5 lb моделирование миронов

Задание 5.1.
Проверка гипотезы о числовом значении математического ожидания при
известной дисперсии
Необходимо
смоделировать
выборку
100
значений
нормально
распределенной случайной величины с указанными параметрами:
ORIGIN 1
  0.2
a  3.2
  5
N  100
X  rnorm( N a )
Гипотезы Н0: a = a0 и Н1: a ≠ a0
Для начала нужно точечно оценить математическое ожидание:
Xmean  mean( X)
Xmean  2.9324
После этого необходимо сформулировать гипотезу H0: среднее значение
a0 = Xmean является оценкой идеального значения a = 3.2 с доверительной
вероятностью 90%.
Далее необходимо найти границы доверительного интервала. qnorm(p,
μ, σ) возвращает кумулятивное распределение вероятности для вероятности p.
Xright  qnorm  1 

Xleft  Xright

2
0 1

Xright  1.28155
Xleft  1.28155
Альтернативная гипотеза гласит, что a0 ≠ Xmean с доверительной
вероятностью 90%.
То есть, если значение критерия согласия ϕ1 ∈ [Xleft; Xright], то
гипотеза H0 верна, а H1 – нет, и наоборот.
Вычисляется значение критерия согласия:
1 
Xmean  a

2
1  0.5352
N
Вывод: так как ϕ1 = -0.5352 входит в отрезок [-1.28155; 1.28155], то гипотеза
H0 подтверждается, H1 – опровергается. График наглядно подтверждает это:
Xleft Xright
0.5
0.4
dnorm( φ1 0 1)
dnorm( Xmean a σ ) 0.3
dnorm( x 0 1)
0.2
dnorm( x a σ )
0.1
0
0
 10
5
0
 10
φ1 Xmean x x
5
10
10
Гипотезы Н0: a = a0 и Н1: a > a0
Здесь аналогично прошлому пункту нужно оценить математическое
ожидание:
  0.2
a  3.2
  5
N  100
  rnorm( N a )
Xmean  mean( )
Xmean  3.4932
Сформулировать гипотезу H0: среднее значение a0 = Xmean является
оценкой идеального значения a = 3.2 с доверительной вероятностью 95%.
Далее необходимо найти правую границу доверительного интервала:
Xright  qnorm( 1  01)
Xright  0.84162
Альтернативная гипотеза H1 гласит, что a0 > Xmean с доверительной
вероятностью 95%.
То есть, если значение критерия согласия ϕ1 располагалось правее
границы Xright, то гипотеза H1 верна, а H0 – нет.
Вычисляется значение критерия согласия:
1 
Xmean  a

1  0.5864
2
N
Вывод: ϕ1 = 0.5864< Xright, следовательно, гипотеза H0 подтверждается, H1 –
опровергается. График наглядно подтверждает это:
Xright
dnorm( 1 0 1)
0.4
dnorm( Xmean a  )0.3
dnorm( x0 1)
0.2
dnorm( xa  )
0.1
0
 10
5
0
5
10
1 Xmean xx
Гипотезы Н0: a = a0 и Н1: a < a0
Сначала необходимо точечно оценить математическое ожидание:
  0.2
a  3.2
  5
N  100
  rnorm( N a )
Xmean  mean( )
Xmean  3.16464
После сформулировать гипотезу H0: среднее значение a0 = Xmean
является оценкой идеального значения a = 3.2 с доверительной вероятностью
95%.
Далее необходимо найти левую границу доверительного интервала:
Xright  qnorm( 1  01)
Xleft  Xright
Xright  0.84162
Xleft  0.84162
Альтернативная гипотеза H1 гласит, что a0 < Xmean с доверительной
вероятностью 95%.
То есть, если значение критерия согласия ϕ1 располагалось левее
границы Xleft то гипотеза H1 верна, а H0 – нет.
Вычисляется значение критерия согласия:
1 
Xmean  a

1  0.07072
2
N
Вывод: ϕ1 = -0.07072> Xleft, следовательно, гипотеза H0 подтверждается, H1 –
опровергается. График наглядно подтверждает это:
Xleft
dnorm( 1 0 1)
0.4
dnorm( Xmean a  )0.3
dnorm( x0 1)
dnorm( xa  )
0.2
0.1
0
 10
5
0
1 Xmean xx
5
10