) - *** [ ( ^ f Г +
+
Г] +*(Л02^[(я*-,е§)5-1+(^жГ’]}(6.22)
210
Д л я того чтобы воспользоваться уравнениями (6.21) и (6.22),
необходимо предварительно рассчитать O s+ ! и я *+1 с помощью
четвертого, третьего и последнего уравнений системы (6 .6):
я 5+1 = я 5- 1 - 2 A t J [ - ^ J ^ +
О
da,
(6.23)
0 S+, = 0S_1 _ 2 A tF s^
(6 .2 4 )
1
O s+1(cr) = Ф5+1 (ст = 1) + R j ax~ l 0S+I (n*)s+I da,
(6.25)
a
где
г
д& ,
d0 ,
d0
v72o
^ = ыж + у^ + стж - ^ еК системе уравнений (6.21)—(6.25) следует присоединить у р а в ­
нение д ля вертикальной скорости
о
о
Э та система уравнений интегрируется по времени в следующем по­
рядке. С начала с помощью уравнений (6.26), (6.24), (6.25) и (6.23)
последовательно вычисляются верти кальн ая скорость, потенциаль­
н ая тем пература, геопотенциал и ф ункция я = p s/P.
Полученные метеовеличины использую тся затем в уравн ен иях
(6.21) и (6.22) для расчетов us+l и vs+l . Рассмотренная последова­
тельность интегрирования позволяет реализовать полунеявную схему
на различны х расш атанны х и нерасш атанны х сетках. От выбора
структуры сетки будет зависеть вид конечно-разностных уравнений.
П ри интегрировании уравнений (6.21)— (6.26) могут использоваться
те ж е боковые граничные условия, что и для системы уравнений
<6.5).
4 .6 .4 . Н еявны е схемы
Если в прогностических уравнениях аппроксимировать неявно
не только линейные, но и нелинейные члены, то конечно-разностная
схем а будет полностью неявной, а следовательно, устойчивой при
использовании больш их шагов по времени. Шаги по времени в т а ­
ки х схемах не ограничиваю тся критерием устойчивости К уран т—
Ф ри дри хса—Л еви. Однако и в неявных схемах их следует ограничи­
вать, так как использование слишком больш их шагов по времени
может сопровож даться потерей точности решений.
О сновная трудность применения неявных схем связан а с по­
строением процессов итераций, обеспечивающих сходимость числен­
ных решений к точным. Процесс итераций может сходиться медленно.
П оэтому, несмотря на устойчивость неявных схем, преимущество
14*
211
их, которое заклю чается в возможности использования шагов п а
времени, больших, чем в полунеявны х схемах, утрачивается ввиду
дополнительных затрат машинного времени на итерации. П роцедуру
интегрирования по времени с помощью неявных схем поясним н а
примере уравнений бароклинной модели (6 .6) с теми ж е начальными
и граничными условиями. Конечно-разностные уравнения системы
(6 .6) запишем в неявном виде по схеме трапеций, предусмотревитерационную процедуру в решении на каждом шаге по времени:
(ы| + 1) ''+ 1 = « Г 1 -
A t (F l~ l + Fu
s+ %
= v s,T l -
A t ( F s~ l + F s+ %
( 0 |+1) V+1 = e r 1 -
A t (^ Г 1+ П + %
( я ! + Т +1 = я Г 1 -
A t ( F T 1 + F s+ %
к
*+T
2
= — +
2
(d iv C ^ )S+‘ A o*' +
*=0
q* + ~ ^ d i v ( ( W +1 A a k \
Я
Ok
k =0
-0*A Is+1AOkr ,
(6.27)
где k = a/Acr; Aok> = ok+i — ok (k = 0 , 1, ..., К — 1;); v = 0 ,
1, 2 . . . — номер итерации; FUJ Fv, Fe, Fn — конечно-разностные
ан алоги правых частей уравнений (6 .6); div Ckn — конечно-разност­
ный ан ал о г плоской д и вергенц и и;Ck — двумерный вектор скорости
ветра с составляю щими и , v на уровне k.
К онкретны й вид этих конечно-разностных аналогов определяется
структурой используемых сеток и способом размещ ения на них
зависимы х переменных. Остальные обозначения — те ж е, что и
в уравн ен иях (6 .6) и (6.7).
Д л я простоты предположим, что и , v 9 Ф, 0 задаю тся и рассчиты ­
ваю тся в одних и тех ж е у зл ах на основных уровнях k. В ерти кал ь­
ные токи вычисляю тся на промежуточных уровнях k + 1/2.
Н а первом шаге по времени (s = 0, s + 1 = 1) использую тся
направленны е разности по времени, а нулевые приближ ения (v = 0)
д л я правы х частей прогностических уравнений
( П +1)° ее ( F l ) ° , ( F 0s+ 1) 0 = (F i)° , ( F se+ l )° == ( F } ) ° ,
( П +1)° =
определяю тся по начальным условиям. Н а всех последующих ш агах
по времени применяю тся центральны е разности. В качестве нулевых
приближ ений (v = 0) для правых частей прогностических у равн е­
ний на шаге по времени s + 1 принимаются их значения на пре­
дыдущем шаге:
( F su+ l )° = F u
s,
( F s+ l f
= F sv , (Fe+I)° = Fq,
(/?*+')° = П -
И терационная процедура предусматривает последовательное р е ­
шение всех уравнений системы (6.17), вклю чая диагностические
212
'
уравнения, так как для вычисления fu +1, / Т 1-1, / 7e+1,
необходимо иметь значения us+l, vs+l, a s+1, 0s+ !, ® s+ !, я ^ 1 на каждой
итерации (v = 0 , 1,
Таким образом, на каждом шаге по времени система уравнений
(6.27) реш ается многократно методом итераций.
В ычисления контролирую тся с помощью условий сходимости.
В качестве условий сходимости можно, например, использовать сле­
дующие:
m ^ x I (/f+1)v+1 — (/?+1)v | С
(v = 0 , 1, . . . ) ,
(6.24>
где
/i =
—
малые числа, выбираемые с учетом требуемой точности, G —
область определения решений.
При выполнении условий (6.28) итерации заканчиваю тся, а ме­
теовеличины, соответствующие интерации v + 1, принимаю тся в к а честве прогностических значений на временном уровне s + 1. Много­
кратное повторение рассмотренной процедуры позволяет осущ ест­
вить прогноз метеовеличин на заданный момент времени.
4 .6 .5 . Схемы интегрирования методом расщепления
Полные уравнения, леж ащ ие в основе больш инства современных,
прогностических моделей, описывают физические процессы, р азл и ­
чающиеся пространственными и временными масштабами. Д аж е для
систем полных уравнений в адиабатическом приближении, описы­
вающих адвекцию и волновые процессы, трудно построить единуюконечно-разностную схему и метод интегрирования по времени, кото­
рые бы в полной мере учитывали различия в свойствах этих про­
цессов.
У казанны е трудности могут быть преодолены с помощью метода
расщ епления, предложенного и развитого в работах Г. И. М арчука.
О сновная идея этого метода заклю чается в том, что сложное уравн е­
ние или система уравнений расщ епляю тся на несколько простых
уравнений или подсистем уравнений, решаемых последовательно^
на дробных ш агах — интервалах времени, в сумме составляю щ их
ш аг по времени. Такой подход позволяет сложную задачу предста­
вить в виде конечного числа элементарных алгоритмов, эффективно
реализуемых с использованием хорошо отработанных конечно­
разностны х схем.
Кроме того, метод расщ епления дает возможность для каж дого
простого уравнения построить такие конечно-разностные схемы,
которые учитывают пространственные и временные масштабы про­
цессов, описываемых этими уравнениями.
21£
Решение уравнения адвекции
В задачах прогноза погоды первостепенное значение имеет реш е­
ние уравн ен ия адвекции. Поэтому сначала рассмотрим применение
м етода расщ епления для уравнения адвекции вида
(6.29)
dt
где и , у, о считаются известными величинами.
Построим конечно-разностную схему для этого уравнения на
интервале времени, равном ш агу по времени от t до t + At. У равне­
ние (6.29) расщ епляю т на три уравн ен ия так, чтобы в каждом из
них присутствовали производные только по одной пространственной
переменной:
дф
(6.30)
!dtг +‘ « дх
^ = 0 ’.
d f + v dj
~dt 1 w дЪ
У равнения системы (6.30) реш аются на первой половине ш ага по
времени, т. е. на интервале от t до t + Д //2 , который разбивается
н а три части (дробных шага), с помощью следующих неявных д ву х ­
точечны х схем направленны х разностей против потока:
S+ T
S+ T
Фн-l. /. Ь — Фл /, k
s + “6" _
s
ф i, j, k — ф i, j, k
, 2
s+_6"
. 1
s+_6"
<Pi, /, k = <Pi, /. k
Ма
s+ S+ T
фг, i, k = Ф/. /. k — \bk
V>i <
0,
(6.31)
S+ T
. ф1, /, k
. 1
S+ T
ф*—1, /, k
при
fx*>0;
. 2
S+ T
. 2
s + _6"
Ф1, /, k
при
М-/ < 0,
. 2
S+T
. Ф1, j, k
. 2
s + "6"
Ф1, /—1, k
при
. 1
s+ —
Ф*\ it л+i
I 1
S+ T
Ф*> /»
при
. 1
ф,, /, ft—I
при
A t vi,] ,h
2
Aу 9 rh
At
2
. 1
ф1, /+ 1, k
V-i
при
. 1
. <Pi, /, k
(6.32)
M'jfe < 0 ,
(6.33)
f* fe> 0 ,
где
_ A t uisj,h
Ax
J
i. j%k
<
~~ 2
Эти конечно-разностные схемы применяются последовательно
так , что решение, полученное на предыдущем дробном шаге, исполь­
зуется в качестве начального условия для следующего дробного ш ага.
В совокупности схемы (6.31)— (6.33) обеспечивают получение реш е­
ния в момент времени t + At/2.
П оскольку в схемах (6.31)— (6.33) применяются направленны е
разности по времени и по пространству, то аппроксимация ими урав214
нения (6.29) имеет первый порядок точности. Эти схемы назы ваю тся
схемами предиктора.
Д ал ее на интервале от t до t + At реш ается уравнение (6.29)
с помощью схемы центральны х разностей
<p!w, k = Ф/, /, k — [и** ( ф ж . /, k — ф * - 1 , /, k) + М'/ (ф*. ж . *
+ М'Пф*, Ь Л+1 — ф*. /, /е—1)]
Ф*. Ж . *) +
s+-y
>(6.34
которая аппроксимирует уравнение (6.29) со вторым порядком точ­
ности. Эта схема назы вается схемой корректора.
Рассмотрим подробнее реш ение системы уравнений (6.30). П о­
скольку все уравн ен ия этой системы однотипны, рассмотрим реш е­
ние только первого уравнения
! + « § - о.
(6.35>
Д л я простоты разобьем ш аг по времени на два равных и н тервал а
от t до t + А^/2 и от t + Д //2 до t + At. Н а первом интервале (дроб­
ном шаге) от i до t + At/2 используется схема предиктора
s+ ir
фп+1
S+ T
фя
_
S
— фя
Ц „<0,
<6.36>
И'/г
S+ ~o"
ф„
где п =
s+4
— фл ПрН
^ З д е с ь
S+ ~T
— ф„_1при
Ц п > 0.
Л
индексы / и k опущены, а вместо-
индекса i используется индекс я, так как через i будет обозначаться
]/~— 1. Д вухточечны е схемы (6 .3 6 ) можно формально записать в виде
единой трехточечной схемы, объединяющей сучаи \лп < 0 и fxn > 0:
±
^пф/г—1
S+ -L
2Ьпип
S+ —
^/гф/г+1
=
/я»
(6 .3 7 )
где
=== | М'Л | Н~ М'л» Ьп =
1 ~Ь | (Л/г |, Сп =
| \*>п |
М'Я» fn = 2 ф л.
Схема (6 .3 7 ), зап и сан н ая для точек п = 1, 2, ..., iV — 1, пред­
ставляет собой систему алгебраических уравнений, в которы х соs_l_L
держ атся неизвестные ф 2 в трех соседних точках п — 1, п, п + 1.
М атрица коэффициентов этой системы уравнений — трехди агон аль­
ная. В точках п = 0, п = N ставятся граничные условия ф0, ф^.
Система уравнений с граничными условиями является зам кнутой.
Д л я реш ения таких систем уравнений применяется метод разностной
ф акторизации (прогонки). Этот метод реализуется с помощью д в у х
циклов вычислений, которые назы ваю тся прогонками вперед и
215>
н а з а д . Н а прогонке вперед (индекс п возрастает, пробегая значе­
н и я п = 1, 2 , ..., N — 1) рассчитываются вспомогательные величины
P”*‘ “ 2» » - o npn '
Pl-°>
*. = < * ( » - 1 . 2 ...........Л Г - 1).
Н а прогонке назад (индекс п убывает от N — 1 до 1) определяю тся
искомые величины
,
1
.
1
s Н п~
S~^~~2
<Рп
= Р/И-1Ф/1+1 + Zn+1;
флг = Ф (xN) (п = N — l , N — 2, . . . , 1).
Н етрудно убедиться в том, что граничные условия в точках
п — 0, п = N будут использоваться только тогда, когда поток
направлен внутрь области определения решений, т. е. если иг > О,
uN_± < 0 (juix > 0, \iN_t < 0). В противных случаях ((Ых < 0, \iN_x >
> 0) граничные условия не использую тся. Метод прогонки устой­
чив, если ап + сп < ; 2Ьп . Это условие выполняется, так как ап +
+ сп = 2 | \хп |, 2Ьп = 2 \ \хп \ + 2.
П окаж ем, что аппроксимация уравнения (6.35) конечно-разност­
ным уравнением (6.36) приводит к появлению эффекта счетной
вязкости. Р азлож им решение уравнения (6.35) в ряды Т эйлора
в окрестности точки х = х п, t = /s:
ф (*д, ta +
(АО2 .
- ф (хп, t.) + ( ^ - ) п - у - + ( р г ) „ ^
Ф ( * п ± Ах, t s +
_.
= ф (хп, ts) ± (-§£)* Л* +
+ (3 ):^ + (* ):4 r+ (S ):^ + -И з уравнения (6.35) следует, что
<6-39>
П одставляя разлож ения (6.38) в конечно-разностное уравнение
•{6.37) и учитывая (6.39), получаем:
<в - 4 о >
где v = и2 Д//4 + \ и \ Ах/2 — коэффициент счетной вязкости. При по­
лучении уравнения (6.40) предполагалось, что отброшенные члены
в разлож ениях (6.38) малы.
Таким образом, конечно-разностное уравнение (6.36) в действи­
тельности аппроксимирует не уравнение (6.35), а уравнение (6.40),
которое описывает не только адвекцию, но и вязкость.
216
Д л я уточнения реш ения используется схема корректора второго»
п орядка точности с центральными разностями, применение которой
не приводит к появлению эффекта счетной вязкости.
Схема корректора для уравнения (6.35) записы вается в следу­
ющем виде:
(6.41>
Таким образом, применение схем предиктора и корректора обе­
спечивает получение реш ения в момент времени t + At. А ппрокси­
мация уравнения (6.35) схемами предиктора и корректора имеет вто­
рой порядок точности.
П окаж ем, что комбинация схем (6.37) и (6.41) оказы вается устой­
чивой. При этом будем полагать, что
= const. Пусть
> 0.
В этом случае схема (6.37) имеет вид
(6.42)
Из конечно-разностных схем (6.41) и (6.42) исключим неизвестную
величину ф с дробным индексом s + V2. Д л я этого запишем схем у
(6.42) для точек п + 1 и п — 1:
Вычитая из первой формулы вторую, получаем:
s + "5"
фя-J-l
s+ ~
ф/l—1 = фл+1
ф/l—1
(
М'Л \ фя+1
s s( S “* " F
Ф
(6.43>
Схему (6.41) запишем для точки
Отсюда имеем:
И спользуя выраж ение (6.44) уравнение (6.43) представим в виде
ф/г^~
фл “Ь М'Л (фл~^
фл- i )н~ М ф п + 1
Фл) — 0.
(6.45)
П одставляя в уравнение (6.45) волновое решение вида q>hs) =
= y°XseimnAx и сокращ ая результат на общий сомножитель q>°XseimnAxf
получаем следующее выраж ение для множ ителя перехода:
а __ 1 + ^ ( 1 — cos т Ах) — ф, sin т Ах
1+
(1 — cos т Ах) + /|г sin т Ах 9
21Т
где X = Фп+ 1/Фп- П оскольку модули комплексных чисел в числителе
и знаменателе равны, то \Х \ = 1. Это означает, что рассмотренная
схема предиктор— корректор устойчива.
Решение системы уравнений
Рассмотрим применение метода расщ епления для реш ения си­
стемы уравнений пространственной прогностической модели в С-си­
стеме координат следующего ’вида:
du
dv . dco
дх + ду + д%
(6.46)
Граничные условия по вертикали имеют вид
u = v = 0, (о = ^ ^ - ,
=
Условие (о =
=
^ =
0
при
=
(о = 0
5 = 1;
при
5 = 0.
(6.47)
соответствует условию pw = 0 (w = dz/dt)
при г = 0. Н а боковых границах принимаем
(6.48)
Расщ епление системы уравнений (6.46) произведем, следуя
Г. И. М арчуку (1967), с учетом основных факторов, определяю щ их
эволю цию метеорологических полей. П реж де всего следует учесть
адвекцию . При переносе (адвекции) воздуш ных масс происходит
перестройка метеорологических полей, которая наруш ает квазигеострофическое равновесие. Равновесие будет восстановлено посред­
ством механизма адаптации. Д л я описания этого механизма следует
решить уравнения адаптации, используя в качестве начальны х данны х
метеовеличины, полученные в результате реш ения уравнений адвек­
ции.
А даптация полей достигается за счет дисперсии волн, генерируе­
мых при нарушении квазигеострофического равновесия. П осле
адаптации полей с помощью механизма турбулентного обмена сгла­
ж иваю тся мелкомасштабные возмущ ения. Этот механизм описы­
вается уравнениями, содержащими вязки е и диффузионные члены.
В качестве начальны х условий д ля реш ения этих уравнений исполь­
зую тся поля метеовеличин, полученные в результате решения уравне­
ний адаптации.
Таким образом, вместо непрерывной эволюции полей метеовели­
чин метод расщ епления предусматривает последовательное дискретное
описание этого процесса. Конечно, такое представление динамики
атмосферных процессов является упрощенным. Однако оно учиты­
вает основные факторы, определяю щие эволюцию метеорологиче­
ских полей. Очевидно, что чем меньше будет выбранный ш аг по вре­
мени, тем точнее будет описываться эволю ция полей.
И нтервал времени, равный ш агу по времени А/, представим
в виде суммы дробных шагов, полагая А* = Atx + At2 + А/3 (А/х =
= А/2 = А/3). С учетом этого имеем
t ~Ь At = t -j- А/г -j- At2 ~b A/3,
(/ -f- A t)/A t = s + 1 — s + -g- + “з" + “з~«
В принципе дробные шаги могут быть разными, т. е. А ^ Ф AU Ф
Ф Д4В соответствии с приведенными выше соображениями система
уравнений (6.46) расщ епляется на три следующие подсистемы:
du __л
_
ди __
~дГ ~ ~
= °,
дФ , <
~дх +
'
dv ___л
_
d T ___л
= 0, -jg — 0;
dv __
дФ
~дГ ~ ~ ~ д у
*
д Т __ с2 со
LU' ~ d t ~ ~ R ~ '
# + £ +* - * » • —
£ = Ш
/л *л\
(6.49>
Иг -
<МЧ>
‘£ « , $ + № -
+
(6.51)
где
* - «от»*) (т. - т). 4-=4г+“£+
И ндивидуальные производные в уравнениях (6.49) записы ваю тся
без членов, содерж ащ их производные по £, так как для первых двух
уравнений эти члены малы, а в третьем уравнении этот член отсут­
ствует. У равнения подсистемы (6.49) реш аю тся с помощью схемы
219
предиктор — корректор, рассмотренной выше, на интервале вре­
мени от / до / + Л^1 + At2 (от s до s
2/з). П ри этом использую тся
^боковые граничные условия (6.48). Н а первом дробном шаге (А/х)
реали зую тся схемы предиктора, а затем полученные реш ения уточ­
няю тся с помощью схемы корректора. В результате реализации схем
предиктор— корректор получаю тся реш ения в момент времени
t + A tx -j- А/2, т. е. &s+ 2/3, ys+ 2/3, T s+2/з, которые использую тся
в качестве начальны х условий для реш ения подсистемы (6.50).
Подсистема уравнений (6.50) реш ается на интервале времени от
i + 2/3 At до t + At (от s + 2/3 до s + 1). Заменив производные
по времени конечными разностями, уравнения (6.50) представим
в неявном виде
s+1 — aS + “ 3
At
s+ -
lvs+l =
дФ 5+ 1
дх 9
Vs+ l — V
At
3
, и S+1 _
+IU
—
д ф5_И
ду
,
s+ 4
ys-f-1 __ J-
с2 s + i dus + l . das+1 ,
do)s+1
СО , —z----- —т------------- = 0 ,
/?£
дх
1 ду
‘
д£
Д/
Л
9
Г +1 = —
(6. 52)
Н а основе системы уравнений (6.52) получим одно уравнение для
« Ф ^ 1. И з первых двух уравнений находим
dOs+1
-l(A ty -d T -
/#S+1 _ ____ 1____ / S+ “q“
1 + (/ At)2 \ «
+ I Atv
A,d<Ds+1 \
A t dx
) >
7jS+l _ ______ J_____ / s + " if
+,
1 + (/ At)2 \ v
— I Atu
,l (, M
* a) 2 ^— S+'
x
А^
ф5+1
A t —^
j — \J .
+
/С
(6.53)
Т р етье уравнение, используя уравнение статики, запишем в виде
“!+‘=- -Ш(?!тг + к т’+^) ■
<
6И>
П одставляя полученные вы раж ения для всех трех составляю щ их
скорости в уравнение неразры вности, получим уравнение для Ф
:
а
(с At)*
+
д
dl
) +
\
/ «.2dO s+1 \
dx2
,
/
+
д2Ф*+'
dy 2
.
d2O s+1A / R ^ S+1^
dx
) ~
(6 .5 5 )
520
где
а = 1 + ( / Д 0 2, P = -g -,
p s + 3 __
Ra j
(c At)2 dfe \ C-
\ ___ 1 ( du + ^
П ри получении уравнения (6.55) полагалось, что д1/дх = О,
с2 = const, а = const. У равнение (6.55) относительно O s+ ! является
линейным дифференциальным уравнением в частных производных
второго порядка эллиптического типа. А ппроксимируя производные
отнош ениями конечных разностей, получаем конечно-разностный
ан ал о г этого уравнения:
о
®+г
3
где i = jc/Алг, / = у / Ay; А х = Ay = d; т = £/А£, Л \ /,т — конечно­
разностны й аналог правой части уравнения (6.55).
Записав конечно-разностное уравнение (6.56) д ля всех внутрен­
них точек пространственной сетки в пределах области прогноза,
приходим к системе линейных алгебраических уравнений для неиз­
вестны х величин O s+ !.
Система линейны х уравнений с граничными условиями (6.47),
(6.48), которые такж е записы ваю тся в конечно-разностном виде,
оказы вается зам кн утой .
Д л я реш ения этой системы можно применить метод релаксаций.
И спользуя полученные значения Ф8+ !, с помощью уравнений (6.53)
определяю тся us+l и vs+l. Затем с помощью уравнений н еразры в­
ности и статики системы (6.52) находятся cos+ ! и T s+l .
У равнения подсистемы (6.51) однотипны, и их можно записать
в общем виде
(6.57)
и
где / =
о
Т
221
Д л я этого уравнения в качестве начальных условий использую тся
«!+1
v t +l
T s+l
реш ения уравнений адаптации, т. е. f s = /f+1, где /f+1
реш ения уравнений адаптации.
Д л я реш ения уравнения (6.57) используется
разностная схема:
&+\
_ fS #
I
явн ая
конечно­
I i, / , т — I i, / , т “ г
Atk _________ I с.2 / / t, / , m+1f it / , m \
+ t ‘R ‘ - )
- С-4(
1» +
, /, m
1— £
,
T
m
1
?r L
f i t j t m —1 \ I
m + -7Г \
2
|
^m+1 ~ ~ ^ m
T
J
k i At r f s
) I + =Sr W+i. /.« + tf-i. /.« +
/4-1. m "f" f i . /—Ь m — tfif /. *я]>
(6.58)>
где T m — зависит только от £.
С помощью этой схемы и граничны х условий вычисляются us+l r
ys+i, Т 8+1, а затем по уравнениям неразрывности и статики рассчи­
тываю тся cos+l и O s+ r. Применение явной схемы для реш ения ур ав ­
нений (6.51) допустимо, так к ак эффекты турбулентной вязкости
и диффузии оказы ваю тся малыми.
Глава в
СПЕКТРАЛЬНЫЕ
МОДЕЛИ
ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ
В последние годы, наряду с сеточными (конечно-разностными)
методами реш ения, традиционно используемыми в прогностических
м оделях, все шире применяются такие методы, в которых простран­
ственная зависимость прогнозируемых метеовеличин (зависимых
переменных) представляется в виде рядов по системам функций,
обладаю щ их определенными свойствами. В этом случае прогностиче­
ск о е уравнение или система прогностических уравнений в частных
производных относительно зависимых переменных сводится к си­
стемам дифференциальных уравнений д ля коэффициентов р азл о ж е­
ния, зависящ их от времени. При таком подходе искомыми величи­
нами являю тся не значения прогнозируемых функций в у зл ах сетки
точек, как в случае применения сеточных методов, а коэффициенты
р азл о ж ен и я рядов. Один из вариантов указанного метода в задачах
численного прогноза погоды принято назы вать спектральны м ме­
тодом, а прогностические модели, в которых уравнения реш аются
•спектральным методом, — спектральны ми моделями.
В большинстве спектральны х моделей зависимость прогнози­
руемых функций от времени и от вертикальной координаты пред­
ставл яется в дискретной форме, а интегрирование по времени отно­
сительно коэффициентов разлож ени я осущ ествляется методом .ша­
гов по времени. В этой главе будут рассмотрены вопросы, связанны е
с построением решений уравнений гидротермодинамики с помощью
рядов. При этом в силу ограниченного объема книги мы не пытались
д ать описание конкретных моделей, основанных на использовании
рядов, полагая что с ними студенты ознаком ятся по книге С. А. Машковича «Спектральные модели общей циркуляции атмосферы и
численного прогноза погоды».
5.1. Некоторые сведения о решении
задачи прогноза погоды с помощью рядов
С пектральный метод, яв л яя сь одним из вариантов метода реш е­
н и я дифференциальных уравнений с помощью рядов, сводится
к определению некоторых параметров — коэффициентов разлож ени я
пли производных по времени от них. Поясним сущность этого метода
п а примере прогностического уравнения, в качестве которого возь­
мем уравнение адвекции
У .
У
где / (/, г) — искрмая ск ал яр н ая ф ункция; v — скорость переноса,
которую пока будем считать постоянной.
Решение уравнения (1.1) будем строить для дискретных момен­
тов времени s = t/A t (At — шаг по времени) методом шагов по вре­
мени в пределах области G, определенной на оси г £ [0, 2л;].
Потребуем, чтобы в области G решение удовлетворяло условию
периодичности / (/, г + 2я) = / (/, г).
Н ачальны е значения функции / (/0, г) и искомые (прогностические)
значения этой функции / (/, г) представим рядом с конечным числом
членов:
м
f ( t , r ) = Z f m ( 0 u m (r),
( 1.2)
т =О
где f m (t) — искомые коэффициенты, зависящ ие от времени; ит (г) —
базисные линейно независимые функции, зависящ ие от простран­
ственных координат (в данном случае от г); М — число членов р аз­
лож ения. Н ачальны е значения функции / (/0, г) представляю тся
рядом ( 1.2) с коэффициентами / т (/0). Базисны е функции ит (г) долж ны
быть периодическими, так как / ( г, t ) периодична.
П оскольку в ряду (1.2) используется ограниченное число членов
разлож ения, то он позволяет в принципе определить лиш ь прибли­
женные значения функции / (/, г), обозначаемые через f (/, г).
Поэтому, если подставить ряд ( 1.2) в уравнение (1.1), то вместо
нуля в правой части получится некоторая величина — н евязка е:
М
2 т
т =0
м
'
“»*(г) + у 2 fm {t)
т =О
=е-
(I -3)
В уравнении (1.3) в отличие от уравнения (1.1) фигурирую т пол­
ные производные, так к ак коэффициенты f m (t) зависят только от t ,
а базисные функции ит (г) — только от г.
В зависимости от способа минимизации невязки е различаю тся
системы уравнений, носящ ие н азвания «определяющих», с помощью
которых находятся искомые параметры. В рассматриваемом примере
искомыми параметрами буду производные по времени от коэффи­
циентов разлож ени я, т. е. d fm (t)/dt.
При построении определяю щ их систем уравнений, используемых
для нахождения параметров, применяются следующие методы.
Метод коллокации
Определяю щ ая система уравнений строится с помощью условия
е = 0 , задаваемого в п точках коллокации, равномерно размещ енных
в области определения реш ения G.
В этом случае (при 8 = 0) выражение (1.3) записы вается д л я
каждой точки коллокации в виде
м
м
2
т= 0
224
=
т= 0
« =0 , 1 , . . . , м.
(1.4)
Система этих выражений представляет собой определяющую си­
стему уравнений д ля нахож дения dfm (t)/dt, (т = 0, 1,
М ).
Метод наименьших квадратов
О пределяю щ ая система уравнений строится так, чтобы выпол­
нялось условие
J = J е2 dr = m in,
G
т. е. из условия экстремума для J :
= 0,
т = 0, 1, 2 , . . . , М .
Метод Галеркина (метод ортогональных проекций)
О пределяю щ ая система уравнений получается из условий орто­
гональности невязки координатным (базисным) функциям:
[ ы т (г) dr = 0 ,
в
т = 0 , 1, 2 , . . . , М .
Н етрудно убедиться в том, что определяющие системы уравне­
ний, получаемые по методу наименьших квадратов и по методу орто­
гональны х проекций, идентичны и имеют вид
!
М
м
\
2 ^ 3 1 r um ^ + v
т= 0
\ uh ( r ) d r = 0 ,
)
m =О
k = 0, 1, 2, . . . , М .
(1.5)
В общем случае решение определяю щ их систем уравнений требует
обращ ения матриц. Однако этого можно избеж ать, если в качестве
базисных использую тся ортогональны е функции, удовлетворяю щ ие
условию
и (r)uk
(г\ и 1г\
При
jf um
( r )Игd r- - (\ С""п
0
при
т ф
= К
k’
т
G
Е сли базисные функции ит (г) обладаю т свойством ортогональности,
то отпадает необходимость обращ ения матриц, так как в этом случае
м
т
= ~ т - 1 0
стт в
от=0
(r) d r-
k==0' l >
м -
После определения dfm (t)Jdt вычисляю тся значения коэффициен­
тов в момент времени t + At:
f m (t + At) = f m (t) + d- ^ A t ,
15 П . Н . БелЬв и др.
т = О, 1, 2, . . . , М ,
225
а в результате применения процедуры шагов по времени рассчиты ­
ваются коэффициенты на срок прогноза f m (/п). Затем с помощью
ряда ( 1.2) определяю тся прогностические поля функции / (tu, г).
Таким образом, прогноз функции / (/, г) с помощью рядов сводится
к прогнозу коэффициентов разлож ения.
Выше была рассмотрена задача прогноза на основе уравн ен ия
( 1. 1), в котором скорость переноса v принималась постоянной.
Если считать, что скорость переноса во времени и в пространстве
меняется, т. е. v (/, г), то при построении определяю щей системы
уравнений следует использовать разлож ение в ряд не только ф ун к­
ции / (/, г), но и скорости переноса:
м •
v(t, /•) = £ Vm{t)um{r).
т =О
В этом случае определяю щ ая система уравнений для dfm (t)/dt,
построенная по методу Г алеркина, имеет вид
!
М
М
2
m= 0
М
vm(t)Um(r) 2
m=0
X uk (r) dr = 0,
)
fm(t) d“™r(r) X
m= 0
k = 0, 1, 2, . . . , M .
'
(1.6)
П ри этом коэффициенты vm (t) определяю тся с помощью уравн ен ия
движ ения, которое, так ж е к а к уравнение ( 1. 1), реш ается с помощью
рядов с соответствующими начальны ми и граничными условиям и.
Вполне естественно, что совокупность уравнений для ф ункций
/ (t , г) и v (t , г) долж на представлять зам кнутую систему уравнений.
В рассмотренном примере реш ение строилось для уравн ен ия (1.1),
в котором под знаком производной по времени стояла иском ая ф ун к­
ц ия, т. е. тождественный оператор.
В задачах прогноза приходится иметь дело с прогностическими
уравнениям и, которые могут быть записаны в следующем общем виде:
д* Uidf ' Г)] = Ft (ft),
i = 1 , 2 .........../ ,
(1.7)
где г — лю бая пространственная независимая переменная (я, у> г,
С (/?)); 3? — линейный дифференциальный оператор по простран­
ственным независимым переменным, действующий на зависимые
переменные f t (число которых равно /); F t — линейные и нелинейные
члены прогностических уравнений, не содерж ащ ие производных по
времени. Если прогностическая модель строится на основе полных
уравнений гидротермодинамики, то оператор SB является тож де­
ственным: 2? (fi) = fi- В квазигеострофических и квазисоленоидальны х моделях / = 1, так как в этих моделях одна зависим ая
переменная (геопотенциал или ф ункция тока), а 2? является двум ер­
ным (для баротропных моделей) или трехмерным (для бароклинны х
моделей) эллиптическим оператором.
226
Если оператор 2? нетождественный, то определяю щ ая система
уравнений, получаем ая по методу Г алеркин а для (1.7) при 1 = 1
имеет вид
S\ж
[m2=0fm{t) Um(r)Jl - FLm
[2=0fm{t)Um{r) X uh (r) dr = 0,
I s L
G
ИЛИ
м
2
m= 0
— \ F \ y , f m ( t ) u m ( r ) ] u h (r)dr = 0,
G
Lm=0
(1.8)
J
fc = 0, 1, 2 , . . . , M .
При получении системы (1.8) использовалось разлож ение (1.2)
Система уравнений (1.8) в общем случае нелинейна.
П реж де чем приступить к более полному рассмотрению методов
реш ения задачи прогноза погоды с помощью разл ож ен и я зависимы х
переменных в ряды , сформулируем некоторые установивш иеся в л и ­
тературе понятия.
П рогностические модели, в которы х реш ение уравнений строится
с помощью разлож ений по ортогональны м базисным ф ункциям с ми­
нимизацией невязки по методу наименьш их квадратов или по методу
ортогональны х проекций (метод Г алеркин а), принято назы вать
спектральны м и. Если ж е для построения определяю щ ей системы
уравнений используется метод коллокаци и , то прогностические
модели называю т псевдоспектр ал ьными. Термин «спектральный»
отраж ает тот факт, что множество коэффициентов разл ож ен и я за ­
висимых переменных в ряды рассм атривается в качестве их спектров.
В последние годы уделяется значительное внимание моделям,
в которы х д ля реш ения прогностических уравнений прим еняется
метод конечных элементов. В этих м оделях область прогноза разб и ­
вается на конечное число подобластей, называемых элементами, для
каж дой из которы х строятся простые функции, аппроксимирую щ ие
зависимы е переменные в пределах подобластей, но так , чтобы ап п рок­
симация д ля всей области прогноза была непрерывной. Построение
определяю щ их систем уравнений в так и х моделях может вы пол­
няться любым из рассмотренны х методов, т. е. методом наименьш их
квадратов, Г алеркин а или методом коллокаци и .
В заклю чение заметим, что при использовании рядов д ля реш е­
ния прогностических уравнений, так ж е к а к и в случае применения
метода сеток, задача сводится к определению конечного числа п ар а­
метров. П ри этом искомыми парам етрам и являю тся производные
по времени д л я коэффициентов разл ож ен и я, а вычисляю тся эти па­
раметры путем реш ения определяю щ их систем уравнений. Т ак к ак
15*
227
в этих уравн ен иях содерж ится конечное число базисны х ф ункций
и искомых парам етров, то их принято назы вать пространственно
усеченными.
5.2. Базисные функции, используемые
в спектральных моделях.
Разложение в ряды по базисным функциям
К ак отмечалось выше, чтобы избеж ать обращ ения матриц при
решении определяю щ их систем уравнений, в качестве базисных
целесообразно использовать линейно-независимые ортогональны е
функции.
Если базисные ф ункции ортогональны , т. е.
J“.иMD<fr=( 0п£итфк'
Г
/ч
/ \ j
( с2
тт при /п = k,
(2.1)
/0 1Ч
G
то можно получить ортонормированны е базисные функции
й т(г) = стти(г),
(2 .2 )
которые удовлетворяю т условиям
С
Г1
J “-« »*('■ )*• = { „
при т = k,
при т ф ъ,
(2-3)
G
Базисны е функции долж ны удовлетворять краевы м условиям ,
используемым при решении прогностических уравнений. В этом сл у­
чае реш ение задачи, полученное с помощью рядов, будет удовлетво­
рять условиям на гран и цах для прогностических уравнений.
Р яды , членами которы х являю тся базисные ф ункции, долж ны
быть сходящ имися:
м
Hm Ц f m (t) Mm (г) — f (t, Г).
M-+oo m=О
Если с помощью рядов предполагается реш ать прогностическое
уравнение или систему вида (1.7), в которы х & представляет собой
нетождественный линейны й дифференциальный оператор, то в к а ­
честве базисных функций целесообразно использовать собственные
функции этого оператора.
Собственные функции ит (г) линейного дифференциального опе­
ратора удовлетворяю т уравнению
3? [ит (г)] = Хти т (г),
(2.4)
где Хт — собственные числа.
Система собственных функций долж на быть ортогональной и
полной в области G.
228
В больш инстве прогностических моделей, в которы х реш ение
строится с помощью рядов, сохраняю т конечно-разностное представ­
ление производных по времени и по вертикальной координате, а р а з ­
лож ение в ряды осущ ествляется по базисным ф ункциям , зависящ им
только от горизонтальны х координат. Здесь будут рассм атриваться
только такие модели.
5 .2 .1 . Тригонометрические функции
В качестве базисных функций удобно использовать тригоном е­
трические функции, которые линейно независимы, ортогональны
и периодичны.
Тригонометрические функции образую т полную ортогональную
систему. Д л я достаточно глад ки х ф ункций ряды Ф урье с тригоном е­
трическими ф ункциям и обладаю т хорошей сходимостью. При ис­
пользовании тригонометрических ф ункций в качестве базисных ряд
( 1.2) записы вается в виде
т= 1
где т = 2я /L , L — длина волны,
Если иметь в виду построение реш ения для уравн ен ия (1.1), то,
п о лагая, что v — составляю щ ая скорости, н ап равлен ная на восток
по к р у гу широты длиной. L, а г — расстояние вдоль к р у га ш ироты,
удобно ввести вместо г долготу к = 2 n /L г и угловую скорость
со = (2n /L ) v. При v = const со = const.
В этом случае уравнение (1.1) записы вается в виде
(2.5)
где
/ (X,
t) — периодическая
ф ункция
с
периодом
2я:
f (К, О = f (К + 2п п , ().
Усеченный р яд Ф урье д ля f (X, t) имеет вид
гС
Г (к, 0 = А г - +
М
Е Ш (0 cos тк + f m (0 sin т%),
(2.6)
где f m (f) cos nik + f*m (0 sin т к — компоненты Ф урье, т — зо н ал ь ­
ное волновое число (число волн на круге ш ироты), М — м акси м аль­
ное волновое число. Общее число членов ряд а (2.6) равно N = 2М +
+ 1, вклю чая f c0 (t). С помощью формул Эйлера
е1ГПК I g—imN
eimX е—irriK
cos т к = ------^ -------, sin т к
21РЯД (2 .6) можно записать более ком пактно:
м
f(K 0 =
Е trait)eim\
(2.7)
т =— М
229
где
/о (О = О,
fm (t) = -jjj- [/m (0 — ifm (/)]
f m (О =
- 5 - [ / т (О +
i f m (/)]
ПрИ
П ри
Ш <
ГП> О,
О.
Т ак к а к ф ункция / (A,, t) яв л яется вещественной, то д ля ее пред­
ставления в ряду (2.7) достаточно ограничиться членами с О < ! т =
= М:
м
о
f ( K
= И
(2 . 8 )
f m ( t ) e i mK-
т =О
У словие ортогональности для ф ункций eim% имеет вид
2Я
J -
2л
Глтхлт^
J
о
е
е
«
f 1 при
ак = < Л
( 0 при
т = т х,
,
тфтъ
(2.9)
4 '
с помощью которого вы числяю тся коэффициенты разлож ени я
2Я
Ы 0 = - ^ - j / ( b , i ) e ~ imXdk.
о
(2. 10)
5 .2 .2 . Сферические функции.
Разложение по сферическим функциям
При описании атмосферных процессов, протекающих^ на Зем ле,
обычно использую т сферические координаты. Если система уравн е­
ний модели зап и сан а т ак , что вертикальны е производные ап прокси­
мированы конечными разностям и, то в такой системе зависимость
от вертикальной координаты будет парам етрической, а прогности­
ческие переменные будут функциями только географического поло­
ж ения и времени. Д л я глобальны х моделей в качестве базисных
ф ункций удобно выбрать сферические функции, которы е непрерывны
и определены всюду на сфере. Р азл ож ен и я в ряды по сферическим
ф ункциям достаточно гладки х ф ункций сходятся довольно быстро.
Д аж е если в отдельных точках имеется разры в, то сходимость рядов
всегда будет обеспечена, хотя и хуж е, чем при отсутствии разры вов.
А главное, представления так и х полей с помощью разлож ений по
сферическим ф ункциям будут давать гладкие поля, т. е. сглаж ивать
разры вы . Поэтому при выборе формы уравнений модели необходимо
стремиться к тому, чтобы они не содерж али переменных, д л я кото­
рых имеются точки разры ва. В сферических координатах таким и
точками разры ва являю тся полюса, в которы х вектор гори зонталь­
ного ветра непреры вен, а его составляю щ ие и и v терп ят разры в.
Д л я того чтобы преодолеть эту трудность, использую т два приема.
П ервый прием состоит в том, что составляю щ ие ветра и и v пред­
230
ставляю т с помощью функции тока г|) и потенциала % и вместо обыч­
ных уравнений движ ения д ля составляю щ их и и v использую т у р ав ­
нение д ля ви хря скорости (Q = У2г|э) и уравнение для двумерной
дивергенции (D = V2x).
Второй прием сводится к тому, что в исходные уравнения д ви ж е­
ния вводятся новые функции
U = u cos ф, V = v cos ф,
(2.11)
которые на полю сах обращ аю тся в нуль; поля так и х функций о к а ­
зы ваю тся уж е непрерывными. В формулах (2.11) ф — географ ическая
ш ирота.
Первый прием на п ракти ке используется чаще.
П редполож им, что наш а прогностическая задача имеет реш ение,
непреры вное вместе со своими вторыми производными на всей сфере.
Тогда оно может быть представлено бесконечным рядом по сфериче­
ским ф ункциям , который сходится абсолютно и равномерно. Ф ор­
мально разлож ение, например, ф ункции тока г|) (к, \i, t) в р я д по
сферическим функциям представляется следующим образом:
Ч Ж !*.<)=
2
2
т= —оо п— \ т |
* . , . ( / ) у ? <*, I*),
(2 . 12)
где Yn — сф ерическая ф ункция порядка т и степени л, % — дол ­
гота,
= sin ф — гауссова ш ирота, ф — географ ическая ш ирота.
Сферические функции являю тся полной системой собственных
функций уравнения Гельмгольца на сфере следующ его вида:
v 2y m +
П (П +
1) у п г =
0>
(2 Л З )
где
1
/ д* ,
д
д \
V2 = —5
»--Н—/) ,
cos2
ф( \ д},2 + COS ф -та2---д(р COS ф "dip
*-72
а — радиус Зем ли.
Сферические ф ункции вы раж аю тся через д ругие ортогональны е
функции:
П Ж
ц) = Я Г (|* )г,т \
(2.14)
где Рп ([>0 — нормированные присоединенные функции (полиномы)
Л еж ан д р а. Эти функции затабулированы , а в случае необходимости
их нетрудно вы числять на ЭВМ по специальны м рекуррентны м фор­
мулам . Выпишем некоторые из этих формул — они понадобятся
нам в последующем:
dPm
О - Ц2)
= (П + 1) D m, пР SLi -
n D m, n+xP n + u
l i P n = D m, n + l PZ+ l + D m, nP Z . i t
(2.15)
(2.16)
231
где
/2
п2 — т 2 у
\ 1/2
An,n= ( 4л2 — 1 )
(2.16')
Полиномы Л еж ан д ра, а следовательно, и сферические функции
обладаю т рядом свойств. Ф ункция Р% определена д л я всех целых
значений т , п при п > | т |, откуда следует:
P n m (v) = ( - 1Г К
для
м .
В оспользовавш ись выраж ением (2.14),
сферических функций в виде
получим аналог
(2.17)
(2.17)
(2.18)
где чертой обозначена ком плексно-сопряж енная функция:
|i) = />?(!*) e“ ,mX.
(2.19)
Сферические функции с т
0 симметричны относительно
эквато р а, если п — т — четное, и антисимметричны, если п — т —
нечетное. П ри этом п — т равно числу нулевы х точек по ср между
Северным и Ю жным полюсом. Сферические ф ункции обращ аю тся
в нуль на полю сах при т Ф 0 и отличны от нуля при т = 0. В пос­
леднем случае
= Р п (и^) — обычные полиномы Л еж ан д ра. Сфе­
рические функции ортогональны , т. е.
1
при
0
при
(2.20)
о —1
С помощью условий ортогональности (2.20) определяю тся коэф­
фициенты ряда (2 . 12)
2Я 1
М-. t ) Y n ( K
Ф™. » (0 = 4^-J
0 —1
(2.21)
Н а п рактике удобнее формулу (2.21) заменить на эквивалентны е
формулы
(2.22)
о
(2.23)
—
1
В ы раж ение (2.22) представляет собой обычное разлож ение в р я д
Ф урье вдоль кругов широт, а в формуле (2.23) осущ ествляется
232
Р ис. 5.1. Диаграмма т, п.
8
интегрирование
коэффи­
циентов ряда Ф урье по
ц, с весами Р „ (|л).
Компоненты ряда (2.12)
условно можно предста­
вить
как
совокупность
точек в заш трихованной
области на диаграмме в
плоскости т , п (рис. 5.1).
Из диаграммы видно, что р яд (2.12) эквивалентен следующему
ряду:
Ч>(Х, I*, < ) = Е
* m . n ( f ) Y Z (X, |Л).
