РЦ 1502 АЛГЕБРА – 7 класс Подборка задач по теме: «Системы линейных уравнений» Содержание 1. Линейное уравнение с двумя переменными. 2. График линейного уравнения с двумя переменными. 3. Графический метод решения систем. 4. Алгебраические методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными. 5. Решение задач с помощью систем линейных уравнений. 6. Системы двух линейных уравнений, содержащих неизвестную под знаком модуля. 7. Системы двух линейных уравнений с тремя и более неизвестными. 8. Системы линейных уравнений, содержащих параметр. Примечание: Некоторые предложенные здесь разделы и задачи можно считать необязательными к освоению в рамках проекта «Математическая вертикаль» и отметить звёздочкой. Мы сознательно не стали этого делать. Право выбора уровня освоения материала остается за педагогами или учащимися, заинтересовавшимися предложенной подборкой. 1 РЦ 1502 1. Линейное уравнение с двумя переменными. 1. Выразите из данного уравнения переменную x через переменную y и найдите какиенибудь два решения этого уравнения: а) 4 x y 7; б) 2 x y 11; в) 5x 3 y 15; г) 3x 2 y 6. 2. Выразите из данного уравнения переменную y через переменную x и найдите какие-нибудь два решения этого уравнения: а) x y 12; б) x 7 y 5; в) 2 x 8 y 16; г) 6 x 5 y 18. 3. Найдите координаты точек пересечения прямой 0,3x 0,2 y 6 с осями координат. 4. Найдите решение уравнения 12 x 17 y 87 , состоящее из двух противоположных чисел. 5. Составьте уравнение с двумя переменными по такому условию: а) длина прямоугольника равна x см, ширина – y см, периметр – 18 см; б) автобус ехал 4 часа со скоростью x км/ч и 3 часа – со скоростью y км/ч, проехав всего 250 километров; в) кусок сплава массой x кг, содержащий 12% меди, и кусок сплава массой y кг, содержащий 20% меди, сплавили вместе и получили новый сплав, содержащий 9 кг меди; г) в одном магазине было x ц яблок, а во втором – y ц; за день в первом магазине продали 14 % яблок, а во втором 18 % яблок, причем во втором магазине продали на 1,2 ц яблок меньше, чем в первом; 6. Среди решений уравнения 3x y 6 найдите такие, что значения переменных x и y: а) равны; б) противоположны. 7. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точки М 6;0 и К 0;6 . 8. При каких значениях a пара a 1;2a 1 является решением уравнения x 2 y 5 ? 9. Решите уравнение: 2 2 2 а) x 1 y 2 0; б) x 2 y x 2 0; в) x 3 y 1 x 3 0; г) x 2 6 x y 2 4 y 13 0; д) 2 x 2 8 x y 2 6 y 17 0; е) 2 y x 2 0. 10. Постройте график линейного уравнения: 2 а) 3x 2 y 6; yx 2; г) x2 б) 3 x 2 y 1 2 2 x y 2 ; в) 5 x y 2 3 2 x 3 y 1 ; 2y x x 1 x 2 2x 3 x 2 д) е) ж) 1; ; . y 1 y 2 y 1 2 y 1 y 1 2 РЦ 1502 2. График линейного уравнения с двумя переменными 1. Принадлежит ли графику уравнения x 5 y 8 точки: а) 2; 2 ; б) 2;2 ; в) 8;0 ; г) 0; 8 . 