Д
ДИ
ДИДАКТИЧЕСКАЯ
Д КТ
ДА
КТИЧЕСКАЯ
КТИЧ
ИЧЕС
ИЧ
ЕСКА
ЕС
КАЯ
КА
Я БИ
БИБЛИОТЕКА
БИБЛ
БЛИО
БЛ
ИОТЕ
ИО
ТЕКА
ТЕ
КА
Материалы к началу нового
учебного года: повторение
курса алгебры основной школы
Л. В. Горина, г. Михайловск, Свердловская обл.
В процессе обучения математике важное место занимает организация повторения в начале
учебного года материала, изученного в предыдущих классах. Приобретенные ранее навыки
должны стать прочным фундаментом для успешного познания нового. Повторение пройденного
помогает его систематизировать, обобщить, установить логические связи между отдельными темами, дает возможность углубить и расширить
знания.
Предлагаемые материалы предназначены
для организации повторения учащимися десятых классов курса алгебры основной школы по
следующим темам:
1. Рациональные уравнения.
2. Системы рациональных уравнений.
3. Рациональные неравенства.
4. Системы рациональных неравенств.
5. Степени и корни.
6. Функции и графики.
ТЕМА 1. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Задания для устной работы
1. Решите уравнения:
2
1) 12x − 7 = 5x; 2) x + 3 = 0;
5
3) 8 − 2x = 3 − 5 ( x + 2); 4) 3 ( x + 1) = 5 + 3x;
5) x + 4 = 3x − 2 ( x − 2); 6) 9x2 = 0;
7) 6x = 12; 8) 5x − 9x = 0.
2
2
x2 − 16
= 0;
x−4
5) x4 − 10x2 + 9 = 0; 6) x6 + 5x3 − 24 = 0.
3) (2x − 7 ) (x − 9)x = 0; 4)
6. Один из корней уравнения x2 + bx + 11 = 0 равен –1. Найдите второй корень и число b.
7. Один из корней уравнения t2 − 12t + c = 0 равен 13. Найдите второй корень и число c.
Задания для письменной работы
1. Какие из уравнений равносильны уравнению
−2x = 9 ?
а) x = 4,5; б) 10, 8 = 2, 4x; в) 1,5x + 6,25 = 0.
2. Решите уравнения:
x
3x − 4
1) 1 + = 2x −
;
2
3
5⎞
1
⎛
2) 3 ⎜ 0,75x + ⎟ − 2x = x + 2,5;
⎝
6⎠
4
3)
⎛ 2
⎞
4) 7x (2,5 − x ) ⎜ 1 x + 3⎟ = 0;
⎝ 3
⎠
5) (7x + 1) (2 − x ) = 8;
(
)
7) (3x − 1) − 27 ( x + 1) ( x − x + 1) +
6) ( x + 1) ( x − 1) ( x − 2) − x2 + 7x ( x − 4) − 2 = 2x;
3
2
2. Докажите, что уравнение x + 25 = 0 не имеет
корней.
3. Имеют ли корни уравнения?
1) 36 − x2 = 0; 2) x3 − 4 = 0;
3) x4 + 16 = 0; 4) x4 − 5 = 0;
5) x2 + 5x − 6 = 0; 6) x6 + 1 = 0.
4. Равносильны ли уравнения
x + 1,5 = 0 и x + 1,5 = 0 ?
5. Решите уравнения:
1) x2 + 6x + 9 = 0; 2) (3 − x ) (0, 4x − 8) = 0;
№ 8 (8) август 2011
2
+ 3 (3x − 4) + 13x = 0;
2
10
1⎛1
1⎞
⎜⎝ x − ⎟⎠ (0,75x + 3) = 0;
4 2
4
х2 − 4
x2 − 5x + 4
= 4; 9)
= x + 1;
х −2
x −1
8
1 − 3x
4
+
=
.
10) 2
x − 6x + 8 2 − x x − 4
3. При каких значениях a уравнение
8)
(5 − a) x = a − 5
имеет множество корней?
4. Одно число на 15 % больше другого. Если
к меньшему числу прибавить 16, а из боль-
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
шего вычесть 32, то числа станут равными.
Найдите эти числа.
5. Найдите корни уравнений:
5
1
4
=
+ 3
;
1) 2
x − 2x + 4 x + 2 x + 8
2
2
⎛ x + 6⎞
⎛ 5x ⎞
2) ⎜ 2
=⎜
.
⎝ 4 − x2 ⎟⎠
⎝ x − 4 ⎟⎠
6. Решите уравнения:
1) x3 − 3x2 − 4x + 12 = 0;
2
)
x −1
1
x+2
;
+ 4
= 3
2
x + 3x + x + 3 x − 1 x + 3x2 − x − 3
25
8x + 29
18x + 5
−
=
.
7)
4x2 + 1 16x4 − 1 8x3 + 4x2 + 2x + 1
7. Найдите корни уравнений:
3
(
) (
)
2) (2x + 3x − 1) − 10x − 15x + 9 = 0;
3) ( x + 2x ) + ( x + 1) = 57;
4) ( x − 5x + 7 ) − (x − 3) (x − 2) = 1;
2
1) x2 − 3x − 2 x2 − 3x = 8;
2
2
2
2
2
2
2
2
2
8) x + 4x − 5 = 0; 9) x4 − 5x3 + 10x2 − 10x + 4 = 0;
3
2
в) x3 + 2x2 − 16x − 32 = 0; г) x4 − 11x2 + 18 = 0.
2. Найдите произведение корней уравнения
5) ( x + 1) x2 + 2 + ( x + 2) x2 + 1 = 2;
6)
2
Вариант 1
1. Решите уравнения:
2⎞
2
2x
⎛
+
= 0;
а) (2 + 3x ) ⎜ 4x − ⎟ = 0; б) 2
⎝
7⎠
x − 2x 4 − x2
4) x6 − x4 − 9x2 + 9 = 0;
(
2
Задания для самостоятельной работы
3) 2x4 − 5x3 − 18x2 + 45x = 0;
)
(
)
7) (5x − 7x + 3) (5x + x + 3) = 20x ; (ЕГЭ, 2007)
6) ( x − 3) ( x + 9) x2 − 4x − 12 = 300x2 ;
10) x4 − 27x2 − 14x + 120 = 0.
2) 24x4 + 16x3 − 3x − 2 = 0;
(
5) ( x + 4) ( x − 2) (x + 5) (10 − x ) − 54x2 = 0;
(2007x + 2008x + 1)(x − 2008x + 2007) = 0.
2
2
Вариант 2
1. Решите уравнения:
x
6
x+2
⎛2
⎞
а) (3 − 2x ) ⎜ x − 4⎟ = 0; б)
;
− 2
=
⎝7
⎠
x +1 x −1 1 − x
в) x3 + 3x2 − 8x − 24 = 0; г) x4 − 6x2 + 8 = 0.
2. Найдите произведение корней уравнения
(x − 2006x − 2007)(2007x − 2006x − 1) = 0.
2
2
5) (2x − 1) − (2x − 1) − 12 = 0;
Ответы к заданиям
для самостоятельной работы
21
= x2 − 4x + 6;
x − 4x + 10
3x + 7 5x − 1
7)
+
= 5,2;
5x − 1 3x + 7
Вариант 1
№ задания
1а
1б
1в
–1
–4;
–2;
2 1
− ;
Ответ
4
3 14
4
6)
2
2
x −x
x −x+2
3x
5x
−
= 1; 9)
−
= 2;
2
−1
x
x2 − x + 1 x2 − x − 2
(x − 1)
2
8)
2
2
2
2
1
⎛ 5x + 1 ⎞ ⎛ 2x − 3 ⎞
10) ⎜
+⎜
=9 .
⎟
⎟
⎝ 2x − 3 ⎠ ⎝ 5x + 1 ⎠
9
8. Решите уравнения:
1⎞
1⎞
⎛
⎛
1) 7 ⎜ х + ⎟ − 2 ⎜ х2 + 2 ⎟ = 9;
⎝
⎝
х⎠
х ⎠
4⎞ ⎛
2⎞
⎛
2) ⎜ х2 + 2 ⎟ − ⎜ х − ⎟ − 10 = 0;
⎝
⎠
⎝
х⎠
х
6
5
+ 5х + − 38 = 0;
2
х
х
5
1
4) х2 + 5х + 8 + + 2 = 0;
х х
3) 6х2 +
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
№ задания
Ответ
Вариант 2
1а
1б
1в
1,5; 14 –2
−2 2 ;
–3; 2 2
1г
–3; − 2 ;
2
1
2; 3
1г
–2; − 2 ;
2
1
2; 2
Тестовые задания
2
1. Решите уравнение ( x + 3) = x ( x + 6) .