2
(2.24)
п =0 т = — п
5 .2 .3 . Усечение бесконечных рядов
В применении к глобальны м моделям всегда использую тся
пространственно усеченные ряды . П ри этом, естественно, сп ек тр ал ь­
ное представление будет приближенны м. П оскольку ряды по сфе­
рическим ф ункциям содерж ат два индекса, то форма усечения рядов
может быть различной. Н а основе р яд а (2.24) можно проиллю стри­
ровать один из распространенны х типов усечения, а именно тр е­
угольное усечение. В ряде (2.24) суммирование по п можно огран и ­
чить числом N . Соответственно этому ряд (2.12) представляется
в виде
+ (Ь, |i, * ) =
N
N
I!
£
m = — N п = \т \
ф т. «к» (К |i).
(2.25)
В таком представлении число членов второй суммы линейно убывает
при увеличении т . Если потребовать, чтобы величина т была о гр а­
ниченной значением М , а число членов суммы по п в (2 . 12) было
постоянным для всех т , то в таком случае р яд (2 . 12) будет в ы гл я­
деть следующим образом:
Ф(Я, \ i , t ) =
М
\m ] + J
£
£
*m. n ( t ) Y Z ( k , |i).
(2.26)
m = —M n = \m \
В ряд у (2.26) использовано так называемое параллелограм м ное усе­
чение. Обычно М выбирают равным J . Тогда усечение назы ваю т
ромбоидальным. Естественно, выбор типов усечений на этом не
ограничивается. Он может м еняться в зависимости от решаемой
задачи. Во всех этих процедурах остается пока открытым вопрос
об оптимальности усечения. П оскольку это трудны й вопрос, то един­
ственным средством, определяю щ им достоинства и недостатки раз233
личных типов усечения могут быть практические расчеты. Э кспери­
менты показы ваю т, что при одинаковом числе членов ряд а при
ромбоидальном усечении разреш ение в высоких ш иротах лучш е,
а в низких хуж е, чем при треугольном усечении, которое дает равн о­
мерное разреш ение на всей сфере. В этом заклю чается преимущество
треугольного усечения по сравнению с ромбоидальным.
5.3. Применение спектрального метода
для решения уравнения вихря скорости
5 .3 .1 . Решение уравнения вихря скорости
спектральным методом
В услови ях бездивергентного потока его скорость определяется
функцией то ка г|). В силу этого уравнение в и хря скорости будет
содерж ать одну неизвестную функцию г|); его можно записать сле­
дующим образом:
+
«
=
(3 .0
1 <“ . Ю = | г Ж - ж f — я к ° <5» э н -
У равнение (3.1) записано таким образом, чтобы нелинейный
член находился справа. Р еш ая это уравнение с помощью разлож ени я
в р яд по сферическим ф ункциям , необходимо выбрать определенный
тип усечения этого ряда, так к ак некоторые выводы, вытекаю щ ие
из методики реш ения, сущ ественно зави сят от того, какой тип усе­
чения выбран. П рименим треугольны й тип усечения и будем искать
реш ение уравнения (3.1) в виде
|i,
о »
N
N
S
S 1 р т . „ ; ( 0 П > . |i).
т = — N п = \т \
(3.2)
Н а сферической Земле э т о т усеченный ряд удовлетворяет усло­
виям периодичности и особенностям на полю сах, но не удовлетворяет
точно самому дифференциальному уравнению , если коэффициенты
р яд а отличны от н уля.
П одставляя р яд (3.2) в левую часть уравн ен ия (3.1), получаем
д л я линейны х членов уравн ен ия ряд следующего вида:
m ——Л/ п = \т \
(3.3)
234
Рассмотрим теперь нелинейный член. Подставив в него ряд (3.2),
получим:
X
-L j w , v4) = — ^ { f 2
2
ILnh=—N /2х= |т !|
хГ 2
im^ m" n>”2(ni ^ 1
2
}
-
L m 2= —N n 2= \ m 2\
N
N
[ 2
Л
^
ntYtit
x
m ^ —N rh=\rhi\
x[ 2
2
^
^
2
2
I m„=—N n-=lmel
-------- 2
-»
. . , ^
2
1 } -J’
пг^ п { п ,г>
1^ т ‘’
(3.4)
m t = — N n l = \ m 1\ m t — — N n 2= \m 2\
где
= r t 2 (n2 + i)
dfl
d(i
(3.5)
В ы раж ение (3.4) можно записать в симметричной форме. Д л я
этого поменяем в нем индексы т 1 на т 2 и /гх на щ . П олученное таким
образом вы раж ение слож им с выраж ением (3.4) и результат разде­
лим на 2. В итоге получим
~ J (ф, V 4 ) = — -^г
и
Ц
N
N
£
£
Ц
n|>mt , п $ т г,
m t = — N r ti = J w i| т 2= — N п 2= \т 2\
(3.6)
где
W Z - *■ = 4 - [па (П2 + 1) - щ (щ + 1)] [m<Y% S
_ m Y%
.
(3.7)
В то ж е врем я, учиты вая квадратичность нелинейных членов,
их можно представить как разлож ени е в следую щий ряд:
У(ф, V 4 ) =
2 ( N — 1)
2 ( N — 1)
2
I!
m——2 (iV—1) л = = |т |
Jm, n Y Z ( k , Ц),
(3.8)
где
Jm , n —
2зт 1
J J (ф» V ф) Y n (A,, p,) dX d\x.
(3.9)
0 —1
235
Заметим, что ряды (3.3) и (3.8) усечены. С ледовательно, после
подстановки этих рядов в уравнение (3.1) появится н евязка. П риме­
н яя процедуру минимизации по методу Г алеркин а, получаем си­
стему уравнений следующего вида:
(3.10)
где т 1 и Пх пробегают все значения т и п соответственно. Отсюда
получаем следующую усеченную систему спектральны х уравнений:
(3.11)
« ( « + l ) ^ p — 2 i/n(oi|>
при 0 < | т | < п < N .
В линейны х членах учтены все члены разл ож ен и я, а в нелиней­
ных, к ак видно из системы (3.10), члены с N < п < 2 (N — 1)
зан у л яю тся. С ледовательно, если усеченный р яд точно воспроизво­
дит функцию г|) на системе точек дискретной географической сетки,
то в спектральной системе (3 . 11) не будут п оявляться гармоники
лож ного представления, т. е. такие гармоники, которые невозможно
представить на данной сетке..Э то исклю чает появление нелинейной
неустойчивости. Система (3.11) обладает еще одним важны м свой­
ством. Д л я нее, так ж е к ак и для дифференциального уравнения
(3.1), сохраняю тся такие интегральны е инварианты , как угловой
момент, кинетическая энергия и энстрофия.
5 .3 .2 . Метод взаимодействия коэффициентов
При решении системы (3.11) Наибольшие трудности возникаю т
при вычислении нелинейных членов. Д л я их вычисления сущ ествует
несколько методов. П ервый из них был предложен ЗильберманомСмысл его заклю чается в следующем. Подставив вы раж ение (3.6)
в формулу (3.9), получим:
N
N
N
N
m x= —N « i = | m i | m2= —N n 2= \ m2\
где
i
2” [n 2 ( ^ 2 + 1 ) — fll(ftl +
f Г
I
l)]J j Pti \ t n \ P rii
d P mi
-1
m m 1m 2
(3 .1 3 )
___
w n n xn % —
0
236
при
т ф
+ m 2.
Операторы
называют коэффициентами взаим одействия.
Это название отраж ает тот факт, что каж ды й коэффициент описы­
вает вклад в общем ряде произведений коэффициентов разлож ени я
различны х комбинаций. Приемы, с помощью которых по вы раж е­
ниям (3.13) определяю тся коэффициенты взаимодействия, равные
нулю , назы ваю тся правилами отбора.
Недостатком рассмотренного метода реш ения, названного мето­
дом взаимодействия коэффициентов, явл яется необходимость х р а­
нить большое число коэффициентов взаимодействия в памяти ЭВМ.
Н есмотря на то что разработаны правила отбора, позволяю щ ие
уменьш ать массив коэффициентов взаимодействия, все же трудоем­
кость метода взаимодействия коэффициентов остается, и она тем
больш е, чем выше разреш ение спектральной модели.
5 .3 .3 . Метод спектрально-сеточного преобразования
В тех сл у ч аях , когда необходимо увеличить горизонтальное
разреш ение модели, применение метода коэффициентов взаимодей­
ствия может оказаться затруднительны м из-за большого объема
вычислений, связанны х с расчетами коэффициентов взаимодействия,
и объема памяти ЭВМ для их хран ен и я. Д л я преодоления этих труд ­
ностей используется метод спектрально-сеточного п реобразования,
которы й назы ваю т так ж е просто методом п реобразования. П ри ис­
пользовании этого метода реш ение тож е представляется в виде рядов
по базисным (ортогональным) ф ункциям , которые использую тся
и при применении метода взаимодействия коэффициентов, но нели­
нейные члены вычисляю тся сеточно, т. е. в у зл ах пространственной
(двумерной) географической сетки точек. Затем полученные сеточ­
ные значения нелинейных членов представляю тся в виде ряда по
базисным ф ункциям.
В случае у равн ен ия (3.1) метод преобразования реали зуется сле­
дующим образом. В этом уравнении нелинейные члены, описывающ ие
адвекцию , обозначим через / (Я, \л):
f (К, ц) = J (Ф, У2г|)).
(3.14)
Задача заклю чается в вычислении функции' / (Я, (х) в узл ах сетки
точек, а затем в представлении~ее^усеченным рядом по сферическим
ф ункциям:
T (h ц ) = Е 2 3 и
т
где
п
П(0 е1тХРп (|i),
(3.15)
2я 1
fm, п (0 =
f
j Г (К Ц, t) e ~ imX P l (fi) dll d%,
(3.16)
О —1
или
2я
(А. Ц, t ) e ~ imXd%;
0 =
О
237
fm. n{t) = -\r ^ f m (|i, t) P l (I*)dll.
—1
(3.17)
П усть ф ункция тока г|) представлена усеченным рядом
Ф(Х, I*. О -
S ' ! >m,n(t)e-imXPZ(n),
£
т
(3.18)
п
коэффициенты которого г|)т> п (/) известны.
Если подставить ряд (3.18) в правую часть вы раж ен и я (3.14),
то, зн ая коэф ф ициенты ^™ ^ (£), можно вычислить J (г|), У2г|э) в [узлах
сетки, зад ав ая их координаты (здесь / и k — индексы точек
сетки). При этом использую тся следующие соотнош ения:
V2 {eimXP l ) = - п ( п + 1) eimXP l ,
т
п
т
п
^
dPm
(1 “ ^
“ d jT = (п + 1) D m, n Р пL, - n D m, n+1P l +u
-T - = - 2
о - f*2)
im n (n + 1}
2
m
n
= —2
2
m
n
n (t) еШХр
f ™'n" (n + ^ gimX i nDm• n+i -
— ( f l + 1) D mtTlPn-l}>
где
m> n
\
4л2 — 1
J
*
Затем полученные сеточные значения представляю тся усечен­
ным рядом (3.15). Коэффициенты этого ряда вычисляю тся по форму­
лам (3.16) или (3.17), в которы х интегралы приходится вы числять
численно с помощью квадратурн ы х формул, так к а к величины f
заданы сеточно. Эти формулы имеют следующий вид:
2Я
J L j / (Ь, I*, /) е-ь* dX ~
о
-L 2 h , he- imXh
k = 1, 2 ........ К,
/=1
(3.19)
J
fm (I* , t) P l ( f i ) d p ~
2
[T p ! ~ ( f k ) P f m М
1
k= 1
где \ik — корни полинома Л еж ан д р а P k (fx).
238
K i l l h ) ’ ( 3 -2 0 )
З а счет приближ енного (численного) вычисления интегралов при
использовании метода п реобразования могут возникать ош ибки.
Метод преобразования применяется многократно в процессе р еали ­
зации модели, поэтому ошибки приближ енного вычисления интегра­
лов могут исказить результаты реш ения задачи прогноза. Д л я того
чтобы избеж ать этого, применяют формулы численного интегриро­
вания с использованием больш ого числа узлов сетки. Проведенные
исследования п оказали, что если используется достаточно большое
число точек по К и р,, обеспечивающее высокую точность кв ад р ату р ­
ных формул (3.19) и (3.20), то метод п реобразования дает зн ачитель­
ный выигрыш в числе операций и в объеме памяти по сравнению
с методом взаимодействия. Таким образом, метод преобразования
имеет определенные преимущ ества в вычислительном отношении
по сравнению с методом коэффициентов взаимодействия в тех с л у ­
ч аях , когда прибегаю т к высокому разреш ению по пространству
(т. е. когда использую тся пространственно-усеченные ряды с боль­
шим числом членов разлож ени я).
5.4. Применение спектрального метода
к моделям, основанным
на полных уравнениях
Существует особенность в применении спектральны х разлож ений
в зависимости от того, какую конкретно систему уравнений исполь­
зую т в модели. Д л я системы уравнений, в которой уравнения движ е­
ния записаны д ля скоростей, возникает трудность спектрального
представления поля скорости. Это связан о с тем, что компоненты
вектора горизонтальной скорости на полюсах терп ят разры в и
поэтому не могут быть точно представлены усеченными рядами
сферических ф ункций. Д л я преодоления этой трудности использую т
ряд способов, которы е оказы ваю тся эффективными. О днако п р ак ­
тический опыт показы вает, что целесообразно отдать предпочтение
другому подходу, в котором вместо уравнений д л я горизонтальны х
компонент ветра использую тся уравн ен ия для горизонтальной ди­
вергенции и в и х р я скорости. Этот прием связан с использованием
скал яр н ы х полей функции тока 'ф и потенциала скорости %. Тогда
компоненты скорости определяю тся соотношениями Гельмгольца:
и =
5 .4 .1 . Модель мелкой воды
Рассмотрим особенности применения сп ектрального метода на
примере модели мелкой воды, систему уравнений которой можно
записать в виде
g - = _ V 0 V -0 'D ,
(4.2)
239
где Ф = Ф + Ф ' — геопотенциал, Ф — среднее значение Ф (по­
стоянн ая величина), Ф ' — отклонение от Ф; Q = V2^ + 2со sin <р —
абсолютный вихрь; D = V2% — гори зонтальн ая дивергенция; V =
=
Щ = \ и cos Ф> v cos <р,} V — оператор Н абла,
к — еди­
ничный вектор (орт). Систему (4.2) можно переписать следующим
образом:
- Ч г - = - S T rbiy [ - J r <"**) + <1 - !**>■-5Г <У* » ] - 2 c o ( n V 2x + - ^ - ) ,
- Ч
г - =
м гЬ * )- [ i r
^
-
(4.3)
f ■)
(у ^ « ] +
+ 2 < . ( | , V 4 - 4 - ) - V ( - ^ ± ^ - + «I>-),
-W - = где
[ i r <У Ф '> + 0 -
ж
(4.4)
O '® ') ] - ф ^
<4 -5>
>, - д а + < 1 - ^ ] -
<4-б>
Т ак ая система уравнений оказы вается более ком пактной по
сравнению с вариантом, в котором использую тся уравн ен ия д л я и
и v, так как в ней приходится рассчиты вать минимальное число
нелинейных комбинаций: t/V2,i|), KV2^ , t/Ф ', УФ ' , U 2 + V 2.
Применим к данной системе метод преобразования. Основными
ф ункциями задачи являю тся г|), % и Ф ', а вспомогательными — U
и V. Зададим эти функции усеченными рядами:
$= а
Ц
2j
tm , п (0 Yn (К (i),
m = — N п = \tn \
N
% = a2
N
3j
S
2
E
% т ,п (t) Y n ( К
m = —N n = jm\
ф
p.),
Ф т , П (0 Y n (A,, n),
m = —N n = | m |
u
=
a
v = a
N
N+ 1
£
£
N
N+\
2
E
U m, n ( t ) Y Z ( K
m = — N n = 1m |
\i),
Vm, „ ( / ) K » ( X , |i).
(4.7)
m = —N n = | m |
П одставляя ряды д ля г|), %, [/, V в соотнош ения (4.6) и прим е­
н яя рекуррентны е соотношения (2.15), (2.16), получаем следующие
вы раж ен и я, связы ваю щ ие коэффициенты разлож ени я i / m>n, Vmf п
С Фтп, 7г» Хт, п*
^ т , 7i = (Я
Vтп, п ~
240
(^
1) ^ т , п ^т, 71-1 (^ ~Ь 2) D m> n+1^7n, 7i+l
1) ^ т , 7гХт» п-1 ~“1~ (^ “Ь 2) ^ т , п+1%тп, 71+I
imXm, 71»
71•
(4*8)
Из этих вы раж ений видно, что степень представления U и V по п
долж на быть на единицу больше, чем для я|) и %.
Н елинейные члены в системе (4.3)— (4.5) представим рядами:
^
N
^
и v 2i|) = а
А т (|I) eimk,
2]
т = —'‘N
N
V V21|> = a
S
m = —N
5m (|i) e,m\
(ji) eim\
l /Ф ' = a 3 s
m = —N
/V
УФ' = а3 V Dm(|i.) eimK,
m = —N
=
2
E m i v ) e imx-
(4-9)
m = -.V
В этих р яд ах каж ды й из коэффициентов разлож ени я вы раж ается
через интегралы обратного преобразования Ф урье. Н априм ер, для
А т (ц) имеем
2я
О4) = - Щ Г I ^ V > “ ‘mX dk.
о
(4.10)
А налогично для В т (ц.), Ст (ц.), D m (ц.), Е т (ц.). П одставляя
ряды (4.7) и (4.9) в уравн ен ия (4.3)— (4.5) и и спользуя условия
ортогональности, получаем сп ектральны е уравнения следующего
вида:
п (п +
------2 со [п ( п — 1) D m> „Хго, п- i +
1)
+ (п + 1) (п + 2) D m%n+lXm, n+1 — V m, n\ ~
1
= ]* T=Tjir U m A mPn (|i) + B mHn (n)] d\i = i m A m, n + B m, n,
—1
n ( n + 1) dx™
(’n — 2(o [n (n — 1) D m<
n_! +
+ (ft + 1) (ft + 2) D lth n+itymi n+i + t / w, n] + n (ft “f" 1) l^m , n +
1
= -
J [i mBn PZ —1
A mHn]
г = —
n ]^
n + 4 , n,
1
dt
— n (n + 1) ФХт, n = — J [tm CmP™ + DjyiHn] -fZ T jjr =
—1
—
16 П . H . Белов и др.
im C m% n —- Dm, n *
(4* 11)
241
где
- i
- i
—i
т. д.
П оскольку мы ввели явно коэффициенты Umt n , Vmt n, то, есте­
ственно, необходимо к уравнениям (4.11) добавить вы раж ения (4.8).
И нтегралы типа
И
—1
—1
и т. п. вычисляю тся с помощью квадратурн ы х формул.
Коэффициенты А т (|i), В т (ji) и т. д. можно получить, подставив
в формулы типа (4.10) усеченные ряды Ф урье д л я U и V2,v|), а затем,
перемножив эти ряды , оставить только члены с т ^ N . В итоге,
наприм ер, д ля А т (ц,) получим
где
о
В общем порядок и способ вычисления нелинейных членов может
быть различны м. Главное заклю чается в том, чтобы, обеспечивая
высокую точность вычисления нелинейных членов в процессе спектрально-сеточного преобразования с помощью квадратурны х фор­
мул, избеж ать лож ного представления волновых гармоник.
В отношении метода интегрирования по времени спектральны х
уравнений заметим, что запись уравнений движ ения относительно
дивергенции и вихря о казал ась очень удобной д ля применения полунеявного метода и нтегрирования, обладающ его большей устойчи­
востью и, следовательно, позволяю щ его выбирать достаточно боль­
шие ш аги по времени.
5 .4 .2 . Бароклинная модель
Особенности построения спектральны х бароклинны х моделей
рассмотрим на примере глобальной модели, разработанной С, А. Машковичем и И. Г. В ейль.
М одель построена на основе полных уравнений в сферических
координатах с вертикальной ст-координатой. Вместо уравнений для
242
горизонтальны х составляю щ их вектора скорости ветра использую тся
уравнения для вертикальной составляю щ ей вихря скорости (Q)
и горизонтальной дивергенции (D).
Д л я простоты будем рассм атривать модель, в которой не учиты ­
вается орограф ия. У равнения модели записы ваю тся для безразм ер­
ных величин, которые вводятся с помощью соотношений
I
^
т б / р — —7 “ у
ф
1
Х б /Р —
и
^б/р — ~~~ » ^б/р —
%
v
у
,
^
Т
1 б/P — — - У
Т
z
%б/р — — у
гл
Q
^ б /р —
ii
.
а
^б/р — ~т~у
у
Г\
^ б /р —
D
У
у
.
t
{А 1Г)Ч
*б/р — ~у~ у
где волнистой чертой сверху обозначены масштабы соответствующ их
величин.
Н иж е индексы у безразм ерны х величин опускаю тся. Вместо до­
полнения широты 0 вводится х = cos 0 , а так ж е использую тся сле­
дую щие обозначения:
Т = Т 0 (а) + Т (х, X, а, *), Ф — г + Т 0 In p si
i
о
Q = Qo (о) + Q' (X, К а, I), Е =
и = щ sin 0 ,
v = vQ sin 0 .
(4.13)
Здесь Q — отношение смеси, Т 0 (a), Q0 (а) — средние значения тем­
пературы и отнош ения смеси водяного пара, зависящ ие только от а;
р 8 — приземное давление; Е — кинетическая энергия двумерного
движ ения; f — лю бая ф ункция; z — высота координатны х п оверх­
ностей а = const. О стальны е обозначения общ епринятые. С учетом
этих обозначений система уравнений модели д ля безразм ерны х
величин записы вается в виде (индексы у безразм ерны х величин
опускаю тся)
dQ_ _ _d/j_
1
+ 2 (x D ~
+ Я "П’ <4Л 4>
dt
дх ■'+ ~T=
1 — rw
x2 т
дР
1
дРг
dF2
+ дх° ! ± + 2
( u - x Q) = - V 2 (Е + Ф) + Я^2) + Н ? \
dt
1 — х2д к
'
‘
(4.15)
дТ
dt
д (T ' v )
dx
+
^ - ( А + А + D) = н № +
Ср
dQ
д (Q'v)
dt
дх
______ 1_
'
1—
я<3),
(4.16)
(4.17)
(4.18)
(4.19)
243
где
F> - “ й - * - j r + г
С ~ **)■
Ч лены вида Н н \ H v( l) — описывают эффекты перемеш ивания по
горизонтали и по вертикали. П арам етризация вертикального пере­
меш ивания осущ ествляется с помощью следующих формул д л я без­
разм ерны х величин:
я < о = _ ! _ _ а £ ! _ я т (о = _p L
Ps
да
Ps
v да
Я < р __*и _у2*< 0
Пн ~
(oa*W I
к
_
Р
М У
I
• Kv~ T T l ^ w T
Я = ( | - ) 2^ , ~ т = - Л
Ps
К„ =
gpiyacP
Рз
Kv, кн — безразм ерны е коэффициенты вертикального и гори зонталь­
ного перемеш ивания; р, p s — масштабы д ля плотности р и призем­
ного д авлен ия p s; /0 = 30 м — путь смешения; V (uv) — вектор
скорости ветра; индексам i = 1, 2, 3, 4 соответствуют Q, D , Т, Q.
При i — 3 (для Т ) в вы раж ение д л я т (3) вводится множ итель (p/ps)R' cP'
Ps
\ Ps J
до
Н а ниж ней границе атмосферы использую тся формулы д л я по­
токов соответствующ их субстанций (импульса, тепла и влаги):
T(i) = т (2) = PlCjD | Vx | f W 9
т(3) = Pi CD I Vx | (0S — 0X),
* (4) = P iC DC w | V x | [Q s ( T J - Q J ,
где CD — коэффициент сопротивления, Cw — п оправка на в л аж ­
ность, Qs — насыщающее значение отнош ения смеси при темпераА
гг, ( 1000 \R /cv
туре поверхности, 0 = Т
— потенциальная тем пера­
ту р а, индексами s и 1 отмечены величины на поверхности и на н и ж ­
нем счетном уровне модели соответственно.
С помощью вы раж ения д л я Н (н парам етризуется горизонтальное
турбулентное перемешивание по схеме нелинейной вязкости , в к о ­
торой коэффициент
горизонтального перемеш ивания (кн ) явл яется
функцией горизонтальны х координат и нелинейно зависит от х а р а к ­
теристик течения (см. главу 6). Д л я расчетов к н используется фор­
м ула Ш найдмана В. А.
«я = Ъ I V2Q I L 2,
где L = 2па sin ср/m ax m; у 3 = 0,18; max m — максимальное вол­
новое число по долготе, ср — широта.
244
В рассматриваемой модели использую тся и другие парам етри­
зации горизонтальной турбулентности, которые мы здесь обсуж дать
не будем.
По вертикали в модельной атмосфере введены десять основных
уровней, соответствующ их значениям аг, а 2, ..., а 10. Д л я простоты
излож ения будем ориентироваться на вариант модели, в котором
уровни являю тся равноотстоящ ими по координате а. М ежду основными уровнями располагаю тся промежуточные. Н а основных у ров­
н ях задаю тся и вычисляю тся все метеорологические величины за
исключением вертикальной скорости а, которая разм ещ ается на
промежуточных уровнях а 1)5, a 2j5,
a 9t5. Граничные условия
по а ставятся на уровнях a 0j5 = 1 и а 10>5 = 0 , которые отождеств­
ляю тся с ниж ней и верхней границами атмосферы.
П олагается, что
a = 0
при a = 0,
a = 1.
(4.20)
И н тегр и р у я уравнение (4.18) по а от 1 до 0 и от 1 до о, с учетом
граничны х условий (4.20) получаем:
а ( 1»Р«) = л + D ,
о = (1 - о) ( A + D) - (А + D f .
(4.21)
(4.22)
С оставляю щ ие скорости и и v, вихрь Q и дивергенция D св я ­
заны с функцией тока г]) и потенциалом скорости % соотношениями
« = - < l - * > ) - g - + -§ -,
(4.23)
<4 ' 2 4 >
Q = У2г|),
(4.25)
D = V2%.
(4.26)
С учетом
этих соотношений записы ваю тся все уравнения модели.
В результате в уравн ен иях модели зависимыми переменными будут
Ф, %, Т , In p s, Т , Q. В уравн ен иях модели (4.14) — (4.17), (4.21),
(4.22) поля этих зависимых переменных представляю тся усеченными
рядами по нормированным сферическим функциям вида
m
f=
2
m ——M
\m | + J
2
n = \m \
f m,neimKP n (x ),
(4.27)
где f — лю бая из у казан ны х зависимы х переменных,
п — коэф­
фициенты разл о ж ен и я для соответствующ их переменных.
Н а основе соотношений (4.23), (4.24), используя р азл о ж ен и я
(4.27) д ля я|) и %, а так ж е рекуррентны е формулы
xP™ = R'Z+lP ' h i + R n P % - u
dPm
(х 2 - l ) - ^ - = п № +1Р%+1 -
(п + 1)
(4.28)
245
где
получаем вы раж ения д л я коэффициентов р азл ож ен и я полей и и у
через коэффициенты р азл ож ен и я полей г|) и %:
« т , п = (П — 1) R n ^m , п - 1 — (П + 2) /?п+1фт . я+1 + ^ Х т , п> (4 -29)
^ т, n = (п
1) ^?я фт, я—1
(/Z
2) /?я+1Х^» л+1
iwtym, п« (4.30)
При представлении полей и и v рядам и вида (4.27) с исп ользова­
нием коэффициентов разл ож ен и я, полученных с помощью вы раж е­
ний (4.29), (4.30), верхний предел во внутренней сумме зам еняется
н а | т | + J + 1.
Коэффициенты разл ож ен и я для Т {ТШуП) определяю т на основе
у р авн ен и я статики (4.19) по коэффициентам разл ож ен и я для z (гт, п):
Т тп, п ---
д*т,п
(4.31)
до
У равнение (4.31) представляет собой уравнение статики в сп ектрал ь­
ной форме.
В модели используется метод спектрально-сеточного преобразо­
в ан и я , с помощью которого получаю тся ряды по сферическим ф ун к­
циям д л я нелинейных членов в уравн ен и ях модели по их значениям
в у зл ах сеточной области (xit kj). Коэффициенты разл ож ен и я групп
слагаем ы х в у равн ен и ях ви хря скорости и дивергенции, содерж а­
щ их F x и *F2> вы числяю тся с помощью оператора вида
dPm
1 Г
Y% (F2, F,) = j
im F 2, mP Z + F и m ( X - x 2) - ^
l= jr-
(4-32)
А налогичным образом вычисляю тся коэффициенты разл ож ен и я не­
линейны х членов T ' u , T ' v , Q 'u t Q'v в уравнении д ля Т и д ля Q.
Система уравнений модели в спектральной форме записы вается
следующим образом:
- n ( n + 1 ) - % ^ = - Y 4 t (F2, m,Fi, w) +
Н~ 2 [ут> п -f- п{п — 1) Rn%m, я — 1 + (л + 1) (п
2) Rn+\%mt я -f-l] +
Hm]n
(4.33)
— n[(n + 1)
= - Y ™ (F ,. mF2, m) -
— 2 [иШ) Л -f- п (п — 1) R ^ n ty m , я —1
(я + 1) (п -{- 2) R n + l t y m , я -f-l)] +
+ tl (n + 1) ( E mt „ -j- Фт> „) -f- Hmjnt
= — Yn ( T 'u , T 'v ) + Si,?» + H%„.
246
(4.34)
(4.35)
(4 .3 6 )
(4.37)
где qm, п = (In p s ) m , п, Нт] п — коэффициенты разл ож ен и я сл агае­
мых Н н{ + Hvl)\ Sm/n, Sm^n— коэффициенты разлож ени я всех осталь­
ных членов в у равн ен иях (4.16) и (4.17). По вертикали в модели
сохраняется дискретное представление переменных. И нтегралы по
вертикали д ля внутренних слоев по а вычисляю тся методом трап е­
ций, а в ниж нем и верхнем слоях (от а0>. до
и от сг10 до ст10, 5) —
методом прям оугольников. В ы раж ения типа о
п редставляю тся
конечными разностями:
2
где k = а/А а .
У равнение статики
с л еду ющи м образом:
в
^
конечно-разностном
2 _
виде зап и сы вается
(4.39>
И нтегралы от дивергенции, которы е использую тся при вычислении &
и p s в у равн ен и ях системы (4.33)— (4.37), записы ваю тся в виде
j D da = D aN = D , До, + ^
(Dh + D k+1) - ^ -
D = D°n - f D n Aa^v+i,
где Aok = ok_x — ok, j — номер расчетного уровня, N — чи сло
уровней по вертикали (k = 0, 1, ..., N ).
Д л я интегрирования прогностических уравнений модели п а
времени используется п олун еявная схема центральны х разностей,
в которой неявно представляю тся члены, описывающ ие гори зонталь­
ную турбулентность. Н а первом ш аге по времени применяется схема
Эйлера с пересчетом.
Д л я более детального ознаком ления с моделью, и в частности
с полунеявны м методом интегрирования по времени, следует об ра­
247
ти т ь с я к книге С. А. М аш ковича «Спектральные модели общей ц ир­
к у л я ц и и атмосферы и численного прогноза погоды».
Д л я реш ения системы уравнений (4.14)— (4.19) необходимо з а ­
д а т ь начальны е условия. Т ак как вихрь скорости Q, дивергенция D
и компоненты вектора скорости ветра а и v вы раж аю тся через ф ун к­
цию тока я|) и потенциал скорости %, то начальны е условия задаю тся
д л я г]), %, т, p s и Q в виде разлож ений (4.27).
Коэффициенты разл ож ен и я функции тока (я|)т> п) и потенциала
-скорости (Хт,п) определяю тся с помощью вы раж ений (4.29), (4.30),
в которы х заданными являю тся коэффициенты um%п и vm> п (при
-соответствующих ограничениях на максимальные значения индек­
с о в т и п , обусловленны х характером усечения разлож ений д ля
и и v).
Таким образом, определение я|)т , п и %т, п сводится к реш ению
систем алгебраических уравнений (4.29), (4.30).
Коэффициенты разл ож ен и я тем пературы ( Т ШуП) определяю тся
на основе уравн ен ия статики (4.31) по коэффициентам гШуП. П о­
с к о л ь к у в модели принята ст-система координат, то при подготовке
н ач ал ьн ы х условий предусмотрена процедура интерполяции метеовеличин с изобарических поверхностей на а-поверхности.
Р азлож ение начальны х полей указан ны х метеовеличин по сфе­
рическим функциям (4.27) осущ ествляется по их значениям в узл ах
ш иротно-долготной сетки.
5.5. Псевдоспектральный метод
М одели, в которых реш ение прогностических уравнений строится
с помощью рядов, а минимизация невязки осущ ествляется по методу
коллокаци и , назы ваю тся псевдоспектральны ми. При этом в отличие
ют спектрального метода все операции, кроме дифференцирования
по пространственным независимым переменным, вы полняю тся на сетке
точек. З а счет этого достигается более вы сокая точность вычисления
пространственных производны х, а так ж е фазовы х скоростей. П ри
использовании псевдоспектрального метода исклю чаю тся трудности,
которые характерны
для спектрального метода исвязаны
с пере­
множением рядов. Однако псевдоспектральны й метод не свободен
от ошибок лож ного представления, которые могут приводить к р аз­
витию нелинейной вычислительной неустойчивости.
П роиллю стрируем основные полож ения псевдоспектрального ме­
тода на примере реш ения нелинейного уравнения адвекции
ди
~
1Ч
~дГ + и —
ди
.
= °-
(5 Л )
тде и (г, t) — составляю щ ая вектора скорости в направлении оси г,
яв л яю щ аяся периодической по г скалярн ой функцией с периодом 2я .
Построим решение уравнения (5.1) и схему прогноза функции
и (г, t) псевдоспектральны м методом на одномерной сетке, узлы
которой определены соотношением гш = 2п т /М . Пусть начальны е
248
данные для функции и (г, t) заданы набором значений в у зл ах сетки
ит { Q = и (rm, tQ), где t0 — начальны й момент времени. П оскольку
ит (t0) периодична по т с периодом М , то этот набор значений м ож ет
быть представлен с помощью дискретного (конечного) преобразова­
ния Ф урье. Если полож ить, что М = 2/С + 1, то это п реобразование
запиш ется в виде
к
Um (t0) = s
u h (t0) e ikrm,
(5.2>
k = —К
где
м
Uk (to) = -& Г 2 “ » (*») в _ " ' м
(5 -3>
т=1
представляю т собой коэффициенты преобразования.
В соответствии с основным положением псевдоспектрального
метода значения производных по г от функции и (г, t0) в у зл ах сетки
вычисляю тся по формуле
(т г ) „ -
2
k=-K
(5.4).
П ерем нож ая значения иш и (du/dr)m, получаем значения производ­
ной по времени в у зл ах сетки:
(5-5>'
Затем методом шагов по времени вычисляем
[ит (t0 + Д/) = ит (*„) + ( - g - ) 2 At.
(5.6)/
Д л я полученных значений и т (t0 + АО снова прим еняю тся
формулы (5.2)— (5.6) и т. д. В результате получаю тся прогностиче­
ские значения и т (t0 + N At). Здесь N — число шагов по времени,N At — прогностический интервал времени.
Рассмотренный метод реш ения может быть реализован с исполь­
зованием д руги х периодических ф ункций. В аж но, чтобы для э ти х
функций сущ ествовал метод быстрого определения коэффициентов^
преобразования.
Псевдоспектр а льный метод может быть применен для реш ения
уравнений и систем уравнений баротропны х и бароклинны х моделей.
П рименение псевдоспектрального метода в прогностических зада­
чах основывается на использовании быстрого преобразования Ф урье.
Если в качестве базисных использовать сферические ф ункции, то*
возникает затруднение, обусловленное тем, что в этом случае бы строе
преобразование Ф урье возможно только по одной из гори зонтальн ы х
координат (А,). В связи с этим естественным представляется привле­
чение других функций, например тригоном етрических, позволя­
ющих применять быстрое преобразование по обеим горизонтальны м
249*
координатам (А., ©). Однако применение тригонометрических ф ункций,
зави сящ и х от А, и ©, затруднительно из-за наличия особенностей
н а полю сах. Проблему полюсов можно разреш ить, и сп ользуя моди­
ф ицированны е функции Робера
G% (0 , К) = sin|m| 0 cos n@eimK,
д ля которы х может быть реализовано прямое и обратное преобразо­
вание Ф урье. О днако ввиду трудоемкости и плохой обусловленности
вычислений при реализации преобразования Ф урье использование
ф ункций Робера оправдано лиш ь для реш ения уравнений псевдосп ектральн ы м методом в моделях с низким разреш ением по про­
странству.
П роблема полюсов снимается, если применять в качестве базис­
ных присоединенные функции Чебыш ева
r - ( x ) = ( i - x 2F
m- ^
,
где Т п (л:) = cos (п arccos х) — полином Чебыш ева л-й степени.
Присоединенные ф ункции Чебыш ева обладают свойствами орто­
гональности и образую т полную систему на сфере в том смысле, что
лю бая гл ад кая ф ункция / (А,, ©) может быть представлена рядом
f (К, 0 ) = £
S
U neCmkT {nm) (cos 0 ),
п —0 | m | < п
где 0 = я /2 — ф, ф — ш ирота.
Т акие ряды позволяю т производить прямое и обратное преобра­
зован ие Ф урье быстрее, чем ряды по сферическим ф ункциям .
5 .5 .1 . Баротропная квазисоленоидальная прогностическая
модель для ограниченной территории
В псевдоспектральны х моделях для ограниченны х территорий,
не охватываю щ их полюса, удобно использовать
двойные ряды
Ф урье.
Рассмотрим применение псевдоспектрального метода при про­
гнозе функции тока на среднем бездивергентном уровне атмосферы
д л я ограниченной территории на основе баротропного уравнения
в и х р я скорости
г - ж
< ^ + г> + ж т < ^ + ' > .
где ф — ф ункция тока, V2i|> =
= -0 - +
<»•»>
------
проекция вектора ви хря на ось р, —д ^ / д у = и , д ^ / д х = и.
Д л я реш ения уравнения (5.7) на двумерной сетке с N X N равно2я .
2я
,.
отстоящ их д р у г от д руга
узлов xj = -ду ш = дг тп (/, тп =
250
= 1, 2,
N) будем использовать периодические граничные услови я
с периодом 2л:
\|> (0, т) = ф ( N + 1, т), if (/, 0) = if (/, N + 1).
Н ачал ьн о е поле функции тока \|А определяется с помощью урав­
нения баланса (см. главу 3) и подставляется в виде двумерного р яд а
Ф урье:
Ут) =
Е
Е
(5.8>
р = —К q= —К
коэффициенты которого г|)р°, q определяю тся по формуле
N
Я
N
= - J J T 2 2 У* (Xjy Ут> е~ 1(РХ}+9Ут)’Р> Я = °. 1. 2 , . . . , К .
/=1 т = 1
(5.9>
П ри этом исклю чаю тся случаи, когда одновременно р и q равн ы
нулю , т ак к а к ф ункция тока определяется с точностью до произволь­
ной постоянной.
Д иф ф еренцируя р яд (5.8), получаем:
■ * - - - ( 3 - ) ,..—
2
2
р = - К q= —К
2 2
р = —К q—— К
{%?■), - = - р 2= -/С q 2= - K
^ + л
( ■ * $ * ) , . „ = - p 2= —k q=—k
2 * <"2+ л
«*'
^
С помощью этих формул рассчиты ваю тся сеточные зн ач ен и я
производных по х и у, входящ их в уравн ен ия (5.7). П роизводны е
от парам етра К ориолиса могут вы числяться с помощью конечных
разностей. В результате получаю тся сеточные значения ( “^ ) | . ° т »
а затем вычисляю тся сеточные значения
( у Ч ) ‘°ХА1 - ( v H - v + ( ^ ) ' ; т д /.
251;
П олученное поле значений (У2г|))/®1пЛ* представляется рядом
V2i|/0+Ai (Xj, у т) =
S
I
v 4 » + AV (p*?+w7»),
р = —/С q= —К
коэффициенты которого
v 4 ° + a' =
2
определяю тся по формуле
2 у2^ о+Л<
/=1 m=l
у™) e~ l {pxj+qym)-
П утем обращ ения ряда для v 2t|)*0+A* определяется разлож ение для
^ <0+Л' (*/, Ут):
v - +" to, ! / „ ) - - 2
2
P——K q= —K
О писанная процедура ш агами по времени повторяется до тех
пор, пока не будут получены значения \J) (Xj, у т) на срок прогноза.
Н а всех последующих ш агах по времени (кроме первого) для
вычисления (у 2г|э)л*т* использую тся центральны е разности по вре­
мени:
( v 4 ) W ‘ - ( v 4 ) t t ' + 2 ( i | i ) ; m4 / .
5 .5 .2 . Глобальная прогностическая модель
на основе уравнений мелкой воды
У равнения мелкой воды запишем в сферической системе коор­
динат:
ди
dt
__
и
a cos ф
ди
дХ
vdu
а д <p
dv
dt
__
и
асоэф
dv
d%
v
a
S
a cos ф
dv
dy
р
g
a
H r “ - T F ^ [ i r < A“>+ ^ < to co s‘4
dh
дХ 9
dh
dy
9
<5-l0>
где /* = 2co sin ф + — tg ф — модифицированный параметр К ори­
ол и са; ф — ш ирота; h — высота свободной поверхности; и и v —
составляю щ ие двумерного вектора скорости ветра, направленны е
на восток и на север соответственно; g — ускорение свободного
падения.
Реш ение уравнений (5.10) строится на двумерной ш иротно­
долготной сетке, узлам и которой являю тся точки Xj = j АХ, фт =
= т АФ + Ф0 (/ = 1» 2, ..., 2 N; т = 1 ,2 , ..., М ), где АХ и Дф —
шаги сетки по долготе и широте, ф0 = я /2 — Дф/2. Вдоль к руга
широты разм ещ ается четное число узлов сетки. При таком выборе
сетки удается избеж ать попадания узлов на полюса.
252
Реш ение уравнений (5.10) псевдоспектральны м методом осуще­
ствляется по той ж е схеме, что и реш ение уравнения баротропного
ви х р я скорости. Р азли чи я состоят в том, что, во-первых, при реше­
нии уравнений мелкой воды отпадает необходимость обращ ения опе­
ратора Л ап л аса, а во-вторых, при решении уравнений мелкой воды
на сфере возникает проблема полюсов. В связи с этим обсудим при­
менение псевдоспектрального метода к решению уравнений мелкой
воды, имея в виду прежде всего эту проблему.
Обозначим через / (Xj9 фт ) любую зависимую переменную (и , и, Н).
В ычисление производных по X для и, v и h не связан о с какимилибо трудностями, так как они являю тся периодическими ф унк­
циями по Я.
Рассмотрим этот вопрос, имея в виду только зависимость / от Я,
т. е. полагая
( - г г ) ,.- * -
2
<5 " >
p = -(N -\)
где
2N
a p = ~ W ^ f (KJ> Ф т) е_,Р /Д Я /=1
В сумме (5.11) индекс р не принимает значения, равного N, так как
этому значению соответствует двухш аговая волна.
П ри определении производны х по ф на полюсах следует разл и ­
чать скалярн ы е величины (h) и составляю щ ие вектора скорости
(iи, v). Д л я скалярн ой непрерывной величины при переходе через
полюс необходимо лиш ь учесть изменение долготы X на X + я . Таким
образом, д ля скалярн ой величины производную по ф можно записать
по аналогии с (5.11):
(М-1)
(•|ф )/« =
2
я = -
1' ^
тДф>
т =
\,
2...,
М ;
/ = 1, 2 , . . . ,
N,
(М-1)
(5.12)
где
ш
Ф т) е - ‘«
,
с—1
(М -1 )
( - i L 4)
V д ф ) j + N , 2 М -< 7+ 1
=
у
i q b „ e {‘>mb v ,
q=- (М-1)
4
q
9
m = M +
/ = 1, 2 , . . . , N.
l,M
+ 2 .......... 2 М ;
(5.13)
Составляю щ ие вектора скорости ветра на полюсе терп ят разры в.
253
Однако если использовать вспомогательную функцию F m, кото­
р ая обладает свойством изменять зн ак при переходе через полюс,
например
f (Xj, фт )
— f (h j+ N >
ФгАг-m + i)
при т = 1, 2 , . . . , М ,
ПРИ М + 1, М + 2 , . . 2 М ,
то с помощью этой функции можно представить составляю щ ие a
к а к непрерывные и периодические функции по ф. В этом случае
производные от а и v по ф вдоль долготы X + я не будут менять зн ак,
так к а к два изменения зн ака (одно у F m, а другое у и или и) взаимно
компенсирую тся.
С учетом этого производны е для и и v по ф можно вы числять по
формулам (5.12) и (5.13), в которы х для определения коэффициентов
р азлож ени я используется вспомогательная ф ункция F m:
F n e r » m* .
т=I
О писанная методика вычислений производных была апробиро­
ван а в глобальной псевдоспектральной модели М ерилисом. Ч ислен­
ные эксперименты с этой моделью показали, что при одинаковом
разреш ении по пространству качество прогнозов, полученных на
основе псевдоспектрального метода значительно выше качества
прогнозов, полученных с помощью конечно-разностной модели.
П севдоспектральны й метод был разработан М ерлисом. Этот
метод пока не нашел такого ш ирокого применения в атмосферных
моделях, как спектральны й.
Б олее подробно с псевдоспектральным методом можно ознако­
миться по работе М ерлиса, помещенной во второй части монографии
«Численные методы, используемые в атмосферных моделях».
5.6. Решение прогностических уравнений
методом конечных элементов
Метод конечных элементов применяется для приближ енного
реш ения дифференциальных уравнений с помощью рядов, в которы х
использую тся базисные функции с конечными носителями. Ф унк­
циями с конечными носителями (финитными функциями) назы ваю тся
такие функции, которые отличны от н уля лиш ь на небольшой части
области определения решений.
Методом конечных элементов приближенны е реш ения дифферен­
циальны х уравнений строятся с помощью проекционных или ва­
риационных алгоритмов. В результате применения этих алгоритмов
получаю тся системы уравнений, подобные тем, к которым приводят
конечно-разностные методы, т. е. с небольшим числом элементов
матриц этих систем, отличных от н уля. Этим и объясняется назван ие
метода.
254
5 .6 .1 . Базисные финитные функции.
Конечно-элементные аппроксимации
С помощью базисных финитных функций аппроксимирую тся
реш ения в пределах подобластей, на которые разбиваю тся области
определения реш ения D. Эти подобласти назы ваю тся конечными
элементами. Т акие аппроксимации назы ваю тся конечно-элемент­
ными.
Способы разбиения (триангуляции) областей D на конечные
элементы и финитные функции могут быть различными в зависимости
от конф игурации областей и х ар актер а решаемой задачи. Выбор
финитных функций осущ ествляется с учетом краевы х условий и ха­
р ак тер а дифференциальных операторов уравнений решаемой задачи,
а такж е требований к точности аппроксимации полей зависимы х
переменных и устойчивости реш ения.