2. В каких точках график уравнения x 5 y 1 0 пересекает: а) ось абсцисс; б) ось ординат. 3. В каких координатных четвертях проходит график уравнения 2 x 4 y 5 ? 4. График уравнения 4 x 3 y 30 проходит через точку А 6; b . Чему равно значение b ? 5. При каком значении a пара чисел 4;3 является решением уравнения: a) 3x 5 y a ; б) ax 5 y 19 . 6. При каком значении график уравнения 11x 13 y a 6 проходит через начала координат? 7. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения: а) 2 x 3 y 6 ; б) x 2 y 4 ; в) x y 7 ; г) x 2 y 2 9 . 8. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, решение которого является пара чисел: а) x 1, y 2 ; б) x 3, y 5 ; в) x 10, y 0 . 9. Принадлежат ли графику уравнения x 4 y 2 точки, имеющие отрицательную ординату? 10. Найдите все пары x; y целых чисел, являющиеся решениями уравнения x y 2 11. Сколько решений имеет уравнение: 2 2 2 а) x 2 y 2 0 ; б) x 3 y 1 0 ; в) x 2 y 2 y 0 ; г) xy 2 ; д) x 1 y 0 ; е) x 2 y 100 . 12. Постройте график уравнения: а) xy 5 ; б) x 5 x 2 y 0 ; в) x 2 4 y 2 0 ; г) x y 0 ; x y6 x 2y 2 2 д) ж) x 2 y 2 0 ; з) x y 3 0 ; 1; 1; е) x 2y x y и) xy 2 y 0 ; к) x 4 y 4 0 ; л) x 4 y 4 0 . 13. График уравнения проходит через точку А. Постройте это график: а) 2ax 3 y 8 , A 1;2 ; б) a 1 x a 1 y 2 , A 1;1 ; в) a 2 x 2a 1 y 5 , A 2;1 ; г) ax 2ay x 2 y 5a 5 , A 3;1 . 14. При каком значении параметра a график уравнения а) a 2 x 2a 6 y 8 0 параллелен оси x . Построить график. б) 3a 1 x a 1 y 6 0 параллелен оси y . Построить график. в) 2a 6 x a 3 y 4a 12 0 является координатной плоскостью; г) 6 4a x 2a 3 y 3a 0 не существует? 3 РЦ 1502 3. Графический метод решения систем 1. Решите графически систему уравнений: x 2 y 0 2 x 5 y 10 а) ; б) ; 5 x y 18 4 x y 2 x 2 y 1 в) ; y x 2 2. Пара чисел 6;4 является решением системы уравнений: x y 3 г) . x y 1 ax 2 y 26 5 x by 6 а) б) ; . 4 x by 14 ax by 0 Найдите значения a и b . 3. Имеет ли решение система уравнений: 2 x 7 y 6 x 2 y 0,5 x y 4 9 x 9 y 18 а) г) ; б) ; в) ; . 8 x 28 y 24 2 x 4 y 2 3 x 3 y 6 x y 2 4. К уравнению 2 x 3 y 6 подберите второе линейное уравнение так, чтобы получилась система уравнений, которая: а) имеет единственное решение; б) имеет бесконечно много решений; в) не имеет решений. 5. При каких значениях a система уравнений: x 5 y 4 а) - имеет бесконечно много решений; 4 x 20 y a 6 x ay 4 б) - имеет бесконечно много решений; 3x 5 y 2 7 x 12 y 14 в) - не имеет решений; 12 y 7 x a 8 x 9 y 7 г) - имеет бесконечно много решений. 8 x 9 y а x y 5 6. Подберите такие значения a и b , при которых система уравнений 3x my n а) имеет бесконечно много решений; б) не имеет решений; в) имеет единственное решение. 7. В какой координатной четверти пересекаются графики уравнений 3x 4 y 11 и x 2 y 15 ? 8. При каких значениях графики уравнений x y a и 3x y 6 пересекаются: а) на оси абсцисс; б) на оси ординат. 