Механика Кинематика Динамика Законы сохранения. Демков В.П., Суров О.И.

ÌÈÍÈÑÒÅÐÑÒÂÎ ÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß È ÍÀÓÊÈ
ÐÎÑÑÈÉÑÊÎÉ ÔÅÄÅÐÀÖÈÈ
____________________
ÌÎÑÊÎÂÑÊÈÉ ÀÂÈÀÖÈÎÍÍÛÉ ÈÍÑÒÈÒÓÒ
(íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò)
____________________________________________________________________
Â. Ï. ÄÅÌÊÎÂ, Î. È. ÑÓÐÎÂ
ÔÈÇÈÊÀ
ÌÅÕÀÍÈÊÀ
Êèíåìàòèêà
Äèíàìèêà
Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
Ó÷åáíîå ïî ñîáèå
Óòâåðæäåíî
íà çàñåäàíèè ðåäñîâåòà
14 ìàðòà 2016 ã.
Ìîñêâà
Èçäàòåëüñòâî ÌÀÈ
2017
Äåìêîâ Â. Ï., Ñóðîâ Î. È. Ôèçèêà. Ìåõàíèêà. Êèíåìàòèêà.
Äèíàìèêà. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ: Ó÷åáíîå ïî ñîáèå. - Ì.: Èçä-âî
ÌÀÈ, 2017. - 136 ñ.: èë.
Ïîñîáèå ÿâëÿåòñÿ ïåðâîé ÷àñòüþ ðàçäåëà «Ìåõàíèêà» êóðñà
îáùåé ôèçèêè äëÿ èíæåíåðíî-òåõíè÷åñêèõ ñïåöèàëüíîñòåé âóçîâ. Ñîäåðæàíèå è ðàñïîëîæåíèå ìàòåðèàëà ïî ñîáèÿ ñîîòâåòñòâóåò êóðñó ëåêöèé, ÷èòàåìûõ ñòóäåíòàì ÌÀÈ.
 ïåðâóþ ÷àñòü ïî ñîáèÿ âêëþ÷åíû ÷åòûðå èç âîñüìè òåì êóðñà ìåõàíèêè. Êàæäàÿ òåìà ñîäåðæèò òåîðåòè÷åñêóþ ÷àñòü, çàäà÷è
ñ ïîäðîáíûìè ðåøåíèÿìè è òåñòû. Çàäà÷è ñâÿçàíû ñ îñíîâíûì
òåêñòîì è ÷àñòî ÿâëÿþòñÿ åãî ðàçâèòèåì è äîïîëíåíèåì. Çàäà÷è,
ïðåäëàãàåìûå äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ, è òåñòû ñíàáæåíû
îòâåòàìè.
Äëÿ ñòóäåíòîâ è ïðåïîäàâàòåëåé âûñøèõ òåõíè÷åñêèõ ó÷åáíûõ çàâåäåíèé.
Ð å ö å í ç å í ò û:
êàôåäðà ôèçèêè Óôèìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâèàöèîííîãî
òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (çàâ. êàôåäðîé äîêòîð òåõí. íàóê,
ïðîôåññîð È. Â. Àëåêñàíäðîâ);
êàíäèäàò ôèç.-ìàò. íàóê, äîöåíò, çàâ. êàôåäðîé Âîëîãîäñêîãî
ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà Ñ. Ê. Êîðíåé÷óê
ISBN 978-5-4316-0477-5
© Äåìêîâ Â.Ï., Ñóðîâ Î.È., 2017
© Ìîñêîâñêèé àâèàöèîííûé èíñòèòóò
(íàöèîíàëüíûé èññëåäîâàòåëüñêèé óíèâåðñèòåò), 2017
Ââåäåíèå
Ìåõàíèêà – ðàçäåë ôèçèêè, êîòîðûé èçó÷àåò äâèæåíèå ìàòåðèàëüíûõ òåë è
âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèìè; ïðè ýòîì äâèæåíèåì â ìåõàíèêå íàçûâàåòñÿ èçìåíåíèå âçàèìíîãî ïîëîæåíèÿ òåë èëè èõ ÷àñòåé â ïðî ñòðàíñòâå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè.
Äâèæåíèå îäíîãî è òîãî æå òåëà îòíîñèòåëüíî ðàçíûõ òåë îêàçûâàåòñÿ ðàçëè÷íûì. Ïîýòîìó äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ òåëà íóæíî óêàçàòü äðóãîå òåëî, îòíîñèòåëüíî êîòîðîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå äàííîãî òåëà. Ýòî òåëî íàçûâàåòñÿ òåëîì
îòñ÷åòà.
Äâèæåíèå òåë â ìåõàíèêå èçó÷àþò îòíîñèòåëüíî ñèñòåì îòñ÷åòà.
Ñèñòåìà îòñ÷åòà – ýòî òåëî îòñ÷åòà, óñëîâíî ñ÷èòàþùååñÿ íåïîäâèæíûì,
ñâÿçàííàÿ ñ íèì ñèñòåìà êîîðäèíàò è ÷àñû, ïî êîòîðûì îòñ÷èòûâàåòñÿ âðåìÿ.
 ìåõàíèêå â êà÷åñòâå ñèñòåìû êîîðäèíàò îáû÷íî èñïîëüçóþò ïðÿìîóãîëüíóþ
äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, â äðóãèõ ðàçäåëàõ (ñòàòèñòè÷åñêîé ôèçèêå, ýëåêòðîäèíàìèêå) èñïîëüçóþò òàêæå ñôåðè÷åñêóþ èëè öèëèíäðè÷åñêóþ ñèñòåìû êîîðäèíàò.
Ïîä ÷àñàìè ïîíèìàþò ëþáîå òåëî èëè ñèñòåìó òåë, â êîòîðûõ ñîâåðøàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèé ïðîöåññ, ñëóæàùèé äëÿ èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè (íàïðèìåð,
êîëåáàíèÿ ìàÿòíèêà, âðàùåíèå Çåìëè âîêðóã ñîáñòâåííîé îñè è Ñîëíöà, êîëåáàíèÿ
àòîìà â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå, êîëåáàíèÿ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ è äð.). Îñíîâíîå òðåáîâàíèå, ïðåäúÿâëÿåìîå ê ÷àñàì, ÷òîáû îíè «øëè» ðàâíîìåðíî.
 êèíåìàòèêå íèêàêèõ ïðåèìóùåñòâ îäíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ïî ñðàâíåíèþ ñ
äðóãîé íåò; ïðè âûáîðå òîé èëè èíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ðóêîâîäñòâóþòñÿ ëèøü ñîîáðàæåíèÿìè óäîáñòâà îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ êîíêðåòíîãî òåëà. Ïîýòîìó âñå ñèñòåìû
îòñ÷åòà êèíåìàòè÷åñêè èíâàðèàíòíû. Îäíàêî â äèíàìèêå, èçó÷àþùåé äâèæåíèå òåë
ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ê íèì ñèë, ñóùåñòâóþò ïðèíöèïèàëüíûå ïðåèìóùåñòâà îïðåäåëåííûõ ñèñòåì îòñ÷åòà; ñóùåñòâóþò ñèñòåìû îòñ÷åòà (èíåðöèàëüíûå), îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ äâèæåíèå òåë îêàçûâàåòñÿ íàèáîëåå ïðî ñòûì.
 ìåõàíèêå âàæíóþ ðîëü èãðàþò äâà àáñòðàêòíûõ èäåàëüíûõ ïîíÿòèÿ – ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà (÷àñòèöà) è àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî.
Ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé íàçûâàåòñÿ òåëî, ôîðìó è ðàçìåðû êîòîðîãî ìîæíî íå
ïðèíèìàòü âî âíèìàíèå è ñ÷èòàòü, ÷òî âñå âåùåñòâî òåëà ñîñðåäîòî÷åíî â îäíîé ãåîìåòðè÷åñêîé òî÷êå. Ìîæíî èëè íåëüçÿ êîíêðåòíîå òåëî ïðèíÿòü çà ìàòåðèàëüíóþ
òî÷êó, çàâèñèò íå ñòîëüêî îò ñàìîãî òåëà, ñêîëüêî îò õàðàêòåðà åãî äâèæåíèÿ è ðàçìåðîâ òåëà ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèÿìè äî äðóãèõ òåë (íàïðèìåð, Çåìëþ ìîæíî
ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé ïðè èçó÷åíèè åå äâèæåíèÿ âîêðóã Ñîëíöà, îäíàêî
Çåìëþ íåëüçÿ ïðèíÿòü çà ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó, ðàññìàòðèâàÿ âðàùåíèå Çåìëè âîêðóã
ñîáñòâåííîé îñè).
Ñèñòåìîé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçûâàþò ñîâîêóïíîñòü íåñêîëüêèõ òåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé.
Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî – ýòî òåëî, ôîðìà è ðàçìåðû êîòîðîãî íå èçìåíÿþòñÿ
ïîä âîçäåéñòâèåì äðóãèõ òåë. Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü æåñòêî ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, òî åñòü êàê ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè íå èçìåíÿþòñÿ â ïðîöåññå
äâèæåíèÿ.
Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà è àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî – ìàòåìàòè÷åñêèå àáñòðàêöèè, èäåàëèçèðîâàííûé îáðàç ðåàëüíûõ òåë.
3
§1. Êèíåìàòèêà
Êèíåìàòèêà – ðàçäåë ìåõàíèêè, â êîòîðîì èçó÷àåòñÿ äâèæåíèå òåë è íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðè÷èíû, âûçûâàþùèå òî èëè èíîå äâèæåíèå.
Íà÷íåì èçó÷åíèå äâèæåíèÿ òåë ñ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ êèíåìàòèêè
Åñëè ïðè äâèæåíèè òåëà îòðåçîê ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùèé äâå ëþáûå òî÷êè ýòîãî
òåëà, îñòàåòñÿ ïàðàëëåëüíûì ñâîåìó ïîëîæåíèþ â ïðîèçâîëüíûé ïðåäûäóùèé ìîìåíò âðåìåíè, òî òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïîñòóïàòåëüíûì (ïîñòóïàòåëüíî äâèæóòñÿ, íàïðèìåð, àâòîìîáèëü íà ïðÿìîëèíåéíîì ó÷àñòêå äîðîãè, ïåäàëè âåëîñèïåäà
îòíîñèòåëüíî åãî ðàìû, êàáèíû êîëåñà îáîçðåíèÿ îòíîñèòåëüíî Çåìëè è ò. ï.). Ïðè
ïîñòóïàòåëüíîì äâèæåíèè òåëà åãî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó.
Z
Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíz
ñòâå â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè îïðåäåëÿåòñÿ â
M ( x , y, z ) âûáðàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà çàäàíèåì åå êîîðäèíàò.  äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîrîðräèríàò X Y Z, èçîr
r
r
áðàæåííîér íà ðèñ.
1.1
r (ãäå i , j , k - åäèíè÷íûå
r
k
r
âåê
òî
ðû
(|
i
|
=
|
j
|
=
|
k
| º 1) èëè îðòû, íàïðàâëåíy Y
j
rO
íûå âäîëü îñåé OX, OY, OZ ñîîòâåòñòâåííî), ïîi
ëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îäíîçíà÷íî îïðåäåx
X
ëÿåòñÿ çàäàíèåì òðåõ êîîðäèíàò x, y, z. Ïîýòîìó
Ðèñ. 1.1
ãîâîðÿò, ÷òî ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà îáëàäàåò òðåìÿ
Z
Z¢ Z
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Âîîáùå ãîâîðÿ, ÷èñëî ñòåïåY¢
íåé ñâîáîäû – ýòî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî íåçàâèñèz
g
ìûõ êîîðäèíàò, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî îäíîY
O¢ b
çíà÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàía
ñòâå. Î÷åâèäíî, ÷òî ïîëîæåíèå â ïðî ñòðàíñòâå
¢
X
X
y
Y àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû
O
íåëüçÿ îäíîçíà÷íî çàäàòü ñ ïîìîùüþ ëèøü òðåõ
êîîðäèíàò. Åñëè ñ òåëîì ñâÿçàòü ñèñòåìó êîîðäèx
íàò X ¢Y ¢Z¢, òî ïîëîæåíèå òåëà â ïðî ñòðàíñòâå îòX
Ðèñ. 1.2
íî ñè òåëü íî íå ïîä âèæ íîé ñèñ òå ìû êî îð äè íàò
X Y Z îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåì òðåõ êîîðäèíàò x, y, z íà÷àëà îòñ÷åòà O¢ ñèñòåìû, ñâÿçàííîé ñ òåëîì, è òðåõ óãëîâ a, b, g ìåæäó îñÿìè OX è O¢ X ¢, OY è O¢Y ¢, OZ è O¢Z¢
(ðèñ. 1.2). Ñëåäîâàòåëüíî, àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî ïðîèçâîëüíîé ôîðìû îáëàäàåò
øåñòüþ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
rÏîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå óäîáíî çàäàâàòü ðàäèóñ-âåêòîðîì r, ïðîâåäåííûì èç íà÷àëà êîîðäèíàò ê ìàòåðèàëüíîé òî÷êå. Ïðè ýòîì ïðîåêöèè
rx , r y , rz ðàäèóñ-âåêòîðà íà îñè OX, OY è OZ ñîâïàäàþò ñ êîîðäèíàòàìè x, y, z òî÷êè:
r
r
r
r
r
r
r
(1.1)
r = rx i + r y j + rz k = x i + y j + z k .
Ïðè äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åå êîîðäèíàòû è ðàäèóñ-âåêòîð èçìåíÿþòñÿ
ñî âðåìåíåì, à ñàìà ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà îïèñûâàåò â ïðî ñòðàíñòâå íåêîòîðóþ ëèíèþ, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ åå òðàåêòîðèåé.
Çàêîíîì äâèæåíèÿ íàçûâàåòñÿ çàâèñèìîñòü ðàäèóñ-âåêòîðà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò âðåìåíè
4
r
r
r
r r
(1.2)
r = r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k,
êîòîðîé ýêâèâàëåíòíû òðè óðàâíåíèÿ:
(1.3)
x = x ( t );
y = y ( t );
z = z ( t ).
Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè èç ñèñòåìû (1.3)
íåîáõîäèìî èñêëþ÷èòü âðåìÿ t, òî åñòü ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü êîîðäèíàò äðóã îò
äðóãà. Ïî ôîðìå òðàåêòîðèè áûâàþò ïðÿìîëèíåéíûìè è êðèâîëèíåéíûìè. Åñëè ïðè
ñâîåì äâèæåíèè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ âñå âðåìÿ â îäíîé ïëîñêîñòè, òî òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì.
Âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ è îòðåçîê ïóòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
Ïóñòü çà âðåìÿ Dt ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïåðåZ
ìåñòèëàñü èç òî÷êè M ( x , y, z ), ãäå îíà íàõîäèz
M
DS
ëàñü â ìîìåíò âðåìåíè t, â òî÷êó M ¢( x ¢, y¢, z ¢)
¢
z
(ðèñ. 1.3).
r
M¢ r
D
r
(t)
r
Ñêàëÿðíóþ âåëè÷èíó DS, ðàâíóþ ðàññòîÿ< u>
r(t) r
íèþ, ïðîéäåííîìó òî÷êîé çà äàííûé ïðîìåæór
(
t
+
D
t
)
y¢ Y
y
O
òîê âðåìåíè âäîëü òðàåêòîðèè, íàçûâàþò îòðåçx
x¢
êîì ïóòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè (ïóòåì). Ïóòü ïîëîæèòåëåí âñåãäà è â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ìîæåò X
Ðèñ. 1.3
òîëüêî âîçðàñòàòü.
r
Âåêòîð D r, ïðîâåäåííûé èç íà÷àëüíîé òî÷êè M â êîíå÷íóþ òî÷êó M ¢, íàçûâàåòñÿ âåêòîðîì ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè çà âðåìÿ Dt:
r r
r
Dr = r ( t + D t ) - r ( t )
èëè
r
r
r
r
(1.4)
Dr = D x i + D y j + D z k,
ãäå D x = x ¢ - x; D y = y¢ - y ; D z = z ¢ - z.
Èç ðèñ. 1.3 âèäíî, ÷òî ïðè êðèâîëèíåéíîì äâèæåíèè
r
D S > | Dr | = ( D x ) 2 + ( D y) 2 + ( D z ) 2 .
Âåêòîð ñðåäíåé ñêîðîñòè è ñðåäíÿÿ ïóòåâàÿ ñêîðîñòü
Âåêòîðîì ñðåäíåé ñêîðîñòè çà âðåìÿ Dt íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüríîé òî÷êè êî âðåìåíè, çà êîòîðîå îíî ñîâåðøåíî:
r
r
r
r
Dr D x r D y r D z r
(1.5)
< u> =
=
i+
j+
k = < ux > i + < u y > j + < u z > k.
Dt
Dt r Dt
Dt
r
Íàïðàâëåíèå âåêòîðà < u > ñîâïàäàåò ñ D r (ñì. ðèñ. 1.3), à åãî àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà
2
2
2
r
r
ì Dx ü ì Dy ü ì Dz ü
| Dr |
2
2
2
|< u >| =
= < ux > + < u y > + < u z > = í
ý+í
ý+í
ý . (1.6)
Dt
î Dt þ î Dt þ î Dt þ
Ñðåäíåé (ïóòåâîé) ñêîðîñòüþ çà âðåìÿ Dt íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïóòè, ïðîéäåííîãî ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, êî âðåìåíè, çà êîòîðîå îí ïðîéäåí:
DS
.
(1.7)
< u> =
Dt
Ñðåäíÿÿ ïóòåâàÿr ñêîðîñòü ÿâëÿåòñÿ ñêàëÿðíîé âåëè÷èíîé.
Òàê êàê D S = | D r | òîëüêî â ñëó÷àå äâèæåíèÿ ñ íåèçìåííîé ïî íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòüþ, òî â îáùåì ñëó÷àå ñðåäíÿÿ
r ïóòåâàÿ ñêîðîñòü íå ñîâïàäàåò ñ ìîäóëåì âåêòîðà ñðåäíåé ñêîðîñòè: < u > ¹ | < u > |.
5
Âåêòîð ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
r
Âåêòîð ñêîðîñòè (ìãíîâåííîé ñêîðîñòè) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè u ( t ) â äàííûé
ìîìåíò âðåìå
r íè t îïðåäåëÿåòñÿ êàê ïðåäåë, ê êîòîðîìó ñòðåìèòñÿ âåêòîð ñðåäíåé
ñêîðîñòè < u > çà âðåìÿ îò t äî (t + D t) ïðè áåçãðàíè÷íîì óìåíüøåíèè ïðîìåæóòêà
âðåìåíè Dt:
r
r
r
r
Dr
d r r&
(1.8)
u ( t ) = lim < u > = lim
=
= r,
Dt ® 0
Dt ® 0 D t
dt
r
r
r
r
ãäå d r = d x i + d y j + d z k – ïåðåìåùåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè çà áåñêîíå÷íî ìàëûé
ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt.
r
r
Çàìåòèì, ÷òî ïðè Dt ® 0 âåêòîð D r ® d r è íàïðàâëåí â ñòîðîíó äâèæåíèÿ ïî
êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t, à ïî àáñîëþòíîé
âåëè÷èíå
r
(1.9)
| d r | = dS = ( d x ) 2 + ( d y ) 2 + ( d z ) 2 .
Èòàê,
r
r
r
r
r dx r d y r dz r
(1.10)
u ( t ) = r& =
i +
j+
k = ux i + u y j + u z k ,
dt
dt
dt
ãäå ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
dx
dy
dz
; uy =
; uz =
,
(1.11)
ux =
dt
dt
dt
à ìîäóëü âåêòîðà ñêîðîñòè
2
2
2
r
ìdx ü ìd y ü ìdz ü
2
2
2
(1.12)
u = | u | = ux + u y + u z = í ý + í ý + í ý .
î dt þ î dt þ r î dt þ
Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè u( t ) íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â ñòîðîíó äâèæåíèÿ, åãî ïðîåêöèè íà îñè OX, OY, OZ îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (1.11), à àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà – âûðàæåíèåì (1.12).
Ìîäóëü âåêòîðà ñêîðîñòè òàêæå ìîæíî îïðåäåëèòü (èñïîëüçóÿ (1.9)) ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ
r
r
| d r | dS
,
(1.13)
u= |u| =
=
dt
dt
òî åñòü âçÿâ ïðîèçâîäíóþ îò ïóòè ïî âðåìåíè.
Âåêòîð óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ïåðåìåùàÿñü ïî
Z
r
u( t )
íåêîòîðîé òðàåêòîðèè (ðèñ. 1.4), íàõîäèëàñü â
M
¢
M
ìîìåíò âðåìåíè t â òî÷êå M, à â ìîìåíò âðå
r
r
r ìåDu
u( t + D t ) íè (t + D t) – â òî÷êå M ¢. Âåêòîðû ñêîðîñòè u(
r
t) è
r
u( t + D t )
r
u( t + D t ) â òî÷êàõ M è M ¢ íàïðàâëåíû ïî êàñà<a>
Y
òåëüíûì ê òðàåêòîðèè. Åñëè äâèæåíèå ìàòåðèO
àëüíîé òî÷rêè êðèâî
X
r ëèíåéíîå, òî, î÷åâèäíî, íàïðàâëåíèÿ u( t ) è u( t + D t ) íå ñîâïàäàþò (ïðè
Ðèñ. 1.4
r ýòîì äëèíû ýòèõ âåêòîðîâ íå îáÿçàòåëüíî îäèíàêîâû). Ïåðåíåñåì íà÷àëî âåê
r òîðà u( t + D t ), íå èçìåíÿÿ åãî íàïðàâëå
r íèÿ, â òî÷êó M è
ñîråäèíèì êîíåö âåêòîðà u( t ) ñ êîíöîì ïåðåíåñåííîãî âåêòîðà u( t + D t ) âåêòîðîì
D u, êîòîðûé õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå ñêîðîñòè ÷àñòèöû çà âðåìÿ Dt:
r r
r
(1.14)
D u = u ( t + D t ) - u ( t ).
6
Âåêòîðîì ñðåäríåãî óñêîðåíèÿ çà âðåìÿ Dt íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðèðàùåíèÿ
âåêòîðà ñêîðîñòè D u êî âðåìåíè, çà êîòîðîå îíî ñîâåðøåíî:
r
r
Du
.
(1.15)
<a> =
D
t
r
r
Íàïðàâëåíèå âåêòîðà < a > ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì D u (ñì. ðèñ. 1.4).
Ïðåäåëüíûé ïåðåõîä â âûðàæåíèè (1.15) ïðè Dt, ñòðåìÿùåìñÿ ê íóëþ, îïðåäåëÿåò âåêòîð óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ìîrìåíò râðåìåíè t:
r
r
D u d u r&
(1.16)
a ( t ) = lim < a > = lim
=
= u,
Dt ® 0
Dt ® 0 D t
dt
r
ãäå d u - ïðèðàùåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt.
Âûðàæåíèå (1.16) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
r
r
r
r r& d ux r d u y r d u z r
(1.17)
a=u
=
i+
j+
k = ax i + a y j + a z k .
dt
dt
dt
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîåêöèè âåêòîðà óñêîðåíèÿ íà êîîðäèíàòíûå îñè
d uy
d ux
d uz
; ay =
; az =
,
(1.18)
ax =
dt
dt
dt
à ìîäóëü âåêòîðà óñêîðåíèÿ
2
2
2
r
ì d ux ü ì d u y ü ì d u z ü
2
2
2
(1.19)
a = | a | = ax + a y + a z = í
ý+í
ý +í
ý .
dt
dt
dt
î
þ î
þ
þ î
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ñêîðîñòü õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ ñî âðåìåíåì êîîðäèíàò ÷àñòèöû, à óñêîðåíèå – áûñòðîòó èçìåíåíèÿ åå ñêîðîñòè.
Íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
Åñëè äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïëîñêîå (áóäåì â äàëüíåéøåì ñ÷èòàòü, ÷òîr
òðàåêòîðèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ëåæèò â ïëîñêîñòè XOY), òî âåêòîð óñêîðåíèÿ a
âñåãäà ìîæíî ðàçëîæèòü íà äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñîñòàâëÿþùèå (ðèñ. 1.5)
r r
r
(1.20)
a = at + an ,
r
r
ãäå a t – òàíãåíöèàëüíîå (èëè êàñàòåëüíîå) è a n – íîðìàëüíîå (èëè öåíòðîñòðåìèòåëüíîå) óñêîrðåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Âåêòîð a t íàïðàâëåí âäîëü êàñàòåëüíîé ê Y
M eru r
òðàåêòîðèè â äàííîé òî÷êå è ìîæåò áûòü íàïðàâat
r
r
u
ëåí êàê â ñòîðîíó äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷
a
n
r
r
a
êè, òàê è â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó; âåêòîð a n
âñåãäà ïåðïåíäèêóëÿðåí âåêòîðó ñêîðîñòè â äàííîé òî÷êå è íàïðàâëåí â ñòîðîíó âîãíóòîñòè
X
òðàåêòîðèè (ê öåíòðó êðèâèçíû òðàåêòîðèè â O
Ðèñ. 1.5
äàííîé òî÷êå). Òàêîå ðàçëîæåíèå âåêòîðà óñêîðåíèÿ ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî âåêòîð ñêîðîñòè, áûñòðîòà èçìåíåíèÿ êîòîðîãî õàðàêòåðèçóåòñÿ óñêîðåíèåì, ìîæåò èçìåíÿòüñÿ êàê ïî íàïðàâëåíèþ, òàê è ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå.
Âåêòîð ñêîðîñòè ÷àñòèöû íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè, òî åñòü
r
r
(1.21)
u = u eu ,
r
ãäå u – ìîäóëü âåêòîðà ñêîðîñòè; e u – åäèíè÷íûé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â ñòîðîíó äâèæåíèÿ ÷àñòèöû.
7
Èç îïðåäåëåíèÿ âåêòîðà óñêîðåíèÿ (1.16) ñëåäóåò:
r r&
r
r
r
& e u + u e& u .
(1.22)
a=u
= ( u e u )¢ = u
Ïåðâîå ñëàãàåìîå â (1.22) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè ÷àñòèöû, òî åñòü òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå:
r
r
& eu ; at = u
&.
(1.23)
at = u
Òàêèì îáðàçîì, òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ
ìîäóëÿ ñêîðîñòè: a t > 0, åñëè âåëè÷èíà ñêîðîñòè ÷àñòèöû âîçðàñòàåò; a t < 0, åñëè
âåëè÷èíà ñêîðîñòè óáûâàåò; a t = 0, åñëè ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ.r
r
Åñëè äâèæåíèå òî÷êè êðèâîëèíåéíîå, òî
u1
1 e u1
êàæäîé òî÷êå òðàåêòîðèè ìîæíî ñîïîñòàâèòü
Dj
r
îêðóæíîñòü, êîòîðàÿ ñëèâàåòñÿ ñ òðàåêòîðèåé íà
2r
n Dj
e u2
ìàëîì åå ó÷àñòêå. Ðàäèóñ òàêîé îêðóæíîñòè íàr
çûâàåòñÿ ðàäèóñîì êðèâèçíû òðàåêòîðèè â äàííîé
u2
R
òî÷êå.
Íàé äåì óñêî ðå íèå ÷àñ òè öû, ðàâ íîìåð íî
âðàùàþùåéñÿ ïî îêðóæíîñòè ïîñòîÿííîãî ðàäèÐèñ. 1.6
óñà R (ðèñ. 1.6). Ïðè òàêîì äâèæåíèè âåëè÷èíà
& = 0 è óñêîðåñêîðîñòè íå ìåíÿåòñÿ, à èçìåíÿåòñÿ òîëüêî åå íàïðàâëåíèå. Ïðè ýòîì u
íèå ÷àñòèöû (ñì. (1.22))
r
r
a = u e& u .
r
Èç ðèñ. 1.6 ñëåäóåò, ÷òî çà âðåìÿ Dt îðò re u âåê
r òîðà
r ñêîðîñòè ïîâîðà÷èâàåòñÿ íà
óãîë D j = u D t R è ïîëó÷àåò ïðèðàùåíèå D e u = e u2 - e u1 .
Ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé
r
r&
D eu
.
(1.24)
e u = lim
r
Dt ® 0 D t
e u1
Ïðè Dt ® 0 óãîë D j áóäåò ñòðåìèòüñÿ ê íóA
O
Dj
ëþ, à äëèíà äóãè AB (ñì. ðèñ. 1.7) – ê äëèíå õîðr
äû AB. Çàìåíèâ ïðè Dt ® 0 õîðäó AB ñîîòâåòñòD eu
r
e u2
âórþ ùåé äó ãîé îêðóæ íîñ òè, ìîæ íî ïî
r ëîæèòü
r
| D e u | ïðèáëèæåííî ðàâíûì Dj (òàê êàê e u1 è e u2 –
îðòû ñîîòâåòñòâó þùèõ âåêòîðîâ ñêîðîñòè, òî
B
r
ñòîðîíû O A è OB
r òðåóãîëüíèêà
r AOB rðàâíû åäè
r n¢
íèöå). Òîãäà | D e u | » D j, à D e u » D j n ¢, ãäå n ¢ –
Ðèñ. 1.7
r
r åäèíè÷íûé âåêòîð, ñîâïà
r äàþùèé ïî íàïðàâëå¢
íèþ ñ D e u . Ïðè Dt ® 0 âåêòîð n ïðåâðàùàåòñÿ â âåêòîð n - îðò íîðìàëè ê òðàåêòîðèè â òîé òî÷êå, ãäå
r íàõîäèëàñü ÷àñòèöà â ìîìåíò âðåìåíè t.
Ïîäñòàâèâ D e u â (1.24), ïîëó÷èì:
r
r&
D j n¢
ìu r ü ur
e u = lim
= lim í n ¢ ý = n .
Dt ® 0 D t
Dt ® 0 î R
þ R
Ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèå ÷àñòèöû ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè
ðàâíî
r
r&
u2 r
u2
(1.25)
a = u eu =
n; a =
R
R
è íàïðàâëåíî ïåðïåíäèêóëÿðíî âåêòîðó ñêîðîñòè.
8
Ïðè ïðîèçâîëüíîì êðèâîëèíåéíîì äâèæåíèè îáà ñîìíîæèòåëÿ â âûðàæåíèè
äëÿ ñêîðîñòè (1.21) ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì. Òîãäà, êàê ñëåäóåò èç (1.22), óñêîðåíèå
ðàñïàäàåòñÿ íà äâà ñëàãàåìûõ, ïåðâîå èç êîòîðûõ íàïðàâëåíî ïî êàñàòåëüíîé, à âòîðîå – ïî íîðìàëè ê òðàåêòîðèè âr äàííîé òî÷êå è îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì (1.25).
Ïðè ýòîì íîðìàëüíîå óñêîðåíèå a n õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ
âåêòîðà ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè è a n > 0 (a n = 0 òîëüêî ïðè ïðÿìîëèíåéíîì
äâèæåíèè: R ® ¥).
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ïëîñêîì äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè åå óñêîðåíèå â îáùåì ñëó÷àå ìîæåò áûòü ðàçëîæåíî íà äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ñîñòàâëÿþùèå
r r
r
r
r
& e u + ( u2 R ) n.
(1.26)
a = at + an = u
Àáñîëþòíûå çíà÷åíèÿ âåëè÷èí a, a n è a t ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì
r
(1.27)
a = | a | = a t2 + a n2 .
1.2. Ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ çàäà÷è êèíåìàòèêè
Ïðÿìàÿ (îñíîâíàÿ) çàäà÷à ôîðìóëèðóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: çàäàí çàêîí
äâèæåíèÿ, òðåáóåòñÿ îïðåäåëèòü îñíîâíûå êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ – ñêîðîñòü è óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ðåøåíèå ïðÿìîé çàäà÷è îáû÷íî íå
ïðåäñòàâëÿåò ñóùåñòâåííûõ òðóäíîñòåé: ñêîðîñòü è óñêîðåíèå íàõîäÿò ïî îïðåäåëåíèþ (äèôôåðåíöèðîâàíèåì). Çàêîí äâèæåíèÿ ìîæåò áûòü çàäàí â ôîðìå (1.2) èëè
(1.3), à ðåøåíèå íàéäåíî ñ èñïîëüçîâàíèåì ñîîòíîøåíèé (1.8), (1.16) èëè (1.10),
(1.17) ñîîòâåòñòâåííî.
Îáðàòíàÿ çàäà÷à êè
r íåìàòèêè ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðî
r âàíà ñëåäóþùèì
r îáðàçîì: çàäàíû óñêîðåíèå a ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, åå ñêîðîñòü
u0 è ïîëîæåíèå r0 â ìîr
ìåíò âðåìå
íè
0.
Òðå
áó
åò
ñÿ
îïðå
äå
ëèòü
ñêî
ðîñòü
ìà
òå
ðèàëüíîé òî÷êè è åå ïît0 =
u
r
ëîæåíèå r â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t.
Îáðàòíàÿ çàäà÷à ãîðàçäî ñëîæíåå ïðÿìîé çàäà÷è êèíåìàòèêè è, êàê ïðàâèëî,
äëÿ åå ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî îáëàäàòü íå òîëüêî íàâûêàìè èíòåãðèðîâàíèÿ, íî è óìåíèåì ðåøàòü äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ.
 ïðî ñòåéøåì ñëó÷àå, êîãäà óñêîðåíèå çàâèñèò òîëüêî
r îòrâðåìåíè, ðåøåíèå îáðàòíîé çàäà÷è ñâîäèòñÿ ëèøü ê èíòåãðèðîâàíèþ. Åñëè a = a ( t ), òî íà îñíîâàíèè
(1.16) è (1.8)
r r
r r
d u = a dt; d r = u dt.
Ñëåäîâàòåëüíî,
u
t
t
t
r
r
r r
r
r r
r
;
(1.28)
d
u
=
a
dt
u
u
=
a
dt;
u
=
u
+
a
0
0
ò
ò
ò
ò dt;
u0
0
r
t
r
r
d
r
=
u
ò
ò dt;
r0
0
0
0
t
t
r r
r
r - r0 = ò u dt;
0
r r
r
r = r0 + ò u dt.
(1.29)
0
Ðåçóëüòàò èíòåãðèðîâàíèÿ ïðàâîé ÷àñòè çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âèäà çàâèñèìîñòè óñêîðåíèÿ îò âðåìåíè.  ÷àñòíîñòè, êîãäà óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íå
ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì íè ïî âåëè÷èíå, íè ïî íàïðàâëåíèþ (òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ðàâíîïåðåìåííûì):
t
r r
r
r r
r
r
r r
r
u = u0 + a t; r = r0 + ò ( u0 + a t ) dt = r0 + u0 t + 12 a t 2 .
0
9
Ïóòü, ïðîéäåííûé ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé çà âðåìÿ îò t 0 äî t ïðè êðèâîëèíåéíîì
äâèæåíèè ñî ñêîðîñòüþ, âåëè÷èíà êîòîðîé ìåíÿåòñÿ, ìîæíî âû÷èñëèòü ëèøü ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ (ñì. (1.13)):
t
DS = ò u dt,
(1.30)
t0
ãäå u – çàâèñèìîñòü ìîäóëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè îò âðåìåíè.
1.3. Êèíåìàòèêà äâèæåíèÿ ïî îêðóæíîñòè
Ðàññìîòðèì êèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, óäîáíûå ïðè
îïèñàíèè äâèæåíèÿ ïî îêðóæíîñòè.
Ïóñòü ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ñîâåðøàåò ïëîñY
êîå
äâè
æåíèå ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R. ÂûáåM¢
r
r
ðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò, ïëîñêîñòü XOY êîòîðîé
R dS u
ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé
M
dj
X òî÷êè, à íà÷àëî êîîðäèíàò ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì
îêðóæíîñòè, îïèñûâàåìîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé
O
(ðèñ.
r 1.8). Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè u, íàïðàâëåííàÿ ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè,
âñåãäà ïåðïåíäè
r êórëÿðíà ðàäèóñ-âåêòîðó ìàòåðèàëü
íîé
òî÷
êè
r
= R.
Ðèñ. 1.8
Ïóñòü çà âðåìÿ dt ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïåðåZ
ìåñòèëàñü èç òî÷êè M, ãäå îíà íàõîäèëàñü â ìîr
r w
ìåíò âðåìåíè t, â òî÷êó M ¢, ñîâåðøèâ ïîâîðîò íà
dj
áåñêîíå÷íî ìàëûé óãîë d j è ïðîéäÿ ïóòü
r
u
r
(1.31)
dS = R d j.
O
dj R
M¢
Òàêîé
r ïîâîðîò ïðèíÿòî ðàññìàòðèâàòü êàê
dS
âåêòîð d j (ðèñ. 1.9), íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñâÿçàq r M
r
íî ñ íàïðàâëåíèåì ïî ñòóïà
O¢
r òåëüíîãî äâèæåíèÿ
ïðàâîãî âèíòà (ïîýòîìó d j ÿâëÿåòñÿ íå èñòèíÐèñ. 1.9
íûì âåêòîðîì, à ïñåâäîâåêòîðîì).
Î÷åâèäíî, íåçàâèñèìî îò õàðàêòåðà äâèæåíèÿ, ïóòü DS, ïðîéäåííûé òî÷êîé çà
ïðîèçâîëüíûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt, áóäåò ðàâåí
(1.32)
D S = R D j,
ãäå Dj – óãîë ïîâîðîòà ðàäèóñ-âåêòîðà òî÷êè çà ýòîò ïðîìåæóòîê âðåìåíè.r
Ïðè äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî îêðóæíîñòè, ïîìèìî ñêîðîñòè u, êîòîðóþ ÷àñòîr íàçûâàþò ëèíåéíîé ñêîðîñòüþ, óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå óãëîâîé
ñêîðîñòè w.
Óãëîâîé ñêîðîñòüþ ìàòåðè
r àëüíîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå áåñêîíå÷íî ìàëîãî âåêòîðà óãëà ïîâîðîòà d j òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt ê ýòîìó ïðîìåæóòêó âðåìåíè:
r
r d j r&
dj
(1.33)
= j& .
w=
= j; w =
dt
dt
r
r
Íàïðàâëåíèå âåêòîðà w ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà d j.
Ëåãêî íàéòè ñâÿçü ìåæäó âåëè÷èíîé óãëîâîé ñêîðîñòè w è ìîäóëåì ëèíåéíîé
ñêîðîñòè u ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Ïîñêîëüêó âåëè÷èíà ëèíåéíîé ñêîðîñòè (ñì. (1.13))
10
dS
,
(1.34)
dt
òî, ïîäñòàâèâ (1.31) â (1.34) ñ ó÷åòîì (1.33), ïîëó÷èì:
R dj
(1.35)
u=
= R j& = R w.
dt
Åñëè ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîéròî÷êè îòíîñèòåëüíî òî÷êè O¢, ëåæàùåé íà îñè
âðàùåíèÿ, çàäàíî ðàäèóñ-âåêòîðîì
r r, òî R = r sin q (ñì. ðèñ. 1.9) è u = w r sin q. Ïðè
ýòîì âåêòîð ñêîðîñòè ÷àñròèöû u (íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè) è
âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè w (íàïðàâëåííûé ïî îñè âðàùåíèÿ) ñâÿçàíû âûðàæåíèåì
r
r r
r r
(1.36)
u = [ w, r ] = [ w, R ].
r
Óãëîâûì óñêîðåíèåì e ìà
r òåðèàëüíîé òî÷êè íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðèðàùåíèÿ
âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè d w òî÷êè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt ê ýòîìó ïðîìåæóòêó
âðåìåíè:
r
r d w r&
(1.37)
e=
= w.
dt
Èç (1.37) âèäíî, ÷òî e > 0, åñëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè óâåëè÷èâàåòñÿ ñî âðåìåíåì (íàïðàâëåíèå âåêòîðà óãëîâîãî óñêîðåíèÿ ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè); e < 0, åñëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü óìåíüøàåòñÿ ñî âðåìåíåì (íàïðàâëåíèÿ âåêòîðîâ óãëîâîãî óñêîðåíèÿ è óãëîâîé ñêîðîñòè ïðîòèâîïîëîæíû); e = 0 ñîîòâåòñòâóåò äâèæåíèþ ÷àñòèöû ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ.
Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ (1.23), (1.25) è (1.35), (1.37), ìîæíî ïðåäñòàâèòü íîðìàëüíîå a n è òàíãåíöèàëüíîå a t óñêîðåíèÿ òî÷êè ïðè åå äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè
ðàäèóñîì R ÷åðåç óãëîâóþ ñêîðîñòü è óãëîâîå óñêîðåíèå:
u2
& =Rw
& =Re
(1.38)
an =
= w2 R ; a t = u
R
èëè
r
r
r
r r
(1.39)
a n = - w2 R ; a t = [ e , R ].
Òîãäà ïîëíîå óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
r
r r
r
r r
(1.40)
a = a n + a t = - w2 R + [ e, R ]; a = a n2 + a t2 = R w4 + e 2 .
Ðàâíîìåðíîå äâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïî îêðóæíîñòè ìîæíî õàðàêòåðèçîâàòü ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ (âðåìåíåì ïîëíîãî îáîðîòà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè)
2pR 2pR 2p
(1.41)
T=
=
=
u
wR
w
è ÷àñòîòîé îáðàùåíèÿ (÷èñëîì îáîðîòîâ çà îäíó ñåêóíäó)
1
w
.
(1.42)
n= =
T 2p
u=
Êðàòêèå âûâîäû
1. Ìåõàíèêà – ðàçäåë ôèçèêè, êîòîðûé èçó÷àåò äâèæåíèå ìàòåðèàëüíûõ òåë (èçìåíåíèå âçàèìíîãî ïîëîæåíèÿ òåë èëè èõ ÷àñòåé â ïðî ñòðàíñòâå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè) è
âçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèìè.
2. Êèíåìàòèêà – ðàçäåë ìåõàíèêè, â êîòîðîì èçó÷àåòñÿ äâèæåíèå òåë è íå ðàññìàòðèâàþòñÿ ïðè÷èíû, âûçûâàþùèå òî èëè èíîå äâèæåíèå.
11
3. Ñèñòåìà îòñ÷åòà – ýòî òåëî îòñ÷åòà, óñëîâíî ñ÷èòàþùååñÿ íåïîäâèæíûì, ñâÿçàííàÿ ñ íèì ñèñòåìà êîîðäèíàò è ÷àñû, ïî êîòîðûì îòñ÷èòûâàåòñÿ âðåìÿ. Ïîä ÷àñàìè ïîíèìàþò ëþáîå òåëî èëè ñèñòåìó òåë, â êîòîðûõ ñîâåðøàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèé
ïðîöåññ, ñëóæàùèé äëÿ èçìåðåíèÿ ïðîìåæóòêîâ âðåìåíè.
4. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà – ýòî òåëî, ôîðìîé è ðàçìåðàìè êîòîðîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü â óñëîâèÿõ äàííîé çàäà÷è (ðàçìåðû òåëà ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàññòîÿíèÿìè äî
äðóãèõ òåë).
5. Ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê – ýòî ñîâîêóïíîñòü íåñêîëüêèõ òåë, êàæäîå èç êîòîðûõ ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé.
6. Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî – ýòî òåëî, ôîðìà è ðàçìåðû êîòîðîãî íå èçìåíÿþòñÿ
ïîä âîçäåéñòâèåì äðóãèõ òåë. Àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê
ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, ðàññòîÿíèÿ ìåæäó êîòîðûìè íå èçìåíÿþòñÿ â ïðîöåññå äâèæåíèÿ.
7. ×èñëî ñòåïåíåé ñâîáîäû – ýòî ìèíèìàëüíîå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ êîîðäèíàò, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìîæíî îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå òåëà â ïðîñòðàíñòâå.
8. Òðàåêòîðèåé íàçûâàåòñÿ ëèíèÿ, êîòîðóþ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà îïèñûâàåò â ïðî ñòðàíñòâå. Ïî ôîðìå òðàåêòîðèè áûâàþò ïðÿìîëèíåéíûìè è êðèâîëèíåéíûìè. Åñëè
ïðè ñâîåì äâèæåíèè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà íàõîäèòñÿ âñå âðåìÿ â îäíîé ïëîñêîñòè, òî
òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ïëîñêèì.
9. Çàêîíîì äâèæåíèÿ íàçûâàåòñÿ çàâèñèìîñòü ðàäèóñ-âåêòîðà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
îò âðåìåíè
r
r
r
r r
r = r ( t ) = x ( t ) i + y ( t ) j + z ( t ) k,
êîòîðîé ýêâèâàëåíòíû òðè óðàâíåíèÿ:
x = x ( t );
y = y ( t );
z = z ( t ).
r
10. Âåêòîðîì ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè çà âðåìÿ Dt íàçûâàåòñÿ âåêòîð Dr,
ïðîâåäåííûé èç íà÷àëüíîé òî÷êè â êîíå÷íóþ:
r
r
r
r r
r
r
D r = r ( t + D t ) - r ( t ) èëè D r = D x i + D y j + D z k .
11. Îòðåçêîì ïóòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè (ïóòåì) íàçûâàåòñÿ ñêàëÿðíàÿ âåëè÷èíà DS,
ðàâíàÿ ðàññòîÿíèþ, ïðîéäåííîìó òî÷êîé çà äàííûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè âäîëü òðàåêòîðèè. Ïóòü ïîëîæèòåëåí âñåãäà è â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ìîæåò òîëüêî âîçðàñòàòü.
12. Âåêòîðîì ñðåäíåé ñêîðîñòè çà âðåìÿ Dt íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè êî âðåìåíè, çà êîòîðîå îíî ñîâåðøåíî:
r
r
Dr
.
< u> =
Dt
13. Ñðåäíåé (ïóòåâîé) ñêîðîñòüþ çà âðåìÿ Dt íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïóòè DS, ïðîéäåííîãî ìàòåðèàëüíîé òî÷êîé, êî âðåìåíè, çà êîòîðîå îí áûë ïðîéäåí:
DS
.
< u> =
Dt
14. Âåêòîð (ìãíîâåííîé) ñêîðîñòè õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ ïîëîæåíèÿ
ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå (åå êîîðäèíàò), íàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè â ñòîðîíó äâèæåíèÿ è ðàâåí ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ðàäèóñ-âåêòîðà
òî÷êè:
r r&
u = r;
ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
12
ux = x& ,
u y = y& ,
u z = z&,
à ìîäóëü âåêòîðà ñêîðîñòè
u=
u2x + u2y + u2z .
15. Âåêòîðîì ñðåäíåãî óñêîðåíèÿ çà âðåìÿ Dt íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå ïðèðàùåíèÿ
âåêòîðà ñêîðîñòè êî âðåìåíè, çà êîòîðîå îíîr ñîâåðøåíî:
r
Du
.
<a> =
Dt
16. Âåêòîð óñêîðåíèÿ õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè è ðàâåí ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò âåêòîðà ñêîðîñòè:
r r&
a = u;
ïðîåêöèè âåêòîðà óñêîðåíèÿ íà îñè äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàò
& x, a y = u
& y, a z = u
& z,
ax = u
à ìîäóëü âåêòîðà óñêîðåíèÿ
a = a x2 + a 2y + a 2z .
17. Íîðìàëüíîå (öåíòðîñòðåìèòåëüíîå) óñêîðåíèå õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, íàïðàâëåíî ê öåíòðó êðèâèçíû òðàåêòîðèè, ðàâíî ïðîåêöèè ïîëíîãî óñêîðåíèÿ íà íîðìàëü ê òðàåêòîðèè, à
ïî âåëè÷èíå ðàâíî îòíîøåíèþ êâàäðàòà ñêîðîñòè ÷àñòèöû ê ðàäèóñó êðèâèçíû òðàåêòîðèè:
u2
.
an =
R
18. Òàíãåíöèàëüíîå (êàñàòåëüíîå) óñêîðåíèå õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ ìîäóëÿ ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, íàïðàâëåíî ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè, ðàâíî
ïðîåêöèè ïîëíîãî óñêîðåíèÿ íà êàñàòåëüíóþ ê òðàåêòîðèè, à ïî âåëè÷èíå ðàâíî
ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ìîäóëÿ ñêîðîñòè:
&.
at = u
19. Ñâÿçü ïîëíîãî, íîðìàëüíîãî è òàíãåíöèàëüíîãî óñêîðåíèé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè:
r r r
a = a t + a n ; a = a t2 + a n2 .
20. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó óãëîâîãî ïåðåìåùå
r íèÿ ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè, ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ïñåâäîâåêòîðà óãëà ïîâîðîòà j (íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ñâÿçàíî ñ íàïðàâëåíèåì ïîâîðîòà ïðàâèëîì ïðàâîãî âèíòà) è ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò óãëà ïîâîðîòà:
r r
w = j& .
21. Óãëîâîå óñêîðåíèå õàðàêòåðèçóåò áûñòðîòó èçìåíåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ íàïðàâëåíèåì âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè,
åñëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü òî÷êè óâåëè÷èâàåòñÿ ñî âðåìåíåì, è íàïðàâëåíî ïðîòèâîïîëîæíî âåêòîðó óãëîâîé ñêîðîñòè, åñëè óãëîâàÿ ñêîðîñòü óìåíüøàåòñÿ, è ðàâíî ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò óãëîâîé ñêîðîñòè:
r r&
e = w.
22. Ïåðèîäîì îáðàùåíèÿ íàçûâàåòñÿ âðåìÿ ïîëíîãî îáîðîòà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè
ïðè äâèæåíèè ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ:
2p
.
T=
w
13
23. ×àñòîòîé îáðàùåíèÿ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî îáîðîòîâ çà îäíó ñåêóíäó:
1
w
.
n= =
T 2p
24. Ñâÿçü ìåæäó ëèíåéíûìè õàðàêòåðèñòèêàìè äâèæåíèÿ (äëèíîé
r ïóòè dS, ïðîréäåííîãî òî÷êîé ïîr îêðóæíîñòè ðàäèóñà R, rëèíåéíîé ñêîðîñòüþ u, íîðìàëüíûì a n ,
òàíãåíöèàëüíûì a t è ïîëíûì óñêîðåíèåì a) rè óãëîâûìè õàðàêòåðèñòèrêàìè äâèæåíèÿ (óãëîì ïîâîðîòà dj, óãëîâîé ñêîðîñòüþ w è óãëîâûì óñêîðåíèåì e) ìàòåðèàëüíîé òî÷êè:
r
r r
dS = R d j; u = [w, R ]; u = w R;
r
r r r
r
r
r r
r
a n = - w2 R ; a n = w2 R ; a t = [ e , R ]; a t = e R ; a = - w2 R + [ e , R ]; a = R w4 + e 2 .
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ
1. Ïðèâåäèòå ïðèìåðû òåë è óñëîâèé, ïðè êîòîðûõ èõ ìîæíî ñ÷èòàòü ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè.
2. Äàéòå îïðåäåëåíèå ñèñòåìû îòñ÷åòà.
3. ×òî òàêîå çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè?
4. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó îòðåçêîì ïóòè è ìîäóëåì âåêòîðà ïåðåìåùåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè?
5. ×òî òàêîå ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè?
6. ×òî õàðàêòåðèçóåò ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè? Êàê íàïðàâëåí âåêòîð ñêîðîñòè?
7. ×òî õàðàêòåðèçóåò óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè? Êàê íàïðàâëåí âåêòîð
óñêîðåíèÿ?
8. ×òî õàðàêòåðèçóåò íîðìàëüíîå óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè? Êàê íàïðàâëåíî íîðìàëüíîå óñêîðåíèå?
9. ×òî õàðàêòåðèçóåò òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè? Êàê íàïðàâëåíî òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèå?
10. ×òî õàðàêòåðèçóþò óãëîâàÿ ñêîðîñòü è óãëîâîå óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè?  êàêèõ ñëó÷àÿ íàïðàâëåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè è óãëîâîãî óñêîðåíèÿ èìåþò
ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ?
11. Ìîæåò ëè êðèâîëèíåéíîå äâèæåíèå áûòü ðàâíîìåðíûì?
12. ×åìó ðàâíî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ â ñëó÷àå äâèæåíèÿ ïî îêðóæíîñòè ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ?
Çàäà÷è
1. Ðàäèóñ-âåêòîð ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó:
r
r
r
r = a t i + b t 2 j,
ãäå a, b - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòå:
1) óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè y = f ( x );
2) çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè âåêòîðîâ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè è ìîäóëåé ýòèõ âåëè÷èí;
3) çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè óãëà j ìåæäó âåêòîðàìè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè;
4) âåêòîð ñðåäíåé ñêîðîñòè òî÷êè çà ïåðâûå Dt ñåêóíä äâèæåíèÿ è ìîäóëü ýòîãî âåêòîðà.
14
Ðåøåíèå
Çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè çàäàí â âåêòîðíîì âèäå. Äâèæåíèå
r òî÷êè ïðîèñõîäèò â
ïëîñêîñòè XOY. Êîýôôèöèåíò ïåðåä åäèíè÷íûì âåêòîðîì i äàåò çàâèñèìîñòü îò
âðåìåíè êîîðäèíàòû x ìàòåðèàëüíîé òî÷êè:
(1)
x = a t,
r
à êîýôôèöèåíò ïåðåä îðòîì j - çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè êîîðäèíàòû y:
(2)
y = b t 2.
Âûðàçèâ âðåìÿ èç (1) è ïîäñòàâèâ åãî â (2), íàéäåì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè:
x
b
t= ;
y = 2 x 2.
a
a
Ñëåäîâàòåëüíî, òðàåêòîðèåé òî÷êè áóäåò ïàðàáîëà, âåðøèíà êîòîðîé íàõîäèòñÿ
â íà÷àëå êîîðäèíàò, à âåòâè âûòÿíóòû â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè OY.
Çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè âåêòîðîâ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè ëåãêî íàéòè íà
îñíîâàíèè îïðåäåëåíèé êèíåìàòèêè:
r
r
r
r r
r r&
u = r& = a i + 2 b t j ;
a=u
= 2 b j,
r
ãäå êîýôôèöèåíò rïåðåä âåêòîðîì i - ïðîåê
r öèÿr âåêòîðà ñêîðîñòè íà îñü OX, à êîýôôèöèåíòû ïåðåä j - ïðîåêöèè âåêòîðîâ u è a íà îñü OY:
ux = a; u y = 2 b t; a x = 0; a y = 2 b.
Ñëåäîâàòåëüíî, çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ìîäóëåé âåêòîðîâ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè:
u = u2x + u2y = a 2 + 4 b 2 t 2 ; a = a x2 + a 2y = 2 b.
×òîáû îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè óãëà j ìåæäó âåêòîðàìè ñêîðîñ
r òèrè
óñêîðåíèÿ òî÷êè, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ñêàëÿðíûì ïðîèçâåäåíèåì âåêòîðîâ u è a:
r r
(u, a ) = ux a x + u y a y + u z a z = u a cos j .
Ñëåäîâàòåëüíî,
ux a x + u y a y + u z a z
2bt
2bt
; j = arccos
.
cos j =
=
ua
a 2 + 4 b2 t 2
a 2 + 4 b2 t 2
Íàêîíåö, íàéäåì âåêòîð ñðåäíåé ñêîðîñòè òî÷êè è åãî ìîäóëü çà ïåðâûå
Dt = t 2 - t1 ñåêóíä äâèæåíèÿ ñ ó÷åòîì,
r ÷òî t1 = 0:
r
r
r
Dr
| Dr |
; |< u> | =
,
< u> =
D
t
D
t
r
r
r
r
r
r
r
ãäå D r = ( a t 2 i + b t 22 j ) - ( a t1 i + b t12 j ) = a D t i + b D t 2 j - âåêòîð ïåðåìåùåíèÿ çà
ýòî âðåìÿ, ìîäóëü êîòîðîãî
r
| D r | = ( a D t ) 2 + (b D t 2 ) 2 = D t a 2 + b 2 D t 2 .
Ñëåäîâàòåëüíî,
r
r
r
r
< u > = a i + b D t j ; | < u > | = a 2 + b 2 Dt 2 .
r
r r
r
r
b
Îòâåò: 1) y = 2 x 2 ; 2) u = a i + 2 b t j ; a = 2 b j ; u = a 2 + 4 b 2 t 2 ; a = 2 b;
a
r
r
r
r
2bt
3) j = arccos
; 4) < u > = a i + b D t j ; | < u > | = a 2 + b 2 Dt 2 .
a 2 + 4 b2 t 2
15
2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè XOY ïî çàêîíàì:
x = A sin ( w t );
y = A [1 - cos ( w t )],
ãäå A, w - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòå:
1) óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè y = f ( x );
2) ïóòü, ïðîéäåííûé òî÷êîé çà ïåðâûå Dt ñåêóíä äâèæåíèÿ;
3) óãîë j ìåæäó âåêòîðàìè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè.
Ðåøåíèå
Çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè çàäàí â ñêàëÿðíîé ôîðìå. Âûðàçèì ôóíêöèè, çàâèñÿùèå
îò âðåìåíè, ÷åðåç êîîðäèíàòû òî÷êè
x
y
sin ( w t ) = ; cos ( w t ) = 1 - ,
A
A
âîçâåäåì â êâàäðàò ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèé è ñëîæèì:
x2
2y
y2
x2
2y
y2
2
2
sin ( w t ) = 2 ; cos ( w t ) = 1 + 2 ; 1 = 2 +1+ 2 .
A
A
A
A
A
A
Îòñþäà íàéäåì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè
(1)
x 2 + y 2 - 2 A y = 0,
êîòîðîå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ýëëèïñà.
Ïóòü, ïðîéäåííûé òî÷êîé çà ïåðâûå Dt ñåêóíä äâèæåíèÿ, áóäåò ïðåäñòàâëÿòü
ñîáîé äëèíó êðèâîé, ÿâëÿþùåéñÿ ÷àñòüþ ýëëèïñà. Î÷åâèäíî, ÷òî ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ òðàåêòîðèè (1) íàéòè ïóòü êðàéíå ñëîæíî.
 îáùåì ñëó÷àå ïðè êðèâîëèíåéíîì äâèæåíèè ïóòü ðàâåí
Dt
D S = ò u dt,
0
ãäå u – çàâèñèìîñòü ìîäóëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè îò âðåìåíè.
Âçÿâ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò çàêîíîâ äâèæåíèÿ òî÷êè, íàéäåì ïðîåêöèè
âåêòîðà ñêîðîñòè íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
ux = x& = A w cos ( w t ); u y = y& = A w sin ( w t ).
Ñëåäîâàòåëüíî, ìîäóëü âåêòîðà ñêîðîñòè
u=
à èñêîìûé ïóòü
u2x + u2y = A w
cos 2 ( w t ) + sin 2 ( w t ) = A w = const,
Dt
D S = ò A w dt = A w D t.
0
Çàïèñàâ âåêòîð ñêîðîñòè â âèäå
r
r
r
r
r
u = ux i + u y j = A w cos ( w t ) i + A w sin ( w t ) j ,
íàéäåì âåêòîð óñêîðåíèÿ òî÷êè
r
r
r r&
a=u
= - A w2 sin ( w t ) i + A w2 cos ( w t ) j
è åãî ìîäóëü
a = a x2 + a 2y = A w2 sin 2 ( w t ) + cos 2 ( w t ) = A w2 ,
ãäå a x = - A w2 sin ( w t ), a y = A w2 cos ( w t ) - ïðîåêöèè âåêòîðà óñêîðåíèÿ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò.
16
Óãîë j ìåæäó âåêòîr ðàìè
r ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè íàéäåì ÷åðåç ñêàëÿðíîå
ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ u è a:
r r
(u, a ) = ux a x + u y a y + u z a z = u a cos j;
ux a x + u y a y + u z a z - A 2 w3 sin ( w t ) cos ( w t ) + A 2 w3 sin ( w t ) cos ( w t )
cos j =
=
= 0;
ua
A 2 w3
j = 1 2 p.
Îòâåò: 1) x 2 + y 2 - 2 A y = 0; 2) DS = A w D t; 3) j = 1 2 p.
r
3. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè XOY ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a,
íàïðàâëåíèå êîòîðîãî ïðîòèâîïîëîæíî ïîëîæèòåëüíîìó íàïðàâëåíèþ îñè OY.
Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè èìååò âèä y = a x - b x 2 , ãäå a, b - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü òî÷êè â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè íåèçâåñòåí, à èçâåñòíû òîëüêî ïðîåêöèè
óñêîðåíèÿ òî÷êè íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò (a x = 0; a y = - a), òî, äâàæäû ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ óðàâíåíèå òðàåêòîðèè, ïîëó÷èì:
&&y = a &&
(1)
y& = a x& - 2 b x x& ;
x - 2 b x &&
x - 2 b x& 2 ,
ãäå x& = ux , y& = u y , &&
x = a x , &&y = a y - ïðîåêöèè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò ñîîòâåòñòâåííî.
Çàïèñàâ óðàâíåíèÿ (1) â âèäå
u y = ( a - 2 b x ) ux ; a y = a a x - 2 b x a x - 2 b u2x
ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ çàäà÷è (a x = 0; a y = - a)
- a = - 2 b u2x ,
íàéäåì ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè òî÷êè íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò è âåëè÷èíó âåêòîðà ñêîðîñòè â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå òðàåêòîðèè:
a
a
a
; u y = (a - 2 b x )
; u = u2x + u2y =
ux =
[1 + ( a - 2 b x ) 2 ].
2b
2b
2b
Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü òî÷êè â íà÷àëå êîîðäèíàò (x = y = 0)
a
u0 =
(1 + a 2 ).
2b
a
Îòâåò: u0 =
(1 + a 2 ).
2b
4. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, çàìåäëÿÿñü, äâèæåòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè
îñè OX ñ óñêîðåíèåì, ìîäóëü êîòîðîãî çàâèñèò îò ñêîðîñòè ïî çàêîíó: a = g u, ãäå
g - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  ìîìåíò âðåìåíè t 0 = 0 ñêîðîñòü òî÷êè ðàâíà u0 .
Êàêîé ïóòü ïðîéäåò òî÷êà äî îñòàíîâêè?
Ðåøåíèå
Ïðè ïðîèçâîëüíîì äâèæåíèè ïóòü ðàâåí
Dt
D S = ò u dt,
0
ãäå u – çàâèñèìîñòü ìîäóëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè îò âðåìåíè.
17
Ïîñêîëüêó òî÷êà äâèæåòñÿ çàìåäëÿÿñü, òî çà áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ dt ïðèðàùåíèå ìîäóëÿ ñêîðîñòè ñîñòàâèò ( - d u). Ïðåäñòàâèì óñêîðåíèå òî÷êè êàê
du
a=dt
è çàïèøåì çàäàííóþ çàâèñèìîñòü óñêîðåíèÿ òî÷êè îò åå ñêîðîñòè (a = g u) â âèäå
du
(1)
= g u.
dt
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (1) è èíòåãðèðóÿ
u
t
du
du
= g dt; - ò
= ò g dt,
u
u 0
u0
ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü ìîäóëÿ ñêîðîñòè òî÷êè îò âðåìåíè:
2
u
u0
u
= g t;
2 ( u0 - u ) = g t;
u = ( u0 - 1 2 g t ) 2 .
 ìîìåíò îñòàíîâêè ñêîðîñòü òî÷êè ðàâíà íóëþ:
0 = ( u0 - 1 2 g Dt ) 2 ; Dt = 2 u0 g.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïóòü, ïðîéäåííûé òî÷êîé çà âðåìÿ Dt:
Dt
Dt
2
D S = ò ( u0 - 2 g t ) dt = ò ( u0 - g
1
0
u0 t + 1 4 g 2 t 2 ) dt = u0 D t - 1 2 g
u0 D t 2 + 112 g 2 D t 3;
0
DS = u0
2
u0
g
-
2 u0 2 u0 u0 2 u0 u0 2 u30 2
.
u0
+
=
=
g
3g
3g
3g
Îòâåò: DS = 2 u30 2 3 g.
5. Ëîäêà äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî âîäû ñî ñêîðîñòüþ â n = 2 ðàçà ìåíüøåé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ðåêè. Ïîä êàêèì óãëîì ê íàïðàâëåíèþ òå÷åíèÿ ëîäêà äîëæíà äåðæàòü
êóðñ, ÷òîáû:
1) åå ñíåñëî òå÷åíèåì êàê ìîæíî ìåíüøå;
2) ïåðåïëûòü ðåêó çà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ?
Y
Ðåøåíèå
A
Î÷åâèäíî, ÷òîáû ëîäêó ñíåñëî êàê ìîæíî ìåíür
øå, îíà äîëæíà ïëûòü ïðîòèâ òå÷åíèÿ, äåðæà êóðñ
uð
ïîä íåêîòîðûì óãëîì a ê áåðåãîrâîé ëèíèè.
S r
r
uë
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ëîäêèr u ë îòíîñèòåëüíî âîu
X äû ìåíüøå ñêîðîñòè òå÷åíèÿ u
a
ð ðåêè, òî ïåðåïëûòü
L
O
ðåêó òàê, ÷òîáû òå÷åíèå åå íå ñíåñëî, ëîäêà íå ñìîÐèñ. ê çàäà÷å ¹5
æåò.
Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò XOY, ïîìåñòèâ åå íà÷àëî â òî÷êó íà áåðåãó, èç êîòîðîé ëîäêà íà÷àëà äâèæåíèå, è çàïèøåì çàêîí ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ ëîäêè â âèäå
x = ux t ;
y = u y t,
r
ãäå ux , u y - ïðîåêöèè ñêîðîñòè u ëîäêè îòíîñèòåëüíî áåðåãà
r r
r
u = u ë + uð
íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò: ux = - u ë cos a + uð ; u y = u ë sin a.
18
 ìîìåíò âðåìåíè Dt, êîãäà ëîäêà äîñòèãíåò ïðîòèâîïîëîæíîãî áåðåãà ðåêè
( x = L ; y = S),
(1)
L = ( - u ë cos a + uð ) D t; S = u ë sin a D t,
ãäå L - âåëè÷èíà ñíîñà ëîäêè; S - øèðèíà ðåêè.
Èñêëþ÷èâ â (1) âðåìÿ, ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû ñíîñà ëîäêè îò óãëà a,
uð - u ë cos a
S
; L=S
,
(2)
Dt =
u ë sin a
u ë sin a
êîòîðóþ èññëåäóåì íà ýêñòðåìóì:
u ë sin 2 a - ( uð - u ë cos a) cos a
dL
; u ë sin 2 a m - ( uð - u ë cos a m ) cos a m = 0;
=S
2
da
u ë sin a
cos a m = u ë uð ; cos a m = 1 n = 1 2 ; a m = 1 3 p .
Áåç äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè (2) ÿñíî, ÷òî âåëè÷èíà ñíîñà áóäåò ìèíèìàëüíà, åñëè ëîäêà áóäåò äåðæàòü êóðñ ïîä óãëîì a m ê áåðåãó èëè ïîä óãëîì
b = p - a m = 23 p
ê íàïðàâëåíèþ òå÷åíèÿ ðåêè.
Ïîñêîëüêó çà ïåðåìåùåíèå ëîäêè â íàïðàâëåíèè îñè OY îòâå÷àåò òîëüêî ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè ëîäêè u y , ðàâíàÿ
u y = u ë sin a,
òî ÷òîáû ïåðåïëûòü ðåêó çà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, ëîäêà äîëæíà äåðæàòü êóðñ ïåðïåíäèêóëÿðíî òå÷åíèþ ( b¢ = 1 2 p ).
Îòâåò: b = 2 3 p; b¢ = 1 2 p .
6. Äâå ÷àñòèöû, 1 è 2, äâèæóòñÿ ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè u1 = 0,4 ì/ñ è
u2 = 0,3 ì/ñ ïî äâóì âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûì ïðÿìûì ê òî÷êå èõ ïåðåñå÷åíèÿ O.
 ìîìåíò âðåìåíè t 0 = 0 ÷àñòèöû íàõîäèëèñü îò òî÷êè O íà ðàññòîÿíèÿõ l1 = 3 ì è
l2 = 1 ì ñîîòâåòñòâåííî. ×åðåç ñêîëüêî âðåìåíè ïîñëå ýòîãî ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè áóäåò íàèìåíüøèì? ×åìó îíî ðàâíî?
Ðåøåíèå
Y
Î÷åâèäíî, ïðè äâèæåíèè ÷àñòèö ðàññòîÿíèå
ìåæäó íèìè ñíà÷àëà áóäåò ñîêðàùàòüñÿ, à íà÷èíàÿ ñ
l2 r2
íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåíè - óâåëè÷èâàòüñÿ. Ïîýòîu2
y
ìó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íàéäåì çàâèñèìîñòü ðàññòîÿ2
l
íèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè îò âðåìåíè è èññëåäóåì åå íà
r
ýêñòðåìóì.
u1 1 X
O
Ïîñêîëüêó îáå ÷àñòèöû äâèæóòñÿ ðàâíîìåðíî,
x1
l1
òî èõ êîîðäèíàòû ñ òå÷åíèåì âðåìåíè áóäóò èçìåÐèñ. 1 ê çàäà÷å ¹6
íÿòüñÿ ïî çàêîíàì:
x 1 = l1 - u1 t; y1 = 0; x 2 = 0; y 2 = l2 - u2 t,
à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè
l = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 =
( l1 - u1 t ) 2 + ( l2 - u2 t ) 2 .
(1)
19
Òàê êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè íå ìîæåò áûòü îòðèöàòåëüíûì, òî âìåñòî
òîãî, ÷òîáû èññëåäîâàòü íà ýêñòðåìóì çàâèñèìîñòü (1), èññëåäóåì ôóíêöèþ
f ( t ) = l 2 = ( l1 - u1 t ) 2 + ( l2 - u2 t ) 2 = ( u12 + u22 ) t 2 - 2 ( l1 u1 + l2 u2 ) t + ( l12 + l22 ) . (2)
Ñëåäîâàòåëüíî,
l u +l u
df
= 2 ( u12 + u22 ) t - 2 ( l1 u1 + l2 u2 ); (u12 + u22 ) t m - ( l1 u1 + l2 u2 ) = 0; t m = 1 12 2 2 2 .
dt
u1 + u2
Ïîñêîëüêó â òî÷êå ýêñòðåìóìà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f ( t )
æ d2 f ö
çç 2 ÷÷
= 2 ( u12 + u22 ) > 0,
è dt ø t = tm
òî â ìîìåíò âðåìåíè t = t m ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè áóäåò íàèìåíüøèì.
Ê òîìó æå ðåçóëüòàòó ìîæíî ïðèéòè è ïî-äðóãîìó, åñëè çàìåòèòü, ÷òî ïðàâàÿ
÷àñòü (2) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ïàðàáîëû ñ âåðøèíîé â òî÷êå
l u +l u
(3)
t âåðø = t m = 1 12 22 2 = 6 ñ.
u1 + u2
Ïîäñòàâèâ (3) â (1), íàéäåì ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ:
( l1 u1 + l2 u2 ) 2
( l1 u1 + l2 u2 ) 2
l u -l u
lmin =
-2
+ ( l12 + l22 ) = 1 2 2 1 = 1 ì.
2
2
2
2
u1 + u2
u1 + u2
u12 + u22
Y
A
Ðàññìîòðèì åùå îäèí ñïîñîá ðåøåíèÿ çàäà÷è,
êîòîðûé ÷àñòî áûâàåò áîëåå óäîáíûì.
C
a
Ââåäåì ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ, íàïðèìåð,
l
ñ ÷àñòèöåé 2.  ýòîé ñèñòåìå ÷àñòèöà 2 ñòàíåò íåïîrl2 min
r
u2
äâèæíîé, à ÷àñòèöà 1 áóäåò äâèãàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ
r uîòí
r
r
r
u1 a l1 X
uîòí = u1 - u2 ; uîòí = u12 + u22 ,
O
r
r
íàïðàâëåííîé ïîä óãëîì a ê ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé
uîòí u2
÷àñòèöó 1 ñ òî÷êîé O. Î÷åâèäíî, ÷òî ìèíèìàëüíîå
Ðèñ. 2 ê çàäà÷å ¹6
ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè áóäåò â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ÷àñòèöà 1 îêàæåòñÿ â òî÷êå C (ñì. ðèñ. 2). Êàê ñëåäóåò èç ðèñóíêà, â ýòîò
ìîìåíò âðåìåíè ðàññòîÿíèå îò ÷àñòèöû 2 äî òî÷êè A ðàâíî (l1 tg a - l2 ), à äî òî÷êè C
lmin = ( l1 tg a - l2 ) cos a = l1 sin a - l2 cos a,
ãäå sin a = u2 uîòí ; cos a = u1 uîòí . Ñëåäîâàòåëüíî,
l u -l u
l u -l u
lmin = 1 2 2 1 = 1 2 2 1 .
uîòí
u12 + u22
Î÷åâèäíî, âðåìÿ, ÷åðåç êîòîðîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ÷àñòèöàìè áóäåò íàèìåíüøèì,
l cos a - lmin tg a l1 u1 + l2 u2
.
tm = 1
=
uîòí
u12 + u22
l u +l u
l u -l u
Îòâåò: t m = 1 12 22 2 = 6 ñ; lmin = 1 2 2 1 = 1 ì.
u1 + u2
u12 + u22
20
7. ×àñòèöà, âûëåòåâ èç èñòî÷íèêà, ïðîõîäèò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ïóòü
l = 2 ì, à çàòåì òîðìîçèòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a = 5×105 ì/ñ2. Ïðè êàêîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ÷àñòèöû âðåìÿ åå äâèæåíèÿ îò âûëåòà èç èñòî÷íèêà äî îñòàíîâêè
áóäåò íàèìåíüøèì? Íà êàêîå ðàññòîÿíèå ÷àñòèöà óäàëèòñÿ îò èñòî÷íèêà çà ýòî
âðåìÿ?
Ðåøåíèå
r
r
Åñëè íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû áóäåò r
a
u
u
áîëüøîé, òî âðåìÿ ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ áóX
äåò ìàëûì, à âðåìÿ òîðìîæåíèÿ - áîëüøèì. Åñëè O
L
l
æå íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû áóäåò íåáîëüÐèñ. ê çàäà÷å ¹7
øîé, òî âðåìÿ ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ áóäåò
áîëüøèì, à âðåìÿ òîðìîæåíèÿ - ìàëûì. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò íåêîòîðîå çíà÷åíèå íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, ïðè êîòîðîì âðåìÿ äâèæåíèÿ äî îñòàíîâêè áóäåò ìèíèìàëüíûì.
Äâèãàÿñü ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u, ïåðâûé ó÷àñòîê ïóòè äëèíîé l ÷àñòèöà
ïðîéäåò çà âðåìÿ
Dt1 = l u.
Íàïðàâèì îñü OX ïî äâèæåíèþ ÷àñòèöû, ïîìåñòèâ íà÷àëî îòñ÷åòà O ó èñòî÷íèêà, è çàïèøåì çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû íà âòîðîì ó÷àñòêå è çàâèñèìîñòü ïðîåêöèè åå ñêîðîñòè îò âðåìåíè â âèäå
x = l + u t - 1 2 a t 2 ; ux = u - a t .
 êîíöå ó÷àñòêà òîðìîæåíèÿ êîîðäèíàòà ÷àñòèöû ïðèìåò çíà÷åíèå L, à ñêîðîñòü ñòàíåò ðàâíîé íóëþ:
L = l + u D t 2 - 1 2 a D t 22 ; 0 = u - a D t 2 ,
ãäå Dt 2 - âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû íà âòîðîì ó÷àñòêå.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëíîå âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû îò âûëåòà èç èñòî÷íèêà äî
îñòàíîâêè
l u
(1)
t = D t1 + D t 2 = + .
u a
Èññëåäóåì âûðàæåíèå (1) íà ýêñòðåìóì:
æ d 2t ö
dt
l
1
l
1
2l
÷
= - 2 + ; - 2 + = 0; um = a l; çç
= 2 > 0.
2 ÷
du
u
a
um a
è d u ø u = u m um
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè
u = um = a l = 103 ì/ñ
âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû îò âûëåòà èç èñòî÷íèêà äî îñòàíîâêè áóäåò íàèìåíüøèì.
Ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå çà ýòî âðåìÿ ÷àñòèöà óäàëèòñÿ îò èñòî÷íèêà,
L = l + u D t 2 - 1 2 a D t 22 = l + 1 2 u2 a = 3 2 l = 3 ì.
Îòâåò: u =
a l = 103 ì/ñ; L = 3 2 l = 3 ì.
8. Ðàññòîÿíèå DS = 10 êì ìåæäó äâóìÿ îñòàíîâêàìè àâòîáóñ ïðîøåë ñî ñðåäíåé
ñêîðîñòüþ < u > = 40 êì/÷, ïðè÷åì â íà÷àëå îí äâèãàëñÿ ðàâíîóñêîðåííî, çàòåì ðàâíîìåðíî, à â êîíöå ðàâíîçàìåäëåííî. Íà ðàçãîí è íà òîðìîæåíèå óøëî â îáùåé
ñëîæíîñòè Dt = 12 ìèí. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ àâòîáóñà.
21
r
a1
r
u
r
a3
Ðåøåíèå
Ïóòü DS, ïðîéäåííûé àâòîáóñîì îò îäíîé
îñòà
íîâ
êè äî äðóãîé, ðàçîáüåì íà òðè ó÷àñòêà.
X
Íà ïåðâîì ó÷àñòêå ïóòè äëèíîé DS1 àâòîáóñ
O
DS1 DS1 + DS 2 DS1 + DS 2 + DS 3
äâèãàëñÿ áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñ óñêîðåíèåì a1
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹8
â òå÷åíèå âðåìåíè Dt1 . Íà âòîðîì ó÷àñòêå ïóòè
äëèíîé DS 2 àâòîáóñ äâèãàëñÿ ðàâíîìåðíî ñî ñêîðîñòüþ u â òå÷åíèå âðåìåíè Dt 2 . Íà
òðåòüåì ó÷àñòêå ïóòè äëèíîé DS 3 àâòîáóñ äâèãàëñÿ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ u ðàâíîçàìåäëåííî ñ óñêîðåíèåì a 3 â òå÷åíèå âðåìåíè Dt 3 .