2
А) 1,5; Б) ; В) корней нет;
3
Г) x — любое число.
2. Укажите значения x, при которых дробь
5x − 10
не имеет смысла.
5 − x2
А) 2; Б) –5; 5; В) 5 ; Г) ± 5.
№ 8 (8) август 2011
11
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
3. Укажите промежуток наименьшей длины,
которому принадлежит корень уравнения
5x + 1
x
+1 = .
4
3
А) [ −5; 0]; Б) [ −2;1] ; В) [ −1; 0] ; Г) [ −3;3] .
4. Найдите сумму корней уравнения
x2 + 2x + 6 = 0 .
А) –2; Б) 6; В) –6; Г) найти невозможно.
5. Если 5x = 0 , то 5 + x = ...
А) 0; Б) 10; В) –5; Г) 5.
x +1
6. Решите уравнение
= 1.
x +1
А) –1; Б) ( −∞; −1) ∪ ( −1; +∞ ) ;
В) x — любое число; Г) корней нет.
x2 + 9
= 0.
7. Решите уравнение
x+3
А) Корней нет; Б) 3; В) –3; Г) 0.
8. Укажите количество корней уравнения
x4 + 5x2 + 4 = 0 .
А) Четыре; Б) два;
В) бесконечное множество; Г) корней нет.
9. Найдите значение a, при котором x = 1 является корнем уравнения x2 − ax = 0 .
А) –1; Б) 2; В) 1; Г) 0.
10. Найдите произведение корней уравнения
x2 + 4x = 0 .
А) 4; Б) –4; В) 0; Г) 16.
5 − 2x
11. Решите уравнение
= 0.
5 − 2x
А) Корней нет; Б) –2,5; В) 2,5; Г) 0.
12. Найдите сумму корней уравнения
x3 + 6x2 − x − 6 = 0 .
А) 1; Б) –6; В) 3; Г) 2.
13. Какие из чисел 2; –2; 0 являются корнями
x2 − 4
уравнения
= 0?
x −2
А) –2 и 2; Б) –2; В) 2; Г) 2 и 0.
14. Решите уравнение x = 3x .
А) 1; Б) корней нет; В) 0; Г) –3.
15. Решите уравнение x2 − 3x + 2 = 0. В ответе
b
укажите значение выражения
+ 1, где b —
m
больший корень уравнения, m — меньший
корень уравнения.
А) 5; Б) 3; В) 1,5; Г) –3.
16. Найдите произведение корней уравнения
8x4 + x3 + 64x + 8 = 0.
А) 4; Б) –4; В) 0,25; Г) 2.
17. Один из корней уравнения x3 − 4x2 − x − a = 0
равен –1. Найдите сумму остальных корней.
А) –6; Б) 3; В) 4; Г) 5.
18. Какие из уравнений являются равносильныx2 − 9
= 0;
ми: а) 2x − 6 = 0 ; б) x2 − 6x + 9 = 0; в)
x+3
x2 − 3x
= 0 ; д) x2 − x − 6 = 0 ?
г)
x +1
А) а, б; Б) а, б, в; В) а, б, в, г, д; Г) б, г.
Ответы к тестовым заданиям
№ задания
Ответ
№ задания
Ответ
12
№ 8 (8) август 2011
1
2
3
4
5
6
7
8
9
В
Г
Б
Г
Г
Б
А
Г
В
10
11
12
13
14
15
16
17
18
В
А
Б
Б
В
Б
В
Г
Б
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Вариант 2
ТЕМА 2. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
1
Задания для блицопроса
Установите соответствие между системой
уравнений (1–4) и ее графическим решением
(А–Д).
Вариант 1
1
⎧x + y = 4,
⎨ 2
2
⎩x + y = 16
А
⎧y − x = 5,
⎨
2
⎩y − x = 0
А
у
5
1
х
0 1
–5
5
у
–5
2
1
⎧x − y = 5,
⎨ 2
2
⎩x + y = 25
Б
у
5
х
0 1
4
х
–5
–4
2
⎧⎪x2 + y = 0,
⎨ 2
2
⎪⎩x + y = 16
Б
у
3
4
1
–4
⎧x2 + y = 5,
⎨
⎩xy = 5
В
–1 0
1
у
5
х
4 х
− 5
0 1
0
5
− 5
–4
3
⎧xy = 4,
⎨ 2
2
⎩x + y = 16
В
4
у
4
1
–4
2
2
⎪⎧x + y = 5,
⎨
2
⎩⎪y + x = 5
Г
5
у
1
4 х
0
0 1
х
1
–4
4
⎧x + y = 4,
⎨ 2
⎩x − y = 4
Г
у 5
Д
у
4
5
1
–4
0
4 х
1
х
− 5
0
5
− 5
–4
Д
у
1
0 1
4
х
–4
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
Задания для устной работы
1. Решите системы уравнений:
⎧x + y = 3,
⎧x + y = 7,
⎧2x + 3y = 13,
2) ⎨
3) ⎨
1) ⎨
x
−
y
=
1
;
2
x
−
y
=
8
;
⎩
⎩
⎩3x + 2y = 12;
⎧x2 − y2 = 40,
⎧2x2 − xy = 6,
⎧5x + y = 8,
4) ⎨
5) ⎨
6) ⎨
⎩5x − 2y = −1;
⎩x + y = 10;
⎩2x − y = 2.
№ 8 (8) август 2011
13
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
2. При каком значении a система уравнений
имеет бесконечное множество решений?
⎧x − 2y = 6,
⎧4x + y = 8,
2) ⎨
1) ⎨
⎩2x − ay = 12;
⎩(a − 2) + 3y = 24.
3. Является ли пара чисел ( −1;2) решением системы уравнений:
⎧x + 2y = 3,
⎧2x − y = −4,
2) ⎨
1) ⎨
⎩3x − 1,5y = −6;
⎩2x + y = 0;
⎧x + 5y = 9,
3) ⎨
⎩ −7x − 3y = 1?
Задания для письменной работы
1. Решите системы уравнений способом подстановки:
⎧ x + 3y + 1 y − 3x + 3
= 2,
−
⎧x − 6y = −2,
⎪
2 ( x − 2)
y
1) ⎨
2) ⎨
⎩2x + 3y = 11;
⎪y − x = 1;
⎩
⎧x − y = 1,
⎧x + y = 3,
3) ⎨ 3
4) ⎨ 2
3
2
⎩x − y = 7;
⎩x + y = 29.
2. Решите системы уравнений способом сложения:
⎧3 4
⎧ 3x y
⎪ x − y = 1,
⎪⎪ 4 + 2 = 2,
⎪
1) ⎨
2) ⎨
+
y
x
y
⎪ −
⎪ 2 + 5 = 4,5;
= −1;
⎪⎩ 5
2
⎩⎪ x y
⎧⎪2x + y2 = 3,
⎧x2 + y2 = 20,
4)
3) ⎨
⎨
4
⎩xy = 8.
⎩⎪3x + y = 4;
3. Решите системы уравнений способом введения новых переменных:
10
⎧ 1
⎧xy = 5,
⎪ x + y − x − y = 1,
⎪
⎪
1) ⎨ x + y x − y 13 2) ⎨
+
=
;
⎪ 1 + 2 = − 3;
⎪x − y x + y 6
⎩
⎪⎩ x + y x − y
5
x
⎧
3
⎧1
+y= ,
⎪3xy − 11 y = 4,
⎪
⎪x
⎪
2
3) ⎨
4) ⎨
1
x
⎪2xy − 3 = 20;
⎪ + y2 = 5 .
⎪⎩ x2
⎪⎩
4
y
4. Решите системы уравнений:
⎧x + y = 3,
⎧x + xy + y = 11,
2) ⎨
1) ⎨ 3
2
⎩x − xy + y = 1;
⎩x + x y = 12;
2
2
⎪⎧x + 2y + 1 = 0,
⎪⎧x − xy = 28,
4) ⎨ 2
3) ⎨ 2
⎪⎩y + 2x + 1 = 0;
⎪⎩y − xy = −12;
3
3
⎧⎪x + y = 35,
⎧x2 + y2 + 4xy = −11,
6)
5) ⎨ 2
⎨
2
⎩x + y − 2xy = 13;
⎩⎪x y + y x = 30;
14
№ 8 (8) август 2011
3
3
2
⎪⎧xy − xy = −18,
⎪⎧x + xy = 10,
7) ⎨ 2
8) ⎨ 3
2
⎪⎩xy − x = 9;
⎪⎩y + x y = 5;
5 7
⎧⎪( x + y )3 ( x − y )2 = 27,
⎪⎧x y = 32,
10) ⎨
9) ⎨ 7 5
3
2
⎪⎩x y = 128;
⎪⎩( x − y ) ( x + y ) = 9.