Рассмотрим в качестве примера способ построения одномерных
кусочно-линейны х финитных ф ункций, которые в дальнейш ем будут
и спользоваться для получения реш ения методом конечных элементов
нелинейного одномерного уравнения адвекции
Л
/а 1Ч
- д Г + и -дГ = 0’
ди
,
ди
<6Л >
где и = и (х, t).
В качестве области определения реш ения, вклю чая границу Г (D +
+ Г), выберем отрезок на оси х (х0
-%*)>' этой области поста­
вим в соответствие сеточную область D n + T h (х0 <; x t
xN %
i = x / A x t А х = x i+1 — x t).
В сеточной области D h + Г л выделим N равных между собой
конечных элементов, ограниченны х точками x t и x i+1. В точке x N
поставим граничное условие
и (Xn x)
=
Un x•
Ф ункцию и (х , t) в пределах каж дого конечного элемента (на ло­
кальном носителе, содержащем точки i , i + 1)аппроксимируем
линейной базисной функцией
и (х, t) = а х (t) + а 2 (/) х,
(6.3)
где а 1э а 2 — коэффициенты, определяемые по значениям функции
в точках носителя, т. е. щ (/), u i+1 (/); черта над и означает, что
величина аппроксимирована. Здесь учтено, что при использовании
метода конечных элементов для реш ения нестационарных задач
зависимость от времени учиты вается в коэффициентах разл ож ен и я.
Запиш ем вы раж ение (6.3) в точках локального носителя:
«. (О = «X(0 + а 2 (0 Xh й м (t) = « 1 (/) + а2(t) x i+1.
(6.4)
С помощью вы раж ений (6.4) получаем
а х (/) =
Щ^
Xi - ,
а2 ( t) =
ui V ) .(6 .5 )
255
П одставляя вы раж ение (6.5) в формулу (6.3), находим:
щ (х, t) = u t (0 > i (х) + u i+1 (t) о>2 (х),
(6 .6)
где
__
(01 (*) =
x i+ 1 '
(6.7)
4 +1 '
i = 1,2..........N x — 1.
Функции ©! (x) и co2 (x) являю тся кусочно-линейными финитными
функциями. Они принимают значения, равные единице, в точках
х = x t, х = x i+1 и обращ аю тся в нуль в точках, не принадлеж ащ их
локальном у носителю, т. е. при х < x it х ►> Jti+1. Кусочно-линейные
функции, обладающие такими свойствами, назы ваю т^функциямикрыш ками.
А ппроксимация реш ения функциями coj (х) и” со2 (х) удовлетво­
ряет граничному условию (6.2), так как в точке i = N x (при х = x Nx)
UNx = UNx x h
X 1
XN„+l
—X X
X '
X
Полученные финитные функции линейно независимы и позволяю т
вычислить первые производные по времени (/) и по пространственной
координате (я).
Д л я сеточной области D h + ГЛ, определенной выше, можно
выбрать и другие локальны е носители. Д л я локального носителя,
содержащ его точки f — 1, f, f + 1, в пределах сеточной области
D h + T h (i = 0, 1, ..., N x) можно построить кусочно-линейные фи­
нитные функции вида
* — *г-1
при X £ (X i _J, X i ) ,
Xi — **-1
x i+ 1
х
«>< (X) =
при x £ (xh x i+1),
При X Ф (х г_!, x u i ),
(00 (*)
при x <£ (x0, х г);
x — x.
при x € ( x n x- i. x Nx),
Ю Л/,. (х) =
N~
(6.8)
0
при * ф ( x Nx- 2, x Nx).
Ф ункции (ог (л) линейно независимы, и каж дая из них отлична
от нуля лишь в интервале длиной 2Ах. ^ \ 0^
Если любую функцию f (х) представить усеченным рядом:
Nx
f (х) = Ц flfWi (*),
i=0
256
Xt б D h + r ft,
то коэффициенты at будут равны значениям этой функции в точ­
ках I, т. е. a t =
Д л я двумерной сеточной области Qft + Г Л (хо < Х{ < x N , у 0
^
У ] - С i> N y )
AX = \ X t ~ Xt- "
А у = \ У1- У1- " А х = A y = h
{Xi+ 1-Xu
*
К У иг-У ь
в каж дой точке i, j (i = 0, 1,
N x ; j = О, 1,
Afy) на локальном
носителе i, j; i ± 1, j; i> j ± 1 можно использовать кусочно-линейные
функции (6 .8) и аналогичны е функции аргум ента у:
У — У)-\
при у € {У}-1, У;),
y j- y j-1
yui — У
<•>./ (у) =
при г/ € («/;,
У1+1 — У}
о
при у Ф
У1 — У
при у € (t/о. Уг).
г/i — уо
о
со0 (*/) =
при у Ф ( у 0, yi);
» - y Ny- i
УNУ
<0*„(*/) =
У
—
-
при у £ ( у ц у- и y n v),
(6.9)
при у ф ( y Ny- u Уыу).
О
И спользуя
СО* (я)
y Ul)\
и СОj (у)9 строят функцию
(*)
Q i , j ( x , у) =
(6.10)
(у).
Ф ункции со (у) линейно независимы, и каж д ая из них отлична
от н уля лиш ь в и нтервале длиной 2Ду. Ф ункции Qu j (х , у) так ж е
линейно независимы и отличны от н уля лиш ь на конечных элем ен тах
площ адью 2Д* X 2 Ау. Ф ункции со* (я) и сOj-(y) почти ортогональны .
Это означает, что для функций в соседних точках вы полняется
соотношение
( == 0 при | k — k' | >
J СО, (£) СО*. (С)
^
0
1,
при | k — k' | ■< 1,
где t, = (x, у), k (k’) = (t, /).
Ф ункции Qij (x, у) н азы ваю т билинейными финитными базисными
ф ункциями. С помощью функций (6.10) можно выполнить конечно­
элементную аппроксим ацию любой двухм ерной функции:
Nx
f (х, у) = S
Ny
S a i,jQi ,j ( xt у),
i = 0 /=0
где коэффициенты а и } равны значениям функции f в точках », / ,
т. е. a t, j = Л,
17 П. Н . Белов и ДР-
257
Н а практике применяю тся и другие конечно-элементные аппро­
ксим ации, например с использованием кусочно-квадратичны х и
кусочно-кубических полиномов. Мы их рассм атривать не будем,
так к ак они прим еняю тся реж е, чем линейные и билинейные. Здесь
ж е напомним, что точность конечно-элементной аппроксимации
(так ж е к а к и обычной полиномиальной аппроксимации) зависит от
степени используемы х полиномов. Если степень полиномов не выше г,
то ош ибка аппроксимации функции составляет О ( hr+ ]) (где h —
разм ер конечного элемента), а ошибка аппроксимации р - й произ­
водной имеет порядок 0 ( h r+ l~ p). Таким образом, для рассмотренных
линейны х и билинейных полиномов ошибки кусочно-линейны х аппро­
ксим аций для функций имеют второй порядок: О (/г2), а для произ­
водных — первый порядок: О (h).
В области D строится м ногоугольная сеточная область D h + T h,
ко то р ая тем или иным способом разбивается на конечные элементы,
наприм ер на треугольники или параллелограм м ы (не обязательно
прям оугольны е или равные). П ри этом локальны е носители могут
вклю чать не только верш ины треугольников (или п араллелограм ­
мов), но и точки пересечения границ областей Г и Г А, а поэтому
базисны е финитные ф ункции ставятся в соответствие не только
каж дом у у зл у сеточной области, но и точкам пересечения границ.
Метод конечных элементов удобен при решении задач в об ластях D
с криволинейными границами Г.
П ри решении прогностических задач конечно-элементная аппро­
ксим ация используется лиш ь по горизонтальны м координатам, а по
вертикали и времени прим еняется конечно-разностное представление
производных.
5.6.2* Применение метода конечных элементов
С начала проиллю стрируем применение метода конечных элемен­
тов к решению одномерного нелинейного уравнения адвекции (6 . 1)
ди
,
ди
Л
~дГ+ и ~дГ = 0
с граничным условием (6 .2)
и ( x Nx) = u Nx.
Реш ение будем строить на сеточной области D h+ Г Л, используя
конечно-элементную аппроксимацию (6 .6)
Щ (х, t) = Ut (t) (Ox (x) +
Mi+1 (/) (D2 (дг),
где coj (jc) и co2 (х) определены формулами (6.7).
По начальны м данным задаю тся u t (/„) и вычисляю тся
«. (х, to) = Щ (to) О)! (х) + u u i (t 0) С0 2 (X ),
i = 1, 2, ..., N x ~
258
1.
(6.11)
П о д ст а в л я я в ы р аж ен и е (6 .1 1 ) в у р а в н е н и е (6 .1 ), н аходи м :
'dt ^ ' 0)1 ^
^-‘+d t ^ °" ’ 402 ^
(11i (*о) 0)1 (Х) + tli+\ (to) Ы2 (*)] X
х [ и , (to )
«W (to ) -
+
1 ] = е,
(6 . 12)
где 6 — н евязка.
М инимизируя н евязку по методу Г алеркина:
Nx
| ecDft (х) dx = 0 ,
получаем
определяю щ ую
du>i ( t 0) / d t ,
d u l+ i
k = I, 2 ,
(6.13)
у р а в н е н и й щдля
систему
производны х
( t 0) / d t .
x i+1
x i +1
dUid? o)~ ) m ( x ) d x + Uu^
'
j* co2 (x) to, (x) d x =
Xi
Xi
XU1
m ( to ) j - ^
Х)- ®1 (X) dx + u i+i (to ) u t (to ) X
Xi
•■1
l x X) “ 2 (x) щ
j
(x) d x - f Ui ( t 0) U i+i ( t 0) X
1+1
X j
d(*dx^~M dx + W'+*
xi
x i+1
j
*
О), (X) o 2 (x) d x +
Г
= —
j
»
o)
j
0 > i(x) d x =
XU 1
«< (to ) |
W 0)2 W dX + U i + l Vo) u i (to ) x
*г*+1
<°2d* + щ (to ) Ui-f 1 (to )
J
xi
0)1 w
0)2 W
+
xi
xi+1
+ u?+1(fe) j
17*
djflJ
*1+1
dUi+df
x i+1
x
d<S>d l X) 0)2 W (0‘ M
j
xi
^ £-< *l(x)dx
1
,
/ = 1, 2 , . . . , N x -
1. (6.14)
259
Вычислим интегралы , входящ ие в уравнения (6.14):
*i+ l
J
x i +1
со? (х) dx = — Ах;
x i +1
j
о)2 (х) dx =
^
Дх;
*1+1
сох (х ) о>2(х) dx =-^г- Дх;
j -М
xi
. (Oj (*) о>2 (*) dx = ------
xi
x i +1
*i+ l
I ^
*г
w -
w = "§”■
I
*
—
i :
*i
^i+l
x i +1
*i
*i
*1+1
J ^ L (d2(x)dx = — L .
(6.15)
Следует иметь в виду, что
интегрирование в (6.14) и (6.15) вы­
полняется в пределах л окальн ого носителя, т. е. от х ь до x i+1, так к а к
при x t > х > x i+1 финитные функции обращ аю тся в нуль. И споль­
зу я значения этих интегралов, уравнения (6.14) приводим к виду
о dui (to)
*
dt
__ __^ ui+1 (to) lui+ 1 (to)
dt
Uj (to)] -f- 2Uj
diii (t0)
dt
_
.
^
, 0
~т~
du (+1(г0)
________
~
(f0) [llj+1(ip)
Ц; (t0)] ^
(6 16)
dui+ i (to)
Zd t ~
{ (Ui (to) [ui+1 (f0) — Ui (to)] + 2«i+i (*o) [«i+1 (to) — ui (*o)I )
i = 1, 2 , . . . ,
1.
(6.17)
Из уравнений (6.16), (6.17) находим
_ -----------------------------------ui (to) lui+1 (*o)
— j (to)
t— —
dui+ 1 (t0) _
Ui+i (t0) [Ui+i (tQ) = Щ (to)
---- ^ ----- — -------------------- --------------------
ПрИ
(«1 „*>т,*.
(b.lS)
< U,
„ Лту
^
л
При мм > и.
/fi in \
[ОЛУ)
Т аким образом, мы получили исходное уравнение (6.1) в дифференциально-разностной форме. Здесь производная по х аппроксимиро­
вана направленной конечной разностью (вперед или назад).
Теперь получим уравнение для определения
дй*
^
. Д ля
этого умножим уравн ен ия (6.18) и (6.19) соответственно на щ (х) =
260
= ■
х
и со2 (л:) = -- ~ Xi , а результаты сложим. В итоге по­
лучим
д щ (х, t 0) _
dt
j
__ <
\
щ (t0) [цгЧ1 (t„) — щ (<0) |
Ах
u i + 1 (*о) [u i + 1 (*о)
(*о)] (*
(xi+1 — х)
Ах
Л^г) ^
^
gg)
П оскольку локальны й носитель определен на сетке D h, то, есте­
ственно, его точки совпадают с узлам и сетки. Поэтому при х = х %
второй член в правой части уравн ен и я (6 .20) обращ ается в н уль,
так к ак х — x t = 0 , и она приобретает вид
— щ ( t 0) [ии 1 (М — М Ш
Ах
Здесь учтено, что
Xj+i — X
1
Ах
(х , t0) = щ (/0), а следовательно,
По этой ж е причине
д щ (х, / 0)
dt
_
(*о)
dt
*
С помощью уравнений (6.18) и (6.19) вы числяю тся значения про­
изводной во всех у зл ах сеточной области D h. П ри вычислении произ­
водной в точке i = N x — 1 используется граничное условие (6 .2).
Затем вы числяю тся значения щ в конце первого ш ага по времени.
П ри этом д ля аппроксимации производной по времени на правом
ш аге прибегаю т к направленной вперед разности
щ (t0 + At) .= щ (to) +
At.
(6.21)
Н а всех последую щих ш агах производная по времени аппроксими­
руется центральной разностью :
и, (t + At) = u t ( t — At) + 2
At.
(6.22)
С помощью метода шагов по времени рассчиты ваю тся прогности­
ческие величины щ (t0 + N At), где N — число ш агов по времени.
Рассмотренны й алгоритм явл яется явным.
Разум еется, при интегрировании по времени могут прим еняться
полунеявны е или неявные алгоритмы.
Обобщение рассмотренного метода реш ения на более сложны е
уравн ен ия не связан о с принципиальны ми трудностями. О днако
при получении прогностических формул, естественно, услож няю тся
вы кладки.
В заклю чение рассмотрим конечно-элементную аппроксимацию
на прим ере у равн ен ия движ ения модели мелкой воды
du
,
du
,
du
дФ
с граничными условиями
т | г = °-
<6 ' 24>
П риближ енное реш ение уравн ен ия (6.23) будем строить в прям о­
угольной области D с границей Г. Области D + Г поставим в соот­
ветствие сеточную область D h -|- ГЛ с узлам и i = х/ Ах ; j = у / A y
( А х = Ay = h ; i = 0, 1, ..., N x; / = 0, 1, ..., N у). Границу сеточ­
ной области определим так , чтобы она проходила через узлы с ин­
дексами i = О, N x; / = 0, 1, ..., N y); / = О, N у; i = 0, 1, ..., N x,
координаты которы х обозначим через х 0, x N X; у 0, у 1г ..., y Nу ; у 0,
l/Nyf x 0f Xl> •••» XNx *
В качестве базисных будем использовать финитные функции
о>1 (х), о)2 (л:), о)х (г/), о)2 (у). Ф ункции о)х (л;), о)2 (л:) определены фор­
мулами (6.7). По аналогии определим функции о)х (у), о)2 (у):
(0Х(у) = - W + 3 - J L ,
1W
(о2 (у) =
Уиг — У)
У~ У} ;
(6.25)
У Ы — У}
'
а так ж е билинейную функцию
£«,./(*> У) = ®| (*) со^ (#),
i = 1, 2; / = 1, 2 .
(6.26)
Точками локального носителя функции
служ ат четыре точки с ин­
дексами
/; i + 1, /; i, j + 1; i + 1, / + 1.
П редставим все зависимые переменные уравн ен ия (6.23) в на­
чальны й момент времени t0 на локальном носителе следующими
рядам и:
j (х * Уу to) ~
j (to) Qiy j (x t y)>
X!
i, /
Vij (x, y, l0) - £ vt, J (to) Q i, J (x, y),
t, i
Ф »,/ (*, У, U) = £
». /
(t0) Qt, j (x, y),
(i = 1, 2 ; / , = 1, 2).
(6.27)
П одставляя ряды (6.27) в уравнение (6.23), получаем:
Q*. >• (*• у ) +
2 т
г, /
х 2
^
262
у)^ у ~ х
Ф*, j (to) Qij (x , i/)
». /
X 2 * . i ^o) q *.i (*•
»•. /
гд е e — н ев я зк а .
4 - х
i. i
j (t0) Qi, j (я, f/) H
t, /
(/о) Qi> (х>
j (*> у ) + 2 ^ * (/о)
i, J
X
2
», /
= e>
/ (x, у) x
(6 -28^
М инимизируя н евязку по методу Г алеркин а, получаем определя­
ющую систему уравнений для d u t) j (t0)/dt:
j
(
{to) Qtj j (x, y) + 2
Di,j ^
I
x 2
щ’} ^
l- i
Qi ’ j
^ + 2 °u j ^
i, i
j
y) ~ k ~ x
i, /
Uif j (t0) Qif j (Ху у) +
X
Uu j (to) Qi,J (*. У) -%T
d
Ф г*, j (to) Qit j (,x , y)
i, i
i, J
/ (Xy y)
Vit j (to) Qit j (x , y) 1 Qkt q (лт, у) d D u j = 0,
i. i
j
i = 1, 2; j =■ 1, 2; £ = 1, 2; 9 = 1, 2;
#1 < У
< x < ^ _ i; (6.29)
UNy—U
где D if j — область локальн ого носителя.
Т ак как функции Qu j (х , у) отличны от н уля только в пределах
локальн ого носителя, то и интегрирование производится только
по области локального носителя D it j.
В результате вычисления интегралов получаем определяю щ ую
систему уравнений четвертого порядка:
~
j
I п
d u i +i t j
j
d u i , j +1
a i . i - 3 T _ + a i *> — d t -------- h K l '3
= /i(« i,j-; vt, b
d u i+1, j
.
d t ------- H
a 2 ’ 1 ~~dt ------ h a 2 - 2
‘
3’ 2
d t i i 'j +l
^
dt
Л- + « з , з
+ /3
4) 1
_
j t ----------
d u i+i, j +l
2’ 4 -------- Л -----------
= h ( U i , j \ Vi,/, Ф г,j-; /( x , #); Дх, Дг/),
.
d u i+1 , j
d u i, ^+1
.
rfuj+1, j-+1
d ill, j
„
d U i +1' j +1
® i , h l ( x , y)\ Ax; Дг/);
j
3>1 ~~dt
.
+ «1,4
jt
d u i, j
dt
+
S
+«з,4
S ----------
® i , b l (x <У)\ &x, Ay);
.
4' 2
dt
du.j+1 , j
dt
4>3
= /4 (Ц1, j, ^i, jy Ф
,
+
d u j, j +1 .
dt
4’ *
^ (^» ^/) Ax, Ay),
d u j +x, j+1 _
~
(6.30)
где коэффициенты a представляю т собой значения интегралов вида
.
j Qu (X, У) Qk 9 (X, «/) d D u J,
(6.31)
Dij
а через / х, / 2, / 3, / 4 обозначены значения интегралов от членов в фор­
муле (6.29), не содерж ащ их производные по времени.
Вычислив интегралы (6.31), можно убедиться в том, что матрица
коэффициентов а симметрична и полож ительно определена.
Р еш ая систему (6.30), находим четыре конечно-разностны х аппро­
ксимаций уравн ен ия (6.23) на точках локальн ого носителя, с по­
263
мощью которы х представляется возможность осущ ествить прогноз
ш агами по времени. Мы эти конечно-разностны е уравн ен ия выписы­
вать не будем. П редлагаем получить систему уравнений (6.30) и
конечно-разностны е аппроксимации исходного уравнения (6.23) на
локальном носителе самостоятельно. Рекомендуем так ж е построить
конечно-элементную аппроксимацию д ругих уравнений с использо­
ванием линейны х и нелинейны х финитных базисных функций.
Н а основе рассмотренны х примеров нетрудно понять процедуру
применения метода конечных элементов для численного интегриро­
ван ия уравнений различны х прогностических моделей, в том числе
трехм ерны х.
Более подробно с методом конечных элементов мож но озн ако­
миться по книге Г. И. М арчука и В. А. А гош кова «Введение в п роек­
ционно-сеточные методы».
Глава J t
ГJ
ПАРАМЕТРИЗАЦИЯ АТМОСФЕРНЫХ
ПРОЦЕССОВ ПОДСЕТОЧНОГО МАСШТАБА
П рогностические модели непосредственно описывают лиш ь круп ­
номасштабные атмосферные процессы. Д л я расчета и прогноза
характери сти к так и х процессов вводится сетка точек с горизонталь­
ным шагом Аг. С помощью такой сетки точек удается описать про­
цессы с горизонтальны м масштабом (который здесь и далее отожде­
ствляется с длиной волны соответствующ их колебаний)
В этом легко убедиться, рассм атривая рис. 6.1, на котором изобра­
ж ено распределение по оси х величины f = f (х), заданной в форме
синусоиды с длиной волны L. И спользуя центральны е разности,
представим производную в виде
Отсюда следует, что, например, д ля точки i = 0 при Дл; = L и Дл; =
= L/2 конечно-разностный ан алог производной обратится в нуль,
в то время как истинное значение производной в этой точке описы­
вается выражением
df
дх
х=0
~
д
дх
Л егко убедиться в том, что ненулевое значение ан алога п роиз­
водной в данной точке будет иметь место при Дл; < L J 4.
Е сли, наприм ер, Дг = 250 км, то с помощью введенной сетки
точек можно учесть лиш ь такие атмосферные процессы, горизон­
тальн ы й масш таб которы х превы ш ает тысячи километров. Если ж е
горизонтальны е масштабы атмосферных процессов меньше, то они
остаю тся неучтенными. Д аж е при уменьш ении ш ага сетки, например
до 25 км, «вне модели» остается очень больш ой спектр атмосферных
процессов. Это все процессы микро- и мезомасш таба. В дальнейш ем
эти процессы будем назы вать процессами подсеточного масш таба.
К их числу относятся процессы лучистого, турбулентного и ф азового
теплообмена, процессы конвекции и другие.
Непосредственное вклю чение этих процессов в модели круп н о­
масш табных атмосферных движ ений нецелесообразно по ряду при­
чин. Во-первых, это потребовало бы уменьш ения ш агов сетки до
разм ера менее */4 характерн ого масш таба рассматриваемого явления
и, следовательно, такого увеличения общего числа точек сетки,
что задача численного интегрирования уравнений модели стала бы
нереальной даж е на самых супермощ ных ЭВМ. В о-вторых, не все
265
Рис. 6.1.
процессы микро- и мезомасш таба могут быть
описаны с помощью точ­
ных дифф еренциальных
уравнений.
В последние годы
при разработке гидро­
динам ических моделей атмосферы оформилось новое н аправление, ко­
торое получило название параметризации атмосферных процессов
«подсеточного» масш таба. Целью этого направления явл яется оты ска­
ние парам етров или структурны х элементов модели атмосферы, кото­
рые рассчиты ваю тся при интегрировании прогностических уравн е­
ний, и связей между этими параметрами или элементами модели
с некоторыми величинами, которые отраж аю т результирую щ ий, или
суммарный эффект процессов подсеточного масш таба на крупно­
масштабные атмосферные процессы.
Непосредственным результатом парам етризации процессов под­
сеточного масш таба являю тся методы расчета следующих величин —
Fx и F yy описываю щ их влияние турбулентной вязкости на ускорение
частиц; & и <?ГШ описываю щ их притоки тепла и влаги; составля­
ющих теплового б аланса R , Я , Q и других переменных, входящ их
в уравнения прогностической модели. Результатом парам етризации
могут быть методы расчета и других величин, входящ их, наприм ер,
в граничны е условия. В этой главе будут рассмотрены различны е
подходы к парам етризации процессов лучистого и турбулентноготеплообмена, процесса конвекции и др.
6.1. Способы параметризации
лучистого теплообмена
Р азличны е методы парам етризации лучистого теплообмена у ж е
давно применяю тся как в прогностических, так и в ц иркуляционны х
м оделях атмосферы. Особо следует отметить, что один из первы х
способов парам етризации лучистого теплообмена, заклю чаю щ ийся
в представлении тепловой радиации в виде плоскоп араллельн ы х
потоков (модель Ш варцш ильда — Эмдена), был применен ещ е
в 1946— 1947 гг. Е. Н. Блиновой для теоретического реш ения задачи
распределения тем пературы воздуха с высотой, а затем и в прогно­
стических моделях для долгосрочного прогноза погоды. Теоретиче­
ской основой всех способов парам етризации лучистого теплообмена
явл яется уравнение переноса лучистой энергии для стационарного
поля излучения, рассмотренного в курсе «Метеорология».
6 .1 .1 . Плоскопараллельная модель переноса радиации
В этой модели, известной как модель Ш варцш ильда — Эмдена,
предполагается, что излучение может быть представлено в виде
п лоскоп араллельн ы х потоков длинноволновой нисходящ ей G и
266
восходящ ей U радиации и коротковолновой нисходящ ей радиации S .
Учет диффузности процесса производится косвенно. У равнения для
указан н ы х потоков записы ваю тся в виде
■§- =
(а - В), - f - = «P„ ( в - v ) ,
= (i.i)
где а и Р — интегральны е коэффициенты поглощ ения д ля потоков
длинноволновой и коротковолновой радиации соответственно. В к а ­
честве граничны х условий принимаю тся следующие:
при z —
> оо G = О, S = S° (I — A) cos в 0,
при 2 = 0 В = 8оТ*0\
(1.2)
где S 0 — солнечная постоянная, А — альбедо системы Зем ля —
атмосфера, 0 О— зенитное расстояние Солнца, 6 — относительная
и злучательн ая способность подстилающей поверхности для длинно­
волновой радиации, То — тем пература земной поверхности, В =
= а Г 4.
Z
w = J pudz' реш ения
о
( 1. 1) при граничны х услови ях ( 1.2) записы ваю тся в виде
^оо
G (w) = —a J еа №—
*>')В (Т) d w \
П осле введения переменной
уравнений
W
W
и (w) = boTo*e-aw + а j е~а
о
5 (да) = S° (1 -
>В (Т) dw',
A ) cos 0 ое-Р
(1.3)
Н а основе уравнений (1.1) получим следующее уравн ен ие для
притока теп ла к единице объема:
= - i k = d i S ± 6 z ~ U) =<4>n(G + U - 2 В) + РРп 5 .
(1.4)
Б олее детальн ая парам етризация переноса лучистой энергии
на основе плоскопараллельной модели предлож ена Г. И. М арчуком.
Им введены в рассмотрение отдельные спектральны е интервалы i y
а уравн ен ия переноса лучистой энергии записы ваю тся в виде
_ а,р „ (О, - В), ^ - = а
^
= ^ L _
S „ (1.5)
где индексом i обозначены величины, относящ иеся к данному спек­
тральном у интервалу. В качестве граничны х условий принимаю тся
следую щие:
при z —> оо Gt = 0 , S i = %iS° cos 0 О,
при z = 0
= Г)гВ(ТЬ),
(1.6)
267
где Xi и r\i — доли длинноволновой и солнечной радиации в рассма­
триваемом спектральном интервале. Реш ения уравнений (1.5) при
граничны х услови ях (1.6) записы ваю тся в виде
*1
°? - “ г 1 рп dz“
Gi ( z ) ^ a i \ B ( T ) e
г
р
n dz’,
Z
г
U i (z) = i UB ( T $ ) e
г
Урп dz'
2
- “ г I рп йг"
0
+ щ \В {Т )е
г'
р
aidz\
О
оо
Рг
COS 0 O
Si (г) = XiS° cos в 0е
f
J РП d z ’
2
,
( 1.7)
где г' и г" — переменные интегрирования.
Радиационны й баланс на высоте z представляет собой резул ьтат
суммирования по всем спектральны м интервалам:
R = T > ( S i + G i - U i).
(1.8)
6 .1 .2 . Параметризация лучистого теплообмена
на основе интегральных функций пропускания
Под интегральной функцией пропускания Р (£) понимается
отношение полного потока радиации F (г), приходящ его к слою
толщ иной Дг, содержащ ему массу £ поглощ ающих и излучаю щ их
веществ, к полному потоку радиации, выходящ ему из этого слоя —
F (г + Аг), т. е. отношение
р (6> = -
(Г + 'а д
■
(1-9>
Т акие функции п ропускания могут быть определены с помощью
специальны х экспериментов и расчетов.
Д л я длинноволновой радиации известны интегральны е функции
пропускания Ф. Н . Ш ехтер
Р ( |) = 0,471е—°-696 т Т + 0,529е_8>94^ Т
(1.10>
Р (g) = 0,515е—°’8 УТ -j- 0 ,4 8 5 е-2-° УТ.
(1.11)
и X. Н ийлиск
Процесс переноса коротковолновой радиации может быть описан
с помощью интегральной функции пропускания В. М еллера ъ
В . Г. К астрова
PK(l)= 1-
268
0 ,0 9 £ 0’303.
(1 .1 2 )
При использовании интегральны х ф ункций пропускания д л я
полных потоков радиации и притока тепла к единице объема (^Гл)
имеют место следующие вы раж ения:
G (до) = — ( В (Т) d P (до' — до),
W
W
U (до) = б В (То) Р (до) + \ В (Т) d P (до — до') —
о
“ оо
— (1 — б) j В (Т) d P (до + до'),
SW
= S " ( l - 3 ) c o s e 0P K( - E | ^ l ) ,
* . = ■%—
(1.13)
.
В этих соотнош ениях под рп понимается содерж ание водяного
пара. С одерж ание ж е других поглощ аю щ их и излучаю щ их веществ
(углекислы й газ и озон) учиты вается косвенно с помощью коэффи­
циентов, входящ их в вы раж ения для функций п ропускан и я.
И злож енны е способы парам етризации лучистого теплообмена
могут быть обобщены д ля сл уч ая облачной атмосферы. Н аиболее
просто это делается для бесконечных по горизонтали облачны х слоев.
П о л агая, что внутри облака эффективное излучение U — G и поток
коротковолновой радиации S равны нулю, можно проинтегрировать
уравнение переноса лучистой энергии отдельно д ля надоблачной
и подоблачной частей атмосферы и для безоблачны х слоев. П осле
этого можно рассчитать для каж дого уровня радиационный баланс
и приток теп ла к отдельным слоям.
В случае несплошной облачности расчет может быть произведен
дважды: д ля ясного неба и для сплош ной облачности. П риток теп ла
при количестве облаков N (баллы) описывается соотношением
=
где
неба.
и
----- п г ) * «
( 1Л 4)
— притоки тепла для сплошной облачности и ясного
6 .1 .3 . Параметризация лучистого теплообмена
на основе гипотезы Ньютона
Согласно гипотезе Н ью тона, в любой точке атмосферы д ля дан­
ного момента времени сущ ествует некоторое состояние «равновесия»,
которому соответствуют конкретны е значения метеорологических
элементов. Если по каким-либо причинам произош ло отклонение
от этого состояния, то атмосфера стремится вновь к нему верн уться
за некоторое время t0, называемое временем релаксац и и. Если проис­
ходит изменение тем пературы , то это сопровож дается выделением
или поглощением тепла. Если Т — тем пература в данный момент,
2Г.9
а Т — значения тем пературы в состоянии
теп л а можно вы разить в виде
равновесия, то приток
# л' = крср ( Т - Т ) ,
(1.15)
где k = 1/70. Метод прост в реали заци и . Трудности связаны с оп ре­
делением состояния равновесия и времени релаксац и и (в некоторы х
работах принимается t0 « 10е с).
6 .1 .4 . Параметризация лучистого теплообмена в модели ЕЦСПП
Д етальное описание этой схемы парам етризации ввиду ее сл ож ­
ности выходит за рамки книги, поэтому здесь будут излож ены основ­
ные принципы этой парам етризации.
Полный спектр коротковолновой (солнечной) радиации делится
на два диапазона, а длинноволновой — на три. Расчет потоков
радиации в каж дом из этих диапазонов производится д ля уровней
модели с учетом распределения следую щ их характери сти к атмо­
сферы:
отнош ения смеси водяного пара;
массовой доли насыщ енного водяного пара;
водности;
содерж ания углекислого газа, озона и аэрозоля;
тем пературы воздуха;
облачности в слоях модели атмосферы;
альбедо и излучательной способности подстилающей поверх­
ности;
зенитного у гл а Солнца в фиксированные моменты суток при
интегрировании уравнений по времени;
солнечной постоянной.
При расчетах потоков использую тся заранее затабулированны е
функции пропускания д ля каж дого из указан ны х пяти диапазонов
сп ектра излучения как для безоблачной атмосферы, так и д ля кон ­
кретного распределения облачны х слоев.
Р еал и зац и я схемы парам етризации при интегрировании уравн е­
ний модели во времени производится не на каж дом ш аге, а через
каж ды е 3— 4 ч, что явл яется достаточным д ля учета и расчета суточ­
ного хода метеорологических величин.
6.2. Теоретические основы
параметризации процесса
турбулентного обмена
ч
П арам етри заци я этого процесса основана н^\полуэм п ири ческой
теории турбулентности и соображ ениях теории разм ерности. В соот­
ветствии с полуэмпирической теорией турбулентности принимается,
что вектор турбулентного потока Оф любой скал ярн ой величины ср,
отнесенной к единице объема, представляется в виде
Оф = V V
270
= - К Щ ,
(2.1)
где V' = V — V — отклонение вектора ветра V от его среднего
значения V; ф' = ф — ф — отклонение величины ф от ее среднего
значения; К =
— тензор коэффициентов турбулентности; ин­
дексы *, / принимаю т значения 1, 2, 3 и соответствуют трем коорди­
натам, например координатам х , у , z\ V = grad — градиент.
В соответствии с выраж ением (2.1) формулы для турбулентны х
потоков импульса р\l'u ', p W , p V W по осям х, у , г, потоков теп ла
Н = CppV'0', влаги Q = p V V и атмосферных примесей Qa = V' sa
можно представить в следующем виде:
« »/
I
•
/
/
,
•
/
/
,
%
/ /
•
с/И
I t
/ /
•
dv
— кр/с2
pV и = ip и и + j pv и + kp w u = — ip /c * -^ ---------Jp/Cj,
» // /
•
/ / i
•
t /
,
pV у = ipu v + jpt» v + крда v = — ip/ с * - ^ - jp/cy
p\ ' w ' = ipw'c^' - f jp i/до' + крдо'до' = —
to
-
,
dv
|
- kp/c,
. ( JU| и и
,
----
dw
JP ^ -^ -k p ^
“аг-
H, = CppV'0' = iCppu'0' - f jc ppu'0' + кСррш'0' =
Q = pV '^' = ip u '^ ' -j- j p v ’q' -f- kpa>V =
да
= -> P * « -ftT -
.
да
.
'P S -g i- - kp/cz
Q a = V'Sa = i u's'a + j VSa + к w's'a = — \KX
да
— j Ky
,
— k/C
(2.2)
И з этих соотношений следует, что
Здесь к х, к у, /cz — коэффициенты турбулентности, соответствующ ие
осям х, у , г. П одставляя соотнош ения (2.3) в вы раж ен и я (2.8) и (2.9)
из главы 1, получаем следующие соотнош ения:
р
_
^
д
ди
^
д
.
ди
д
ди
х~
дх К* ~ W ^ ~ ~ d y ~ Kv ~дГ + ~ д Г Кг~дг~’
__
д
п
dv
д
,
^
dv
,
д
л
dv
У ~ ~дх~ К* ~дх + ~ду Ку ~ W ' ~ ~ д г Кг~дГ ’
Р
_
z
д
dx Kx
dw
dx
/ д
ае
. д
*" dy Ky
д
.
dw ,
dy
(
d
dq
P \ дх K* дх
Ж
^ aT
— ^ к
dx * *
d
д
дв
dz Kz dz
dq
d
ду Ky ду
^Sa -I- ^ /<•
dx +
dy Ky
dz
т
= срР ( - й Г к* - ь Г + - ъ - кСу'~дуг
i
cp
d
dz ^ z
^Sq I
dy +
dw
9
)’
dq \
~ д Г Кг~ д Г ) ’
d^
dz Kz
dsa/олл
dz
*
Полученные теоретические зависимости (2.4) турбулентны х в к л а­
дов в ускорения частиц, притоки тепла, влаги и атмосферных при­
месей от осредненных значений скорости, тем пературы , отношения
смеси и содерж ания атмосферных примесей сл уж ат основой для
получения парам етризационны х формул.
П реж де чем переходить к получению этих формул и их интерпре­
тации подчеркнем следующее. Атмосферную турбулентность можно
разделить на два класса: мелкомасш табную турбулентность, гори­
зонтальны й масштаб которой имеет порядок метров, и вихревую
(среднемасштабную)
турбулентность,
горизонтальны й
масштаб
которой составляет от 100 км (движ ения мезомасш таба) до ты сячи
километров (движ ения подсиноптического масш таба). Методы п ара­
метризации процессов мелкомасш табной и вихревой турбулентности
сущ ественно различаю тся, поэтому рассмотрим их в отдельности.
6.3. Параметризация мелкомасштабной
турбулентности
М елкомасш табная
(микромасш табная) турбулентность — это
беспорядочные перемещения в различны х н ап равлен иях на рассто­
ян и я порядка метров элементарны х объемов среды в виде небольш их
вихрей (диаметром порядка десятков сантиметров), оси которых
могут располагаться произвольны м образом. П ройдя это рассто­
яние /, называемое путем смешения (перемеш ивания), частицы
воздуха мелкомасш табного вихря полностью смеш иваются с о к р у ­
жаю щ им воздухом. При этом происходит передача свойств воздуха
(температуры и др.) от одних объемов к другим . М елком асш табная
турбулентность оказы вает сущ ественное влияние на крупном асш таб­
ные процессы.
В различны х моделях атмосферы, как правило, принимается, что
д л я небольш их площ адей, п орядка (A r)2 « 104 км2 к х = к у = /q =
272
= const, а к г = к (z). В этом случае вы раж ен и я для F , 8 в соотно­
ш ениях (2.4) упрощ аю тся и приобретаю т следующий вид:
г
а
|
д
ди
Е х = к1 Ьи + ^ г к~ёГ ,
д
тл
А
.
д
dv
F„ = K l A v + - s r K - s r ,
д0 \ ор
( и \
\
&
dq
8 t = cpp (^k1AQ + - ^ - k ^ - ) 9 8 пт = р ( * 1 Aq + ^ - K - ^ y
K l Asa
A sa -j+ J L K^ - ,
8 a,
ат = Kl
(3.1)
где Д — плоский оператор Л ап л аса:
a
a2 . <э2
А = -яdx2
я- +
^ -d y 2 '
При использовании тем пературы T вместо потенциальной темпе­
ратуры 0 для 8 Т получаем
<Гт = Cpp/Cj А Т + срр -А - [ к
Та) ]»
+
(3-2)
где va — сухоадиабатический градиент тем пературы .
Если в вы раж ен и ях (3.1) и , и, 0, q, sa — осредненные величины,
задаваем ы е в у зл ах сетки, а коэффициенты турбулентности
к к
определяю тся по принципу П рандтля в зависимости от пути смеше­
ния /, то порядок величин последних членов в каж дом из этих соот­
ношений значительно превыш ает порядок величин предпоследних
членов. Н априм ер, при ш агах по координатам Az = 1 км, Дг =
= 100 км и О (и) = О (у) = V имеем:
Qb r K^r) = /W ’ 0(*iA«) =KiW .
п (
d
du \
V
п /
а
\
V
Определим отношение порядков этих членов при % = к:
0 ( 4 ~ Ki r ) / 0
= (* w
) / (** w ) = ( 4 г ) 2 = 104-
Таким образом, с высокой степенью точности для членов, описы­
ваю щ их мелкомасш табную турбулентность, можно принять, что
с,
d
du
x ~ H z K~dz’
cp
d
^0
<D т = Cp p -gj- К
,
т?
d
dv
v ~ ~ d z K ~dz’
go
<&пт =
p
d
К
do
, r\ r\\
6.4. Параметризация планетарного
пограничного слоя
И з вы раж ений (3.3) для величин F и 8 следует, что м елком ас­
ш табная турбулентность может быть наиболее сущ ественной в слоях
со значительными градиентами скорости ветра, тем пературы и в л а ж ­
ности. К ак известно, слои с большими градиентами величин назы ­
ваю тся пограничными. Из всех пограничны х слоев, сущ ествую щ их
18 П . Н. Белов и др.
273
в атмосфере, наиболее важным явл яется планетарны й пограничный
слой (ППС), прилегаю щ ий к земной поверхности.
Высоту ППС h можно приближенно оценить исходя из равенства
порядков величин силы турбулентной вязкости и силы К ориолиса:
<4 1 >
Отсюда следует, что
h^V^K/U
(4.2)
При к = 10 м2/с и / = 10“4 с-1 h » 330 м. Более детальны е оценки
высоты ППС, основанные на его определении как слоя, в котором
н аправления фактического и геострофическвго ветра разли чаю тся,
дают h ж 1 км.
Из соотношения (4.2) следует, что у полюсов высота ППС меньш е,
в других ш иротах больше. О днако, как это следует из формулы (4.2),
в экваториальной зоне, где / -> 0, ППС при данном определении
исчезает. Там образуется особый пограничный слой со своими спе­
цифическими свойствами.
В нутри ППС, у самой земной поверхности формируется особый
слой, называемый внутренним приземным пограничным слоем (ВПС).
Это слой, в котором сила турбулентной вязкости сущ ественно пре­
вышает все остальные силы, в том числе и силу К ориолиса. Д л я
такого слоя вместо (4.1) можно записать
И з соотношения
0 (I-* -!) =
для высоты ВПС h x получаем оценку:
« 30 м.
Первый способ парам етризации эффектов ППС в прогностической
модели был предлож ен И. А. Кибелем. Этот эффект он предлож ил
вклю чить в квазигеострофическую модель с помощью граничного
условия на ниж нем уровне прогностической модели в виде
при р = Р w = до.,,
(4.3)
где дол — верти кальн ая скорость на верхней границе ППС, обуслов­
лен н ая турбулентной вязкостью . Она находится путем реш ения у р ав ­
нений горизонтального дви ж ени я, записанны х при условии стаци­
онарности процесса, горизонтальной однородности поля ветра
и отсутствия крупномасш табных вертикальны х движ ений в виде:
\
др
, 1
,
д
ди
~
\
<k)
t
.
д
dv
(4.4)
при условии «прилипания» у земной поверхности:
при z = 0 u = v = w = 0,
при z
274
оо и, v ограничены .
^
(4.5)
Д л я случаев постоянства силы градиента давления с высотой
внутри ППС и постоянства коэффициента турбулентности или при
задан и и какой-либо закономерности его изменения с высотой реш ение
уравнений (4.4) при услови ях (4.5) д ля и и v имеет вид
u = - ~ k w (1~
е _ 6 г
c o s
6 г )
i f % е~6г
-
е~ Ьг cos
где 6 = У 1/2к.
П роинтегрировав
уравнение
du
,
s i n
б г ’
(4.6)
е_бг sin 6г-
неразры вности
dv
dw
Л
по высоте от z = 0до г — h при условии
(4.5), для whполучим:
wh = а Д р0,
(4.7)
где р 0— давление на уровне м оря, а — коэффициент,
Д— плоский
оператор.
В современных прогностических моделях атмосферы с полными
уравнениям и гидротермодинамики учет мелкомасш табной турб ул ен т­
ности в ППС производится путем расчета ее вкладов в изменение
скорости ветра, тем пературы и влаж ности, т. е. путем расчета вели ­
чин FXi Fy, £ГТ и
в ППС.
Одним из простейших способов парам етризации ППС явл яется
полуэмпирический. П роизведя зам ену в уравн ен иях (3.3) первых
производны х по z от величин к
ди
к
dv
дб
к
и к
dg
конечными р а з­
ностями по их значениям при z = h (на верхней границе ППС) и при
z = О (у земной поверхности), получаем:
' - W
- f c V -(* -£ ).]•
» - ¥ [ ( * 4 ).-(* 4 ).].
*— + [(« 4 ).--(* 4 )J >
где индексами h и 0 обозначены произведения к на производные
при z = h и z = 0. П риним ая, что при z = h, т. е. на верхней гр а ­
нице ППС, вертикальны е турбулентны е потоки всех величин равны
нулю , находим:
г»
1
*~
h \ ~ д Г ) о ~ ~ ~ р Г Г*0’ Р у = Т
/
ди \
1
х (« 4 ).--? -18*
„
1
/
dv \
1
\ К ~dz )о = _ "р/Г т»0’
* - - ~ H * 4 ) .- * "
<4-8>
275
где
ди
тх0 = Рк ~ & '
хуо = Р/с
ы
по осям х и у, Н 0 = —срр/с
(30
dv
— вертикальны е потоки и м п ульса
~
dq
Q0 = — р/с —■— вертикальны е потоки
тепла и влаги у земной поверхности.
Таким образом, для определения величин F Xy F yi
и <^пт в П П С
достаточно определить турбулентны е вертикальны е потоки соот­
ветствующих величин у земной поверхности. Д л я этих потоков
ш ирокое распространение получили следующие парам етризационны е
формулы:
^эсО
p h i C | V ht J Ujit , Ту0 —
p ht C | Vhi | Vh t,
H o = Ph £ I V ht | ( T hl - T o ) ,
Qo = - p htf C U9
(4.9)
где величины с индексами 0 и hx относятся к земной поверхности
(г = 0) и верхней границе приземного подслоя (h] « 50 м), в кото­
ром вертикальны е потоки постоянны; f — относительная вл аж н ость
воздуха; V — горизонтальны й вектор скорости ветра; С и Сп—
безразм ерны е коэффициенты (коэффициенты сопротивления), под­
бираемые эмпирическим путем. Т ак , в глобальной модели Н а ц и ­
онального центра атмосферных исследований США, С = 0,003,
С п = 0,76; в модели СО АН СССР, в пятиуровенной модели метео­
рологической служ бы Соединенного К оролевства и в моделях ЕЦ С П П
эти коэффициенты зави сят от числа Ричардсона
- RiW
^ - “ W
<v* - v)'
<410)
где
ди \ 2 . ( dv \ 2
М ж Г + (1 )
Эта зависимость так о ва, что вклад турбулентны х членов в ф ормиро­
вание вертикальны х потоков увеличивается при уменьш ении
числа R i.
Главным недостатком парам етризационны х формул вида (4.9)
явл яется недостаточная обоснованность задан и я коэффициентов со­
противления.