Íàïðàâèì îñü OX ñèñòåìû êîîðäèíàò âäîëü äâèæåíèÿ àâòîáóñà, ïîìåñòèâ íà÷àëî îòñ÷åòà O ó ïåðâîé îñòàíîâêè, è çàïèøåì çàêîíû äâèæåíèÿ àâòîáóñà è çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðîåêöèé åãî ñêîðîñòè íà îñü OX íà âñåõ ó÷àñòêàõ â âèäå
à) íà ïåðâîì ó÷àñòêå:
x = 1 2 a1 t 2 ; ux = a1 t;
á) íà âòîðîì ó÷àñòêå:
x = x 0-2 + u t;
â) íà òðåòüåì ó÷àñòêå:
x = x 0-3 + u t - 1 2 a 3 t 2 ; ux = u - a 3 t,
ãäå x 0-2 – êîîðäèíàòà àâòîáóñà â íà÷àëå âòîðîãî ó÷àñòêà, ðàâíàÿ DS1 ; x 0-3 – êîîðäèíàòà àâòîáóñà â íà÷àëå òðåòüåãî ó÷àñòêà, ðàâíàÿ D S1 + D S 2 .
Çàïèøåì çàêîíû äâèæåíèÿ â ìîìåíòû âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèå îêîí÷àíèþ
äâèæåíèÿ íà ó÷àñòêàõ:
à) â êîíöå ïåðâîãî ó÷àñòêà (x = D S1 ; ux = u):
D S1 = 1 2 a1 D t12 ; u = a1 D t1 ;
á) â êîíöå âòîðîãî ó÷àñòêà (x = D S1 + D S 2 ):
D S1 + D S 2 = D S1 + u D t 2 ;
â) â êîíöå òðåòüåãî ó÷àñòêà (x = D S1 + D S 2 + D S 3 ; ux = 0):
D S1 + D S 2 + D S 3 = D S1 + D S 2 + u D t 3 - 1 2 a 3 D t 32 ; 0 = u - a 3 Dt 3 .
Ðåøèâ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ çàäà÷è
DS
,
D S = D S1 + D S 2 + D S 3 ; D t = D t1 + D t 3 ; < u > =
D t + D t2
íàõîäèì:
u
u
DS
; D S1 = 1 2 u D t1 ; D S 2 = u D t 2 ; a 3 =
; D S 3 = 12 u D t 3; D t 2 =
a1 =
- Dt;
D t1
D t3
< u>
ì DS
ü
ì DS
ü
D S = 1 2 u D t1 + u D t 2 + 1 2 u D t 3 = 1 2 u D t + u í
- Dt ý = u í
- 1 2 Dt ý;
î < u>
þ
î < u>
þ
2 DS < u>
u=
» 66,7 êì/÷.
2 DS - < u> Dt
2 DS < u>
Îòâåò: u =
» 66,7 êì/÷.
2 DS - < u> Dt
9. Òåëî, áðîøåííîå âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ âûñîòû h = 2 ì, óïàëî íà çåìëþ ÷åðåç
Dt = 2 ñ ïîñëå áðîñêà. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà, îïðåäåëèòå, íà êàêóþ
ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó îòíîñèòåëüíî çåìëè ïîäíèìàëîñü òåëî ïðè ñâîåì äâèæåíèè.
22
Ðåøåíèå
Ïîìåñòèì íà÷àëî îòñ÷åòà O â òî÷êó íà ïîâåðõíîñòè
B Y
çåìëè, à îñü OY ñèñòåìû êîîðäèíàò íàïðàâèì âåð
r òèêàëüíî
ââåðõ.
r Ïðîåêöèè âåêòîðîâ íà÷àëüíîé ñêîðîñòè u0 è óñêîðåíèÿ g íà îñü OY ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: u0 y = u0 , g y = - g .
Çàêîí äâèæåíèÿ òåëà è çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ïðîr
g
åêöèè ñêîðîñòè íà îñü OY áóäóò èìåòü âèä
r
hmax u
0
(1)
y = h + u0 t - 1 2 g t 2 ;
(2)
u y = u0 - g t .
h
Çàïèøåì çàêîí äâèæåíèÿ (1) â ìîìåíòû âðåìåíè t â è
O
Dt, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëîæåíèþ òåëà íà ìàêñèìàëüíîé
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹9
âûñîòå h max (òî÷êà B) è â ìîìåíò ïàäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòü
çåìëè:
(3)
hmax = h + u0 t â - 1 2 g t â2 ; 0 = h + u0 D t - 1 2 g D t 2 .
Âðåìÿ t â ïîäúåìà òåëà íà âûñîòó hmax íàéäåì èç çàâèñèìîñòè (2), çàïèñàâ åå â
íàèâûñøåé òî÷êå òðàåêòîðèè, ãäå u y = 0:
(4)
0 = u0 - g t â .
Èç (3) ñ ó÷åòîì (4) ïîëó÷èì:
u0
u20 u20
u20
g Dt2 - 2 h
( g D t 2 - 2 h) 2
; u0 =
; hmax = h +
tâ =
=h+
=h+
» 6 ì.
g
2 Dt
g 2g
2g
8 g Dt2
Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî â òå÷åíèå âñåãî âðåìåíè äâèæåíèÿ òåëà åãî
óñêîðåíèå ïîñòîÿííî ( g y = - g ). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî çàêîíû (1) -(2) îïèñûâàþò äâèæåíèå òåëà íà âñåé òðàåêòîðèè (êàê ââåðõ, òàê è âíèç). ×àñòî îïèñûâàþò äâèæåíèå
òåëà, áðîøåííîãî âåðòèêàëüíî ââåðõ, äâóìÿ çàêîíàìè – îäèí äëÿ ðàâíîçàìåäëåííîãî
äâèæåíèÿ äî âûñøåé òî÷êè òðàåêòîðèè, âòîðîé – äëÿ ðàâíîóñêîðåííîãî äâèæåíèÿ èç
íåå âíèç (ñìåíèâ íàïðàâëåíèå îñè íà ïðîòèâîïîëîæíîå). Òàêîé ïîäõîä íå ðàöèîíàëåí.
( g D t 2 - 2 h) 2
Îòâåò: hmax = h +
» 6 ì.
8 g Dt2
10. Ñ ñàìîëåòà, ëåòÿùåãî ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 720 êì/÷ íà âûñîòå
H = 2 êì, ñáðîøåí ãðóç. Íà êàêîé âûñîòå ñêîðîñòü ãðóçà áóäåò íàïðàâëåíà ïîä
óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó? Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ãðóçà â ýòîé òî÷êå. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå
r
u0
 ìîìåíò îòräåëåíèÿ îò ñàìîëåòà ãðóç áóäåò
X
èìåòü ñêîðîñòü u0 , íàïðàâëåííóþ ãîðèçîíòàëüO
r
uâ x
íî, è ïîñëå ñáðî
ñà
áó
äåò
äâè
ãàòü
ñÿ
ïî
ïà
ðà
áî
ëå
ñ
B
r
r
r gr
a u
óñêîðåíèåì g.
uâ y
H
â
Ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò XOY òàê, êàê
h
Y
ïîêàçàíî íà ðèñóíêå: íà÷àëî ñîâìåñòèì ñ òî÷êîé
îòäåëåíèÿ ãðóçà îò ñàìîëåòà, îñü rOX íàïðàâèì
âäîëü âåêòîðà íà÷àëüíîé ñêîðîñòè u0 , à îñü OY Ðèñ. 1 ê çàäà÷å ¹10
23
r
r
r
âäîëü âåêòîðà óñêîðåíèÿ g. Ïðîåêöèè âåêòîðîâ u0 è g íà îñè âûáðàííîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: u0 x = u0 , u0 y = 0, g x = 0, g y = g . Êîîðäèíàòû ãðóçà è ïðîåêöèè åãî ñêîðîñòè áóäóò èçìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïî çàêîíàì:
ì ux = u0 ;
ì x = u0 t ;
í
í
2
î y = 1 2 g t ; î u y = g t.
r
Ïðè äâèæåíèè ïî ïàðàáîëå íàïðàâëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè u ãðóçà áóäåò íåïðåðûâíî ìåíÿòüñÿ. Â ìîìåíò âðåìåíè t â , ñîîòâåòñòâóþùèé íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè
ãðóçà ïîä óãëîì a ê ãîðèçîíòó (òî÷êà B), ïðîåêöèè âåêòîðà ñêîðîñòè íà îñè ñèñòåìû
êîîðäèíàò uâ x = u0 è uâ y = g t â ñâÿçàíû î÷åâèäíûì ñîîòíîøåíèåì
uâ y = uâ x tg a, èëè g t â = u0 tg a,
à êîîðäèíàòà y â = H - h . Ñëåäîâàòåëüíî,
u tg a
g t â2
u2 tg 2 a
; H-h=
; h=H- 0
tâ = 0
» 1,32 êì.
g
2
2
g
r
uâ x
Ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè R â òî÷êå B
B
X
a r
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàäèóñ ñîïðèêàñàþùåéñÿ
uâ
r
îêðóæíîñòè è ìîæåò áûòü íàéäåí èç ôîðìóëû
an a
äëÿ íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ ãðóçà â òî÷êå B:
r
g
a n = u2â R ,
r
ãäå uâ - ìîäóëü âåêòîðà ñêîðîñòè â ìîìåíò râðån
Y
ìåíè t â ; ar n - ïðîåêöèÿ âåêòîðà óñêîðåíèÿ g íà
íîðìàëü n ê òðàåêòîðèè (ñì. ðèñ. 2):
Ðèñ. 2 ê çàäà÷å ¹10
uâ x
u0
; a n = g cos a.
uâ =
=
cos a cos a
Ñëåäîâàòåëüíî,
u20
R=
» 6,28 êì.
g cos 3 a
u2 tg 2 a
u20
Îòâåò: h = H - 0
» 1,32 êì; R =
» 6,28 êì.
2g
g cos 3 a
11. Êàìåíü áðî ñèëè ââåðõ ñ íåêîòîðîé âûñîòû h ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ
u0 = 10 ì/ñ ïîä óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó. Â ìîìåíò ïàäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòü çåìëè
ñêîðîñòü êàìíÿ â äâà ðàçà áîëüøå ñêîðîñòè â âûñøåé òî÷êå òðàåêòîðèè. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà, îïðåäåëèòå:
1) âûñîòó h, ñ êîòîðîé áûë áðîøåí êàìåíü;
2) ãîðèçîíòàëüíóþ äàëüíîñòü ïîëåòà êàìíÿ;
3) ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà êàìíÿ îòíîñèòåëüíî çåìëè.
Ðåøåíèå
Âûáåðåì ñèñòåìó îòñ÷åòà èç ñîîáðàæåíèé óäîáñòâà çàïèñè çàêîíîâ äâèæåíèÿ
êàìíÿ. Åñòåñòâåííî íàïðàâèòü êîîðäèíàòíûå îñè ãîðèçîíòàëüíî è âåðòèêàëüíî òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû òî÷êà áðîñêà íàõîäèëàñü â íà÷àëå îòñ÷åòà õîòÿ áû ïî îäíîé èç
îñåé. Ìîæíî, íàïðèìåð, âûáðàòü ñèñòåìó êîîðäèíàò XOYròàê, rêàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû êàìíÿ è ïðîåêöèè âåêòîðîâ u0 è g íà îñè ñèñòåìû êî24
Y
r
M uì
îðäèíàò ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: x 0 = 0,
r
y 0 = h , u0 x = u0 cos a, u0 y = u0 sin a, r
u0
r
g x = 0, g y = - g . Çàêîíû äâèæåíèÿ êàì- u0 y a
g
h max
íÿ è çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðîåêöèé
âåêòîðà ñêîðîñòè ïðèìóò âèä
r
h r
u
u
K
êx X
0
x
x = u0 cos a t ;
ì
í
br
2
O
1
r
î y = h + u0 sin a t - 2 g t ;
uê y
uê
u
=
u
cos
a
;
ì
x
0
í u = u sin a - g t .
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹11
0
î y
 ìîìåíò âðåìåíè t ì , ñîîòâåòñòâóþùèé âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè (òî÷êà M),
y ì = hmax, uì x = uì , uì y = 0. Ñëåäîâàòåëüíî,
(1)
hmax = h + u0 sin a t ì - 1 2 g t ì2 ; uì = u0 cos a; 0 = u0 sin a - g t ì .
 ìîìåíò âðåìåíè t ê ïàäåíèÿ êàìíÿ íà ïîâåðõíîñòü çåìëè (òî÷êà Ê) x ê = S,
y ê = 0, uê x = uê cos b, uê y = - uê sin b:
(2)
S = u0 cos a t ê ; 0 = h + u0 sin a t ê - 1 2 g t ê2 ;
(3)
uê cos b = u0 cos a; uê sin b = g t ê - u0 sin a.
Âîçâåäåì â êâàäðàò ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (3) è ñëîæèì èõ:
u2ê cos 2 b + u2ê sin 2 b = u20 cos 2 a + ( g t ê - u0 sin a ) 2 ;
(4)
u2ê = u20 cos 2 a + ( u0 sin a - g t ê ) 2 .
Ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ çàäà÷è (uê = 2 uì ) èç (1) è (4) ïîëó÷èì:
sin a + 3 cos a
.
u20 cos 2 a + ( g t ê - u0 sin a) 2 = 4 u20 cos 2 a; t ê = u0
g
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t ê â ïåðâîå èç óðàâíåíèé (2), íàéäåì ãîðèçîíòàëüíóþ äàëüíîñòü ïîëåòà êàìíÿ S, à âî âòîðîå èç óðàâíåíèé (2) - âûñîòó h, ñ êîòîðîé áûë áðîøåí êàìåíü:
u20 cos a (sin a + 3 cos a )
S=
» 17,7 ì;
g
u2 ( 4 cos 2 a - 1)
(5)
h = 1 2 g t ê2 - u0 sin a t ê = 0
» 10,2 ì.
2g
Èç óðàâíåíèé (1) ñ ó÷åòîì (5) îïðåäåëèì ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà êàìíÿ
îòíîñèòåëüíî çåìëè:
u0 sin a
u20 sin 2 a u20 ( 4 cos 2 a - 1) u20 sin 2 a 3 u20 cos 2 a
; hmax = h +
tì =
=
+
=
» 11,5 ì.
g
2g
2g
2g
2g
u20 cos a (sin a + 3 cos a )
u20 ( 4 cos 2 a - 1)
Îòâåò: 1) h =
» 10,2 ì; 2) S =
» 17,7 ì;
2g
g
3 u20 cos 2 a
3) hmax =
» 11,5 ì.
2g
12. Äâà êàìíÿ ðàñïîëîæåíû íà îäèíàêîâîé âûñîòå íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè íà
ðàññòîÿíèè l = 42 ì äðóã îò äðóãà. Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îäèí êàìåíü áðî ñèëè âåðòèêàëüíî ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ u1 = 5 ì/ñ, à âòîðîé - îäíîâðåìåííî áðîñèëè
25
ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ u2 = 8 ì/ñ ïîä óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó â íàïðàâëåíèè ê ïåðâîìó êàìíþ. Îïðåäåëèòå íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó êàìíÿìè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå
Ïîñòàíîâêà çàäà÷è íàïîìèíàåò óñëîâèå çàäà÷è ¹6. Îñíîâíîå îòëè÷èå äàííîé çàäà÷è ñîr
ñòîèò â òîì, ÷òî çäåñü îáà òåëà äâèæóòñÿ ñ óñêîg
ðåíèÿìè, ïðè÷åì îäíî èç íèõ äâèæåòñÿ ïî ïàðàr
r
u1
u2
áîëå.
1
a 2 X
Ïðè äâèæåíèè ðàññòîÿíèå ìåæäó êàìíÿìè
O
l
áóäåò ìåíÿòüñÿ. ×òîáû îïðåäåëèòü íàèìåíüøåå
Ðèñ. 1 ê çàäà÷å ¹12
ðàññòîÿíèå ìåæäó êàìíÿìè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ, íàéäåì çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè ðàññòîÿíèÿ ìåæäó íèìè, à çàòåì èññëåäóåì åå
íà ýêñòðåìóì.
Çàïèñàâ çàêîíû äâèæåíèÿ êàìíåé â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò XOY
(ñì. ðèñ. 1),
x 1 = 0;
y1 = u1 t - 1 2 g t 2 ;
x 2 = l - u2 cos a t;
y 2 = u2 sin a t - 1 2 g t 2 ,
íàéäåì ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè:
Y
(1)
l = ( x 2 - x 1 ) 2 + ( y 2 - y1 ) 2 = ( l - u2 cos a t ) 2 + ( u2 sin a t - u1 t ) 2 .
Èññëåäóåì íà ýêñòðåìóì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå (1):
f ( t ) = ( l - u2 cos a t ) 2 + ( u2 sin a - u1 ) 2 t 2 ;
df
= - 2 u2 cos a ( l - u2 cos a t ) + 2 ( u2 sin a - u1 ) 2 t;
dt
u2 cos a l
;
- 2 u2 cos a ( l - u2 cos a t m ) + 2 ( u2 sin a - u1 ) 2 t m = 0; t m = 2
u1 - 2 u1 u2 sin a + u22
æ d2 f ö
çç 2 ÷÷
= 2 u22 cos 2 a + 2 ( u2 sin a - u1 ) 2 > 0.
è dt ø t = tm
Ñëåäîâàòåëüíî,
u1 - u2 sin a
lmin = ( l - u2 cos a t m ) 2 + ( u2 sin a - u1 ) 2 t m2 = l
= 6 ì.
u12 - 2 u1 u2 sin a + u22
Ðåøèì çàäà÷ó äðóãèì ñïîñîáîì, ââåäÿ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ, íàïðèìåð,
ñ ïåðâûì êàìíåì. Â ýòîé ñèñòåìå ïåðâûé êàìåíü áóäåò íåïîäâèæíûì, à âòîðîé áóäåò äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèåì r
r r
r r
a 2 îòí = a 2 - a1 = g - g = 0,
r
òî åñòü ðàâíîìåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü
u2 îòí
r
r âòîðîãî êàìíÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî áóäåò ïîr
u1
u2 u1 ñòî
r ÿííîér è ðàâ
r íîé
l
u2 îòí = u2 - u1 .
a
j rb
 âûáðàííîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñòàíîâèòñÿ
u2 îòí
lmin
î÷åâèäíûì, ÷òî ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå l
min
C
Ðèñ. 2 ê çàäà÷å ¹12
26
ìåæäó êàìíÿìè áóäåò â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà
âòîðîé êàìåíü áóäåò íàõîäèòüñÿ â òî÷êå C (ñì.
ðèñ. 2).
Êàê ñëåäóåò èç ðèñóíêà è òåîðåìû ñèíóñîâ
u1
u
lmin = l sin b;
= 2 ,
sin ( a + b ) sin j
ãäå j = 1 2 p - b . Ñëåäîâàòåëüíî,
u1
u
= 2 ; u1 cos b = u2 (sin a cos b + cos a
sin a cos b + cos a sin b cos b
1 - cos 2 b );
u12 cos 2 b - 2 u1 u2 sin a cos 2 b + u22 sin 2 a cos 2 b = u22 cos 2 a - u22 cos 2 a cos 2 b;
u22 cos 2 a
;
cos b = 2
lmin = l 1 - cos 2 b = l
2
u1 - 2 u1 u2 sin a + u2
u1 - u2 sin a
Îòâåò: lmin = l
= 6 ì.
2
2
u1 - 2 u1 u2 sin a + u2
2
u1 - u2 sin a
u12 - 2 u1 u2 sin a + u22
.
13. Ñíàðÿä âûëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ u0 = 200 ì/ñ èç ïóøêè, ñòîÿùåé ó îñíîâàíèÿ
ñêëîíà, ñîñòàâëÿþùåãî óãîë b = 15î ñ ãîðèçîíòîì, ïîä óãëîì a = 15î ê ïîâåðõíîñòè
ñêëîíà. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà, îïðåäåëèòå äàëüíîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà
âäîëü ñêëîíà è ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà íàä ñêëîíîì.
Ðåøåíèå
r
 ñëó÷àÿõ, êîãäà òðåáóåòñÿ îïðåu
M ì
Y
äå ëèòü êà êèå-ëèáî õà ðàêòå ðèñ òè êè
äâèæåíèÿ òåëà, áðîøåííîãî âáëèçè Y
r
gx X
ïîâåðõíîñòè çåìëè, îòíîñèòåëüíî íàhmax
r
êëîííûõ ïëîñêîñòåé, óäîáíûìè ÿâëÿK X r r
u0
r
þò ñÿ êîîðäèíàòíûå îñè, «ïîâåðíó- u
g gy
S
r
b
òûå»
îòíîñèòåëüíî âåêòîðà óñêîðåíèÿ 0 y au0 x
r
g íà íårêîòîðûé óãîë. Â òàêèõ îñÿõ O
b
âåêòîð g áóäåò ïðîåöèðîâàòüñÿ íà îáå
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹13
îñè, ÷òî íåñêîëüêî óñëîæíÿåò çàêîíû
äâèæåíèÿ, íî çàòåì èõ áóäåò ãîðàçäî ïðîùå çàïèñàòü â îïðåäåëåííûõ òî÷êàõ òðàåêòîðèè, ÷åì â «ïðÿìûõ» îñÿõ.
Âûáåðåì ñèñòåìó êîîðäèíàò XOY
r òàê, êàê ïîêàrçàíî íà ðèñóíêå. Ïðîåêöèè
âåêòîðîâ íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñíàðÿäà u0 è óñêîðåíèÿ g íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî: u0 x = u0 cos a, u0 y = u0 sin a, g x = - g sin b, g y = - g cos b. Çàêîíû äâèæåíèÿ ñíàðÿäà è çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ïðîåêöèé âåêòîðà ñêîðîñòè ïðèìóò âèä
ì x = u0 cos a t - 1 2 g sin b t 2 ; ì ux = u0 cos a - g sin b t ;
í
í
2
1
î y = u0 sin a t - 2 g cos b t ; î u y = u0 sin a - g cos b t .
 ìîìåíò âðåìåíè t ê , ñîîòâåòñòâóþùèé ìîìåíòó ïàäåíèÿ ñíàðÿäà íà ïîâåðõíîñòü ñêëîíà (òî÷êà K), x ê = S, y ê = 0:
S = u0 cos a t ê - 1 2 g sin b t ê2 ; 0 = u0 sin a t ê - 1 2 g cos b t ê2 .
Ñëåäîâàòåëüíî, âðåìÿ äâèæåíèÿ ñíàðÿäà t ê è äàëüíîñòü ïîëåòà ñíàðÿäà âäîëü
ñêëîíà:
2 u0 sin a
;
tê =
g cos b
27
2 u0 sin a
g sin b 4 u20 sin 2 a u20 sin 2 a
S=
u0 cos a =
(1 - tg a tg b ) » 1961 ì. (1)
g cos b
2
g 2 cos 2 b
g cos b
 ìîìåíò âðåìåíè t ì , ñîîòâåòñòâóþùèé òî÷êå M ìàêñèìàëüíîãî ïîäúåìà ñíàðÿäà íàä ñêëîíîì, y ì = hmax, uì y = 0:
hmax = u0 sin a t ì - 1 2 g cos b t ì2 ;
0 = u0 sin a - g cos b t ì .
Îòñþäà íàõîäèì:
u sin a
;
tì = 0
g cos b
u sin a g cos b u20 sin 2 a u20 sin 2 a
(2)
hmax = u0 sin a 0
=
» 141 ì.
g cos b
2 g 2 cos 2 b
2 g cos b
Çàìåòèì, ÷òî ïðè b = 0 èç âûðàæåíèé (1) -(2) ïîëó÷àþòñÿ èçâåñòíûå ôîðìóëû
äëÿ äàëüíîñòè ïîëåòà è ìàêñèìàëüíîé âûñîòû ïîäúåìà:
u2 sin 2 a
u2 sin 2 a
; hmax = 0
.
S= 0
g
2g
u20 sin 2 a
u20 sin 2 a
Îòâåò: S =
(1 - tg a tg b ) » 1961 ì; hmax =
» 141 ì.
g cos b
2 g cos b
14. ×àñòèöà äâèæåò ñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè ðàäèó ñîì R = 1 ì ïî çàêîíó:
S = a sin ( g t ), ãäå S - ñìåùåíèå ÷àñòèöû èç íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ, îòñ÷èòûâàåìîå
âäîëü äóãè îêðóæíîñòè, a = 0,8 ì è g = 2 ðàä/ñ. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå
ïîëíîãî óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû.
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè äëèíà äóãè è óãîë ïîâîðîòà ñâÿçàíû
ñîîòíîøåíèåì
S = R j,
òî çàêîí äâèæåíèÿ ÷àñòèöû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
S a
(1)
j = = sin ( g t ).
R R
Âçÿâ ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îò çàêîíà äâèæåíèÿ (1), íàéäåì óãëîâóþ ñêîðîñòü è óãëîâîå óñêîðåíèå ÷àñòèöû:
ga
g2 a
& =w = j& =
cos ( g t ); e = w
sin ( g t ).
R
R
Ïîëíîå óñêîðåíèå ÷àñòèöû
a = a n2 + a t2 ,
ãäå íîðìàëüíîå a n è òàíãåíöèàëüíîå a t óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû ïðè åå äâèæåíèè ïî
îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R:
a n = w2 R ;
at = e R.
Ñëåäîâàòåëüíî,
a2
(2)
a = R w4 + e 2 = g 2 a
cos 4 ( g t ) + sin 2 ( g t ).
2
R
Âûðàçèâ èç (1)
Rj
,
sin ( g t ) =
a
28
ïðåäñòàâèì (2) â âèäå
2
a2
a2 ì
R2 j2 ü R2 j2
2
2
2
2
2
.
a=g a
[1 - sin ( g t )] + sin ( g t ) = g a
í1 ý +
R2
R2 î
a2 þ
a2
Èññëåäóåì ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå (3) íà ýêñòðåìóì:
2
a2 ì
R2 j2 ü R2 j2
;
f (j ) = 2 í 1 ý +
R î
a2 þ
a2
(3)
ì
df
R2 j2 ü 2 R2 j
;
= - 4 j í1 ý+
2
2
dj
a
a
î
þ
ì
R 2 j 2m ü 2 R 2 j m
a2 1
¢
¢¢
- 4 j m í1 = 0; j m = 0; j m = ±
- .
ý+
a2 þ
a2
R2 2
î
Êàêîå èç ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèé j m ñîîòâåòñòâóåò ìèíèìàëüíîìó çíà÷åíèþ
ïîëíîãî óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû, îïðåäåëèì íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé:
2
2
a¢ = g a
R 2 j ¢m2 ü R 2 j ¢m2
a2 ì
g2 a2
;
1
+
=
í
ý
R2 î
a2 þ
a2
R
2
R 2 j ¢¢m2 ü R 2 j ¢¢m2
a2 ì
1
= g2 a
ý +
2 í
2
2
R î
a
a
þ
2
a¢¢ = g a
Ñëåäîâàòåëüíî,
Îòâåò: a min = g 2 a
a min = a¢¢ = g 2 a
1-
R2
< a¢.
4a 2
1 - 1 4 ( R a ) 2 » 2,5 ì/ñ2.
1 - 1 4 ( R a ) 2 » 2,5 ì/ñ2.
15. ×àñòèöà íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R òàê, ÷òî åå óãëîâàÿ
ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò óãëà ïîâîðîòà ïî çàêîíó: w = a j , ãäå a ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îïðåäåëèòå ñðåäíþþ óãëîâóþ ñêîðîñòü ÷àñòèöû çà âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî îíà ïðîøëà ïóòü DS.
Ðåøåíèå
Çà áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ dt ïðèðàùåíèå óãëà ïîâîðîòà ÷àñòèöû ñîñòàâèò dj.
Ïðåäñòàâèì óãëîâóþ ñêîðîñòü ÷àñòèöû êàê
dj
w=
dt
è çàïèøåì çàäàííóþ çàâèñèìîñòü óãëîâîé ñêîðîñòè ÷àñòèöû îò óãëà ïîâîðîòà â
âèäå
dj
(1)
= a j.
dt
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (1) è èíòåãðèðóÿ,
Dj
Dt
dj
dj
= a dt;
= ò a dt,
ò
j
j
0
0
íàéäåì óãîë D j, íà êîòîðûé ïîâåðíåòñÿ ÷àñòèöà çà âðåìÿ Dt:
2
j Dj = a Dt;
0
2
D j = a D t;
D j = 14 a 2 D t 2.
(2)
Ïîñêîëüêó óãîë ïîâîðîòà D j è ïóòü DS, ïðîéäåííûé ÷àñòèöåé çà âðåìÿ Dt,
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
29
D S = R D j,
òî ñ ó÷åòîì (2)
D S = 14 a 2 R D t 2.
Îòñþäà íàéäåì âðåìÿ Dt äâèæåíèÿ ÷àñòèöû:
4 DS
.
Dt =
a2 R
Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíÿÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû çà ýòî âðåìÿ
Dj a 2 D t a
DS
.
< w> =
=
=
Dt
4
2
R
Îòâåò: < w > = 1 2 a D S R.
16. ×àñòèöà íà÷èíàåò äâèæåíèå èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ è äâèæåòñÿ ðàâíîóñêîðåííî
ïî îêðóæíîñòè íåêîòîðîãî ðàäèóñà. Îïðåäåëèòå óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ñêîðîñòè è
óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû, êîãäà îíà ñäåëàåò îäèí îáîðîò.
Ðåøåíèå
Ïðè ðàâíîóñêîðåííîì äâèæåíèè èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ óãîë ïîâîðîòà è óãëîâàÿ
ñêîðîñòü ÷àñòèöû èçìåíÿþòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïî çàêîíàì:
j = 1 2 e t 2 ; w = e t.
 ìîìåíò âðåìåíè Dt, êîãäà ÷àñòèöà ñäåëàåò
îäèí îáîðîò,
r
(1)
D j = 2 p = 1 2 e D t 2 ; w = e Dt.
u
r
Èñïîëüçóÿ ñâÿçü ìåæäó ëèíåéíûìè è óãëîâûìè
a
r a
R
õàðàêòåðèñòèêàìè äâèæåíèÿ
at
r
a n = w2 R ; a t = e R
an
(ãäå R - ðàäèóñ îêðóæíîñòè), ñ ó÷åòîì (1) ïîëó÷èì:
4p
16 p 2
4p
e = 2 ; an =
R; a t = 2 R .
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹16
2
Dt
Dt
Dt
Êàê âèäíî èç ðèñóíêà, óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ ÷àñòèöû â
ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè
a
tg a = n = 4 p; a = arctg 4 p » 85,4î.
at
î
Îòâåò: a = arctg 4 p » 85,4 .
17. Ñíàðÿä âûëåòåë ñî ñêîðîñòüþ u = 320 ì/ñ, ñäåëàâ âíóòðè ñòâîëà n = 2 îáîðîòà âîêðóã ñâîåé îñè. Äëèíà ñòâîëà l = 2 ì. Ñ÷èòàÿ äâèæåíèå ñíàðÿäà âíóòðè ñòâîëà ðàâíîóñêîðåííûì, îïðåäåëèòå åãî óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ âîêðóã îñè â ìîìåíò âûëåòà.
Ðåøåíèå
Íàïðàâèâ îñü OX âäîëü ñòâîëà, çàïèøåì çàêîí ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñíàðÿäà è çàâèñèìîñòü ïðîåêöèè åãî ñêîðîñòè îò âðåìåíè â âèäå
x = 1 2 a t 2 ; ux = a t ,
30
à çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè óãëà ïîâîðîòà âîêðóã îñè è óãëîâîé ñêîðîñòè j = 1 2 e t 2 ; w = e t.
 ìîìåíò âðåìåíè Dt, ñîîòâåòñòâóþùèé âûëåòó ñíàðÿäà èç ñòâîëà, x = l, ux = u,
j = 2 p n, w = w¢. Ñëåäîâàòåëüíî,
l = 1 2 a D t 2 ; u = a D t; 2 p n = 1 2 e D t 2 ; w¢ = e Dt.
Îòñþäà ïîëó÷èì:
l Dt
2 p n Dt
2p n l
2p n u
;
;
=
=
= ; w¢ =
» 2011 ðàä/ñ.
u 2
w¢
2
w¢
u
l
Îòâåò: w¢ = 2 p n u l » 2011 ðàä/ñ.
18. Êîëåñî ðàäèóñîì R = 50 ñì êàòèòñÿ ðàâíîìåðíî ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñî ñêîðîñòüþ u = 1 ì/ñ. Ïðîñêàëüçûâàíèÿ è ïðîáóêñîâêè íåò. Îïðåäåëèòå:
1) ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê, ëåæàùèõ íà îáîäå êîëåñà íà åãî ãîðèçîíòàëüíîì äèàìåòðå;
2) ïóòü, ïðîõîäèìûé òî÷êîé, ëåæàùåé íà îáîäå êîëåñà, ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìîìåíòàìè åå êàñàíèÿ ïîâåðõíîñòè.
Ðåøåíèå
Äâèæåíèå êàæäîé òî÷êè êîëåñà áóäåì ðàññìàòr
ðèâàòü êàê ñóììó ïîñòóïàòåëü
w
r íîãî äâèæåíèÿ âìåñòå ñ
îñüþ êîëåñà ñî ñêîðîñòüþ u (ïåðåíîñíîå äâèæåíèå) è r
r
¢
r
r
u3
âðàùàòåëüíîr ãî äâèæåíèÿ âîêðóã ýòîé îñè ñ óãëîâîé u3
2
u
u
r
ñêîðîñòüþ w (îòíîñèòåëüíîå äâèæåíèå). Ðàññìîòðèì 3
r
u
r
u
2
äâèæåíèå òðåõ òî÷åê 1 (òî÷êà êàñàíèÿ ïîâåðõíîñòè), 2
u¢2
r
r
è 3 (òî÷êè íà ãîðèçîíòàëüíîì äèàìåòðå) êîëåñà (ñì.
u¢1
1 u
ðèñ. 1). Ïîñêîëüêó âñå òðè òî÷êè íàõîäÿòñÿ íà ðàâíûõ O
X
ðàññòîÿríèÿõr îòr îñè êîëåñà, òî èõ îòíîñèòåëüíûå ñêîÐèñ. 1 ê çàäà÷å ¹18
ðîñòè u¢ = [w, R], îáóñëîâëåííûå âðàùàòåëüíûì äâèæåíèåì êîëåñà, áóäóò rîäèíàêîâû ïî âåëè÷èíå.
r
Êðîìå ñêîðîñòåé u¢, êàæäàÿ èç âûáðàííûõ òî÷åê áóäåò èìåòü ñêîðîñòü u ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îñè êîëåñà. Ñëåäîâàòåëüíî,
r
r r
r
r r
r
r r
u1 = u + u¢1 ; u2 = u + u¢2 ; u3 = u + u¢3 ,
èëè
u1 = u - u¢; u2 = u3 = u2 + u¢ 2 ,
ãäå ó÷òåíî, ÷òî u¢1 = u¢2 = u¢3 = u¢.
Ïîñêîëüêó êîëåñî êàòèòñÿ áåç ïðî ñêàëüçûâàíèÿ è ïðîáóêñîâêè, òî àáñîëþòíàÿ
ñêîðîñòü òî÷êè 1 ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî,
u¢ = u; u2 = u3 = 2 u » 1,4 ì/ñ.
Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîíÿòèåì ìãíîâåííîãî öåíòðà
ñêîðîñòåé - òî÷êè, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ñêîðîñòü ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà ðàâíà íóëþ.  ýòîì ñëó÷àå äâèæåíèå ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ðÿä ïîñëåäîâàòåëüíûõ âðàùåíèé ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w îòíîñèòåëüíî
ìãíîâåííîãî öåíòðà, à àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü ëþáîé òî÷êè ðàâíà îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè, ïðè÷åì uîòí = w r, ãäå r - ðàññòîÿíèå îò äàííîé òî÷êè äî ìãíîâåííîãî öåíòðà
ñêîðîñòåé.
31
 íàøåì ñëó÷àå ìãíîâåííûé öåíòð ñêîðîñòåé ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé 1 êàñàíèÿ êîëåñîì ïîâåðõíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî,
u = w R; u2 = u3 = w r = 2 u,
ãäå r = R 2 - ðàññòîÿíèå îò òî÷êè 1 äî òî÷åê 2 è 3.
Ðàññìîòðèì âòîðóþ ÷àñòü çàäà÷è.
Y
r
Ñïðîåöèðóåì ñêîðîñòü ïðîèçâîëüíîé òî÷êè A,
A u
a r
ëåæàùåé íà îáîäå êîëåñà (ñì. ðèñ. 2),
r
r r
¢
u
a r
uA = u + u¢
u
íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
uA x = u + u¢ cos a; uA y = - u¢ sin a
è íàéäåì åå ìîäóëü:
X
uA = u2A x + u2A y = u (1 + cos a ) 2 + sin 2 a ;
O
Ðèñ. 2 ê çàäà÷å ¹18
uA = 2 u cos ( 1 2 a ) = 2 u cos ( 1 2 w t ),
ãäå ó÷òåíî, ÷òî u¢ = u è a = w t (ïîñêîëüêó ïðÿìàÿ, íàïðàâëåííàÿ èç öåíòðà êîëåñà â
òî÷êó A, âðàùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî îñè êîëåñà ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ w).
Ïóòü, ïðîõîäèìûé òî÷êîé A ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ìîìåíòàìè åå
êàñàíèÿ ïîâåðõíîñòè (çà âðåìÿ îäíîãî îáîðîòà T = 2 p w), ðàâåí (ñ ó÷åòîì ÷åòíîñòè
ôóíêöèè êîñèíóñ)
T
2 p/ w
p/ w
DS = ò uA dt = 2 u ò cos ( 2 w t ) dt = 4 u ò cos ( 1 2 w t ) dt =
1
0
Îòâåò: 1) u2 = u3 =
0
0
8u
= 8 R = 4 ì.
w
2 u » 1,4 ì/ñ; 2) DS = 8 R = 4 ì.
19. Øàð ðàäèóñîì R = 10 ñì êàòèòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òî
åãî öåíòð äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a 0 = 2,5 ñì/c2. Ïðîñêàëüçûâàíèÿ è
ïðîáóêñîâêè íåò. ×åðåç Dt = 2 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ïîëîæåíèå øàðà ñîîòâåòñòâóåò ðèñ. 1. Îïðåäåëèòå â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè:
1) ëèíåéíûå ñêîðîñòè òî÷åê 2 è 3;
2) ïîëíîå óñêîðåíèå òî÷êè 2.
Ðåøåíèå
r r
3 u u¢3
Ïîñòóïèì òàêèì æå îáðàçîì, êàê è ïðè ðåøåíèè
r
çàäà÷è ¹18: äâèæåíèå êàæäîé òî÷êè øàðà áóäåì ðàñw
ñìàò ðèâàòü êàê ñóììó ïî ñòó ïàòåëüíî
r ãî äâèæåíèÿ
r
r
âìåñòå ñ öåíòðîì øàðà ñî ñêîðîñòüþ u è âðàùàòåëü2 u
u
r
íîãî äâèæåíèÿ âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè, ïðî
r
r õîäÿru2
u¢2
ùåé ÷åðåç öåíòð øàðà, ñ óãëîâîé
r ñêîðîñòüþ w, ãäå w
r
r
¢, îáóñëîâëåííîér âðàñâÿ
çà
íà
ñ
ëè
íåé
íîé
ñêî
ðîñ
òüþ
u
u¢1
1 u
r
r
X ùàòåëüíûì äâèæåíèåì, ñîîòíîøåíèåì u¢ = [w, R].