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Решите системы уравнений:
⎧4х − 3у = −1,
⎧2ху = 5,
1) ⎨
2) ⎨
⎩х − 5у = 4;
⎩2х + у = 6;
3
1
⎧ 2
+
= ,
⎪
⎧х + у = 5,
⎪ 2х − у х − 2у 2
3) ⎨ 3
4) ⎨
3
⎩х + у = 215;
⎪ 2 − 1 = 1.
⎩⎪ 2х − у х − 2у 18
Вариант 2
Решите системы уравнений:
⎧2х − 5у = −7,
⎧ х + у = 5,
1) ⎨
2) ⎨
⎩ху = −14;
⎩х − 3у = −5;
4
13
⎧ 5
+ 2
= ,
2
⎪
⎪⎧х + у = 2,
⎪ х + ху у + ху 6
3) ⎨ 2
4) ⎨
2
8
1
⎩⎪2у + х = 3;
⎪
− 2
= 1.
2
⎩⎪ х + ху у + ху
2
Вариант 3
Решите системы уравнений:
⎧3x − 5y = 16,
⎧x − 2y = 2,
2) ⎨
1) ⎨
⎩2x + y = 2;
⎩2xy = 3;
⎧х + y 3
2
2
= ,
⎪⎧x + y = 10,
⎪
2
3) ⎨ 4
4) ⎨ ху
2 2
⎪⎩x + x y = 90;
⎪ху = 80.
⎩
Вариант 4
Решите системы уравнений:
⎧х − у = 1,
⎧2х + 5у = −7,
2) ⎨ 2
1) ⎨
⎩3х − у = 15;
⎩х + 2у = 33;
4
⎧ 5
+
= 2,
⎪
⎧2х + у = 3,
⎪ х + 3у 3х − 2у
3) ⎨
4)
⎨
4
8
⎩3х + у = 4;
⎪ 15 +
= 5.
⎪⎩ х + 3у 3х − 2у
2
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Ответы к заданиям
для самостоятельной работы
№ задания
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
1
2
3
4
( −1; −1)
(2,5;1) ;
( −1;6) ,
(5;−2)
(0,5;5)
(6;−1)
(4;3)
( −2;7) ,
(1;1) , (1;−1)
(2;1) ,
(7;−2)
( −2; −1)
(2;−2) ( −1; −1,5), (3;1) , (3;−1) , (20;4),
(3;0,5) ( −3;1), ( −3; −1) ( −20; −4)
(4;−3)
(5;4),
(1;1) , (1;−1) ,
(2;1)
⎛ 5 2⎞
( −7; −8)
⎜ 4; 2 ⎟ ,
⎠
⎝
⎛5
2⎞
⎜ 4 ;− 2 ⎟
⎠
⎝
Тестовые задания
1. Найдите значение выражения x2 + y2 , если
А) 4; Б) –2; В) 2; Г) −4.
6. Найдите удвоенный куб наименьшей суммы
x + y, если ( x; y ) — решение системы уравне⎧⎪x2 − xy = 0,
ний ⎨ 3
2
3
⎩⎪x + x y + y = 3.
А) 2; Б) 3; В) 6; Г) 16.
7. Найдите наименьшее произведение xy, если
(x; y) — решение системы уравнений
2
4
⎪⎧x + y = 5,
⎨ 2
⎪⎩xy = 2.
А) –1; Б) –2; В) − 2 ; Г) 0.
8. Найдите произведение x ⋅ y всех решений си⎧x3 + y3 = 35,
стемы уравнений ⎨
⎩x + y = 5.
А) 6; Б) 12; В) 36; Г) 18.
9. Найдите наибольшее произведение xy из решений ( x; y ) системы уравнений
⎧ 2x − y − xy = 14,
⎨
⎩ −x + 2y + xy = −7.
(x; y) — решение системы уравнений
⎧ 2x + 5y = 12,
⎨
⎩3x − 4y = −5.
А) 3; Б) 5; В) 6; Г) 2.
2. Найдите наибольшую сумму x + y , если
(x; y) — решение системы уравнений
⎧xy = −6,
⎨
⎩x − 2y = −7.
А) –2,5; Б) –1; В) 5; Г) 2,5.
3. Укажите количество решений системы урав⎧3x2 + y2 = 19,
нений ⎨
⎩y − 2x = 6.
А) Четыре; Б) одно; В) два; Г) три.
4. Найдите наименьшее число среди всех значений x и y, если ( x; y ) — решение системы
1
1
⎧ 1
−
= ,
⎪
уравнений ⎨ y − 1 y + 1 x
⎪ y 2 − x − 5 = 0.
⎩
А) −4; Б) –3; В) 3; Г) 4.
5. Найдите значение выражения ( x + 1) ( y − 2),
если ( x; y ) — решение системы уравнений
⎧ 2х + y − 3 x − 3y
+
= −1,
⎪⎪
5
2
⎨
⎪ 2х + y − 3 − 3 x − 3y = 3.
⎪⎩
5
2
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
А) –30; Б) 30; В) 0; Г) 7.
10. Найдите количество решений системы урав⎧х2 + у2 + х + у = 18,
нений ⎨ 2
2
⎩ х − у + х − y = 6.
А) одно; Б) два; В) три; Г) четыре.
11. Найдите значение выражения x1x2 + y1y2 , если
(x1; y1 ) и (x2 ; y2 ) — решения системы уравне-
ний
⎧x2 + хy = 15,
⎨ 2
⎩ y + xy = 10,
причем x1 < 0.
А) –23; Б) –31; В) 23; Г) 31.
⎧⎪x3 + y3 = 28,
12. Решите систему уравнений ⎨ 2
2
⎩⎪x y + xy = 12.
А) (3;1) , (1;3) ; Б) ( −3;1), (1;−3);
В) (3;−1), ( −1;3); Г) (3;−1), (1;−3).
13. Решите систему уравнений
1
2
⎧
⎪⎪ х + y − 1 + 3x + 2y − 3 = 2,
⎨
3
4
⎪
+
= 5.
⎩⎪ х + y − 1 3x + 2y − 3
А) (4; 4); Б) (2;2); В) (1; 0); Г) (1;1).
№ 8 (8) август 2011
15
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
14. Найдите сумму x + y всех решений системы
⎧ x + y = 7,
уравнений ⎨ 3 3
⎩x ⋅ y = −8.
А) 6; Б) –6; В) 2; Г) 4.
3
3
15. Найдите значение выражения
x1 − y1
, если
x2 − y2
(x1; y1 ) и (x2 ; y2 ) — решения системы уравне⎧xy − x = 2,
причем x1 > x2 .
ний ⎨ 3
2
⎩xy − xy = 8,
А) 0; Б) 2; В) –1; Г) –3.
16. Укажите количество решений системы урав8 6
⎪⎧x y = 64,
нений ⎨ 6 8
⎪⎩x y = 256.
А) Восемь; Б) два; В) четыре; Г) шесть.
17. Укажите количество решений системы урав⎧ х2 у + х2 − у = 7,
нений ⎨ 4
2 2
⎩х у − у х = 12.
А) Решений нет; Б) четыре;
В) два; Г) восемь.
18. Найдите сумму x + y всех целых решений си⎧⎪x − 3y + 2 = (x + y )2 ,
стемы уравнений ⎨
2
2
⎪⎩(x + y ) + (x − 3y ) = 8.
А) 0; Б) 12; В) 8; Г) –12.
1
2
3
4
5
6
7
8
№
Неравенство
1
x < −1
2
x≥2
3
x≤4
4
x > −4
5
−3 < x < 1
6
0<x≤5
7
1≤ x <7
8
2≤x≤9
Числовой
Изображепромежуток
ние
Задания для устной работы
1. Укажите наибольшее целое число, принадлежащее промежутку:
3⎤
⎛
а) (2;6); б) ⎜ −4;2 ⎥ ;
⎝
4⎦
(
)
в) −∞; 3 ; г) [ −0,76;10,24].
2. Решите неравенства:
1) 3 − 2x > 2x + 7; 2) −5x − 23 ≤ −28;
3 m
1
3) 3n + 4 ≥ 7n + 11; 4) 1 < ≤ 2 ;
4 4
4
5) x > −3; 6) x ≤ 2;
Ответы к тестовым заданиям
№ задания
Ответ
№ задания
Ответ
2. Запишите в виде промежутков и изобразите
на координатной прямой множества чисел,
удовлетворяющих неравенствам:
9
Б
Б
В
Б
Б
В
Б
В
В
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Г
А
А
Г
В
А
В
Б
А
7) x2 > 0; 8) x2 ≤ 0;
9) x2 − 25 < 0; 10) x2 ≥ x.
3. Найдите длину промежутка, являющегося
решением неравенства ( x + 2) ( x − 4) ≤ 0.