В. А. Ш найдманом и А. Г. Т арнопольским был предлож ен метод
п арам етризации ППС, основанный на решении системы уравнений
гидротермодинамики, вклю чающ ей уравнения горизонтального дви ­
ж ения (4.4), а так ж е уравнения притоков тепла и влаги при условии
стационарности процесса, однородности полей тем пературы и в л а ж ­
ности и отсутствия лучистого теплообмена и фазовы х превращ ений
влаги в виде
*
dz
М
dz
=0,
’
± к ^ - = 0 .
dz
(4.11)
'
dz
F
Кроме того, в систему уравнений входит уравнение б ал ан са
кинетической энергии турбулентны х пульсаций:
* [ ( * ) * + ( - £ ) ’] 276
+£>* т
■ - » . ■ -1“ •
<•■«>
где
Е ' = 4 2- ( ы'2 + у,2 + ш'2)u \ v \ w f — турбулентны е пульсации составляю щ их скоростей,а черта сверху означает осреднение; Р = g/Q — параметр конвекции;
0 — среднее значение 0;
— скорость диссипации кинетической
энергии турбулентны х пульсаций в тепло, происходящ ей вследствие
трения воздуха о подстилающ ую поверхность. Д ополнительно ис­
пользуется р яд соотношений из теории разм ерности.
Н а основании реш ения указан ной системы уравнений получены
простые парам етризационны е ф орм улы д ля всех характери сти к
ППС, вклю чая турбулентны е потоки, коэффициента турбулентности /с,
высоту ППС h. Все указан ны е характери сти ки ППС вы раж аю тся
через три парам етра, характери зую щ и х крупномасш табное дви ж е­
ние:
1) число Росби
Ro = - ^ - ,
(4.13)
2) внешний параметр стратиф икации
M = iV 7 ^ ’
3) внутренний параметр стратиф икации
„
_
М — 2,5%х4 (Ya — yh) g//2e0
(4Л4>
.
™
1>14%[lg (Ro X) — 1>14] •
Здесь и далее 80 = 0Л — 0О— разность потенциальной тем пературы
на верхней границе ППС и у земной поверхности; y h — вер ти кал ь­
ный градиент тем пературы при г = A; CD = 10“3 — коэффициент
сопротивления; z0 — параметр
ш ероховатости, % — «геострофический» коэффициент трения:
X = -^-г- = a (lg Ro)2 + b \ g Ro + с;
(4.16)
v* — динам ическая скорость; х = 0,38; а = 0,00405; b = — 0,068г
с = 0,37; а — угол меж ду векторами геострофического и ф акти ­
ческого ветра:
а = at lg (R o)2 + bx lg R o +
(4.17)
(ax = 1, bi = — 15, cx = 82).
Величины турбулентны х потоков вы раж аю тся через приведенныепараметры следующим образом:
Tjco = рx 2%Vg(ug cos а — vg sin а),
т у0 = P ^ x V g (ug sin а - f vg cos а),
„
cpPl 172 2q
Ho = ------ g - Vg% 00^0,
Qo =
P ^ d V i o o o (<7iooo —
Qtido ) *
(4.18)
277
где Vg и Уюоо — значения модуля скорости геострофического ветра
на верхней границе ППС и на поверхности 1000 гП а, q850 и q1000 —
зн ачен ия массовой доли влаги на поверхностях 850 и 1000 гП а.
В рассмотренной методике возможен учет бароклинности ППС.
Д л я этого вводится ^средний д ля ППС горизонтальны й градиент
тем пературы Г = | дТ / д п |, где п — нормаль к изотермам, и с его
помощью учиты вается изменение с высотой силы градиента д ав ­
л ен и я.
П арам етризация внутреннего пограничного (приземного) слоя
осн ован а на теории подобия А. С. М онина и А. М. О бухова. Согласно
этой теории вводится безразм ерная высота | = z/L *, назы ваем ая
параметром стратиф икации, где L* — масштаб длины:
L* = и */х2рТ *,
и* — динам ическая скорость, Т* — масштаб температуры :
Т* = — Н 0/ ж рри*.
Д а л е е вводятся безразм ерны е скорость ветра V/u* и тем пература
Т /Т * . Д оказы вается, что безразмерные скорости ветра и тем пература
являю тся универсальны ми ф ункциями одного парам етра | , т. е.
парам етра статической устойчивости. Если известны значения V и Т
н а каком-либо одном уровне zb находящ емся вблизи подстилающей
поверхности (например, гх = 1 м), то значения V (г) и Т (z) внутри
приземного слоя можно представить в виде
V(z) = V(z1) + ^ [ f D( l ) - f v(h) 1.
T ( z ) = T ( Zl) + Т* [/e ( g ) - / e ( £ i ) l ,
где безразмерные переменные | и ^ соответствуют высотам z и zb
f v и /е — универсальны е функции для скорости ветра и тем пера­
ту р ы соответственно. Д л я этих функций на основе обработки изме­
рений получены различны е аппроксим ации. Н априм ер, для случая
си льн ой неустойчивости (£ < —0,07)
Ы 6 ) = M S ) = 0,25 + 1 , 2 |- 1/3.
6.5. Параметризация процессов вихревой
(среднемасштабной) турбулентности
Под вихревой (среднемасштабной) турбулентностью будем пони­
м ать обмен значительны х объемов воздуха, происходящ ий в р езу л ь ­
тате перемещения вихрей с вертикальной осью, горизонтальны е
разм еры которых не превыш ают 4 А г. Такие движ ения не могут быть
непосредственно описаны численными методами по значениям осредненных метеорологических величин в узлах сетки точек. Это с в я ­
зан о , в частности, с тем, что осреднение исходных уравнений гидро­
терм одинамики производится по площ адям элементарны х ячеек
сетки , т. е. по площ адям, равным (Аг)2. С ледовательно, такие д ви ­
278
\
ж ения являю тся движ ениям и подсеточных масштабов. К их ч и слу
относятся движ ения в небольш их лож бинах и гребнях с горизон­
тальной протяж енностью порядка 2Дг, некоторые мезомасш табные
д ви ж ени я, а так ж е часть гравитационны х колебаний.
При построении уравнений зональной модели ц иркуляц ии атмо­
сферы, наприм ер, осреднение уравнений производится по кругам
широты. Основные члены уравнений зональной модели атмосферы,
содерж ащ ие осредненные величины, описывают м еридиональны й
обмен в среднем д л я кругов широты. В реальной же атмосфере на
каж дом круге широты может быть н есколько вихрей диаметром до>
нескольких ты сяч километров. Эти вихри обусловливаю т мериди­
ональны й обмен воздуха, сущ ественно отличаю щ ийся от среднего
вдоль кр у га широты. При исследовании зональной ц иркуляц ии
атмосферы этот процесс принято назы вать вихревой среднемасштабной
турбулентностью .
Несмотря на сущ ественное различие процессов вихревой (средне­
масштабной), а так ж е крупномасш табной турбулентности (в зо­
нальны х моделях атмосферы), общие подходы к их парам етризации
являю тся схож ими. Этот подход в конечном итоге сводится к описа­
нию членов уравнений модели, содерж ащ их отклонения величин
от средних значений, через осредненные величины в у зл ах сетки,,
т. е. через параметры основной модели.
О днако сущ ествует одно принципиальное различие в проявле­
ниях процесса турбулентности разны х масштабов. При развитии
мелкомасш табной турбулентности происходит передача энерги и
от движ ений мелкого масш таба к движ ениям еще более мелких
масштабов и в конечном итоге переход ее в тепло, т. е. имеет м еста
диффузионный процесс. В случае ж е вихревы х турбулентны х дви­
жений среднего и крупного масш таба могут происходить два про­
тивополож ны х процесса: передача энергии от движ ений более к р у п ­
ного масш таба к движ ениям более мелкого масш таба, т. е. диффу­
зионный процесс, и (реже) передача энергии от движ ений более
мелких масштабов к движ ениям более крупны х масштабов. В этом
случае говорят о движ ениях с отрицательной вязкостью. Этот пос­
ледний процесс особенно важ ен при интенсификации циклонов
и формировании интенсивных зональны х движ ений в умеренных
ш иротах, в частности струйных течений.
В простейшем случае парам етризация вихревой турбулентности
сводится к использованию соотношений вида предпоследних членов:
вы раж ений (4.1), т. е. принимается, что влияние вихревой горизон­
тальной вязкости на крупномасш табную циркуляцию описывается
соотношениями
F x = Kq Ди, Fy = /cq Ди,
Д0,
З^ит = pkq Aq,
(5.1)
где Д — п л о с к и й оператор Л ап л аса, н и ж н и й индекс Q при соответ­
ствующих коэффициентах турбулентности означает, что они описы­
вают влияние вихревой турбулентности на поля ветра, тем пературы
и влаж ности.
279(
Отличие соотношений (5.1) от соотношений (3.1) сводится к опре­
делению коэффициентов турбулентности. Если в соотнош ениях (3.1)
коэффициент к г определяется главны м образом на основании поло­
ж ений П рандтля, то в соотнош ениях (5.1)коэффициенты
kq опре­
деляю тся восновном с помощью эмпирических данны х. Т ак,
в мо­
д ел и общей ц и ркуляц и и атмосферы Гидрометцентра СССР принято,
что коэффициенты вихревой турбулентной вязкости пропорцио­
нальны модулям л ап л аси ан а от осредненных величин:
/cq = £0 |A ^|>
(5.2)
где k 0 — постоянная (например, k 0 = 1015 м3).
Более общее вы раж ение д ля описания эффекта сил гори зонталь­
ной вихревой турбулентности может быть получено на основе теории
д вум ерной турбулентности. Согласно этой теории принимается, что
си л ы горизонтальной вихревой вязкости обусловлены деформацией
(D ) и описываю тся вы раж ениям и
+
(5'3>
гд е
n
1
г>
1 / dvv
( ди%
D T — ---------1
a cos ф \
д
\
---------- Vw COS ф ) ,
дк
дф ф
^ J
,
д
\
D‘ = t ^ ( - m r ^ W
vb c o s v ) ’
_1_
D = ( D \ + D s2) 2 ,
kq = y L 2D.
(5.4)
Коэффициент L связы вается с шагом сетки, а у подбирается эмпи­
рическим путем (у » 0,18).
Н а основании ан али за переходов энергии В. А. Ш пайдман для
коэффициента вихревой турбулентной диффузии предлож ил сле­
дую щ ее соотношение:
Kq = Y^min | £2 |»
где | Q | — модуль вихря скорости, L mln — м иним альная
в олн ы , которая описывается моделью явно (Lmin = 4 А г).
(5*5)
длина
6.6. Параметризация процесса
крупномасштабной конденсации
О бразование облачности и осадков происходит в основном в ре­
зу л ьтате процессов конденсации при подъеме воздуха при круп н о­
масш табных и мезомасш табных процессах. Процесс конденсации
описы вается с помощью парам етризации.
Важнейш им моментом парам етризации конденсации при к р у п ­
номасштабном процессе явл яется предположение о возможности
вы числения осредненной по площади вертикальной скорости или ее
280
аналога т = dp /dt независимым от парам етризации способом, путем
интегрирования основных уравнений модели атмосферы.
В этом параграф е будет излож ен вари ан т парам етризации кон ­
денсации при крупномасш табном процессе (для краткости в д ал ьн ей ­
шем этот процесс будет назы ваться крупномасш табной конденса­
цией) в предположении о том, что аналог вертикальной скорости
яв л яется известным.
Д л я вывода парам етризационны х соотношений отвлечемся от
адвективны х процессов, а так ж е от всех видов притоков теп ла и
влаги, кроме их притоков, обусловленны х фазовыми превращ ениям и
влаги.
В качестве одного из основных уравнений возьмем уравн ен ие
притока тепла
dt —
g—
p
4d tг = ср
—р
v(6 Л>
r
При сделанных предполож ениях
S = <ГФ = 2 т,
(6.2)
где & — теплота конденсации, т — скорость конденсации (измене­
ние количества водяного пара в единице объема в единицу времени).
У читы вая, что т = d p / d t , а уа = g/cp , уравнение притока теп л а
перепишем в виде
= ср
—р * +1
dt
у(6.3>
'
ср р
Будем считать, что конденсация водяного пара происходит, когда,
относительная влаж ность достигает 100 % , т. е. когда водяной п ар
становится насыщенным.
Очевидно, что если рп — плотность насыщенного водяного п ара,
то
т — —d p j d t .
(6.4)
И спользуя уравнение состояния водяного пара
Е = RnPnT,
где R n — удельн ая газовая постоянная водяного пара, Е — пар*
циальное давление насыщенного водяного пара, получаем:
_
т ~
1
dE
Е
dT \
\ R nT
dt
R aT 2
dt
/
) '
У читы вая, что
dE
dE
dT
dt
dT
dt ’
и и сп ользуя соотношение К л аузи са — К лапейрона, находим:
Е
(t 22
,. \\
dT
Введем далее вместо величины т величину С = т/ р — скорость
конденсации водяного пара в единице массы воздуха. Очевидно, что
с = - р т 6 * 0 & - ') т -
<6'5>
Подставим теперь в вы раж ение (6.5) величину d T / d t из соотно­
ш ения (6.3). В результате получим
С =
p R u T 2 \ R nT
7 \ с рр
Отметим, что
1
рТ
_ R
- р
„
' а
R Е
Rn р
п
-Ч т >
где qm — массовая доля насыщенного водяного пара. Тогда д ля
величины С получаем
С = F (р, Т) т,
(6.6)
где F — ф ункция только переменных р и Т и известных парам етров:
( j R _&
V c -d CvT
Qm
р
^
R \
Rn /
cp R n T 2
(6-7)
Э та ф ункция может быть заранее затабули рован а.
П риток тепла может быть теперь определен по соотношению (6.2).
П риток тепла и изменения тем пературы воздуха в результате
ф азовы х переходов влаги описываю тся соотношениями
=
« •ф -гр С ,
(6.8)
Количество осадков, выпавш их из единичного столба воздуха
з а время
рассчиты вается по формуле А. Ф. Д ю бю ка
v =T 0^ l^ dpdtр
<6 '9 )
в которой
-%
- = _ -L
m = —с.
dt
р
6.7. Параметризация процесса конвекции
методом конвективного приспособления
К онвекция явл яется очень сложным физическим процессом,
поэтому ее нельзя описать с помощью уравнений точно. Если бы это
и удалось сделать, то все равно возникли бы трудности при реал и ­
зац и и из-за недостатка сведений о м икроструктуре облаков, а так ж е
слож ности необходимых расчетов. Ввиду сказан н ого наметилась
определенная тенденция к созданию упрощ енных теоретических
282
моделей конвекции, в которы х характери сти ки конвекции, а т а к ж е
ее проявление (облачность, осадки, притоки тепла и пр.) могли быть
описаны с помощью простейш их уравнений и соотношений и вы ­
раж ены через параметры крупномасш табных процессов (осредненные
значения скорости ветра, тем пературы , влаж ности и д р.). Т акой
подход к задаче и получил название
п а р а м е т р и з а ц и и
процесса конвекции.
Существует ряд методов парам етризации процесса конвекции.
Эти методы условно можно разбить на три группы , различаю щ иеся
принципиальной постановкой задачи и способами ее реш ения.
К первой группе можно отнести методы парам етризации, осно­
ванные на гипотезе конвективного приспособления (Манабе и д р.).
Ко второй группе относятся методы, в которы х используется гипо­
теза об условной неустойчивости второго рода (К уо и д р.). В третью
группу можно выделить методы парам етризации конвекции при
наличии скоплений (ансамблей) кучевы х облаков (А ракава и д р .).
В этом и следующем параграф ах будут рассмотрены два из трех
выше упомянуты х методов парам етризации.
В методе конвективного приспособления не делается попыток
описания физического процесса конвекции, но дается простой алго­
ритм учета его влияни я на тепло- и влагообмен, а так ж е расчета
количества осадков.
Основные полож ения данного метода парам етризации сводятся
к следую щему. Если в каки х-то слоях атмосферы возни кла стати­
ческая неустойчивость, то кон векц и я д олж на приводить к пере­
распределению по вертикали тепла и влаги таким образом, чтобы
в результате конвекции в этих и в соседних слоях атмосферы уста­
новилось устойчивое состояние. Если в этих слоях имеет место
состояние насыщ ения, то при влаж ноадиабатическом процессе вы­
деляется тепло конденсации и происходит образование осадков.
Рассмотрим, каким образом производится расчет изменений тем­
пературы 8 Г (или тепла конденсации) и влаж ности 8г при вл аж н о ­
адиабатическом процессе конвективного приспособления насыщ ен­
ной водяным паром воздуш ной массы, а так ж е количества вы павш их
при этом осадков.
П реж де всего по значениям тем пературы и влаж ности, получен­
ным в у зл ах сетки прогностической или циркуляционной модели
атмосферы (параметры крупномасш табного процесса), или поданн ы м
радиозондирования оты скиваю тся верхние (рв) и ниж ние (рн) гр а­
ницы слоев с влаж ноадиабатической неустойчивостью и состоянием
насыщ ения по критериям
7> 7ва
и r > r m,
(7.1)
— влаж ноадиабатический градиент тем пературы ,\ г т — зн а ­
чение отнош ения смеси при состоянии насы щ ения.
Искомые изменения тем пературы и массовой доли влаги q н аход ят
исходя из условий о неизменности в процессе конвекции в этих
слоях
(т. е. в слоях с конвекцией) влаж ной статической энергии
г Де Тва
£ в = СрТ + g z + 2 q ,
(7 .2 )
283
установлен и я в слоях влаж ноадиабатического градиента, при котором
эквивалентно-потенциальная тем пература при вертикальны х переме­
щ ениях не изменяется, и равенства нового значения влаж ности ее зн а ­
чению при состоянии насыщ ения при новом значении тем пературы .
Эти условия описываю тся следующими соотношениями:
J (ср 8 Т + 3? 8r) dp = О,
Рн
- ± .[0 * ( Т + б 7 \ г + 8г, р)] = О,
(7.3)
г -)- Ьг = rm (T -f- ЬТ),
гд е 0* = 0 exp (S r m!cv T ) — эквивалентно-потенциальная темпе­
р атура, а 87" и 8г — приращ ения величин Т и г.
Д л я нахож дения значений 8 Т и бг между уровнями р в и р н введем
промежуточные уровни р к. Д ал ее интеграл в соотношении (7.3)
запишем приближенно с учетом этих уровней (используя, например,
метод трапеций). Производную по р представим конечными р а з ­
ностями с учетом уровней р к. Д л я каж дого из этих уровней запишем
так ж е и последнее из соотношений (7.3). В результате получится
система линейных алгебраических уравнений для определения иско­
мых значений 8 Т к и 8гк на всех введенных уровнях, реш ая которую
и склады вая найденные приращ ения 8 Т к и 8гк с исходными зн аче­
ниями Т к и rk, получаем их новые значения.
Д ал ее процесс повторяют, используя эти новые значения: с п о­
мощью критерия (7.1) отыскиваются новые значения р в и р н, вновь
составляется система линейных алгебраических уравнений и т. д.
О писанны й вычислительный процесс закан чи вается, если на всех
уровнях данной вертикали будут вы полняться услови я у к < 7 Ва»
■rk < rmk. После получения окончательного значения 8г (или 8q)
рассчитывается количество выпавш их осадков по соотношению
(7.4)
о
Э тот интеграл вы числяется численно (ps — давление на поверх­
ности Земли).
В случае сухоадиабатического процесса (сухоадиабатическое кон­
вективное приспособление) вместо критерия (7.1) принимается кри ­
тер и й у
уа, а для определения приращ ения температуры исполь­
зу ю тся соотнош ения
рв
J ср 6Т dp = О,
- ^ [ 0 ( 7 + 67\ р)]= 0 ,
которы е являю тся частным случаем соотношений (7.3).
-284
(7 .5 )
6.8. Метод параметризации кучевой
конвекции, основанный на гипотизе
условной неустойчивости второго рода
В изложенном в предыдущем параграф е методе конвективного
приспособления не делается н икаких предположений относительно
причин и природы конвективных движ ений. Это существенно о гр а­
ничивает возможности метода. В частности, этот метод совершенно
исклю чает конвекцию в инверсионных слоях атмосферы, что про­
тиворечит данным наблюдений.
Ф изически более обоснованными являю тся способы парам етри­
зац и и кучевой конвекции, основанные на гипотезе условной неустой­
чивости второго рода, которую называю т такж е гипотезой «про­
никающей» конвекции или гипотезой «горячих башен». Согласно
этой гипотезе конвективные движ ения возможны как в слоях с в л аж ­
ноадиабатической неустойчивостью, так и в инверсионных слоях.
В озникнув под действием силы Архимеда или беспорядочных ту р б у ­
лентны х пульсаций, конвективные движ ения стимулирую тся круп н о­
масштабными восходящими движ ениями и притоком влаги в р езу л ь ­
тате ее горизонтальной адвекции и испарения с земной поверх­
ности. Эти факторы можно рассматривать как своего рода вторичную
неустойчивость атмосферы, которую и называю т условной неустой­
чивостью второго рода (C IS К).
Применение этой гипотезы д ля параметризации кучевой конвек­
ции рассмотрим на примере методики, предложенной Куо. В основе
этой методики леж ат следующие полож ения:
1) кучевое облако имеет форму прямого цилиндра, основанием
которого является уровень конденсации, а вершиной — уровень
конвекции;
2) внутри облака вертикальны е градиенты температуры и
влаж ности равны их значениям при влажноадиабатическом про­
цессе;
3) отсутствует какое-либо взаимодействие между облаком и о к р у ­
ж аю щ ей средой, отсутствует вовлечение воздуха в облако;
4) кучевое облако сущ ествует непродолжительное время (8^),
а при достижении определенного состояния «растворяется» в о к р у ­
ж аю щ ей среде мгновенно, в результате чего изменяю тся тем пература,
влаж н ость, энергия и другие характеристики воздуха в пространстве,
зан ятом облаком, и прилегаю щ их к нему районах (окружаю щ ей
среде).
Пусть а есть доля площади, занимаемой конвективной облач­
ностью внутри единичной площ адки, Т с и Т — тем пература воздуха
в облаке и в окруж аю щ ей среде, гс и г — отношение смеси в облаке
и в окруж аю щ ей среде, Т и г — средние значения температуры и
отнош ения смеси воздуха на исследуемой площ ади, которые уста­
навливаю тся по окончании процесса конвекции (конденсации и вы ­
падения осадков).
285
Согласно рассматриваемой гипотезе в результате (по окончании)
конвекции средние по площади знечения температуры и отнош ения
смеси определяю тся по формулам
Т = а Т с + (1 — а ) Т> г = ar c + (1 — а ) г.
Отсюда следует, что изменения температуры воздуха и влаж ности
на данной площ адке, произошедшие в процессе развития конвекции*
описываются выражениями
8 Т = Т — Т = а Т с + (1 - а) Т — Т = а ( Тс — Т),
8г = г — г = a r c + (1 — а) г — г = а ( г с — г).
Таким образом, если значения температуры и отношения смеси
в облаке и окруж аю щ ей среде в некоторый момент времени изве­
стны, то д ля определения их значений, которые установятся на
исследуемой площ адке в результате развития конвекции, необхо­
димо определить величину а.
Д л я этого, согласно методике Куо, предполагается равенства
между количеством влаги, поступающей в облако, и ее количеством,
необходимым для установления состояния насыщения внутри объема
облака.
П редполагается такж е, что поступление влаги в облако
происходит в результате адвекции влаги из подоблачного слоя
(Л г) и испарения с подстилающей поверхности (Qs). Величина А г
для слоя между поверхностями p s и р К0Нд рассчитывается по соотно­
шению
^конд
I
^конд
V ( V .,M „ = - L
j
ps
Ps
где Рконд — уровень конденсации, а величина Qs описывается фор­
мулой
Qs == РhtC |
|
(/*s
где индексом hx отмечены величины, относящ иеся к верхней границе
приземного подслоя (hx = 75 м). У ровень конденсации гконд (м)
может быть рассчитан, например, по формуле Ф ерреля
^конд ^ 122 (ts — тв),
где is и т5 — тем пература воздуха и точка росы у земной поверх­
ности (°С). Количество ж е влаги, необходимое для достижения
состояния насыщения в облаке, можно определить по соотношению
Р КОНД
^п
,2= - у
j
с
[ (r m - n
+ ^r(T c-T )]dp ,
^конв
где Рконв — уровень конвекции, который определяется как точк
пересечения кривы х состояния и стратиф икац ии (задаваемых в форм
соответствующих уравнений).
286
Если 6t — время формирования (существования) кучевого об­
л а к а , то у казан н ое выше предположение о равенстве влаги, посту­
пающей в облако и необходимой д ля достиж ения воздухом состояния
насы щ ения, применительно к единице времени и площади можно
представить в виде
<^п, i $ t = а< ^п>2.
Отсю да для а получаем
С учетом сказанного для притоков к единице объема тепла и влаги
в результате процесса конвекции получаем
< Г = с рр - ^ ( Г с - Г ) ,
* я = -8 г (Г е -Г ).
Д л я определения количества выпадаю щ их осадков достаточно
проинтегрировать последнее вы раж ение от уровня конденсации
д о уровня конвекции. П олагая, что уровень конвекции совпадает
с верхней границей кучевого облака, мы тем самым определяем его
высоту.
6.9. Параметризация конвекции
в скоплениях (ансамблях)
кучевых облаков
Этот метод, предложенный А ракавой, Ш убертом и д р ., основан
н а предполож ении о взаимодействии кучевых облаков с о к р у ж а­
ющей их атмосферой, состояние которой описывается метеорологи­
ческими величинами; значения последних определяю тся круп н о­
масштабным процессом.
У казан н ая связь описывается уравнениями баланса энергии
и влаги, осредненными по площ ади, достаточно большой, чтобы
содерж ать совокупность облаков, различаю щ ихся по размерам,
но меньшей, чем крупномасш табное возмущение. Считая площ адь
осреднения (равную площади ячейки сетки прогностической модели)
единичной, запиш ем уравнения баланса статической энергии Е с =
= ср Т + gz при отсутствии лучистого теплообмена и массовой доле
влаги q в виде
т
= - vvE -
^
+ г
- г> - т г •
<9-'>
где е й с — скорость изменения массовой доли влаги за счет испаре­
ния капель и конденсации соответственно, черта сверху над перемен­
287
ными означает осреднение по единичной площади, а штрих — откло­
нение переменных от средних значений.
Величины %'Е' и %’q \ которые характеризую т интенсивность
турбулентны х потоков энергии и влаги, связанны х с кучевыми
облакам и, можно представить следующим образом:
V W = — М (р) ( £ — £ ) ,
7? = -M (p)(q-q),
(9.2)
где М (p)/g — вертикальны й поток облачной массы в кучевы х
облаках; Е и q — энергия и влаж ность в облаках; Е и q — энерги я
и влаж ность в окруж аю щ ем облака пространстве. В еличину М (р )
в дальнейш ем будем назы вать полным потоком массы в кучевы х
облаках.
Приведенные приближенны е соотношения для вертикальны х
турбулентны х потоков получены в предположении о том, что верти кал ьн ая скорость в облаках больше, чем в окруж аю щ ем воздухе,
а доля покры тия площади ячейки сетки облаками невелика (менее
0 , 1).
Система уравнений (9.1)— (9.2) будет замкнутой лиш ь в том
случае, если известны вертикальны е профили переменных М , Е у
q, с и е.
Замы кание этой системы уравнений возможно с помощью вве­
дения п оказателя скорости вовлечения массы в облака X (параметр
вовлечения). Можно предположить, что этот параметр определяется
радиусом облака г по соотношению X « с г 1, где с — постоянная.
Д л я этого показателя принимается условие его постоянства по
высоте; он описывается следующим выражением
d m ,(zX) ,
А, = — 1
(9.3)
т (z, X ) d z
к
'
где т (z, X) dX — поток на уровне z массы в об лаках, имеющих по­
казатель вовлечения К в интервале АХ/2 + X
X ^ X — АХ/2.
Совокупность кучевых облаков можно разделить на типы по
величине X, что в общем эквивалентно их делению по максимальной
высоте их вершин.
И з соотношения (9.3) следует, что
m (z , Ц = ( т - ( Ч ' М ' “ '* )
I
о
"Р"
при
z > z d,
,9.4)
v '
где т в (X) — поток массы в облаках на уровне их основания z = zB;
zd — уровень «вытекания», или диссипации облаков. Чем меньше
радиус облака, тем больше параметр вовлечения и ниж е располож ен
уровень диссипации zd.
Общий поток массы в ансамбле кучевы х облаков вы разится в виде
(*)
M(z)=
288
j
т (z, X) dk,
(9.5)
где Xd (z) — максимальная величина X, при которой облака дости­
гают высоты z.
Вытекание ж е массы из облаков описывается выражением
D(z ) = m( z, М
^ г- .
(9.6)
Д л я зам ыкания выписанной системы уравнений необходимо еще
одно уравнение для переменной т в (X). Определение этой функции
связано с большими трудностями, описание которых выходит за
рамки книги. Здесь лиш ь отметим, что в одном из конкретных ме­
тодов параметризации такое дополнительное соотношение получено
из предположения о статическом равновесии ансамбля кучевых об­
лаков с крупномасш табным процессом. Последнее сводится к по­
стоянству во времени сущ ествования ансамбля облаков работы А г
совершаемой силами плавучести в об лаках, т. е. к условию
d A l d t = 0.
(9.7)
О кончательные результаты при использовании излож енного ме­
тода получаю тся после численного реш ения (на основе вы раж ения
(9.7)) интегрального уравнения Ф редгольма первого рода.
В заклю чение необходимо подчеркнуть, что в этой главе излож ены
лиш ь общие, принципиальны е основы методов парам етризации
того или иного физического процесса. При реализации же каж дого
метода
в конкретной прогностической или циркуляционной модели
атмосферы вводятся еще дополнительны е физические условия или
эмпирические соотношения. Кроме того, ввиду недостаточного объема
в книгу не включены многие другие способы парам етризации, в том
числе параметризации процессов гидрологического цикла, имеющих
важ ное значение в модели общей ц иркуляц ии атмосферы.
19 П . Н . Белов и д р .
Г лава^Г
J f
прогн оз влаж н ости ,
ОБЛАЧНОСТИ И ОСАДКОВ
В главе 1 приведена система уравнений, на основе которой может
быть поставлена задача прогноза метеорологических полей с учетом
неадиабатичности атмосферных процессов. Д л я реш ения этой за­
дачи необходимо использовать системы уравнений, содержащ ие
уравнения переноса влаги. Прогноз влаги важ ен сам по себе, а такж е
необходим для прогноза облачности и осадков. Прогноз влаги в не­
адиабатических моделях необходим, кроме того, для реализации
схем параметризации лучистых и фазовых притоков тепла, а так ж е
турбулентны х притоков влаги, которые рассмотрены в предыдущей
главе.
В атмосфере влага может находиться в газообразном (парооб­
разном), жидком (капельном) и твердом (кристаллическом) агр е­
гатных состояниях (фазах). Р азум еется, ж елательно прогнозиро­
вать влагу в трех ф азах. Однако из-за отсутствия регулярн ы х изме­
рений содерж ания в атмосфере влаги в ж идкой и твердой ф азах,
а так ж е в связи с трудностями параметризации фазовых переходов
в большинстве современных моделей предусматривается прогноз
только характеристик влажности (влаги в газообразной фазе).
Поэтому здесь основное внимание будет уделено рассмотрению
различны х подходов к прогнозу характеристик влаж ности, исполь­
зуемых в прогностических моделях, а такж е методов расчета облач­
ности и осадков, базирую щ ихся на прогнозе влаги в газообразной
фазе. Что касается прогноза влаги в трех ф азах, то постановка такой
задачи такж е рассматривается в этой главе. Однако следует иметь
в виду, что практическая реализация моделей влаги в трех ф азах
в настоящ ее время затруднена в силу указан ны х выше причин.
7.1. Прогноз влажности
7 .1 .1 . Прогноз массовой доли водяного пара
Простейший вариант краткосрочного прогноза влаги в газооб­
разной фазе в свободной атмосфере (вне пограничного слоя) можно
построить, полагая, что перенос водяного пара происходит адиаба­
тически, т. е. без учета диффузии, а такж е притока и стока, обуслов­
ленных испарением и конденсацией (сублимацией). В этом случае
д ля ненасыщенного влаж ного воздуха справедливо уравнение, вы­
раж аю щ ее закон сохранения массы водяного пара в единице объема
воздуха:
+ d iv (V р<7) = 0 ,
290
(1 .1 )
где
ЕТл
q = 0, 622—
— массовая
доля
водяного
пара;
Е — п ар ­
циальное давление водяного пара; T d — точка росы; р — давление;
V — вектор скорости ветра; р — плотность воздуха.
У множ ая уравнение неразрывности
- ^ - + d iv (V р) = 0
на q и вычитая результат из уравнения (1.1), получаем уравнение
переноса массовой доли водяного пара
dq/dt = 0.
(1.2)
У равнение (1.2) означает, что массовая доля водяного пара при
указанны х предполож ениях не изменяется в движ ущ ейся воздуш ной
частице, т. е. является консервативной характеристикой потока.
У равнение (1.2) в системе координат х, у, £ , £ ( £ = р/1000) может
быть записано в адвективной или дивергентной форме
^
+ u 'W + v W
+ <* ~ W = 0,
(1-3)
дд
d (ug)
d (vg)
dt ~т~ дх ■"*" д у
д (щ ) _
dl
“
...
I 1 ’**
0
’
где со = d^l dt — аналог вертикальной скорости в изобарической
системе координат. На основе уравнений (1.3) или (1.4), зад авая гр а­
ничные и начальны е условия q (х , у, £, ^о)> можно реализовать про­
гноз q (ху у у £, t) шагами по времени, используя на каждом ш аге
значения и , и, со, рассчитываемые в процессе интегрирования у р ав ­
нений той или иной прогностической модели. Д л я реш ения уравн е­
ний (1.3) и (1.4) применяются рассмотренные ранее методы числен­
ного интегрирования.
Если при интегрировании уравнений (1.3) и (1.4) предполагается
использовать вложенны е сетки, то боковые граничные условия (по х
и у) ставятся с учетом одно- или двустороннего взаимодействия
(см. главу 4). При прогнозе на ограниченной территории без вло­
ж енных сеток простейшие боковые граничные условия могут быть
заданы в виде
дд
dt
0
или
“й " |г = ° ’
( 1 -5 >
где Г — боковая гр ан и ц а; п — нормаль к границе. Первое из них
означает неизменность q yа второе обеспечивает отсутствие потока q
через боковые границы . Естественно, в процессе реш ения уравн ен ия
(1.3) или (1.4) используется одно из этих условий.
У словия по £ ставятся на верхней и ниж ней границах слоя атмо­
сферы, где сосредоточена основная масса водяного п ара, т. е. при
£ = £в и £ = 1, например, в виде
-ЗГ = ° >
<7к=1 = N m k = l -
19*
(1 6 >
(1 -7 )
291
Здесь £в — верхн яя граница слоя, где сосредоточена основная масса
водяного пара (обычно верхн яя граница тропосферы, отож дествляе­
мая с изобарическим уровнем); qm = 0,622Е (Т)/ р — массовая доля
насыщенного водяного пара; Е (Т ) — парциальное давление насы­
щенного водяного пара; / — относительная влаж ность воздуха
у подстилающей поверхности, которая может быть задана по данным
о q и qm на предыдущем шаге по времени (/ = qlqm). У словие (1.6)
обеспечивает отсутствие потока водяного пара через верхнюю
границу.
Выше было рассмотрено уравнение для массовой доли водяного
пара, которое не учитывает ряд важ ны х физических процессов,
происходящ их в реальной атмосфере. К числу таки х процессов
относятся турбулентная диффузия водяного пара и конденсация
(сублимация). Атмосфера представляет собой турбулентную среду.
Причем турбулентность играет наиболее сущ ественную роль в по­
граничном слое атмосферы. Однако и в свободной атмосфере нередко
встречаю тся слои, в которых такж е развивается интенсивная ту р ­
булентность. Поэтому более строгая постановка задачи прогноза
влажности может быть выполнена на основе уравнений переноса
влаж ности, в которых учтены члены, описывающие турбулентность.
У равнение переноса влажности в турбулентной атмосфере имеет
вид
где к и к' — коэффициенты турбулентной диффузии водяного пара
по вертикали и горизонтали соответственно.
Если предполагается использовать уравнение (1.8) для прогноза
массовой доли насыщенного водяного п ара, то следует учесть конден­
сацию (сублимацию) водяного пара. Обозначив скорость конденса­
ции водяного пара в единице объема воздуха через т , уравнение
(1.8) для насыщенного воздуха запишем в виде
(1.9)
Д л я вычисления скорости конденсации применяется формула,
приведенная в главе 6:
c = - f = F & , Г )® ,
где
~
, qmZ ( < Z - R aT )
’
п U ТЪ
^'
cpRuT2
S — скры тая теплота конденсации (сублимации); R u — газовая по­
стоянная водяного пара.
292
У равнение (1.9) используется для прогноза, если воздух достиг
насы щ ения, т. е. при q = qm. При q < qm при прогнозировании
прибегаю т к уравнению (1.8). Д л я того чтобы определить, какое из
уравнений следует использовать, необходимо иметь сведения о зн а­
чениях qm. П оскольку qm является функцией тем пературы , то не­
обходимо одновременно прогнозировать и тем пературу, используя
уравнение притока тепла, в котором, н аряд у с другим и неадиабати­
ческими факторами, следует учесть тепло конденсации:
дТ ,
аг ,
дт
RT ,
v со
dt
SBm
9е p
1
дх
1
ду
g
vra
r/
£
+ V
l -RT^ Y) 4dtrK^ъ S dl~ +' K' ^ T +1 ~
pcp ’>
(u
°) ’
'
где & — лучистый приток тепла к единице объема воздуха (рассчи­
тывается на основе реш ения уравнений переноса радиации (см.
главу 6)).
У равнения (1.10), (1.9) или (1.8) реш аются численными мето­
дами одновременно с уравнениям и, описывающими динам ические
процессы, с помощью которых вычисляю тся составляю щ ие скорости.
Д л я реш ения уравнений (1.8)— (1.10) необходимо поставить
начальны е условия q (х, у , £, £0), Т (х, у , £, ^о)> а так ж е граничные
условия. В качестве боковых граничны х условий д л я уравнений
(1.8), (1.9) можно использовать одно из условий (1.5). А налогичные
условия для уравнения (1.10) имеют вид
дТ
dt
г
= л0
или
дГ
—
д—
дп
г
= 0
.
Р азум еется, в процессе интегрирования уравнений
одно из этих условий.
Сформулируем условия по £. Можно положить
-gLI
=0,
d t !fc=o
используется
-J-I
=0.
d t |;= Св
При £ = 1 на суше граничное условие для (1.10) зап и сы вается в виде
уравнения баланса тепла на подстилающей поверхности:
w к Ж + **■Цг+w | г «% - s С1-
.) +
-« ) -
где Т* и X* — тем пература и коэффициент теплопроводности почвы;
S и G — нисходящ ие потоки коротковолновой и длинноволновой
радиации; Г п, б и Т п — альбедо, относительная и злучательн ая
способность и тем пература подстилающей поверхности соответ­
ственно; от— постоянная С тефана— Больцм ана. Обычно второй член
в левой части этого уравн ен ия, описывающ ий теплообмен в почве,
при краткосрочном прогнозе не учиты вается.
Н а водной поверхности при £ = 1 можно считать, что Т и я в ­
л яется ф ункцией х 9 у , но не зависит от времени. Д л я уравнений
(1.8) и (1.9) ниж нее граничное условие при £ = 1 обычно записы ­
293
вается
пара:
в виде соотнош ения,
Qs —
параметризую щ его
9 h j C D I V h x I (Qht
поток
водяного
Qs)>
где величины с индексами
и s относятся к верхней границе приземного слоя и к подстилающей поверхности соответственно; CD —
безразмерный эмпирический коэффициент (коэффициент сопротивле­
ния; | я | — модуль горизонтального вектора ветра.
Одновременно с прогнозом влажности по данным о скорости кон­
денсации можно рассчитывать количество осадков, предполагая, что
вся сконденсированная влага выпадает в виде осадков. В этом слу­
чае облака не прогнозирую тся. Количество осадков, выпавш их за
интервал времени от tx до t2 из столба воздуха единичного сечения>
ограниченного уровнями £ = £„ и £ = 1, можно рассчитать по фор­
муле А. Ф. Дюбюка
12 1
где F (£, Т) со — скорость конденсации (см. главу 6).
7 .1 .2 . Прогноз точки росы и дефицита точки росы
Напомним, что точкой росы (T d) назы вается тем пература, при
которой содерж ащ ийся в воздухе водяной пар (при фиксированны х
значениях давления и массовой доли водяного пара) становится
насыщенным по отношению к плоской поверхности воды. Точка
росы, хотя и определяется в градусах, однако является характери ­
стикой влаж ности, а не термического состояния воздуха, так как
при одной и той же тем пературе она может принимать разны е значе­
ния в зависимости от количества содержащ егося в воздухе водяного
пара.
П олучим уравнение, которое может быть использовано для прог­
ноза точки росы. С этой целью вы раж ение для массовой доли водя­
ного пара
q = 0,622
v
P
прологарифмируем, а затем продифференцируем по времени. В ре­
зультате получим
1
q
Д л я определения
dq _
1
d E ( T d) d T d 1 dp
d t ~ E ( T d) d T d
dt p
dt *
воспользуемся формулой
М агнуса
fl (Td- v 3)
Е (T d) = Е (273) еь+тч - 273 ’
294
(1.12)
где Е (273 К) = 6,1078 гП а — упругость насыщенного пара при
Т = 273 К; а и Ъ — безразмерные постоянные величины (а = 17,1;
Ъ = 235). Л огариф мическая производная от Е ( T d) по T d имеет вид
1 d E J X d ) _ а ( Т d — 273 + b) — a (T d — 273) _ _а_ ^
E ( T d) d T d (b + T d - 273)2
~
Т ак как
(}13)
b
то с учетом вы раж ения (1.13) уравнение (1.11)
запиш ется в виде
1
q
dq _ a d T d
dt b
dt
со
£ 9
ИЛИ
*r± = J —
dt
aq
dt
+
1
a
(1.14)
£
4
7
Если воздух не насыщен, то из уравнения (1.8) следует, что
dt
\R t )
д^
д%
4
Следовательно, для ненасыщенного воздуха уравнение (1.14) с уче­
том турбулентности записы вается в виде
дТ d
.
дТ d
.
дТ d
,
дТ d
Ъ
a
—dt ■ + “ - ядхГ - + 0 - Жд уГ + ® - - d£
со
£
+
о - 15»
П реобразуем два последних члена в левой части уравнения (1.15).
П оскольку
dTd _
RT
dTd
д£
й
дг
__ R T
& Ул’
то
где
=
(о д Т d
b
£
а Ъ ~
со
g
/
b
g \
со
(Т -
a
R f)
Ъ~
,
g
= ------— вертикальны й градиент точки
ч
^ ad
росы;
Yad =
------адиабатический градиент точки росы. С учетом этого
преобразования уравнение (1.15) переписывается в виде
Т Г + “ Ц г + ’ ■ & - f <*« - ГЛ f -
ж- +
•
<М6>
Численное интегрирование уравн ен ия (1.16) шагами по времени
позволяет получить прогноз точки росы. Р азум еется, одновременно
необходимо прогнозировать составляю щ ие скорости и , и, со, а такж е
295
тем пературу Т. На каж дом шаге по времени для расчета турбулент­
ных членов следует вычислять q по формуле
q=
Е (273) еь+тч - 273 .
Температура такж е необходима для того, чтобы в процессе интегри­
рования уравнения (1.16) контролировать степень приближ ения
воздуха к состоянию насы щ ения, которое характеризуется дефицитом
точки росы А = Т — T d. Если А Ф 0, то точка росы вы числяется
с помощью уравнения (1.16), а тем пература — по уравнению при­
тока тепла (1.10), в котором 2?пг/рср = 0. Если А = 0, то темпера­
тура рассчитывается по уравнению ( 1. 10), в котором учитывается
тепло конденсации. В этом случае T d = Т, а следовательно, отпадает
необходимость реш ать уравнение (1.16). Д л я реш ения уравнения
(1.16) в качестве боковых граничны х условий можно использовать
одно из условий:
Л У
dt
|г
= о ‘ „ли
4 * I =0.
dn
|г
На верхней границе полагается, что d T dldt> |s=£B = 0.
При постановке ниж него граничного условия будем исходить из
условия (1.7), на основании которого имеем
E ( T d) ^ = = /£ (Г )|е=ь
где / — относительная влаж ность, рассчиты ваемая по значениям
Е (T d)r=\ и Е (Г )£=1 на предыдущем шаге по времени.
И спользуя ф ормулу М агнуса, получаем ниж нее граничное усло­
вие для T d:
273a + ( b - 273) ( l n / +
T d |£=i = ---------------- — ------ ^
a — ln/-
(1.17)
b + T
В ряде случаев целесообразно прогнозировать непосредственно
дефицит точки росы А = Т — T d. Чтобы получить уравнение для
дефицита точки росы, нуж но из уравнения ( 1. 10) вычесть уравнение
(1.16), положив при этом m = 0, так как при А Ф 0 конденсация
отсутствует. В результате получаем
+ « 'V T + ^ p - ^ m
f - k KV-
<М8 '
где 7а,д = V a— 7а, d — адиабатический градиент дефицита точки
росы; 7д = 7 — 7^ — вертикальны й градиент дефицита точки росы.
Д л я вычисления турбулентны х членов в правой части получен­
ного уравнения необходимы данные о тем пературе и массовой доле
водяного пара. Что касается тем пературы , то она рассчиты вается
296
по уравнению притока тепла (1.10), которое интегрируется н аряду
с другими уравнениями модели, обеспечивающими получение со­
ставляю щ их скорости ветра. При этом в уравнении (1.10) тепло
конденсации учитывается лиш ь тогда, когда дефицит точки росы
оказы вается равным нулю. Необходимые для расчетов турбулентны х
притоков влаги в уравнении (1.18) значения массовой доли водяного
пара вычисляю тся через T d = Т — А с помощью формулы
q=
Е (273) еь+т<г~2П .
При интегрировании уравнения (1.18) использую тся следующие
боковые граничные условия: d k / d t \ r = 0 или д Ы д п \ т = 0. Верхнее
граничное условие по £ имеет вид 5 А / 5 £ |^ в = 0. Н иж нее граничное
условие по £ формулируется на основе условия для T d \i=\ (1.17)
в виде
А к=, =
т |j=, —
7 .1 .3 . Прогноз облачности и осадков
Гидродинамический прогноз облачности и осадков является одной
из наиболее сложны х задач метеорологии.
В рассмотренных методах прогноза влажности облачность не
прогнозируется, так как предполагается, что вся сконденсированная
влага выпадает в виде осадков.