O
Ñêîðîñòè òî÷åê 1 (òî÷êà êàñàíèÿ ïîâåðõíîñòè), 2
Ðèñ. 1 ê çàäà÷å ¹19
è3
r
r r
r
r r
r
r r
u1 = u + u¢1 ; u2 = u + u¢2 ; u3 = u + u¢3 ,
èëè
u1 = u - u¢; u2 = u2 + u¢ 2 ; u3 = u + u¢,
ãäå ó÷òåíî, ÷òî u¢1 = u¢2 = u¢3 = u¢.
32
Ïîñêîëüêó øàð êàòèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ è ïðîáóêñîâêè, òî àáñîëþòíàÿ
ñêîðîñòü òî÷êè 1 ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, u¢ = u.
Äâèãàÿñü ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a 0 , çà âðåìÿ Dt ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ
öåíòð øàðà ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü
u = a 0 D t.
Ñëåäîâàòåëüíî,
u2 = u 2 = a 0 D t 2 » 7,1 ñì/ñ; u3 = 2 u = 2 a 0 D t = 10 ñì/ñ.
Ðàññìîòðèì âòîðóþ ÷àñòü çàäà÷è.
Ïðåäñòàâèì óñêîðåíèå òî÷êè 2 øàðà â âèäå
r
(ñì. ðèñ. 2)
w
r r
r
r
a = a0 + an + at ,
r r r
r
r
ãäå a 0 , a n , a t - óñêîðåíèå öåíòðà øàðà, íîðìàëüríîå è
a2 n 2 a0
òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿr òî÷êè 2; ïðè÷åì a n íàr
a2 t
ïðàâëåíî ê öåíòðó øàðà, a t - ïî êàñàòåëüíîé ê åãî
ïîâåðõíîñòè, à ïî ìîäóëþ
& ¢,
a n = w2 R = u¢ 2 R; a t = e R = u
X
O
ãäå u¢ - ìîäóëü îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè òî÷êè, îáÐèñ. 2 ê çàäà÷å ¹19
óñëîâëåííîé âðàùàòåëüíûì äâèæåíèåì.
Ïîñêîëüêó îòíîñèòåëüíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè 2 ÷åðåç âðåìÿ Dt ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ u¢2 = u¢ = u = a 0 D t, òî
u¢ 2 a 2 D t 2
& ¢2 = a 0 .
; a2 t = u
a2 n = 2 = 0
R
R
Êàê ñëåäóåò èç ðèñ. 2, óñêîðåíèå òî÷êè 2
2
ì
a 02 D t 2 ü
2
2
a2 = ( a0 - a2 n ) + a = í a0 ý + a 0 » 3,5 ì/ñ .
R þ
î
Îòâåò: 1) u2 = a 0 D t 2 » 7,1 ñì/ñ; u3 = 2 a 0 D t = 10 ñì/ñ;
2
2) a 2 =
2
2t
( a 0 - a 02 D t 2 R ) 2 + a 02 » 3,5 ì/ñ2.
20. Öèëèíäð ðàäèóñîì R = 10 ñì êàòèòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a 0 = 2 ñì/c2. Ïðîñêàëüçûâàíèÿ è ïðîáóêñîâêè íåò. Îïðåäåëèòå
ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè òî÷êè A, ëåæàùåé íà êîíöå ãîðèçîíòàëüíîãî äèàìåòðà
öèëèíäðà (ñì. ðèñóíîê).
Ðåøåíèå
r
Ðàäèóñ êðèâèçíû â ïðîèçâîëüíîé òî÷êå w
êðèâîé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðàäèóñ ñîïðèêàñàþùåéñÿ îêðóæíîñòè è ìîæåò áûòü íàéäåí èç ôîðR
r
r
ìóëû äëÿ íîðìàëüíîãî óñêîðåíèÿ ýòîé òî÷êè:
aA n A a u
u2
a
a r
.
an =
a ar a 0r
r
R
a A t uA
¢
n
r
Äëÿ òî÷êè A
u¢
O
u2A
,
RA =
a A n¢
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹20
33
ãäå uA - ñêîðîñòü òî÷êè A; a A n¢ - ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ òî÷êè íà íîðìàëü ê òðàåêòîðèè.
Âîñïîëüçóåìñÿ ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ¹19.
Ñêîðîñòü, íîðìàëüíîå è òàíãåíöèàëüíîå óñêîðåíèÿ òî÷êè A ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî
a 02 D t 2
; aA t = a0 .
(1)
uA = a 0 D t 2 ; a A n =
R
r
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü uA òî÷êè A íàïðàâëåíà ïî êàñàòåëüíîé ê òðàåêòîðèè, à ðàäèóñ êðèâèçíû íàïðàâëåí ê öåí
r òðó ñîïðèêàñàþùåéñÿ îêðóæríîñòè, òî öåíòð ýòîér
îêðóæíîñòè ëåæèò íà íîðìàëè n ¢, ïåðïåíäèêóëÿðíîé
r âåêòîðó uA . Òàê êàê ñêîðîñòü u
ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ öèëèíäðà è ñêîðîñòü u¢ âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ îòíî
rñèòåëüíî åãî îñè ðàâíû ïî âåëè÷èíå (u = u¢; ñì. ðåøåíèå çàäà÷è
r ¹18), òî âåêòîð uA
íàïðàâëåí ïî äèàãîíàëè êâàäðàòà. Ñëåäîâàòåëüíî, íîðìàëü n ¢ áóäåò íàïðàâëåíà ê
òî÷êå
r O êàrñàíèÿ
r öè
r ëèíäðîìr ïîrâåðõíîñòè.
r Î÷år âèäríî, ïðè
r ýòîìr óãëû ìåæäó âåêòîðàìè a A n è n ¢, n ¢ è a A t (èëè u¢), a A t (èëè u¢) è uA , uA è u (èëè a 0 ) áóäóò îäèíàêîâû è
ðàâíû a = 1 4 p.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ òî÷êè A
r
r r
r
aA = a0 + aA n + aA t
r
íà íîðìàëü n ¢ ê òðàåêòîðèè
a A n¢ = - a 0 cos a + a A n cos a + a A t cos a,
èëè ñ ó÷åòîì (1)
ì a2 Dt 2
ü
a 2 Dt 2
a A n¢ = ( a A n + a A t - a 0 ) cos a = í 0
+ a 0 - a 0 ý cos a = 0
cos a,
R
R
î
þ
à ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè â äàííîé òî÷êå
( a0 D t 2 ) 2
u2A
2 R a 02 D t 2
2R
4R
RA =
= 2 2
= 2 2
=
=
= 2 2 R » 28,3 ñì.
a A n¢ ( a 0 D t R ) cos a a 0 D t cos a cos a
2
Ñëåäóåò îáðàòèòü âíèìàíèå, ÷òî îòâåò íå çàâèñèò îò õàðàêòåðà äâèæåíèÿ òåëà
(ñ óñêîðåíèåì èëè ðàâíîìåðíî), âàæíî ëèøü òî, ÷òî ïðîñêàëüçûâàíèÿ è ïðîáóêñîâêè íåò.
Îòâåò: RA = 2
2 R » 28,3 ñì.
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
1.1. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè XOY ïî çàêîíàì:
x = a t;
y = a t (1 - b t ),
ãäå a, b - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòå:
1) óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè y = f ( x );
2) çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ìîäóëåé âåêòîðîâ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè;
3) ìîìåíò âðåìåíè t 0 , â êîòîðûé óãîë ìåæäó âåêòîðàìè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ
j = 1 4 p.
1.2. Ðàäèóñ-âåêòîð ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó:
r
r
r
r = a t 2 i - ( g - b t 2 ) j,
ãäå a, b, g - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòå:
34
1) óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè y = f ( x );
2) çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè âåêòîðîâ ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè;
3) ïóòü, ïðîéäåííûé òî÷êîé çà ïåðâûå Dt ñåêóíä äâèæåíèÿ.
1.3. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè XOY ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ
ñêîðîñòüþ u. Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè èìååò âèä y = a x 2 , ãäå a - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå òî÷êè â íà÷àëå êîîðäèíàò.
1.4. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïîëîæèòåëüíîì íàïðàâëåíèè îñè OX òàê,
÷òî åå ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó: u = a x, ãäå a - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Îïðåäåëèòå:
1) çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ òî÷êè îò âðåìåíè, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè
t 0 = 0 òî÷êà íàõîäèëàñü â íà÷àëå êîîðäèíàò;
2) ñðåäíþþ ñêîðîñòü òî÷êè çà âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî îíà ïðîøëà ïóòü DS.
1.5. Ëîäêà äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî âîäû ñî ñêîðîñòüþ â n = 2 ðàçà áîëüøåé ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ðåêè. Ïîä êàêèì óãëîì ê áåðåãó ëîäêà äîëæíà äåðæàòü êóðñ, ÷òîáû åå
ñíåñëî òå÷åíèåì êàê ìîæíî ìåíüøå?
A
D
C
1.6. Èç ïóíêòà A, íàõîäÿùåãîñÿ íà øîññå, íåîáõîäèìî çà êðàò÷àéøåå âðåìÿ ïîïàñòü íà ìàøèíå â
ïóíêò B, ðàñïîëîæåííûé â ïîëå íà ðàññòîÿíèè l îò
l
øîññå (ñì. ðèñóíîê). Ñêîðîñòü ìàøèíû ïðè äâèæåíèè ïî ïîëþ â n ðàç ìåíüøå åå ñêîðîñòè ïî øîññå.
B
Íà êàêîì ðàññòîÿíèè CD îò òî÷êè D ñëåäóåò ñâåðíóòü
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹1.6
ñ øîññå?
1.7. ×àñòèöà íà÷èíàåò äâèæåíèå áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè èç òî÷êè A è äâèæåòñÿ
ñíà÷àëà ðàâíîóñêîðåííî â òå÷åíèå íåêîòîðîãî âðåìåíè Dt, à çàòåì ñ òåì æå ïî ìîäóëþ óñêîðåíèåì - ðàâíîçàìåäëåííî. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ÷àñòèöà âåðíåòñÿ â òî÷êó A?
1.8. Òðîëëåéáóñ îòîøåë îò îñòàíîâêè ñ óñêîðåíèåì a = 0,2 ì/ñ2, çàòåì äâèãàëñÿ
ðàâíîìåðíî è, íàêîíåö, çàìåäëÿÿñü ñ òåì æå ïî âåëè÷èíå óñêîðåíèåì a, îñòàíîâèëñÿ.
Âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ Dt = 10 ìèí. Ñêîëüêî âðåìåíè òðîëëåéáóñ äâèãàëñÿ ðàâíîìåðíî,
åñëè åãî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü ìåæäó îñòàíîâêàìè < u > = 15 ì/ñ?
1.9. Ìÿ÷èê áðîøåí âåðòèêàëüíî ââåðõ èç òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ íà âûñîòå
h = 5 ì. Îïðåäåëèòå âðåìÿ ïîëåòà ìÿ÷èêà, åñëè îí ïðîëåòåë äî ìîìåíòà ïàäåíèÿ
ïóòü 3 h. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
1.10. Ìÿ÷èê áðîñèëè ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 10 ì/ñ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè óäàðàìè ìÿ÷èêà î ãîðèçîíòàëüíûé ïîë S = 10 ì. Ñ êàêîé âûñîòû áûë áðîøåí ìÿ÷èê? Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîðèè ìÿ÷èêà â
ìîìåíòû óäàðîâ î ïîë. Óäàðû ìÿ÷èêà î ïîë àáñîëþòíî óïðóãèå. Ñîïðîòèâëåíèåì
âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
1.11. Ìÿ÷èê áðîñèëè ñ íåêîòîðîé âûñîòû h ïîä óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó. Ñ êàêîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ áûë ïðîèçâåäåí áðîñîê, åñëè ìÿ÷èê äîñòèã ìàêñèìàëüíîé
âûñîòû íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè, ðàâíîé 2 h, è óïàë íà ïîâåðõíîñòü çåìëè ÷åðåç âðåìÿ Dt = 4 ñ ïîñëå áðîñêà? Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
1.12. Äâà êàìíÿ ðàñïîëîæåíû íà îäèíàêîâîé âûñîòå íàä ïîâåðõíîñòüþ çåìëè
íà ðàññòîÿíèè l = 10 ì äðóã îò äðóãà. Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè îäèí êàìåíü
35
áðîñèëè âåðòèêàëüíî ââåðõ ñî ñêîðîñòüþ u1 = 5 ì/ñ, à âòîðîé - îäíîâðåìåííî áðîñèëè ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ u2 = 10 ì/ñ â íàïðàâëåíèè ê ïåðâîìó êàìíþ. Íà
êàêîå ðàññòîÿíèå îïóñòèòñÿ âòîðîé êàìåíü ê ìîìåíòó âðåìåíè, êîãäà ðàññòîÿíèå
ìåæäó êàìíÿìè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ ñòàíåò íàèìåíüøèì? Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
1.13. Ñ âåðøèíû ñêëîíà ñ óãëîì íàêëîíà ê ãîðèçîíòó a = 30î áðîñèëè ìÿ÷ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ u0 = 6 ì/ñ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêëîíó. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò òî÷êè áðîñàíèÿ ìÿ÷ óïàäåò íà ñêëîí? Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
1.14. Êîëåñî âðàùàåòñÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè òàê, ÷òî óãîë j åãî ïîâîðîòà
çàâèñèò îò âðåìåíè êàê j = a t 2 , ãäå a = 0,2 ðàä/ñ2. Îïðåäåëèòå ïîëíîå óñêîðåíèå
òî÷êè À íà îáîäå êîëåñà â ìîìåíò âðåìåíè t = 2,5 ñ, åñëè ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü òî÷êè A
â ýòîò ìîìåíò u = 0,65 ì/ñ.
1.15. ×àñòèöà äâèæåòñÿ, çàìåäëÿÿñü, ïî îêðóæíîñòè íåêîòîðîãî ðàäèóñà ñ óãëîâûì óñêîðåíèåì, ìîäóëü êîòîðîãî çàâèñèò îò óãëîâîé ñêîðîñòè ïî çàêîíó: e = g w,
ãäå g - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.  ìîìåíò âðåìåíè t 0 = 0 óãëîâàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû ðàâíà w0 . Îïðåäåëèòå ñðåäíþþ óãëîâóþ ñêîðîñòü çà âðåìÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû äî
îñòàíîâêè.
1.16. ×àñòèöà íà÷èíàåò äâèæåíèå ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 16 ñì ñ ïîñòîÿííûì òàíãåíöèàëüíûì óñêîðåíèåì a t . Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ýòîãî óñêîðåíèÿ, åñëè
èçâåñòíî, ÷òî ê êîíöó ïÿòîãî îáîðîòà ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü
÷àñòèöû u = 1 ì/ñ.
1.17. Ñòàëüíóþ öèëèíäðè÷åñêóþ çàãîòîâêó îáòà÷èâàþò íà òîêàðíîì ñòàíêå.
×åðåç ñêîëüêî îáîðîòîâ ðàäèóñ çàãîòîâêè óìåíüøèòñÿ íà d = 5 ìì, åñëè îíà âðàùàåòñÿ ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ w = 103 ðàä/ñ, à ðåçåö äâèæåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî îñè çàãîòîâêè ñî ñêîðîñòüþ u = 0,1 ìì/ñ?
1.18. Êîëåñî, ïðîáóêñîâûâàÿ, êàòèòñÿ ïî ãîðèA
çîíòàëüíîé äîðîãå. Â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè
ñêîðîñòü íèæíåé òî÷êè êîëåñà ðàâíà u1 = 2 ì/ñ, à âåðr
õíåé òî÷êè – u2 = 8 ì/ñ. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü öåíòðà
a0
êîëå ñà îòíî ñèòåëüíî äîðîãè äëÿ òîãî æå ìîìåíòà
âðåìåíè.
1.19. Øàð ðàäèóñîì R = 10 ñì êàòèòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè òàê, ÷òî åãî öåíòð äâèæåòñÿ
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹1.19
ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a 0 = 2 ñì/c2 (ñì. ðèñóíîê).
Ïðîñêàëüçûâàíèÿ è ïðîáóêñîâêè íåò. ×åðåç Dt = 4 ñ
ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ïîëîæåíèå øàðà ñîîòâåòñòâóåò ðèñóíêó. Îïðåäåëèòå â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè ïîër
íîå óñêîðåíèå òî÷êè A.
a0
A
1.20. Öèëèíäð ðàäèóñîì R = 10 ñì êàòèòñÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì
a 0 = 2 ñì/c2 (ñì. ðèñóíîê). Ïðîñêàëüçûâàíèÿ è ïðîáóêñîâêè íåò. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ êðèâèçíû òðàåêòîÐèñ. ê çàäà÷å ¹1.20
ðèè òî÷êè A.
36
Òåñòû
1. Âåðòîëåò ïîäíèìàåòñÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ. Êàêîâà òðàåêòîðèÿ äâèæåíèÿ òî÷åê íà
êîíöå ëîïàñòåé âèíòà âåðòîëåòà â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ êîðïóñîì âåðòîëåòà?
À. Òî÷êà
Á. Ïðÿìàÿ
Â. Îêðóæíîñòü
Ã. Âèíòîâàÿ ëèíèÿ
2. ×òîáû ïåðåïëûòü ðåêó çà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, ëîäêó ñëåäóåò íàïðàâëÿòü K
À. Ïåðïåíäèêóëÿðíî òå÷åíèþ ðåêè
Á. Ïðîòèâ òå÷åíèÿ ðåêè ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê áåðåãîâîé ëèíèè
Â. Ïî òå÷åíèþ ðåêè ïîä íåêîòîðûì óãëîì ê áåðåãîâîé ëèíèè
Ã. Îòâåò çàâèñèò îò ñêîðîñòè òå÷åíèÿ ðåêè
3. Ïî ðåêå ïëûâåò ïëîò øèðèíîé l = 10 ì ñî ñêîðîñòüþ uð = 3,6 êì/÷. Ïî ïëîòó ïåðïåíäèêóëÿðíî ê òå÷åíèþ ðåêè èäåò ÷åëîâåê. Çà Dt = 20 ñ îí ïðîõîäèò îò îäíîãî êðàÿ
ïëîòà äî äðóãîãî è îáðàòíî. Êàêîâà ñêîðîñòü ÷åëîâåêà îòíîñèòåëüíî áåðåãà?
À. u » 4 êì/÷
Á. u » 5,1 êì/÷
Â. u » 6,2 êì/÷
Ã. u » 7,2 êì/÷
4. Äâà àâòîìîáèëÿ åäóò ñî ñêîðîñòÿìè u1 = 30 ì/ñ è u2 = 40 ì/ñ, óäàëÿÿñü îò ïåðåêðåñòêà äîðîã, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïîä óãëîì a = 60î. Ñêîðîñòü âòîðîãî àâòîìîáèëÿ îòíîñèòåëüíî ïåðâîãî ðàâíà K
À. uîòí » 9 ì/ñ
Á. uîòí » 18 ì/ñ
Â. uîòí » 36 ì/ñ
Ã. uîòí » 54 ì/ñ
5. Ïîëîâèíó ïóòè àâòîìîáèëü ïðîøåë ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u1 = 4 ì/ñ, à îñòàëüíóþ ÷àñòü ïóòè – ñî ñêîðîñòüþ u2 = 6 ì/ñ. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ íà âñåì
ïóòè ðàâíà K
À. < u > = 5 ì/ñ
Á. < u > = 4,8 ì/ñ
Â. < u > = 9,6 ì/ñ
Ã. < u > = 1 ì/ñ
6. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåò
r òè XOY òàê, ÷òî åå ðàäèóñ-âåêòîð ìåíÿåòr ñÿ â2 rïëîñêîñ
ñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: r = 2 t i - 4 t j [ì]. Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè K
À. y = 1 8 x 2
Á. y = - 8 x
Â. y = 8 x
Ã. y = 2 x 2 - 4 x
7. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè XOY òàê, ÷òî åå êîîðäèíàòû ìåíÿþòñÿ
ñî âðåìåíåì ïî çàêîíàì: x = 2 cos ( p t ) [ì]; y = 2 cos ( 2 p t ) [ì]. Óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè K
À. y = x 2 - 2
Á. y = 2 x 2 - x
Â. y = 2 x
Ã. y = 2 p x + 1 2
8. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåò
òè XOYròàê, ÷òî åå ðàäèóñ-âåêòîð ìåíÿåòr ñÿ â2 rïëîñêîñ
3
ñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: r = 3 t i + ( 3 t - t + 2 ) j [ñì]. Îïðåäåëèòå óãîë (â ãðàäóñàõ) ìåæäó ðàäèóñ-âåêòîðîì òî÷êè è âåêòîðîì åå ñêîðîñòè â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 ñ.
Îòâåò:__________
37
9. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ âäîëü îñè OX òàê, ÷òî åå êîîðäèíàòà ìåíÿåòñÿ ñî
âðåìåíåì ïî çàêîíó: x = -1 - t + 2 t 2 [ñì]. Ñêîðîñòü òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà
îíà áóäåò íàõîäèòüñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò, ðàâíà K
À. u = 1 ñì/ñ
Á. u = 2 ñì/ñ
Â. u = 3 ñì/ñ
Ã. u = 4 ñì/ñ
10. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè XOY òàê, ÷òî åå êîîðäèíàòû ìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíàì: x = 0,2 cos ( 1 2 p t ) [ñì]; y = 2 t 3 - 3 t 2 + 4 t - 5 [ñì]. Ìîäóëü
óñêîðåíèÿ òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 ñ ðàâåí K
À. a = 1 ñì/ñ2
Á. a = 2 ñì/ñ2
Â. a = 4 ñì/ñ2
Ã. a = 6 ñì/ñ2
11. ×àñòèöà íà÷èíàåò äâèæåíèå â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 è äâèæåòñÿ âäîëü îñè OX
òàê, ÷òî åå êîîðäèíàòà çàâèñèò îò âðåìåíè ïî çàêîíó: x = 2 - 6 t + 2 t 2 [ì]. Îïðåäåëèòå ñðåäíþþ ñêîðîñòü ÷àñòèöû çà ïåðâûå Dt = 3 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ.
Îòâåò:__________ì/ñ
12. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåí ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñêîu, ì/ñ
ðîñòè u òåëà îò âðåìåíè t. ×åìó ðàâíà ìàêñèìàëüíàÿ
ñêîðîñòü çà ïåðâûå Dt = 5 ñ, åñëè òåëî çà ýòî âðåìÿ
umax
ïðîøëî ïóòü DS = 20 ì?
À. umax = 2 ì/ñ
Á. umax = 4 ì/ñ
t, ñ
Â. umax = 5 ì/ñ
0 1 2 3 4 5 6
Ã. umax = 10 ì/ñ
Ðèñ. ê òåñòó ¹12
13. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ïî ìîäóëþ
ñêîðîñòüþ ïî òðàåêòîðèè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñóí3
êå.  êàêîé èç óêàçàííûõ òî÷åê òðàåêòîðèè öåíòðî2
ñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå ìàêñèìàëüíî?
À. Âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâî
1
Á. 1
Â. 2
Ðèñ. ê òåñòó ¹13
Ã. 3
14.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè íàïðàâëåíî ïîä
óãëîì a = 30î ê âåêòîðó åå ñêîðîñòè. Îïðåäåëèòå íîðìàëüíîå óñêîðåíèå òî÷êè, åñëè
åå ïîëíîå óñêîðåíèå â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè ðàâíî a = 2 ì/ñ2.
À. a n = 0
Á. a n = 1 ì/ñ2
Â. a n » 1,15 ì/ñ2
Ã. a n » 1,73 ì/ñ2
15. Ìÿ÷èê áðîøåí âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ u0 = 20 ì/ñ. Ñ÷èòàÿ
óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g » 10 ì/ñ2, îïðåäåëèòå ïóòü, ïðîéäåííûé ìÿ÷èêîì
çà ïåðâûå Dt = 3 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ.
Îòâåò:__________ì
16. Òåëî áðîøåíî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 10 ì/ñ ïîä óãëîì a = 60î ê ãîðèçîíòó. Ñêîðîñòü
òåëà â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè ðàâíà K
À. u = 0
Á. u = 5 ì/ñ
Â. u » 7 ì/ñ
Ã. u » 8,7 ì/ñ
38
17. Òåëî áðîøåíî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 20 ì/ñ ïîä óãëîì a = 30î ãîðèçîíòó. Ñ÷èòàÿ
óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g » 10 ì/ñ2, îïðåäåëèòå ÷åðåç êàêîå âðåìÿ òåëî äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîé âûñîòû.
Îòâåò:__________ñ
18. Òåëî, áðîøåííîå ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó ñî ñêîðîñòüþ u0 = 20 ì/ñ, äîñòèãëî âåðõíåé òî÷êè òðàåêòîðèè ÷åðåç Dt = 1 ñ. Îïðåäåëèòå äàëüíîñòü ïîëåòà.
À. S » 12 ì
Á. S » 18 ì
Â. S » 24 ì
Ã. S » 35 ì
19. Ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïîëåòà ìÿ÷à, áðîøåííîãî ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó, ðàâíà
Dt = 2 ñ. Ñ÷èòàÿ óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g » 10 ì/ñ2, îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäúåìà ìÿ÷à.
À. hmax = 5 ì
Á. hmax = 10 ì
Â. hmax = 15 ì
Ã. hmax = 20 ì
20. Òåëî áðîøåíî ïîä óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó. Íîðìàëüíîå óñêîðåíèÿ òåëà â íà÷àëüíûé ìîìåíò åãî äâèæåíèÿ ðàâíî K
À. a n » 4,9 ì/ñ2
Á. a n » 5,8 ì/ñ2
Â. a n » 8,5 ì/ñ2
Ã. a n » 9,8 ì/ñ2
21. Òåëî áðîøåíî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 20 ì/ñ ïîä óãëîì a = 60î ê ãîðèçîíòó. Ðàäèóñ
êðèâèçíû òðàåêòîðèè â òî÷êå ìàêñèìàëüíîãî ïîäúåìà òåëà ðàâåí K
À. R » 1 ì
Á. R » 3,8 ì
Â. R » 5 ì
Ã. R » 10,2 ì
22. Óãëîâàÿ êîîðäèíàòà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè èçìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ïî çàêîíó: j = 4 - 2 t + 2 t 2 [ðàä]. Óãëîâàÿ ñêîðîñòü òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè t = 5 ñ ðàâíà K
À. w = 18 ðàä/ñ
Á. w = 44 ðàä/ñ
Â. w = 0
Ã. w = 4 ðàä/ñ
23. Âîë÷îê, âðàùàÿñü ñ ÷àñòîòîé n = 60 ñ-1, ñâîáîäíî ïàäàåò áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè
ñ âûñîòû h = 1,3 ì. Ñêîëüêî ïîëíûõ îáîðîòîâ ñäåëàåò âîë÷îê çà âðåìÿ ïàäåíèÿ?
À. n = 10
Á. n = 20
Â. n = 30
Ã. n = 40
24. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî ïî ñóõîìó øîññå ñî ñêîðîñòüþ u = 72 êì/÷. Íàèáîëüøàÿ ñêîðîñòü òî÷åê íà îáîäå åãî êîëåñ K
À. umax = 72 êì/÷
Á. umax » 101,8 êì/÷
Â. umax = 108 êì/÷
Ã. umax = 144 êì/÷
25. Íà íåñêîëüêèõ îäèíàêîâûõ öèëèíäðè÷åñêèõ êàòêàõ êàòÿò ïî ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè äëèííûé áðóñ. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå ïåðåìåñòèëñÿ áðóñ, åñëè êàæäûé èç
êàòêîâ ïåðåìåñòèëñÿ íà l = 2 ì? Ïðî ñêàëüçûâàíèÿ íåò.
Îòâåò:__________ì
39
§2. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Çàêîíû Íüþòîíà
Äèíàìèêà – ðàçäåë ìåõàíèêè, èçó÷àþùèé äâèæåíèå òåëà ïîä äåéñòâèåì äðóãèõ òåë.
2.1. Ìàññà è èìïóëüñ òåëà
Âñÿêîå òåëî îêàçûâàåò ñîïðîòèâëåíèå ïðè ïîïûòêàõ ïðèâåñòè åãî â äâèæåíèå
èëè èçìåíèòü âåëè÷èíó èëè íàïðàâëåíèå åãî ñêîðîñòè. Ýòî ñâîéñòâî òåë íàçûâàåòñÿ
èíåðòíîñòüþ. Ìåðîé èíåðòíîñòè òåëà ÿâëÿåòñÿ ìàññà.
Ðàññìîòðèì äâà òåëà, íàñòîëüêî óäàëåííûå îò âñåõ îñòàëüíûõ òåë, ÷òî îíè
ïðàêòè÷åñêè íå îêàçûâàþò íèêàêîãî äåéñòâèÿ íà âûáðàííûå íàìè òåëà. Ïðè ýòîì
ñêîðîñòè òåë äîëæíû áûòü ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî
r ñêîðîñòüþ ñâåòà. r ðåçóëüòàòå
âçàèìîäåéñòâèÿ
òåë
r
r èõ ñêîðîñòè ìåíÿþòñÿ. Ïóñòü u1 – ñêîðîñòü òåëà 1, u2 – ñêîðîñòü
òåëà 2, à D u1 è D u2 – ïðèðàùåíèÿ ýòèõ ñêîrðîñòåér çà îäèí è òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt. Êàê ïîêàçûâàåò îïûò, âåêòîðû D u1 è D u2 èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå íàïðàâëåíèÿ è ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì
r
r
(2.1)
m1 D u1 = - m2 D u2 ,
ãäå êîýôôèöèåíòû m1 è m2 èìåþò îäèíàêîâûå çíàêè è íå çàâèñÿò îò õàðàêòåðà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó òåëàìè 1 è 2. Êîýôôèöèåíòû m1 è m2 çàâèñÿò òîëüêî îò ñàìèõ òåë
è íàçûâàþòñÿ ìàññàìè, à òî÷íåå, èíåðòíûìè ìàññàìè òåë.
Òàêèì îáðàçîì, îòíîøåíèå ìàññ äâóõ òåë ðàâíî âçÿòîìó ñ ïðîòèâîïîëîæíûì
çíàêîì îòíîøåíèþ ïðèðàùåíèé ñêîðîñòåé ýòèõ òåë â ðåçóëüòàòå âçàèìîäåéñòâèÿ
ìåæäó íèìè. ×òîáû îò îòíîøåíèÿ ìàññ ïðåéòè ê ñàìèì ìàññàì, íàäî óñëîâèòüñÿ
ìàññó êàêîãî-òî òåëà ñ÷èòàòü ðàâíîé åäèíèöå. Òàêîå òåëî íàçûâàþò ýòàëîíîì ìàññû.
Òîãäà ìàññû âñåõ îñòàëüíûõ òåë îïðåäåëÿþòñÿ îäíîçíà÷íî.
Åñëè ñîîòíîøåíèå (2.1) ïîäåëèòü íà âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ òåë Dt, òî ïîëó÷èì
r
r
(2.2)
m1 < a1 > = - m2 < a 2 >,
à ïîñëå ïðåäåëüíîãî ïåðåõîäà ïðè Dt ® 0
r
r
(2.3)
m1 a1 = - m2 a 2 .
Ñîîòíîøåíèÿìè (2.2) -(2.3) íàõîæäåíèå îòíîøåíèé ìàññ äâóõ òåë ñâîäèòñÿ ê
ñðàâíåíèþ ñðåäíèõ èëè èñòèííûõ óñêîðåíèé, âîçíèêàþùèõ âî âðåìÿ èõ âçàèìîäåéñòâèÿ.
Âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäåíèþ ìàññû òåëà íà åãî ñêîðîñòü
r
r
(2.4)
p = m u,
íàçûâàåòñÿ èìïóëüñîì èëè êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿ òåëà.
2.2. Ñèëû
Èç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî âñå òåëà âçàèìîäåéñòâóþò ìåæäó ñîáîé. Ìåðó âçàèìîäåéñòâèÿ òåë, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî òåëà äåôîðìèðóþòñÿ èëè ïðèîáðåòàþò óñêîðåíèå, íàçûâàþò ñèëîé. Ñèëà – âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ ÷èñëîâûì
çíà÷åíèåì, íàïðàâëåíèåì äåéñòâèÿ è òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ.
Âñå ñèëû â ïðèðîäå äåëÿòñÿ íà ôóíäàìåíòàëüíûå è íåôóíäàìåíòàëüíûå. Ïîñëåäíèå, â êîíå÷íîì èòîãå, ìîæíî âñåãäà ñâåñòè ê äåéñòâèþ ôóíäàìåíòàëüíûõ ñèë.
 ñîâðåìåííîé ôèçèêå ðàçëè÷àþò ÷åòûðå âèäà ôóíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé: ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå (îáóñëîâëåííîå âñåìèðíûì òÿãîòåíèåì); ýëåê40
òðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå (îñóùåñòâëÿåìîå ÷åðåç ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå
ïîëÿ); ñèëüíîå èëè ÿäåðíîå âçàèìîäåéñòâèå (îáåñïå÷èâàþùåå ñâÿçü ÷àñòèö – ïðîòîíîâ è íåéòðîíîâ, – âõîäÿùèõ â ñîñòàâ àòîìíîãî ÿäðà); ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå (îòâåòñòâåííîå çà íåêîòîðûå ïðîöåññû ðàñïàäà ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö). Ê íåôóíäàìåíòàëüíûì ñèëàì îòíîñÿòñÿ ñèëû óïðóãîñòè, ñèëû òðåíèÿ è äð.
 ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè èìåþò äåëî ñ ãðàâèòàöèîííûìè è ýëåêòðîìàãíèòíûìè ñèëàìè, à òàêæå ñ óïðóãèìè ñèëàìè è ñèëàìè òðåíèÿ. Äâà ïîñëåäíèõ
âèäà ñèë îïðåäåëÿþòñÿ õàðàêòåðîì âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ìîëåêóëàìè âåùåñòâà è
èìåþò ýëåêòðîìàãíèòíîå ïðîèñõîæäåíèå.
Ñèëû ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
Ëþáûå äâå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ïðèòÿãèâàþò äðóã äðóãà ñ ñèëîé
m m
F = g 12 2 ,
r
-11
ãäå r - ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè; g = 6,67×10 Í×ì2/êã2 - ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ;
m1 è m2 – ãðàâèòàöèîííûå ìàññû òåë. Ñ ïîìîùüþ ìíîãî÷èñëåííûõ îïûòîâ áûëî
óñòàíîâëåíî, ÷òî ãðàâèòàöèîííàÿ ìàññà òåëà ñîâïàäàåò ñ åãî èíåðòíîé ìàññîé.
Äàííîå ñîîòíîøåíèå âûðàæàåò çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ, îòêðûòûé Íüþòîíîì.
Ñèëó ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ òåëà ñ ïëàíåòîé (â ÷àñòíîñòè, ñ Çåìëåé)
íàçûâàþò ñèëîé òÿæåñòè:
r
r
F = m g,
ãäå g - óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ.
Ñèëû ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿäà q1 è q 2 âçàèìîäåéñòâóþò äðóã ñ äðóãîì ñ ñèëîé
| q1 q 2 |
,
F=
4 p e0 e r 2
ãäå r - ðàññòîÿíèå ìåæäó çàðÿäàìè; e 0 = 8,85×10-12 [Ô/ì] - ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ; e - äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü ñðåäû, â êîòîðîé íàõîäÿòñÿ çàðÿäû.
Äàííîå ñîîòíîøåíèå âûðàæàåò çàêîí Êóëîíà.
 îòëè÷èå îò ñèëû ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ êóëîíîâñêàÿ ñèëà ìîæåò
áûòü êàê ñèëîé ïðèòÿæåíèÿ (åñëè çàðÿäû ðàçíîèìåííûå), òàê è ñèëîé îòòàëêèâàíèÿ
(åñëè çàðÿäû îäíîèìåííûå).
Ïðè âçàèìîäåéñòâèè äâèæóùèõñÿ çàðÿäîâ çàêîí Êóëîíà ïåðåñòàåò âûïîëíÿòüñÿ
òî÷íî; äâèæóùèåñÿ çàðÿäû ïîðîæäàþò ìàãíèòíûå ïîëÿ, è íà çàðÿäû áóäåò äåéñòâîâàòü òàêæå ìàãíèòíàÿ ñèëà. Îäíàêî ïðè ìàëûõ ñêîðîñòÿõ ìàãíèòíàÿ ñèëà ïðåíåáðåæèìî ìàëà è åå ìîæíî íå ó÷èòûâàòü.
Ñèëû óïðóãîñòè
Ñèëû óïðóãîñòè âîçíèêàþò â òâåðäîì òåëå ïðè åãî äåôîðìèðîâàíèè (èçìåíåíèè ôîðìû òåëà). Ïðîñòåéøèì âèäîì äåôîðìàöèè òåëà ÿâëÿåòñÿ åãî ðàñòÿæåíèå
èëè ñæàòèå. Íàïðèìåð, îíî âîçíèêàåò â òîí
r êîì ñòåðæíå, îäèí èç êîíöîâ êîòîðîãî çàêðåïëåí, à ê äðóãîìó ïðèëîæåíà ñèëà F ïåðïåíäèêóëÿðíî îñíîâàíèþ ñòåðæíÿ.
Óïðóãîå íàïðÿæåíèå s = F S â ñòåðæíå îïðåäåëÿåòñÿ âåëè÷èíîé ðàñòÿãèâàþùåé (ñæèìàþùåé) ñèëû F, îòíåñåííîé ê ïëîùàäè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ S.
Ýòî íàïðÿæåíèå îäèíàêîâî âäîëü âñåé äëèíû ñòåðæíÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî íà êàæäûé
41
ýëåìåíò äëèíû ñòåðæíÿ äåéñòâóåò ñî ñòîðîíû ïðèëåãàþùèõ ê íåìó ÷àñòåé ñòåðæíÿ
îäíî è òî æå ðàñòÿãèâàþùèå (ñæèìàþùèå) íàïðÿæåíèå s. Åñëè ïðèëîæåííàÿ ñèëà
íå î÷åíü âåëèêà è ìîæíî ïðåíåáðå÷ü èçìåíåíèåì òîëùèíû ñòåðæíÿ ïðè äåôîðìàöèè, òî ñïðàâåäëèâ çàêîí Ãóêà: îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå äëèíû ñòåðæíÿ d l l0 (ãäå
d l - àáñîëþòíîå èçìåíåíèå äëèíû; l0 - äëèíà ñòåðæíÿ äî äåôîðìàöèè) ïðîïîðöèîíàëüíî ðàñòÿãèâàþùåìó (ñæèìàþùåìó) íàïðÿæåíèþ s = F S:
dl
1
= s.
l0
E
Êîýôôèöèåíò E õàðàêòåðèçóåò óïðóãèå ñâîéñòâà ìàòåðèàëà òåëà è íàçûâàåòñÿ
ìîäóëåì Þíãà.
Ïðèìåíèòåëüíî ê ïðóæèíå çàêîí Ãóêà çàïèñûâàåòñÿ îáû÷íî â âèäå
F = k x,
ãäå k = E S l0 - êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû; x = d l - àáñîëþòíîå óäëèíåíèå
ïðóæèíû.
r
Ñèëàìè óïðóãîñòè ÿârëÿþòñÿ è òàê íàçûâàåìûå ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè T è íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû N.