4. Какое из неравенств не имеет решений?
А) ( x − 2) > 0; Б) (5 − x ) ≥ 0;
2
2
В) ( x − 3) ≤ 0; Г) −x2 − 1 > 0.
2
ТЕМА 3. РАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Задания для блицопроса
1. Изобразите на координатной прямой промежуток:
№
Задание
1
(3;7)
2
3
4
5
6
16
[ −4;3)
[ −3;3]
( −∞; −2)
[ −2; +∞ )
( −∞; +∞ )
№ 8 (8) август 2011
Ответ
5. Укажите количество целых решений нерах−4
венства
≤ 0.
4х + 2
Задания для письменной работы
1. Решите неравенства и изобразите множества
их решений на координатной прямой:
1) 5 (3x + 2) < 4x − 1; 2) 2 − 5x < 3 − 5(x + 2);
2
x
2x − 5
3) 1 − x < + x; 4)
− x ≤ 1;
3
4
−3
2х + 1
−х − 2 3 − 2х
5)
− х +1≥
−
;
3
6
5
6) ( x + 1) ≥ ( x + 1) ( x − 1) + 2x.
2
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
2. Решите неравенства с использованием графиков соответствующих квадратичных функций:
Ответы к заданиям
для самостоятельной работы
1) 5x2 + 7x ≤ 0; 2) 16 − 24x + 9x2 < 0;
№ задания
Вариант 1
Вариант 2
3) −4x + 4x − 1 ≥ 0; 4) x + 2x + 5 > 0;
1
( −∞; −1] ∪ ⎡⎢ ; +∞⎞⎟⎠
[ −4; −1]
2
2
1
⎣3
5) 2x + x + 3 < 0; 6) ( x − 2) (4 + x ) < 3.
2
2
2
0
3
( −∞; −20) ∪ (3,5; +∞ )
3) −4x2 + 2x + 1 ≤ 0; 4) (5x − 3) 7x − 2 − 6x2 < 0;
2⎞
⎛
⎜⎝ −∞; −1 ⎟⎠ ∪ (5; +∞ )
3
4
5) ( x − 5) (6 − x ) ( x + 2) x ≤ 0;
5
[ −4; −1) ∪ [2;3)
( −3; −1) ∪ (3; +∞ )
( −3; −2] ∪ (1;4]
( −∞; −4) ∪ ( −2;4)
3. Решите неравенства методом интервалов:
1) (7 − 3x ) ( x − 1) ≥ 0; 2) 5 − 2x − 2x > 0;
2
(
2
3
)
4
(
)
6) (4 − x ) (x + 6) (5x − 2) x2 + 2x ≤ 0.
5
4
4. Решите неравенства:
8x2 − 2
(x2 − 9)(1 − x)
2)
≥
0
;
≥ 0;
1)
3x2 + x
x2 + 2x + 1
3)
x2 (6 − x)3 (x + 4)
5x − x2 − 4
4)
≤
0
;
≥ 0;
(x + 7)4
( x 2 − x )2
5)
(x − 2)(x2 + x − 2)2
1
2
3
≥ 0; 6)
+ ≥
;
2
x − 2 x x −1
6−x−x
7)
(x2 − 6x + 9)(3x2 − 2x − 1)
≥
5−x
≥
(x2 − 6x + 9)(2 + 2x − 4x2 )
.
5−x
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
1. Решите неравенство 3x2 + 2x − 1 ≥ 0.
Тестовые задания
1. Найдите наименьшее целое решение нерах х −2
венства −
> 1.
2
6
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
2. Укажите количество целых решений неравенства x2 ≤ 2.
А) Три; Б) два; В) четыре; Г) пять.
3. Решите неравенство x2 − 2x + 1 < 0 .
А) Решений нет; Б) 1; В) ( −∞;1) ; Г) (1; +∞ ).
4. Какие из чисел 0; 3; 4; 5 являются решениями неравенства 6 − 2 ( x − 1) ≥ 0?
А) 0; 3; 4; Б) 3; 4; 5; В) 0; 3; Г) 3; 4.
5. Установите соответствие между промежутком и его изображением на координатной
прямой.
1
венства
x+3
≤ 0.
2x − 5
8
х
8
х
1
8
х
1
8
х
1
2. Укажите наибольшее целое решение нера-
А
(1;8]
Б
[1;8)
В
[1;8]
Г
(1;8)
Д
( −∞;8]
2
3. Решите неравенство (5 + 3x ) (0,4x − 2) > 0.
х2 + 2х − 8
4. Решите неравенство
≥ 0.
2x + 3 − х2
5. Решите неравенство x3 + x2 − 9x − 9 > 0 .
3
4
Вариант 2
1. Решите неравенство −4 − 5x − x2 ≥ 0.
2. Укажите наибольшее целое решение неравенства
3x − 1
≤ 0.
x+4
3. Решите неравенство (7 − 2x ) (0,2x + 4) < 0.
4. Решите неравенство
х2 − 2х − 8
≥ 0.
3 − 2x − х2
5. Решите неравенство x + 2x − 16x − 32 < 0 .
3
2
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
А) 1Г, 2Д, 3В, 4Б; Б) 1В, 2Д, 3А, 4Г;
В) 1В, 2Д, 3Г, 4А; Г) 1Б, 2Д, 3Г, 4В.
6. Укажите количество кратных трем отрицательных решений неравенства −0,5x − 4 < 5.
А) Пять; Б) шесть; В) семь; Г) восемь.
7. Решите неравенство x − 1 ≥ 2.
А) [3; +∞ ); Б) ( −∞; −3] ∪ [3; +∞ );
В) [1; +∞ ); Г) ( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ).
№ 8 (8) август 2011
17
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
8. Найдите среднее арифметическое целых решений неравенства x2 − 7x + 10 < 0.
А) 6; Б) 3,5; В) 7; Г) 2.
х +1
9. Решите неравенство
≥ 0.
5−х
А) [ −1;5]; Б) [ −1;5);
В) ( −∞; −1) ∪ (5; +∞ ); Г) ( −∞; −1] ∪ (5; +∞ ).
1
> 3.
2х
1⎞
⎛ 1⎞
⎛
⎛1
⎞
А) ⎜ 0; ⎟ ; Б) ⎜ −∞; ⎟ ; В) ⎜ ;+∞⎟ ; Г) ( −∞;6).
⎝ 6⎠
⎝
⎝6
⎠
6⎠
11. Укажите количество целых отрицательных
решений неравенства x3 − 3x2 − x + 3 > 0.
А) Таких решений нет; Б) два;
В) три; Г) четыре.
х2 − 6х + 9
≤ 0.
12. Решите неравенство
х −1
А) (1;3); Б) (1;3];
Ответы к тестовым заданиям
№ задания
Ответ
№ задания
Ответ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
В
А
А
А
В
А
Г
Б
Б
10
11
12
13
14
15
16
17
18
А
А
Г
Б
Г
В
В
Г
Б
10. Решите неравенство
В) ( −∞;1) ∪ [3; +∞ ) ; Г) ( −∞;1) ∪ {3}.
13. Решите неравенство
А) [0;3] ; Б) (0;3] ;
ТЕМА 4. СИСТЕМЫ
РАЦИОНАЛЬНЫХ НЕРАВЕНСТВ
Задания для блицопроса
1. Найдите пересечение числовых промежутков:
Вариант 1
№
Задание
1
[ −4;3] и [1;5]
( −∞;8) и (4;+∞ )
( −∞;2) и (3;+∞ )
( −∞; −2) и ( −2; +∞ )
( −∞; −3) и ( −∞;6)
( −∞;1) и [1;+∞ )
( −∞;5] и [ −1;6]
( −∞;4) и ( −∞;0]
[ −3;0) и ( −2; +∞ )
[ −1;3) и [0;+∞ )
2
х2 − 9
≤ 0.
х2 + 3х
3
4
В) ( −∞; −3) ∪ (0;3]; Г) ( −3; 0) ∪ (3; +∞ ).
5
14. Укажите количество целых решений нера(х − 4)(х − 5)2
венства
< 0.
х −7
А) Четыре; Б) два;
В) бесконечное множество; Г) одно.
1
≥ 0.
15. Решите неравенство 2
х − 6х + 9
А) (3;+∞ ); Б) ( −∞;3) ;
6
7
8
9
10
В) ( −∞;3) ∪ (3; +∞ ) ; Г) ( −3;3).
ний неравенств ( x + 3) ( x − 3) ( x − 4) ( x − 5) ≤ 0
Задание
1
[ −5;4] и [2;5]
( −∞;4] и [ −2;7]
( −∞; −3) и ( −3; +∞ )
( −∞;0) и (2;+∞ )
( −∞; −5) и ( −∞;5)
( −∞;1) и ( −∞;2]
( −∞;5) и (1;+∞ )
[ −3;1) и [ −1; +∞ )
[ −3;3) и ( −1; +∞ )
( −∞;2) и [2;+∞ )
2
3
4
6
(х − 6)2 (х − 2) х ≥ 0.