9. При каком значении графики уравнений 2 x y 5 , 3x 2 y 3 , ax y 16 пересекаются в одной точке? 4 РЦ 1502 10. При каких значениях графики уравнений параллельны: а) x y 4 и ax 2 y 6 ; б) 2 x y 3 и ax 2 y 6 ? 11. Напишите уравнение прямой, проходящей через точку A 1;5 и через точку пересечения графиков функций y x и y x 2 . 12. Используя графический способ, найдите число решений системы уравнений: y x 0 y x 1 y x 3 0 y x 2 0 ; ; а) б) в) г) ; . x y 3 x y 5 x 1 y 0 x a y 0 13. Решить графически систему уравнений: x y0 x y 0 x2 y 2 0 7 x 3 y 26 а) б) в) г) ; ; ; ; y 2 x 8 x 2 y 3 x y 4 2 x y 3 y 2x 3 д) ; x 2 y 0 x 2 2 xy y 2 4 е) ; x y 2 5 x 2 y 0 ж) ; y x 1 1 y x 1 0 з) . x y 1 РЦ 1502 4. Алгебраические методы решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными 1-4. Решите систему уравнений способом подстановки: x 2 y 3 1. а) ; 5 x y 4 y 5x 7 д) ; 3x 2 y 5 3x 8 y 5 б) ; y 5x 2 4 x 7 y 5 е) ; 3x 5 y 3 5 x y 3 в) ; 3x 2 y 7 4 x y 3 ж) ; 6 x 5 y 11 5 x y 14 г) ; 3x 2 y 2 6 x 7 y 2 з) . 5 x 6 y 1 x y 15 2 1 2 7 14 3 x y 14 5 3x 4 y 11 б) в) ; ; г) ; x y 3 1 1 x 2y 6 7 x y 14 4 4 3 6 2 x y 6 y 5 x 1 6 5 x y 7 x 4 y 2 ; ; д) ж) ; е) x 1 3 y x 2 3 3 4 3 x 1 6 x 8 y 69 3 y 2 5 x y 34 4 4 x y x y 5x 3 9 y 2 x 3 y 2 x 3 5 y 3x 4 y 3 4 8 6 3 2 2 3 з) ; к) . ; и) x 3 y 2 x 3 y 6 3 x y 12 x y 3 x y 2 x 5 y 5 2 4 3 3 4 3 2 x 5 6 3 2 y 1 4 3 b 6 5 2a 1 5 3. а) б) ; ; 3 y 2 10 3 1 x 8 2 3 b 4 7 7 1 a 10 1 2 x 2 y 5 x 12 y 4 3x 4 y 14 3 5 x 2 y в) г) ; . 2 x 6 y 5 3 x 4 y 1 6 x 4 y 5 3 x 4 y 13 x 4 y x 2 y 0 x y x 2 y 0 ; ; 4. а) б) x 2 y 12 x 2 y 4 2 2 x 2 x 1 9 y x 52 x 2 5 y ; ; в) г) 2 2 2 2 y 2 y 3 5 x y 3 y 3 x x 2 4 xy 4 y 2 7 x 14 y x 2 xy 6 x 6 y 0 д) е) ; . 2 x 5 y 15 5 x 3 y 24 5. Найдите те значения переменных, при которых заданное выражение принимает наименьшее значение. Чему равно это наименьшее значение? 6 2 4 а) 2 x 3 y 5 x 4 y 25 3; б) y 2 8 xy 3x 5 y 46 4 4 x 2 1 . x y 3 2 4 4 2. а) ; y 2 x 3 3 6 РЦ 1502 6. Найдите те значения переменных, при которых заданное выражение принимает наибольшее значение. Чему равно это наибольшее значение? 6 2 4 а) 15 x 2 y 1 3x y 18 ; б) 9 3 x 2 5 x 3 y 12 y 6 x y . 7. Найдите координаты точки пересечения прямых: а) y 10 x 30 и y 12 x 272 ; б) y 18x 25 и y 15x 14 ; в) x 10 y 1 и 2 x 3 y 48 ; г) y 1,4 x и x y 18 . 8. Найдите абсциссу точки пересечения графиков двух линейных уравнений с двумя переменными: а) 4 x 3 y 12 и 3x 4 y 24 ; б) 5 x 2 y 20 и 2 x 5 y 10 ; в) 2 x 3 y 12 и 3x 2 y 6 ; г) 5x 3 y 5 и 2 x 7 y 4 . 9-13. Решите систему уравнений способом сложения: 9. 10. 11. 12. 13. 5 x y 14 а) ; 3x 2 y 2 6 x 4 y 3 д) ; 3x 2 y 4 3x y 8 б) ; x 2 y 2 3x 9 y 3 e) ; 2 x 3 y 5 x 6 y 2 в) ; 2 x 3 y 11 5 x 2 y 1 ж) ; 15 x 3 y 3 x 3 y 5 г) ; 2 x 5 y 7 5 x 9 y 2 з) . 