Ñèëû òðåíèÿ è ñîïðîòèâëåíèÿ
Êîãäà êàêîå-ëèáî
òåëî ðàñïîëîæåíî íà ïîäñòàâêå, êðîìå ñèëû íîðìàëüíîé ðår
àêöèè îïîðû N, íà òåëî ñî ñòîðîíû ïîäñòàâêè ìîæåò äåéñòâîâàòü åùå è ñèëà òðåíèÿ, âåëè÷èíà è íàïðàâëåíèå êîòîðîé (ñèëà òðåíèÿ âñåãäà íàïðàâëåíà ïî êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè ïîäñòàâêè â ìåñòå ñîïðèêîñíîâåíèÿ òåëà ñ ïîäñòàâêîé) çàâèñÿò
îò òîãî, ïîêîèòñÿ ëè òåëî îòíîñèòåëüíî ïîäñòàâêè èëè ñêîëüçèò ïî íåé. Åñëè òåëî
ïîêîèòñÿ îòíîñèòåëüíî ïîäñòàâêè, òî ñèëà òðåíèÿ íàçûâàåòñÿ ñèëîé òðåíèÿ ïîêîÿ.
Ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ îáëàäàåò òåì ñâîéñòâîì, ÷òî îíà íå ìîæåò ïðåâûøàòü çíà÷åíèÿ
Fòð max = m N,
ãäå m - êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó òåëîì è ïîäñòàâêîé, çàâèñÿùèé îò ìàòåðèàëîâ
ñîïðèêàñàþùèõñÿ òåë è ñòåïåíè èõ îáðàáîòêè. Ïîäñòàâêà íàçûâàåòñÿ ãëàäêîé, åñëè
êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó íåé è òåëîì m = 0. Òàêèì îáðàçîì, òåëî ïîêîèòñÿ îòíîñèòåëüíî ïîäñòàâêè ïðè óñëîâèè, ÷òî ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ
Fòð £ Fòð max = m N.
Êàê òîëüêî ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ äîñòèãàåò çíà÷åíèÿ Fòð max, òåëî íà÷èíàåò ñêîëüçèòü. Ïðè ýòîì ñèëà òðåíèÿ (â òàêèõ ñëó÷àÿõ åå íàçûâàþò ñèëîé òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ), ïðèëîæåííàÿ ê òåëó, íàïðàâëåíà âñåãäà ïî êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè ïîäñòàâêè â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òî÷êè ïîâåðõíîñòè òåëà,
ñîïðèêàñàþùåéñÿ ñ ïîäñòàâêîé, è ÷èñëåííî ðàâíà Fòð max = m N.
Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ñèëà òðåíèÿ íå âñåãäà íàïðàâëåíà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ äâèæåíèþ òåëà. Òàê, íàïðèìåð, ïðè äâèæåíèè àâòîìîáèëÿ ñ âêëþ
r ÷åííûì
äâèãàòåëåì íà âåäóùèå êîëåñà àâòîìîáèëÿ äåéñòâóþò ñèëû òðåíèÿ ïîêîÿ Fòð (åñëè
êîëåñà íå ïðîñêàëüçûâàþò è íå ïðîáóêñîâûâàþò îòíîñèòåëüíî äîðîãè), íàïðàâëåííûå â ñòîðîíó äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ è ñîçäàþùèå åãî óñêîðåíèå. Âåëè÷èíà ñèëû
òðåíèÿ ïîêîÿ ðàñòåò ñ óâåëè÷åíèåì óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ êîëåñ, êîòîðàÿ îïðåäåëÿåòñÿ ìîùíîñòüþ äâèãàòåëÿ àâòîìîáèëÿ. Ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè óãëîâîé
ñêîðîñòè ñèëû òðåíèÿ ïîêîÿ ìîãóò äîñòè÷ü ñâîèõ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé, è êîëåñà
íà÷íóò ïðîáóêñîâûâàòü.
42
Ïðè äâèæåíèè òåëà â ãàçå èëè æèäêîñòè âîçíèêàþò ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, îáóñëîâëåííûå âçàèìîäåéñòâèåì òåëà ñ ìîëåêóëàìè âåùåñòâà, ÷åðåç êîòîðîå äâèæåòñÿ
òåëî (ñèëû âÿçêîãî òðåíèÿ). Ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ äâèæåíèÿ òåëà ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ìîæíî ïðèáëèæåííî ñ÷èòàòü ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè òåëà è íàïðàâëåííîé â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ
r âåêòîðó rñêîðîñòè òåëà:
Fñîïð = - r u,
ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè r (êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ) çàâèñèò îò
ôîðìû è ïîïåðå÷íûõ ðàçìåðîâ òåëà è ñâîéñòâ ñðåäû, â êîòîðîé òåëî ïåðåìåùàåòñÿ.
Ïðè áîëüøèõ ñêîðîñòÿõ òåëà ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ ìîæåò îêàçàòüñÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó è äàæå êóáó ñêîðîñòè òåëà.
2.3. Çàêîíû Íüþòîíà
Åñëè äâèæåíèå òåë ïðîèñõîäèò ñî ñêîðîñòÿìè, çíà÷èòåëüíî ìåíüøèìè ñêîðîñòè ñâåòà â âàêóóìå, òî òàêîå äâèæåíèå ïðàêòè÷åñêè òî÷íî îïèñûâàåòñÿ çàêîíàìè, êîòîðûå áûëè ñôîðìóëèðîâàíû Íüþòîíîì. Çàêîíû Íüþòîíà ïåðåñòàþò ðàáîòàòü, êîãäà
ñêîðîñòü òåëà ñòàíîâèòñÿ ñðàâíèìîé ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà.  ýòîì ñëó÷àå äâèæåíèå
îïèñûâàåòñÿ ðåëÿòèâèñòñêîé ìåõàíèêîé Ýéíøòåéíà. Ìåõàíèêà Íüþòîíà òàêæå îêàçûâàåòñÿ áåññèëüíîé è ïðè ðàññìîòðåíèè äâèæåíèÿ ìèêðî÷àñòèö â îáëàñòÿõ ïîðÿäêà
10-10 ì. Òàêîå äâèæåíèå ïîä÷èíÿåòñÿ çàêîíàì êâàíòîâîé ìåõàíèêè.
Äâèæåíèå ëþáîãî òåëà âñåãäà ðàññìàòðèâàåòñÿ îòíîñèòåëüíî êàêîé-ëèáî âûáðàííîé ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ðàçëè÷íûå ñèñòåìû îòñ÷åòà ÿâëÿþòñÿ ðàâíîïðàâíûìè è
îäèíàêîâî äîïóñòèìûìè ïðè èññëåäîâàíèè äâèæåíèÿ òåëà. Îäíàêî ñàìî äâèæåíèå
áóäåò âûãëÿäåòü ïî-ðàçíîìó â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Åñòåñòâåííî âûáðàòü òàêóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ÷òîáû äâèæåíèå òåëà âûãëÿäåëî íàèáîëåå ïðî ñòî.
Ðàññìîòðèì òåëî, íàõîäÿùååñÿ íàñòîëüêî äàëåêî îò âñåõ îñòàëüíûõ òåë, ÷òîáû
ìîæíî áûëî ïðåíåáðå÷ü âîçäåéñòâèåì ïîñëåäíèõ íà íåãî (èç îïûòà èçâåñòíî, ÷òî
ëþáîå âîçäåéñòâèå óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ðàññòîÿíèÿ ìåæäó òåëàìè). Òàêîå
òåëî íàçûâàåòñÿ ñâîáîäíûì. Åñëè ñ òàêèì òåëîì ñâÿçàòü ñèñòåìó îòñ÷åòà, òî â òàêîé
ñèñòåìå äâèæåíèå äðóãèõ ñâîáîäíûõ òåë âûãëÿäèò îñîáåí
r íî ïðîñòî – îíè äâèæóòñÿ
ñ ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòüþ (u = const), òî åñòü ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî. Ýòî óòâåðæäåíèå ñîñòàâëÿåò ñîäåðæàíèå çàêîíà èíåðöèè,
âïåðâûå ñôîðìóëèðîâàííîãî Ãàëèëååì.
Ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñî ñâîáîäíûì òåëîì, íàçûâàåòñÿ èíåðöèàëüíîé ñèñòåìîé îòñ÷åòà (ÈÑÎ).
Çàêîí èíåðöèè íàçûâàþò òàêæå ïåðâûì çàêîíîì Íüþòîíà è ôîðìóëèðóþò
åãî â âèäå: ñóùåñòâóþò òàêèå ñèñòåìû îòñ÷åòà, íàçûâàåìûå èíåðöèàëüíûìè, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ òåëî ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ âîçäåéñòâèé ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå ñâîåé ñêîðîñòè íåîãðàíè÷åííî äîëãî.
Èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà ñóùåñòâóåò áåñ÷èñëåííîå ìíîæåñòâî, òàê êàê
ÿñíî, ÷òî ëþáàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà, äâèæóùàÿñÿ îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé èíåðöèàëüíîé ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî, òàêæå áóäåò ÈÑÎ.  ñâÿçè ñ ýòèì âîçíèêàåò âîïðîñ, ìîæíî ëè, èçó÷àÿ ðàçëè÷íûå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ, êàê-òî îòëè÷èòü îäíó ÈÑÎ îò
äðóãîé. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ýòî íåâîçìîæíî: âñå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ è âñå çàêîíû
ïðèðîäû âûãëÿäÿò àáñîëþòíî îäèíàêîâî â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ. Ýòîò çàêîí - îäèí èç
ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ ôèçèêè - íàçûâàåòñÿ ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè.
43
Òàê êàê âñå ôèçè÷åñêèå çàêîíû ôîðìóëèðóþòñÿ îäèíàêîâûì îáðàçîì âî âñåõ
ÈÑÎ, â òî âðåìÿ êàê â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà (ÍÈÑÎ) ýòè ôîðìóëèðîâêè îòëè÷àþòñÿ, òî åñòåñòâåííî èçó÷àòü âñå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ èìåííî â èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà.
Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ôàêòè÷åñêè èñïîëüçóåìûå â ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòàõ
ñèñòåìû îòñ÷åòà ÿâëÿþòñÿ èíåðöèàëüíûìè ëèøü ñ áîëüøåé èëè ìåíüøåé ñòåïåíüþ
òî÷íîñòè. ×àùå âñåãî ñèñòåìó îòñ÷åòà ñâÿçûâàþò ñ Çåìëåé. Îäíàêî ýòà ñèñòåìà îòñ÷åòà íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî èíåðöèàëüíîé èç-çà ñóòî÷íîãî âðàùåíèÿ Çåìëè âîêðóã ñâîåé îñè è äâèæåíèÿ âîêðóã Ñîëíöà. Òåì íå ìåíåå â ñèëó ñðàâíèòåëüíî ìåäëåííîãî
èçìåíåíèÿ íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòåé ïðè òàêîì äâèæåíèè ìû ñîâåðøàåì íåáîëüøóþ
îøèáêó, íåñóùåñòâåííóþ äëÿ öåëîãî ðÿäà ôèçè÷åñêèõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðèíèìàÿ
ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ Çåìëåé, â êà÷åñòâå èíåðöèàëüíîé. Áîëåå ïðèáëèæåííîé ê ÈÑÎ ÿâëÿåòñÿ ãåëèîöåíòðè÷åñêàÿ ñèñòåìà (ñèñòåìà Êîïåðíèêà), â öåíòðå êîòîðîé íàõîäèòñÿ Ñîëíöå, à êîîðäèíàòíûå îñè ÿâëÿþòñÿ ïðÿìûìè, íàïðàâëåííûìè
íà òðè óäàëåííûå çâåçäû, íå ëåæàùèìè â îäíîé ïëîñêîñòè. Ñèñòåìà îòñ÷åòà Êîïåðíèêà ïðàêòè÷åñêè ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèé, ïðîèñõîäÿùèõ â
ìàñøòàáàõ íàøåé ïëàíåòíîé ñèñòåìû.
Èçó÷åíèå çàêîíîâ äâèæåíèÿ íà÷íåì ñ äâèæåíèÿ íàèáîëåå ïðîñòîãî òåëà - ìàòåðèàëüíîé òî÷êè , òàê êàê ìû ìîæåì ïðè ýòîì íå ðàññìàòðèâàòü âðàùåíèå òåëà, à òàêæå ïåðåìåùåíèå ðàçëè÷íûõ ÷àñòåé òåëà äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà.
Èç ïåðâîãî çàêîíà Íüþòîíà ñëåäóåò, ÷òî ïðè ñâîáîäíîì äâèæåíèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, êîãäà îíà íå âçàèìîäåéñòâóåò ñ äðó ãè
r ìè òåëàìè, ñêîðîñòü åå â
èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé (u = const). Åñëè æå ÷àñòèöà
âçàèìîäåéñòâó
r åò
r& ñ äðóãèìè òåëàìè, òî åå ñêîðîñòü èçìåíÿåòñÿ è îíà ïðèîáðåòàåò
óñêîðåíèå a = u, ïðè÷åì
r 1 r r r
1 N r
(2.5)
a = ( F1 + F2 + F3 + ... ) =
S F,
k =1 k
m
m
r r r
ãäå m - ìàññà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè; F1 , F2 , F3 K - ñèëû, ñ êîòîðûìè äðóãèå òåëà
äåéñòâóþò íà ÷àñòèöó. Óðàâíåíèå (2.5), çàïèñàííîå â âèäå
N r
r r r r
(2.6)
m a = F1 + F2 + F3 + K = S Fk ,
k =1
ÿâëÿåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêîé âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè: ïðîèçâåäåíèå ìàññû ÷àñòèöû íà åå óñêîðåíèå â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå
îòñ÷åòà ðàâíî âåêòîðíîé ñóììå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó (òî åñòü ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ïðèëîæåííûõ ê íåé ñèë). Óðàâíåíèå (2.6) íàçûâàþò óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
Âòîðîé çàêîí Íüþ
r òîíà ïðèîáðåòàåò êîíêðåòíûé ñìûñë òîëüêî ïîñëå òîãî, êàê
óñòàíîâëåí âèä ñèë Fk íå ïî ñîîáùàåìîìó èìè äåéñòâèþ (íå ïî óñêîðåíèþ), à äðóãèìè íåçàâèñèìûìè ñïîñîáàìè, à èìåííî, ïî ðàñïîëîæåíèþ è äâèæåíèþ îêðóæàþùèõ ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó òåë. Åñëè äâèæåíèå ÷àñòèöû èçâåñòíî, òî åñòü èçâåñòíû åå
êîîðäèíàòû êàê ôóíêöèè âðåìåíè, òî ïðîñòûì äèôôåðåíöèðîâàíèåì ïî âðåìåíè
ìîæíî îïðåäåëèòü åå óñêîðåíèå, à çíà÷èò, è âåëè÷èíó äåéñòâóþùåé ñèëû êàê ôóíêöèþ ýòîãî æå âðåìåíè. Îäíàêî ïðèðîäà ñèëû ñ÷èòàåòñÿ óñòàíîâëåííîé òîëüêî òîãäà,
êîãäà ýòà ñèëà çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ (ïîëîæåíèÿ è ñêîðîñòåé) îêðóæàþùèõ òåë. Ïîñëå ýòîãî âòîðîé çàêîí Íüþòîíà ïîçâîëÿåò îïðåäåëèòü çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè è êîîðäèíàò ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îò âðåìåíè, òî åñòü íàéòè òðàåêòîðèþ åå äâèæåíèÿ. Ïðè
44
r
ýòîì, ïîìèìî âèäà ôóíêöèé Fk , äîëæíû áûòü çàäàíû åùå òàê íàçûâàåìûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ: ïîëîæåíèå è ñêîðîñòü ÷àñòèöû â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè t 0 , ïðèíèìàåìûé â êà÷åñòâå èñõîäíîãî.
Óðàâíåíèå (2.6) ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíûì óðàâíåíèåì. Ïîýòîìó åãî ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå òðåõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé, ñâÿçûâàþùèõ ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ è ïðîåêöèè ñèë íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
N
N
N
(2.7)
m a x = S Fk x ; m a y = S Fk y ; m a z = S Fk z .
k =1
k =1
k =1
r
 ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà Fk = 0 (òî åñòü ïðè îòñóòñòâèè âîçäåéñòâèÿ íà ÷àñòèöó
ñî ñòîðîíû äðóãèõ òåë), óñêîðåíèå òàêæå ðàâíî íóëþ. Ýòîò âûâîä ñîâïàäàåò ñ óòâåðæäåíèåì ïåðâîãî çàêîíà Íüþòîíà. Ïîýòîìó ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà âõîäèò âî âòîðîé êàê ÷àñòíûé ñëó÷àé. Íåñìîòðÿ íà ýòî, ïåðâûé çàêîí ôîðìóëèðóåòñÿ íåçàâèñèìî
îò âòîðîãî, òàê êàê â íåì, ïî ñóòè, çàêëþ÷åí ïîñòóëàò î ñóùåñòâîâàíèè èíåðöèàëüíûõ ñèñòåì îòñ÷åòà.
Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå èìïóëüñà òåëà (2.4), óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (2.6) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
r
r
r
N r
N r
du N r
d ( m u)
dp
(2.8)
m
= S Fk ;
= S Fk ;
= S Fk ,
k =1
k =1
dt k =1
dt
dt
à âòîðîé çàêîí Íüþòîíà ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òåëà ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå ñèë, äåéñòâóþùèõ íà íåãî.
Âñå ñèëû â ïðèðîäå ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè âçàèrìîäåéñòâèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî åñëè
êàêîå-ëèáî òåëî 1 äåéñòâóåò íàr òåëî 2 ñ ñèëîé F2-1 , òî òåëî 2 îáÿçàòåëüíî äåéñòâóåò
íà òåëî 1 ñ íåêîòîðîé ñèëîé F1-2 . Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà óòâåðæäàåò, ÷òî ñèëû, ñ
êîòîðûìè äåéñòâóþò äðóã íà äðóãà âçàèìîäåéñòâóþùèå òåëà, ðàâíû ïî âåëè÷èíå,
ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ, ïðèëîæåíû ê ðàçíûì òåëàì è ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè
îäíîé ïðèðîäû:
r
r
(2.9)
F1-2 = - F2-1 .
Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà ñïðàâåäëèâ íå âñåãäà. Îí âûïîëíÿåòñÿ â ñòðîãî «êîíòàêòíûõ» âçàèìîäåéñòâèÿõ, à òàêæå ïðè âçàèìîäåéñòâèÿõ ïîêîÿùèõñÿ òåë, íàõîäÿùèõñÿ íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà.
r
Ðàññìîò ðèì, íàïðèìåð, ñèñòåìó, ñî ñòîÿF
ì
r
r
r
ùóþ èç äâóõ çàðÿæåííûõ ÷àñòèö q1 è q 2 , äâèæóF1-2
u1
q 2 F2-1
ùèõñÿ â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè, êàê
q1
r
u2
ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.1.  ýëåêòðîäèíàìèêå äîêàçûâàåòñÿ, ÷òî êðîìå ïîä÷èíÿþùåéñÿ òðåòüåìó çàÐèñ. 2.1
êîíó Íüþòîíà
r ñèëû ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèr
ìîäåéñòâèÿ F1-2 , íà ïåðâóþ ÷àñòèöóráóäåò äåéñòâîâàòü
ìàãíèòíàÿ ñèëà Fì . Íà âòîr
ðóþ ÷àñòèöó äåéñòâóåò ëèøü ñèëà F2-1 , ðàâíàÿ (- F1-2 ). Âåëè÷èíà ìàãíèòíîé ñèëû,
äåéñòâóþùåé íà âòîðóþ ÷àñòèöó, äëÿ ñëó÷àÿ, èçîáðàæåííîãî íà ðèñ. 2.1, ðàâíà
íóëþ.
Ìîæíî ïîêàçàòü òàêæå íàðóøåíèå òðåòüåãî çàêîíà Íüþòîíà è ïðè äâèæåíèè â
ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ñî ñêîðîñòÿìè áëèçêèìè ê ñêîðîñòè ñâåòà. Îäíàêî ïðè íåáîëüøèõ ñêîðîñòÿõ òðåòèé çàêîí Íüþòîíà ïðàêòè÷åñêè âûïîëíÿåòñÿ. Òàê êàê ìåõàíèêà
Íüþòîíà âîîáùå ñïðàâåäëèâà, åñëè äâèæåíèå òåë ïðîèñõîäèò ñî ñêîðîñòÿìè, çíà÷èòåëüíî ìåíüøèìè ñêîðîñòè ñâåòà, òî ìîæíî ñ÷èòàòü òðåòèé çàêîí Íüþòîíà âûïîëíÿþùèìñÿ âñåãäà.
45
2.4. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ
Óðàâíåíèå (2.6), âûðàæàþùåå âòîðîé çàêîí
Íüþòîíà, îò÷åòëèâî ïîêàçûâàåò, ÷òî ýòîò çàêîí
M
ñïðàâåäëèâ íå â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, òàê êàê
óñêîðåíèå, âîîáùå ãîâîðÿ, èìååò ðàçíûå çíà÷år
r
íèÿ â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà, äâèæóùèõñÿ
r
r¢
äðóã îòíî ñèòåëüíî äðóãà. Ñèëû íå çàâèñÿò îò
¢
X
X
ñèñ òå ìû îò ñ÷å òà, òàê êàê îíè îïðåäå ëÿ þò ñÿ
r
O
r
¢
r0
O
òîëüêî âçàèìíûìè ðàñïîëîæåíèÿìè è îòíî ñèu0
¢
Z
Z
òåëüíûìè ñêîðîñòÿìè òåë, à ýòè âåëè÷èíû íå çàâèñÿò îò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷åòà. Ýòî æå îòíîÐèñ. 2.2
ñèòñÿ è ê ìàññå.
Ïîñìîòðèì, îäèíàêîâî ëè âûãëÿäÿò çàêîíû ìåõàíèêè Íüþòîíà â íåïîäâèæíîé
è äâèæóùåéñÿ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Äëÿ ýòîãî ââåäåì äâå ñèñòåìû îòñ÷åòà K è K ¢, îñè êîòîðûõ îñòàþòñÿ âñå âðåìÿ ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó è â íà¢
÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñîâïàäàþò.
r Ïóñòü ñèñòåìà îòñ÷åòà K äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî ñî ñêîðîñòüþ u0 , êàê ïîêàçàíî íà ðèñ. 2.2.
¢
Ïîëîæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè M â ñèñòåìàõ rîòñ÷å
r òà K è K â îäèí è òîò æå
ìîìåíò âðåìåíè t îïðåäåëÿåòñÿ ðàäèóñ-âåêòîðàìè r è r ¢ ñîîòâåòñòâåííî, ïðè÷åì
r r r
(2.10)
r = r ¢ + r0 ,
r r
ãäå r0 = u0 t – ðàäèóñ-âåêòîð íà÷àëà êîîðäèíàò O¢ ñèñòåìû K ¢ â ñèñòåìå K.
Êàê ñëåäóåò èç (2.10), êîîðäèíàòû òî÷êè M â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K ¢ â ëþáûå
ìîìåíòû âðåìåíè ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè
x = x ¢ + u0 t ;
y = y¢;
z = z ¢,
äîáàâèâ ê êîòîðûì óñëîâèå, ÷òî âðåìÿ â îáåèõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà òå÷åò îäèíàêîâî,
ïîëó÷èì ÷åòûðå óðàâíåíèÿ
(2.11)
x = x ¢ + u0 t ;
y = y¢;
z = z ¢;
t = t ¢,
êîòîðûå íàçûâàþò ïðåîáðàçîâàíèÿìè Ãàëèëåÿ.
Ôîðìóëû îáðàòíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ èìåþò âèä
(2.12)
x ¢ = x - u0 t ;
y¢ = y;
z ¢ = z;
t ¢ = t.
Ôîðìóëû (2.11) è (2.12) ïîçâîëÿþò îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå òî÷êè â îäíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ïî èçâåñòíîìó ïîëîæåíèþ òî÷êè â äðóãîé.
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïî âðåìåíè ñîîòíîøåíèå (2.10), íàéäåì ñâÿçè ìåæäó
ñêîðîñòÿìè è óñêîðåíèÿìè òî÷êè M â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K ¢:
r
r
r
r
r
r r r
d r d r ¢ d r0
dr dr¢ r
;
(2.13)
=
+
=
+ u0 , èëè u = u¢ + u0 ,
dt
dt
dt
dt
dt
r
ãäåru – ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà
¢
¢
K;
r u - ñêîðîñòü ìàòåðèàëüíîé òî÷êè îòíîñèòåëüíî äâèæóùåéñÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà K ;
u0 - ñêîðîñòü rïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà K ¢ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû
K.
r Ñêîðîñòü u íàçûâàåòñÿ àáñîëþòíîé ñêîðîñròüþ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, ñêîðîñòü
u¢ - åå îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ, à ñêîðîñòü u0 - ïåðåíîñíîé. Ôîðìóëà (2.13) âûðàæàåò íåðåëÿòèâèñòñêèé çàêîí ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé.
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ (2.13) åùå ðàç ïî âðåìåíè â ïðåäïîëîæåííè ïîñòîÿíñòâà
r
u0 , ïîëó÷èì:
Y
46
Y¢
r
r
r
r
r
r r
d u d u¢ d u0
d u d u¢
;
;
(2.14)
=
+
a = a ¢,
=
dt
dt
dt
dt
dt
r
r
ãäå a - óñêîðåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â ñèñòåìå K; a ¢ - åå óñêîðåíèå â ñèñòåìå K ¢.
Òàêèì îáðàçîì, óñêîðåíèå òî÷êè â îáåèõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà îäíî
è òî æå. Ãîâîðÿò, ÷òî óñêîðåíèå èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ.
Ñâîáîäíàÿ ÷àñòèöà äâèæåòñÿ â ñèñòåìå îòñ÷åòà K áåç óñêîðåíèÿ, òàê êàê ïî
ïðåäïîëîæåíèþ ñèñòåìà K èíåðöèàëüíà. Èç (2.14) ñëåäóåò, ÷òî åå äâèæåíèå è â ñèñòåìå K ¢ áóäåò òàêæå íåóñêîðåííûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà K ¢ – òîæå èíåðöèàëüíàÿ
ñèñòåìà îòñ÷åòà. Òàêèì îáðàçîì, ìû äîêàçàëè ðàííåå âûñêàçàííîå óòâåðæäåíèå, ÷òî
ñèñòåìà îòñ÷åòà, äâèæóùàÿñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû, ñàìà ÿâëÿåòñÿ èíåðöèàëüíîé.
Çàêîíû ìåõàíèêè Íüþòîíà èñõîäÿò èç íåêîòîðûõ äîïóùåíèé, êîòîðûå îïèðàþòñÿ íà ïîâñåäíåâíûé îïûò. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî äëèíà òåëà (èëè ðàçíîñòü êîîðäèíàò äâóõ ïðîèçâîëüíûõ òî÷åê) îäèíàêîâà â ëþáîé ñèñòåìå îòñ÷åòà è ÷òî âðåìÿ â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà òå÷åò îäèíàêîâî, òî åñòü ðåçóëüòàòû ïðî ñòðàíñòâåííûõ è
âðåìåííûõ èçìåðåíèé íå èçìåíÿþòñÿ ïðè ïåðåõîäå èç îäíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà â äðóãóþ. Ïðè ýòîì ìàññà òåëà è âñå ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëî, òàêæå ñ÷èòàþòñÿ íåèçìåííûìè. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè òàêèõ äîïóùåíèÿõ
r
r
(2.15)
m a ¢ = F.
Ýòî óðàâíåíèå âûðàæàåò âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷åòà
K ¢. Îíî èìååò òàêîé æå âèä, êàê è â ñèñòåìå K. Íåèçìåííîñòü âèäà óðàâíåíèÿ ïðè
çàìåíå â íåì êîîðäèíàò è âðåìåíè îäíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà êîîðäèíàòàìè è âðåìåíåì
äðóãîé ñèñòåìû íàçûâàþò èíâàðèàíòíîñòüþ óðàâíåíèÿ. Òåì ñàìûì âòîðîé çàêîí
Íüþòîíà èíâàðèàíòåí ïî îòíîøåíèþ ê ïðåîáðàçîâàíèÿì Ãàëèëåÿ.
Èç òîãî, ÷òî çàêîíû ìåõàíèêè Íüþòîíà îäèíàêîâû âî âñåõ ÈÑÎ, ñëåäóåò âàæíûé âûâîä: íè îäíà èíåðöèàëüíàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà íè÷åì íå âûäåëåíà ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìîé. Èìåííî â ýòîì ñìûñëå ìû ãîâîðèì, ÷òî âñå
èíåðöèàëüíûå ñèñòåìû îòñ÷åòà èíâàðèàíòíû ñ òî÷êè çðåíèÿ îïèñàíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ÿâëåíèé. Ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñ ïîåçäîì èëè ñàìîëåòîì, êîòîðûå äâèæóòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî, íè÷åì íå óñòóïàåò ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ
Çåìëåé. Åñëè âû ì÷èòåñü áåç òîë÷êîâ è êà÷êè, òî ìîæíî ñ ðàâíûì îñíîâàíèåì
óòâåðæäàòü, ÷òî âû ïîêîèòåñü, à Çåìëÿ äâèæåòñÿ. Íåâîçìîæíî ïðèäóìàòü ýêñïåðèìåíò, ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ìîæíî áûëî áû óñòàíîâèòü, êàêàÿ ñèñòåìà îòñ÷åòà
«äåéñòâèòåëüíî» ïîêîèòñÿ, à êàêàÿ äâèæåòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íå ñóùåñòâóåò ñïîñîáà
âûäåëèòü ñèñòåìó îòñ÷åòà, êîòîðàÿ íàõîäèëàñü áû â ñîñòîÿíèè àáñîëþòíîãî ïîêîÿ.
Õîòÿ äâèæåíèå îäíîãî è òîãî æå òåëà â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ âûãëÿäèò ïî-ðàçíîìó (íàïðèìåð, òðàåêòîðèÿ ãðóçà, ñáðîøåííîãî ñ ñàìîëåòà, îòíîñèòåëüíî ïîâåðõíîñòè Çåìëè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëîé, à îòíîñèòåëüíî äâèæóùåãîñÿ ïðÿìîëèíåéíî è ðàâíîìåðíî
ñàìîëåòà – ïðÿìîé ëèíèåé), óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ýòèõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà çàïèñûâàþòñÿ îäèíàêîâî. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî çàêîíû Íüþòîíà âûðàæàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, à òàêèõ óðàâíåíèé íåäîñòàòî÷íî, ÷òîáû ïîëíîñòüþ îïðåäåëèòü äâèæåíèå. Äëÿ ýòîãî ê äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî ïðèñîåäèíèòü òàê íàçûâàåìûå íà÷àëüíûå óñëîâèÿ – íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû òåëà è åãî íà÷àëüíóþ ñêîðîñòü.  çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé äâèæåíèå îäíîãî è òîãî æå òåëà
â ðàçëè÷íûõ ÈÑÎ ìîãóò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ äðóã îò äðóãà.
47
Óòâåðæäåíèå, ÷òî âñå ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ â ðàçëè÷íûõ èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ïðîòåêàþò îäèíàêîâûì îáðàçîì, íàçûâàþò ïðèíöèïîì îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ.
2.5. Äâèæåíèå â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ñèëû èíåðöèè
Y¢
 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ âîçíèêàåò âñå-òàêè
íå
îá
õî
äèìîñòü ðàññìàòðèâàòü äâèæåíèå òåëà â
r
r
íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà. Ñïðàøèâàåòr
ñÿ, êàê çàïèñàòü âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â òàêîé
r¢
O
ñèñòåìå îòñ÷åòà? Òàêàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê óñòàr
X¢
íîâëåíèþ çàêîíîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñèë è óñêîðår0
O¢
íèé ïðè ïåðåõîäå îò ÈÑÎ ê ëþáîé ÍÈÑÎ. Ïðè
ðåøåíèè äàííîé çàäà÷è áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî
Z¢
Ðèñ. 2.3
âñå ñêîðîñòè, â òîì ÷èñëå è îòíîñèòåëüíûå ñêîðîñòè ñàìèõ ñèñòåì îòñ÷åòà, ìàëû ïî ñðàâíåíèþ ñî ñêîðîñòüþ ñâåòà â âàêóóìå.
Óñëîâèìñÿ íàçûâàòü íåïîäâèæíîé êàêóþ-ëèáî ñèñòåìó îòñ÷åòà, åñëè îíà ÿâëÿåòñÿ
ÈÑÎ, à äâèæåíèå òåëà îòíîñèòåëüíî íåå - àáñîëþòíûì. Äâèæåíèå ýòîãî æå òåëà â
ñèñòåìå îòñ÷åòà, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî âûáðàííîé èíåðöèàëüíîé ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, áóäåì íàçûâàòü îòíîñèòåëüíûì. Òåëî, ïîêîÿùååñÿ â äâèæóùåéñÿ
ñèñòåìå îòñ÷åòà, «óâëåêàåòñÿ» ïîñëåäíåé â åå äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé
ñèñòåìû îòñ÷åòà. Òàêîå äâèæåíèå òåëà íàçîâåì ïåðåíîñíûì. Òàêèì îáðàçîì, àáñîëþòíîå äâèæåíèå ñêëàäûâàåòñÿ èç åãî îòíîñèòåëüíîãî è ïåðåíîñíîãî äâèæåíèé.
 ëþáîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà âòîðîé çàêîí Íüþòîíà èìååò âèä (2.6)
r N r
m a = S Fk .
M
k =1
Ââåäåì äâå ñèñòåìû îòñ÷åòà: íåïîäâèæíóþ ÈÑÎ K ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå O è äâèæóùóþñÿ ÍÈÑÎ K ¢ ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò â òî÷êå O¢ (ðèñ. 2.3).
Ïðîäèôôåðåíöèðîâàâ ïî âðåìåríè çà
r êîír ñëîæåíèÿ ñêîðîñòåé (2.13)
u = u¢ + u0 ,
ïîëó÷èì:
r r r
(2.16)
a = a¢ + a0 ,
r
r
ãäå a ¢ - óñêîðåíèå òåëà â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà K ¢; a 0 - óñêîðåíèå ñèñòåìû îòñ÷åòà K ¢ îòíîñèòåëüíî èíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà K. Ïîäñòàâëÿÿ (2.16) â
(2.6), ïîëó÷èì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, çàïèñàííûé â íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà:
N r
r
r
(2.17)
m a ¢ = S Fk - m a 0 .
k =1
Òàêèì îáðàçîì, ðåøàÿ çàäà÷ó â ríåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ìû îáÿçàòåëüíî äîëæíû ó÷èòûâàòü óñêîðåíèå a 0 ýòîé ñèñòåìû.
Èíîãäà óðàâíåíèå (2.17) çàïèñûâàþò â âèäå
N r
r
r
(2.18)
m a ¢ = S Fk + Fèí ,
k =1
ãäå
r
r
(2.19)
Fèí = - m a 0
r
- ôèêòèâíàÿ ñèëà, íàçûâàåìàÿ ñèëîé èíåðöèè, â îòëè÷èå îò ðåàëüíûõ ñèë Fk . Ïðè òàêîì îïðåäåëåíèè ñèëà èíåðöèè ðàâíà ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíà ïî íàïðàâëå48
íèþ ïðîèçâåäåíèþ ìàññû òåëà íà óñêîðåíèå íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà; îíà
âûðàæàåò âëèÿíèå óñêîðåíèÿ ñàìîé íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà íà õàðàêòåð
äâèæåíèÿ òåëà îòíîñèòåëü
r íî ýòîé ñèñòåìû. Ýòî òà âåëè÷èíà, rêîòîðóþ
r íàäî äîáàâëÿòü ê èñòèííûì ñèëàì Fk , ÷òîáû èõ ñóììà ñòàëà ðàâíîé m a ¢, ãäå a ¢ - óñêîðåíèå
òåëà îòíîñèòåëüíî íåèíåðöèàëüíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà.
Ñèëà èíåðöèè ÿâëÿåòñÿ ôèêòèâíîé ñèëîé â òîì ñìûñëå, ÷òî äëÿ íåå ìû íå ìîæåì óêàçàòü âòîðîå òåëî, äåéñòâóþùåå íà äàííîå ñ òàêîé ñèëîé, òî åñòü ñèëà èíåðöèè íå ïîä÷èíÿåòñÿ òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà.
Ê ñèëàì èíåðöèè îòíîñèòñÿ, íàïðèìåð, èçâåñòíàÿ öåíòðîáåæíàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà òåëî, íàõîäÿùååñÿ âî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷åòà, è íàïðàâëåííàÿ îò
îñè âðàùåíèÿ:
r
r
r
(2.20)
Fèí = - m a n = m w2 r ,
r
ãäå w - óãëîâàÿ ñêîðîñòü ñèñòåìû îòñ÷åòà; r - ðàäèóñ-âåêòîð, çàäàþùèé ïîëîæåíèå
÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé îñè âðàùåíèÿ. Ýòà ñèëà äåéñòâóåò íà òåëî âî
âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷åòà, íåçàâèñèìî îò òîãî, ïîêîèòñÿ òåëî â ýòîé ñèñòåìå
èëè äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî íåå ñ êàêîé-òî ñêîðîñòüþ. Ïðè äâèæåíèè òåëà îòíîñèòåëüíî âðàùàþùåéñÿ ñèñòåìû îòñ÷åòà, êðîìå öåíòðîáåæíîé ñèëû èíåðöèè, íà òåëî
áóäåò äåéñòâîâàòü åùå îäíà ñèëà èíåðöèè – ñèëà Êîðèîëèñà.
Êðàòêèå âûâîäû
1. Äèíàìèêà – ðàçäåë ìåõàíèêè, èçó÷àþùèé äâèæåíèå òåëà ïîä äåéñòâèåì äðóãèõ
òåë.
2. Ñâîéñòâî òåëà îêàçûâàòü ñîïðîòèâëåíèå ïðè ïîïûòêàõ ïðèâåñòè åãî â äâèæåíèå
èëè èçìåíèòü âåëè÷èíó èëè íàïðàâëåíèå åãî ñêîðîñòè íàçûâàåòñÿ èíåðòíîñòüþ.
Ìåðîé èíåðòíîñòè òåëà ÿâëÿåòñÿ ìàññà.
3. Âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, ðàâíàÿ ïðîèçâåäåíèþ ìàññû òåëà íà åãî ñêîðîñòü
r
r
p = m u,
íàçûâàåòñÿ èìïóëüñîì èëè êîëè÷åñòâîì äâèæåíèÿ òåëà.
4. Ìåðó âçàèìîäåéñòâèÿ òåë, â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî òåëà äåôîðìèðóþòñÿ èëè ïðèîáðåòàþò óñêîðåíèå, íàçûâàþò ñèëîé. Ñèëà – âåêòîðíàÿ âåëè÷èíà, îíà õàðàêòåðèçóåòñÿ
÷èñëîâûì çíà÷åíèåì, íàïðàâëåíèåì äåéñòâèÿ è òî÷êîé ïðèëîæåíèÿ.
5. Âñå ñèëû â ïðèðîäå äåëÿòñÿ íà ôóíäàìåíòàëüíûå è íåôóíäàìåíòàëüíûå. Ðàçëè÷àþò ÷åòûðå âèäà ôóíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé: ãðàâèòàöèîííîå âçàèìîäåéñòâèå; ýëåêòðîìàãíèòíîå âçàèìîäåéñòâèå; ñèëüíîå èëè ÿäåðíîå âçàèìîäåéñòâèå; ñëàáîå âçàèìîäåéñòâèå.
6. Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà (çàêîí èíåðöèè): ñóùåñòâóþò òàêèå ñèñòåìû îòñ÷åòà,
íàçûâàåìûå èíåðöèàëüíûìè, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ïðè îòñóòñòâèè âíåøíèõ âîçäåéñòâèé ñîõðàíÿåò âåëè÷èíó è íàïðàâëåíèå ñâîåé ñêîðîñòè
íåîãðàíè÷åííî äîëãî.
7. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà: ïðîèçâåäåíèå ìàññû ÷àñòèöû íà åå óñêîðåíèå â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ðàâíî ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ïðèëîæåííûõ ê íåé ñèë. Â
ýêâèâàëåíòíîé ôîðìóëèðîâêå: â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ
èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ðàâíà ðàâíîäåéñòâóþùåé âñåõ ïðèëîæåííûõ ê íåé
ñèë. Óðàâíåíèÿ
49
r
dp N r
= S F
k =1
dt k =1 k
ÿâëÿþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêîé ôîðìóëèðîâêîé âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè è íàçûâàþòñÿ óðàâíåíèÿìè äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè.
8. Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà: ñèëû, ñ êîòîðûìè äåéñòâóþò äðóã íà äðóãà âçàèìîäåéñòâóþùèå òåëà, ðàâíû ïî âåëè÷èíå, ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ, ïðèëîæåíû ê
ðàçíûì òåëàì è ÿâëÿþòñÿ ñèëàìè îäíîé ïðèðîäû.
9. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ: âñå ìåõàíè÷åñêèå ÿâëåíèÿ â ðàçëè÷íûõ
èíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ïðîòåêàþò îäèíàêîâûì îáðàçîì, íåçàâèñèìî îò
òîãî, íåïîäâèæíà ëè ñèñòåìà èëè îíà íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîìåðíîãî è ïðÿìîëèíåéíîãî äâèæåíèÿ.
N r
r r r r
m a = F1 + F2 + F3 + K = S Fk ;
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ
1. ×òî òàêîå ìàññà òåëà?
2. ×òî íàçûâàåòñÿ èìïóëüñîì òåëà?
3. ×òî õàðàêòåðèçóåò ñèëà?
4. Êàêèå ñèëû îòíîñÿòñÿ ê ôóíäàìåíòàëüíûì?
5. Êàêîå èç ôóíäàìåíòàëüíûõ âçàèìîäåéñòâèé ëåæèò â îñíîâå ñèëû òÿæåñòè?
ñèë óïðóãîñòè? ñèë òðåíèÿ?
6.  êàêèõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà ñïðàâåäëèâû çàêîíû Íüþòîíà? Êàêèå ñèñòåìû îòñ÷åòà íàçûâàþòñÿ èíåðöèàëüíûìè?
7. Êàêèå ôîðìóëèðîâêè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà âû çíàåòå?
8. ×òî óòâåðæäàåò òðåòèé çàêîí Íüþòîíà?
9. Ñôîðìóëèðóéòå ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ.
10. ×òî îçíà÷àåò èíâàðèàíòíîñòü óñêîðåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ Ãàëèëåÿ?
11.  ÷åì îòëè÷èå ñèë èíåðöèè îò ðåàëüíûõ ñèë?
Çàäà÷è
1. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ
r êîñòèr XOY òàê, ÷òî åå ðàäèóñ-âåêòîð
r â ïëîñ
3
èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: r = a t i + b t j [ì], ãäå a è b - ïîëîæèòåëüíûå
ïîñòîÿííûå.  ìîìåíò âðåìåíè t = 1 ñ óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñêîðîñòè òî÷êè è âåêòîðîì ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òî÷êó, ðàâåí j = 60î. ×åìó ðàâíî îòíîøåíèå b a?
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ðàäèóñ-âåêòîðà òî÷êè, à
óñêîðåíèå - ïðîèçâîäíîé îò âåêòîðà åå ñêîðîñòè, òî
r
r
r
r r
r r&
u = r& = 3 a t 2 i + b j ; a = u
= 6a t i.
Íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ðåçóëüòèðóþùàÿ ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà
òî÷êó,
r
r
r
F = m a = 6 mr a t i .
r
Ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ u è F
r r
(u, F ) = ux Fx + u y F y + u z Fz = u F cos j ,
50
r r
ãäå j - óãîë ìåæäó âåêòîðàìè u è F; ux = 3 a t 2 , u y = b , u z = 0 - ïðîåêöèè âåêòîðà
ñêîðîñòè íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò; Fx = 6 m a t, F y = 0, Fz = 0 - ïðîåêöèè âåêòîðà
ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû. Ñëåäîâàòåëüíî, â ìîìåíò âðåìåíè t
(1)
18 m a 2 t 3 = ( 3 a t 2 ) 2 + b 2 ( 6 m a t ) cos j ,
r r
ãäå ó÷òåíî, ÷òî ìîäóëè âåêòîðîâ u è F
u = u2x + u2y + u2z = ( 3 a t 2 ) 2 + b 2 ; F = Fx2 + F y2 + Fz2 = 6 m a t.
Èç âûðàæåíèÿ (1) ïîëó÷èì:
9 t 4 (1 - cos 2 j ) b 2
b
;
3 a t 2 = 9 a 2 t 4 + b 2 cos j ;
= 3 t 2 tg j = 3 3 » 5,2 ñ2.
=
2
2
cos j
a
a
b
2
2
Îòâåò: = 3 t tg j = 3 3 » 5,2 ñ .
a
2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ â ïëîñr êîñòè rXOY ïîä
r äåéñòâèåì ñèëû,-2 êîòîðàÿ èçìåíÿåò ñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = a t i + b t j [Í], ãäå a = 2 ×10 Í/ñ,
b = 4×10-2 Í/ñ. Îïðåäåëèòå óðàâíåíèå òðàåêòîðèè òî÷êè y = f ( x ).  ìîìåíò âðåìåíè
t 0 = 0 òî÷êà íàõîäèëàñü â ïîêîå â íà÷àëå êîîðäèíàò.
Ðåøåíèå
×òîáû îïðåäåëèòü óðàâíåíèå òðàåêòîðèè, íàäî íàéòè çàêîí äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, òî åñòü çàâèñèìîñòè åå êîîðäèíàò îò âðåìåíè, è èñêëþ÷èòü â íèõ âðåìÿ. Äëÿ ýòîãî ïî èçâåñòíîìó çàêîíó èçìåíåíèÿ ñèëû íàéäåì óñêîðåíèå òî÷êè, çàòåì,
äâàæäû èíòåãðèðóÿ óñêîðåíèå, íàéäåì çàêîí äâèæåíèÿ òî÷êè.
Íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà ïîëó÷èì:
r
r
r r
r
r at r bt r
i+
j,
m a = F; m a = a t i + b t j ; a =
m
m
èëè â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
at
bt
; ay =
.
(1)
ax =
m
m
Ïîñêîëüêó ïðîåêöèè óñêîðåíèÿ ðàâíû ïðîèçâîäíûì ïî âðåìåíè îò ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîåêöèé âåêòîðà ñêîðîñòè
d uy
d ux
; ay =
,
ax =
dt
dt
òî
(2)
d ux = a x dt; d u y = a y dt.
Ïðîèíòåãðèðîâàâ (2) ñ ó÷åòîì (1), íàéäåì ïðîåêöèè ñêîðîñòè ìàòåðèàëüíîé
òî÷êè íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè:
ux
t
x
t
uy
t
y
t
at
bt
a t2
b t2
;
;
;
.
d
u
=
dt
d
u
=
dt
u
=
u
=
x
y
ò x ò m
ò y ò m
2
m
2
m
0
0
0
0
Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì íàéäåì çàêîíû äâèæåíèÿ òî÷êè:
dx
dy
; uy =
; d x = ux dt; d y = u y dt;
ux =
dt
dt
ò dx = ò
0
0
a t2
dt;
2m
ò dy = ò
0
0
b t2
dt;
2m
x=
a t3
;
6m
y=
b t3
.
6m
(3)
51
Èñêëþ÷èâ â (3) âðåìÿ, íàéäåì óðàâíåíèå òðàåêòîðèè:
6m
b
t3 =
x;
y = x = 2 x.
a
a
Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé.
b
Îòâåò: y = x = 2 x.
a
3. Ê áðóñêó, ëåæàùåìó íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ïðèâÿçàíà ëåãêàÿ íèòü.
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ m = 0,4. Ê íèòè ïðèëîæèëè ñèëó,
íàïðàâëåííóþ ââåðõ ïîä óãëîì ê ãîðèçîíòó. Îïðåäåëèòå óãîë ìåæäó íèòüþ è ãîðèçîíòîì, ïðè êîòîðîì íàòÿæåíèå íèòè ïðè äâèæåíèè áðóñêà áóäåò íàèìåíüøèì.
Ðåøåíèå
r
r
Ïðè äâèæåíèè íà áðóñîê áóäóò äåéñòY
r
N
F âîâàòü ñèëà òÿæåñòè m gr , ñèëà íîðìàëüíîé
r
a
r ¢
r
r
T T
ðåàêöèè îïîðûr N, ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T
r
a
è ñèëà òðåíèÿ F . Ïîñêîëüêó íèòü íåâåñîFòð
X ìà, òî ñèëà Tr ïîòðâåëè÷èíå áóäåò ðàâíà ñèëå
r
O
ïðèëîæåííîé ê íèòè.
F,
r
mg
×òî áû áðó ñîê äâè ãàë ñÿ, ïðî åê öèÿ
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹3
ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè íà îñü OX äîëæíà
áûòü íå ìåíüøå ñèëû òðåíèÿ. Ïðè óâåëè÷åíèè óãëà a ìåæäó íèòüþ è ãîðèçîíòîì
áóäåò óìåíüøàòüñÿ ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû, à ñëåäîâàòåëüíî, è ñèëà òðåríèÿ. Íî ïðè ýòîì òàêæå áóäåò óìåíüøàòüñÿ ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû T.
Î÷åâèäíî, ÷òî íåïîñðåäñòâåííî ïîäîáðàòü óãîë a, ïðè êîòîðîì íàòÿæåíèå íèòè ïðè
äâèæåíèè áðóñêà áóäåò íàèìåíüøèì, íåâîçìîæíî. Ïîýòîìó äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è
íàéäåì çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè îò óãëà a è èññëåäóåò åå íà
ýêñòðåìóì.
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áðóñêà
r r
r r r
m a = T + m g + N + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
OX : m a = T cos a - Fòð ; OY : 0 = T sin a - m g + N,
ãäå ñèëà òðåíèÿ Fòð = m N. Îòñþäà íàõîäèì:
m ( a + m g)
.
m a = T cos a - m ( m g - T sin a ); T =
cos a + m sin a
Êàê âèäèì, âåëè÷èíà ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè çàâèñèò îò óãëà a. Êðîìå òîãî, ñèëà
íàòÿæåíèÿ áóäåò òåì ìåíüøå, ÷åì ìåíüøå óñêîðåíèå áðóñêà. Ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ ìèíèìàëüíîé ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè ïîëîæèì a = 0:
mmg
.
(1)
T=
cos a + m sin a
Èññëåäóåì çàâèñèìîñòü T ( a ) íà ýêñòðåìóì.
Ïîñêîëüêó îò óãëà a çàâèñèò ëèøü çíàìåíàòåëü â âûðàæåíèè (1)
(2)
f ( a ) = cos a + m sin a,
52
òî âìåñòî òîãî, ÷òîáû èññëåäîâàòü íà ìèíèìóì (1), èññëåäóåì íà ìàêñèìóì ôóíêöèþ f ( a):
df
= - sin a + m cos a; - sin a m + m cos a m = 0; tg a m = m.
da
Ïîñêîëüêó â òî÷êå ýêñòðåìóìà âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f ( a)
æ d2 f ö
çç
÷
= - cos a m - m sin a m < 0,
2 ÷
d
a
è
ø a = am
òî ôóíêöèÿ (2) èìååò ìàêñèìóì, à çàâèñèìîñòü (1) - ìèíèìóì ïðè
a m = arctg m » 21,8î.
Îòâåò: a m = arctg m » 21,8î.
4. Ïîëíîïðèâîäíûé àâòîìîáèëü ñ âêëþ÷åííûì äâèãàòåëåì, òðîãàÿñü ñ ìåñòà,
ïîäíèìàåòñÿ ïî ïðÿìîé äîðîãå ñ óãëîì íàêëîíà ê ãîðèçîíòó a = 30o. Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ øèí àâòîìîáèëÿ î ïîâåðõíîñòü äîðîãè m = 0,6. Çà êàêîå ìèíèìàëüíîå âðåìÿ
àâòîìîáèëü ñìîæåò ïîäíÿòüñÿ íà âûñîòó h = 20 ì îòíîñèòåëüíî íà÷àëà ïîäúåìà?
Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ áåç ïðî ñêàëüçûâàíèÿ êîëåñ î äîðîãó.
Ðåøåíèå
r
Ïðè äâè æå íèè àâòîìî
r
a
r áè ëÿ íà íåãî
r
N
äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñròè m g , ñèëà íîðìàëüFòð X
íîé
r ðåàêöèè äîðîãè N è ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ Y
Fòð , íàïðàâëåííàÿ ïîr äâèæåíèþ àâòîìîáèëÿ. Ïðè ýòîì ñèëà Fòð ïðåïÿòñòâóåò ïðî h
ñêàëüçûâàíèþ êîëåñ àâòîìîáèëÿ ïî ïîâåðõr
m
g
a
íîñòè äîðîãè è ÿâëÿåòñÿ ñèëîé òÿãè àâòîìîO
áèëÿ.
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹4
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ
r
r r r
m a = m g + N + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
OX : m a = - m g sin a + Fòð ; OY : 0 = N - m g cos a,
ãäå ñèëà òðåíèÿ Fòð £ m N. Îòñþäà íàõîäèì:
N = m g cos a; Fòð = m a + m g sin a; a + g sin a £ m g cos a;
a £ g ( m cos a - sin a).
×òîáû ïðîåõàòü ðàññòîÿíèå
h
(1)
S=
sin a
çà ìèíèìàëüíîå âðåìÿ, àâòîìîáèëü äîëæåí äâèãàòüñÿ ñ ìàêñèìàëüíûì óñêîðåíèåì
(2)
a max = g ( m cos a - sin a).
Çàïèñàâ çàêîí äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ ïðè ðàâíîóñêîðåííîì äâèæåíèè
x = 12 a t 2
÷åðåç âðåìÿ Dt min ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ
2
,
S = 1 2 a max Dt min
53
ñ ó÷åòîì (1) è (2) ïîëó÷èì
2S
2h
Dt min =
=
» 20,4 ñ.
a max
g sin a ( m cos a - sin a)
Ïðîìåæóòî÷íûé ðåçóëüòàò (2), ïîëó÷åííûé ïðè ðåøåíèè äàííîé çàäà÷è, ïîçâîëÿåò ñäåëàòü ïîëåçíûé âûâîä: åñëè óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè ê ãîðèçîíòó òàêîâ, ÷òî
tg a = m, òî òåëî áóäåò íàõîäèòüñÿ â ïîêîå íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè íà ãðàíè ñêîëüæåíèÿ; åñëè tg a < m, òî òåëî áóäåò íàõîäèòüñÿ â ïîêîå; åñëè tg a > m, òî òåëî áóäåò
ñîñêàëüçûâàòü.
2h
Îòâåò: Dt min =
» 20,4 ñ.
g sin a ( m cos a - sin a)
5. Áðóñîê ìàññîé m1 = 1 êã, íàõîäÿùèéñÿ íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì ïðè
îñíîâàíèè a = 30î, ñîåäèíåí íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, ïåðåáðîøåííîé ÷åðåç
ëåãêèé áëîê, ñ ãðóçîì ìàññîé m2 = 2 êã. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå òåë, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ áðóñêà î ïëîñêîñòü ðàâåí m = 0,4. Òðåíèÿ â îñè áëîêà íåò.
Ðåøåíèå
r
N
 çàâèñèìîñòè îò çíà÷åíèé ìàññ òåë è
r
êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ âîçìîæíû òðè ðàça1
r
ëè÷íûõ ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû: áðóñîê ìîæåò
T2
r
ïîäíèìàòüñÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à
Y1
Fòð
ãðóç îïóñêàòüñÿ; áðóñîê ìîæåò îïóñêàòüñÿ
r
a2
ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à ãðóç ïîäíèìàòüa
r
O1
m1 g
ñÿ; ñèñòåìà ìîæåò íàõîäèòüñÿ â ïîêîå.
r
m2 g Y
Èñõîäÿ èç çíà÷åíèé ìàññ òåë, ïðåäïî2
ëîæèì, ÷òî áðóñîê áóäåò ïîäíèìàòüñÿ ïî
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹5
íàêëîí
r íîé ïëîñêîñròè, à ãðóç îïóñêàòüñÿ.
Íàr áðóñîê äåéñòâóþò ñèëà òÿ
r æåñòè m1 g , ñèëà òðåíèÿ Fòð , ñèëà íîðìàëü
r íîé ðåàêöèè N è ñèëàr íàòÿæåíèÿ íèòè T1 . Íà ãðóç äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè m2 g è ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T2 .
Ââåäåì äëÿ êàæäîãî èç òåë ñâîþ ñèñòåìó êîîðäèíàò è çàïèøåì èõ óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ
r r
r
r r
r
r r
m1 a1 = m1 g + Fòð + N + T1 ; m2 a 2 = m2 g + T2
â ïðîåêöèÿõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå îñè ñ ó÷åòîì, ÷òî óñêîðåíèÿ òåë a1 = a 2 = a è ñèëû
íàòÿæåíèÿ íèòè T1 = T2 = T :
(1)
O1 X 1: m1 a = - m1 g sin a - Fòð + T ;
(2)
O1Y1: 0 = - m1 g cos a + N ;
(3)
O2 X 2: m2 a = m2 g - T,
ãäå ñèëà òðåíèÿ Fòð = m N. Ñëîæèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (1) è (3), ñ ó÷åòîì (2) ïîëó÷èì:
( m1 + m2 ) a = m2 g - m1 g sin a - Fòð ; ( m1 + m2 ) a = m2 g - m1 g sin a - m m1 g cos a;
r
T1
a=
54
X 1 O2
[ m2 - m1 (sin a + m cos a )] g
» 3,77 ì/ñ2.
m1 + m2
(4)
Ïîñêîëüêó a > 0, òî ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû íå îøèáëèñü â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
áðóñîê áóäåò ïîäíèìàòüñÿ ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè, à ãðóç îïóñêàòüñÿ.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî íåëüçÿ áûëî ïðåäïîëàãàòü ïîêîé ñèñòåìû. Åñëè áû ìû
îøèáëèñü â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ òåë, òî èõ óñêîðåíèå, âû÷èñëåííîå ïî ôîðìóëå (4), áûëî áû îòðèöàòåëüíûì.  òàêîì ñëó÷àå ñëåäîâàëî áû ðàññìîòðåòü âòîðîé
âàðèàíò äâèæåíèÿ òåë, è òîëüêî åñëè áû óñêîðåíèå ñíîâà îêàçàëîñü ìåíüøå íóëÿ, òî
ìîæíî áûëî áû çàêëþ÷èòü, ÷òî ñèñòåìà ïîêîèòñÿ.
[ m - m1 (sin a + m cos a )] g
Îòâåò: a = 2
» 3,77 ì/ñ2.
m1 + m2
6. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ïîëó ëåæèò äîñêà ìàññîé M = 20 êã, íà êîòîðîé ïîêîèòñÿ
áðóñîê ìàññîé m = 5 êã. Êàêóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó ñëåäóåò ïðèëîæèòü ê äîñêå,
÷òîáû âûäåðíóòü åå èç-ïîä áðóñêà? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è äîñêîé
m1 = 0,6, ìåæäó äîñêîé è ïîëîì - m 2 = 0,2.
Ðåøåíèå
Ïðè äâèæåíèè äîñêà áóäåò óâëåêàòü çà ñîáîé áðóñîê çà ñ÷åò ñèëû òðåíèÿ,
äåéñòâóþùåé ìåæäó íèìè.
r
r
r
r Íà áðó ñîê äåréñòâó þò ñèëà òÿæåñòè Y
N1
m g , ñèëà ròðåíèÿ Fòð 1 è ñèëà íîðìàëüíîé
r a1
N 2r
Fòð 1 r
ðåàêöèè N 1 ñî ñòî
a2 r
r ðîíû äîñêè. Íàr äîñêó
¢ 1
Fòð
äåéñòâóþò ñèëà F, ñèëà
òÿ
æåñ
òè
,
ñèëà
M
g
F X
r
íîðìàëüíîé ðå
àê
öèè
ïî
âåð
õíîñ
òè
ïîëà,
N
r
2
r
r
O
r
Fòð 2 N ¢
ñèëà òðåíèÿ Fòð 2 ìåæäó äîñêîé è ïîëîì è
1
mg
r
äâå ñèëû, îáóñëîâëåííûå âçàèìîäåéñòâèåì
Mg
äîñ
r êè ñr áðóñêîì: ñèëà äàâ
r ëåíèÿr áðóñ êà
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹6
¢ 1 = - Fòð 1 . Ïîä
N 1¢ = - N 1 è ñèëà òðåíèÿ Fòð
r r
äåéñòâèåì ýòèõ ñèë áðóñîê è äîñêà áóäóò äâèãàòüñÿ ñ óñêîðåíèÿìè a1 è a 2 ñîîòâåòñòâåííî.
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ áðóñêà è äîñêè
r
r
r
r
r
r
r r
r
r r
¢ 1
m a1 = m g + N 1 + Fòð 1 ;
M a 2 = F + M g + N 2 + Fòð 2 + N 1¢ + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò XOY:
OX : m a1 = Fòð 1 ; OY : 0 = - m g + N 1 ;
¢ 1 ; OY : 0 = - M g + N 2 - N 1¢ ,
OX : M a 2 = F - Fòð 2 - Fòð
¢ 1 = Fòð 1 = m1 N 1 ; Fòð 2 = m 2 N 2 . Ñëåäîâàòåëüíî,
ãäå N 1¢ = N 1 ; Fòð
m a1 = m1 m g ; a1 = m1 g ;
M a 2 = F - m1 m g - m 2 ( M + m) g.
Äëÿ òîãî, ÷òîáû áðóñîê ñîñêîëüçíóë ñ äîñêè, åãî óñêîðåíèå äîëæíî áûòü ìåíüøå óñêîðåíèÿ äîñêè:
F - m1 m g - m 2 ( M + m) g
.
a1 < a 2 ; m1 g <
M
Îòñþäà íàõîäèì:
F > ( m1 + m 2 ) ( M + m) g » 196 Í.
Îòâåò: F > ( m1 + m 2 ) ( M + m) g » 196 Í.
55
7. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì äîëæåí èäòè ÷åëîâåê ìàññîé m = 70 êã ïî äëèííîé äîñêå ìàññîé M = 5 êã, ëåæàùåé íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè
a = 10î, ÷òîáû äîñêà ðàâíîìåðíî ñêîëüçèëà âíèç? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó äîñêîé è ïîâåðõíîñòüþ ïëîñêîñòè m = 0,3.
r
N1
r
N r2
r
a
Fòð 2
r
r F¢
Fòð 1 òð 1
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè ê
ãîðèçîíòó òàêîâ, ÷òî tg a » 0,18 < m, òî äîñêà, ïðåäîñòàâëåííàÿ ñàìà ñåáå, íå áóäåò ñîñêàëüçûâàòü ñ ïëîñêîñòè. ×òîáû îíà ñêîëür
Y
çèëà âíèç ïî ïëîñêîñòè, åå íàäî «òîëêàòü»
N 1¢
r
ñ íåêîòîðîé ñèëîé. Òàêîé ñèëîé ÿâëÿåòñÿ
r Mg
ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ ìåæäó ïîäîøâàìè îáóâè
a
mg
O
÷åëîâåêà è äîñêîé. ×òîáû ýòà ñèëà òîëêàëà
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹7
äîñêór âíèç, ÷åëîâåê äîëæåí
r èäòè ââåðõ.
Íà ÷åëîâåêà äå
éñòâó
þò
ñèëà
òÿ
æåñ
òè
,
ñèëà
òðå
íèÿ
ïî
êîÿ
m
g
F
òð 1 è ñèëà
r
r íîðìàëüíîé ðåàêöèè N 1 ñî
r ñòîðîíû äîñêè. Íà äîñêó äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè rM g, ñèëà
íîðìàëüíîé ðåàêöèè N 2 ïîâåðõíîñòè íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñèëà òðåíèÿ Fòð
r 2 è äâå
r
ñèëû, îáóñëîâëåííûå râçàèìîäår éñòâèåì äîñêè ñ ÷åëîâåêîì: ñèëà äàâëåíèÿ N 1¢ = - N 1
¢ 1 = - Fòð 1 .
è ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ Fòð
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ óñêîðåííîãî äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà è ðàâíîìåðíîãî äâèæåíèÿ
äîñêè
r
r
r
r
r
r r
r r
¢ 1
m a = m g + N 1 + Fòð 1 ; 0 = M g + N 2 + Fòð 2 + N 1¢ + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
OX : m a = - m g sin a + Fòð 1 ; OY : 0 = - m g cos a + N 1 ;
¢ 1 ; OY : 0 = - M g sin a + N 2 - N 1¢ ,
OX : 0 = - M g sin a + Fòð 2 - Fòð
X
¢ 1 = Fòð 1 , Fòð 2 = m N 2 ; N 1¢ = N 1 . Ñëåäîâàòåëüíî,
ãäå Fòð
(1)
m a = - m g sin a + Fòð 1 ;
(2)
0 = - M g sin a + m ( M + m) g cos a - Fòð 1 .
Ñëîæèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (1) -(2), ïîëó÷èì:
M+m
m a = m ( M + m) g cos a - ( M + m) g sin a; a =
g ( m cos a - sin a ) » 1,28 ì/ñ2.
m
M+m
Îòâåò: a =
g ( m cos a - sin a ) » 1,28 ì/ñ2.
m
8. Ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè a = 30î ñîñêàëüçûâàåò êëèí
ìàññîé M = 1 êã, âåðõíÿÿ ãðàíü êîòîðîãî ãîðèçîíòàëüíà. Íà êëèíå íàõîäèòñÿ áðóñîê
ìàññîé m = 200 ã. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó êëèíîì è íàêëîííîé ïëîñêîñòüþ
m = 0,3, òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è êëèíîì íåò. Îïðåäåëèòå âåñ áðóñêà ïðè äâèæåíèè
êëèíà.
Ðåøåíèå
r
r
Íà áðóñîê äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè m g èrñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè N 1r ñî ñòîðîíû êëèíà. Íà êëèí äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè Mr g , ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè N 2 ïîâåðõr
íîñòè íàêëîííîé ïëîñêîñòè, ñèëà äàâëåíèÿ N 1¢ ñî ñòîðîíû áðóñêà è ñèëà òðåíèÿ Fòð .
56
Ïîñêîëüêó ñèëû, äåéñòâóþùèå íà áðór
Y2
O1
N
r
ñîê, íàïðàâëåíû âåðòèêàëüíî, òî áðóñîê áó1
r r
N2
a1 Fòð
äåò îïóñ
êàòü
ñÿ
âåð
òè
êàëü
íî
âíèç
ñ
óñêî
ðå
r
íèåì a1 , à êëèí – äâèãàòüñÿ âäîëü
íàêëîír
r
íîé ïëîñêîñòè ñ óñêîðåíèåì a 2 .
a2
S1 S 2
Ââåäåì äëÿ êàæäîãî òåëà ñâîþ ñèñòår
r
mg
ìó êîîðäèíàò, è çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåNr1¢
a
íèÿ òåë
X
M g X1
r
r r
2
m a1 = m g + N 1 ;
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹8
r
r
r
r
r
M a 2 = M g + N 2 + N 1¢ + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè âûáðàííûõ ñèñòåì êîîðäèíàò:
O1 X 1 : m a1 = m g - N 1 ;
O2 X 2 : M a 2 = M g sin a + N 1¢ sin a - Fòð ; O2Y2 : 0 = - M g cos a + N 2 - N 1¢ cos a,
ãäå N 1¢ = N 1 , Fòð = m N 2 .
Çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè òåëà ñèñòåìû ïðîõîäÿò ñîîòâåòñòâåííî ïóòè S1
è S 2 , ïðè÷åì S1 S 2 = sin a. Ïîñêîëüêó óñêîðåíèÿ òåë ïî âåëè÷èíå ðàâíû âòîðûì ïðîèçâîäíûì îò ïðîéäåííûõ òåëàìè ïóòåé, òî
a1 S1
=
= sin a.
a2 S 2
Ñëåäîâàòåëüíî,
M a1
N 1 = m g - m a1 ;
= M g sin a + m ( g - a1 ) sin a - m [ M g cos a + m ( g - a1 ) cos a];
sin a
( M + m) g (sin a - m cos a) sin a
.
a1 =
M + m (sin a - m cos a) sin a
r
Òàê êàê âåñ áðóñêà ÷èñëåííî ðàâåí ñèëå ðåàêöèè N 1 ñî ñòîðîíû êëèíà, òî
m M g cos a (cos a + m sin a)
P = N 1 = m ( g - a1 ) =
» 1,8 Í.
M + m (sin a - m cos a) sin a
m M g cos a (cos a + m sin a)
Îòâåò: P =
» 1,8 Í.
M + m (sin a - m cos a) sin a
9. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäèòñÿ êëèí ìàññîé M = 1 êã è óãëîì ïðè îñíîâàíèè a = 30î. Íà êëèí êëàäóò áðóñîê ìàññîé m = 2 êã. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó
áðóñêîì è êëèíîì m1 = 0,2, êëèíîì è ñòîëîì - m 2 = 0,1. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå êëèíà.
Ðåøåíèå
r
r
Ïîñêîëüêó óãîë ïðè îñíîâàíèè êëèíà Y
N1
F
òð 1
òàêîâ, ÷òî tg a » 0,58 > m1 , òî áðóñîê áóäåò
r
a2
ñîñêàëüçûâàòü ñ êëèíà. Ïðè ýòîì êëèí ìîr
r
r
¢
a
r
1
æåò äâèãàòüñÿ èëè îñòàâàòüñÿ â ïîêîå. Ðàña
N
2
r 2
a a1
ñìîòðèì íàèáîëåå îáùóþ ñèòóàöèþ, êîãäà
r
m g Fòð 2
îáà òåëà äâèæóòñÿ.
X
a
Íà
áðó
ñîê
äå
éñòâó
þò
ñèëà
òÿ
æåñ
òè
r
r
r
O
r
¢ 1
Fòð
r
N 1¢
m g , ñèëà ròðåíèÿ Fòð 1 è ñèëà íîðìàëüíîé
Mg
ðå àê öèè N 1 ñî ñòî ðî íû êëè íà. Íà êëèí
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹9
57
r
r
äåéñòâóþò
ñèëà
òÿ
æåñ
òè
,
ñèëà
íîð
ìàëü
íîé
ðå
àê
öèè
M
g
N
2 ïîâåðõíîñòè ñòîëà, ñèëà
r
òðåíèÿ rFòð 2 èräâå ñèëû, îáóñëîârëåííûå âçà
r èìîäåéñòâèåì êëèíà ñ áðóñêîì: ñèëà äà⢠1 = - Fòð 1 .
ëåíèÿ N 1¢ = - N 1 è ñèëà òðåíèÿ Fòð
Áðóñîê, ñîñêàëüçûâàÿ ñ êëèíà, áóäåò âûäàâëèâàòü êëèí âïðàâî. Ïðè ýòîì óñêîðåíèå áðóñêà îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñî ñòîëîì,
r r r
(1)
a1 = a1¢ + a 2 ,
r
r
ãäå a1¢ - óñêîðåíèå áðóñêà îòíîñèòåëüíî êëèíà; a 2 - óñêîðåíèå êëèíà.
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë
r
r
r
r
r
r r
r
r r
¢ 1
m a1 = m g + Fòð 1 + N 1 ;
M a 2 = M g + N 2 + Fòð 2 + N 1¢ + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ ó÷åòîì (1):
(2)
O X : m ( a 2 - a1¢ cos a ) = Fòð 1 cos a - N 1 sin a;
(3)
OY : - m a1¢ sin a = - m g + N 1 cos a + Fòð 1 sin a;
¢ 1 cos a;
(4)
O X : M a 2 = - Fòð 2 + N 1¢ sin a - Fòð
¢ 1 sin a,
(5)
OY : 0 = - M g + N 2 - N 1¢ cos a - Fòð
¢ 1 = Fòð 1 = m1 N 1 ; Fòð 2 = m 2 N 2 .
ãäå N 1¢ = N 1 ; Fòð
Âûðàçèâ a1¢ èç (2)
m a 2 - N 1 ( m1 cos a - sin a)
a1¢ =
m cos a
è ïîäñòàâèâ â (3), ïîëó÷èì:
m a 2 - N 1 ( m1 cos a - sin a)
(6)
sin a
= m g - N 1 (cos a + m1 sin a );
cos a
(7)
N 1 = m ( g cos a - a 2 sin a ).
Èç (4) ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (5) -(7) íàõîäèì:
M a 2 = - m 2 N 2 + N 1 (sin a - m1 cos a ); N 2 = M g + N 1 (cos a + m1 sin a );
M a 2 = - m 2 M g - m ( g cos a - a 2 sin a ) [m 2 (cos a + m1 sin a ) - sin a + m1 cos a];
m M + m cos a [m 2 (cos a + m1 sin a ) - sin a + m1 cos a]
a2 = g 2
» 2,4 ì/ñ2.
m sin a [m 2 (cos a + m1 sin a ) - sin a + m1 cos a ] - M
m M + m cos a [m 2 (cos a + m1 sin a ) - sin a + m1 cos a]
Îòâåò: a 2 = g 2
» 2,4 ì/ñ2.
m sin a [m 2 (cos a + m1 sin a ) - sin a + m1 cos a ] - M
10. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå, ñ êîòîðûì äâèæåòñÿ ãðóç m1 â ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå. Ìàññû ãðóçîâ m1 = 1 êã, m2 = 4 êã. Òðåíèåì, ìàññàìè
áëîêîâ è íèòåé, à òàêæå ðàñòÿæåíèåì íèòåé ïðåíåáðå÷ü. Íèòè âåðòèêàëüíû.
Ðåøåíèå
Íà êàæäûé èç ãðóçîâ ñèñòåìû äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè è ñèëà íàòÿæåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé íèòè.
 äàííîé çàäà÷å ñîîòíîøåíèå ìàññ m1 è m2 íå ïîçâîëÿåò áåç ðàñ÷åòîâ óâåðåííî
ñêàçàòü, êàêîé èç ãðóçîâ áóäåò ïîäíè
r ìàòüñÿ, à êàêîé îïóñêàòüñÿ. Ïðåäïîëî
r æèì, ÷òî
ãðóç m1 ïîäíèìàåòñÿ ñ óñêîðåíèåì a1 , à ãðóç m2 îïóñêàåòñÿ ñ óñêîðåíèåì a 2 . Ââåäåì
äëÿ êàæäîãî ãðóçà ñâîþ ñèñòåìó êîîðäèíàò è çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàæäîãî
èç íèõ
r
r r
r
r r
m1 a1 = m1 g + T1 ; m2 a 2 = m2 g + T2
58
â ïðîåêöèÿõ íà îñè O1 X 1 è O2 X 2 ñîîòâåòñòâåííî:
X1
O2
(1)
O1 X 1: m1 a1 = T1 - m1 g;
r
r
¢
T
¢
r
T
1
r
(2)
O2 X 2: m2 a 2 = m2 g - T2 .
1
T1¢
T1¢
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) - (2) ñîäåðæèò
r
T
÷åòûðå íåèçâåñòíûõ âåëè÷èíû - óñêîðåíèÿ
1
r
r
a1 , a 2 ãðóçîâ è ñèëû íàòÿæåíèÿ T1 , T2 íèm1 r T2¢
a1
òåé.
T2
r
m1 g
r
Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ãðóç ìàññîé m1 äâèm2
a2
æåòñÿ áûñòðåå, ÷åì ãðóç ìàññîé m2 . ×òîáû
íàéòè ñâÿçü ìåæäó óñêîðåíèÿì a1 è a 2 ãðóO1
r
X2
m2 g
çîâ, ñðàâíèì ïðîéäåííûå èìè ïóòè çà îäèí
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹10
è òîò æå ïðîìåæóòîê âðåìåíè. Åñëè ãðóç
m1 ïðîéäåò ââåðõ ðàññòîÿíèå S1 , òî êóñîê íèòè äëèíîé S1 ïåðåìåñòèòñÿ ÷åðåç ëåâûé
áëîê è ïîäâèæíûé ïðàâûé áëîê âìåñòå ñ ãðóçîì m2 îïóñòèò ñÿ íà ðàññòîÿíèå
S 2 = 1 2 S1 . Ñëåäîâàòåëüíî (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è ¹8),
(3)
a 2 = 1 2 a1 .
Òåïåðü íàéäåì ñâÿçü ìåæäó ñèëàìè íàòÿæåíèÿ T1 è T2 íèòåé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïðàâûé áëîê, íà êîòîðûé ýòè ñèëû äåéñòâóþò îäíîâðåìåííî. Çàïèøåì
óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîãî áëîêà â ïðîåêöèè íà îñü O2 X 2 ñ ó÷åòîì, ÷òî T1¢ = T1 ,
T2¢ = T2 :
O2 X 2: M a 2 = M g + T2 - 2 T1 ,
ãäå M – ìàññà áëîêà. Ïîñêîëüêó ìàññîé áëîêà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî
(4)
0 = T2 - 2 T1 .
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ãðóçîâ (1) - (2) ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (3) - (4) çàïèøåì â
âèäå
m1 a1 = T1 - m1 g ;
m2 1 2 a1 = m2 g - 2 T1 .
Îòñþäà ïîëó÷èì:
2 ( m2 - 2 m1 ) g
a1 =
» 4,9 ì/ñ2.
4 m1 + m2
2 ( m2 - 2 m1 ) g
Îòâåò: a1 =
» 4,9 ì/ñ2.
4 m1 + m2
11.  ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñóíêå, ìàññû òåë M = 3 êã,
m1 = 1 êã, m2 = 2 êã. Íèòè íåâåñîìû è íåðàñòÿæèìû. Òðåíèÿ íåò, ìàññû áëîêîâ ïðåíåáðåæèìî ìàëû. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå òåëà ìàññîé m1 .
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó òðåíèÿ íåò,
r òî òåëà m1 è m2 áóäóò äâèãàòüñÿ îòíîñèòåëüíî ïîäâèæ¢ (m1 ïîäíèìàòüñÿ, à m2 îïóñêàòüñÿ), à ñàì áëîê îïóñêàòüñÿ
íîãî áëîêà ñ óñêî
ðå
íè
åì
a
r
ñ óñêîðåíèåì a, ðàâíûì ïî âåëè÷èíå óñêîðåíèþ òåëà
M.
r
rÍà òåëî ìàññîé M äåéñòâó
r åò ñèëà òÿæåñòè M g , ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè
r îïîrðû N è ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T. Íà òåëà m1 è mr2 äå
r éñòâóþò ñèëû òÿæåñòè m1 g , m2 g
è ðàâíûå ïî âåëè÷èíå ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè T1 , T2 .