(х + 1)4 (х + 5)
9
7
6
2
А) 2; Б) 0; В) 1; Г) –1.
18
2
№
и x − 6x + 9x − x + 6x − 9 ≤ 0.
А) 3; Б) 4; В) 5; Г) 8.
18. Вычислите сумму наибольшего целого отрицательного и наибольшего целого положительного решений неравенства
8
№ 8 (8) август 2011
Ответ
Изображение
Ответ
Вариант 2
16. Укажите количество целых решений нерах4 + 2х3 − х − 2
венства
≤ 0.
3х2
А) 5; Б) 2; В) 3; Г) 4.
17. Вычислите сумму наибольших целых реше3
Изображение
5
7
8
10
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
2. Установите соответствие между неравенствами (1–4) и их решениями (А–Д).
1
−3 < x ≤ 5
А
⎡1 1⎤
⎢6;3⎥
⎣
⎦
2
1
1
≤x≤
6
3
Б
( −3;5]
3
−3 ≤ x < 5
В
4
3<x≤6
Г
[ −3;5)
(3;6)
(3;6]
5
Д
3. Установите соответствие между системами
неравенств (1–4) и их решениями (А–Д).
1
( −2;0]
⎧x ≤ 2,
⎪
⎨х ≥ −5,
⎪ −1 < x < 8
⎩
А
2
⎧ −2 ≤ x < 2,
⎪
⎨х < 4,
⎪x > 0
⎩
Б
( −1;2]
3
⎧x ≤ 0,
⎪х ≥ 8,
⎪
⎨
⎪x < 4,
⎪⎩x > −2
В
[ −1;0)
⎧x < 0,
⎪
⎪x > −4,
⎪
⎨
⎪ −1 ≤ x < 6,
⎪
⎪⎩x ≥ −2
Г
4
5
Д
Решений нет
(0;2)
Задания для устной работы
1. Какие из чисел –1; 2; 4; 8; 10 удовлетворяют
системе неравенств:
⎧х ≥ 5,
⎧х > 2,
⎧х ≤ 10,
2) ⎨
3) ⎨
1) ⎨
⎩x < 8;
⎩x > 4;
⎩x ≤ 3;
⎧х ≥ 4,
⎧х ≥ 2,
5) ⎨
4) ⎨
⎩x ≤ 1;
⎩x ≤ 2 ?
2. Решите системы неравенств:
1
⎧
⎧x > 3,
⎧x > 1, 4,
⎪x ≤ 2 ,
1) ⎨
2) ⎨
3) ⎨
3
⎩x < 10;
⎩x < 3,2;
⎪⎩x > 2,1;
⎧0,5x ≥ 3,
⎧4 < x ≤ 10,
⎧3x − 9 > 0,
5) ⎨
6) ⎨
4) ⎨
⎩ −x > 7;
⎩x > 6;
⎩ −2x ≤ −4.
3. Решите двойные неравенства:
6−x
1) x < 3 − x ≤ 12; 2) −1 ≤
≤ 2.
3
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
Задания для письменной работы
1. Решите системы неравенств:
⎧
⎪5 ( x − 1) + 2 ≥ 3 − (4 + x ),
⎧ −2х2 + 5х − 3 ≥ 0,
⎪
1) ⎨
2) ⎨x − 30 − 2(x − 5) > 4x + 5,
⎩5x − 6 < 0;
⎪ x + 10
⎪
≥ 0;
⎩ 5
⎧ x2
⎪⎪ x − 1 ≥ 0,
2
3) ⎨ 2
4) ⎧x ≥ 8,
⎪
⎪ x − 3 ≤ 0;
⎪ x + 5 ≤ 0,
⎪⎩ 3x + 5
⎨x − 4
⎪7 − x x + 3
⎪
+
> 4,5;
3
⎩ 2
⎧1
2
⎪x < x ,
⎧3 + 2x < 0,
⎪
⎪ 2
⎪1
⎪x + x
6) ⎨ 2 ≤ x2 ,
≥ 0,
5) ⎨
⎪x
⎪ x +1
⎪1
⎪⎩x2 + 5x + 4 < 0;
⎪ x2 ≥ x;
⎩
⎧x2 − 9x + 14 ≤ 0,
⎪
⎪ x −7
7) ⎨
≥ 0,
2
⎪ (x − 4)
⎪⎩x2 − 4x + 4 > 0;
⎧ ( x − 1)2 − 1 x 2 ( x − 1)2 + 3 x − 1
+ <
+
+ 3,
⎪
⎪
5
2
10
2
8) ⎨
0,5 (x − 1) − 1 2 (x − 1) + 4,5
⎪
.
−
⎪⎩ 1 − x >
3
2
2. Решите двойные неравенства:
1) 1 <
x −1 x − 2
1
1
−
≤ 6; 2) −1,25 < (1 − 3x) ≤ 1 ;
2
3
4
4
3) 1 <
3x − 1
+ x + 2 < 3; 4) 5x − 20 ≤ x2 ≤ 8x.
12
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Решите системы неравенств:
⎧х х
⎧2 − 2 ( х − 4) ≥ 3х − 5,
⎪ − > 2,
1) ⎨
2) ⎨ 4 2
⎩7 − 3х ≤ 0;
⎪х2 + 8x − 9 < 0;
⎩
⎧x −5
2
≤ 0,
⎪⎧x + 2x > 0,
⎪
3) ⎨ 2
4) ⎨ 2 + x
⎪⎩х − 6 < 0;
⎪3х + 4 ≤ x2 .
⎩
№ 8 (8) август 2011
19
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Тестовые задания
1. Решите систему неравенств
Вариант 2
Решите системы неравенств:
х
⎧х
⎧3 − 4 (2 − x ) ≤ 6х − 3,
⎪ +1< ,
1) ⎨
2) ⎨ 5
3
⎩20 − 7х ≥ 0;
⎪х2 − 9x + 8 < 0;
⎩
⎧x +5
≥ 0,
⎧6x − x2 > 0,
⎪
3) ⎨ 2
4) ⎨ 4 − x
⎩ х − 25 ≥ 0;
⎪ −2x2 + 3 < x.
⎩
⎧ 13 3х х − 1 7
⎪⎪ − 4 + 4 ≤ 4 − 8 ,
⎨
⎪2 ≥ х + 3 − 2х .
⎪⎩
4
3
х
⎧х
⎧2x − 4 (х + 8) ≤ 4,
⎪ −1 > ,
1) ⎨
2) ⎨ 4
2
⎩15 − 4х ≥ 0;
⎪х2 + 4x − 12 < 0;
⎩
⎡ 1
⎞
А) ⎢4 ;+∞⎟ ; Б) ( −∞; −2, 4];
⎠
⎣ 4
В) [ −2, 4; 4,25] ; Г) решений нет.
⎧x + 4
2
≥ 0,
⎪⎧x − 4x ≥ 0,
⎪
3) ⎨
4) ⎨ 5 − x
2
⎪⎩9 − х > 0;
⎪ −2х2 + 5 < 3x.
⎩
3. Укажите количество целых решений системы неравенств
⎧3х ≤ 5 − 6х,
⎪
⎨ −3х + 1 ≤ 4х − 1,
⎪7 − 2х > 2х + 9.
⎩
Вариант 4
Решите системы неравенств:
⎧х х
⎧4x − 5 (х − 2) ≤ 2 + x,
⎪ − > −1,
1) ⎨
2) ⎨ 6 2
⎩23 − 5х ≥ 0;
⎪х2 + x − 20 < 0;
⎩
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
5. Вычислите сумму целых решений системы
неравенств
Ответы к заданиям
для самостоятельной работы
1
2
3
4
Вариант 1
⎡ 1 ⎤
⎢2 3 ;3⎥
⎣
⎦
( −9; −8]
( − 6; −2) ∪
∪ (0; 6 )
( −2; −1] ∪
∪ [4;5]
Вариант 2
6⎤
⎡
⎢ −1; 2 7 ⎥
⎣
⎦
(7,5; 8)
[5; 6)
[ −5; − 1,5) ∪
∪ (1; 4)
Вари- ⎡ −18; 3 3 ⎤
4 ⎥⎦
ант 3 ⎢⎣
( −6; −4)
3⎤
⎡
⎢4; 4 5 ⎥
⎣
⎦
( −5;3)
Вариант 4
20
№ 8 (8) август 2011
[ −5; 0)
А) Таких решений нет; Б) одно;
В) два; Г) три.