5 x 3 y 14 1 5 1 3 1 5 1 1 1 1 1 1 2 x 3 y 6 4 x 2 y 8 2 x 3 y 6 4 x 2 y 1 2 а) в) г) ; б) ; ; ; 3 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 x y x y x y x y 1 4 2 8 3 6 9 6 5 20 9 4 x 2 y x 5 y 7 x y 2 x y 3 а) б) ; ; x 2 y x 5 y 3 x y x y 2 x y x y x 2y x 5y 1 2 3 4 4 2 в) г) ; ; x 2 y x 5 y 1 x y x y 2 5 2 2 4 2 6 1 7 3 8 1 1 1 2 3 4 x 4 y 1 12 x y 7 x 2 y 1 15 x y 3 а) ; б) ; в) ; г) . 1 1 1 1 1 2 5 1 1 1 6 1 x 4 y 1 12 x y x 2 y 1 x y 6 2 x 3 4 y x 2 x 1 6 а) ; x 4 y 6 x 3 y 7 3 x y x y x x 10 y 5 y 15 б) ; 2 2 2 2 x 1 y 1 x 4 y 2 18 7 РЦ 1502 2 x 12 2 x y 2 x y y 8 y 10 в) ; 4 x x 5 2 x 3 2 x 9 6 y 104 x 2 x 2 2 x 4 x x 4 x 4 20 20 y г) . 3x 2 4 y 5 2 y 6 x 1 58 14. Решите уравнение: 2 2 а) 2 x 3 y 5 x y 2 0 ; в) x y 3 2 x y 0 ; б) 2 x 3 y 1 x y 1 0 ; 2 2 г) 2 x y 3 x y 2 0 ; д) x 2 y 3 x 2 4 xy 4 y 2 0 ; е) x 3 y 6 9 x 6 y 32 0 ; 2 2 ж) 25 x 2 10 y 2 30 xy 8 y 16 0 ; з) 50 x 2 4 y 2 28 xy 16 x 64 0 . 15. Решите систему уравнений: x y 3 x 2 y 7 x y 8 3x 2 y 11 а) 2 б) в) г) ; ; ; . 2 2 2 2 2 2 2 x y 21 x 4 y 77 x y 80 9 x 4 y 77 16. Решите систему уравнений: x y 1 x y 4 x 3 y 11 2x y 5 y 2 3 3 4 4 3 3 6 а) б) г) ; ; в) . ; y x 2 y 3 x y 9 x 1 y x 2 7 2 4 6 6 3 17. Решите систему уравнений: 2 y 3 1 x 4 2x x y x 7 x 2 y 3 1 x y x y 3 x y 2x 5 а) ; б) ; в) ; г) . 4 1 x 3 y 1 1 5 2 x 1 2 x2 x y x x 2 y 3 x y x y 6 x y 18. Решите систему уравнений методом Крамера: 3x 4 y 18 3x 2 y 1 2 x 3 y 2 5 x 2 y 7 а) б) в) г) ; ; ; ; 2 x 5 y 19 6 x 4 y 2 4 x 6 y 3 3 x 4 y 25 2 x y 3x 2 x y ; д) 3 4 5 x 4 y 18 1 2 y x 2y 4 5 ж) 5 ; 2 1 y x 1 x 2y x 2y 7 2y 1 x ; е) 4 2 3 3x 2 y 8 3x 5 y x 2 y 10 . з) 3 6 7 x 10 y 62 8 РЦ 1502 5. Решение задач с помощью систем линейных уравнений 1. Мать старше дочери на 23 года, а вместе им 51 год. Сколько лет дочери? 2. Девять лет назад брат был вдвое старше сестры. Сколько лет брату и сколько сестре, если брат старше сестры на 4 года? 3. Сумма двух чисел 180, частное от деления числа на второе равно 5. Найдите эти числа. 4. Двое рабочих за 5 часов могут сделать 115 деталей. Если первый рабочий будет работать 3 часа, а второй 4 часа, то они сделают вместе 81 деталь. Сколько деталей сделает каждый из них за час? 5. Сумма двух положительных чисел равна 120, причем первое число составляет 40% второго. Найдите эти числа. 6. Разность двух положительных чисел равна 40, причем первое число составляет 25% второго. Найдите эти числа. 7. Моторная лодка за 3 часа движения против течения реки и 2,5 часа по течению проходит 98 км. Найдите собственную скорость лодки и скорость течения, если за 5 часов движения по течению она проходит на 36 км больше, чем за 4 часа против течения реки. 8. Известно, что 4 кг огурцов и 3 кг помидоров стоили 240 р. После того как огурцы подорожали на 50%, а помидоры подешевели на 20%, за 2 кг огурцов и 5 кг помидоров заплатили 250 р. Найдите первоначальную цену 1 кг огурцов и 1 кг помидоров. 