59
Ââåäåì äâå ñèñòåìû êîîðäèíàò è çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåë
r
r
r r r
r
M
a
=
M
g
+ N + T;
N
r a
r
r r
r
r r
m1 a1 = m1 g + T1 ; m2 a 2 = m2 g + T2
T
O1
r O2 â ïðîåêöèÿõ íà îñè O1 X 1 è O2 X 2 ñîîòâåòñòX1 T ¢ r
âåííî:
r
a
Mg
r
(1)
O1 X 1: M a = T ;
r
T2¢
¢
T
r
(2)
O2 X 2: m1 ( a - a¢) = m1 g - T1 ;
r1
T2
T1
(3)
O2 X 2: m2 ( a + a¢) = m2 g - T2 ,
r
r
a¢
a ¢ ãäå ó÷òåíî, ÷òî òåëà m1 è m2 îäíîâðåìåííî
r
ó÷àñòâóþò â äâóõ äâèæåíèÿõ - îòíîñèòåëür
m2 g
X 2 íî ïîäâèæíîãî áëîêà ñ óñêîðåíèåì ar ¢ è
m1 g
r
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹11
âìåñòå ñ áëîêîì ñ óñêîðåíèåì a.
Íàéäåì ñâÿçü ìåæäó ñèëàìè íàòÿæåíèÿ íèòåé. Äëÿ ýòîãî ðàññìîòðèì ïîäâèæíûé áëîê, íà êîòîðûé ýòè ñèëû äåéñòâóþò îäíîâðåìåííî. Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîãî áëîêà â ïðîåêöèè íà îñü O2 X 2 ñ ó÷åòîì, ÷òî T ¢ = T, T1¢ = T1 , T2¢ = T2 :
O2 X 2: M 0 a = M 0 g + T1 + T2 - T,
ãäå M 0 – ìàññà áëîêà. Ïîñêîëüêó ìàññîé áëîêà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî
(4)
0 = T1 + T2 - T.
Òàê êàê T2 = T1 , òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (1) -(3) ñ ó÷åòîì (4) ïðèìåò âèä
M a = 2 T1 ; m1 ( a - a¢) = m1 g - T1 ; m2 ( a + a¢) = m2 g - T1 .
Îòñþäà íàõîäèì:
m g - 12 M a
m g - 12 M a
;
;
T1 = 1 2 M a;
a - a¢ = 1
a + a¢ = 2
m1
m2
4 m1 m2
M ( m2 - m1 )
a=
g ; a¢ =
g;
4 m1 m2 + M ( m1 + m2 )
4 m1 m2 + M ( m1 + m2 )
4 m1 m2 - M ( m2 - m1 )
a1 = a - a¢ =
g » 2,9 ì/ñ2.
4 m1 m2 + M ( m1 + m2 )
4 m1 m2 - M ( m2 - m1 )
Îòâåò: a1 =
g » 2,9 ì/ñ2.
4 m1 m2 + M ( m1 + m2 )
12. Ñàíêè ìàññîé m = 5r êã, ñòîÿùèå íà ãîðèçîíòàëüíîé äîðîãå, íà÷èíàþò òîëêàòü ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé F, âåëè÷èíà êîòîðîé èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó:
F = g t, ãäå g = 2 Í/ñ. ×åðåç Dt = 10 ñ ñàíêè ïåðåñòàþò òîëêàòü, è îíè ïðîäîëæàþòr
äâèæåíèå ïî èíåðöèè. Êàêîå ðàññòîÿíèå ïðîéäóò ñàíêè îò íà÷àëà äåéñòâèÿ ñèëû F
äî îñòàíîâêè? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ñàíîê m = 0,2.
Ðåøåíèå
r
r
Y
N
a
 òå÷åíèå
r âðåìåíè Dt íà ñàí
r êè äåéñòâóþò ñèëà F, ñèëà òÿæåñòèr m g , ñèëà íîðr
r
F
Fòð
r íîé ðåàêöèè äîðîãè N è ñèëà òðåíèÿ
X ìàëü
Fòð , ïðè÷åì äî íåêîòîðîãî ìîìåíòà âðåìåO
íè t 0 íà ñàíêè áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà
r òðå
r r
íèÿ ïîêîÿ. Äî ýòîãî ìîìåíòà ñèëû F è Fòð
mg
áóäóò ïî ìîäóëþ ðàâíû äðóã äðóãó, è ñàíêè
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹12
60
íå áóäóò äâèãàòüñÿ. Ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè t 0 , êîãäà ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ äîñòèãíåò
ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Fòð = m N, ñàíêè ïðèäóò â äâèæåíèå. Ïîñêîëüêó N = m g , òî
F ( t 0 ) = Fòð ; g t 0 = m m g ; t 0 = m m g g.
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñàíîê
r r
r r r
m a = F + m g + N + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò X OY:
OX : m a = F - Fòð ; OY : 0 = N - m g ,
ãäå ñèëà òðåíèÿ Fòð = m N. Ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèå ñàíîê
gt
(1)
a=
- m g,
m
èëè ñ ó÷åòîì âûðàæåíèÿ äëÿ t 0
g t g t0 g (t - t0 )
.
a=
=
m
m
m
Ïîñêîëüêó ïðè ïðÿìîëèíåéíîì äâèæåíèè óñêîðåíèå ðàâíî ïðîèçâîäíîé ïî
âðåìåíè îò âåëè÷èíû ñêîðîñòè, òî
d u g (t - t0 )
.
(2)
=
dt
m
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (2) è ïðîèíòåãðèðîâàâ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå, íàéäåì
ñêîðîñòü ñàíîê â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t 0 < t < Dt
u
t
g (t - t0 )
g (t - t0 )
g ( t - t0 )2
;
(3)
du =
dt;
d
u
=
dt
u
=
ò
ò m
m
2
m
0
t0
r
è â ìîìåíò âðåìåíè Dt îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ ñèëû F:
g ( Dt - t 0 ) 2
.
u0 =
2m
Çàïèñàâ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå (3) ñ ó÷åòîì, ÷òî ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà îñü OX
ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò êîîðäèíàòû
d x g ( t - t0 )2
,
=
dt
2m
r
íàéäåì ïóòü, ïðîéäåííûé ñàíêàìè çà âðåìÿ äåéñòâèÿ ñèëû F:
S1
Dt
g ( t - t0 )2
g ( Dt - t 0 ) 3
ò d x = ò 2 m dt; S1 = 6 m .
0
t0
r
Ïîñëå ïðåêðàùåíèÿ äåéñòâèÿ ñèëû F ñàíêè ïðîäîëæàò äâèæåíèå ñ óñêîðåíèåì
a¢ = m g (ñì. âûðàæåíèå (1)), íàïðàâëåííûì ïðîòèâîïîëîæíî ñêîðîñòè, è äî ïîëíîé
îñòàíîâêè ïðîéäóò ïóòü
u2
g 2 ( Dt - t 0 ) 4
.
S2 = 0 =
2 a¢
8 m rm2 g
Ñëåäîâàòåëüíî, îò íà÷àëà äåéñòâèÿ ñèëû F äî ïîëíîé îñòàíîâêè ñàíêè ïðîéäóò
ïóòü
g ( Dt - t 0 ) 3 ì 1 g ( Dt - t 0 ) ü
DS = S 1 + S 2 =
í +
ý » 15,6 ì.
2m
3
4
m
m
g
î
þ
Îòâåò: DS =
g ( Dt - t 0 ) 3 ì 1 g ( Dt - t 0 ) ü
mmg
.
í +
ý » 15,6 ì, ãäå t 0 =
2m
3
4
m
m
g
g
î
þ
61
13. Ìîòîðíàÿ ëîäêà äâèãàëàñü ïî îçåðó ñî ñêîðîñòüþ u0 = 10 ì/ñ. Ñ÷èòàÿ ñèëó
ñîïðîòèâëåíèÿ âîäû ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè ëîäêè Fñîïð = r u (ãäå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè r = 102 êã/ñ), îïðåäåëèòå ïóòü, ïðîéäåííûé ëîäêîé äî
îñòàíîâêè ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ìîòîðà. Ìàññà ëîäêè m = 103 êã.
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ìîòîðà
íà ëîäêó â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëå
r íèè
r
äåéñòâóåò òîëüêî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ Fñîïð ,
Fñîïð
X òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ëîäêè â ïðîåêöèè
O
íà îñü OX, íàïðàâëåííóþ ïî ñêîðîñòè, ïðèÐèñ. ê çàäà÷å ¹13
ìåò âèä
- m a = - Fñîïð .
Òàê êàê ïðè äâèæåíèè ñêîðîñòü ëîäêè óìåíüøàåòñÿ, òî çà áåñêîíå÷íî ìàëîå
âðåìÿ dt ïðèðàùåíèå ìîäóëÿ ñêîðîñòè ëîäêè ñîñòàâèò d u, ïðè÷åì d u < 0. Ïðåäñòàâèâ óñêîðåíèå ëîäêè êàê
du
,
a=dt
çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â âèäå
du
(1)
m
= - r u,
dt
ãäå çíàê «ìèíóñ» óêàçûâàåò íà òî, ÷òî âåëè÷èíà ñêîðîñòè ëîäêè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè
óìåíüøàåòñÿ.
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (1)
du
r
(2)
= - dt
u
m
è ïðîèíòåãðèðîâàâ (2), íàéäåì çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ëîäêè îò âðåìåíè:
Y
r
a
r
u
t
u
du
r
r
u
- (r / m) t
.
(3)
ò u = - ò m dt; ln u 0 = - m t; u = u0 e
u0
0
Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîðîñòü ëîäêè ñòàíåò ðàâíîé íóëþ ïðè t ® ¥.
Çàïèñàâ ïîñëåäíåå âûðàæåíèå (3) ñ ó÷åòîì, ÷òî ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà îñü OX
ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò êîîðäèíàòû
dx
- (r / m) t
,
= u0 e
dt
íàéäåì ïóòü, ïðîéäåííûé ëîäêîé äî îñòàíîâêè:
S
¥
ò dx = ò u e
- (r / m) t
0
0
Îòâåò: S =
0
¥
dt;
m u0 - ( r / m ) t
m u0
S=e
=
= 100 ì.
r
r
0
m u0
= 100 ì.
r
14. Ïóëÿ, ïðîáèâ äîñêó òîëùèíîé h = 5 ñì, èçìåíèëà ñâîþ ñêîðîñòü îò
u0 = 600 ì/ñ äî u = 400 ì/ñ. Îïðåäåëèòå âðåìÿ äâèæåíèÿ ïóëè â äîñêå, ñ÷èòàÿ ñèëó
ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ñêîðîñòè. Ñèëó òÿæåñòè ïóëè íå ó÷èòûâàòü.
62
Ðåøåíèå
Åñëè ïðåíåáðå÷ü ñèëîé òÿæåñòè ïóëè, òî, íåçàâèñèìî îò íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ, íà ïóëþ áóäåò äåéñòâîâàòü åäèíñòâåííàÿ ñèëà - ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ Fñîïð = r u2
(ãäå r - êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè) è ïóëÿ áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïðÿìîé.
Ïîñêîëüêó ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî äâèæåíèþ ïóëè,
òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ïðîåêöèè íà îñü OX, íàïðàâëåííóþ ïî ñêîðîñòè, ïðèìåò
âèä
- m a = - Fñîïð ,
èëè
du
(1)
m
= - r u2 ,
dt
ãäå ó÷òåíî, ÷òî âåëè÷èíà ñêîðîñòè ïóëè ñ òå÷åíèåì âðåìåíè óìåíüøàåòñÿ (ñì. ðåøåíèå çàäà÷è ¹13).
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (1)
du
r
(2)
= - dt
2
u
m
è ïðîèíòåãðèðîâàâ (2), íàéäåì âðåìÿ Dt äâèæåíèÿ ïóëè â äîñêå:
u
Dt
du
r
1
1
r
m u -u
(3)
ò u2 = - ò m dt; u0 - u = - m Dt; Dt = r u0 u0 .
u0
0
Ïîñêîëüêó
du du dx
du
=
=u
dt
d x dt
dx
(ãäå ó÷òåíî, ÷òî ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà îñü ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò êîîðäèíàòû), òî óðàâíåíèå (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
du
(4)
mu
= - r u2 .
dx
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (4)
du
r
(5)
= - dx
u
m
è ïðîèíòåãðèðîâàâ (5), ïîëó÷èì:
u
h
u
du
r
r
ò u = - ò m d x; ln u0 = m h.
u0
0
Èç ïîñëåäíèõ âûðàæåíèé (3) è (6) íàõîäèì:
u0 - u
m
h
; Dt = h
=
» 10-4 ñ.
r
ln ( u 0 u)
u u0 ln ( u 0 u)
u0 - u
Îòâåò: Dt = h
» 10-4 ñ.
u u0 ln ( u 0 u)
(6)
15. Áðóñîê íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè a = 30î. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò ïðîéäåííîãî áðóñêîì ïóòè S ïî çàêîíó: m = g S, ãäå g = 0,1 ì-1. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü
áðóñêà.
Ðåøåíèå
r
Ïðè äâèr æåíèè íà áðóñîêr äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè m g , ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû N è ñèëà òðåíèÿ Fòð .
63
r
N
Y
r
Fòð
r
a
O
r
mg
a
X
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áðóñêà
r
r r r
m a = m g + N + Fòð
â ïðî åêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò
XOY:
OX : m a = m g sin a - Fòð ;
OY : 0 = N - m g cos a,
ãäå ñèëà òðåíèÿ Fòð = m N, èëè ñ ó÷åòîì
óñëîâèÿ çàäà÷è Fòð = g S N.
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹15
Ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèå áðóñêà
(1)
a = g (sin a - g S cos a ).
Èç (1) âèäíî, ÷òî ïðè äâèæåíèè áðóñêà óñêîðåíèå áóäåò óìåíüøàòüñÿ (ïîñêîëüêó óâåëè÷èâàåòñÿ ïðîéäåííûé áðóñêîì ïóòü S) è â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñòàíåò ðàâíûì íóëþ. Ïîñëå ýòîãî ïðîåêöèÿ óñêîðåíèÿ íà îñü OX ñòàíåò îòðèöàòåëüíîé
è ñêîðîñòü áðóñêà íà÷íåò óìåíüøàòüñÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîðîñòü áðóñêà áóäåò ìàêñèìàëüíîé â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà åãî óñêîðåíèå ñòàíåò ðàâíûì íóëþ:
0 = g (sin a - g S 0 cos a ).
Ñëåäîâàòåëüíî, ê ýòîìó ìîìåíòó áðóñîê ïðîéäåò ïóòü
tg a
.
(2)
S0 =
g
×òîáû íàéòè ñêîðîñòü áðóñêà â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè, ïðåäñòàâèì óñêîðåíèå
êàê
d u d u dS d u
a=
=
=
u
d t dS d t dS
(ãäå ó÷òåíî, ÷òî âåëè÷èíà ñêîðîñòè ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò ïóòè) è çàïèøåì óðàâíåíèå (1) â âèäå
du
(3)
u
= g (sin a - g S cos a ).
dS
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (3)
(4)
u d u = g (sin a - g S cos a ) dS
è ïðîèíòåãðèðîâàâ (4), ïîëó÷èì:
S0
umax
ò u d u = ò g (sin a - g S cos a ) dS;
0
0
u2max
S 02
= g ( S 0 sin a - g
cos a ).
2
2
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (2) íàõîäèì
umax =
g S 0 cos a ( 2 tg a - g S 0 ) =
Îòâåò: umax =
g
tg 2 a
g
cos a =
g
g
tg a
sin a » 5,32 ì/ñ.
g
tg a
sin a » 5,32 ì/ñ.
g
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
2.1. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m = 1 ã äâèæåòñÿr â ïëîñrêîñòè XOY òàê,
r ÷òî åå
ðàäèóñ-âåêòîð èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: r = a t i + b sin ( w t ) j [ì], ãäå
a = 2 ì/ñ, b = 3 ì, w = 1 2 p ðàä/ñ. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ðåçóëüòèðóþùåé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òî÷êó â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 ñ.
64
2.2. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m = 10 ã äâèæåòñÿ âr ïëîñêîñ
ïîä
r òè XOY
r
2
äåéñòâèåì ñèëû, êîòîðàÿ èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = a t i + b t j [Í], ãäå
a = 10-4 Í/ñ2, b = 10-4 Í/ñ. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ñêîðîñòè òî÷êè â ìîìåíò âðåìåíè
t = 2 ñ.  ìîìåíò âðåìåíè t 0 = 0 òî÷êà ïîêîèëàñü.
2.3. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ïîëó ëåæèò ÿùèê, íàïîëíåííûé ïåñêîì. Ìàññà ÿùèêà
m = 10 êã. Ê áîêîâîé ñòåíêå ÿùèêà ïðèêðåïëåíà ëåãêàÿ âåðåâêà. Åñëè ê âåðåâêå ïðèëîæèòü ñèëó F = 40 Í, íàïðàâëåííóþ ââåðõ ïîä óãëîì a = 60î ê ãîðèçîíòó, òî ÿùèê
äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì áóäåò äâèãàòüñÿ ÿùèê, åñëè ýòó ñèëó
ïðèëîæèòü ïîä óãëîì b = 30î ê ãîðèçîíòó?
2.4. Øàéáó ïîëîæèëè íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü è ñîîáùèëè ñêîðîñòü u0 = 5 ì/ñ,
íàïðàâëåííóþ âäîëü ïëîñêîñòè ââåðõ. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó øàéáîé è ïëîñêîñòüþ m = 0,4. Îïðåäåëèòå óãîë íàêëîíà ïëîñêîñòè ê ãîðèçîíòó, ïðè êîòîðîì øàéáà
ïðîéäåò äî îñòàíîâêè ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå. ×åìó ðàâíî ýòî ðàññòîÿíèå?
2.5. Áðóñîê ìàññîé m1 = 2 êã, íàõîäÿùèéñÿ
m1
íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå, ñîåäèíåí íåâåñîìîé
íå ðàñ òÿ æè ìîé íè òüþ, ïå ðå áðî øåí íîé ÷å ðåç
ëåãêèé áëîê, ñ ãðóçîì ìàññîé m2 = 1 êã (ñì. ðèr
ñóíîê). Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â ëèôa
m2
òå, êîòîðûé äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ óñêî2
ðåíèåì a = 1 ì/ñ . Îïðåäåëèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ
íèòè, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ áðóñêà î ñòîë
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹2.5
ðàâåí m = 0,4. Òðåíèÿ â îñè áëîêà íåò.
2.6. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ïîëó ëåæèò äîñêà ìàññîé M = 2 êã, íà êîòîðîé íàõîäèòñÿ áðóñîê ìàññîé m = 1 êã. Êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ ìåæäó ïîâåðõíîñòÿìè áðóñêà è
äîñêè m1 = 0,5, äîñêè è ïîëà - m 2 = 0,1. Ñ êàêèìè óñêîðåíèÿìè áóäóò äâèãàòüñÿ áðóñîê è äîñêà, åñëè ê áðóñêó ïðèëîæèòü ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó F = 4 Í?
2.7. Íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè a = 30î ëåæèò äîñêà ìàññîé M = 2 êã, à íà äîñêå íàõîäèòñÿ áðóñîê ìàññîé m = 1 êã. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
ìåæäó áðóñêîì è äîñêîé ðàâåí m1 = 0,15, äîñêîé è ïëîñêîñòüþ - m 2 = 0,2. Ñ êàêèìè
óñêîðåíèÿìè äâèæóòñÿ áðóñîê è äîñêà, ïðåäîñòàâëåííûå ñàìè ñåáå?
2.8. Íà ãëàäêîé íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ
3m
óãëîì ïðè îñíîâàíèè a = 30î óäåðæèâàþò êëèí
ìàññîé m, âåðõíÿÿ ãðàíü êîòîðîãî ãîðèçîíòàëüm
íà. Íà êëèíå íàõîäèòñÿ áðóñîê ìàññîé 3 m (ñì.
ðèñóíîê). Êëèí îñâîáîæäàþò, è îí íà÷èíàåò
a
ñêîëüçèòü âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè. ÎïðåäåÐèñ. ê çàäà÷å ¹2.8
ëèòå óñêîðåíèå êëèíà, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è êëèíîì m = 0,3.
2.9. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäèòñÿ
m
êëèí ìàññîé M = 2 êã è óãëîì ïðè îñíîâàíèè
î
a = 30 . Íà êëèí êëàäóò áðóñîê ìàññîé m = 1 êã
M
(ñì. ðè ñó íîê). Êî ýô ôè öè åíò òðå íèÿ ìåæ äó
a
áðóñêîì è êëèíîì m1 = 0,1, êëèíîì è ñòîëîì m 2 = 0,2. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå áðóñêà îòíîñèÐèñ. ê çàäà÷å ¹2.9
òåëüíî ñòîëà.
65
2.10. Îïðåäåëèòå ðåçóëüòèðóþùóþ ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ïåðåêëàäèíó AB, â ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå, èçîA
B áðàæåííîé íà ðèñóíêå. Ìàññû ãðóçîâ m1 = 6 êã, m2 = 8 êã.
Òðåíèåì, ìàññàìè áëîêîâ è íèòåé, à òàêæå ðàñòÿæåíèåì
íèòåé ïðåíåáðå÷ü. Íèòè âåðòèêàëüíû.
2.11.  ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà
ðèñóíêå, ìàññû òåë M = 1 êã, m1 = 2 êã, m2 = 3 êã. Íèòè íåâåñîìû è íåðàñòÿæèìû. Òðåíèÿ íåò, ìàññû áëîêîâ ïðåíåáðåæèìî ìàëû. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå òåëà ìàññîé M.
m2
2.12. Òåëî ìàññîé m = 1 êã òÿríóò èç ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ
ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ïîëó ñèëîé F, íàïðàâëåííîé ââåðõ
m1
ïîä óãëîì a = 60î ê ãîðèçîíòó. Ïðè ýòîì âåëè÷èíà ñèëû
èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = g t, ãäå g = 4 Í/ñ.
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹2.10 Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü òåëà â ìîìåíò åãî îòðûâà îò ïîëà.
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó òåëîì è ïîëîì m = 0,4.
2.13. Ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà, äåéñòâóþùàÿ íà
êàïëè äîæäÿ, ïðîïîðöèîíàëüíà ïðîèçâåäåíèþ ðàäèóñà
êàïëè íà åå ñêîðîñòü: Fñîïð = g r u, ãäå g - ïîëîæèòåëüíàÿ
ïîñòîÿííàÿ. Ñ÷èòàòü, ÷òî ðàäèóñû êàïåëü r = 0,6 ìì è
âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè êàïëè èìåþò óñòàíîâèâøóþñÿ
ñêîðîñòü u = 1 ì/ñ. Êàêóþ ñêîðîñòü áóäóò èìåòü êàïëè,
ðàäèóñ êîòîðûõ â 2 ðàçà ìåíüøå?
M
2.14. Ìîòîðíàÿ ëîäêà äâèãàëàñü ïî îçåðó ñî ñêîðîñòüþ îò u0 = 18 êì/÷. Ñ÷èòàÿ ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ âîäû
ïðîïîðöèîíàëüíîé êâàäðàòó ñêîðîñòè Fñîïð = r u2 , îïðåm1
m2
äåëèòå êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè r, åñëè ÷åðåç
âðåìÿ Dt = 30 c ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ìîòîðà ñêîðîñòü ëîäÐèñ. ê çàäà÷å ¹2.11
êè óìåíüøèëàñü äî u = 9 êì/÷. Ìàññà ëîäêè m = 900 êã.
2.15. Áðóñêó, íàõîäÿùåìóñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, ñîîáùèëè ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü u0 = 10 ì/ñ. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò
ïðîéäåííîãî áðóñêîì ïóòè S ïî çàêîíó: m = g S, ãäå g = 0,4 ì-1. Îïðåäåëèòå ïóòü,
ïðîéäåííûé áðóñêîì äî îñòàíîâêè.
Òåñòû
 ðàñ÷åòàõ óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíûì 10 ì/ñ2
1. Ïî äîñòîâåðíûì ñâåäåíèÿì, îäíàæäû áàðîí Ìþíõãàóçåí, óâÿçíóâ â áîëîòå, âûòàùèë ñàì ñåáÿ çà âîëîñû. Êàêèå çàêîíû ôèçèêè ñóìåë íàðóøèòü áàðîí?
À. Ïåðâûé çàêîí Íüþòîíà
Á. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà
Â. Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà
Ã. Çàêîí âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ
2. Ãðóç ïîäâåøåí íà íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòè. Ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè ïî ìîäóëþ ðàâíà ñèëå òÿæåñòè áðóñêà ñîãëàñíî K
À. Çàêîíó Ãóêà
Á. Ïåðâîìó çàêîíó Íüþòîíà
Â. Âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà Ã. Òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà
66
3. Áðóñîê ïîêîèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Âåñ áðóñêà ïî ìîäóëþ ðàâåí
ñèëå íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû ñîãëàñíî K
À. Çàêîíó Ãóêà
Á. Ïåðâîìó çàêîíó Íüþòîíà
Â. Âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà Ã. Òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà
4. Äâå
r ñèëû
r F1 = 3 Í è Fî2 = 5 Í ïðèëîæåíû â îäíîé òî÷êå òåëà. Óãîë ìåæäó âåêòîðàìè F1 è F2 ðàâåí a = 60 . Ìîäóëü ðàâíîäåéñòâóþùåé ýòèõ ñèë ðàâåí K
À. F = 2 Í
Á. F = 7 Í
Â. F = 8 Í
Ã. F = 15 Í
5. Ïðóæèíó æåñòêîñòüþ k ðàçðåçàëè íà òðè ðàâíûå ÷àñòè. Æåñòêîñòü êàæäîé ÷àñòè
ðàâíà K
À. k ¢ = k
Á. k ¢ = 1 3 k
Â. k ¢ = 3 k
Ã. k ¢ = 9 k
6. Àâòîìîáèëü äâèæåòñÿ ñ ïî ñòîÿííîé ïî ìîäóëþ
3
ñêîðîñòüþ ïî òðàåêòîðèè, ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñóíêå.  êàêîé èç óêàçàííûõ òî÷åê òðàåêòîðèè ðàâíî2
äåéñòâóþùàÿ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà àâòîìîáèëü, ìàêñèìàëüíà?
1
À. Âî âñåõ òî÷êàõ îäèíàêîâà
Á. 1
Ðèñ. ê òåñòó ¹6
Â. 2
Ã. 3
7. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ
r â ïëîñêîñròè XOY2 ïîä äåéñòâè
r åì ñèëû, êîòîðàÿ ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = 2 ( t + 1) i - ( 2 t - 3 t + 6 ) j [Í], ãäå âðåìÿ â ñåêóíäàõ. Â ìîìåíò âðåìåíè t = 2 ñ ìîäóëü ýòîé ñèëû ðàâåí K
À. F = 10 Í
Á. F = 20 Í
Â. F = 30 Í
Ã. F = 40 Í
8. Çàêîí äâèæåíèÿ áðóñêà ìàññîé m = 2 êã èìååò âèä x = 15
, + 3 t - 2 t 2 [ì], ãäå âðåìÿ
â ñåêóíäàõ. ×åìó ðàâíà ðàâíîäåéñòâóþùàÿ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê áðóñêó?
À. F = 3 Í
Á. F = 4 Í
Â. F = 6 Í
Ã. F = 8 Í
9. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m = 2 êã äâèæåò
â rïëîñêîñòè XOY
r òàê, ÷òî åå ðàäèr ñÿ
2
2
3
óñ-âåêòîð ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: r = 2 t i + ( t - 2 t ) j [ì], ãäå âðåìÿ â ñåêóíäàõ. Âåëè÷èíà ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òî÷êó, ðàâíà K
À. F = 5 Í
Á. F = 8 Í
Â. F = 10 Í
Ã. F = 12 Í
10. Ïîä äåéñòâèåì ñèëû F = 30 Í òåëî äâèæåòñÿ â ïëîñêîñòè XOY òàê, ÷òî ïðîåêöèè
åãî ñêîðîñòè íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíàì:
ux = 1 + 3 t [ì/ñ]; u y = 5 - 4 t [ì/ñ]. Ìàññà òåëà ðàâíà K
Îòâåò: __________êã
11. Ëèôò äâèæåòñÿ âåðòèêàëüíî ââåðõ ñ óñêîðåíèåì a = 2 ì/ñ2. Âåñ ÷åëîâåêà ìàññîé
m = 70 êã â ëèôòå ðàâåí K
Îòâåò: __________Í
67
12. Äâà áðóñêà ìàññàìè m1 = 3 êã è m2 = 5 êã ëåæàò íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå.
Áðóñêè ñâÿçàíû íåâåñîìûì øíóðîì, êîòîðûé ðàçðûâàåòñÿ ïðè ñèëå íàòÿæåíèÿ
T = 24 Í. Ñ êàêîé ìàêñèìàëüíîé ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé ìîæíî òÿíóòü áðóñîê ìàññîé m1 ?
À. Fmax = 24 Í
Á. Fmax = 30,8 Í
Â. Fmax = 38,4 Í
Ã. Fmax = 44,2 Í
13. Íà ñòîëå çàêðåïëåíà äîñêà äëèíîé l = 90 ñì. Íà äîñêå ó åå ëåâîãî êîíöà ëåæèò
íåáîëüøîé áðóñîê. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ áðóñêà î äîñêó m = 0,5. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü íóæíî ñîîáùèòü áðóñêó, ÷òîáû îí ñîñêîëüçíóë ñ ïðàâîãî êîíöà äîñêè?
À. umin = 1 ì/ñ
Á. umin = 2 ì/ñ
Â. umin = 3 ì/ñ
Ã. umin = 4 ì/ñ
14. Áðóñîê ìàññîé m = 1 êã äâèæåòñÿ ñ óñêîðåíèåì a = 4,5 ì/ñ2 ïî ãîðèçîíòàëüíîé
ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèëû F = 10 Í, íàïðàâëåííîé ââåðõ ïîä óãëîì a = 60î ê
ãîðèçîíòó. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ ðàâåí K
À. m » 0,17
Á. m » 0,27
Â. m » 0,37
Ã. m » 0,47
15. ×åìó ðàâåí ìèíèìàëüíûé òîðìîçíîé ïóòü àâòîìîáèëÿ, äâèæóùåãîñÿ ñî ñêîðîñòüþ u = 30 ì/ñ ïî ãîðèçîíòàëüíîé äîðîãå? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó äîðîãîé è
øèíàìè êîëåñ àâòîìîáèëÿ m = 0,3.
Îòâåò: __________ì
r
16. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíîå óñêîðåíèå âåðòèêàëüíîé
a
ñòåíêè, ïðè êîòîðîì áðóñîê áóäåò â ïîêîå îòíîñèòåëüíî
ñòåíêè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ñòåíêîé è áðóñêîì
m = 0,5.
À. a min = 2 ì/ñ2
Á. a min = 5 ì/ñ2
Â. a min = 10 ì/ñ2
Ã. a min = 20 ì/ñ2
Ðèñ. ê òåñòó ¹16
17. Áðóñîê ìàññîé m = 2 êã ïîêîèòñÿ íà íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ óãëîì ïðè îñíîâàíèè a = 30î. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ m = 0,8. Ñèëà òðåíèÿ
ðàâíà K
À. Fòð » 17 Í
Á. Fòð = 10 Í
Â. Fòð » 8 Í
Ã. Fòð = 14 Í
18. Óäîáíûé ìåòîä èçìåðåíèÿ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Òåëî
êëàäóò íà íàêëîííóþ ïëîñêîñòü, óãîë íàêëîíà êîòîðîé ê ãîðèçîíòó ìîæíî ìåíÿòü, è
èçìåðÿþò ìèíèìàëüíûé óãîë a íàêëîíà ïëîñêîñòè ê ãîðèçîíòó, ïðè êîòîðîì òåëî
íà÷èíàåò ñêîëüçèòü. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ ðàâåí K
À. m = sin a
Á. m = cos a
Â. m = tg a
Ã. m = ctg a
68
19. Áðóñîê ïîä äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ñîñêàëüçûâàåò ñ íàêëîííîé ïëîñêîñòè ñ
óãëîì ïðè îñíîâàíèè a = 60î. Ñèëà òÿæåñòè áðóñêà Fò = 10 Í, ñèëà òðåíèÿ Fòð = 2 Í.
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ ðàâåí K
À. m = 0,2
Á. m = 0,4
Â. m = 0,5
Ã. m = 0,6
20. Íàêëîííàÿ ïëîñêîñòü ðàñïîëîæåíà ïîä óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ î ïëîñêîñòü ãðóç òðóäíåå ðàâíîìåðíî âòàñêèâàòü ïî
ïëîñêîñòè, ÷åì ïîäíèìàòü âåðòèêàëüíî?
À. m ³ 0,12
Á. m ³ 0,27
Â. m ³ 0,58
Ã. m ³ 0,76
21. ×åðåç íåïîäâèæíûé áëîê ïåðåêèíóòà âåðåâêà, ê îäíîìó êîíöó êîòîðîé ïðèâÿçàí
ãðóç ìàññîé m1 = 64 êã. Íà äðóãîì êîíöå ïîâèñ ÷åëîâåê ìàññîé m2 = 65 êã, êîòîðûé,
âûáèðàÿ âåðåâêó, ïîäíèìàåò ãðóç, îñòàâàÿñü ïðè ýòîì íà îäíîì è òîì æå ðàññòîÿíèè
îò ïîëà. Çà êàêîå âðåìÿ ãðóç áóäåò ïîäíÿò íà âûñîòó h = 2 ì? Ìàññîé âåðåâêè è áëîêà ïðåíåáðå÷ü.
À. Dt » 2 ñ
Á. Dt » 5 ñ
Â. Dt » 7 ñ
Ã. Dt » 9 ñ
22. Ïðè êàêîì îòíîøåíèè ìàññ ãðóçîâ âîçìîæíî ðàâíîâåñèå â ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìå, ïðåäñòàâëåííîé íà
m1
ðèñóíêå? Òðåíèåì, ìàññàìè áëîêîâ è íèòåé ïðåíåáðå÷ü. Íèòè âåðòèêàëüíû.
À. m2 m1 = 4
Á. m2 m1 = 6
m2
Â. m2 m1 = 8
Ã. m2 m1 = 12
Ðèñ. ê òåñòó ¹22
23. Áðóñîê ìàññîé m1 = 3 êã íàõîäèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå. Áðóñîê ñîåäèíåí íèòüþ, ïåðåáðîøåím1
íîé ÷åðåç áëîê, ñ ãðóçîì ìàññîé m2 = 1 êã. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñîì è ñòîëîì ðàâåí m = 0,2.
Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå òåë.
m2
Îòâåò: __________ì/ñ2
24. Íà ñòîëå íàõîäÿòñÿ äâå ïëàñòèíêè ðàâíûõ ìàññ m,
Ðèñ. ê òåñòó ¹23
ïîëîæåííûå äðóã íà äðóãà. Êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ
r
ìåæäó ïëàñòèíêàìè è ïëàñòèíêîé è ñòîëîì îäèíàêîF
âû
r è ðàâíû m. Ê íèæíåé ïëàñòèíêå ïðèëîæèëè ñèëó
r
F. Êàêîâî íàèìåíüøåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû ñèëû F,
Ðèñ. ê òåñòó ¹24
ïðè êîòîðîì âåðõíÿÿ ïëàñòèíêà ñîñêîëüçíåò ñ íèæíåé?
À. Fmin = m m g
Á. Fmin = 2 m m g
Â. Fmin = 3m m g
Ã. Fmin = 4 m m g
25. Òåëî íàõîäèòñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé äîñêå, äâèæóùåéñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñ óñêîðåíèåì a = 2 ì/ñ2. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó òåëîì è äîñêîé m = 0,1. Óñêîðåíèå òåëà
ðàâíî K
Îòâåò: __________ì/ñ2
69
§3. Äèíàìèêà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç N âçàèìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì ÷àñòèö, ìàññû êîòîðûõ ðàâíû m1 , m2 , K , mi , K m N . Åñëè ÷àñòèöû, âõîäÿùèå â ñèñòåìó,
âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî ìåæäó ñîáîé è íå âçàèìîäåéñòâóþò ñ îêðóæàþùèìè òåëàìè, íå âõîäÿùèìè â ñèñòåìó, òî òàêàÿ ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé.
r
r
Èìïóëüñîì ñèñròåìû íàçûâàåòñÿ âåêòîðíàÿ ñóììà èìïóëüñîâ p i = mi ui (mi ìàññà i-é ÷àñòèöû; ui - åå ñêîðîñòü â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà) âñåõ ÷àñòèö,
âõîäÿùèõ â ñèñòåìó:
N
r N r
r
(3.1)
P = S p i = S mi ui .
i =1
i =1
3.1. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, èñõîäÿ èç ïðåäñòàâëåíèÿ, ÷òî râçàèìîäåéñòâèå ìåæäó íèìè ñâîäèòñÿ ê ñèëàì ïîïàðríîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïóñòü Fi - j –
ñèëà, ñ êîòîðîé j-ÿ ÷àñòèöà äåéñòâóåò íà i-þ, F j - i – ñèëà, ñ êîòîðîé i-ÿ ÷àñòèöà
äåéñòâóåò íà j-þ. Òðåòèé çàêîí Íüþòîíà óòâåðæäàåò, ÷òî îáå
r ýòè ñèëû
r íàïðàâëåíû
âäîëü ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, ïðè÷åì F j - i = - Fi - j .
Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ìàòåðèàëüíûå òî÷êè ñèñòåìû, ìîæíî ðàçäåëèòü íà
âíóòðåííèå è âíåøíèå. Âíóòðåííèå ñèëû – ýòîò ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè ñàìîé ñèñòåìû. Âíåøíèå ñèëû – ýòî ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ñèñòåìû ñ òåëàìè, âíåøíèìè ïî îòríîøåíèþ
r ê ñèñòåìå. Ïóñòü íà
ìàòåðèràëüríûår òî÷êè ñèñòåìû êðîìå âíóòðåííèõ ñèë Fi - j è F j - i , äåéñòâóþò âíåøíèå
ñèëû F1 , F2 , F3 , K
Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà â ôîðìå (2.8) äëÿ êàêîé-ëèáî i-é ÷àñòèöû ñèñòåìû:
r
r
r
r
r
d pi
(3.2)
= Fi - 1 + Fi - 2 + K + Fi - N + Fi ,
dt
r
r
ãäå Fi - j – ñèëà, ñ êîòîðîé j-ÿ ÷àñòèöà äåéñòâóåò íà i-þ; Fi – ðàâíîäåéñòâóþùàÿ âñåõ
âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà i-þ ÷àñòèöó.
Ñóììèðóÿ âûðàæåíèå (3.2) ïî âñåì ÷àñòèöàì ñèñòåìû è ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà
âñåõ âíóòðåííèõ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè ñèñòåìû íà îñíîâàíèè
òðåòüåãî çàêîíà Íüþòîíà ðàâíà íóëþ, ïîëó÷èì
N r
r
r
d r
( p1 + p 2 + K + p N ) = S Fi ,
i =1
dt
èëè ñ ó÷åòîì (3.1)
r
dP r
(3.3)
= Fâíåø ,
dt
r
r
ãäå Fâíåø = S iN= 1 Fi – ñóììà âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöû ñèñòåìû.
Ñîîòíîøåíèå (3.3) íàçûâàåòñÿ âòîðûì çàêîíîì Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê: ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû
ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó.
Åñëè ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà âñåõ âíåøíèõ ñèë ðàâíà íóëþ (ýòî èìååò ìåñòî,
íàïðèìåð, äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû), òî è èçìåíåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâíî íóëþ.