4. Найдите наименьшее целое решение системы
неравенств
⎧х − 1 < 2х − 2,
⎨ 2
⎩х − 3х + 2 > 0.
⎧1 − 2x
≤ 0,
⎧ x2 − 25 ≤ 0,
⎪
3) ⎨
4) ⎨ 1 + x
2
⎩7x − х < 0;
⎪ −3х2 + 4 ≥ x.
⎩
( −3; 0]
А) Решений нет; Б) 3;
В) ( −∞;3]; Г) [3; +∞ ).
2. Решите систему неравенств
Вариант 3
Решите системы неравенств:
№ задания
⎧2х + 1 ≥ 7,
⎨
⎩3х − 1 ≤ 8.
[ −4; − 2,5) ∪
∪ (1; 5)
⎡ 1
⎞
⎢ −1 3 ; − 1⎟⎠ ∪
⎣
⎡1 ⎤
∪ ⎢ ; 1⎥
⎣2 ⎦
⎧1 − х ≥ 0,
⎪
⎨ х −1 1
⎪⎩ 2 − х + 2 ≥ 0.
А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.
6. Решите систему неравенств
⎧ −7 ≤ 3 − 4x < 3,
⎨
⎩ −4 < 2x + 4 ≤ 15.
А) (0;2,5] ; Б) ( −4;5,5] ;
В) (–4;0); Г) [2,5;5,5].
7. Укажите количество целых решений системы неравенств
⎧12х − 1 < 9,
⎨
⎩ −1 ≤ 1 − х ≤ 4.
А) Пять; Б) четыре; В) три; Г) два.
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
ТЕМА 5. СТЕПЕНИ И КОРНИ
8. Решите неравенство −9 < x2 ≤ 25.
А) ( −3;3) ; Б) [ −5;5];
В) ( −3;3) ∪ [ −5;5] ; Г) (3;5).
9. Найдите сумму целых решений неравенства
5х − 7
x
3x
<4−
+ 2
< 4.
х −5
5 − x x − 25
А) 20; Б) 3; В) –54; Г) 0.
10. Вычислите сумму наибольшего и наименьшего целых решений системы неравенств
Задания для блицопроса
1. Установите соответствие между выражением
(1–4) и его значением (А–Д).
Вариант 1
( 5 + 2 ) ( 5 − 2) − 5
( 5 + 2) − 9
1
2
4 5
Б
6
В
1− 5
Г
2 3
Д
2 15
А
6
2
Б
3 5
54 − 24
В
11
Г
−3 5
Д
6 −1
2
48 − 12
3
⎧ 2х − 14
≤ 1,
⎪ 2
⎨ х − х − 12
⎪⎩ −3,5 ≤ х ≤ 5,5.
А
5+ 3
4
5− 3
А) 4,5; Б) 2; В) 6; Г) 4.
11. Укажите количество целых решений двойного неравенства 0,3 < 0,5 + 0,1x < 0,6 , принадлежащих промежутку [ −5; −1] .
А) Шесть; Б) пять; В) четыре; Г) одно.
12. Укажите количество целых решений неравенства
х2 − 2х + 1
≥ −1 ,
(х − 1) (х − 3)
y = 16 − x2 .
А) Пять; Б) четыре; В) два; Г) шесть.
14. Если к некоторому двузначному числу прибавить его половину, то в результате получится число, большее 128, но меньшее 130.
Найдите это двузначное число.
А) 68; Б) 85; В) 86; Г) 24.
15. Вычислите произведение целых решений системы неравенств
⎧⎪(3 − 10 )(2х − 7) ≥ 0;
⎨
⎩⎪ 1 − 2 > 2х − 2 2х.
5− 3
5+ 3
Вариант 2
( 2 − 3 )( 2 + 3 ) + 6
( 2 + 3) − 6 2
1
2
3
5 −3
4
5 +3
принадлежащих отрезку [0; 4].
А) Одно; Б) три; В) пять; Г) семь.
13. Укажите количество целых решений неравенства
х х
− < 2x + 1
2 3
из области определения функции
−
−
5 +3
5 −3
Задания для устной работы
1. Найдите значение выражения:
1) 53 ⋅ 56 ⋅ 55 ; 2)
2⋅ 6
4)
3
10 ⋅105
; 3)
108
2
14
;
25
0
0
⎛ 2⎞
; 5) 30 + ( −1,7 ) + ⎜ ⎟ + 0,75 + 4−1 ;
⎝ 5⎠
6) 3 8 ⋅125; 7) 4
16
; 8)
81
( 3) + ( 5) .
2
3
3
2. Упростите выражение:
( )
3
1) a2 ⋅ a6 ⋅ a; 2) b5 ⋅ b2 ; 3) m5 ⋅ n5 ;
(
)
2
(
)
( )
10
2
4) −2ab3 ; 5) − 3x3 y2 ; 6) 5x4 y ⋅ 3xy4 z;
⎛ b4 2 ⋅ b ⎞
a3 ⋅ a6
⎟ .
7)
; 8) ⎜
9
a10
⎜⎝ b
⎟⎠
А) 4; Б) 6; В) 0; Г) 24.
3. Вычислите:
Ответы к тестовым заданиям
5
№ задания
1
2
3
4
5
6
7
8
Б
Ответ
Б
В
А
В
А
А
Б
№ задания
9
10
11
12
13
14
15
Ответ
Б
В
Г
Б
А
В
Б
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
1
1
−
⎛ 1⎞
1) 34 ; 2) 6−2 ; 3) ⎜ ⎟ ; 4) 16 4 ; 5) 4 2 ;
⎝ 2⎠
−3
−
1
1
⎛ 3⎞
⎛ 1⎞ 3
6) ⎜ ⎟ ; 7) 8 3 ; 8) ⎜ ⎟ .
⎝ 2⎠
⎝ 8⎠
№ 8 (8) август 2011
21
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Задания для письменной работы
1. Найдите значение выражения:
( )
( )
−3
4. Найдите значение выражения
4−2
−2
125
; 2)
; 3) 3 ⋅ 2−3 ;
1) 10
2
2 ⋅ 81
25
4)
2−2 + 20
−2
⎛ 2⎞
(0,5) − 5 ⋅ ( −2) + ⎜ ⎟
⎝ 3⎠
−2
5)
(
)
( 6 ⋅ 3)
Задания для самостоятельной работы
3
2
3
8) 1000,5 + 27 + 16
3
−
4
1
1
52 ⋅ 812
84
9
1
2
5 ⋅9
( −3)2 ;
3
2−2 ⋅ 53 ⋅10−4
;
2−3 ⋅ 52 ⋅10−5
⎛ 9−10 ⋅ 316 ⎞
12)
;
1
⎜⎝ 272 ⎟⎠
6
1
2
−2
1
2
2
5
17) 5
2
−64
⎛ 1⎞
18) ⎜ ⎟
⎝ 16 ⎠
4
3
36
3
3. Вычислите: 16 4 − 10.
(
1
4
1
15)
(2 6 ) .
2. Вычислите:
4. Вычислите: 25−1
;
13) 7 2 ⋅ 8 9 ⋅ 7 64 : 4 3; 14) 6 ⋅ 3 ⋅(0,25) ;
1
⎛ 23 ⎞ 2
6
⋅
72
36
⎜⎝
⎟⎠
пени с основанием 3.
2
+ 81− 0,25 ;
9) 1,53 ⋅ 2,25−1,5 ⋅ 0,75−1 ; 10)
1
3
3− 10 ⋅ 32
в виде сте3− 15
1. Представьте выражение
4
⋅
Вариант 1
1
;
64
7) 4 16 + 3 1000 + 4 ( −5) + 3 ( −6) +
11)
если x = 16.
;
; 6) 3 64 −
2
3
х
:
х2
−2
(3 2 )4 − (6 5 )2
х + 65
х
,
х
4
; 16) 4 12 + 63 ⋅ 4 12 − 63 ;
1
5
1
2
) − 32 .
−
⎛ 1⎞
6. Вычислите: ⎜ − ⎟
⎝ 2⎠
−3
−
2
+ 125 3 − 810,75.
7. Упростите выражение
b ⋅ 6 b4 ⋅ b
4
+ 3 ⋅ 3 −3 ⋅ 27 ⋅ 3 9;
1
− 0,75
+ 810000
0,25
19 ⎞ 5
⎛
+ ⎜7 + ⎟ ;
⎝
32 ⎠
(2 ⋅ (−3) ) ⋅ (−3) ;
19)
4 ⋅ ( −3) ⋅ (( −3) ) − 1
−2 −1
−2
−
20) ( − 0,5)
−4
− 625
0,25
3
1⎞ 2
⎛
− ⎜ 2 + ⎟ + 19 ⋅ ( −3) − 3 .
⎝
4⎠
2. Упростите выражение:
b3
.