9. Вкладчик положил в банк 21000 р. на два разных счета. По первому из них банк выплачивает 4% годовых, а по второму – 6% годовых. Через год вкладчик получил по процентам 1020 р. Сколько рублей он положил на каждый счет? 10. Вкладчик положил в банк 30000 р. на два разных счета. По первому из них банк выплачивает 5% годовых, а по второму – 7% годовых. Через год вкладчик получил по первому вкладу на 60 р. Процентных денег больше, чем по второму вкладу. Сколько рублей он положил на каждый счет? 11. В кассе было 136 монет пятирублевого и двухрублевого достоинства на сумму 428 р. Сколько монет каждого достоинства было в кассе? 12. Разность двух натуральных чисел равна 48. Если первое число разделить на второе, то в частном получится 4, а в остатке 3. Найдите эти числа. 13. Имеется два сорта чая: по цене 480 руб. за 1 кг и по цене 380 руб. за 1 кг. Сколько чая каждого сорта надо взять, чтобы получить 50 кг смеси по цене 420 руб. за 1 кг? 14. В 2 коробки и 7 ящиков вмещается 124 кг груш, а в такие же 4 коробки и 5 ящиков – 104 кг. На сколько вместимость ящика больше вместимости коробки? 15. Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если поменять его цифры местами, то получим число, которое меньше данного на 9. Найдите данное число. 16. Сумма двух чисел равна 24, а разность их квадратов равна 48. Найдите эти числа. 9 РЦ 1502 17. Известно, что 30% числа a на 10 больше 20% числа b , а 30% числа b на 35 больше, чем 20% числа a . Найдите числа a и b . 18. Периметр прямоугольника равен 28 см. Если две противоположные стороны увеличить на 6 см, а две другие уменьшить на 2 см, то его площадь увеличится на 24 см2. Найдите стороны прямоугольника. 19. Если каждую сторону прямоугольника увеличить на 3 см, то его площадь увеличится на 45 см2 . Если две противоположные стороны увеличить на 4 см, а две другие уменьшить на 5 см, то его площадь уменьшится на 17 см2. Найдите стороны данного прямоугольника. 20. Если одну сторону прямоугольника увеличить га 30%, а другую уменьшить на 10%, то периметр увеличится на 12 см. Если же первую сторону уменьшить на 10%, а вторую уменьшить на 20%. То периметр уменьшится на 32 см. Найдите периметр прямоугольника. 21. Имеется два сплава меди и цинка. Один сплав содержит 9%, а другой – 30% цинка. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить сплав массой 300 кг, содержащий 23% цинка? 22. Имеется два водно-солевых раствора. Первый раствор содержит 25%, а второй – 40% соли. Сколько килограммов раствора надо взять, чтобы получить 50 кг раствора, содержащего 34% соли? 23. Имеется 5 кг азотной кислоты одной концентрации и 7 кг раствора этой же кислоты другой концентрации. Если смешать эти растворы, то получится раствор с концентрацией кислоты 35%. Если смешать равные массы с концентрацией кислоты 35%. Если смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 36% кислоты. Какая концентрация кислоты в каждом из двух имеющихся растворов? 