Первые попытки прогнозировать облачность с помощью гидро­
динамических моделей, предусматриваю щ их интегрирование у равн е­
ния переноса влаги в газообразной фазе, сводились к установлению
связей между облачностью и факторами, способствующими конден­
сации водяного пара. Такими факторами являю тся понижение тем­
пературы и увеличение влаж ности. При этом принимается, что кон ­
денсация всегда наступает при дефиците, равном нулю , а основным
ф актором, способствующим охлаж дению воздуха, являю тся вос­
ходящ ие упорядоченные вертикальны е движ ения. Такого рода связи
представляю тся в виде корреляционны х граф иков, которые были
впервы е построены В. Льюисом, а затем П. К. Д уш кины м, Е. Г. Л о ­
моносовым и Ю. Н. Л униным на основе обработки диагностических
вертикальны х скоростей и фактических данны х о количестве баллов
облачности и дефиците. График, построенный Д уш кины м, Ломоно­
совым и Луниным, позволяет по предвычисленным значениям тем­
пературы и точки росы (или дефицита) и вертикальны х скоростей
классифицировать погоду по градациям: осадки, сплош ная облач­
ность, несплош ная облачность и ясно (рис. 7.1).
Основной недостаток таки х граф иков состоит в том, что с их
помощью нельзя прогнозировать полож ение границ облачности.
297
СО'Ю* */час
Рис. 7.1. График для определе­
ния явлений погоды по со и А на
уровне 850 гПа.
^
Смагоринским
был
предложен график, позво­
ляю щ ий
прогнозировать
количество облаков н иж ­
него, среднего и верхнего
ярусов, а такж е факт вы­
падения осадков по значе­
ниям относительной в л аж ­
ности
/ - Е (T d)/E (Т)
(рис. 7.2). С вязь количе­
ства облаков трех ярусов
с относительной влаж н о­
стью по Смагоринскому
аппроксимируется линей­
ными соотношениями вида
n k — akf +
bk>
где rtk — количество обла­
ков в долях единицы; k —
индекс,
указываю щ ий
ярус; ак и bk — эмпири­
ческие
коэффи циенты.
Значения
nki рассчиты­
ваемые по формулам или
по граф ику, леж ат в пределах 0— 1,3. О бласть значений rtk от 1 д а
1,3 соответствует осадкам.
По поводу рассмотренных методов прогноза облачности и осадков
можно заметить, что в них не учитываются многие факторы, имеющие
сущ ественное значение для облакообразования и формирования
осадков, такие как турбулентны е притоки тепла и влаги, радиацион­
ный теплообмен, конвективны е вертикальны е движ ения, а так ж е
микрофизические процессы.
Если в прогностической модели предусмотрено интегрирование
уравнения притока тепла и уравнения для массовой доли водяного
пара, то с помощью получаемых на каждом шаге значений q и Т
представляется возможность прогнозировать осадки. П риведенная
выше формула А. Ф. Д ю бю ка позволяет рассчитывать количества
осадков. Однако при этом не учитывается тот факт, что за счет теп ла,
выделяю щ егося при конденсации повышается тем пература, и, сле­
довательно, воздух удаляется от состояния насыщения.
При более строгом подходе к прогнозу осадков по предвычисленным значениям массовой доли водяного пара и температуры необ­
ходимо учитывать взаимное влияние тепла конденсации на темпера­
туру и температуры — на условия конденсации.
298
о
20
4О
60
Q0
Относительная влажность
/00 %
Рис. 7.2. График для прогноза облачности и осадков.
1 — о б л а к а н и ж н его я р у с а
в е р х н его я р у с а .
2 — о б л а к а ср ед н его я р у с а , 3 — о б л а к а
Н ачиная с работы М анабе, Смагоринского и С триклера этот
учет обычно осущ ествляется с помощью итерационной процедуры ,
которая строится на основе следую щ их предположений.
Конденсация наступает тогда, когда относительная влаж ность
f = qlqm достигает единицы. Если относительная влаж ность превы ­
ш ает единицу, то весь избы ток водяного пара (сверх насыщ ения)
конденсируется и мгновенно выпадает в виде осадков.
При этих предполож ениях масса сконденсировавш егося водяного
пара с учетом тепла конденсации определяется путем реш ения си­
стемы уравнений
q + 8q = qm ( Т + бТ, р),
(1.19)
Ср&Т + S b q = 0,
где 8q — масса сконденсировавш егося водяного пара; 8 Т — изме­
нение температуры , обусловленное выделением теплоты при конден­
сации массы водяного пара &q. П редставим величину массовой доли
насыщенного водяного пара qm (Т + б Г , р) в виде ряд а, в котором
ограничимся линейными членами:
qm (T + b T , p ) = q m (T, р ) + ( ^ - ) р 6 Г .
(1.20)
Здесь индекс р у dqm/ d T означает, что дифференцирование вы пол­
няется при фиксированном давлении. П одставляя (1.20) в первое
уравнение системы (1.19), получаем:
И з второго уравнения системы (1.19) и уравнения (1.21) получаем
6<7
—
9
m (1 - / )
б г = ---------- Я т ( 1 -
/)----- ^
(j
2 2
)
299
Д л я определения (dqm/ d T ) p можно использовать ф ормулу М агнуса
или уравнение К л аузи уса— К лапейрона
dE
dT
И з уравнения
SBE
R nT 2 •
К л аузи уса— К лапейрона получаем
( дЦт
ддт \
\
дТ
3?qm ( T y р)
)р
R n T 2
Расчет осадков выполняется следующим образом.
По предвычисленным значениям 7 рассчитываются qm и /
Qm
В тех точках сеточной области, где прогностические значения / > 1,
по формулам (1.22) рассчитываю тся 6д и 6 7 и определяю тся исправ­
ленные значения 7 и q
T w = Т + 67\
q0) = q + 6q.
По полученному (исправленному)
q\n (7 + 6Ту р) и рассчитывается
f(\) = д<1) _
значению
7 (1)
вычисляю тся
д + Ьд
!> Япг
,<
ят (Т + 6 Г , р)
Если / (1) > 1 , то по формулам (1.22) вычисляю тся новые значения
6q и ЬТ с использованием / (1) и q{m ( 7 + 6 7 , р) и т. д. до тех пор,
пока не окаж ется, что / будет близко к единице. Таким образом, ре­
шение уравнений (1.19) строится с помощью итераций. Опыт пока­
зывает, что достаточно выполнить одну-две итерации, чтобы полу­
чить /, близкое к единице с точностью около 1 %. П олученные на
последней итерации значения 6q и 6 7 , которым соответствует / ~ 1,
являю тся решением системы уравнений (1.19). Значения 6 7 , умно­
женные на шаг по времени, прибавляю тся к предвычисленной тем­
пературе в соответствующих точках сеточной области.
Количество сконденсировавш егося водяного п ара, за счет кото­
рого формируются осадки в слое, расположенном между уровнями
£ = £в и £ = 1, за Шаг по времени At определяется по формуле
= - у - 1 bqdl’
а за весь прогностический период — по формуле
Д* 1
Q= 4-
J
\bqd ldt,
0
С,
где N — число шагов по времени.
300
7.2. Постановка задачи
о прогнозе влаги в трех фазах
Выше были рассмотрены методы прогноза влаж ности, облач­
ности и осадков, основанные на ряде упрощ аю щ их предположений.
Более строгая постановка задачи прогноза указанны х элементов
погоды может быть выполнена на основе уравнений переноса влаги
в трех ф азах с явным описанием процессов перехода влаги из одних
фаз в другие. К сож алению , эти процессы к настоящ ему времени
изучены еще недостаточно. Несмотря на отсутствие достаточно пол­
ных и надежны х сведений о весьма сложны х физических и химиче­
ских процессах, определяю щ их механизмы фазовых переходов и
формирование источников и стоков влаги в атмосфере, уж е сейчас
имеются работы, в которых сформулирована теоретическая модель
прогноза влажности в трех фазах.
Рассмотрим такого рода модель, предлож енную Г. И. М арчуком
(1967), имея в виду прежде всего постановку задачи и методы реш е­
ния уравнений переноса влаги.
7 .2 .1 . Система уравнений модели
В модели переноса влаги в газообразной, ж идкой (капельной)
и твердой (кристаллической) ф азах, разработанной Г. И. М арчуком,
использую тся уравнения для массовой доли водяного пара {q^)y
жидкой (q2) и твердой (qs) фаз, которые связаны с плотностью воз­
духа (р), плотностями водяного пара (рп), капель (рв) и кристаллов
(рк) соотношениями
<7i = - у - .
Рп +
=
Рв +
Яз = -у->
Рк
(2.1)
Р«
У равнения переноса для qlt q2y qs в декартовой системе координат
записываю тся в виде
* +■
“ t - +- fr + - ■%-- -H-o-fc-+■«"« V +Л-
1r + “^ + “|r + “ ^ = Tisr'‘‘>^L+ '‘'^- + fc <2-2>
где /с, к' — коэффициенты турбулентной диффузии влаги по верти­
кали и по горизонтали (считаются заданными); f l9 / 2, / 3 — источники
и стоки влаги, зависящ ие от переходов влаги из одних фаз в другие.
О стальны е обозначения — общ епринятые.
В уравн ен иях (2.2) использована простейшая парам етризация
турбулентного обмена. Эта парам етризация может быть уточнена на
основе более строгой теории.
301
7 .2 .2 . Модель фазовы х переходов влаги
И сточники и стоки влаги описываются следующими соотноше
ниями:
h = - j - v + J - ( K + s)),
fi — ~
1К + Т а — (J + Z + ^?т)]>
=
[Z + S — ( / - \ - Т а -\- R m )]>
(2.3)
где / — переход из твердой фазы в газообразную (испарение кри ­
сталлов); J — переход из жидкой фазы в газообразную (испарение
капель); К — переход из газообразной фазы в ж идкую (конденсация
водяного пара); S — переход из газообразной фазы в твердую (суб­
лим ация водяного пара); Т а — переход из твердой фазы в ж идкую
(таяние кристаллов); Z — переход из жидкой фазы в твердую (за­
м ерзание капель); R m — выпадение ж идко-капельны х осадков
(дождя); R M — выпадение осадков в твердой фазе (снега).
Все перечисленные переходы долж ны быть определены коли­
чественно в единицах плотности за единицу времени.
К ак указы валось выше, механизмы, определяю щ ие переходы
в ф ормулах (2.3), изучены недостаточно. В наш у задачу не входит
детальный разбор этих парам етризаций, и мы ограничимся общими
соображ ениями, которые могут дать лиш ь некоторое представление
о них. Более детально с парам етризацией фазовых переходов можно
ознаком иться в специальной литературе.
Н аш а цель состоит главным образом в формулировании задачи
и рассмотрении принципов построения реш ения.
Д л я простоты можно принять, например, что при полож ительны х
тем пературах отсутствуют переходы / , S, Z и осадки в твердой фазе,
а при отрицательны х тем пературах отсутствуют переходы У, К , Т а
и осадки в жидкой фазе.
Д л я определения К (S) можно использовать соотношения, при­
веденные в п. 7.1. Процессы испарения описываются формулами
J —
(Р п
Р п ) Рв>
(2.4)
I =
(Р п
Р п ) Рк>
(2.5)
где рп — максимальная плотность водяного пара; а т и а м — слож ­
ные функции, зависящ ие от диффузии водяного пара с поверхности
кап ель и кристаллов, плотности и разм еров капель и кристаллов.
Значен ия а т и а м отличны от нуля при
> рп> а такж е при поло­
ж ительны х и отрицательны х тем пературах соответственно.
Д л я описания процессов таяни я и зам ерзания использую тся
соотношения
— Т о ) Рк.
(2 .6)
Z = a z ( Т 0 — Т) рВ)
(2.7)
Т а
302
—
а Т (Т
где Т 0 — температура таян и я; Т — тем пература воздуха; а т и a z —
функции, зависящ ие от теплопередачи к кристаллам (каплям ), от
затрат тепла на таяние (замерзание), размеров и плотности кри стал­
лов (капель).
Самым сложным является вопрос о параметризации процессов
формирования и выпадения осадков. При определении количества
осадков (массы капель или кристаллов), выпадающ их из единичного
объема облака, применяю тся параметризации вида
Rm = VR( Р в - Р в ) ,
(2.8)
Ям = < 4 (Р к-Р к),
(2.9)
которые не являю тся следствием какой-либо теории, а строятся на
основе предположения, что R m и R M пропорциональны разностям
Р в — Р в и рк — р£,
где рв и рк — максимальные плотности
капель
и кристаллов в облаках (их можно определить экспериментально).
Здесь имеется в виду, что если рв и рк превосходят максимальные
значения, то часть избытка капель или кристаллов выпадает в виде
осадков.
Подчеркнем, что модель фазовых переходов, построенная на
основе соотношений (2.4)— (2.9), весьма упрощена и ее следует
рассматривать в качестве первого приближ ения к решению данной
задачи.
В ажно отметить, что фазовые переходы влаги мало влияю т на
изменения плотности воздуха. Поэтому переход от плотностей
влаги к массовому содерж анию на основе соотношений (2.1) не свя­
зан с какими-либо существенными погрешностями. На основе выш е­
излож енного записываю тся вы раж ения для / ь f 2 и / 3:
fl =
а 7п ( Р п
f 2 = сст (Т
Р п ) Q2 “Ь а М ( Р п
Р п ) Чз
С*7П
См>
Т о) q3 + Cm — [am (р£ — рп) +
+ a z (То — 7")] q2 — a™ (q2 — qV),
/з = a z (То — Т) q2 + См — [ссм (р£ — рп) -f-
+ а т( Т - Т 0)} q3 - а% (q3 - q*3),
(2.10)
где Cm = /С/p, См = S /p, а звездочкой обозначены м аксимально
возможные значения соответствующ их величин. Слагаемые в правой
части вы раж ений (2.10), содерж ащ ие разности, полож ительны или
отрицательны в зависимости от знака разностей р„ — рп, Т 0 — Т ,
Т — То, <72 — q%, q3 — <7з- Д л я выраж ений (2.10) долж ны выпол­
няться следующие условия: а т Ф 0,
Ф 0, а Т Ф 0 при Т > Т 0;
а 2 Ф 0, а м ф 0, а $ ф 0 при Т < Т 0; Ст = 0, См = 0 при р <
< р*; если р > р*: Ст Ф 0 при Т > Т 0, См Ф 0 при Т < Т 0.
303
7 .2 .3 . Граничные и начальные условия
Д л я уравнений системы (2.2) граничные условия необходимо по­
ставить по трем пространственным независимым переменным. По х
и у могут быть использованы простейшие условия, означаю щ ие
неизменность q2y q3 на боковых границах (Г):
(2 . 11)
По переменной z требуется по два условия для каж дой искомой
функции (<7Ь q2i q3): при z = 0 u z = H ( H — высота верхней границы
той части атмосферы, в пределах которой изучается перенос влаги
(например, тропосферы).
П остановка нижнего граничного условия представляет собой
слож ную задачу. Н иж е будут рассмотрены условия, лиш ь прибли­
ж енно отраж аю щ ие процессы поступления влаги в атмосферу и
трансформацию ее в приземном слое. Простейшие условия при z = О
можно записать в виде
„
dz
{
0
— Р (Я* — Я\)
д ля суши
Дл я водной поверхности,
(2 . 12)
Я2 = 0, qs = 0,
где р — коэффициент массопередачи водяного пара.
Н а верхней границе, при z = Я , использую тся следующие условия:
-% - = 0,
q2 = 0,
q3 = 0.
(2.13)
У словия (2.12) и (2.13) означаю т отсутствие потока водяного пара
на поверхности суши и на верхней границе, а такж е отсутствие
влаги в жидкой и твердой ф азах на ниж ней и верхней границах.
Д л я водной поверхности (при z = 0) поток водяного пара отличен
от нуля; исклю чение составляет случай, когда q1
q*.
Отсутствие потока водяного пара при z = 0 для суши плохо от­
раж ает действительную картину. Б олее обоснованным является
условие, которое учитывает испарение влаги с поверхности Земли,
поступающей из деятельного слоя по капи ллярам . Такой учет может
быть осуществлен с помощью функции Q (х> у , t)> которая характе­
ризует распределение во времени и по поверхности суши количества
влаги в столбе деятельного слоя единичной площ ади. Значения
функции Q могут изменяться за счет испарения влаги с поверхности,
выпадения осадков и фильтрации влаги в почве. При этом считается,
что количество испаряю щ ейся влаги пропорционально запасу влаги
в деятельном слое:
(2.14)
где о — ф ункция, которая определяет ту часть запаса влаги в д ея ­
тельном слое, которая поступает к поверхности в единицу вре­
304
мени и обусловливает массовую долю влаги в приземном слое, р ав­
ную crQ.
Если тем пература приземного слоя отрицательна и влага из
замерзш ей почвы на поверхность не поступает, то можно принять
условие отсутствия потока водяного п ара, т. е. d q j d z = 0 при
z — 0. Д л я поверхности, покрытой снегом, условие (2.14) сохра­
няется, но вместо р и а использую тся рс и сгс, которые имеют тот же
смысл, но характеризую т массопередачу водяного пара в атмосферу
и поступление влаги к поверхности в снежном покрове.
Д л я введенной в граничное условие функции Q представляется
возможным записать уравнение
н
Щг = к р - % - + 1 [ « " <Р" - р » + а * (Рк - Рк)] <k - 6Q.
О
(2-15)
которое с учетом (2.14) может быть представлено в виде
н
= — /ф р (oQ - qx) + j [0$ (рв — рв) + а * (рк — pj) dz — бQ,
О
(2.16)
где б — ф ункция, характеризую щ ая фильтрацию влаги (приток
или отток от поверхности почвенных вод). Первый член в правой
части уравнения (2.16) описывает приток влаги от земной поверх­
ности в атмосферу за счет турбулентной диффузии, второй и третий
члены характеризую т увеличение почвенной влаги за счет осадков
и изменение ее за счет притока (оттока) почвенных вод. Количество
осадков определяется интегралом
1
н
J
[otjR ( Р в —
Рв) +
(Р к —
Р к )] d z.
О
При отрицательны х тем пературах для поверхности со снежным
покровом уравнение (2.16) записы вается без третьего члена:
и
= - / С р с (a c Q - <7i) + J К
О
(рв -
Рв)
+ <4 ( Р к -
Р к ) ] dz.
(2 .1 7 )
В этом случае считается, что фильтрации влаги в почве нет, a Q
определяет запас влаги в столбе единичной площади снежного по­
крова.
Таким образом, использование граничного условия (2.14) со п р я­
жено с усложнением задачи за счет привлечения уравнений (2.16)
или (2.17), которые следует реш ать совместно с уравнениями (2.2).
20 п* Н . Б елов и д р .
305
Необходимые для интегрирования этих уравнений
условия задаются для q u q 2, q 3y Q:
н ач ал ьн ы е
Яг = Яг (х >У* z > *о)»
Я2 = Я2 (х, Уу Z, <0)>
% = <7з (*, Уу z, t0),
Q = Q( x , у , f0)7 .2 .4 . Решение уравнений
Существует ряд приближенных методов реш ения уравнений д ля
влажности. Рассмотрим алгоритм реш ения, предлож енный Г. И. М ар­
чуком (1967), основанный на методе расщ епления многомерной за ­
дачи. При этом будем полагать, что реш ение уравнений (2.2), (2.16)
или (2.17) осущ ествляется одновременно с прогнозом составляю щ их
скорости ветра и температуры.
Д л я компактной записи алгоритма вводятся вектор-функции
которые позволяю т систему уравнений (2.2) записать в виде одного
уравнения.
^ + « -& + '-S -+ -S —
г т « р 4 + * ’^ , + * -
<2 - 18>
Рассмотрим решение уравнения (2.18) на шаге по времени, т. е„
на интервале от s до s + 1 (s = t / k t ) методом расщ епления. Это
уравнение-расщ епляется на три:
dqi ,
dqi .
dqx .
dqx
(2.19)
o,
- w + u - t + v S - + w ~dz
dq2
dt
dz
dq3 = f,
dt
(2.20)
(2 .21 )
, s+l • Здесь qx, q2, q3 — реш ения у р ав ­
где q! = q , q2 = qi , q3 = q2
нений (2.19)— (2.21) для вектор-функции q (не путать с ql9 q2> qs).
Уравнение (2.19) реш ается на шаге по времени по значениям
вектор-функции q в начальный для данного ш ага момент s. Д л я
уравнения (2.20) в качестве начальны х условий использую тся
полученные в результате реш ения уравнения (2.19) значения qf*"1,
а для уравнения (2.21) — реш ения уравнения (2.20), т. е. q |+ l*
С начала рассмотрим решение уравнения переноса (2.19). Оно
реш ается методом расщ епления с использованием схемы предиктор—
корректор.
306
И нтервал времени, соответствующий ш агу А/, разбивается на
д ве равные части: от s до s + 1/2, от s + 1/2 до s + 1. И нтервал от s
до s + 1/2 разбивается на три: от s до s + 1/6, от s + 1/6 до s + 2/6;
ют s + 2/6 до s + 1/2, на которых реш аются уравнения
ife--_ui3L
dt
и
дх ’
* l = — v *2l
dt
v
dy ’
-ЁЧ2_ = _ ш_ ^
dt
w
/о 22)
dz *
Метод реш ения этих уравнений рассмотрен в главе 4.
В совокупности реш ения уравнений (2.22) определяю т функцию qx
в момент времени s + 1/2.
Д л я аппроксимации уравнений (2.22) использую тся неявные
конечно-разностные схемы против потока (см. главу 4) первого
порядка точности, применение которых сопровождается появлением
эффекта «счетной вязкости».
Д л я получения реш ения уравнения (2.19) в момент времени s + 1
и преодоления эффекта счетной вязкости целесообразно воспользо­
в аться схемой корректора с центральными разностями второго
п о р яд ка точности
/. к = qf. i, /, k — [|м (qi. t+ i, i, k — q i, i - i , j, k) +
+
М'ЛЧи t, / + 1. k — qi, i, } - \ , k) + Ph (qi. i. /, fe+i — qi. i, /, * - i) l
S+T
Здесь
u At
^г ~ Т д 7 ’
v At
^
~ ~2A y’
~
w At
2 Дг *
Б олее точные реш ения уравнений (2.19)— (2.21) могут быть по­
строены, если использовать дивергентную форму этих уравнений
и реш ать их относительно интегральны х характеристик:
zk+i
q =
У <\pdz.
zk-l
П осле реш ения уравнения (2.19) уравнение (2.20) решается:
T
=
+
<2
М
>
Разностны й аналог этого уравнения записы вается в виде
Я1+].
ч? t,
, /\
, к
* +
2, i, /,. кь = ^2,
I
At
s
Р (Аг)2 (*ф)* + ]- (4г, *+1 — 42, ft) — (кр)
"к! A t
+ (Aip l42. <+1 . /, ft +
, (q2, к — 42, ft-i)
q2. i, /+1 , ft + 42 . г—l, /. ft + 42 , t, /—1 , ft — 4q2, г, /, ft]*-
(2.24)
Разностны й ан ал о г (2.24) уравнения (2.20) для q2 записан по
явной схеме с аппроксимацией пространственных производных
20*
307
центральными разностями. Решение этого уравнения по явной схеме
возможно, так как эффект турбулентной вязкости мал по сравнению
с адвекцией и при малом At критерий счетной устойчивости удо­
влетворяется.
Расчетная схема для q2, так ж е как и схема для qb удовлетворяет
закону сохранения влаги при отсутствии потоков на границах об­
ласти реш ения.
Решение уравнения (2.21) dq3/dt = f (ч1 = Ч2+ ‘) как уравнения
согласования представляется наиболее сложным. У равнение (2.21)
запишем в компонентной форме, т. е. для массовой доли влаги в трех
фазах:
Q = h .
$ — h.
Q
- h
(2.25)
гДе /ъ / 2» /з определяю тся формулами (2.10). К системе уравнений
(2.25) присоединим уравнение для Q
- Ж = Л.
(2-26)
где
н
и = крр № - <7i) + j К (рв - рв) + С$ (р„ - PS)] dz - 6Q. (2.27)
о
Д л я реш ения уравнений (2.25) воспользуемся неявными р а з­
ностными схемами
0 S -M
___
Ч\, i, /, k =
— Q u i, j , k +
A t { c c m ( p £ — p n ) q S2 ^ +
q2^~i, /, k = q2, i, /, k
+ Csm -
ccM ( p 5 — p n )
—
C sm — C m } ; , / , k*
At {ccT (T — To) q i ^ ~b
[am (pj - pn) + a z (Го - T)] qs2+l -
( q t l ~ fc*)b. /.
i> k — Q3, i, /, k + At { az (To — T) qP~l +
+ CS
M-
[а м (p^ -
pn) + a T ( T - To)] Ql+l - 0# (ql+l - fe*)h. /.
(2.28)
Нетрудно видеть, что последние два уравнения системы (2.28)
содержат только две искомые функции — q2 и q3y а поэтому могут
быть решены независимо от первого уравнения. Определитель
системы этих уравнений
D \ , i, к = [-5 7 - + « т (Рп — Рп) + a z ( То — т) + с $ ] ;> и k X
X
“Ь а м (рп — Рп) + “ г (Т — Т 0) + а я ] (. . к
(2.29)
отличен от нуля, а поэтому решение для qp~l и <7з+1 сущ ествует.
После того как определены qp~l и qz+\ из первого уравнения си­
стемы (2.28) может быть найдено ^i+1. Однако такой путь определения
308
q\+x может привести к нарушению баланса влаги и к неустойчивости.
Поэтому целесообразно определить qx с помощью вспомогательной
функции R = qx + q2 + qs из условия
<??+' = R s+l -
(
#
'
<
(2. 30)
<7з*)]-
( 2 . 3 1>
где
R s+i = R S- A t [a% {qp-x - <72*) + « к (<7з+1 -
Соотношение (2.31) получается в результате почленного слож ения
уравнений (2.28). При таком подходе к нахождению qx долж но вы­
полняться условие
A t [а^ (<?2^ — Я2 ) + & r (<7з+1 — Яз)] ^ ?i + Я2 + Яз>
(2.32)
которое отраж ает тот факт, что количество осадков за малый интер­
вал времени (шаг по времени) не долж но превышать полного запаса
влаги в начальный момент времени s. В этом случае R s+l
R s,
так как в квадратной скобке формулы (2.31) стоит нуль или поло­
ж ительная величина. О граничение на At обеспечивает выполне­
ние условия (2.32) и может трактоваться как условие вычисли­
тельной устойчивости.
Значения Q определяю тся с помощью уравнения (2.26), которое
записы вается с помощью неявной схемы:
/ - ««Ч +
н
+
J
[ « * (Рв -
PS) + C # U
-
р г )]* + / d z .
о
Стоящие под интегралом величины рв = pq2 и рк = рqs определены,
а поэтому подынтегральное выраж ение тож е записано неявно.
Заметим, что для повышения точности реш ения уравнения (2.25}
и сохранения баланса влаги целесообразно ввести интегральные
характеристики для ql9 q2 и qs. Тогда вместо уравнений (2.25) при­
ходим к уравнениям вида
Ч г = J f ^ dz'] f * dz’ W =
zh- 1
zh-i
J /»Pdz’
4-1
которые решаются так ж е как уравнения для ql9 q2 и qs.
Рассмотренный алгоритм прогноза влаги реализуется совместно'
с прогнозом полей ветра, температуры и давления (геопотенциала).
Одновременно с прогнозом влаги в трех ф азах и осадков реш ается
задача прогноза облачности, а такж е определяется фазовый приток
тепла. З а облако принимается геометрическое место точек сетки,
в которых q2 Ф 0, q3 Ф 0.
Фазовый приток тепла определяется с помощью соотношения
&ф - 2 К( К - J) + 2 с (S —/) + 2 n(Z — Т а),
309»
где i ? K, ^ с, 2?п — скры тая теплота конденсации, сублимации и
т а я н и я (плавления) соответственно.
П рогноз влаги может быть реализован в любой другой системе
координат. В частности, в изобарической системе координат (х, у ,
-£, t) для вектор-функций
<7i
Я=
h
и f=
4*
f2
Яг
h
у р авн ен и я (2.2) записываю тся в виде
д(*
_L 1J dq -4- « dq -I- m dq — / g V
-дГ + и - ж + 1)-щ- + ( аж - [ ' й т )
d
+ к' V2q + f.
Ж
Д л я реш ения этого уравнения нижнее и верхнее граничные усло­
в и я ставятся при £ = 1 и £ = 0. В целом же алгоритм реш ения ан а­
логичен изложенному выше применительно к уравнениям в системе
< х , у , Z, / ) .
7.3. Модели прогноза влажности,
облачности и осадков
Выш е были рассмотрены уравнения и методы их реш ения, позво­
ляю щ и е прогнозировать характеристики влажности и основанные на
использовании этих характеристик способы расчета количества обла­
ков и осадков, а такж е теоретическая модель влаги в трех фазах.
Рассмотрим теперь конкретные модели прогноза влаж ности,
облачности и осадков, разработанны е Л . Т. Матвеевым и Ю. Г. Лушевым, В. П. Дымниковым и Н. В. Гусевой, а такж е методы, исполь­
зуемые в оперативных прогностических моделях Гидрометцентра
СССР и Европейского центра среднесрочных прогнозов погоды.
7 .3 .1 . Модель прогноза влажности и облачности
на основе инвариантов (по J1. Т. Матвееву)
В модели прогноза, разработанной Л . Т. Матвеевым и Ю. Г. Лушевым, использованы идеи М атвеева о том, что облачные элементы
(капли и кристаллы) практически полностью увлекаю тся турбулент­
ными движениями воздуха.
И сходная система уравнений, описывающих перенос тепла и
вл аги , записывается в следующем виде:
дП
dt
дП
dz
1
р
dt
1
d
ds
/0 оч
-W + u -dr + v ~di + w l b = —
w
*p w >
(3-2)
ds
г
дП .
дх ~
дП
ду
,
ds
ds
.
г
,
.
Ят — 0 ,6 2 2
310
д
dz
дП
dz
+ 4 ^ - + v ^ - + w - ^ - = — ^ - K P^ - ,
^
/0
(3.1)
(3.3)
где
П - Т + Yaz + — ■q,
cp
q = 0,622E { T ^ l p — массовая доля водяного пара,
s = q + б
(3.4)
(3.5)
представляет собой массу водяного пара и капель в единице массы
воздуха; б — водность облаков; остальные обозначения общепри­
нятые.
У равнение (3.1) получено в результате суммирования уравн ен ия
притока тепла и умноженного на L/cp уравнения переноса массовой
доли водяного пара, представленных без членов, описываю щ их
горизонтальный турбулентный обмен:
dB__ J__d_
dt
~
р
де
2?m
dz КР dz
•" ср р
d
— J SB
? L J1_<Lb
Cp
dt
~~ cp
p dz
9
d?
2?m
^ dz
Cpp 9
где 0 — потенциальная тем пература. П ри этом учитывалось, ч та
при адиабатическом движении 0 = Т + у аг.
У равнение (3.2) получено путем слож ения уравнений для массо­
вой доли водяного пара и для водности, которое при полном увлече­
нии облачных элементов без учета горизонтального турбулентного
обмена записы вается в виде
d& _
W
~
J . ___ d _ h
дб
.
m
P ’
где m — скорость конденсации в единице объема воздуха.
Если не учитывать турбулентный обмен, то уравнения (3.1) и
(3.2) приобретают вид dTl/dt = 0, ds/dt = 0. Это означает, что в дви­
ж ущ ейся частице воздуха П = const, s = const, т. е. эти функции
(при отсутствии турбулентного обмена) являю тся инвариантами
независимо от того, имеет место конденсация или нет. Изменения
этих функций в движ ущ ихся частицах воздуха, как это следует изуравнений (3.1) и (3.2), происходит только под влиянием турбулент­
ного обмена. Реш ать систему уравнений (3.1), (3.2) зн ачительн а
проще, чем уравнения для Т и qy так как в них отсутствует скорость
конденсации.
Решение этих уравнений строится только в пределах тропосферы.
В модели уравнения (3.1), (3.2) использую тся в изобарической си­
стеме координат и записываю тся в виде
где
311
<0 = д 1,1dt — аналог вертикальной скорости. Остальные обозначе­
н ия общепринятые. Считается, что функции а и b зависят только от £,
и их значения затабулированы для £, соответствующих используе­
мым в модели уровням. У равнения (3.6) и (3.7) реш аются с н ачаль­
ными условиями П (ху у у ty t0)y s (,Ху у у £, to)- В тех точках области
определения реш ения, где нет облаков, s (ху у у £, t0) = q (xt у у £,
/о), п оскольку б = 0. В облаках полагается q = qmt а начальные
зн ачен ия водности определяю тся по эмпирической формуле
Ц х , у, S, t0) = 0,201 • 10-3 Т <*’
*о) exp 1 7 ,8 6 [l -
f (x>2^
,в) ] •
(3.8)
Н а боковых границах принимается, что
дП
I
ds
dt |г
dt г
-
0
(3.9)
или
дП.
дп Г '
dn |р
тде п — нормаль к боковым границам;
и / 2 — известные функции.
Н а верхней границе, отождествляемой с тропопаузой, полож ение
которой фиксируется (£тр = 0,2), полагается, что
л
О =
п
U,
дТ I
-ТсГ-
д£ k=CTp
=
ds
“ЗТГ-
dt, £ £Тр
= 0.
(3.11)
Н иж нее граничное условие ставится на уровне С = 1- Учиты­
в а я , что изменения температуры вблизи земной поверхности опреде­
л яю тся адвекцией и трансформационными факторами, нижнее г р а ­
ничное условие для температуры записы вается в виде
Т { х , у, 1, t + АО = Т ( х , у, 1, 0 + ДТ (х, y , \ , t + А/),
(3.12)
тде
А Г = Д Г а [1 — (0,36 — 0,004Cg) ];
f
дТ
(3.13)
дТ \
Д Г а = — \ иб~дх~
v§~dy') ^ — изменения температуры за шаг по
времени, обусловленные геострофической адвекцией; Cg — модуль
геострофического ветр а .
Н ижнее граничное условие для влажности формируется на основе
эмпирической зависимости между изменениями точки росы и тем­
пературы
dTd ( x ,y , 1, t) м = 1д ъ А Т ( х , у, 1, t),
(3.14)
где Д Т определяется по формуле (3.13).
Система уравнений (3.6), (3.7) с начальными и граничными
условиями реш ается методом расщ епления на уровнях £ = 1; 0,85;
*0,7; 0,5; 0,3. Ш аг сетки по х и у был принят равным Д* = Ду =
= 300 км, шаг по времени Ы = 1 ч. Область прогноза представляла
собой прямоугольник с числом узлов сетки, равным 1 8 x 1 4 .
312
В алгоритме, разработанном авторами модели, предусматрива­
лось использование на каждом шаге по времени значений и , v y со*
рассчиты вавш ихся с помощью квазигеострофической прогностиче­
ской модели.
По спрогнозированным полям П и s рассчитываются поля тем­
пературы, влажности и облачности. Д л я этого использую тся соот­
ношения (3.3)— (3.5).
П редполагая, что воздух в данном узле насыщен, из соотношений
(3.3), (3.4) методом последовательных приближений находится qm.
Полученное значение qm сравнивается с s. Если s ^ fqm (где / —
коэффициент, имеющий смысл относительной влажности воздуха),
то в данном узле прогнозируется облачность. Если s < fqm, то в дан ­
ном узле облачности нет. В узл ах, где s < fqmi имеем
б = 0, q = s-, Т = П — y az —
Ср
q.
В у зл ах , где прогнозируется облачность (s > /<7т).
q, = Чт> т = П — y az — —
qm, 8 = s — qm.
Ср
Необходимые для расчетов Т значения г (высота изобарической
поверхности) заимствую тся из реш ения динамических уравнений
прогностической модели. Коэффициент / равен единице при Т
;> 273 К и несколько меньше единицы при Т < 273 К. Н а основе
анализа экспериментальных данны х установлена зависимость f
от Т , которая имеет вид
f = 0,008Т — 1,184.
(3.15)
7 .3 .2 . Модель прогноза облачности и осадков
(по В. П. Дымникову)
М одель, разработанная В. П. Д ымниковым и Н. В .Гусевой, осно­
вывается на уравнениях, записанны х в системе координат х , у , г, t:
где w = dz/dt — верти кальн ая скорость; б — водность; m — ско­
рость конденсации в единице массы воздуха; q — массовая доля
водяного пара. Н а основе этих уравнений строится уравнение для
функции Ф
(3.17)
313
С этой целью получается уравнение для дефицита массовой доли
водяного п ара Д = q — qm в виде
dt
____ 1__d q _ _
р dz ^
dz ~
dqm ___ L j L ™
dt
p dz ^
dz
dt
-L _ L
^
p dz
p
™ А
д HL
dz ’
(3.18)
П оскольку qm зависит только от T и р, то
dcjm
dqm d T
dt ~ dT dt
. dqm dp
' dp d t '
С учетом этого вы раж ения и первого и последнего уравнений си­
стемы (3.16) уравнение (3.18) преобразуется к виду
dA
dt
1
p
d _
dz ^
dA _
dz ~
о (
= -
ffl- H
_
_
m
dqm
dT
1
d
7
^ KpT
dT
dT
dT
dqm d p
dp
dt
2?
+ V
'
1
p
d
dz ^
7a
dpK \
dz
dqm
~
m “ Ys® “ 7
dqjn_ dp_
J _ _d_
dp dt ^
p dz ^
dcjm^
dz ’
где P = dqm/d T (полагается постоянной величиной).
Если пренебречь малыми членами и выполнить ряд преобразова­
ний, то последнее уравнение можно записать в виде
/1
, Q #
\
~ d T - T ~ d F K9 ~ d T ~ V
dA
1
d
dA
+ P v
) m + v
+ pv )
- J - к р (7 a -
Т ва)] .
X [ i t (Va -
Тва) W -
, Л
, о
\
x
(3 .1 9 )
где 7ва — влаж ноадиабатический градиент.
В облаке Д = 0. В этом случае из (3.19) следует, что скорость
конденсации m в облаке может быть определена из соотношения
m = i f - [( Т е — Тва) W - у
-J - .кр (Ya - Т в а )] •
(3-20)
У множ ая второе уравнение системы (3.16) на (1 + §3?1ср), на­
ходим:
■^Ч1
+
р
_
5' ) б + 0
(3.21)
Сложив уравнения (3.19) и (3.21), получим уравнение для ф ун к­
ции Ф:
^ - = Т - - 5 Г кР ^ - + ( 1 + Р ^ )
314
Тва) ( » - - £ - ■ ¥ - ) ] .
(3.22)
При получении уравнения (3.22) пренебрегали зависимостью y B3t
от высоты. У равнение (3.22) в системе координат х , у , р , t имеет вид.
дФ
~Т1
dt
.
1
дФ
,
дФ .
т
ду 1
f- И —т-- {- V —
z—
дх
X
дФ
— —
др
[(?а - Т ва )^ - Т +
где т = dp/dt\ Т — средняя тем пература; d = 6 — бпор — ф ун кц и я,
характеризую щ ая выпадение осадков, бпор — пороговое значение
водности облаков.
У равнение (3.23) реш ается совместно с уравнениями притока
тепла, движ ения и неразрывности методом расщ епления на сетке
размером 3 6 x 2 2 у зл а с шагом Ах = А у = 300 км. По вертикали
использую тся уровни 1000, 850, 700, 500, 300 гП а, на которых про­
гнозирую тся и и v. Реш ения для Ф, Т и т определяю тся на промеж у­
точных уровнях 925, 775, 600 и 400 гП а.
Н а боковых границах прогностической области ставятся условия
д Ф /д /|г = d T /d t \ r = 0. Н а верхней границе слоя атмосферы, в ко­
тором строится решение уравнения (3.23), полагается дФ /др —
= дТ /д р = 0. Н а нижней границе атмосферы задаю тся потоки теп л а
и влаги с помощью соотношений, подобных тем, которые рассм атри­
ваются в главе 6.
Водность б в начальный момент времени полагалась равной:
нулю. Д л я численного интегрирования уравнений модели прим еня­
лись конечно-разностные схемы четвертого порядка точности. По^
прогностическим значениям функции Ф представляется возм ож ность
идентифицировать облачность. В облаках q « qmy б > 0, а следо­
вательно, Ф > 0. Вне облаков (б = 0, q < qm) Ф < 0.
В процессе интегрирования уравнения (3.23) представляется
такж е возможность рассчитывать водность облаков б и количества
осадков. В облаках q « qm, а поэтому
Имея значение пороговой водности облаков бпор, можно рассч и тать
ту часть водности, которая выпадает в виде осадков:
d = б — бпор.
7 .3 .3 . Прогноз влажности, облачности и осадков
в оперативной прогностической модели Гидрометцентра СССР
В неадиабатической полусферной оперативной прогностической^
модели Гидрометцентра СССР, основанной на интегрировании пол­
ных уравнений гидротермодинамики атмосферы, д ля прогноза в л аж ­
ности используется уравнение переноса массовой доли водяного
пара.
315*
Это уравнение
динат:
+
записы вается
в изобарической
системе
~W + V ~ w ) + T_| r =
коор­
(3 -24)
где q — массовая доля водяного пара;
dp/dt — аналог верти­
кальной скорости в изобарической системе координат; т — масш таб­
ный множитель; <?п — приток влаги к единице массы воздуха в еди­
ницу времени, обусловленный горизонтальным и вертикальным
турбулентны ми потоками, а такж е притоком влаги за счет фазовых
переходов. Остальные обозначения общепринятые.
П риток влаги <?п описывается следующей формулой:
£ L y . + my v V + g - g - +
"“ Х Т п
+
’
(3'25)
cp R nT 2
где члены в правой части описывают притоки влаги, обусловленные
турбулентными потоками водяного пара по горизонтали и верти­
кали, а такж е конденсацией соответственно; Q — вертикальны й
турбулентны й поток влаги; qm (Т) — массовая доля насыщенного
водяного пара; f = q/qm — относительная влаж ность; 3! — удель­
н ая теплота конденсации; R Q — удельная газовая постоянная водя­
ного пара. Последний член формулы (3.25), описывающий конден­
сацию , рассчитывается тогда, когда воздух достигает насыщ ения,
т. е. при / ;> 1.
Турбулентные потоки влаги рассчитываю тся только для плане­
тарного пограничного слоя (ППС), параметризуемого по методу
В. А. Ш найдмана (см. главу 6). Н а верхней границе ППС верти кал ь­
ный турбулентный поток влаги принимается равным нулю. Н а н иж ­
ней границе ППС вертикальный поток влаги (Q0) вычисляется по
формуле
Qo — РCd I Viooo I (<7l000 — #85o)>
(3.26)
где CD — коэффициент сопротивления; | V10001 — модуль вектора
скорости ветра на уровне 1000 гП а; нижние индексы у q указы ваю т
высоту изобарической поверхности.
П оскольку на верхней границе ППС вертикальный турбулентный
поток влаги (Q) обращ ается в нуль, то приток влаги к ППС опреде­
ляется по формуле
1 W -W .(3'27)
где # п — высота верхней границы ППС (см. главу 6).
У равнение (3.24) интегрируется численно по явной схеме цен­
тральны х разностей на изобарических поверхностях 1000, 850, 700,
500, 400, 300, 250, 200, 150 и 100 гП а. Н а боковых границах ставятся
условия d q /d t\r = 0. Н а верхней границе модельной атмосферыпол агается q = 0.
По прогностическим значениям относительной влаж ности на
основе эмпирических формул рассчитывается количество облаков
316
(в долях единицы) трех ярусов ( N н, N c, N B), которые относятся
к слоям 1000—850 гП а (нижний ярус), 850—500 гП а (средний ярус),
500—300 гП а (верхний ярус):
N H = 3 , 2 5 / 1000
1,95,
N c = 2/700 — 0,7,
N B = 1,72/500 -
0,43,
гДе /юоо» / 700» /ьоо — относительная влаж ность в долях единицы
на уровнях 1000, 700, 500 гП а соответственно.
В рассматриваемой прогностической модели рассчитывается коли­
чество осадков. П ринимается, что вся сконденсировавш аяся влага,
количество которой определяется последним членом формулы (3.25)
+
cp R q T 2
выпадает в виде осадков.
Сумма бq At на всех уровнях дает количество осадков в узле
сетки за шаг по времени А/, а сумма значений осадков на всех ш агах
по времени —- общее количество осадков в узле за весь прогностиче­
ский период времени.
П роцедура численного интегрирования уравнений модели, в том
числе уравнения (3.24), описана в главе 9.
7 .3 .4 . Прогноз влажности, облачности и осадков
в оперативной прогностической модели Европейского центра
среднесрочных прогнозов погоды (ЕЦСПП)
В модели ЕЦСПП прогноз влажности осущ ествляется на основе
уравнения для массовой доли водяного пара в сферических коорди­
натах с а-координатой по вертикали:
Ж + Т
[coiqT ( л “ ж
=
+
+ PsVC0S(P w ) + Ps H f ] =
+
+
(3.28)
где p s — приземное давление; о = p /p s — верти кальн ая координата;
<т = do/di — вертикальная скорость; X — долгота; <р — широта;
C L — скорость крупномасштабной конденсации:
r>L
°g
E L' с — скорость
осадков:
Я
Яш (71)
.
dqm ( T )
’
Ср
dt
испарения крупномасш табных или конвективны х
E L ' с = (Яш - Я ) ( ^ / ^
>
317
«1 = 5 ,4 4 -10-4, a 2 = 5.091-10-3, a 3 = 0,577 — постоянные;
PL —
интенсивность осадков на уровне подстилающей поверхности:
^ = 2
k=\
(с * - ££,с)
ар — коэффициент, характеризую щ ий площадь под кучевыми об­
лакам и, на которой выпадают осадки (для крупномасш табных осад­
ков ар = 1); В с — изменение влажности за счет конвективны х про­
цессов, параметризуемы х по схеме Куо:
в‘ =
- б' И
. - г - ^ ) +
^
A q — изменение влажности за счет адвекции
(3.28), стоящие в квадратной скобке);
И
при ств < а < с т „ ,
{0
в противном случае;
(члены у р ав н ен и я
а в и а н — уровни, соответствующие верхней и нижней гран и цам
облака; Дqc = a (qc — qe), qc и qe — массовая доля водяного п ар а
в облаке и в окружаю щ ем воздухе соответственно; a — п лощ адь
кучевого облака в баллах:
1
a = Щ - , / = Ц - j [ A vp sdo— A t ( R T)s] da,
о
°в
Р =
K ( T c - T e) + 2?(qe - q e)d0,
о»
Т с и Г е — тем пература в облаке и в окруж аю щ ем воздухе соответ­
ственно; R T — турбулентны й поток водяного пара по вертикали:
* г = - £ 0 Лс« - § г ) :
R l — поток влажности на уровне подстилающей поверхности; F q —
+ (V2D )2 V2 (V2q) — приток водяного пара за счет
горизонтальной турбулентной диффузии; K q и к г — коэффициент ту р ­
булентной диффузии по вертикали и горизонтали,
V2 = a 2 cos2 Ф ( A X f а2с1&г~ -^ т + а2 (Дф)2 a2J $2(p cos Ф
X
х ( C0S(P ^ ) ’
Z — вертикальная
составляю щ ая
потенциального
вихря скорости ветра:
v _
1 (, I
1
Г dv . d ( t tc o s < p ) - |) .
ps \
318
я cos Ф L дЯ
'
дер
абсолютного
D — дивергенция
горизонтального
ветра:
п —
I & cos Ф) "1 •
дф
J ’
~
^
Г ди
a cos ф L дХ
ДА,, Дф — шаги сетки по долготе и широте. Количество неконвек­
ти вн ой облачности рассчитывается по методу Д . Смагоринского.