Вариант 2
1. Представьте выражение
−2
−1
−1
2− 12 ⋅16− 5
.
8− 10
5. Найдите значение выражения
210
в виде сте2 ⋅ 2− 8
−4
пени с основанием 2.
20
2. Вычислите:
.
2
4 5
( )
2
3. Вычислите: 8 3 − 3 .
1
(
1
2
) .
−
1)
5 + 24 ; 2)
28 − 300 ;
4. Вычислите: 16 4 − 64− 1
3)
12 − 6 3 ; 4)
7 − 4 3 + 7 + 4 3.
5. Найдите значение выражения
3. Упростите выражение:
5− 9 ⋅ 25− 2
.
125− 4
−3
1)
у⋅ у⋅ у
10
3
6
5
у
2
а⋅ а ⋅ а
5
; 2)
2
4
4
а
4
− 0,8
2
3) 2 ⋅ х ⋅ х − − 1 + 4 ⋅ х 5
.
х
3
22
2
3
№ 8 (8) август 2011
−3
;
2
−
⎛ 1⎞
6. Вычислите: 320,6 + 27 3 + ⎜ − ⎟ .
⎝ 3⎠
7. Упростите выражение
x ⋅ 6 x5 ⋅ 3 x
9
x2
.
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Ответы к заданиям
для самостоятельной работы
№ задания
Вариант 1
Вариант 2
12. Найдите значение выражения A 2 , если
1
1
1
2
3
4
5
6
7
7
2
3
1
4
–2
3
0,25
−34
24
25
8
−18
9
b
А) 1; Б) 100; В) 400; Г) 20 5 .
3
222
1
–6
0,2
5
45 − 12 + 75.
2
14
; В) 4 ; Г) 2.
3
15
А) –1; Б)
1
1
А) 19; Б) 3 ; В) 24; Г) 3.
4
2. Вычислите: 5 ⋅ 20 − 64 ⋅ 81.
А) 62; Б) 82; В) –62; Г) 40.
3. Найдите значение выражения
32
2
+
49
.
100
А) 4,7; Б) 11; В) 47; Г) 40.
32 ⋅ 2
в виде степе4. Представьте выражение
84
ни с основанием 2.
А) 217,5; Б) 2−6,5 ; В) 2−5; Г) 26,5 .
( 4− 7 − 4+ 7) .
2
1
А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 5.
( х у ) , y > 0.
16. Упростите выражение
4
х 16 у8
−2
.
100
81
; Б) 82; В)
; Г) 10.
81
100
18. Вычислите: 5 23 ⋅ 72 ⋅ 5 212 ⋅ 73 .
А) 14; Б) 28; В) 56; Г) 9.
19. Вычислите:
8. Вычислите: 0,25−0,5.
−
1
2
3
−1
−
⎛ 1⎞ 3
0 2
−4
3
2
⎜⎝ ⎟⎠ − 8 + (12 ) ⋅ 7 + 32 ⋅ 2 ⋅16 .
27
1
; В) 4; Г) 0,05.
5
А) 8; Б) –9; В) 10; Г) 22.
3−2 ⋅143 ⋅ 7 −4
.
9. Вычислите: −3
3 ⋅142 ⋅ 7 −3
А) 42; Б) 6; В) 9; Г) 21.
)(
5
4
А) x; Б) y3 ; В) xy3 ; Г) xy −1 .
17. Найдите значение выражения
А)
А) 1,6xy; Б) 0,1xy; В) xy; Г) x −5 y −5 .
45 − 20
2
5
6. Вычислите:
1
7. Упростите выражение 0, 4x −2 y3 ⋅ x3 y −2 .
4
7
+ .
2
5
3
2 ⋅ 3
⎛ ⎛ − 1 ⎞ 8 ⎛ 3⎞ 0 ⎞
⎜ ⎜3 4 ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟
⎜⎝ ⎝
⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎟⎠
4 ⋅ 332 + 9 ⋅ 330
.
916
А) 0; Б) 1; В) 5; Г) 10.
27 2 ⋅ 3 4
15. Найдите значение выражения
А) 8; Б) –2; В) −2 7 ; Г) 2.
(
−1
−1 −1
−1 −1
3
3 3
− ⎞4
⎛ 1
⎞
⎛ 3
1⎞ 4
1⎞ 2
⎛
⎛
5
2
14. Вычислите: ⎜ 27 ⋅ ⎜ ⎟ ⎟ + ⎜ 32 + ⎜ ⎟ ⎟ .
⎝ 9⎠ ⎟
⎝ 4⎠ ⎟
⎜⎝
⎜⎝
⎠
⎠
А) 6 3 ; Б) 6 2 ; В) 0; Г) 3 5 + 3 3 .
10. Вычислите:
) ) + (1 + (1 + 2 ) ) .
4
1. Упростите выражение
5. Вычислите:
( (
13. Вычислите: 1 + 1 − 2−1
х3
Тестовые задания
А) 2; Б)
1
A = 10 4 ⋅ 40 4 ⋅ 52.
20. Найдите значение выражения
)
12 + 75 ⋅ 7 3
5 + 180
A3 + 1
, если
3
A = 4 3 84 .
.
А) 8; Б) 2; В) 9; Г) 3.
Ответы к тестовым заданиям
А) 21; Б) 7 3 ; В) 3 7 ; Г) 63.
8
1
−0,5
⎛
⎞
1⎞ 2
⎛
⎛ 1⎞
11. Вычислите: ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ + 7 −1 ⋅ ⎜ ⎟ .
⎝ 49 ⎠
⎜⎝ ⎝ 3 ⎠ ⎟⎠
А) 10; Б) 82; В) 1
1
1
; Г)
.
81
81
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
№ задания
Ответ
№ задания
Ответ
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Г
В
А
Б
Г
В
Б
А
Б
А
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
В
Б
Б
Г
Г
Б
В
В
В
Г
№ 8 (8) август 2011
23
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
ТЕМА 6. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ
Задания для блицопроса
1. Установите соответствие между линейной функцией (1–5), ее графиком (А–Д) и свойством (I, II).
Вариант 1
y = −x
1
Вариант 2
А
y=x
1
у
А
у
1
0
y = x −3
2
Б
1
1
0
y =2−x
В
y =3−x
2
у
1
3
0
х
Б
1
0
y = x −2
3
у
В
y = −2x + 1
Г
1
1
0
х
4
у
1
y = − x +1
2
Г
5
y=
1
x −1
2
Д
1
0
х
y = 2x − 1
5
Д
1
х
1
х
у
1
1
24
х
1
у
0
1
у
1
0
х
1
у
1
4
х
у
х
1
0
1
1
0
х
I
Функция возрастает на множестве действительных чисел
I
Функция возрастает на множестве действительных чисел
II
Функция убывает на множестве действительных чисел
II
Функция убывает на множестве действительных чисел
№ 8 (8) август 2011
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
2. Установите соответствие между квадратичной функцией (1–6) и ее графиком (А–Е).
Вариант 1
1
Вариант 2
А
y = x2 − 2
1
у
А
y = x2 + 2
у
1
0
2
y = ( x − 2)
2
Б
1
1
0 1
х
2
у
y = ( x + 2)
2
Б
у
1
0
3
y = ( x + 2) − 2
2
В
х
1
1
х
0
3
у
y = − ( x − 2) − 2
2
В
1
х
1
х
1
х
1
х
1
х
у
1
0
1
х
1
0
4
y = ( x − 2) + 2
2
Г
4
у
y = − ( x + 2) + 2
2
Г
5
y = − ( x + 2)
2
Д
1
х
5
у
y = − ( x − 2)
2
Д
6
y = 2 − x2
Е
у
1
0
1
0
1
0
1
0
у
1
х
6
у
y = −2 − x2
Е
у
1
0
1
0
1
х
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
№ 8 (8) август 2011
25
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
3. Установите соответствие между функцией (1–5), ее графиком (А–Д) и свойством (I–III).
Вариант 1
1
y = x3
Вариант 2
А
1
у
y = x4
А
у
1
0
2
y=−
1
x
Б
1
1
0
х
2
у
y= 3x
Б
3
y= x
В
х
0
3
у
y=− x
В
y=
1
x2
Г
х
0
4
у
y=
1
x
Г
y = −3 x
Д
1
0
х
5
y = − x3
Д
х
1
х
у
1
1
26
1
1
у
0
х
у
1
5
1
1
1
0
х
у
1
4
1
1
1
0
х
у
1
0
1
1
0
х
I
Функция четная
I
Функция четная
II
Функция нечетная
II
Функция нечетная
III
Функция ни четная, ни нечетная
III
Функция ни четная, ни нечетная
№ 8 (8) август 2011
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
Задания для устной работы
1. Найдите значение функции в точке x0 :
1
1) y = 2x + 3, x0 = 0, 4 ; 2) y = x − 4, x0 = −15 ;
3
1
3) y = x2 + 7 , x0 = −3; 4) y = x2 − 3x + 1, x0 = 6;
3
5
1
5) y = − , x0 = ; 6) y = −5 + 0,25x3 , x0 = 4.
x
5
2. Найдите область определения функции:
x −1
1) y = 2
; 2) y = 2x − 3 ;
x + 3x
7
3) f ( x ) = −x2 ; 4) f ( x ) =
.