24. Из двух сел, расстояние между которыми равно 45 км, одновременно навстречу друг другу отправились велосипедист и пешеход и встретились через 3 ч после начала движения. Если бы велосипедист выехал на 1 ч 15 мин раньше, чем вышел пешеход, то они бы встретились через 2 ч после отправления пешехода. С какой скоростью двигался каждый из них? 25. Из пунктов А и В, расстояние между которыми равно 24 км, одновременно навстречу друг другу вышли два туриста. Через 2 ч после начала движения они еще не встретились, а расстояние между ними составляло 6 км. Еще через 2 ч одному из них оставалось пройти до пункта В на 4 км меньше, чем другому до пункта А. Найдите скорость каждого туриста. 26. Путь от туристической базы до моря пролегал сначала в гору, а затем с горы. От турбазы до моря туристы шли в гору 45 мин и с горы 40 мин, а обратно – в гору 1 ч 15 мин, а с горы 24 мин. Найдите длину участка пути, если путь в одну сторону равен 6,4 км. 10 РЦ 1502 6. Системы двух линейных уравнений с модулями 1. Решите системы уравнений, содержащие неизвестную под знаком модуля: 2 x y 3; 4 x 6 y 2; а) б) x 2 y 1 2 x 3 y 5. 3 y 2 x 1; 2 x 3 y 1; в) г) 3x 2 y 8 4 x 6 y 5 y x 1; x y 3; д) е) x y 1. 3 y x 1 x y 5; x 3 y 2; ж) з) x 4 y 5 3x y 1 y x 2; x 2 y 3; и) к) 3x y 4 x 3y 5 2. Решить систему уравнений: 8 x 2 y 3; x y 2; а) б) 3x 6 y 1 3x y 4 3 x 2 y 1; y 2 x 3; в) г) 2 x y 3 y 3 x 12 3. Решить систему уравнений: 2 x 3 y 5; x y 3; 2 x 3 y 8; x y 3; а) б) в) г) 3 x 2 y 1. x y 1. 2 x y 4. x 2 y 4. 2 x 3 y 1; 6 x 9 y 3; 4 x 6 y 2; x y 2; д) е) ж) з) 3x 2 y 1. 4 x 6 y 2. 2 x 3 y 4 x y 3 4. Решить систему уравнений: x y 5; 2 x 3 y 1; 2 x 3 y 1; x y 2; а) б) в) г) 3x 2 y 4. 3x 2 y 10. 3x 2 y 10. 3x y 1 x 2 y 5 1, x 2 y 2, x 1 y 1 5, д) е) ж) x 1 y 4 x 2 y 2 x 1 4y 4 x 3 y 2 3, x 1 y 4, x y 1 7, з) и) к) y x 3 5 x y 2 3 x 1 y 5 11 РЦ 1502 7. Системы двух линейных уравнений с тремя и более неизвестными 1. Решить системы уравнений способом сложения и способом подстановки: x 2 y 3z 4 3x 10 y 10 z 1 x 3 y z 4 а) 2 x 3 y 4 z 1 ; б) 7 x 4 y 4 z 1 ; в) 2 x 7 y 2 z 10; x y z 5 2 x 3 y 3z 1 3x 2 y 4 z 9 x z 4 x y 2 ; г) y z 5 д) y z 1; x z 3 x 2 y 4 z 17 2. Решить систему уравнений: x 2 y 3z 3 x 2 y 3z 5 а) 2 x 2 y z 1; б) 2 x 3 y 4 z 6; 3x 4 y 5 z 7 5 x 6 y z 1 x 2 y 5 е) y 2 z 12. z 2x 7 x 3y z 2 ; в) 2 x 8 y z 7 x 2 y 2 8 x 2 y 17 x 2 y 2 4 x 4 y 8 x 2 y z 5 ; ; е) . г) д) 2 x 4 y 2 z 6 3 z x 5 y 8 2 x 8 y z 7 3. Найти сумму x0 y0 z0 , если ( x0 ; y0 ; z0 ) – решение системы уравнений: 2 x 3 y 4 z 3 3x 4 y 2 z 8 2 x y 0 ; а) 4 x 2 y 3z 7; б) 2 x 4 y 6 z 7; в) x z 2 2 x 3 y