Д л я расчета вертикального турбулентного потока водяного
п ар а необходимо задать нижнее граничное условие по а на уровне
подстилающей поверхности (s). Это условие записы вается в виде
Rs —
Ph^D | V |h [Qm ( T s)
Cjh]f
тде рЛ — плотность; | V | — модуль вектора скорости ветра;
cD =
= [ in (hjz )— ] — коэффициент сопротивления; х — постоянная
К армана; z0 — уровень ш ероховатости; h — индекс, указываю щ ий
на то, что соответствующие величины относятся к верхней границе
приземного слоя.
Н а верхней границе модельной атмосферы ставится условие,
означаю щ ее отсутствие потока водяного пара.
П роцедура численного интегрирования уравнения (3.28) р ас­
см атривается в главе 9.
Глава
А
Х
р еги ональн ы е и л ок ал ьн ы е
ЧИСЛЕННЫЕ ПРОГНОЗЫ погоды
Н а основе крупномасш табных прогностических моделей, и зл о­
женных в предыдущих главах, рассчитываются прогнозы на р а з­
ные сроки значений метеорологических величин, входящ их в у р ав ­
нения этих моделей. К этим величинам относятся давление, темпе­
р атура, составляю щ ие скорости ветра и частично осадки. Соответ­
ственно ж е прогноз погоды должен вклю чать такж е ряд других ме­
теорологических элементов, таких как облачность, туман, види­
мость, максимальную и минимальную температуру воздуха, грозы,
метели и пр.
С ледовательно, с помощью крупномасш табных прогностических
моделей прогнозируется лиш ь «часть погоды». В то ж е время с по­
мощью указанны х моделей возможно прогнозирование лиш ь вели­
чин, осредненных по площади элементарной ячейки прогностиче­
ской сети модели, равной примерно Ах А у = 3 0 0 x 3 0 0 км2. С по­
мощью таких осредненных значений можно охарактеризовать «основ­
ное» состояние погоды, или ее «фон». С помощью рассчитанных по
крупномасштабной прогностической модели давления, высоты изо­
барических поверхностей или функции тока хорошо представляется
крупномасштабный, синоптический процесс.
Н а фоне крупномасш табных синоптических, процессов в атмо­
сфере происходят и процессы меньших масштабов, из которых выде­
лим процессы промежуточного, или «подсиноптического» масштаба
и процессы мезомасштаба. Эти процессы вносят свой существенный
вклад в формирование погоды в отдельных регионах и пунктах.
Д л я прогнозирования этих процессов и соответствующей им погоды
разрабаты ваю тся специальные региональные и локальны е прогно­
стические модели, с помощью которых и рассчитывается детализи­
рованный прогноз погоды, включающий более широкий круг~метеорологических элементов.
8.1. Региональные прогностические
модели
И сходя из того что горизонтальны е масштабы крупномасш табных
(синоптических) процессов L K и мезомасштабных (локальны х)^процессов Ь и составляю т порядка 1000 и 100 км соответственно, примем,
что горизонтальны е масштабы процессов подсиноптического (про­
межуточного) масштаба Ln составляю т 100— 1000 км. Отсюда сле­
дует, что для адекватного описания процессов подсиноптического
масштаба необходима пространственная сетка точек с гори зонталь­
ными шагами (As)n, удовлетворяющими следующему неравенству:
320
L M/4 < (As)n < L K, где L J 4 = 100/4 = 25 км, L J 4 = 1000/4 =
= 250 км.
К числу атмосферных процессов, относящ ихся к подсиноптическим, принадлеж ат процессы, происходящ ие в ты лу крупных цикло­
нов — в лож бинах вторичных фронтов, процессы на атмосферных
фронтах, процессы, происходящ ие в начальной стадии развития
тропических циклонов, тропических депрессий и др.
Перечисленные выше и аналогичные им процессы в значительной
мере определяю т отклонения погоды от фона в определенных гео­
графических регионах, горизонтальны й масштаб которых составляет
порядка 1000 км (это масштабы небольших государств или крупных
областей СССР).
.Д л я составления более обоснованных и детализированны х в про­
странстве и во времени прогнозов погоды разрабаты ваю тся регио­
нальные прогностические модели. Априори можно считать, что про­
гноз по региональной модели в принципе будет тем более точен, чем
меньше ш аг сетки модели. Здесь, однако, следует подчеркнуть, что
принципиальны е основы (и соответствующие им уравнения) остаются
в рам ках крупномасш табных моделей. Поэтому бесконечное умень­
шение ш ага сетки не может обеспечить бесконечное улучш ение ре­
зультатов: оно возможно лиш ь до тех пор, пока не будет сделан пере­
ход к мезометеорологическим процессам.
П ереход к региональным прогностическим моделям требует все
более обоснованно поставленных граничны х условий на горизон­
тальны х границах области расчета. Если прогноз по глобальной
прогностической модели не требует никаких граничных условий,
то для прогноза по полуш арной модели необходимы условия на
экваторе. Переход ж е к региональным прогностическим моделям
требует постановки условий на границах, которые могут проходить
через области с большими горизонтальными градиентами и большой
временной изменчивостью метеорологических величин. П ринятие
в таких условиях слишком приближенных условий (как, например,
постоянство величин на границах) приводит к значительным ошиб­
кам в региональны х прогнозах.
И сходя из этих предпосылок в современных прогностических
центрах разрабаты ваю т «многоступенчатые» системы прогностиче­
ских моделей. Основной «ступенью» таких систем является глобаль­
н ая или полуш арная прогностическая модель, шаг сетки которой
будет браться за основу для дальнейш их рассуждений. Д л я опреде­
ленности примем его равным As = А х = Ау = 300 км. По этой
модели рассчитывается прогноз для всех узлов сетки на разные
сроки (например, 1—3 сут) с шагом по времени А/, равным, напри­
мер, 15 мин.
Д л я детализации прогнозов для крупны х регионов и на разные
сроки в прогностическом центре имеются одна или несколько регио­
нальны х прогностических моделей. П усть региональная прогности­
ческая модель каж дого последующего уровня отличается от модели
предыдущего уровня тем, что ее шаг по горизонтальным координатам
вдвое меньше. Тогда получается «иерархия» прогностических моде21 П . Н . Белов и др.
321
Таблица 8.1
ПМ
Примерный шаг сетки A s в глобальной
(полушарной) прогностической модели,
в региональных моделях
и в мезометеорологической модели
М одель
Глобальная (полуш арная)
Региональные
М езометеорологический
м езо-а, Р-модели
мезо-у-модель
As км
2 0 0 — 500
50— 200
5— 50
1— 5
лей, которую заверш ает л окал ьн ая
Р ис. 8.1. Схема расположения
(мезометеорологическая или статисти­
на полушарии областей расчета
по полушарной прогностической
ческая) модель (рис. 8.1, табл. 8.1).
модели (ПМ) и региональных
И злож енная иерархическая си­
моделей двух уровней (PMj и
стема прогностических моделей реа­
РМ2), а также мезометеорологилизуется с помощью модели «вло­
ческого полигона (МП).
женных» сеток (рис. 8.2). Этот метод
заклю чается в том, что горизонтальны е координаты модели к аж ­
дого последующего уровня получаются путем деления коорди­
нат узлов сетки модели предыдущего уровня на 2 (или любое другое
число). При этом все узлы сетки модели предыдущего уровня вклю ­
чаются в сетку модели нового уровня. Л егко понять, что число узлов
сетки нового уровня будет возрастать как степень дробности деления
сетки на каждом уровне. Т ак , при уменьшении ш ага сетки в 2 раза
число узлов новой сетки возрастет в 22 = 4 р аза. В целях экономич­
ности счета уменьшение ш ага сетки сопровождается уменьшением
области расчета таким образом, чтобы общее число узлов сетки в но­
вой области было примерно равно их числу в прежней области.
Важнейш им моментом метода вложенных сеток является учет
условий на боковых границах прогностической области. Эти границы
в каждой региональной модели последующего уровня совпадают
с какими-либо координатными линиями прогностической модели
предыдущего уровня. Тогда в ка­
честве граничных условий моде­
ли данного уровня принимаются
результаты прогноза на данный
шаг по модели предыдущего
о /
□ 2
X J
Рис. 8.2. Схема расположения узлов
сетки полушарной модели и двух ре­
гиональных моделей «вложенных» се­
ток.
1 — у зл ы сетки п о л у ш ар н о й м одели (ш а г
сетки Аде), 2 — у зл ы сетки р е ги о н а л ь н о й
модели п ер во го у р о в н я ( д * ! = — Аде), 3 —
у зл ы сетки р е ги о н а л ь н о й м одели вто р о го
уровня ( д * 2 =
322
~2
уровня. В методе вложенных сеток возможен такж е учет результатов
прогноза по модели последующего уровня в прогнозе по модели
предыдущего уровня. В этом случае на очередных ш агах по времени
в точках двух моделей, входящ их в общую для них область, резу л ь­
таты прогноза по модели предыдущего уровня заменяю тся на резу л ь­
тат прогноза по модели последующего уровня. П ри этом возникает
необходимость согласования прогнозов по двум моделям в узлах
сетки, находящ ихся на границах между областями расчета двух
моделей, что является весьма непростой задачей (см. главу 4).
И злож енн ая иерархия прогностических моделей может быть
реализована и в других вариантах. Например,, возможно сочетание
глобальной модели с шагом 300 км с региональной моделью с шагом
50 км или даж е непосредственно с мезометеорологической моделью.
При этом шаги сетки в разны х моделях могут быть и не кратными
одна относительно другой.
О писанная система глобальны х и региональны х моделей частично
уж е реализована. Т ак, в СССР разработаны региональны е модели
с шагами 150 и 200 км, которые применяю тся в сочетании с полуш ар­
ной моделью. В США применяю тся региональны е модели с шагами
в 190 и 127,5 км и менее, а в В еликобритании — региональны е мо­
дели с шагами до 15 км.
8.2. Уравнения гидротермодинамики
мезопроцессов
Л окальны е гидродинамические прогнозы погоды разрабаты ваю тся
на основе уравнений гидротермодинамики мезопроцессов. К ак уже
говорилось, к мезометеорологическим процессам относятся процессы
с горизонтальны м масштабом порядка десятков и сотен километров.
В современной классификации мезопроцессов выделяют процессы
следую щ их промежуточных масштабов:
м езо-а-масш таба (200—2000 км),
мезо-р-масштаба (20—200 км),
мезо-у-масштаба (2—20 км).
К процессам мезо-а-масш таба относятся процессы на атмосфер­
ных фронтах, в тропических циклонах и др.; к процессам мезо-Рмасштаба — орографические возмущ ения, скопления облаков и др.;
к процессам мезо-у-масштаба — отдельные кучевые облака, неко­
торые типы гравитационных волн и др.
С овременная постановка задачи гидродинамического локального
прогноза погоды была сформ улирована еще в начале 60-х годов
выдающимся советским ученым И. А. Кибелем. Им ж е была пред­
лож ена соответствующ ая система уравнений мезопроцессов, которую
можно записать в виде
du
дФ
= ~
dv
дФ
~ d T ~ ~ ~ d f~
21*
, /
,
А
.
д
и ди
лГ + /у + к *А ы + ^ Г * ^ Г ’
,
.
а
, д и dv
tu + K lA u + - d i k - d T ’
3 23
dw
дФ , „гг,, a
. d
dw
И Г = - 1 ь + Р Т + Ki A w + l b K - W ’
du
,
dv
.
ддо
1 Г + -а 7 + -аГ = аш ’
“j p + (Ya ~ Y) w =
Cpp (<^л + <^ф) +
+
+ - £ - [ « ( £ + * - » ) ] ■
т г — v«» = -J ■»«* + « .4 « ' + -5 - [ * ( % - - V ,) ] •
(2-1)
Здесь и далее 71 (2), p (2), p (2), q (2) — фоновые распределения
по высоте функций 7 \ /?, р, q, которые могут быть заданы , например,
по климатическим данным или определены с помощью какой-либо
крупномасштабной прогностической модели атмосферы (в послед­
нем случае эти функции будут относится к ф иксированному моменту
времени); величины со ш трихами означают отклонения реальны х
значений от фоновых, например V (я, у, 2, t) = Т (.х , у , 2, t) — f (2);
Y = — d T /d z, y q = —dq/dz; P = g / T cr> — параметр плавучести (кон­
венции); Г ср — средняя тем пература атмосферы; член (ЗГ' описывает
вертикальное ускорение частиц, обусловленное силой плавучести;
о = (g — R y ) / R T cpt Ф = R T cvp ' / p , кг и к — коэффициенты т у р ­
булентности при движении по горизонтали и по вертикали, осталь­
ные обозначения общепринятые. Переменные р и р связаны соот­
ношением гидростатики:
dp/dz = — g p.
У равнения вида (2.1) получаются из исходной системы уравн е­
ний гидротермодинамики с помощью упрощ ений, известными под
названием упрощ ений теории конвекции. У равнение неразры вности,
взятое при условии др/dt = 0, исключает акустические волны.
В современной терминологии уравнения вида (2.1) принято н а­
зывать уравнениями глубокой конвекции. Если ж е в этих уровнениях
принять, что Т = const, р = const, q = const, то в этом случае
уравнения называю т уравнениями мелкой конвекции (они приме­
няются для высот порядка 3 км). П оскольку в уравнениях принято,
что dp/dt = 0, то они называю тся такж е «неупругими» уравнениями
конвекции. В некоторых задачах мезометеорологии такое условие
не ставится и уравнение неразрывности записы вается в полном виде.
Тогда соответствующие уравнения называют «у п р угим и» уравне­
н и я м и конвекции.
Во многих моделях вместо температуры Т используется потен­
циальная тем пература 0. У равнение притока тепла в этом случае
записывается в виде
^
324
+ ^
= ^ Г (^ л + ^ф ) + « 1А0' + - | - [ « ( ^ - - Y e ) ] , (2.2)
d0
0
где Ye =
= -------f - (?a — Y). 0 = 0 (z). Ускорение, обусловлен- 4
ное силой плавучести, в уравнении движ ения по вертикали выраж ается_теперь в виде 0 0 ', где 0' (х, у , 2, t) = 0 (л;, у , z, t) — 0 (г),
Р = S/0.
Заметим, что в различны х моделях величины <^л , <?Гф,
могут
не учиты ваться.
В случае учета подстилающей поверхности, а такж е вклю чения
в модель атмосферных примесей уравнения мезопроцессов допол­
няю тся уравнениями теплопередачи в почве и переноса примесей
дТ*'
dt
X* д2Т * '
с*р* dz2 ’
d2Sg
“т"
аг
* дл;2
,0
d4a_, _d_
+ K* dy2+
dz
ds_a_ ,
/9
dz +
^
'
где звездочкой обозначены характеристики почвы; X* — коэффици­
ент теплопроводности почвы; sa — объемная концентрация при­
меси a; <Sa — скорость возникновения (источник) или уничтожения
(сток) примеси; к ХУ к у — коэффициенты турбулентности, описываю­
щие турбулентны е пульсации примеси по осям х и у; wa — собствен­
ная верти кальн ая скорость примеси.
Отметим, кроме того, что коэффициенты турбулентности к г и к
могут задаватся или определяться с помощью дополнительных соот­
ношений, вклю чаю щ их, например, уравнение баланса энергии т у р ­
булентных пульсаций.
8.3. Постановка задачи о локальном
численном прогнозе погоды
на основе уравнений мезометеорологии
В наиболее полном виде постановка этой задачи впервые была
сформулирована И. А. Кибелем. Согласно этой постановке, детализи­
рованный, локальны й прогноз погоды рассчитывается после про­
гноза по крупномасш табной прогностической модели. Р езультаты
прогноза по этой модели величин u , v, р , 71, q, w в мезометеорологической прогностической модели использую тся в качестве фоновых.
При интегрировании уравнений мезометеорологии по времени
эти же значения принимаются и в качестве начальны х данны х.
При этом считается, что мезометеорологические возмущ ения в н а­
чальный момент отсутствуют. Н ачальны е условия в таком случае
записываю тся в виде
при t = t0:
и = й (г),
v = v (г),
V = 0' = qr = Ф = Т * ' = 0.
(3.1)
При этом в качестве функций и (z) и v (z) принимаются величины
и и v, полученные по прогностической модели на момент t0. В ерти­
кальн ая скорость долж на удовлетворять уравнению неразры вности.
325
В принципе, однако, возможна и так ая постановка задачи, при
которой мезометеорологический локальны й прогноз может и не
связы ваться с прогнозом по крупномасштабной модели. В этом сл у ­
чае фоновые и начальны е данные долж ны быть получены по данным
синоптических наблюдений в исходной для прогноза момент вре­
мени. Более того, начальны е данные могут быть получены и с по­
мощью специальны х мезометеорологических наблюдений. Однако
такой путь является весьма сложным.
О бласть расчетов для мезометеорологического прогноза опреде­
ляется исходя из практических потребностей. Горизонтальные р а з­
меры такой области составляю т 50— 300 км, а ее площ адь — от
5 0 x 5 0 до 3 0 0 x 3 0 0 км2, что соответствует площади элементарной
ячейки сетки точек Крупномасштабной региональной или глобаль­
ной модели. В дальнейш ем такую область будем назы вать мезометеорологическим полигоном. Высота верхней границы полигона
z = Н может составлять 2— 10 км, а ее нижней границей является
подстилающ ая поверхность г = \ (х, у). В некоторых случаях
в область мезометеорологического полигона вклю чается и тонкий
(толщиной
1 м) самый верхний слой почвы или воды при н али ­
чии в области водных бассейнов.
Перейдем к ф ормулировке граничных условий. Начнем с условий
на боковых границах (для простоты будем рассматривать прям о­
угольную область). Возможно несколько вариантов. Простейший
из них заклю чается в следующем. Будем считать, что на границах
области мезометеорологические возмущ ения в течение всего интер­
вала времени расчета отсутствуют:
Г -
0' = q' = 7 * ' = 0.
(3.3)
В то ж е время фоновые значения метеорологических величин на
боковых границах могут изменяться в соответствии с прогнозом по
крупномасш табной модели.
Второй вариант граничных условий получают исходя из пред­
полож ения о возможности экстраполяции возмущений на границы
из внутренней части области с помощью соотношений вида
дГ_
dt
+
ж
~ °*
(3-4)
где Г — боковая граница области, п — нормаль к ней. П роизвод­
ная df'/dn и величина сп, имеющая смысл скорости переноса вели­
чины / \ определяю тся по значениям / ' во внутренней части области
в разны е моменты времени.
Н а верхней границе полигона принимаю тся следующие условия:
при
г = Н: w = 0,
/ ' = 0,
w
= 0.
(3.5)
Н а подстилающ ей поверхности принимаю тся условия п рили п а­
ния:
при г = 0: и = v = w = 0.
326
(3.6)
О днако при наличии неровностей рельефа высотой г — \ (х, у)
приним ается условие обтекания, согласно которому
при г = I (х, у):
wt = u - ^ + v - ^ .
(3.7)
Кроме того, на подстилающей поверхности принимаю тся услови я
равенства тем пературы воздуха и почвы (воды) и условие теплового
баланса:
при 2 = 0(2 = 1):
Т = Т*, (1 — Л) S + G +
- ЬаТо + В -
+ Ya) —
S Q + Я а = 0,
(3.8)
где А — альбедо подстилающ ей поверхности; S и G — нисходящ ие
потоки коротковолновой и длинноволновой радиации; Т 0 — зн ачен ие
тем пературы при 2 = 0 (г = £); В = — Х*дТ*/дг — поток тепла
на поверхности, обусловленны й теплообменом с глубинными слоям и
почвы (воды), Q = —rcpdq/dz — поток тепла, обусловленны й испа­
рением (конденсацией), / / а — поток теп ла, обусловленный антропо­
генными ф акторам и.
П рименительно к мезометеорологическим возмущ ениям у сл ови я
(3.8) примут вид
при 2 = 0(2 = 1):
Т ' = Т*' = То,
(1 - A ) S ' - G ' + К ^ - ~
(з.9>
- бцП+ в' - sq; + яа= о,
где
_ d(o T *)
dT
_ « 4 o T s.
Т —Т о
При получении соотнош ения (3.9) было использовано следую щ ее
приближ енное представление (по формуле бинома Нью тона):
o T t = о ( Т о + Т'оУ = ст(Т$ + 4Т о3То + • • •) жоТЬ + 4о Т 30Т'0,
которы е при условии, что | Т ' | < Т вы полняется с больш ой точ­
ностью.
Задача зам ы кается граничным условием для тем пературы почвы
(воды):
при г = — d
71* = const или 7 * ' = 0.
(3.10)
Т урбулентны е потоки тепла, влаги и импульса у земной поверх­
ности рассчиты ваю тся по теории М онина — О бухова.
При расчете (прогнозе) атмосферной примеси принимается:
ds
при z = Н
s = 0 или /с -^ - = 0,
при 2 = 0
S =
0 или к =
ds
+ WaSa = Ps — f,
(3.11)
где Р — коэффициент, учитываю щ ий частичное поглощ ение примеси
подстилающ ей поверхностью ; f = / (х, у) — наземные источники
327
Р ис.
8.3.
Орографические
координаты.
z=H=con$b
Zi=h z=H
примеси. У словие sa — О при z = О
принимается д л я водной поверх­
ности.
„
z ~ ^ II
z ' “ Н-Щ,
В современных мезометеорологических
моделях
неровности
рельефа учиты ваю тся не с помощью
z=%(x,y)
Z r^
условия на поверхности (3.7),
а путем введения специальной
z=0
x ,x i
системы координат. Рассмотрим
область, ограниченную снизу не­
ровной поверхностью Земли z = % (х, у), а сверху — плоскостью
z — Н = const (рис. 8.3). Д л я этой части атмосферы введем новые
координаты:
Xf=X
X1 = Х, ух = у,
t x = t,
Zt =
н.
(3.12)
Л егко проверить, что
dZj
H
dz
я- Г
(3.13)
Д л я перехода от исходных координат х, у, 2, t к новым коорди на­
там х ъ у ъ zl9 tL воспользуемся известными правилами замены пере­
менных, согласно которым
д
дх
д
d*j'
д
_
ПГ
дх
dz1
д
д гх 9
д
|
dtx
г dt
д_______д _
ду ~ dyi
dzi
д
dzx 9
д
dz
,
дг1
ду
дгх
dz
д
dzx ’
д
dzx *
(3 * 1 4 )
Введем в рассмотрение вертикальную скорость в новой системе
координат:
dzi
dz 1
,
dzi
.
dzx .
dzx
—37— f- U —r-=— h V
+ W -^r~.
dti
dt
1
dx
1
dy 1
dz
В этом последнем вы раж ении в соответствии с вы раж ениям и
(3.12)— (3.14)
dzi
дгх
(
zH
£Я
я \ ag
__О л - *dziL =__— Я
Я -- l ) dx
dt ' " ’
дг
Я -- V
дх - ( ■ (Я — | ) 2
(Я - 6 )
Н
dz\ _ .
Я
zt — Я dl_
Zt — H dt
яя dx
я ду '
н-Ъ
ду
П одставляя эти вы раж ения в соотнош ения д л я новой в ер ти кал ь­
ной скорости хюъ получаем:
dzi
wi = ^
Я
.
zx — Я /
д%
д% \
= 7 T ^ w + i r T ( u ^ r + v-w )-
/о 1
<ЗЛ 5>
П реобразуем теперь, наприм ер, уравнение движ ения по оси х у
записав его в сокращ енном варианте:
du
дФ
. t
П олная производная du /dt в новой системе координат примет вид
du
ди
Ж
= Ж
,
ди
,
ди
+ и - д ^ + г>Ж
.
ди
/0 ,
+ щ 1ъГ’
(ЗЛ6)
где хюг определяется выраж ением (3.15). В соответствии с формулой
(3.14) получим
дФ _
дх
дФ_
dxi
+
дФ_ dzj_ __ дФ_
Я
дгг дх дхг ‘ Я — £
г1 — Н д Ф д 1
Я — | д гх дх
~
дФ
дх1 +
гг — Я
Я
г1 — Н д Ф
Я — | д г1
дФ _д|_
д гг дх
'
д%
дх ‘
В результате уравнение движ ения в новых координатах примет
вид
du
dtx ~
ди
dtx
ди
U дх х
ди
дух
.
ди
W l dzx ~
дФ
дхг
zx — Я
Я — £
дФ
дгг
,
дх
V'
Аналогичным образом преобразую тся и другие уравнения системы
уравнений мезометеорологии. Согласно определению новых коорди­
нат по формуле (3.12) имеем: при z = £ zt = 0, при z = Н zx = Я .
В соответствии с этим граничны е условия теперь долж ны быть
отнесены к уровням
zi = 0 (z = |) и zx = Н (z = Н).
Новые уравнения мезометеорологии долж ны интегрироваться
теперь в прям оугольной области, ограниченной плоскостями как
сверху, так и снизу, что облегчает реш ение задачи.
Система уравнений мезометеорологии явл яется нелинейной. Ее
реш ение в аналитическом виде возможно лиш ь при значительны х
упрощ ениях как самих нелинейных уравнений, так и граничны х
условий, или же после линеаризации нелинейных уравнений. Таким
путем был решен р яд частных задач мезометеорологии, к числу
которы х относятся задачи обтекания препятствий (с и деализирован­
ной формой поверхности), местных ц и рк уляц и й (бризы, горно­
долинные ветры) и др.
Реш ение же задачи локальн ого прогноза погоды в общей поста­
новке возможно лиш ь численными методами. Д л я их применения
в зоне мезометеорологического полигона вводится пространственная
сетка точек с горизонтальными шагами As « 0,5—5 км и с вер­
тикальны ми ш агами Az « 0,1— 1 км. Сеть точек по вертикали, как
правило, неравномерна: внутри ППС она более густая, над ним —
более р ед кая. В слое почвы (воды) Az « 0,1 м.
Конкретный выбор ш агов по координатам производится исходя
из необходимости детализированного описания мезометеорологических полей. Д иф ф еренциальные уравнения задачи аппроксимирую тся
соответствующими им конечно-разностными аналогам и. Система
329
уравнений мезометеорологии описывает внешние и внутренние гр а­
витационные волны, которые вносят свой вклад в мезометеорологические возмущ ения. Ввиду этого применяемые схемы численного
интегрирования конечно-разностных уравнений долж ны удовлетво­
рять определенным критериям вычислительной устойчивости, со­
гласно которым шаги по времени долж ны составлять десятки секунд
или минут. О днако некоторые неявные численные схемы допускаю т
использование ш агов по времени до часа.
И злож енная общ ая постановка задачи локальн ого численного
прогноза погоды слиш ком слож на, поэтому она реш ается поэтапно.
К уж е реализованным этапам можно отнести такие частные задачи,
как расчет местных ветров, вертикальны х скоростей, распределения
тем пературы в пограничном слое и др.
8.4. Особенности температурных условий
большого города на основе моделирования
мезометеорологических процессов
При прогнозе температуры и ее суточного хода важ но учитывать
местные физико-географические условия. В особенности это отно­
сится к условиям больш их городов, значительная часть территории
которы х зан ята застройкам и и бетонно-асфальтовыми покры тиями.
Это сущ ественно отраж ается на физических свойствах подстилающей
поверхности и характери сти ках приземного и выш ележащ его слоев
воздуха.
Т ак, по сравнению с окруж аю щ ей (естественной) местностью
застройки и покры тия в городе приводят к увеличению альбедо
поверхности (примерно с 0,2 до 0,4), ее ш ероховатости (параметр z0
увеличивается с 0,1 до 1 м и более), относительной влаж ности, коэф­
фициента температуропроводности самой верхней части почвы или
искусственных покрытий, значительному увеличению загрязн ен и я
воздуха. Весьма важны м фактором городских условий явл яется
выделение значительного количества тепла при сж игании твердого
и жидкого топлива в бытовых и промышленных целях; об р азу ­
ю щийся в городах поток тепла может достигать 250 Вт/м2. П оступая
к поверхности и нагревая ее, это тепло посредством турбулентного
обмена распространяется далее в приземный слой воздуха, повыш ая
его тем пературу.
Д л я исследования метеорологического реж има городов р азр а б а­
тываю тся специальны е мезометеорологические модели. Рассмотрим
одну из них.
Примем для города условия горизонтальной однородности метео­
рологических полей и рельефа местности. Тогда при дополнительны х
услови ях квазистатичности, отсутствия вертикальны х движ ений,
а так ж е отсутствия непосредственного н агревания или охлаж дения
330
воздуха под влиянием всех ф акторов, кроме турбулентного обмена,
систему уравнений мезопроцессов можно записать в виде
ди
, .
_
= / (у _
v ,
д
ди
уг) + _
к _ ,
_dv = _ /1(.M_ Ug)v +, _ д K _dv ,
m_
в
dt
дг К
дг ’
дЯ
dt
д
дг
dq
дг ’
-др
£. = -g p .
вв
р = R PT,
дТ *
dt
I
Гс*р*
д ,*
дг
дТ*
дг ’
(4.1)
где ug, vg — составляю щ ие геострофического ветра, принимаемые
постоянными в течение срока локальн ого прогноза.
Приведенную систему уравнений будем интегрировать числеьно
на интервал времени 24 ч для слоя атмосферы от поверхности Земли
до высоты z = Н = 1600 м и д л я верхнего слоя почвы толщ иной
d = 1 м применительно к зоне умеренных широт для ию ля.
В качестве граничны х условий примем следующие:
d0 __ dq
V
= Vg = const,
-TJ- = 0,
W ~~~dt
и
= U g = const:
р н = 850 гП а,
0 = 295 К,
q = 6,7 °/00;
при г = — d: d T * /d t = 0, Т* = 295 К,
при 2 = 0: и = v = 0, Т = Т* = Т 0> q = q0 = / 0<7м (Т 0),
( 1 - Л ) 5 + 0 + Я-Ц -
8 о 7 1 -Г ^ - ^ Q
S = 5° (0,947 — 0.063TZ,) sin /г,
+ Яа-О ,
(4.2)
где дм (Г 0) — массовая доля насыщенного водяного пара при темпе­
ратуре Г 0, / 0 — относительная влаж ность воздуха у поверхности
Зем ли, S 0 — солнечная постоянная, h — высота Солнца, ть — ф ак ­
тор мутности Л инке. С помощью последнего в модели производится
учет влияни я на тем пературу загр язн ен и я воздуха. Н исходящ ий
п о т о к длинноволновой радиации G (встречное излучение) вычис­
л яется по формуле Б рента G = бо Т \ (<а — Ъ ]/~е), где е — п арц и ал ь­
ное давление водяного п ара, а и Ъ — коэффициенты.
Введем в рассмотрение ниж ний приземный подслой воздуха
высотой h = 50 м, в котором вертикальны е потоки теп ла, влаги
и импульса постоянны. Определение в нем метеорологических вели ­
чин, вклю чая значение коэффициента турбулентности /с, произво­
дится по теории А. С. Монина и А. М. О бухова; параметр ш ерохо­
ватости z0 считается известным.
331
В качестве начальны х условий примем следующие:
при t = 0
0 = 295 К ,
и = а0е - ь*2 + с0) v = axe~b^z +
и (Н) = ug, v (Н ) = vg9
(4.3)
где а0, fc0, с0, alt bly сг — коэффициенты.
Д л я коэффициента турбулентности выше приземного подслоя
примем условия его линейного убы вания с высотой:
(4.4)
Система уравнений (4.1), а так ж е условия (4.2) аппроксими­
рую тся конечно-разностными соотношениями. Д л я численного ин­
тегрирования полученных конечно-разностных уравнений вводится
система точек на оси г, вклю чаю щ ая 19 точек в атмосфере и 6 в почве.
Ш аг по времени составляет 30 мин.
В результате проведения ряда численных экспериментов оценена
роль отдельных физических факторов и их ком плекса на тем ператур­
ные условия гипотетического больш ого города.
Н а основании экспериментов можно сделать ряд выводов и
практических рекомендаций д ля локального прогноза погоды в
у слови ях города.
У величение альбедо поверхности и загрязн ен и я воздуха в городе
приводит к вы холаж иванию , особенно заметному днем. У величение
ш ероховатости за счет застроек сопровож дается значительным по­
нижением тем пературы воздуха днем и некоторым ее повышением
ночью, что объясняется изменением турбулентности и стратиф икации
воздуха в течение суток под влиянием ш ероховатости. Уменьш ение
относительной влаж ности в городе днем практически на тем пературу
не влияет; ночью же оно сопровож дается усилением вы холаж ивани я.
И зменение температуропроводности почвы на тем пературе п ракти ­
чески не сказы вается.
Из всех физических факторов, связанны х с воздействием города,
наибольш ее влияние на тем пературу оказы вает антропогенный при­
ток тепла, основная часть которого посредством турбулентного
обмена передается в атмосферу. З а счет этого тем пература воздуха
у поверхности может повыш аться на 5 °С.
В целом ж е ком плекс физических условий города приводит к обра­
зованию в городе «острова тепла»: средняя тем пература воздуха
в городе выше тем пературы воздуха окруж аю щ ей местности на 1—
2 °С. Д нем это различие может быть невелико. О днако ночью р аз­
ность тем ператур составляет около 3 °С, достигая при некоторых
значениях параметров 7—8 °С. Соответственно этому суточный ход
тем пературы в городе более вы раж ен, чем в его окруж аю щ ей ме­
стности.
С помощью экспериментов установлено так ж е, что «остров
тепла» над городом прослеж ивается до значительны х высот.
Т ак, при увеличении тем пературы в городе по сравнению с его
окруж ением ночью у поверхности Земли на [3,5 °С соответствую­
332
щее увеличение тем пературы воздуха на высотах 100 и 300 м
составило 2,8 и 2,4 °С.
Еще один очень важный для локальн ого прогноза вывод: увели ­
чение антропогенного притока теп л а приводит к уменьшению числа
Ричардсона
-§г ( У а ~ У )
Ri =
(ди/дг)2 + ( d v / d z f '
Уменьшение числа Ричардсона отраж ает ф акт увеличения неустой­
чивости атмосферы, что в свою очередь увеличивает вероятность гроа
и ливневых осадков.
В целом результаты расчетов мезометеорологических эффектов
по излож енной модели атмосферы не противоречат результатам ,
полученным по другим моделям, а так ж е экспериментальным данны м.
Т ак, например, интенсивность «острова тепла» в Сент-Луисе (Мис­
сури, США) превышает 2 °С.
В заклю чение подчеркнем, что полная реали заци я постановки
задачи локальн ого прогноза погоды на основе уравнений мезометеорологии сопряж ена с большими трудностями, которые обусловлены
негидростатичностью процессов. Н аибольш ие успехи в этой области
достигнуты в метеорологической служ бе В еликобритании, где соз­
дана и оперативно используется негидростатичная прогностическая
модель. Обсуждение этой модели выходит за рамки этой книги.
Глава
ОПЕРАТИВНЫЕ ПРОГНОСТИЧЕСКИЕ
МОДЕЛИ АТМОСФЕРЫ
9.1. Применение оперативных
прогностических моделей атмосферы
в службе погоды
В предыдущих гл авах были описаны принципиальны е основы
прогностических моделей атмосферы и способы их реализации.
О днако вопросы об их возмож ностях и результатах их п ракти че­
ского применения в оперативной п ракти ке гидрометеорологического
обслуж и вани я населения и в народнохозяйственной деятельности
не рассматривались.
Д л я целей краткосрочного прогноза (1—3 сут) необходимо, чтобы
все расчеты и выдача результатов были осущ ествлены в течение
3— 6 ч после срока гидрометеорологических наблюдений. В против­
ном случае, когда интервал времени прогностических расчетов
соизмерим с интервалом времени, на который рассчиты вается про­
гноз, применение прогностических моделей не имеет смысла. Это
обстоятельство наклады вает на оперативны е прогностические модели
ж есткие ограничения на время счета прогноза на ЭВМ.
И нтервал времени между сроком гидрометеорологических наблю ­
дений и моментом «выпуска» прогноза для потребителей (населения,
народнохозяйственны х организаций и др.) вклю чает в себя время,
необходимое для выполнения следующих работ:
1) кодирования и передачи данных наблюдений по линии связи
(передача долж на вестись со скоростью не менее 1200 бод, т. е.
двоичных зн аков в одну секунду);
2) приема данны х в метеорологических центрах, их первичной
обработки и контроля;
3) численного объективного ан ал и за данны х наблюдений и выдачи
результатов ан али за в виде карт, таблиц, а так ж е их записи на
запоминаю щ ие устройства (накопители);
4) расчета прогнозов барического поля, тем пературы , влаж ности,
скорости ветра, количества осадков и других величин и выдачи их
в виде карт, таблиц, граф иков и пр.;
5) распространения прогнозов для населения, производственных
орган и зац ий и руководящ их органов.
Отметим, что время, необходимое для выполнения первых двух
п унктов этого ком плекса работ, т. е. период между сроком наблю де­
ний и окончанием приема метеорологической информации, называю т
периодом «отсечения» данны х наблюдений.
Этот ком плекс работ полностью или частично вы полняется в ме­
теорологических центрах разного уровня. Согласно решению Все­
334
мирной метеорологической организации (ВМО) метеорологические
центры делятся на следующие три категории:
территориальны е метеорологические центры (ТМЦ);
региональны е метеорологические центры (РМЦ);
мировые метеорологические центры (ММЦ).
В сферу ответственности ТМЦ входят сбор и обработка данны х,
составление и распространение прогнозов погоды для территорий
отдельных крупны х областей, республик или сравнительно неболь­
шого (по площади) государства. В качестве примера ТМЦ можно
привести метеорологический центр в г. М инске, который ответствен
за выполнение указан ны х выше метеорологических работ по терри ­
тории Белорусской ССР.
РМ Ц несут ответственность за ком плекс метеорологических
работ в зоне крупного географического региона или среднего по
площади государства. Примером РМ Ц явл яется метеорологический
центр в г. Оффенбахе (Ф РГ). В СССР имеются четыре РМ Ц в следу­
ющих городах: М осква, Н овосибирск, Таш кент и Х абаровск. Д е ­
ятельность этих четырех метеорологических центров охваты вает
всю территорию СССР.
Н аконец, деятельность ММЦ относится ко всему земному ш ару.
Всего сущ ествую т три ММЦ — в М оскве, Ваш ингтоне и М ельбурне.
ВМО вы деляет и еще один тип метеорологических центров —
национальны е метеорологические центры (НМЦ), ответственные за
весь комплекс метеорологических работ, связанны х с прогнозами
погоды в зоне своего государства.
Кроме указан ны х метеорологических центров, часть ком плекса
метеорологических работ, например составление и распространение
прогнозов д ля отдельных пунктов и небольш их районов, вы пол­
няется крупными метеорологическими и авиаметеорологическими
станциями, обсерваториям и, территориальны ми гидрометцентрами,
а такж е бюро погоды.
Д еление метеорологических центров по перечисленным катего­
риям носит условный характер, так как их деятельность тесно пере­
плетается. Т ак, РМ Ц могут выполнять и функции ТМЦ. Гидромет­
центр СССР, например, вы полняет функции ММЦ, РМ Ц, ТМЦ,
а так ж е НМ Ц.
К началу 80-х годов использование численных методов прогноза
погоды в том или ином виде (хотя бы в форме прогностических карт,
передаваемых по линиям связи) производится практически во всех
странах мира. Ч исленное прогнозирование осущ ествляется более
чем в 30 странах. И спользуемы е прогностические модели могут
разрабаты ваться в центре или заим ствоваться.
И спользование прогностических моделей того или иного класса
определяется метеорологическими интересами данной страны , мощ­
ностью имеющихся в данном метеорологическом центре ЭВМ, а так ж е
обязательствам и, взятыми в рам ках ВМО или по двусторонним
соглаш ениям с другими странами.
Глобальные и полуш арные (полусферные) численные модели
разрабаты ваю тся и использую тся во всех трех ММЦ, а такж е в н аи­
335
более крупны х РМ Ц и НМ Ц, например НМ Ц США, Я понии, Ф Р Г
и др. Прогнозы по этим моделям на 1—5 сут составляю тся один или
два р аза в сутки по данным наблюдений в 0 и 12 ч СГВ.
В ремя отсечения данных наблюдений для численного ан али за
и прогноза по глобальным и полуш арным моделям составляет 3—5 ч.
Д л я реализации этих моделей использую тся ЭВМ, выполняю щ ие
от 10 млн. до 100 млн. и более операций в секунду.
Региональны е прогностические модели применяю тся в РМ Ц,
в некоторых ТМЦ, а так ж е в ММЦ. П рогнозы по ним рассчиты ваю тся
2— 4 р аза в сутки. Время отсечения данных наблюдений составляет
1— 3 ч. Д л я реализации региональны х моделей достаточно иметь
ЭВМ производительностью от 1 млн. до 10 млн. операций в секунду.
П рогнозы для сравнительно небольших территорий (локальны е
прогнозы) рассчитываются в ТМЦ. О днако некоторые из разрабаты ­
ваемых локальн ы х прогностических моделей являю тся настолько
сложными, что их реали зац и я возмож на только в РМ Ц и НМ Ц
(М осква, Н овосибирск, Оффенбах и д р.).
К ак уж е говорилось, оперативная работа с использованием
прогностических моделей атмосферы ведется более чем в 30 странах.
В число этих стран входят: А встралия, А встрия, Б о л гар и я, В ели ко­
британия, Г Д Р , И зр аи л ь, И ндия, И талия, К анада, К итай, Н орве­
ги я, Ф инляндия, Ф ранция, П ольш а, Румы ния, СССР, США, Ф РГ,
Ч ехословаки я, Ш веция, Ю гославия, Япония и др.
П рактически во всех прогностических моделях атмосферы исполь­
зую тся полные уравнения гидродинамики (квазигеострофические
модели применяю тся лиш ь как исключение). Модели различаю тся
вертикальны м разреш ением, областью прогнозирования, способами
парам етризации процессов подсеточного масш таба и др. О днако
общие принципы построения моделей не выходят за рамки и зл ож ен ­
ных ранее.
В этой главе будут описаны основные оперативны е прогности­
ческие модели трех наиболее крупны х метеорологических центров
мира: Гидрометцентра СССР, НМ Ц США и ЕЦСПП.
9.2. Оперативная прогностическая
модель атмосферы Гидрометцентра СССР
С 1970 г. в Гидрометцентре СССР в оперативной п ракти ке исполь­
зую тся полуш арные прогностические модели, обеспечивающие вы­
дачу прогностической продукции в соответствии с функциями ММЦ,
которые возлож ены на Гидрометцентр СССР.
О писы ваемая
далее
оперативная
прогностическая
модель
(автор П. В. Б еркович) разрабаты валась в течение ряда лет и пре­
терпела различны е модификации в процессе разви тия. Эти изменения
касались системы уравнений, учета физических процессов, горизон­
тального и вертикального разреш ения и др. Неизменным оставался
лиш ь экономичный вычислительный алгоритм модели, необходи­
мость которого определяется условиями оперативной работы, о чем
говорилось выше.
336
Экономичность вычислительного алгоритм а обеспечивается п ри­
менением ш ахматной пространственно-временной сетки для конечно-разностной аппроксимации системы уравнений модели, а так ж е
рациональной организацией вычислений на ЭВМ (см. ниж е).
Д ал ее прогностическая модель Гидрометцентра СССР описы­
вается по ее состоянию на 1 я н в ар я 1988 г.
Ф ункционирование модели в оперативном режиме обеспечивается
разработанной в Гидрометцентре СССР автоматизированной систе­
мой обработки оперативной информации (АСООИ).
В ремя отсечения данных наблюдений определяется расписанием
передачи прогностических карт по каналам связи . Д л я прогнозов
по данным наблюдений за срок 0 ч время отсечения составляет
4 ч 00 мин, срок 12 ч — 4 ч 20 мин.
О снову прогностической модели составляет система полных
уравнений гидротермодинамики в изобарической системе координат,
которая в рассматриваемой модели записы вается в следующем виде:
(2.1)
В качестве граничны х условий на верхней (р = 0) и нижней
(р = Р) гран и цах атмосферы принимается
при р
0 т
0,
при р = Р (1000 гПа)
w = -
= 0-
или
(2 .2)
где Ро и т0 — значения р и т при р = 1000 гП а.
Н а боковых границах области интегрирования принимается
(2.3)
где индекс Г — означает боковую границу.
Отметим, что в первых вари ан тах модели в качестве граничного
условия принималось отсутствие перетекания воздуха через гори­
зонтальную границу; тогда
(2.4)
22 П . Н. Белов и др.
337
Рис. 9.1. Область анализа и прогноза прогностической
модели Гидрометцентра СССР.
ПМ — п о л у ш а р н а я м о д е л ь, РМ — р е г и о н а л ь н а я м о д е л ь, СП —
С еверн ы й п олю с. В в е р х н е й л е в о й части о б л а сте й п р о гн о з а ПМ
и РМ п р и в ед ен ы ф р а гм ен ты с е т о к то чек; к р у ж к а м и и к р е с т и ­
к ам и и зо б р а ж ен ы т о чки о с н о в н о й и вс п о м о га т ел ь н о й сеток
с о о т в е тс т в е н н о .
где N — нормаль к границе, VN и VT — норм альная и касательн ая
к границе составляю щ ие вектора скорости. Путем численных эксп е­
риментов было установлено, что условия (2.3) обеспечивают более
эффективное подавление вычислительных шумов у границы области
расчета по сравнению с условиями (2.4).
Д л я численной реализации модели вводятся дискретны е без­
размерные координаты i, /, k, s и следующие операторы осреднения f n
и конечны х разностей / п:
f n ~ - 2~ ( f n + l +
fn =
fn-1)>
2Д r n ( f 11+1 ~ ~
где г принимает значения x , у, p, t\ n — значения соответствующ ей
координаты; f — значения и , и, т, Ф, q. Область расчета прогноза
покры вается прям оугольной сеткой узлов с равномерными ш агами
по осям х , у . Индексы узлов £, / по осям х и у изменяю тся в сле­
дующих пределах:
i = 1, 2, ..., / ,
/=
338
1, 2, . .. , У.
Рис. 9.2. Ш ахматная сетка точек
прогностической модели атмосферы
Гидрометцентра СССР.
Ш
----------1
J
?—
4
--
—w
----
К р у ж к а м и и кр е с ти к а м и и зо б р а ж ен ы
у зл ы основной и в с п о м о га тел ь н о й ( в л о ­
ж ен н ой ) с ет о к м одели со о т в е тс т в е н н о .
(.
----
Q
При Дл; = Ду = 150 км
и / = J = 129 квадрат на
рис. 9.1 явл яется вписанным
J { ----------dj)
в широтный кр у г на карте
стереографической проекции
„ ■— Г
о --------J
с главны м
масштабом 1 :
30 ООО ООО. П ри этом левый
' __ _
к
ниж ний
узел
(i = j = 1)
№
-------С
---------- 1'i --------находится на пересечении
j
1-2
i
1+2
L+4
ь4
гринвического
меридиана
с кругом 8° ю. ш.