14 − 2x
3. Найдите область значений функции:
1) y = −x4 + 2; 2) y = 5 − 3x2 ;
3) f ( x ) = x −1; 4) f ( x ) = x2 − 10x + 25.
4. Какие из заданных функций являются четными? 1) y = 4 − x2 ; 2) y = x − 5; 3) y = x + 1;
2
2
2
4) y = (4 − x ) ; 5) y = ; 6) y = ( x + 1) + 1.
x
5. Найдите координаты точки пересечения графика функции y = −4x − 10 с осью абсцисс.
6. Найдите координаты точки пересечения графика функции y = −x2 + 5x − 7 с осью ординат.
7. Какая из функций является возрастающей
на множестве действительных чисел?
1) y = x6 ; 2) y = 3 − 7x ; 3) y = x3 − 2;
3
4) y = ; 5) y = x ; 6) y = x .
x
8. Укажите координаты вершины параболы:
2
1⎞
2
⎛
1) y = x2 − 2; 2) y = ( x − 1) − 3 ; 3) y = ⎜ x + ⎟ ;
⎝
6⎠
4) y = x + 2x + 1.
2
Задания для письменной работы
1. Постройте графики функций:
1) y = −x2 + 5x + 6; 2) y = − 3 x − 2 ;
2. Решите графически уравнения:
1
1) x − 6 = − x ; 2) x2 − 2x + = 0 ;
x
9 − x2
+ x2 + 6x + 9 = 0; 4) x + x2 − 2 = 0.
3)
x+3
3. Решите графически системы уравнений:
⎧х = у + 6,
⎧⎪у = х ,
⎪
1) ⎨
2)
⎨
4х2 − х4
2
.
⎪у = 2
⎩⎪у + х = 2;
х −4
⎩
Задания для самостоятельной работы
Вариант 1
Постройте графики функций:
2
1) y = 1 − x2 ; 2) y = ; 3) y = 3 x ;
x
⎧2х − 1, если х < 0,
1− х
⎪
; 5) у = ⎨ −1, если 0 ≤ х ≤ 3,
4) у = 2
х + 2х − 3
⎪2 − х, если х > 3.
⎩
Вариант 2
Постройте графики функций:
8
1
1) y = x2 − 4; 2) y = − ; 3) y = 2 ;
x
x
⎧х2 , если х < 1,
х4 − 4х2
⎪
4) у =
; 5) у = ⎨1, если 1 ≤ х ≤ 4,
2
4−х
⎪5 − x, если х > 4.
⎩
Тестовые задания
1. Укажите точку, принадлежащую графику
функции y = 8x2 + 2 .
А) (2;42); Б) ( −1; −6) ; В) (1;66); Г) ( −2;34).
2. Найдите координаты вершины параболы
y = x2 + 4x .
А) ( −2; −4); Б) (2;4); В) ( −2; 4); Г) (4;2).
3. Функция задана формулой f ( x ) = 3x + 5. Найдите f ( −4).
x2 + 4x − 5
1− x
; 4) y = − 2
;
2x + 10
x − x3
⎧ −x3 , если x ≤ 1,
5) y = x + 4 − 1; 6) y = ⎨
⎩x − 2, если x > 1;
А) 7; Б) –7; В) 17; Г) –17.
4. Найдите значения x, при которых значение
⎧
⎪x2 , если x ≤ 1,
⎪
7) y = ⎨2 − x, если 1< x < 3,
⎪ 3
⎪ − , если x ≥ 3.
⎩ x
6
5. Найдите область значений функции y = − .
x
А) ( −∞; 0) ∪ (0; +∞ ); Б) ( −∞;6) ∪ (6; +∞ ) ;
3) y =
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ГРУППА «ОСНОВА»
функции y = x2 − 4x + 5 равно 5.
А) 0; 4; Б) 0; –4; В) –5; 5; Г) –4; 5.
В) ( −∞; −6) ∪ ( −6; +∞ ) ; Г) ( −∞; +∞ ) .
№ 8 (8) август 2011
27
ДИДАКТИЧЕСКАЯ БИБЛИОТЕКА
6. Укажите рисунки, на которых изображены
графики четных функций.
1)
2)
3)
4)
у
у
1
0
0
1
х
у
1
у
1
1
х
0
1
1
0
х
1
А) 1; 3; Б) 2; 4; В) 1; 4; Г) 1; 3; 4.
7. На рисунке изображен
у
график функции f (x),
которая определена
1
при x ∈[ −6; 4]. Найди-
х
х
Б) ( −∞;2) ∪ (2; +∞ ) ; В) [ −4; 0]; Г) ( −∞;2].
у
1
х
0 1
В) ( −2; +∞ ) ; Г) ( −∞;2].
А) [0;+∞ ) ; Б) ( −∞;1) ;
15. Укажите значения a и b, при которых графики
функций y = 4x + 5 и y = ax + b параллельны.
1
А) a = 5, b = 4; Б) a = , b = −5;
4
В) a = 1, b = 6; Г) a = 4, b = 6.
16. Какая из функций является возрастающей
на ее области определения?
А) y = x2 + 1; Б) y = − x + 1 ;
у
№ задания
1
Ответ
Г
А
Б
А
А
Б
Г
В
1
№ задания
9
10
11
12
13
14
15
16
Ответ
А
Б
Г
Б
В
Б
Г
Г
х
0 1
А) ( −∞; +∞ ) ; Б) [ −1,5; +∞ ); В) [0;+∞ ) ; Г) (1,5; +∞) .
№ 8 (8) август 2011
х
0 1
Ответы к тестовым заданиям
лите наименьшее значение функции.
А) –2,5; Б) 2; В) 0; Г) –3.
10. Укажите количество точек пересечения графиков функций y = x3 и y = x .
А) Одна; Б) две; В) три; Г) четыре.
11. Найдите область определения функции
1
y=
.
2x − 3
28
1
В) y = 3 − 2x ; Г) y = 3x3.
А) [2;+∞ ) ; Б) [ −2; +∞ ) ;
12. На рисунке изображен
график функции
y = ax + b.
Определите знаки коэффициентов a и b.
А) a > 0, b < 0;
Б) a < 0, b > 0;
В) a < 0, b < 0;
Г) a > 0, b > 0.
А) f ( x ) = −5x + 2; Б) f ( x ) = 2x − 5;
2
В) f ( x ) = 2x2 − 3x + 3 ; Г) f ( x ) = + 3.
x
14. На рисунке изображеу
ны графики функций
y = f ( x ) и y = g ( x ).
В) (1;+∞ ) ; Г) [1;+∞ ) .
те область значений
данной функции.
А) ( −∞; +∞ ) ;
9. На рисунке изображен
график функции f (x).
которая определена
при x ∈[ −4;5]. Опреде-
ку (2;5). Укажите функцию f ( x ).
Используя рисунок,
решите неравенство
x3 < −x + 2.
0 1
8. На рисунке изображен
график функции f (x).
Определите, при каких значениях аргумента f (x) > 0.
13. График функции y = f (x) проходит через точ-
у
1
0 1
х
2
3
4
5
6
7
8
Литература
1. Алгебра : учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров
и др. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2000.
2. Алгебра : учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров
и др. — 8-е изд. — М. : Просвещение, 2001.
3. Алгебра : учеб. для 9 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров
и др. — 10-е изд. — М. : Просвещение, 2004.
4. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений / Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин, Ю. В. Сидоров и др. — 8-е изд., перераб. — М. :
Просвещение, 2000.
5. Галицкий М. Л. и др. Сборник задач по алгебре
для 8–9 классов : учеб. пособие для учащихся шк.
и классов с углубл. изуч. курса математики / М. :
Просвещение, 1992. — 271 с.
6. Едуш О. Ю. ЕГЭ по математике: учебно-тренировочные тесты и другие материалы для 9 класса. — М. : АСТ: ХРАНИТЕЛЬ, СПб. : Астрель-СПб,
2008. — 234 с.
7. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по алгебре за курс основной школы. 9 класс /
Л. В. Кузнецова, Е. А. Бунимович, Б. П. Пигарев,
С. Б. Суворова. — 7-е изд., стереотип. — М. : Дрофа,
2002. — 192 с. : ил.
МАТЕМАТИКА. ВСЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ!