z 6 4 x y z 3 3x 2 y z 10 x y 3 0 2 x y z 2 2 x y z 2 ; г) 2 y z 7 д) x 2 y z 1 ; е) x 2 y z 1; 2 x 3 y 2 z 2 x y 2z 5 x y 2 z 5 y x z 6 12 4 5 4. Дана система уравнений . Найти сумму x y z . z y x 10 3 8 4 x z y 3 4 12 1 5. Дана система уравнений . Найти сумму x y z . y x z 1 5 10 3 6. Решить задачи с помощью трех неизвестных: а) В трех сосудах 48 л воды. Если из первого сосуда перелить во второй 3 л, то воды в этих двух сосудах будет поровну, а если из третьего сосуда перелить во второй 3 л, то в третьем воды окажется в 7 раз меньше, чем во втором. Сколько воды в каждом сосуде? 12 РЦ 1502 б) Периметр треугольника равен 3 дм. Наибольшая из сторон на 4 см больше наименьшей; а удвоенная третья сторона равна сумме двух других сторон. Найдите стороны треугольника. в) На ферме содержатся коровы, овцы, козы. Всего 1328 животных. Коров на 120 меньше, чем овец, и на 100 больше, чем коз. Сколько животных каждого вида на ферме? 7. Решить систему уравнений: x y z 2 x y z 2t 1 y z t 0 x y 2z t 3 ; ; а) б) x y t 1 x 2 y z t 5 x z t 3 2 x y z t 6 13 x 1 y 2 z 1 в) 2 1 1 . 3x 2 y z 3 0 РЦ 1502 8. Системы линейных уравнений, содержащих параметр 1. При каком значении параметра a система уравнений имеет данное решение: 2ax 3 y 10 4 x 7ay 8 7a а) б) 1;2 ; 2; 1 ; 5 x 4 ay 5 a 11 3 ax 5 y 6 a 5 2a 3 x a 1 y 1 в) 1;1 ; 5 ax 4 a 1 y 7 2 a 3x 5 y 2a 17 д) 1; a ; 2 ax 3 y 4 a 2 3a 1 x 2ay a 3 г) 1;1 ; 2 a 1 x a 1 y 2 a 1 2 x 3 y a 10 е) a;2a . 5 x 4 y 20 3 a 2. Известно, что пара 2;1 является решением уравнения ax 5 y 7 . Решите систему уравнений: x y a ax y 4 x ay 2 ax y 3 а) б) в) г) ; ; ; . ax 3 y 6 y ay 2 ax 3 y 4 x ay a 3. При каких значениях a система имеет единственное решение: 3ax 2 y a 3 5ax 3 y 2a 1 а) б) ; ; 6 x 4 y 2 a 1 3x 2 y a 1 ax 2 y 3a 5 в) ; 2 x ay a 3 3x ay 2a 3 д) ; 4 ax 3 y a 4 2a 1 x 3 y 7a 1 г) ; 2 a 2 x 2 y 5 a 3 a 1 x 2a 1 y 7a 1 . е) 2 x 5 y 3 a 2 4. При каких значениях a система не имеет решений: 3ax 2 y a 3 5ax 3 y 2a 1 а) б) ; ; 6 x 4 y 2 a 1 3x 2 y a 1 ax 2 y 3a 5 в) ; 2 x ay a 3 3x 5 y a 2 д) ; 6 ax ay 2 a a 1 x 2a 1 y 7a 1 ; ж) 2 x 5 y 3 a 2 3x ay 2a 3 г) ; 4 ax 3 y a 4 2a 1 x 3 y 7a 1 е) ; 2 a 2 x 2 y 5 a 3 3a 1 x 2 y 4a 1 . з) 2 ax y 3 a 14 РЦ 1502 5. При каких значениях a система имеет множество решений: a 1 x 3 y a 2 3ax 2 y a 2 а) б) ; ; 3 x y a ax 4 y 2 a a 1 x y 2a 3 ax 2 y 5a в) г) . ; 2 x ay a 8 3 x a 1 y a 5 6. При каком значении параметра a удовлетворяет условию? 6 x 7 y 4 a a) x0 y0 10; 2 x y 8a 5 x y 7a 5 в) 2 x 3 y 8a 2 x0 2 y0 0; решение x0 ; y0 системы уравнений 3x 2 y 8a 1 б) x 3 y 5a 2 4 x y 2a 4 г) x 2 y 5a 1 x0 y0 18; 2 x0 y0 . 7. При каких значениях a и b система уравнений удовлетворяет имеет решение 1; 1 ? ax 3 y 5 a) ; 5 x by 3 a 2 x 3 y a ; в) x by 3 x 2 y a б) ; bx 4 y 3 a 2 x 3 y b 2 x 3 y г) . x 2 y 3 15