Ш ахматная сетка (рис. 9.2) состоит из двух обычных сеток
с удвоенным шагом по х и у, сдвинуты х одна относительно другой.
Индексы узлов первой сетки (круж ки ) определяю тся форм улой
i, / = 2 ( ? + - § - ) ’
<7 = °- !- • • • ’
65‘
Индексы узлов второй сетки (крестики) определяю тся формулой
i, j = 2 ( q +
1), q = 0, 1, ..., 64.
Поясним аппроксимацию функции f по формуле (2.5) с использова­
нием ш ахматной сетки:
f Xy = “4" ( f i - 1, j +1 + fi+1, j+1 + / i - l , j-1 + fi+ 1, y-l)>
fx = ~XKx ^*+1’j+1 ““ f*-1' j+1
f i+h
~ h - 1*
Система уравнений (2.1) при указан ны х граничны х у сл о в и ях
может быть реализована в двух вари ан тах: без учета неадиабатиче­
ских и турбулентны х факторов, когда принимается, что Fx = Fy =
= <$ = <$п = 0, и с их учетом.
В первом случае конечно-разностны й аналог системы уравн ен ий
(2.1) с учетом (2.6) записы вается в виде
Ui - l v f = -
т 2 ( йхуй ху + г}хуйху) +
, 1 Г~2ХУ , ~2Ху\ ~ У .
Н— 2”
"Ь у / тх +
Vt + 1й* = -
XV .
п
+ Ф* — — Рш
т2 ( u xyvyx +
+
+ - ^ ( u \ + v2 ) m l + тх>хру + Ф у = — Fv,
P
X (p) = - m 2 ^ ( a xy + v t ) d p ' , Т = - ^ Ф
0
22*
Р,
339
qt = -
m 2 {uxyqyx + v x% ) + -tiff.
(2.7)
На^рис. Э.З^представлено располож ение функций и, v, Т\ q и Ф
на четном и нечетном ш агах по времени на ш ахматной сетке. Из
ри су н ка видно, что все функции в у зл ах сетки меняют свое полож ение
от ш ага к ш агу. Н а четных ш агах по времени (s = 0, 2, 4, ...) ф ун к­
ции и, v , 7 \ q, Ф определяю тся на сетке кр у ж ко в , а на нечетных
ш агах (s = 1, 3, 5, ...) — на сетке крестиков. В соответствии с тем,
что ф ункция т рассчиты вается через интеграл по р от горизонтальной
дивергенции скорости, она определяется на четных ш агах на сетке
крестиков, а на нечетных ш агах — на сетке к руж ков. Д л я ап п рокси ­
мации на соответствующем ш аге производных ди/др и dv/dp требуется
определить и и v в тех же узл ах , где находятся в этот момент т.
С этой целью применяю т осреднение и и v по окруж аю щ им узлам ,
используя первую из формул (2.6). По той же причине члены lu
и lv осредняю тся в формулах (2.7) по времени в соответствии с вы­
раж ением (2.5).
Подобная полун еявная аппроксим ация д ля этих линейны х членов
уравнений движ ения приводит к следующей системе уравнений:
us+i — us-1 — Ш (v8+1 + и8_г) = — 2Д tF Ui
Vs+i — v 8-i + ш (u s+1 — Us.!) = — 2 A t F v .
Р еш ая эту систему двух уравнений относительно
получаем:
“ •+1 =
1 - Н / А Ц » !(1 “
(Ш )2 ] “ - 1 +
us+i и us+1,
~ 2 / (A i f F n -
2 A tF us\,
= i + (Ш )! i t 1 - (I A t f ] »,_! - 2 lA tu s_1 + 21 ( M f Fus - 2 A tF „ ,
(2.8)
где индексы s + 1, s, s — 1 означаю т принадлеж ность переменных
соответствующ им ш агам по времени.
В ерти кальн ая система модели представлена на рис. 9.4. По
вертикали все функции располагаю тся на 10 счетных уровнях,
соответствую щ их изобарическим поверхностям 1000, 850, 700, 500,
400, 300, 250, 200, 150 и 100 гП а.
Вследствие неравномерного располож ения уровней по вертикали
при расчете вертикальны х
s+f
4 производных вводится по­
1— 1
* -'W
правка, учиты ваю щ ая эту
\т,т
' ....
неравномерность.
j+ f
j
j-/
b -2 L-1
340
L
L+f L+2
i-2
L-f
С
Рис. 9.3. П олож ение прогно­
стических величин в узлах ос­
\
' новной и вспомогательной сеток
точек в моменты времени s (чет­
■ ..... с ные шаги по времени) и s + 1
L+i L+2 (нечетные шаги по времени).
Р ис. 9 .4 . Вертикальная структура
прогностической модели атмосферы
Гидрометцентра СССР.
Величины
Потоки радиации
S,G=OrU______
>0
SjQU
И нтегралы , входящ ие в
два уравн ен ия системы (2.7),
с учетом вертикальной стр у к­
туры модели зам еняю тся сум­
мами. Т ак , например, вместо
третьего уравн ен ия системы
получим
Ч = 4 - 1 — m 2D kA p h,
где
.SfiV
— ргПа
W L ^ _ i00
)
^
Сухая
атмосфера
-ss u— I
-^ -S
__ /50
LTi и/.У1^ ---- 200
Обята
250
l&M V*
>и их альбедо (
SAU
)
/в
(Ф,и,улт*
jnn
ь Ф
5 Р0
(2.9)
Ч
и
ж
Т
’Ъ
D k = ± { D k + Dk^ ) ,
Dk — (цУ
х “Ь Vy)k>
APft = Рн — Pk-1Н а верхнем счетном уров­
не k = 1 принимается допол­
нительное условие D k==о =
= Dk=\. С учетом граничного
условия т/г=0 = 0 окончательно получаем
к
%h = — 5j dh k'Dhs
k'=\
Фж т,1350
S,G,U
S,G,l/
Ф,и,тгХЪ
ППС
Океан
Ф,ЧМ.Т,Ь
Суша.
где dk, k* — коэффициенты, зависящ ие от толщины слоев Apk на
интервале от k — 0 до k.
Процесс вычислений в алгоритме модели построен так , что в к а ж ­
дой точке сначала вычисляю тся производные, средние и суммы на
всех уровнях £, а затем по этим «элементам» легко рассчиты ваю тся
слагаемы е прогностических уравнений. Такой алгоритм вычислений
диктуется структурой диагностических уравнений (неразрывности
и статики) и обеспечивает экономичность расчетов.
Последовательность расчетов по модели в адиабатическом в а ­
рианте на каж дом ш аге по времени сводится к следующ ему.
1. По значениям us и vs на основных у р о в н я х в у зл ах одной из
сеток по соотношению (2.9) вы числяю тся значения t s в точках второй
сетки на тех ж е уро вн ях.
2. По значениям us и vs и найденным на данном ш аге значениям xs
вы числяю тся функции Fu и Fv в соотнош ениях (2.7), а затем по фор­
муле (2.8) — величины us+l и vs+1 в у зл ах второй сетки точек.
3. С помощью пятого и шестого уравнений системы (2.7) по зн а ­
чениям us, vs ит находим значения T s+1 и qs+l, а на основе уравн ен ия
(2.2) и уравн ен ия статики — Ф8+1 в у зл ах второй сетки точек. П ри
341
этом для аппроксимации производных по времени используется
яв н ая схема центральны х разностей, в соответствии с которой, если
то
f s+i = fs-1 4- 2 M F S.
(2.10)
Н а первом ш аге прим еняется односторонняя разность:
f s+l = f s +
A t F s.
Н а этом расчеты, относящ иеся к одному ш агу по времени, з а ­
канчиваю тся. При переходе к следующему ш агу основная и вспомо­
гательн ая сетки к а к бы меняю тся местами. Теперь исходными будут
величины и, v, Т , q и Ф в узл ах вспомогательной сетки, а вели­
чина т будет вы числяться в у зл ах основной сетки и т. д. (см. рис. 9.3).
В неадиабатическом варианте модели учитываю тся турбулентны й
тепло- и влагообмен, радиационны е притоки тепла и обусловленны е
конденсацией изменения тем пературы и влаж ности. В качестве
исходных уравнений модели берется система уравнений (2.1), в кото­
рой учитываю тся теперь члены, описывающ ие притоки тепла, влаги
и им пульса. Эти притоки рассчиты ваю тся на основе методов п ар а­
метризации, описываемых ниж е.
9 .2 .1 . Параметризация физических процессов в модели
В уравн ен иях притока тепла и переноса влаги принимается, что
СрР
Ср
др
dQ
Ср
др
.
1
СрР
- f - ~ m *Ki A q + g ~ d F + ~ f
где Н и Q — вертикальны е турбулентны е потоки тепла и влаги;
к г — коэффициент горизонтального турбулентного обмена, члены
т 2Кх АТ и пРкх Aq описываю т турбулентны е притоки тепла и влаги,
обусловленны е турбулентны м обменом по горизонтали;
и ЖПф —
притоки тепла и влаги вследствие фазовых переходов влаги; R —
радиационный баланс на любом уровне:
R = S — U + С;
S — поток суммарной коротковолновой радиации; U и G — восходя­
щий и нисходящ ий потоки длинноволновой радиации.
В уравн ен иях движ ения учет турбулентной вязкости осущ е­
ствляется следующим образом:
F x = m 2Kl A u — g ^ ,
Fe = m aKl A v - g ^ - ,
342
где тх, Ту — вертикальны е турбулентны е потоки импульса по осям х и у.
Кроме граничны х условий (2.2), ставится еще условие теплового
баланса на подстилающей поверхности в следующем виде:
при z = О S + G — U — Н — Q — П = О,
где П — поток тепла в почву.
Потоки радиации параметрирую тся методом интегральны х ф унк­
ций п ропускания, изложенным в главе 6. При этом в качестве основ­
ного вещества, поглощающего коротковолновую и длинноволновую
радиацию , принимается водяной пар. Эффект озона вводится с по­
мощью коэффициента, учитывающего ослабление солнечной ради­
ации, поступающей на верхнюю границу атмосферы, а наличие
углекислого газа учитывается с помощью интегральны х функций
п ропускания.
В модели производится расчет количества облаков и их влияни я
на потоки радиации.
П ринимается, что в модели сущ ествует облачность трех ярусов:
ниж него (1000—850 гП а), среднего (850—500 гП а), верхнего (500—
300 гП а), альбедо которых равно 0,8; 0,6; 0,5 соответственно (см.
рис. 9.4). Количество облаков для ниж него (N H), среднего ( N c)
и верхнего ( N B) ярусов вычисляется по значениям относительной
влаж ности на уровнях 1000 гПа (/1000), 700 гП а (/700) и 500 гП а (/500)
по эмпирическим формулам
— 1,72/500 — 0,43;
N c — 2 /700
0,7;
N H — 3,25/юоо—■1,95.
При расчете потоков коротковолновой радиации при наличии
облачности считается, что она поглощ ается облачным слоем каж дого
яруса в соответствии с количеством облаков.
Притоки влаги и тепла и соответствующие им изменения темпе­
ратуры и влаж ности за счет фазовых переходов при крупномасш таб­
ном процессе определяю тся по следующим параметрическим фор­
мулам:
ср
RnT*
где qH — массовая доля влаги при насыщении воздуха; R n — удель­
ная газовая постоянная водяного пара; / — относительная в л а ж ­
ность.
Т урбулентны е вертикальны е потоки тепла, влаги и импульса
рассчитываю тся только для планетарного пограничного слоя (ППС).
Приведем основные формулы метода парам етризации, разработан ­
ного В. А. Ш найдманом. С начала рассчитываю тся следующие без­
размерные величины:
число Росби
Ro = Vgl Izq,
343
внешний параметр стратификации
внутренний параметр стратификации
М-2.5»
где Vg — скорость геострофического ветра на изобарической поверх­
ности 1000 гП а; 0О — потенциальная тем пература воздуха у земной
поверхности; 80 — разность потенциальных температур на гр а­
ницах пограничного слоя, определяемая по их значениям на изо­
барических поверхностях 1000 и 850 гП а; г0 — параметр ш ерохо­
ватости, 7Н — вертикальны й градиент температуры вне пограничного
слоя, % — геострофический коэффициент трения, рассчитываемый
по числу Ro, х — постоянная К армана.
На основе параметров Ro, М и ji0 производится расчет турбулент­
ных потоков тепла, влаги и импульса по следующим формулам:
H0 = ^ c p \V g ? £ l Q ^
Qo
=
Р C d I V io o o | (<7l000
?85o)>
'To* = P * 2X I V g I (Ug COS a -
Vg sin a),
t 0у = px2x | Vg | (ug sin a - f vg cos a),
где CD — коэффициент сопротивления, | V 10001 — модуль скорости
ветра на изобарической поверхности 1000 гП а, иё и vg — компоненты
скорости геострофического ветра, a — угол полного поворота ветра
в пограничном слое, определяемый по Ro и М .
П оскольку на верхней границе пограничного слоя турбулентны е
потоки тепла, влаги и импульса стремятся к нулю, производные этих
потоков рассчитываю тся по формуле
дЛ __ Ар
Ан __
А0
~др
~ gpHn9
где А — любой из турбулентны х потоков (Я , Q, тх, ху)> Я п =
= 0,45х2| V g l x l -1 — высота пограничного слоя (см. такж е главу 6).
Д л я геопотенциала и ветра в качестве начальны х данны х бе­
рутся результаты их численного анализа в узл ах шахматной сетки.
При этом в соответствии с системой уравнений (2.1) использую тся
проекции указанны х величин на плоскость карты стереографической
проекции (см. главу 1).
Ш аг по времени, удовлетворяю щ ий условию устойчивости вы­
числений, составляет 6 мин. Оперативные прогнозы на основе данной
модели рассчитываю тся два раза в сутки по данным наблюдений в 0
и 12 ч СГВ с заблаговременностью до 84 ч. Р езультатом расчетов
являю тся прогностические поля приземного давления и геопотен­
циала изобарических поверхностей, а такж е скорости ветра, темпе­
ратуры , влажности и вертикальны х движений на десяти расчетных
344
Таблица 9.1
Относительная ошибка (е) оперативных прогнозов на 1— 3 сут давления на
уровне моря и высоты изобарической поверхности 500 гПа по полусферной
модели Гидрометцентра СССР в 1978— 1987 гг. по данным за 00 ч СГВ
З а б л а го в р е м е н н о с т ь
п р о гн о за , ч
З а б л а го в р е м е н н о с т ь
п р о гн о за , ч
Год
Год
24
48
72
24
Уровень моря
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
0,84
0,83
0,83
0,79
0,80
0,78
0,82
0 ,76
0,69
0,69
0,95
0,92
0,92
0,87
0,89
0,85
0,92
0,81
0,76
0,74
48
72
Поверхность 500 гПа
1,01
1,02
1,04
0,93
0,96
0,94
0,97
0,87
0,84
0,81
1978
1979
1980
1981
1982
1983
1984
1985
1986
1987
0 ,80
0,79
0,76
0 ,76
0,75
0,72
0,75
0,69
0,61
0,59
0,84
0,86
0,84
0,81
0,83
0,80
0,82
0,76
0,68
0,66
0 ,9 6
0 ,9 4
0 ,9 4
0 ,9 0
0 ,9 2
0,91
0 ,92
0,81
0,79
0 ,76
уровнях модели. По факсимильным каналам передаются прогности­
ческие карты приземного давления и АТ 500 на 24, 48 и 72 ч. П ро­
гнозы по внетропической части полуш ария (<р > 20 ° с. ш.) пере­
даются, в виде цифровых сводок (бюллетеней) в коде Г Р И Д (геогра­
фическая сетка с шагом 5° X 5°), включающ их прогнозы приземного
д авления, высоты изобарических поверхностей 500, 300, 200, 100 гП а
на сроки от 24 до 72 ч. Прогнозы высоты изобарических поверх­
ностей 300, 250 и 200 гП а, а такж е прогнозы температуры и скорости
ветра на этих поверхностях передаются по программе регионального
центра зональны х прогнозов (Р Ц ЗП ) на 24 и 30 ч для метеорологи­
ческого обслуж ивания авиации.
В табл. 9.1 приведены некоторые данные об оправдываемое™
оперативны х прогнозов давления на уровне моря и высоты поверх­
ностей 500 гП а за 10 лет с 1978 по 1987 г. В качестве кри тери я
оправдываемости в таблице приведена средняя относительная ош ибка
е — 6/8ф,
где
N
N
1=1
1=1
представляю т собой среднюю абсолютную ош ибку прогноза и сред­
нюю абсолютную фактическую изменчивость (за интервал времени
прогноза); Я п, Я ф и Н И — прогностическая, ф актическая и исходная
высота изобарической поверхности.
И з данны х табл. 9.1 видно, что за рассматриваемый период сред­
ние относительные ошибки прогнозов барического поля значительно
уменьш ились. Д л я прогнозов на 24 ч геопотенциала поверхности
345
500 гПа уменьшение относительной ошибки в 1987 г. по сравнению
с 1978 г. составило 28 %, а для прогнозов на 72 ч — 21 %. Осо­
бенно заметное уменьшение относительных ошибок прогнозов проис­
ходило в 1985 г. в связи с изменением шага по горизонтали от 600
до 300 км, а такж е в 1986 г. в результате замены семиуровенного
варианта модели на десятиуровенный. Аналогично поведение за
этот период и других статистических оценок прогнозов: уменьшение
среднеквадратической и градиентной ошибок и увеличение коэффи­
циента корреляции.
9 .2 .2 . Региональная прогностическая модель атмосферы
В 1981 г. в оперативную п рактику была внедрена региональная
модель для прогноза по территории московского региона с заблаго­
временностью до 48 ч (автор С. О. Кричак). В модели, основанной
на системе полных уравнений гидротермодинамики (аналогичной
приведенной ранее), учитываются неадиабатические притоки тепла,
приземное трение и орограф ия. При численной реализации системы
уравнений используется описанная выше ш ахматная сетка, содер­
ж ащ ая 27 X 23 и 26 X 22 узлов в каж дой из сеток с шагом 300 км.
По вертикали модель вклю чает шесть счетных уровней — поверх­
ности 1000, 850, 700, 500, 300 и 100 гП а.
Д л я интегрирования по времени методом центральны х разностей
используется шаг по времени, равный 5 мин. Область прогноза
вклю чает территорию Европы и Западной Сибири (сетка 27 X
X 23 узлов).
Региональны й сеанс прогноза предшествует полуш арному; время
отсечения исходных данных составляет 2 ч после очередного синоп­
тического срока наблюдений. При численном анализе для реги он аль­
ного прогноза используется полуш арный прогноз за срок ан ал и за,
рассчитанный по данным предшествующего синоптического срока,
т. е. на 12 ч вперед. На границе области расчета в региональном
варианте прогноза использую тся рассчитанные в предшествующем
полуш арном варианте прогноза значения функций и, v и Ф. Подоб­
ный способ учета граничны х значений в модели с помощью предва­
рительно рассчитанных прогностических значений из модели для
большей территории применяю тся такж е и в ряде д ругих оператив­
ных моделей.
П рогнозы приземного давления и геопотенциала по данным за 0
и 12 ч СГВ рассчитываются на различны е сроки до 48 ч. В качестве
выходной продукции выдаются такж е диагностические и прогности­
ческие поля вертикальны х движений на изобарических поверхностях
850, 700, 500 гП а, определяемые из у р ав н ен и я притока тепла в 26 X
X 26 у зл ах сетки, прогнозы поля OTiooo и траекторий воздуш ных
частиц на различны х уровнях с заблаговременностью от 12 до 42 ч.
Прогнозы траекторий и адвективны х значений тем пературы и в л аж ­
ности для 23 пунктов европейской части СССР передаются потреби­
телям в виде цифровых сводок по каналам связи.
346
9.3. Оперативная прогностическая
модель атмосферы Национального
метеорологического центра (НМЦ) США
Е диная оперативная прогностическая модель атмосферы Н М Ц
США разрабаты валась более 20 лет. К концу 80-х годов было испы­
тано и внедрено в практику более десятка различны х вариантов
модели. Во всех вариантах в качестве исходных уравнений исполь­
зуются полные уравнения гидротермодинамики, записанные с учетом
неадиабатических процессов. Учет процессов подсеточного масш таба
производится методами парам етризации.
По своей математической реализации различны е варианты модели
можно разделить на две большие группы — на конечно-разно­
стные и спектральны е. В зависимости от размеров терри тори и г
охватываемой прогнозом, варианты модели подразделяю тся на гло­
бальные, полуш арные, региональны е и мезометеорологические. Д а ­
лее будет рассмотрен конечно-разностный вариант модели, а затем —
спектральны й (в дальнейш ем варианты моделей для краткости
будут назы ваться просто моделями).
9.3.1. Конечно-разностная прогностическая модель
В качестве исходных использую тся записанные в ст-системе
координат полные уравнения гидротермодинамики (4.14) и (4.16),
приведенные в главе 1. Однако в этой системе уравнений вводится
новая переменная -— функция Экснера
я = ( p / P f /CP
(3.1)
и учитывается преобразование
а
® ps
дН
да
др3
дха
Тогда на плоскости стереографической картографической проекции
(т — параметр увеличения, или масштабный м нож итель).указанны е
уравнения принимают вид
347
*)
7г рк гПа
6=0
• с~
л -Р-Рв
в
~
SO '
7
Стратосфера
G
6=0
Рис. 9.5. Семислойная прогностическая модель атмосферы НМЦ
США.
а"— в ер ти к ал ьн ая стр у к ту р а, б — располож ение
чин в я ч е й к е п р о с т р а н с т в е н н о й сет к и .
др8
т
dt
о = —
а
др3
Ps
dt
к
dups
дх
dvps
+ ~ду •) da,
-s-к
о
прогН О О тических в е л и ­
dups
дх
dvps
ду
da'.
(3.2)
При выводе последних двух уравнений использованы следующие
краевые условия:
а — 0 при о = 0 и о =
348
1.
я)
.
Ц гО
.6 = 0 —
6,-0,025
Т,и,цг~
■
5,Ф ----
Ч
* )
Анализ
Прогноз
Рис. 9 .6 . Прогностическая модель атмосферы ЕЦСПП.
а — в е р т и к а л ь н а я с т р у к т у р а , б — р а с п о л о ж е н и е ве л и ч и н
в я ч е й к е го р и зо н т а л ь н о й с ет к и п р и а н а л и з е и п р о гн о зе.
В ертикальная структура модели зад авалась различны м образом.
В одном из первых вариантЬв (семислойная конечно-разностная
модель) атмосфера делилась на три основных слоя (стратосфера,
тропосфера, ППС), внутри которых вводились дополнительные слои
и собственная координата сг:
<з-з>
где р н и Р в — давление на ниж ней и верхней границах данного
основного слоя (рис. 9.5 а). П ространственная сетка точек п олу­
чается путем налож ения на картографическую поверхность коорди­
натных прямы х, параллельны х осям х и у с заданным горизонталь­
ным шагом А х = Ау. В первом варианте конечно-разностной модели,
349
предназначенной для прогноза по полуш арию , принималось А х =
= Ау = 381 км (при ф = 60° с. ш.). Расчетная область для прогноза
по северному полуш арию в этом случае представлялась в виде восьми­
угольника с 57 X 53 = 3026 узлами. П ространственная ячейка сетки
с указанием располож ения рассчитываемых величин представлена
на рис. 9.5 б.
В последующих прогностических моделях НМ Ц число уровней
увеличивалось и было доведено до 16 (при использовании единой
координаты сг). В ертикальная структура таких моделей аналогична
вертикальной структуре модели ЕЦ СП П (рис. 9.6).
Д л я конечно-разностной аппроксимации уравнений системы (3.2)
применяются операторы дифференцирования и осреднения (г —
лю бая координата):
fn = - ^ r ( f n + l - f n - l ) ,
f ^ = - t r ( f n +1 + 2 fn + f n - l ) .
(3.4)
Н априм ер, в уравнении для d Q / d t адвективные члены аппроксим и­
рую тся следующим образом:
а конвективный член д (dQ/da) записы вается в виде
( А
00 \
[ °
Л -Л -
_
1
~
/•
0ft —
0ft+l
Aoh
VCTft+1
.
.
+ CTfe
0ft-!—
0fc\
Да*_х
) ’
где k — счетный уровень.
Сумма адвективны х и конвективны х членов (обозначим ее че­
рез Fe) осредняется по х и у, т. е. для 0 получается уравнение
( % - ) ,= 7?
=
ш
-а д -
<з -5>
П роизводная по времени d Q / d t аппроксимируется на всех ш агах
по времени, кроме первого, следующим образом:
(тг). = # = -яг№+'-е-->Ь
<3-6>
где s — номер ш ага, а на первом шаге применяется односторонняя
разность
Аналогичные соотношения применяю тся и для других переменных
и уравнений системы (3.2).
Д л я прогноза ссадкоЕ, обусловленных крупномасштабными про­
цессами, на основе уравнений для q и уравнения неразрывности
350
выводится уравнение для
А(ТЙ (о*, стк+1)
прогноза влагосодерж ания
dW
dt + Т ( М г И л ) + -%■ И Р .) ] * + Y
W в слое
■к
(oqp,)
где
В лагосодерж ание W может быть пересчитано в количество оса-
Тогда количество выпавш их осадков в слое при W > W H опре­
деляется разностью Д W = W — W H.
Пусть qH — массовая доля насыщенного водяного пара — изве­
стная ф ункция температуры и давления. Тепло, выделившееся при
конденсации, так же, как и затраченное при испарении, учиты вается
в уравнении притока тепла, обусловливая изменение тем пературы
воздуха соответствующего слоя. С конденсировавш аяся влага вы­
падает в виде осадков, причем осадки из выш ележ ащ их слоев могут
испаряться в ниж ележ ащ их слоях, если в последних отсутствую т
условия конденсации.
В прогностической модели НМ Ц процессы подсеточного масш таба
весьма детально учитываются методами параметризации.
Учет конвективны х процессов в модели осущ ествляется путем
параметризации процессов конвективного перемешивания методом
сухо- и влаж ноадиабатического приспособления, а радиационный
теплообмен в модели учитывается посредством расчета коротко­
волнового (солнечного) нагревания и длинноволнового охлаж дения
атмосферы и земной поверхности (см. главу 6).
Тем пература поверхности морей и океанов задается в качестве
начальны х данных и остается неизменной в течение всего времени
прогноза. При расчете собственного длинноволнового и злучения
атмосферы и подстилающей поверхности учитывается их зависимость
от температуры и влажности воздуха, а так ж е от количества облаков.
Д л я верхних слоев модели считается, что влаж ность всегда равна
нулю , а вы холаж ивание составляет примерно 1 ,7 -10“6 °С/с. А на­
логично, если во всех слоях модели относительная влаж ность не
превыш ает 60 %, поверхность земли покрыта снегом или льдом
и, наконец, высота солнца над горизонтом меньше 10°, задается
постоянное охлаж дение пограничного слоя в модели — 4,4* 10“5 °С/с.
Турбулентны е члены в уравн ен иях движ ения рассчитываю тся
по следующим формулам:
351
где pj — стандартная плотность воздуха на уровне моря; Ар г =
= 50 гП а; CD — коэффициент трения, подбираемый эмпирически.
Турбулентные потоки тепла (H s) и влаги (Qs) от земной поверх­
ности вычисляю тся по соотношениям
H . = f ± C D\ \ \ b T ,
Qs = J £ L C D \ V \ { q s - qh),
где AT = T s — T h; индексом s обозначена земная поверхность,
а индексом h — счетный уровень в пограничном слое модели. Д л я
поверхности океанов величины T s и qs = qH (T s) известны из н а­
чальны х данны х, а для поверхности суши их необходимо определить
на основе уравнений теплового и гидрологического баланса земной
поверхности.
Различны е варианты конечно-разностных моделей предназначены
для прогнозов по полуш арию и региону, имеющему масштаб конти­
нента или сравнительно небольшому району (в последнем случае
модель будет мезометеорологической).
В зависимости от этого и выбирается шаг сетки. В первом вари ­
анте модели шаг сетки принимался равным 381 км. В последующем
шаг сетки был уменьшен последовательно до 190,5 и 127 км.
Последний вариант, в котором число узлов сетки составило
79 X 67 = 5293, предназначен для детализированного прогноза
по североамериканскому региону. Создаются модели с более мелкой
сеткой — с шагом 50 км и менее, позволяющ ие учитывать процессы
подсиноптического масштаба и мезометеорологические.
При расчетах по региональны м моделям в качестве условий на
боковых границах области прогноза принимаются результаты про­
гноза по полуш арной модели.
П рогноз же полного комплекса метеорологических величин (соб­
ственно прогноз погоды) производится на основе прогнозов по модели
НМ Ц статистическими методами.
Оперативные прогнозы рассчитываю тся два р аза в сутки.
В табл. 9.2 приведены некоторые данные об оправдываемое™ про­
гнозов по трем моделям НМ Ц с 1978 по 1986 г. В этой таблице LFM —
непрерывно соверш енствуемая конечно-разностная модель, Р Е —
полуш арная модель, действующ ая до 1980 г. (такж е конечно-разно­
стная), a S P — сп ектральн ая модель, о которой речь пойдет далее.
Из таблицы следует, что успешность прогнозов по моделям НМЦ
непрерывно увеличивается. Такой ж е вывод можно сделать и из
данны х табл. 9.5, в которой приводятся сведения о качестве про­
гнозов в ряде стран. А нализ оправдываемое™ прогнозов по месяцам
п оказал, что в среднем она минимальна для весеннего периода
(см. табл. 9.5).
Интересно такж е отметить, что ошибки прогнозов по западной
части США больше, чем по восточной (см. табл. 9.2). Это объяс­
няется недостаточной плотностью исходных данны х над восточной
частью Тихого океана, примыкающей к западной части США.
352
*5
§а
CD
of
?и
«о
°1
со
«2
<
1>
2
ed
Сu
о
*я ®
о 10
8 я
«5
«о
о
of
*
*§
2
о. я
IO о*
«о g55
s g
g «
§
3§
о»
со
of
of
ю
^vo
toOlO
м
w s
of
5 3
of
of
CO n
S, m
О
P
>» о
of
of
£*
o H
о
s <
->
<
£u 3
n
^"rlO
CO
cd u
я о
о.
сч с
я
я я
ГCO
гЧ> w
н
п о
о
X
и
о
a.
С
of
CO
1о
со
CO*4
ю
со'
CO
CO*4
оо^
со"
CO*4
г^
со"
СО
со"
со"
СО*4
ю
Ю
CO
lO
СО
lO
lO
СО
ю
to
lO
сз
•вa,
>>
я
а?
«о
2
а
ж
§с
*
О)
С
Г
О
cd я
* а
< с
I*
SXg
г1Л
PQ
lO
а:
к 8 S
*о 3о3
« с
00 со
СО
LO
а
Я
X
Ю
sS
Я
lO
^
в?!
в?
XО t
С
о-В ;
.
<и _ •
ЯО <
<N
*я gе
о
oo
05
oo
ст>
s
о. я <
О. о
О с «
23 п. Н. Белов в ДР«
w
а,
а
сл
сза
Я я
tw a
hJОн
н ю *
cd
.
t=C Н .
см’ cd
и :
со о .
М
Я
гг
г
>
х. сес
з
Я
О
е*
Vo 0
>О
ео) (f
£
со
CO
<D
■*
я oi
сх .
I— л
с з
§
s
ca SS
.« я
VO
я
щ
о ,
if 8
00 £
а О
«U=с °с
353
9 .3 .2 . Спектральная прогностическая модель
К ак уж е говорилось, прогностические модели НМ Ц США непре­
рывно соверш енствую тся. Н аиболее крупное усоверш енствование
было выполнено в конце 70-х — начале 80-х годов. В этот период
была создана сп ектральн ая прогностическая модель в глобальном
и полуш арном (модель SP) вариантах. Общие теоретические основы
спектральны х моделей были излож ены в главе 5, поэтому здесь
будут описаны лиш ь главны е особенности спектральной модели
НМ Ц США.
Исходные уравнения спектральной модели в принципе ан ало­
гичны конечно-разностным уравнениям (3.2). Однако теп ерь эти
уравнения записываю тся в сферической системе координат (см.
главу 1) (ф = я /2 — 0 — ш ирота, 0 — полярный угол, К — долгота
места). С вязь между производными в декартовой и сферической
системах координат описывается выражениями
д
1
д
д
1 д
дх
a cos <р дХ ’
ду
а
дер '
где а — радиус Земли.
Вместо зональной (и) и меридиональной (у) скоростей вводятся
величины
U = и cos ф, V = v cos ф.
Тогда формулы для вертикальной составляю щ ей вихря скорости
и горизонтальной дивергенции приобретают вид
В качестве вертикальной координаты принимается величина
= 1 — а = 1 — p lp s (в дальнейш ем индекс 1 будет опускаться).
Были разработаны модели с разным числом уровней по вертикали:
7, 8, а затем 18 уровней. Общая вертикальная структура моделей,
а такж е располож ение точек в элементарной горизонтальной ячейке
сетки точек в сферических координатах практически такие ж е, как
в 15-уровенной модели ЕЦСПП (см. рис. 9.6). Ш аг сетки в моделях
НМ Ц принят равным 2,5 и 1,875°. Прогностические уравнения спек­
тральной модели вначале записываю тся для каж дого k-ro уровня
модели с одновременной заменой всех производных по вертикальной
координате центральными разностями. Н апример, уравнение гори­
зонтального движ ения (в векторной форме) записывается в виде
+
(V* *V)v„ +
2^7
(Vh+1 — V*) +
CTfc (vft — Vfc_i)] =
= — V O h — R T hV \ n p s — / k x v h,
где Фк = gzh — геопотенциал уровня k\ k + 1 и k — 1 — уровни,
расположенные выше и ниж е уровня k\ A k — шаг по вертикали
для уровня k.
Д алее на основе уравнений горизонтального движ ения выводятся
уравнения для изменений абсолютного вихря скорости ц к =
+ /
354
и дивергенции D k. Эти уравнения для любого момента времени
в общем виде можно записать следующим образом:
*te- = - F i ( « p , X),
-d ^ = F%{ф, %),
где FI и F \ — известные функции координат.
У равнения притока тепла и влаги приобретают вид
=
°SL = F%(<t,X),
где F% и Ft — такж е известные функции.
У равнения статики и преобразованное уравнение неразры вности,
являю щ иеся диагностическими, так ж е записываю тся для уровня k :
_
к
fffc+i = °k (D + с) — Zj
/=i
{Dj + cj)>
где Cj = VjV In ps, К — общее число уровней,
Кь
/(
d = 2j Д./А/» с = £ Д а /= i
/=i
Д алее все рассматриваемые величины, т. е. Uky Vk9 r\k, D fe,
7\
разлагаю тся в ряды по сферическим функциям (см. главу 5).
Любую скалярн ую величину f (ф, X) можно представить в виде
/ (Ф, А.) =
М
N
S
S
/ ^ {тЯР ” (С05ф),
т = — М п ~ \т \
где
/п и
/г — зональное и меридиональное волновое число;
(cos ф) — присоединенный полином Л еж андра; f n — коэффи­
циенты разлож ения функции / (ф, X) по сфере, определяемые по
значениям f в у злах сферической сетки координат (шаги сетки Дф =
= ДХ составляю т 2,5 или 1,875°); М и N — величины, задаваемы е
в зависимости от требований к точности разлож ени я (при большей
точности эти величины больше); е1ПгХР™ (cos ф) — ком плексн ы е
сферические функции.
Приведенное разлож ение можно записать и по-другому, н ап ри ­
мер в виде
Рп
f (ф, X) = S
£
Ш cos mX + fhm sin mX] Pn (cos ф),
m = 0 n==m
где
cos trikPn (cos ф)
и
sin trikPn (cos ф)
представляю т собой сферические функции, fn и f lnm — коэффициенты
разл о ж ен и я.
О граниченные возможности ЭВМ требуют ограничения числа
членов ряда, поэтому в моделях спектральны е разлож ения приме­
23*
355
няю тся с усечением рядов определенными числами М и N. Н ап ри ­
мер, в одной из спектральны х моделей НМЦ США число М при­
нималось равным 48.
Методы параметризации процессов подсеточного масштаба в спек­
тральны х моделях совпадают с соответствующими методами в ко­
нечно-разностных моделях, описанных выше. Схожим яв л яе тся
и метод интегрирования прогностических уравнений по времени
(полунеявный метод). В связи с этим они здесь не описываются.
С пектральные модели применяются в оперативной практике
НМ Ц США начиная с 1981 г. В табл. 9.2 приведены некоторы е
оценки качества прогнозов по спектральной модели (модель SP)
по северному полуш арию. И з таблицы следует, что качество про­
гнозов по спектральной модели превыш ает качество прогнозов по
конечно-разностным моделям.
9.4. Прогностическая модель атмосферы
Европейского центра среднесрочных
прогнозов погоды (ЕЦСПП)
и другие модели
М етеорологические служ бы и научные учреж дения ряда стран
Западной Европы при содействии правительств этих стран образо­
вали научно-оперативный центр для решения одной из наиболее
сложны х проблем современной метеорологии — прогноза погоды
на средние (3— 10 сут) сроки. В этот центр входят практически все
крупны е западноевропейские страны (В еликобритания, Ф ран ц и я,
Ф РГ и др.).
В течение более чем 20 лет научные сотрудники центра (н аходя­
щегося в Великобритании) совместными усилиями, благодаря н али ­
чию современной супер-ЭВМ , разработали наиболее соверш енную
прогностическую модель, предназначенную для прогноза всех основ­
ных метеорологических величин по всему земному ш ару или его
части на сроки 3— 10 сут. Заблаговременность прогноза делает
необходимым учет всех действующих физических ф акторов, в том
числе неадиабатических процессов и процессов в пограничном слое.
При этом прогностическая модель обеспечивает расчет прогноза
на многих уровнях, в том числе находящ ихся в стратосфере, на
сравнительно густой сетке точек.
Д л я реализации модели на всем земном ш аре была вы брана
сф ерическая система координат, а из всех видов вертикальны х
координат — а-координата.
В ертикальная структура модели атмосферы представлена на
рис. 9.6 а й в табл. 9.3, а ячейки сетки при анализе и прогнозе —
на рис. 9.6 б.
Прогностическая система ЕЦСПП вклю чает четырехмерное усво­
ение данны х через каждый 6-часовой период (см. п. 9.5). У сваи ва­
емые данные наблюдений, поступившие в интервале времени ± 3 ч
от синоптического срока, считаются отнесенными к этому сроку.
356
Таблица 9.3
Распределение метеорологических величин по вертикали
в прогностической модели атмосферы ЕЦСПП на этапах
анализа и прогноза
П р о гн о з (и, v , q, Т)
А н а л и з (и, v, q, Ф)
к
р, гП а
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
10
20
30
50
70
100
150
200
250
300
400
500
700
850
1000
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
а
0,025 (ai)
0,077
0,132
0,193
0,260
0,334
0,415
* 0,500
0,589
0,678
0,765
0,845
0,914
0,967
0,996 (а15)
1,000 (а ,
154-
Время отсечения исходных данны х составляет 7 ч 15 мин. В соответ­
ствии с процедурой анализа в качестве первого приближ ения исполь­
зуется прогноз по модели ЕЦ С П П на 6 ч вперед, так что очередной
сеанс прогноза на средние сроки базируется на весьма полных началь­
ных данны х, полученных в результате предшествующих сеансов
усвоения. И нтерполяция данны х о скорости ветра, геопотенциале и
влажности в узлы сетки производится методом многоэлементного
трехмерного численного анализа для уровней, указанны х в табл. 9.3.
Кроме анализа указан ны х в таблице величин, производится
численный ан али з тем пературы поверхности океанов.
Д л я усвоения данны х использую тся следующие виды информации:
а) синоптическая (SY N O P, S H IP ), измерения на буях (D R IB Y );
б) аэрологическая (TEM P), самолетные сообщения (A IR E P ), спут­
никовые температурные (SATEM) и ветровые (SATOB) измерения.
9 .4 .1 . У равнения модели ЕЦСПП
У равнения модели, аналогичны е уравнениям (4.14), приведен­
ным в главе 1, записываю тся по горизонтали в сферических коорди­
натах и по верти кали в ст-системе. Представим их в следующем виде:
= А и + В и,
-%r = A„ + Bv,
-fif = А Т + В Т,
= Ад + Вд,
^
=
=
И .1)
357
Здесь и далее A vy А и, А т, A q — адвективные (вклю чая верти кал ь­
ный перенос) и линейные члены в уравнениях для и , v> Т , q; A Ps —
п равая часть предпоследнего уравнения системы (3.2); В и, B v, В т
и B q — соответствующие неадиабатические члены и члены, учиты­
вающие турбулентную вязкость.
И нтегрирование уравнений по времени осущ ествляется методом
центральны х разностей. Запиш ем любое из прогностических у р ав ­
нений для и , v , Т или q следующим образом:
(4.2)
где f — лю бая функция.
Численное решение этого уравнения имеет вид
fs+i = fs -1 + 2Д/ (Af) s -f- 2Д / ( B ^ s ^ S
(4.3)
Д л я обеспечения устойчивости реш ения в выраж ении (4.3) не­
адиабатические члены B f берутся на шаге s — 1. С той ж е целью
часть этих членов, описывающ их вертикальную турбулентность,
вычисляется с помощью неявной схемы.
В формуле (4.3) f представляет собой величину f y модифициро­
ванную с помощью временного фильтра:
fs-1 — fs-1 + ОС(fs_2 — 2fs-1 - f fs)y
где а = 0,05.
Д л я фильтрации мелкомасштабных возмущений из численного
реш ения в полярны х областях, возникаю щ их вследствие сходимости
меридианов и быстрого убывания шага сетки вдоль широты при
приближении к полюсам, применяется пространственный фильтр.
Он обеспечивает устранение коротковолновой части спектра в про­
гностических полях метеорологических элементов путем разлож ения
в ряд Ф урье по широте, урезания членов ряда и их свертки.
В модели ЕЦ СП П осущ ествляется весьма полный учет неадиаба­
тических процессов.
П араметризация физических процессов. В перечень физических
процессов, учитываемых в модели, входят: верти кальн ая турб у­
лентность и горизонтальная турбулентная диффузия, сухая и в л аж ­
ная конвекция, радиация и облачность, крупномасш табная кон­
денсация, процессы тепло- и влагообмена на земной поверхности
(в том числе тепловой и водный балансы на поверхности суши)
и в атмосфере.
Параметризация т урбулент ны х потоков в приземном слое. П ара­
метризация приземных потоков основана на теории подобия Монина — О бухова, согласно которой профили температуры и ско­
рости ветра зависят только от высоты z, параметра р = g/Q и масш­
табов для измерения скорости и * и температуры 0*. Приземные
потоки импульса т и тепла Н связаны с и* и 0* соотношениями
358
И з величин и*, 0* и р можно составить один безразмерный п ар а­
метр g = z0*/(w*)2, так что вертикальны е профили ветра и темпе­
ратуры могут быть представлены как функции только £. Д л я опре­
деления этих функций применяю тся эмпирические данные. В р езу л ь ­
тате получаю тся следующие расчетные формулы:
(u * f = u l f x { — , R i ] ,
и*е* = и* (е*-е0) ш ) ,
где z0 — параметр ш ероховатости; h — высота приземного сл о я ,
равн ая высоте самого нижнего уровня модели, Ri — число Р и ­
чардсона:
индексы h и 0 обозначают величины, относящ иеся к уровням h и z0.
Ф ункции Д и / 2 при нейтральной стратификации имеют вид Д =
= 1 — lORi, / 2 = 1— 15Ri, а для условий устойчивой и неустойчи­
вой стратиф икации описываются более сложными вы раж ениями.
Определение потока влаги q* осущ ествляется аналогично опре­
делению потока тепла по соотношению
U*l'Я* =
u h (qh - q„) f t
, Ri).
9 .4 .2 . Турбулентные потоки в пограничном слое
Выше приземного слоя турбулентны е потоки вычисляются с по­
мощью коэффициентов турбулентности, зависящ их от масш таба
турбулентности (или пути смешения). В соответствии с теорией
коэффициент турбулентности к зависит от вертикальны х градиентов
ветра и температуры:
где I — длина пути смешения П рандтля; / — заданная ф ункция
(f x или / 2); I = ш /{ 1 + xz/A,); X = 160 м; х = 0,4.
Турбулентны е потоки импульса т, тепла щН и влаги Q вы ра­
ж аю тся в следующем виде:
Вид функции / в формуле для к различен для устойчивой и не­
устойчивой стратиф икации, а I зависит только от высоты г и под­
бирается на основе численных экспериментов с параметром X.
Горизонтальная т урбулент ная вязкость. Горизонтальная в я з­
кость обеспечивает сглаж ивание полей метеоэлементов и исключение
359
вычислительных шумов из численного реш ения. Соответствующие
члены в уравнениях (4.1), описывающие горизонтальную вязкость,
вы раж аю тся в форме а Д/. Здесь а — константа, Д — оператор
Л ап л аса на плоскости, / — лю бая из переменных и , у, 0 или q.
С ухая и влажная конвекция,. Сухое конвективное приспособление
обеспечивается турбулентным перемешиванием, путем расчета по­
токов тепла, влаги и импульса. В лаж н ая конвекция парам етризуется
по схеме К уо (см. главу 7). М одификация схемы Куо в модели ЕЦСПП
состоит в том, что вл аж н ая конвекция учитывается везде, где имеет
место конвергенция влаги, а не только в приземных слоях атмосферы.
Крупномасштабная конденсация. Конденсация влаги происходит
при относительной влаж ности более 100 % . В этом случае конден­
сационные изменения температуры А Т и влажности Дq связаны
следующими соотношениями:
AT = -f-A q ,
Ср
Aq = qH(T + A T ) - q ( T ) .
где Т и q — прогностические значения температуры и массовой
доли влаги без учета конденсации, qH — массовая доля насыщ енного
водяного пара.
Количество сконденсировавш ейся влаги Aq рассчитывается по
формуле
Количество выпавш их осадков определяется следующим образом:
а
Здесь Ае — испарение осадков, которое находится с помощью фор­
мулы
Ае = kx [<7Н(Т) — q] (Ьг / а ) с\
где k lt Ьх и сг — константы.
Радиационные притоки течла. Д л я вычисления радиационных
притоков тепла рассчитываю тся потоки коротковолновой и длинно­
волновой радиации. Радиационны е процессы параметризованы с вы­
делением тех эффектов, которые наиболее сильно влияю т на прогноз
погоды малой заблаговременности. О блачно-аэрозольные эффекты
считаю тся более значительными по сравнению с поглощением ради­
ации газами. Д л я учета суточного хода радиационные потоки р ас­
считываю тся в модели каждые три или четыре часа. В первоначаль­
ном варианте модели суточный ход не был включен в рассмотрение,
а потоки радиации пересчитывались только дважды в сутки.
Потоки коротковолновой (солнечной) радиации вычисляются для
д вух спектральны х интервалов, а потоки длинноволновой (земной)
радиации — для трех интервалов. В каждом из интервалов спектра
выделяю тся дополнительно несколько подынтервалов, в которых
360
производится расчет потоков с использованием соответствующей
функции
пропускания.
При
расчете
радиационных
потоков
в модели ЕЦСП П , кроме астрономических параметров, требуется
информация о распределении температуры , влаж ности, жидкой
влаги, количества облаков, аэрозоля, озона, углекислого газа
и альбедо земной поверхности. Тем пература и влаж ность непосред­
ственно прогнозирую тся в модели, а остальные перечисленные
параметры задаю тся по климатическим данным. Радиационная схема
в модели ЕЦСПП весьма слож на и более подробное описание ее
выходит за рамки этого параграф а.
9 .4 .3 . Определение температуры и влажности
на земной поверхности
П ри вычислении потоков тепла и влаги долж ны быть известны
тем пература и влаж ность на земной поверхности. Тем пература
морской поверхности Т м считается известной из наблюдений и
остается постоянной в период прогноза. Это условие принимается
как для открытой воды, так и для морского льда. Тем пература
поверхности почвы T s рассчитывается при прогнозе с помощью
нестационарного уравнения теплового баланса (при учете суточного
хода солнечной радиации):
с»д- Ж + а Т * ~ (1 ~ A) S — G + Я + SBQ + 2 ХМ + В = 0.
(4.4)
Здесь М — количество влаги, образую щ ейся при таянии льда или
снега;
— теплота плавления; В — поток тепла в почву, рассчи­
тываемый по формуле В = k s (T s — T hJ/hi, Xs — коэффициент тем­
пературопроводности, T hl — ф иксированная тем пература почвы
на глубине hx.
Если суточный ход не учиты вается, то первый член левой части
уравнения теплового баланса (4.4) равен нулю , а тем пература почвы
определяется вторым членом этого уравнения. М ассовая доля влаги
у морской поверхности qM равна значению , соответствующему со­
стоянию насыщ ения при температуре морской поверхности. В л аж ­
ность поверхности почвы qs определяется из условия гидрологиче­
ского баланса, составляющими которого являю тся осадки, испарение,
таяние снега, поверхностный сток и диффузия влаги в грунт (в д ал ь ­
нейшем гидрологический блок усложнен учетом влаготермического
состояния почвы в трех слоях).
Модель реализуется в основном в спектральном варианте (о спек­
тральном методе см. главу 5, а такж е п. 9.3) как глобальная или
полуш арная. Д л я прогнозов на короткие сроки (до 3 сут) по огран и ­
ченной территории, а в некоторых случаях и по полуш арию модель
применяется в конечно-разностном варианте. Шаги сетки в сфери­
ческой системе координат приняты равным Дер = ДА, = 1,875°.
Конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений
близка к используемой в модели НМ Ц США, которая излож ена
в п. 9.3. Располож ение рассчитываемых прогностических величин
в ячейке сетки представлено на рис. 9.6 б.
* - •
361
Таблица 9.4
Краткие сведения об оперативных прогностических моделях ряда стран
С тран а, служ ба
М о дел ь
О бл асти п р о гн о за
Конечно-разностная
модель
Великобритания
Метеорологическая
служ ба
Европейский регион
Британский подрегион
Северное полушарие
Земной шар
М езо-а, р-модели
ФРГ
Немецкая метеорологи­
ческая служ ба
Конечно-разностная мо­
дель
Европейский регион
Центрально-европейский
подрегион
Северное полушарие
М езо-а-модель
Франция
Национальная метеоро­
логическая служ ба
Конечно-разностная мо­
дель
Европейский регион
Французский подрегион
Северное полушарие
Земной шар
М езо-а-модель
Спектральная модель
(т ^ 21, п ^ 30)
Япония
Японское
метеорологи­
ческое агенство
Конечно-разностная
модель
Азиатский регион
«Японский» подрегион
Северное полушарие
М езо-а-модель
Спектральная модель
Конечно-разностная
модель
Швеция
Метеорологическая
служ ба
Северное полушарие
«Скандинавский» подрегион
М езо-а, р-модель
Подчеркнем, что в качестве исходных данных использую тся
результаты численного анализа по земному ш ару, представленные
в у зл ах сферической сетки с указанны ми ранее шагами (см.
рис. 9.6 б, табл. 9.3).
П рогностическая модель ЕЦСПП непрерывно соверш енствуется.
Одно из существенных изменений модели было сделано в 1985 г.,
когда была введена новая верти кальн ая структура атмосферы.
Вместо координаты о были введены смешанные координаты (р, а).
В этой системе координат давление на уровне k + */2 определяется
следующим образом:
Р Ж =■ Л ,+ 1_ + В
где коэффициенты А и В имеют следующие значения:
1/2
1
4
3
5
6
2
7
0
50
99
173
191
194
182
142
lk+l/2
В
*+ 1/2
362
0
0
2
13
42
94
170
268
8
157
9
125
384
511
Г о р и зо н та л ь н ы е к о о р д и ­
наты , р а зр е ш е н и е
В ерти кальны е коорд и ­
н аты , у р о вн и
15
П рогноз давления, геопотен­
циала, температуры, скорости
ветра на срок до 6 сут
Детализированный прогноз по
мезотерритории на срок до 36 ч
уров­
П рогноз давления, геопотен­
циала, температуры, скорости
ветра на срок до 4 сут
Детализированный прогноз по
мезотерритории на срок до 30 ч
а-координата,
уровней
И и
х, у;
А х = А у = 254, 127,
63, 5 км
/7-координата,
ней
9
а:, у ;
а-координата
X, у \ Ах = 208 cos ф км
А у = 167 км;
П р о гн о ст и ч е с к ая п р о д у к ц и я
Ах = А у — до 15 км
ф, А,; Аф = 1,5°;
А Х = 1,875°
Д а: ;
А у = 270, 90,
53 км
смешанная р , ст-коорди­
нат 15 уровней
Ху у \
А х = А у = 384, 127,
63, 5 км
а-координата,
уровней
л:, у \ Ах = А у =
- 304 км, для мезомодели — до 22 км
р, А,; Дф = ДА, = 1,65
и 1,1°
а-координата,
уровней
к.
10
А *+1/2 гПа
89
638
12 и
13
П рогноз давления, геопотен­
циала, температуры, скорости
ветра на срок до 4 сут
Детализированный прогноз по
мезотерритории на срок до 36 ч
П рогноз давления, геопотен­
циала, температуры, скорости
ветра на срок до 8 сут
Детализированный прогноз по
мезотерритории на срок до
36 ч
П рогноз давления, геопотен­
циала, температуры, скорости
ветра на срок до 3 сут
Детализированный прогноз по
мезотерритории на срок до 36 ч
И
54
756
12
26
856
13
14
15
8
0
0
0
929
973
992
1000
15 1/2
Таким образом, на верхней границе атмосферы (k = 1/2) р = 0,
о = 0; на земной поверхности (k = 15) р = р 8У о = 1; на уровне
k = 1 /?! = 50 гП а. Л егко определить, что, например, на уровне
k = 7 имеем р 7 = 182 ± 0,268ps «
450 гП а, а 7 « 0,450. Авторы
модели считают, что новый вариант вертикальной структуры атмо­
сферы позволяет более детально описать в модели особенности факти­
ческого вертикального распределения метеорологических величин
и уменьшить ошибки аппроксимации градиентов давления.
К ак уж е говорилось в начале этой главы, численные прогнозы
рассчитываю тся более чем в 30 странах мира. В каждой конкретной
стране используется собственная модель, либо модель, заимствован­
ная в метеорологических центрах наиболее развиты х стран. При
этом модель может быть модернизирована применительно к интересам
данной страны.
363
Таблица 9.5
Среднеквадратические ошибки (дам) прогноза высоты изобарических
поверхностей 1000 и 500 гПа на 3 сут за 1980 и 1985 гг. (осредненные
по кварталам (I— IV)) в ряде стран, а также по модели ЕЦСПП
198*5
1980
I
II
II I
IV
1
II
II I
IV
4,6
6,4
4,9
5,8
6,1
3,9
4,1
4,2
3 ,8
4,4
4,7
3 ,0
3,4
3 ,6
3,4
3 ,6
4,0
2,7
4,5
4 ,8
4,2
5,1
5,6
3 ,5
5,0
6,9
6,1
6,4
6,8
4,8
4,3
5,3
5,0
5,2
5,2
3 ,8
3 ,7
4,7
4,3
4,3
4,4
3,3
5,0
5 ,8
5,2
6,0
6,3
4 ,5
Поверхность 1000 гПа
Великобритания
США
Франция
ФРГ
Япония
ЕЦСПП
6,7
6,3
7,0
7,6
7,3
4,8
Великобритания
США
Франция
ФРГ
Япония
ЕЦСПП
7,8
7,0
9,2
10,5
8,9
6,2
4,7
4,5
5,3
4,7
4,8
4,2
4,1
4,2
4,9
4,0
4,2
3 ,6
5,8
5,8
6,1
5,8
6,0
4,4
Поверхность 500 гПа
5,9
5,9
7,0
6,8
6,2
5,2
4,8
5,0
6,2
6,5
5,1
4,5
6,8
5,9
8,0
8,0
7,5
5,3
Т аблица 9.6
Среднегодовые значения среднеквадратических ошибок прогноза высоты
изобарических поверхностей 1000 и 500 г Па (о н ) на 3 сут, температуры
на поверхностях 1000, 500 и 200 гПа (а^ ) на 2 сут по разным моделям
за 1980, 1985 и 1986 гг.
Год
1980
1985
1986
П о ве р х н о ст ь,
гП а
о н * дам
о т ** К
1000
500
200
1000
500
200
1000
500
200
4,3
5,3
4,6
2,6
4,7
3 ,7
2,2
3 ,0
3 ,6
2,2
3,1
—
3,3
4,1
—
3,1
3 ,9
—
Gv М/С
12,4
13,9
—
10,8
11,3
—
10,3
11,3
* Модель ЕЦСПП для северного полушария.
** Модель Великобритании для Северной Атлантики.
Кроме описанных прогностических моделей трех стран ун и к ал ь ­
ными и весьма совершенными являю тся прогностические модели,
разработанны е в национальны х центрах В еликобритании, Ф РГ,
Ф ранции, Японии и Ш веции. В табл. 9.4 приведены основные све­
дения о прогностических моделях этих стран, а в табл. 9.5 и 9.6 —
некоторые сведения об оценке прогнозов по ряду моделей.
364
9.5. Подготовка начальных данных
для численных прогнозов погоды
Д л я расчетов по прогностическим моделям атмосферы необходимо
иметь значения метеорологических величин в узл ах регулярной
сетки точек в один (начальный) момент времени. Такие значения
получают в результате специальной вычислительной процедуры
пространственно-временной интерполяции наблюдений в нерегу­
лярной сетке точек (данные наблюдений на метеорологических
станциях, метеорологических спутников и пр.) в узлы регулярной
сетки точек. Эта вычислительная процедура назы вается численным
(объективным) анализом.
Основную часть метеорологических наблюдений составляю т наб­
людения на метеорологических станциях, производимые в стандарт­
ные (синоптические) сроки — в 0, 6, 12 и 18 ч СГВ (на земном ш аре
число таких станций составляет 4500), и наблюдения на аэрологи­
ческих станциях, производящ их радиозондирование атмосферы (в 0 ч
СГВ наблю дения производятся на 900 таких станциях, а в 12 ч —
на 800). Б о л ьш ая часть метеорологических и аэрологических станций
находится в северном полуш арии и на континентах. Распределение
станций по территории является весьма неравномерным. Больш ую
по объему часть результатов наблюдений составляю т данные несин­
хронных наблюдений с самолетов, буев, уравновеш енных шаров
и спутников.
Таким образом, кроме стандартной метеорологической информа­
ции — синоптической (SY N O P, S H IP ) и аэрологической (TEM P) —
использую тся данные измерений на буях ( DRI BY) , самолетные
сообщения (A IR E P ), спутниковые данные о температуре (SATEM )
и результаты ветрового зондирования (SATOB).
Общий объем данны х, используемый для целей численного про­
гноза, достигает десятков млн. десятичных знаков. Д л я примера
укаж ем , что в Гидрометцентре СССР объем оперативной информации,
принимаемый за сутки с наземных станций, составляет около 1,5,
а с аэрологических — 0,4 млн. десятичных знаков.
Вся информация, поступаю щ ая в прогностический центр, про­
ходит стадию первичной обработки. В эту стадию входят «опознава­
ние» данных и их первичный контроль. О познавание данных осно­
вано на сравнении заглавной части метеорологических сводок со
стандартными величинами (время наблюдений и координаты точки
наблюдений, индексы станций и т. д.). Первичный контроль данных
основан на сравнении данных текущ их наблюдений с климатиче­
скими, проверке выполнения некоторых соотношений, например
уравнения статики, и. т. д.
При контроле данных наблюдений, а так ж е в процессе числен­
ного ан али за необходимо учиты вать ошибки измерений. В табл. 9.7
приведены сведения о погреш ностях определения температуры и ско­
рости ветра на высотах при измерении со спутников и с самолетов.
Там же приведены и соответствующие погрешности данных аэро­
логического зондирования.
365
Таблица 9.7
Ошибки 6 определения температуры воздуха Т и скорости ветра V,
производимого на основе измерений с разных наблюдательных систем
Д авле­
ние,
гП а
В ы сота,
км
А эр о л о ги ч е ск о е
ради озо нди р о ва ни е
И зм е р е н и я со сп у т н и к о в
И зм ер е н и я
с с ам ол етов
6 Т °С
6v м /с
6 Т°С
6v м/с
6v м /с
4,5
2,7
6
6
6
6
6
2 ,8
8
8
8
8
8
6
6
6
6
6
6
10
31
50
2 0 ,6
100
200
16,2
2 ,1
1 1 ,8
2,0
300
500
700
850
9,18
5,58
3,02
1,46
1 ,6
1 ,2
1,1
1,1
4
3
2
2,4
2 ,0
1,9
2 ,0
2 ,2
2,5
2 ,0
5
4
4
3
2
После опознавания и первичного контроля производится выборка
данны х, необходимых для численного анализа, а затем и собственно
численный анализ.
Существует несколько методов численного анали за. И з них
в основном использую тся метод полиномиальной аппроксимации,
Рис. 9.7. Дискретная и непрерывная схемы четырехмерного чис­
ленного анализа.
1 — п о с т у п а ю щ а я в Э В М и н ф о р м ац и я по д ан н ы м н абл ю д ен ий в основны е
с и н о п т и ч е с к и е с р о к и (00 и 12 ч С Г В ), 2 — п о с т у п а ю щ а я в ЭВ М н еси н ­
х р о н н а я и н ф о р м а ц и я , 3 — в ы д а ч а п р о г н о з а « п о тр еб и тел я м » (по д и с к р е т ­
н ой сх ем е — в 00 и 12 ч С Г В , по н еп р е р ы в н о й сх ем е — в л ю бое вр е м я ).
366
метод оптимальной интерполяции, метод последовательных прибли­
жений (коррекции). Эти методы изучаю тся в курсе «Численный ана­
лиз метеорологической информации».
В последнее десятилетие система подготовки данных для числен­
ного прогноза была существенно усоверш енствована. Это относится
к включению в численный анализ несинхронных данны х; такой
анализ получил название четырехмерного численного анализа. Н е­
синхронные данные, как правило, получают с помощью новых не­
стандартны х наблюдательных систем (спутники, самолеты и др.),
поэтому их включение в систему численного анализа представляет
собой особую трудность. Разрабаты ваем ы е специальные методы
четырехмерного численного анализа с включением нестандартных
наблюдений называю т такж е системой усвоения данных.
Кроме того, для расчетов по современным прогностическим
моделям атмосферы требуется, чтобы данные о различны х элементах
в у злах регулярной сетки, а такж е данные на разны х уровнях были
бы определенным образом «согласованы» между собой. Соответству­
ющая часть процедуры подготовки данных для прогноза получила
название согласование данных.
Включение несинхронных данных в численный анализ и их со­
гласование производятся в определенные моменты времени, соответ­
ствующие основным синоптическим срокам (0 и 12 ч или 0, 6, 12
и 18 ч СГВ). Таким образом, анализ метеорологических данны х
производится в фиксированные моменты времени. В этом случае
говорят о так называемой д и с к р е т н о й схеме четырехмерного числен­
ного ан али за (рис. 9.7).
В непрерывных же схемах численного анализа (см. рис. 9.7)
сбор и введение в численную процедуру всех данных и их согласова­
ние производятся по мере их поступления. Поступающие данны е
«замешиваются» с результатами прогноза в срок наблюдения. П о­
следнее означает, что для каждого физического момента времени
имеются прогностические значения метеорологических величин в у з­
лах прогностической сетки. К ак только получена очередная «порция»
данных наблюдений, счет прогноза временно прекращ ается и произ­
водится пространственная интерполяция в узлы сетки при исполь­
зовании прогностических значений в этих узл ах и поступивших
данных, а такж е их согласование.
В результате согласования по наиболее совершенным схемам,
получивш его название ини ци а л и за ц и и , разнородные данные пре­
образую тся таким образом, что при интегрировании уравнений
модели оказываю тся исключенными (отфильтрованными) высоко­
частотные (короткие) гравитационные волны, которые на формиро­
вание погоды существенного влияния не оказывают.
По заверш ении этой вычислительной процедуры счет прогноза
по модели продолж ается, но уж е с использованием проведенного
численного анализа. Получаемый таким путем прогноз является
вспомогательным. По мере необходимости (обычно в стандартны е
синоптические сроки 0 и 12 ч СГВ) по полученным значениям метео­
элементов в узл ах сетки составляется уж е реальный прогноз, время
367
счета которого долж но существенно «опережать» реальное время.
Т акая непреры вная схема численного анализа-прогноза изобра­
ж ен а на рис. 9.7.
В отношении развития методов анализа совершенно определенно
мож но говорить о перспективности четырехмерного многоэлементного
численного анализа методом оптимальной интерполяции. Д л я его
реализации необходимо иметь ЭВМ производительностью до десятков
и сотен миллионов операций в секунду, а такж е технологию и радио­
технические средства для приема всей текущей оперативной ин­
формации в темпе ее поступления. Такие возможности имеются
лиш ь в наиболее крупных метеорологических центрах, о которых
говорилось ранее.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе 1
1. Б е л о в П. Н . Численные методы прогноза п о г о д ы .— JL: Гидрометеоиздат,.
1975. 392 с.
2. Б л и н о в а Е. Н . Гидродинамическая теория волн давления, темпер ату рных.
волн и центров действия атмосферы. — Д А Н СССР, 1943, т. 7, с. 284—287.
3. К и б е л ь И. А. Введение в гидродинамические методы краткосрочного про­
гноза погоды. — М .; Гостехиздат, 1957. 375 с.
4. К о ч и н Н . Е ., К и б е л ь И. А ., Р о з е Н. Е. Теоретическая гидромеха­
ника. Ч. 1. И зд. 6. — М.: Физматгиз, 1963. 584 с. 4 . 2. Изд. 4 — Физматгиз,
1963. 728 с.
5. Л екции по численным методам краткосрочного прогноза погоды. — JL: Гидрометеоиздат, 1969. 734 с.
6. М а р ч у к Г. И. Численные методы в прогнозе погоды. — Л .: Гидрометеоиздат, 1967. 356 с.
7. М а р ч у к Г. И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. —
Л . : Гидрометеоиздат, 1974. 303 с.
8. М а р ч у к Г. И. Математическое моделирование в проблеме окружающ ей
среды. — М.: Н аука, 1982. 320 с.
9. М а р ч у к Г. И. , А г о ш н о в В. Н. Введение в проекционно-сеточные ме­
тоды. — М.: Н аука, 1981. 414 с.
10. М а р ч у к Г. И ., Д ы м н и к о в В. П. и др. Математическое моделирование
общей циркуляции атмосферы. Л ., Гидрометеоиздат, 1984, 320 с.
11. М а т в е е в Л . Т. К урс общей метеорологии. Физика атмосферы. — Л .: Гидро­
метеоиздат, 1984. 750 с.
12. М о н и н А. С. П рогноз погоды как задача физики. — М.: Н аука, 1969. 184 с.
13. М о н и н А. С., Я г л о м А. М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. — М.:
Н аука, 1965. 640 с.
14. О б у х о в А. М. К вопросу о геострофическом ветре. — Изв. АН СССР,
сер.
геогр. и геофиз., 1949, т. 13, № 4, с. 281— 306.
15. Теоретические основы прогноза погоды на средние с р о к и .— Л .: Гидрометео­
издат, 1979. 139 с.
16. Т о м п с о н
Ф. Анализ и предсказание погоды численными методами. —
М.: И зд-во иностр. лит., 1962. 239 с.
17. Численные методы, используемые в атмосферных моделях/П ер. с англ. — Л .:
Гидрометеоиздат, 1982. 360 с.
18. Ю д и н М. И. Новые методы и проблемы краткосрочного прогноза погоды. —
Л .: Гидрометеоиздат, 1963. 404 с.
9. Численные методы решения задач динамики атмосферы и океана. — Л ., Гидро­
метеоиздат, 1968. 367 с.
20. Модели общей циркуляции атмосферы/Пер. с англ. под ред. А. С. М ашковича.’— Л .: Гидрометеоиздат, 1982. 351 с.
К главе 2
1. Г о д у н о в С. К. , Р я б е н ь к и й
В. С. Разностные схемы. — М.: Наука,.
1977. 440 с.
2. М е з и н г е р
Ф. , А р а к а в а А. Численные методы, используемые в атмо­
сферных моделях. П ер. с а н г л .— Л .: Гидрометеоиздат, 1979. 136 с.
24
п. Н* Белов и др.
369*
К главе 3
1. Б у л е е в Н. И. , М а р ч у к Г. И. О динамике крупномасштабных атмосфер­
ных процессов. — Труды ИФА, 1959, № 2, с. 66— 104.
2. М а р ч у к Г. И. и др. Оперативная квазигеострофическая схема краткосроч­
ного прогноза для пяти уровней атмосферы. — Изв. АН СССР. Физика атмо­
сферы и океана, 1965, т. 1, № 2, с. 129— 135.
К главе 4
1. Б е р к о в и ч Л . В. Ш естиуровенная схема прогноза метеоэлементов по пол­
ным уравнениям для большой территории. — Труды Гидрометцентра СССР,
1972, вып. 100, с. 108— 115.
2 . Д ы м н и к о в В. П. , И ш и м о в а А. В. Неадиабатическая модель кратко­
срочного прогноза погоды. — М етеорология и гидрология, 1979, № 6, с. 5— 14.
3. К и б е л ь И. А. Способ краткосрочного прогноза метеорологических элемен­
тов. — Д А Н СССР, 1958, т. 118, № 4, с. 687— 690.
4. К и б е л ь И. А. О приспособлении движения к геострофическому. Д А Н СССР,
1955, т. 104, № 1, с. 60— 63.
5. К и б е л ь И. А. Конечно-разностная схема решения системы уравнений крат­
косрочного прогноза погоды и соотношения квазигеострофичности. — Д А Н
СССР, 1960, т. 132, № 2, с. 319— 322.
6. К и б е л ь И. А. Сведение системы дифференциальных уравнений, исполь­
зуемых при краткосрочном прогнозе погоды, к системе алгебраических урав­
нений. — Д А Н СССР, 1962, т. 143, № 6, с. 1336— 1339.
7. К и б е л ь И. А. Гидродинамический (численный) краткосрочный прогноз
погоды. — В
сб.: М еханика в СССР за 50 лет. Т. 2. — М ., 1970, с. 561— 583.*
S. М о н и н А.
С., О б у х о в А. М. Малые
колебания атмосферы иадаптация
метеорологических полей. — Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1968, № 11, с. 1360—
1373.
9. М а г а з е н к о в Л . Н. Схемы интегрирования по времени уравнений движ е­
ния жидкости, эффективно подавляющие высокочастотные компоненты. —
Труды ГГО,
1983, вып. 481, с. 1 0 3 -1 0 7 .
10. М а г а з е н к о в Л . Н ., LLI е й н и н Д .
Л . Об интегрировании уравнений
динамики атмосферы с помощью полунеявной диссипативной схемы. — Труды
ГГО, 1982, вып. 459, с. 85—91.
И . П е н е н к о В. В. Методы численного моделирования атмосферных процес­
с о в . — Л .: Гидрометеоиздат, 1981. 352 с.
12. С а д о к о в В. П. Гидродинамическая численная модель для описания крупно­
масштабных атмосферных процессов. — Труды Гидрометцентра СССР, вып. 192,
1977, с. 2 2 - 3 8 .
13. С и н я е в В. Н . Об одном принципе построения конечно-разностных схем,
основанных на законах сохранения полной энергии. — В кн.: Численные ме­
тоды механики сплошной среды — Новосибирск: Изд-во В Ц СО АН СССР,
1974, т. 5, № 2, с. 15—23.
14. Ш е й н и н Д . А. Устойчивость полунеявной схемы при интегрировании си­
стемы уравнений бароклинной атмосферы. — Труды ГГО, 1983, вып. 481,
с. 129— 134.
15. Модели общей циркуляции атмосферы/Пер. с англ. под ред. С. А. Машковича. —
Л .: Гидрометеоиздат, 1981. 351 с.
К главе 5
1. М а ш к о в и ч С. А. Спектральные модели общей циркуляции атмосферы и
численного прогноза погоды. — Л .: Гидрометеоиздат, 1986. 287 с.
2. М а х е н х а у э р
Б. Спектральный метод. — В кн.: Численные методы, ис­
пользуемые в атмосферных м о д е л я х .— Л .: Гидрометеоиздат, 1982, с. 88— 192.
3. М е р и л и П. Е ., О р з а г С. А. Псевдоспектральный метод. — В кн.: Ч и с­
ленные методы, используемые в атмосферных моделях. — Л .: Гидрометеоиздат,
1982, с. 193—214.
370
К главе 6
1. К а з а к о в
А. Л. , Л ы к о с о в
В. Н . О параметризации взаимодействия'
атмосферы с подстилающей поверхностью при численном моделировании атмо­
сферных процессов. — Труды ЗапСибН И И, 1982, вып. 55, с. 3—20.
2. К а з а н с к и й А. Б ., М о н и н А. С. О динамическом взаимодействии м еж ду
атмосферой и поверхностью Земли. — Изв. АН СССР, сер. геофиз., 1961, № 5,„
с. 768— 788.
3. К о н д р а т ь е в
К- Я. Актинометрия. — Л .: Гидрометеоиздат, 1966. 691 с.
4. К р а у с Е. Взаимодействие атмосферы и океана/П ер. с англ. под ред. А. С. Д у ­
бова, Э. К. Б ю т н е р .— Л .: Гидрометеоиздат, 1976. 295 с.
5. М о н и н А. С., О б у х о в А. М. Основные закономерности турбулентного»
перемешивания в приземном слое атмосферы. — Труды ин-та геофизики А Н
СССР, 1954, вып. 2 4 (1 5 1 ), с. 163— 187.
6. Т а р н о п о л ь с к и й А. Г . , Ш н а й д м а н В. А. Параметризация бароклин,,
ного планетарного слоя атмосферы. — Труды Гидрометцентра СССР, вып. 180
1976, с. 32— 40.
7. X а и н А. П . Математическое моделирование тропических ц и к л о н о в .— Л.:.
Гидрометеоиздат, 1964, 247 с.
8. Теоретические основы прогноза погоды на средние с р о к и .— Л .: Гидрометео­
издат, 1979. 138 с.
9. Радиация в облачной атмосфере/Под ред. Е. М. Фейгельсон. — Л .: Гидрометео­
издат, 1981. 260 с.
К главе 7
1. Б у й к о в М. В. Численное моделирование облаков слоистообразных форм. —
Обнинск: Изд. ВНИИ ГМ И —М Ц Д, 1978, 62 с.
2. Б у й к о в М. В ., П и р н а ч А. М. Численное моделирование двухфазного*
слоистообразного облака с учетом микроструктуры. — Изв. АН СССР. Физика*
атмосферы и океана, 1973, т. 9, № 5, с. 486— 499.
3. Б у й к о в М. В ., П и р н а ч А. М. Численное моделирование трехфазной'
слоистообразной облачности с учетом микроструктуры. — Труды УкрНИГМ И,
1973, вып. 125, с. 3— 17.
4. Д ы м н и к о в В. П . , Г у с е в а Н . В. Численный метод прогноза полей влаж ­
ности, слоистообразной облачности и осадков в атмосфере. — Изв. АН СССР.
Физика атмосферы и океана, 1975, т. И , № 6, с. 547— 553.
5. Д ю б ю к А. Ф. К расчету осадков. — Д окл. ЦИП , 1947, т. I, вып. 3, с. 31— 40^
6. К о з л о в В. Н. , М а т в е е в Д . Т. Численное моделирование полей влагосодержания атмосферы и водозапаса облаков над акваториями морей и океа­
н о в .— В кн.: Доклады Всесою зного симпозиума по П И Г А П .— М.: Гидро­
метеоиздат, 1973, с. 10—25.
7. Л у ш е в Ю. Г . , М а т в е е в Л . Т. Численная схема краткосрочного прогноза*
облачности. — Д окл. АН СССР, 1966, т. 167, N° 5, с. 1042— 1045.
8. М а т в е е в Л. Т. Динамика облаков. — Л .: Гидрометеоиздат, 1981. 311 с.
9. М а т в е е в Л . Т. Динамика формирования и прогноз слоистообразных облач­
ных систем. — В кн.: Динамика крупномасштабных атмосферных процессов. —
М.: Н аука, 1967, с. 279—292.
10. Ш в е ц М. Е. К вопросу предвычисления поля относительной влажности. —
Труды ГГО, 1959, вып. 81, с. 3— 12.
К главе 8
1. Б е л о в П. Н. , Щ е р б а к о в А. Ю. Численное моделирование суточного»
хода метеорологических элементов в большом городе. — М етеорология и гидро­
логия, 1983, № 7, с. 45— 53.
2. В е л ь т и щ е в Н. Ф. и др. Мезомасштабный численный прогноз п о го д ы .—
М етеорология и гидрология. 1962, № 4, с. 5— 15.
3. Г р у з а Г. В. , Р е й т е н б а х Р . Г. Статистика и анализ гидрометеорологиче­
ских д а н н ы х .— Л.: Гидрометеоиздат, 1982. 216 с.
24*
4. Г у т м а н Л . Н . Введение в нелинейную теорию мезометеорологических про­
ц е с с о в .— Л .: Гидрометеоиздат, 1969. 295 с.
5. К и б е л ь И. А . Некоторые новые задачи гидродинамического краткосрочного
прогноза погоды. — Труды Гидрометцентра СССР, 1964, вып. 3, с. 3— 18.
6. К и б е л ь И. А. Гидродинамический краткосрочный прогноз в задачах мезометеорологии. — Труды Гидрометцентра СССР, 1970, вып. 48, с. 3— 18.
7. П е к е л и с Е . М. К учету орографии в гидродинамическом прогнозе погоды. —
Труды Гидрометцентра СССР, 1964, вып. 239, с. 76— 101.
8. П е н е н к о В. В. , А л о я н А. Е. , Л а з р и е в Г. Л . Численная модель ло­
кальных атмосферных процессов. — Метеорология и гидрология, 1979, № 4,
с. 24—34.
9. Т i е d t к е М ., G e l e y n
J. F. , H o l l i n g s w o r t h
A. , L o u i s J. F.
ECMWF m odel param eterization of subgrid processes. — E C M W F Techn. R ep.,
1979, N 10, 46 p.
К главе 9
1. Б а г р о в A. H. , Ш и л я е в В. Б. , Л о к т и о н о в а Е. А. Оперативная
схема объективного анализа метеорологических полей для численного гидро­
динамического прогноза погоды. — Труды Гидрометцентра СССР, вып. 280,
с. 25—55.
2. Б е л о у с о в С. Л. , Г а н д и н Л. С. , М а ш к о в и ч С. А. Обработка опе­
ративной метеорологической информации с помощью электронно-вычислитель­
ных м а ш и н .— Л .: Гидрометеоиздат, 1968. 280 с.
3. Б е р к о в и ч Л . В. Глобальная прогностическая модель атмосферы. — М е­
теорология и гидрология, 1985, № 3, с. 18— 25.
4. Б е р к о в и ч Л. В. , Т к а ч е в а Ю. В. Развитие неадиабатической полу­
шарной прогностической модели атм осф еры .— Труды Гидрометцентра СССР,
1985, вып. 277, с. 3 —29.
5. К у р б а т к и н Г. П. Гидродинамические оперативные прогнозы. Достиж ения
в области гидрометеорологии и контроля природной среды. — Л .: Гидрометео­
издат, 1987, с. 10— 33.
6. П е т р о с я н ц
М. А. Результаты первого глобального эксперимента
ОИГАП. — Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1982, Т. 18, № 1 1 ,
с. 1123— 1140.
7. В e n g t s s o n
L. , L a n g e A. R esu lts of the WMO/CAS num erical weather
prediction data stu dy and intercom parison project for forecasts for the northern
hem isphere in 1979— 80. — WMO, 1982.
8. C atalogue of num erical atm ospheric m odels for the first G A R P global experi­
m ent. — G eneva, 1980.
9. N um erical experim ental programme — W G N E forecast com parison experim en ts.—
Report No. 6, WMO, 1983.
10. T i e d t h e M. The param eterization schem e of the ECMWF grid point m odel. —
Proceeding from ECMWF Sem inar 1977: The param eterization of the physical
processes in the free atm osphere. 1977, pp. 374— 422.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От а в т о р о в ......................................................................................................................................
3
В в е д е н и е ...........................................................................................................................................
4
Основные обозначения и п о с т о я н н ы е ...............................................................................
7
Глава 1. Основные уравнения гидротермодинамики прогностических моде­
лей а т м о с ф е р ы ..........................................................................................................
1.1. Принципы построения прогностических моделей атмосферы. . .
1.2. Система основных уравнений гидротермодинамики............................
1.3. Система уравнений гидротермодинамики с произвольной верти­
кальной к о о р д и н а т о й ........................................................................................
1.4. Уравнения гидротермодинамики в различных системах координат
1.4.1. Локальная изобарическая система координ ат..............................
1.4.2. a -система к оор дин ат...................................................................................
1.4.3. Сферическая система к о о р д и н а т ........................................................
1.5. Учет картографических п р оек ц и й .................................................................
1.5.1. Типы картографических п р о е к ц и й ...................................................
1.5.2. Преобразование уравнений гидротермодинамики для р аз­
личных картографических п р о е к ц и й ..............................................
Глава 2. Конечно-разностные методы решения уравнений гидротермодина­
мики
.............................................................................................................................
2.1. Метод сеток. Основные п о н я т и я .................................................................
2.2. Конечно-разностная аппроксимация п р о и з в о д н ы х ............................
2.3. Конечно-разностные с х е м ы ...............................................................................
2 .3 .1 . Точность численного решения. Аппроксимация и согласо­
ванность ..........................................................................................................
2 .3 .2 . Реш ение конечно-разностных уравнений методом шагов по
в р е м е н и ..........................................................................................................
2 .3 .3 . Корректность, устойчивость и сходимость . . ........................
2 .3 .4 . Методы построения конечно-разностных с х е м ............................
2.4. Схемы численного интегрирования по врем ени.....................................
2.5 . Точные решения линейных уравнений адвекции, колебаний и
т р е н и я ........................................................................................................................
2 .5 .1 . Уравнение адвек ци и...................................................................................
2 .5 .2 . Уравнение к о л е б а н и й ...............................................................................
2 .5 .3 . Уравнение т р е н и я ........................................................................................
2.6 . Сходимость численного р е ш е н и я .................................................................
2.7. Устойчивость конечно-разностных с х е м ...................................................
2 .8 . Анализ вычислительной устойчивости конечно-разностных схем.
Вычислительная вязкость. Вычислительные м о д ы ............................
2.8 .1 . Уравнение адвек ци и...................................................................................
2 .8 .2 . Уравнение к о л е б а н и й ...............................................................................
2 .8 .3 . Уравнение т р е н и я ........................................................................................
2 .8 .4 . Ошибка ложного представления. Нелинейная вычислитель­
ная н еу сто й ч и в о ст ь ...................................................................................
2 .8 .5 . Влияние ошибок на устойчивость численных решений . . .
2.9. Анализ изменений фазы колебаний, фазовых и групповых ско­
ростей. Вычислительная д и с п е р с и я ............................................................
2.9 .1 . Анализ изменений фазы численных решений для уравнений
к о л е б а н и й ......................................................................................................
2 .9 .2 . Анализ фазовых и групповых скоростей численных решений
для уравнения адвекции. Вычислительная дисперсия . . .
10
10
11
16
21
—
24
25
26
27
29
31
—
33
40
41
46
48
50
55
62
—
64
65
66
68
74
—
85
88
90
93
94
95
98
373
Глава 3. Квазигеострофические и квазисоленоидальные прогностические
м о д е л и .............................................................................................................................
3.1. Баротропная квазигеострофическая м о д е л ь ..........................................
3.1.1. Баротропное уравнение вихря с к о р о с т и .....................................
3.1 .2 . Обобщенное баротропное уравнение вихря скорости. . . .
3.1.3. Решение баротропного и обобщенного баротропного уравне­
ния вихря ск ор ости ...................................................................................
3.2. Итерационные методы решения баротропного уравнения вихря
с к о р о с т и ...................................................................................................................
3.3. Квазигеострофическая бароклинная модель и методы ее реали­
зации
........................................................................................................................
3.3 .1 . Система уравнений. Точное решение для тенденции геопо­
тенциала ..........................................................................................................
3.3 .2 . Решение уравнений бароклинной модели методом плоско­
стей ...................................................................................................................
3.4. Квазисоленоидальные прогностические м о д ел и ......................................
3.4 .1 . Баротропная бездивергентная квазисоленоидальная модель
3.5. Интегральные свойства........................................................................................
3.5 .1 . Интегральные инварианты баротропных квазигеострофической и квазисоленоидальной м о д е л е й ..........................................
3.5.2. Условия, обеспечивающие сохранение интегральных инва­
риантов ..........................................................................................................
Глава 4. Прогностические модели, основанные на полных уравнениях
гидротермодинамики.................................................................................................
4.1. Решение систем полных уравнений гидротермодинамики в адиаба­
тическом пр иближ ении........................................................................................
4.1.1. Решение системы полных уравнений гидротермодинамики
в системе координат лс, у ,
t ............................................................
4.1.2. Решение системы полных уравнений гидротермодинамики
в a -системе координ ат...............................................................................
4.2. Полные уравнения баротропной модели атмосферы............................
4.2.1. Уравнения мелкой в о д ы ..........................................................................
4.2.2. Уравнение баротропной модели в a -системе координат. .
4.3. Интегральные свойства моделей, основанных на полных урав­
нениях ........................................................................................................................
4.3.1. Интегральные свойства баротропной м о д е л и ............................
4.3.2. Интегральные свойства бароклинной м о д е л и ............................
4.4. Предотвращение и подавление нелинейной неустойчивости . . .
4.4.1. Предотвращение нелинейной н еу сто й ч и в о ст и ............................
4.4.2. Подавление нелинейной неустойчивости..........................................
4.4.3. Конечно-разностная аппроксимация пространственных про­
изводных, удовлетворяющая интегральным свойствам . . .
4.4.4. Потоковая форма уравнений. Б ок с-м етод.....................................
4.5. Анализ конечно-разностных схем для уравнений, описывающих
внешние гравитационные и инерционно-гравитационные волны
4.5.1. Анализ конечно-разностных схем для уравнений, описыва­
ющих внешние гравитационные в олн ы ..........................................
4.5.2. Точное решение уравнений адаптации модели мелкой воды.
Дифференциально-разностные уравнения адаптации . . . .
4.5.3. Анализ свойств решений одномерных уравнений адаптации
в полудискретной ф о р м е..........................................................................
4.5.4. Анализ свойств решений двумерных уравнений адаптации
в полудискретной ф о р м е..........................................................................
4.5.5. Анализ свойств решений одномерных уравнений адаптации
в дискретной форме. Оценка влияния конечных разностей
по в р е м е н и ......................................................................................................
4.5.6. Анализ устойчивости явных и полунеявных схем для одно­
мерных уравнений адаптации ............................................................
4.5.7. Анализ устойчивости неявных схем для одномерных урав­
нений а д а п т а ц и и ........................................................................................
374
ЮЗ
—
—
106
110
114119
—
127
132
—
137
—
141
144г
145
—
154
157
—
159
160
—
165
171
172
175
177
178
182
—
185
187
190
191
193
195
4.6. Конечно-разностные схемы, применяемые в прогностических мо­
делях
........................................................................................................................
4.6.1. Явные схемы для баротропных моделей. Схема централь­
ных разностей ............................................................................................
4.6.2. Явные схемы для бароклинных м о д е л е й .......................................
4.6.3. Полунеявные сх ем ы ..................................................................................
4.6.4. Неявные с х е м ы ...........................................................................................
4.6.5. Схемы интегрирования методом расщ епления.............................
198
—
202
205
211
213
Глава 5. Спектральные прогностические м о д е л и ........................................................
5.1. Некоторые сведения о решении задачи прогноза погоды с по­
мощью р я д о в ..........................................................................................................
5.2. Базисные функции, используемые в спектральных моделях.
Р азлож ение в ряды по базисным ф ун к ц и я м ..........................................
5.2.1. Тригонометрические ф у н к ц и и ............................................................
5.2.2. Сферические функции. Разлож ение по сферическим функ­
циям
...............................................................................................................
5.2 .3 . Усечение бесконечных р я д о в ................................................................
5.3.. Применение спектрального метода для решения уравнения вихря
с к о р о с т и ...................................................................................................................
5.3.1. Решение уравнения вихря скорости спектральным методом
5 .3.2. Метод взаимодействия к о эф ф и ц и ен т о в ..........................................
5 .3.3. Метод спектрально-сеточного преобразован ия............................
5.4. Применение спектрального метода к моделям, основанным на
полных у р а в н е н и я х .............................................................................................
5.4.1. Модель мелкой в о д ы ...............................................................................
„ „ 5 ,4 .2 ., Б.адоцлинная м о д е л ь ...............................................................................
5.5. Псевдоспектральный м е т о д ...............................................................................
5.5 .1 . Баротропная квазисоленоидальная прогностическая модель
для ограниченной т е р р и т о р и и ............................................................
5.5 .2 . Глобальная прогностическая модель на основе уравнений
мелкой в о д ы .................................................................................................
5.6. Решение прогностических уравнений методом конечных эле­
ментов ........................................................................................................................
5 .6.1. Базисные финитные функции. Конечно-элементные аппро­
ксимации
......................................................................................................
5.6.2. Применение метода конечных элем ен тов..........................................
223
Глава 6 . Параметризация атмосферных процессов подсеточного масштаба
6.1. Способы параметризации лучистого теплообм ена................................
6.1.1. П лоскопараллельная модель переноса р ад и ац и и .......................
6.1.2. Параметризация лучистого теплообмена на основе инте­
гральных функций пропускания ........................................................
6.1.3. Параметризация лучистого теплообмена на основе гипотезы
Н ь ю т о н а ..........................................................................................................
6.1.4. Параметризация лучистого теплообмена в модели ЕЦСПП
6.2. Теоретические основы параметризации процесса турбулентного
обмена
..................................... *...............................‘....................................
6.3. Параметризация мелкомасштабной турбулентности...........................
6.4. Параметризация планетарного пограничного с л о я ...........................
6.5. Параметризация вихревой (среднемасштабной) турбулентности
6 . 6 . Параметризация
процесса крупномасштабной конденсации . . .
6.7. Параметризация процесса конвекции методом конвективного
п р и с п о с о б л е н и я ......................................................................................................
6 . 8 . Метод параметризации кучевой конвекции, основанный на гипо­
тезе условной неустойчивости второго р я д а ..........................................
6.9. Параметризация конвекции в скоплениях (ансамблях) кучевых
облаков
....................................................................................................................
265
266
—
Глава 7. П рогноз влажности, облачности и о с а д к о в ..............................................
7.1. П рогноз в л а ж н о с т и .............................................................................................
7 .1 .1 . П рогноз массовой доли водяного п а р а ..........................................
290
—
—
223
228
229
230
233
234
—
236
237
239
—
242
248
250
252
254
255
258
268
269
270
—
272
273
278
280
282
285
287
375
7 .1.2. П рогноз точки росы и дефицита точки р о с ы .................................
294
7.1.3. П рогноз облачности и о с а д к о в ............................................................
297
7.2. Постановка задачи о прогнозе влаги в трех ф а з а х ............................
301
7.2 .1 . Система уравнений м о д ел и .....................................................................
—
7.2 .2 . Модель фазовых переходов в л а г и ................................................... * 302
7.2 .3 . Граничные и начальные у сл о в и я ........................................................
304
7 .2 .4 . Решение урав н ен и й ...................................................................................
306
7.3. Модели прогноза влажности, облачности и о са д к о в .......................
310
7.3 .1 . Модель прогноза влажности и облачности на основе инва­
риантов (по Л . Т. М атвееву).................................................................
—
7 .3 .2 . Модель прогноза облачности и осадков (по В. П. Дымникову)
...............................................................................................................
313
7 .3 .3 . П рогноз влажности, облачности и осадков в оперативной
прогностической модели Гидрометцентра С С С Р .......................
315
7.3 .4 . П рогноз влажности, облачности и осадков в оперативной
прогностической модели Европейского центра среднесрочных
прогнозов погоды ( Е Ц С П П ) .................................................................
317
Глава 8 . Региональные и локальные численные прогнозы погоды ,. .. „ „ .
8.1. Региональные прогностические м о д ел и ........................................................
8.2. Уравнения гидротермодинамики м езопроцессов.....................................
8.3. Постановка задачи о локальном численном прогнозе погоды на
основе уравнений м езом етеорологии............................................................
8.4. Особенности температурных условий большого города на основе
моделирования мезометеорологических п р оцессов.................................
Глава 9. Оперативные прогностические модели атм осф ер ы ...............334
9.1. Применение оперативных прогностических моделей атмосферы
в служ бе погоды ......................................................................................................
9.2. Оперативная прогностическая модель атмосферы Гидрометцентра
С С С Р .............................................................................................................................
9 .2 .1 . Параметризация физических процессов в м о д ел и ...................
9.2 .2 . Региональная прогностическая модель атмосферы...................
9.3. Оперативная прогностическая модель атмосферы Национального
метеорологического центра (НМЦ) С Ш А ....................................................
9 .3 .1 . Конечно-разностная прогностическая м о д е л ь ............................
9 .3 .2 . Спектральная прогностическая м о д е л ь ..........................................
9.4. Оперативная прогностическая модель атмосферы „Европейского
центра среднесрочных прогнозов погоды (ЕЦСПП) и другие
м о д е л и ........................................................................................................................
9 .4 .1 . Уравнение модели Е Ц С П П .................... * ..............................................
9.4 .2 . Турбулентные потоки
впограничном с л о е .................................
9 .4 .3 . Определение температуры и влажности на земной поверх­
ности ...................................................................................................................
9.5. Подготовка начальных данных для численных прогнозов погоды
Список литературы ........................................................................................................................
320
—
323
325
330
—
336
342
346
347
—
354
356
357
359
361
365
369