70
Ñëåäîâàòåëüíî, èìïóëüñ çàìêíóòîé ñèñòåìû â èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà
N
r N r
r
(3.4)
P = S p i = S mi ui = const,
i =1
i =1
òî åñòü íå èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Ýòî óòâåðæäåíèå âûðàæàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ
èìïóëüñà. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ôóíäàìåíòàëüíûõ çàêîíîâ ïðèðîäû. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îäíîðîäíîñòè ïðîñòðàíñòâà: ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â çàìêíóòîé ñèñòåìå, íå çàâèñÿò îò
ïîëîæåíèÿ ñèñòåìû â ïðî ñòðàíñòâå.
Èíîãäà âñòðå÷àþòñÿ ñëó÷àè, êîãäà ñóììà âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó, îòëè÷íà îò íóëÿ (òî åñòü ñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ
r çàìêíóòîé), íî èõ ïðîåêöèÿ íà íåêîòîðîå íàïðàâëåíèå OX ðàâíà íóëþ, òî åñòü ( Fâíåø ) x = 0.  ýòèõ ñëó÷àÿõ íà îñíîâàíèè (3.3) ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðîåêöèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû íà ýòî íàïðàâëåíèå
íå ìåíÿåòñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè:
N
N
Px = S p i x = S mi ui x = 0.
i =1
i =1
Òàêèì îáðàçîì, èìïóëüñ ñèñòåìû íå ñîõðàíÿåòñÿ, íî ñîõðàíÿåòñÿ ïðîåêöèÿ èìïóëüñà íà íàïðàâëåíèå îñè OX. Íàïðèìåð, èìïóëüñ ñâîáîäíî ïàäàþùåãî òåëà íå ñîõðàíÿåòñÿ, òàê êàê íà òåëî äåéñòâóåò ñèëà òÿæåñòè, íàïðàâëåííàÿ âåðòèêàëüíî âíèç.
Ïîä äåéñòâèåì ýòîé ñèëû âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èìïóëüñà íåïðåðûâíî èçìåíÿåòñÿ. Îäíàêî ãîðèçîíòàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èìïóëüñà îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.
3.2. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç çàêîíîâ Íüþòîíà
3.2.1. Èìïóëüñ ñèëû è èçìåíåíèå èìïóëüñà òåëà
Êàê ñëåäóåò èç (2.8), ïðîèçâîäíàÿ îò èìïóëüñà òåëà ïî âðåìåíè
r
dp r
=F
dt
r
r
(ãäå F = S kN = 1 Fk – ðåçóëüòèðóþùàÿ âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó), òî åñòü ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èìïóëüñà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå ñèë, äåéñòr
âóþùèõ íà íåå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýëåìåíòàðíîå èçìåíåíèå èìïóëüñà ÷àñòèöû d p
çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt ðàâíî
r r
(3.5)
d p = F dt
r
r
(ãäå ïðîèçâåäåíèå F dt íàçûâàåòñÿ èìïóëüñîì ñèëû F çà âðåìÿ dt), òî åñòü èçìåíåíèå
èìïóëüñà ÷àñòèöû îïðåäåëÿåòñÿ íå ñèëàìè, à èìïóëüñàìè ñèë.
r r r
Çà
êî
íå÷
íûé
ïðî
ìå
æó
òîê
âðå
ìå
íè
èç
ìå
íå
íèå
èì
ïóëü
ñà
Dt
=
t
t
D
p
= p 2 - p1
2
1
r r
( p1 , p 2 - èìïóëüñû ÷àñòèöû â ìîìåíòû âðåìåíè t1 è t 2 ) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
t2
r
r
(3.6)
D p = ò F dt.
t1
r
Åñëè ñèëà F = const, òî èçìåíåíèå èìïóëüñà ÷àñòèöû çà âðåìÿ Dt
r r
(3.7)
D p = F D t.
Ñîîòíîøåíèÿ (3.5) -(3.7) îáû÷íî èñïîëüçóþò äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ÷àñòèöó, ïî çàäàííîìó èçìåíåíèþ åå èìïóëüñà.
Óðàâíåíèå Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
(3.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå, àíàëîãè÷íîì (3.5) -(3.6):
r r
(3.8)
dP = Fâíåø dt;
71
t2
r
r
D P = ò Fâíåø dt,
(3.9)
t1
r
ãäå dP – ýëåìåíòàðr íîå èçìåíåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû çà áåñêîíå÷íîr ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè dt è Fâíåø dt – èìïóëüñ âíåøíåé ñèëû çà âðåìÿ dt; D P – èçìåíåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû çà âðåìÿ Dt = t 2 - t1 .
Èç (3.8) -(3.9) ñëåäóåò, ÷òî èìïóëüñ ñèñòåìû ìîæåò èçìåíÿòüñÿ òîëüêî ïîä
äåéñòâèåì âíåøíèõ ñèë (âíóòðåííèå ñèëû íå â ñîñòîÿíèè èçìåíèòü èìïóëüñ ñèñòåìû), à âåëè÷èíà èçìåíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íå ñàìèìè âíåøíèìè ñèëàìè, à èõ èìïóëüñàìè. Òàêèì îáðàçîì, èìïóëüñ, ïðèîáðåòàåìûé òåëîì èëè ñèñòåìîé, çàâèñèò íå
òîëüêî îò ñèëû, íî è îò ïðîäîëæèòåëüíîñòè åå äåéñòâèÿ.
3.2.2. Òåîðåìà î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ
r
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó, ñîñòîÿùóþ èç N âçàèZ
ui
m1 mi
ìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì ÷àñòèö, ìàññû êîr
òîðûõ ðàâíû m1 , m2 , K , mi , K m N . Ñ òå÷åíèåì
ri
C
m N âðåìåíè ñêîðîñòè è èìïóëüñû ÷àñòèö èçìåíÿþòr
ñÿ è êàæäàÿ èç ÷àñ
r òèö
r äâèæåòñÿ ïî íåêîòîðîé
m2
rc
Y ñâîåé òðàåêòîðèè ri = ri ( t ) (ðèñ. 3.1).
O
Öåíòðîì ìàññ (öåíòðîì èíåðöèè) ñèñòåìû
X
ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê íàçû
Ðèñ. 3.1
r âàåòñÿ òî÷êà â ïðî ñòðàíñòâå, ðàäèóñ-âåêòîð rc êîòîðîé
r
r
1 N
(3.10)
rc =
S mi ri ,
M i =1
N
ãäå M = S i = 1 mi – ìàññà ñèñòårìû.
Ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ uc ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê
r
r
r
r
d ri
d rc
1 N
1 N
1 N r
1 r
(3.11)
uc =
=
S mi
=
S mi ui =
S pi =
P.
dt
M i =1
dt
M i =1
M i =1
M
Îòñþäà ïîëó÷èì
r
r
(3.12)
P = M uc .
Èñïîëüçóÿ (3.12), óðàâíåíèå (3.3) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
r
d uc r
(3.13)
M
= Fâíåø ,
dt
èëè
r
r
(3.14)
M ac = Fâíåø ,
ãäå
r
r
r
d uc
1 N
ac =
=
S mi a i
dt
M i =1
- óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ÷àñòèö.
Èç âûðàæåíèÿ (3.12) âèäíî, ÷òî èìïóëüñ ñèñòåìû, ñêîðîñòü äâèæåíèÿ öåíòðà
ìàññ è ñóììà ìàññ âõîäÿùèõ â ñèñòåìó ÷àñòèö ñâÿçàíû òàêèì æå ñîîòíîøåíè
r åì, êàê
èìïóëüñ, ñêîðîñòü è ìàññà îòäåëüíîé ÷àñòèöû. Ïîýòîìó èìïóëüñ ñèñòåìû P ìîæíî
ðàññìàòðèâàòü êàê èìïóëüñ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè, íàõîäÿùåéñÿ â öåíòðå ìàññ
ñèñòåìû è èìå
r þùåé ìàññó M, ðàâíóþ ñóììå ìàññ âñåõ ÷àñòèö â ñèñòåìå. Ñêîðîñòü
öåíòðà ìàññ uc ïðè ýòîì ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ñèñòåìû ÷àñòèö êàê öåëîãî.
72
Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö (3.14) ïî ôîðìå ñîâïàäàåò ñî âòîðûì çàêîíîì Íüþòîíà äëÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè (2.6), òîëüêî âìåñòî ìàññû ÷àñòèöû â
(3.14) ñòîèò ìàññà ñèñòåìû, âìåñòî óñêîðåíèÿ òî÷êè – óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ, à â
ïðàâîé ÷àñòè – íå âñå, à òîëüêî âíåøíèå ïî îòíîøåíèþ ê ñèñòåìå ñèëû.
Ýòîò âûâîä ôîðìóëèðóþò êàê òåîðåìó î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ: öåíòð ìàññ
ñèñòåìû äâèæåòñÿ êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ìàññà êîòîðîé ðàâíà ìàññå âñåé ñèñòåìû, à äåéñòâóþùàÿ ñèëà – ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó.
Èç ñîîòíîøåíèÿ (3.13) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñèñòåìà çàìêíóòà, òî
r
d uc
= 0,
dt
r
òî åñòü uc = const. Ýòî çíà÷èò, ÷òî öåíòð ìàññ çàìêíóòîé ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî. Ïîýòîìó åñëè ñ
öåíòðîì ìàññ çàìêíóòîé ñèñòåìû ñâÿçàòü ñèñòåìó îòñ÷åòà (åå íàçû
r âàþòr ñèñòåìîé
öåíòðà ìàññ), òî îíà áóäåò èíåðöèàëüíîé.  ýòîé ñèñòåìå îòñ÷åòà rc = 0, uc = 0 è íà
îñíîâàíèè (3.10) è (3.11)
N
N
r
r
(3.15)
S mi ri = 0;
S mi ui = 0,
i =1
i =1
r r
ãäå ri , ui – ðàäèóñ-âåêòîð è ñêîðîñòü i-é ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû öåíòðà ìàññ.
 êà÷åñòâå ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðåìû î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ ðàññìîòðèì
ðåøåíèå òàê íàçûâàåìîé çàäà÷è äâóõ òåë.
Äëÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö ìàññàìè m1 è m2 , ñîîòíîøåíèÿ (3.15) ïðèìóò âèä
r
r
r
r
(3.16)
m1 r1 + m2 r2 = 0; m1 u1 + m2 u2 = 0.
m2 r
Èç ïåðâîãî âûðàæåíèÿ ñèñòåìû (3.16) ñëår
u2
äóåò, ÷òî öåíòð ìàññ ñèñòåìû äâóõ ÷àñòèö íàõîr2
äèòñÿ íà ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé ýòè ÷àñòèöû (ñì.
r
ðèñ. 3.2), à ñàìè ÷àñòèöû ïðè ñâîåì äâèæåíèè îò- r
r1 C
u1
íîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ îïèñûâàþò â ïðî ñòðàím1
ñòâå ïîäîáíûå òðàåêòîðèè, òàê êàê r1 = r2 m2 m1 .
Ðèñ. 3.2
Èç âòîðîãî âûðàæåíèÿ ñèñòåìû (3.16) âûòåêàåò,
÷òî â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ñêîðîñòè ÷àñòèö â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíû â
ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, à èõ ìîäóëè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì
u1 = u2 m2 m1 .
Ââåäåì âåêòîð
r
r r
(3.17)
r2-1 = r2 - r1 ,
îïðåäåëÿþùèé ïîëîæåíèå âòîðîé ÷àñòèöû îòíîñèòåëüíî ïåðâîé. Ðåøàÿ ñîâìåñòíî
(3.17) è ïåðâîå èç óðàâíåíèé (3.16), ëåãêî íàéòè, ÷òî
r
r
r
r
m2
m1
(3.18)
r1 = r2-1 ; r2 =
r2-1 .
m1 + m2
m1 + m2
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ÷àñòèö ìîæ
r íî çàïè2 rñàòü râ âèäå
2r
d r1 F1-2
d r2 F2-1
;
,
(3.19)
=
=
2
2
dt
m
dt
m
1
2
r
r
ãäå F1-2 , F2r-1 – ñèëû
r âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó ÷àñòèöàìè, ïðè÷åì ïî òðåòüåìó çàêîíó
Íüþòîíà F2-1 = - F1-2 . Âû÷èòàÿ îäíî óðàâíåíèå èç äðóãîãî, íàõîäèì:
73
r
r
r
r
r m1 + m2
r
F2-1 F1-2
d 2r2-1
d 2r2-1
d2 r r
,
èëè
;
(
r
r
)
=
=
F
m
=
F
2
1
2-1
2-1 , (3.20)
dt 2
m2
m1
dt 2
m1 m2
dt 2
ãäå m = ( m1 m2 ) ( m1 + m2 ) – ïðèâåäåííàÿ ìàññà ÷àñòèö.
Óðàâíåíèå (3.20) ìîæíî ôîðìàëüíî ðàññìàòðèâàòü êàê óðàâíåíèå äâèæåíèÿ îäíîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ìàññîé m. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷è äâóõ òåë ñâîäèòñÿ ê çàäàv
÷å î äâèæåíèè îäíîé ÷àñòèöû. Íàéäÿ èç óðàâíåíèÿ (3.20) âåêòîð r 2-1 êàê ôóíêöèþ
v v
âðåìåíè, ïî ôîðìóëàì (3.18) ìîæíî íàéòè ðàäèóñ-âåêòîðû r1 , r2 êàæäîé èç ÷àñòèö
îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ êàê ôóíêöèè âðåìåíè.
3.2.3. Äâèæåíèå òåë ñ ïåðåìåííîé ìàññîé. Ðåàêòèâíîå äâèæåíèå
Âûâåäåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ñ ïåðåìåííîé ìàññîé íà
ïðèìåðå äâèæåíèÿ ðàêåòû.
r
Ïóñòü m – ìàññà ðàêåòû â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè t, à u – åå ñêîðîñòü â
òîò æå ìîìåíò âðåìåíè. Èìïóëüñ ðàêår òû â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè
r
P1 = m u.
r
Ñïóñòÿ âðåìÿ dt ìàññà è ñêîðîñòü ðàêåòû ïîëó÷àò ïðèðàùåíèÿ dm è d u (ïðè÷åì âåëè÷èíà dm îòðèöàòåëüíà). Èìïóëüñ ðàêåòû ñòàíåò ðàâíûì
r
r
r
P2 = ( m + dm) ( u + d u) .
Èìïóëüñ ãàçîâ, èñòåêàþùèõ èçrðàêåòû, ðàâåí
r
P3 = dmã uã ,
r
ãäå dmã – ìàññà ãàçîâ, îáðàçîâàâøèõñÿ çà âðåìÿ dt; uã – èõ ñêîðîñòü, rêîòîðóþ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ÷åðåç
r ñêîrðîñòü rèñòå÷åíèÿ ãàçîâ îòíîñèòåëüíî ðàêåòû uîòí (ñêîðîñòü
ãàçîâîé ñòðóè) êàê uã = uîòí + u.
Âû÷èòàÿ èç ñóììàðíîãî èìïóëüñà ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè (t + dt) èìïóëüñ
ñèñòåìû â ìîìåíò âðå
ïðèðàùåíèå èìïóëüñà çà âðåìÿ dt:
r ìåíè t, íàéäåì
r
r
r
r
r
dP = ( m + dm) ( u + d u) + dmã ( uîòí + u) -rm u.
r
Ñîãëàñíî (3.8) ýòî ïðèðàùåíèå ðàâíî èìïóëüñó ñèëû Fâíåø dt, ãäå Fâíåø – ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ðàêåòó. Òàêèì îáðàçîì,
r
r
r
r
r r
(3.21)
( m + dm) ( u + d u) + dmã ( uîòí + u) - m u = Fâíåø dt.
r
Âðåìÿ dt, à ñëåäîâàòåëüíî, è ïðèðàùåíèÿ dm è d u äîëæíû áûòü ìà
r ëûìè. Ïîýòîìó, ðàñêðûâàÿ ñêîáêè (3.21), ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïðîèçâåäåíèåì dm d u, êàê áåñêîíå÷íî ìàëûì âûñøåãî ïîðÿäêà. Ââèäó ñîõðàíåíèÿ ìàññû ñèñòåìû dm + dmã = 0. Ñ
ó÷åòîì ñêàçàííîãî óðàâíåíèå (3.21) ïðèìåò âèä
r
r r
(3.22)
m d u = uîòí dm + Fâíåø dt,
èëè
r
du r
dm r
(3.23)
m
= uîòí
+ Fâíåø .
dt
dt
Ïî ôîðìå óðàâíåíèå (3.23) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì, âûðàæàþùèì râòîðîé çàêîí Íüþòîíà, ãäå ê âíåøíèì ñèëàì äîáàâëÿåòñÿ äîïîëíèòåëüíûé ÷ëåí uîòí dm dt
êîòîðûé ìîæåò áûòü èñòîëêîâàí êàê ðåàêòèâíàÿ ñèëà, òî åñòü ñèëà, ñ êîòîðîé äåéñòâóþò íà ðàêåòó âûòåêàþùèå èç íåå ãàçû.
Óðàâíåíèå (3.23) íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèåì Ìåùåðñêîãî èëè óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ òåëà ñ ïåðåìåííîé ìàññîé.
Ïðèìåíèì óðàâíåíèå Ìåùåðñêîãî ê äâèæåíèþ ðàêåòû, íà êîòîðóþ íå äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû.  ýòîì ñëó÷àå
r r
(3.24)
m d u = uîòí dm.
74
Ïóñòü ðàêåòà äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ ãàçîâîé ñòðóè. Åñëè íàïðàâëåíèå ïîëåòà ðàêåòû ñ÷èòàòü ïîëîæèòåëüíûì, òî
du
dm
.
(3.25)
m d u = - uîòí dm, èëè
=uîòí
m
Åñëè ñêîðîñòü ãàçîâîé ñòðóè íå ìåíÿåòñÿ â ïðîöåññå ïîëåòà, îòñþäà ïîëó÷èì
dm
(3.26)
u = - uîòí
+ const; u = - uîòí ln m + const.
m
Çíà÷åíèå ïîñòîÿííîé èíòåãðèðîâàíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè.
Ïóñòü â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñêîðîñòü ðàêåòû ðàâíà íóëþ, à åå ìàññà m0 . Òîãäà
const = uîòí ln m0 ; u = uîòí ln ( m0 m) ,
èëè
(3.27)
m0 m = exp ( u uîòí ) .
Âûðàæåíèå (3.27) íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé Öèîëêîâñêîãî; îíà ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü çàïàñ òîïëèâà, íåîáõîäèìûé äëÿ ñîîáùåíèÿ ðàêåòå îïðåäåëåííîé ñêîðîñòè ïî
èçâåñòíîé ìàññå ðàêåòû â ìîìåíò íà÷àëà äâèæåíèÿ è ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ ãàçîâîé
ñòðóè èç ðàêåòû.
ò
Êðàòêèå âûâîäû
1. Èìïóëüñîì ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ âåêòîðíàÿ ñóììà èìïóëüñîâ âñåõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó.
2. Ñèñòåìà íàçûâàåòñÿ çàìêíóòîé, åñëè ÷àñòèöû, âõîäÿùèå â ñèñòåìó, âçàèìîäåéñòâóþò òîëüêî ìåæäó ñîáîé è íå âçàèìîäåéñòâóþò ñ îêðóæàþùèìè òåëàìè, íå âõîäÿùèìè â ñèñòåìó.
3. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö: ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû ðàâíà âåêòîðíîé ñóììå âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà
r
ñèñòåìó:
dP r
= Fâíåø .
dt
4. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà: åñëè ãåîìåòðè÷åñêàÿ ñóììà âñåõ âíåøíèõ ñèë,
äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó, ðàâíà íóëþ, òî èìïóëüñ ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ, òî åñòü íå
ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñïðàâåäëèâ, â ÷àñòíîñòè, äëÿ çàìêíóòûõ ñèñòåì.
5. Òåîðåìà î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ: öåíòð ìàññ ñèñòåìû äâèæåòñÿ êàê ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà, ìàññà êîòîðîé ðàâíà ìàññå âñåé ñèñòåìû, à äåéñòâóþùàÿ ñèëà – ãåîìåòðè÷åñêîé ñóììå âñåõ âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó:
r
r
M ac = Fâíåø .
6. Óðàâíåíèå Ìåùåðñêîãî èëè óðàâíåíèå äâèæåíèÿ òåëà ñ ïåðåìåííîé ìàññîé
r
du r
dm r
m
= uîòí
+ Fâíåø .
dt
dt
7. Ôîðìóëà Öèîëêîâñêîãî
ì u ü
m0
= exp í
ý.
m
u
î îòí þ
75
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ
1. ×òî íàçûâàåòñÿ èìïóëüñîì ñèñòåìû ÷àñòèö?
2. Êàêèå ñèëû íàçûâàþòñÿ âíåøíèìè äëÿ ñèñòåìû ÷àñòèö? âíóòðåííèìè?
3. Êàêèå ñèñòåìû ÷àñòèö íàçûâàþòñÿ çàìêíóòûìè?
4. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà.
5. ×òî òàêîå öåíòð ìàññ ñèñòåìû ÷àñòèö?
6. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ.
7. Çàïèøèòå óðàâíåíèå Ìåùåðñêîãî ïðè äâèæåíèè òåëà ïåðåìåííîé ìàññû ïðè
îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë.
8. ×òî ïîçâîëÿåò ðàññ÷èòàòü ôîðìóëà Öèîëêîâñêîãî?
Çàäà÷è
1. Ìÿ÷ ìàññîé m = 50 ã ñâîáîäíî ïàäàåò íà ïîë ñ âûñîòû h = 2 ì è óïðóãî îòñêàêèâàåò îò íåãî. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó èçìåíåíèÿ èìïóëüñà ìÿ÷à çà âðåìÿ óäàðà.
Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå
r
Y
Ïðè ïàäåíèè ñ âûñîòû h ìÿ÷ ïðèîáðåë ñêîðîñòü
è râ
u
r
ìîìåíò êàñàíèÿ ïîâåðõíîñòè ïîëà èìåë èìïóëüñ p1 = m u,
íàïðàâëåííûé ïåðïåíäèêóëÿðíî ïîëó. Ïðè óïðóãîì ñîóäàðår
h
p2
íèè ñ ïîëîì âåëè÷èíà ñêîðîñòè ìÿ÷à íå ìåíÿåòñÿ, à íàïðàâr
ëåíèÿ ñêîðîñròè è èì
u¢
r ïóëü
r ñà rèçìåíÿ
r þòñÿ íà ïðîòèâîïîëîæíûå, òî åñòü u¢ = - u; p 2 = m u¢ = - p1 . Ñëåäîâàòåëüíî, çà âðåìÿ óäàðà èìïóëüñ ìÿ÷à èçìåíèëñÿ íà
r
r r r
r
r
u
¢ - m u.
(1)
D
p
=
p
p
=
m
u
2
1
r
p1
O
Çàïèøåì âûðàæåíèå (1) â ïðîåêöèè íà îñü OY:
(2)
D p = m u¢ + m u = m u + m u = 2 m u.
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹1
Ñêîðîñòü ìÿ÷à â ìîìåíò êàñàíèÿ ïîëà íàéäåì, âîñïîëüçîâàâøèñü èçâåñòíîé
ôîðìóëîé êèíåìàòèêè:
(3)
u = 2 g h.
Èç (2) ñ ó÷åòîì (3) ïîëó÷èì
D p = 2 m 2 g h » 0,63 êã×ì/ñ.
Îòâåò: D p = 2 m
2 g h » 0,63 êã×ì/ñ.
2. Ïóøêà ìàññîé M = 600 êã íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü âíèç ñ ãëàäêîé ïëîñêîñòè,
ñîñòàâëÿþùåé óãîë a = 10î ñ ãîðèçîíòîì. Êîãäà ïóøêà ïðîøëà ðàññòîÿíèå S = 3 ì,
ïðîèçâåëè âûñòðåë, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ñíàðÿä âûëåòåë â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñ èìïóëüñîì p = 2,5×103 êã×ì/ñ, à ïóøêà îñòàíîâèëàñü. Ïðåíåáðåãàÿ ñèëîé òÿæåñòè ñíàðÿäà, îïðåäåëèòå ïðîäîëæèòåëüíîñòü âûñòðåëà.
Ðåøåíèå
Ïî íàêëîííîé ïëîñêîñòè ïóøêà äâèãàëàñü ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì
a = g sin a
è ê ìîìåíòó, êîãäà ïðîøëà ïóòü S, îíà ïðèîáðåëà ñêîðîñòü
u = 2 a S = 2 g S sin a
76
è èìïóëüñ
p 0 = M u = M 2 g S sin a ,
íàïðàâëåííûé âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè.
r
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïóøêó è ñíàðÿä
r N
êàê ñèñòåìó òåë, ÷òî ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü èç
a
ðàññìîòðåíèÿ âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþr
ùèå ïðè âûñòðåëå (ñèëû äàâëåíèÿ ïîðîõîp
r
âûõ ãàçîâ è ñèëû òðåíèÿ ïðè äâèæåíèè ñíàp0
ðÿäà âíóòðè ñòâîëà). Çà âðåìÿ âûñòðåëà íà
r
( M + m) g
a
ñèñòåìó «ïóøêà -ñíàðÿä» äåéñòâóþò âíåøX
íèå ñèëû - ñèëû òÿæåñòè ïóøêè è ñíàðÿäà
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹2
è ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû:
r
r
r
r
Fâíåø = M g + m g + N .
Çà âðåìÿ âûñòðåëà Dt = t 2 - t1 èçìåíåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû
t2
r
r r
r
D p = p 2 - p1 = ò Fâíåø dt,
(1)
O
(2)
t1
r r
r
r
ãäå p1 = p 0 - èìïóëüñ ñèñòåìû íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä âûñòðåëîì; p 2 = p - èìïóëüñ
ñèñòåìû ñðàçó ïîñëå âûñòðåëà.
Ñëåäîâàòåëüíî,
t2
r r
r
r r
(3)
p - p 0 = ò ( M g + m g + N ) dt.
t1
Çàïèñàâ âûðàæåíèå (3) â ïðîåêöèè íà îñü OX
t2
p cos a - p 0 = ò ( M g + m g ) sin a dt,
t1
è ïðåíåáðåãàÿ ñèëîé òÿæåñòè ñíàðÿäà, ñ ó÷åòîì (1) ïîëó÷èì:
p cos a - M 2 g S sin a
» 0,53 ñ.
p cos a - M 2 g S sin a = M g sin a Dt; Dt =
M g sin a
p cos a - M 2 g S sin a
Îòâåò: Dt =
» 0,53 ñ.
M g sin a
3. Íåáîëüøîé øàðèê óïðóãî óäàðÿåòñÿ î âåðòèêàëüíóþ ñòåíêó ïîä óãëîì
a = 60î ê íîðìàëè. Ïîä êàêèì óãëîì øàðèê îòëåòèò îò ñòåíêè, åñëè êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ î ñòåíêó m = 0,1? Ñèëîé òÿæåñòè øàðèêà ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó ñèëîé òÿæåñòè øàðèêà ìîæíî ïðåríåáðå÷ü, òî çà âðåìÿ ñîóäàðåíèÿ Dt
íà
øà
ðèê äåéñòâîâàëè ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè N ñî ñòîðîíû ñòåíêè è ñèëà òðåíèÿ
r
Fòð , âåëè÷èíà êîòîðîé Fòð = m N. Ïðè ýòîì çà âðåìÿ Dt èìïóëüñ ñèëû ðåàêöèè ñòåíêè
èçìåíèò íàïðàâëåíèå ãîðèçîíòàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èìïóëüñà øàðèêà, à èìïóëüñ
ñèëû òðåíèÿ èçìåíèò âåëè÷èíó âåðòèêàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé èìïóëüñà øàðèêà.
Çà âðåìÿ Dt = t 2 - t1 èçìåíåíèå èìïóëüñà øàðèêà
t2
r
r r
r
D p = p 2 - p1 = ò Fâíåø dt,
t1
77
r
r r
r
ãäå p1 = m u0 , p 2 = m u - èìïóëüñû øàðèêà íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä óäàðîì è ñðàçó ïîñëå íåãî. Ñëåäîâàòåëüíî,
t2
r r
r
r
m u - m u0 = ò ( N + Fòð ) dt,
Y
r
Fòð
r
N
t1
èëè
r r
r
r
(1)
m u - m u0 = < N + Fòð > D t,
ãäå ñêîáêè < > îáîçíà÷àþò ñðåäíåå çíà÷åíèå.
r
u0
Çàïèñàâ âûðàæåíèå (1) â ïðîåêöèÿõ íà îñè OX è OY
ñèñòåìû êîîðäèíàò
OX : - m u cos b - m u0 cos a = - < N > D t;
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹3
OY : - m u sin b + m u0 sin a = < Fòð > D t
(b - èñêîìûé óãîë, ïîä êîòîðûì øàðèê îòñêî÷èò îò ñòåíêè), ïîëó÷èì:
m u cos b + m u0 cos a
; - m u sin b + m u0 sin a = m ( m u cos b + m u0 cos a ),
<N>=
Dt
ãäå ó÷òåíî, ÷òî < Fòð > = m < N > .
Ïîñêîëüêó óäàð óïðóãèé, òî ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè øàðèêà íà îñü OX íå èçìåíèòñÿ ïî âåëè÷èíå:
u cos b = u0 cos a.
Ñëåäîâàòåëüíî,
- u0 cos a tg b + u0 sin a = 2 m u0 cos a; - tg b + tg a = 2 m; tg b = tg a - 2 m;
a
r b
u
O
X
b = arctg ( tg a - 2 m) » 57î.
Îòâåò: b = arctg ( tg a - 2 m) » 57î.
4.  îòêðûòîì êîñìîñå ïðîèñõîäèò ñòûêîâêà êîñìè÷åñêîé ñòàíöèè è êîðàáëÿ-ãðóçîâèêà. Ìàññà ñòàíöèè â n = 10 ðàç áîëüøå ìàññû ãðóçîâèêà. Ìîäóëü ñêîðîñòè ãðóçîâèêà u ïðåâûøàåò ìîäóëü ñêîðîñòè ñòàíöèè u0 íà k u0 , ãäå k = 0,0001. Ïîä
êàêèì óãëîì ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ñòàíöèè ïîäîøåë ãðóçîâèê, åñëè ïîñëå ñòûêîâêè ìîäóëü ñêîðîñòè ñòàíöèè íå èçìåíèëñÿ?
Ðåøåíèå
a
Áóäåì ðàññìàò ðèâàòü êîñìè÷åñêóþ ñòàír
öèþ
è êîðàáëü- ãðóçîâèê êàê ñèñòåìó òåë, ÷òî
r
u¢
)
m
mu
ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ âíóòðåí(M +
íèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè ñòûêîâêå.
r
Çà âðåìÿ ñòûêîâêè Dt = t 2 - t1 èìïóëüñ ñèñM u0
òåìû èçìåíèòñÿ íà
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹4
t2
r
r r
r
D p = p 2 - p1 = ò Fâíåø dt,
t
1
r
r
ãäå p1 - èìïóëüñ ñèñòåìû íåïîñðåäñòâåííî ïåðåä ñòûêîâêîé; p 2 - èìïóëüñ ñèñòåìû
ñðàçó ïîñëå ñòûêîâêè.
Òåëà ñèñòåìû îáðàçóþò íåçàìêíóòóþ ñèñòåìó, ïîñêîëüêó íà íèõ äåéñòâóþò
âíåøíèå ñèëû (íàïðèìåð, ñèëû ïðèòÿæåíèÿ ê Çåìëå), òî åñòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà äëÿ òàêîé ñèñòåìû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå âûïîëíÿåòñÿ. Îäíàêî, ïîëàãàÿ âðåìÿ
78
ñòûêîâêè î÷åíü ìàëûì (Dt ® 0), à âíåøíèå ñèëû íå ñëèøêîì áîëüøèìè, èìïóëüñîì
ýòèõ ñèë çà âðåìÿ ñòûêîâêè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è èçìåíåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû òåë â
òå÷åíèå ýòîãî ïðîìåæóòêà âðåìåíè ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ:
r r
r
r
r
r
D p = p 2 - p1 = 0, èëè p 2 - ( p 0 + p ) = 0,
r
r
r r
r r
r
ãäå p1 = p 0 + p ; p 0 = M u0 , rp = m u - ñîrîòâåòñòâåííî èìïóëüñû ñòàíöèè è êîðàáëÿ-ãðóçîâèêà äî ñòûêîâêè; p 2 = ( M + m) u¢ – èìïóëüñ ñèñòåìû ïîñëå ñòûêîâêè. Ñëåäîâàòåëüíî,
r
r
r
( M + m) u¢ = M u0 + m u.
Èçîáðàçèì íà ðèñóíêå íàïðàâëåíèÿ èìïóëüñîâ ñòàíöèè è êîðàáëÿ-ãðóçîâèêà äî
è ïîñëå ñòûêîâêè, ãäå a - óãîë, ïîä êîòîðûì ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ñòàíöèè ïîäîøåë ãðóçîâèê.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû êîñèíóñîâ
[( M + m) u¢]2 = ( M u0 ) 2 + ( m u) 2 - 2 ( M u0 ) ( m u) cos (180 î - a )
ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ çàäà÷è (M = n m; u = (1 + k ) u0 ; u¢ = u0 ) ïîëó÷èì:
m2 ( n + 1) 2 u20 = n 2 m2 u20 + m2 (1 + k ) 2 u20 + 2 n m2 u20 (1 + k ) cos a;
( n + 1) 2 = n 2 + (1 + k ) 2 + 2 n (1 + k ) cos a;
ì ( n + 1) 2 - n 2 - (1 + k ) 2 ü
ì 2 n -2 k - k 2 ü
î
a = arccos í
=
arccos
ý
í
ý » 0,85 » 51¢.
2 n (1 + k )
î
þ
î 2 n (1 + k ) þ
2
ì 2 n -2 k - k ü
î
Îòâåò: a = arccos í
ý » 0,85 » 51¢.
î 2 n (1 + k ) þ
5. Â ìîìåíò, êîãäà ñêîðîñòü ïàäàþùåãî âåðòèêàëüíî òåëà ñîñòàâèëà u0 = 4 ì/ñ,
îíî ðàçîðâàëîñü íà òðè îäèíàêîâûõ îñêîëêà. Äâà îñêîëêà ðàçëåòåëèñü â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïîä ïðÿìûì óãëîì äðóã ê äðóãó ñî ñêîðîñòüþ u = 5 ì/ñ êàæäûé.
Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü òðåòüåãî îñêîëêà ñðàçó ïîñëå ðàçðûâà.
Ðåøåíèå
r
p
r
X
1
O
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òåëî è åãî îñêîëêè êàê
p2
r
r
ñèñòåìó òåë, ÷òî ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåp1 + p 2
íèÿ âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè ðàçðûâå.
Y
r
r
 ñèëó êðàòêîâðåìåííîñòè ðàçðûâà èìïóëüñîì
p0
p3
âíåøíèõ ñèë (â äàííîì ñëó÷àå ñèëû òÿæåñòè) çà âðåìÿ ðàçðûâà òåëà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü è èçìåíåíèå èìïóëüñà ñèñòåìû «òåëî - îñêîëêè» â òå÷åíèå ýòîãî
Z
ïðîìåæóòêà âðåìåíè ñ÷èòàòü ðàâíûì íóëþ (ñì. ðåÐèñ. ê çàäà÷å ¹5
øåíèå çàäà÷è ¹4):
r
r
r
r
r
(1)
D p = ( p1 + p 2 + p 3 ) - p 0 = 0,
r
r
r
r r
r r
r
ãäå p 0 = m u0 - èìïóëüñ òåëà äî ðàçðûâà; p1 = m1 u1 , p 2 = m2 u2 , p 3 = m3 u3 – èìïóëüñû îñêîëêîâ íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå îêîí÷àíèÿ äåéñòâèÿ âíóòðåííèõ ñèë, âûçâàâøèõ ðàçðûâ òåëà.
Ââåäåì äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò X Y Z, îñè OX è OY êîòîðîé íàïðàâèì ïî
èìïóëüñàì ïåðâûõ äâóõ îñêîëêîì, à îñü OZ - ïî èìïóëüñó òåëà, è çàïèøåì (1) â
ïðîåêöèÿõ íà ýòè îñè:
OX : 0 = p1 + p 3 x ; OY : 0 = p 2 + p 3 y ; OZ: p 0 = p 3 z .
79
Ïîñ êîëü êó ìàñ ñû îñêîë êîâ m1 = m2 = m3 = 1 3 m , à ñêî ðîñ òè äâóõ îñêîë êîâ
u1 = u2 = u, òî
0 = 1 3 m u + 1 3 m u3 x ; 0 = 1 3 m u + 1 3 m u3 y ; m u0 = 1 3 m u3 z .
Ñëåäîâàòåëüíî,
u3 x = - u; u3 y = - u; u3 z = 3 u0 ;
u3 =
Îòâåò: u3 =
u23 x + u23 y + u23 z =
u2 + u2 + 9 u20 =
2 u2 + 9 u20 » 14 ì/ñ.
2 u2 + 9 u20 » 14 ì/ñ.
6. Íà òåëåæêó, äâèæóùóþñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 2 ì/ñ, ñáðîñèëè
âåðòèêàëüíî ãðóç. Ïîñëå ñîóäàðåíèÿ òåëåæêà è ãðóç ñòàëè äâèãàòüñÿ âìåñòå, êàê
îäíî öåëîå. Íà êàêóþ âåëè÷èíó ïðè ýòîì èçìåíèëàñü ñêîðîñòü òåëåæêè? Ìàññà òåëåæêè M = 800 êã, ìàññà ãðóçà m = 200 êã. Òðåíèåì òåëåæêè î ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü ïðåíåáðå÷ü.
Ðåøåíèå
m
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ãðóç è òåëåæêó êàê
ñèñòåìó òåë, ÷òî ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè
r
u
óäàðå.
r
M
u0
Íà ñèñòåìó òåë äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû,
r
u1
X íàïðàâëåííûå âåðòèêàëüíî: âíèç - ñèëû òÿæåñòè
O
ãðóçà è òåëåæêè è ââåðõ - ñèëà ðåàêöèè ïîâåðÐèñ. ê çàäà÷å ¹6
õíîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ òåëåæêà. Ñëåäîâàòåëüíî, â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñèñòåìà çàìêíóòà, è âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ñèñòåìû (âäîëü îñè OX):
r
r
r
r
(1)
( D p ) x = [ p 2 - ( p 0 + p1 )] x = 0,
r
r r
r
r
r
ãäå p 0 = M u0 , p1 = m u1 - èìïóëüñû òåëåæêè è rãðóçà äî ñîóäàðåíèÿ; p 2 = ( M + m) u èìïóëüñ òåëåæêè ñ ãðóçîì ïîñëå ñîóäàðåíèÿ; u - îáùàÿ ñêîðîñòü òåëåæêè ñ ãðóçîì
ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ.
r
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ãðóçà u1 äî ñîóäàðåíèÿ íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç, òî
âûðàæåíèå (1) â ïðîåêöèè íà îñü OX ïðèìåò âèä
( M + m) u - M u0 = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü òåëåæêè ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ãðóçîì ñòàëà ðàâíà
M u0
u=
M+m
è èçìåíèëàñü íà
M u0
m u0
Du = u0 - u = u0 =
= 0,4 ì/ñ.
M+m M+m
m u0
Îòâåò: Du =
= 0,4 ì/ñ.
M+m
7. Äâå îäèíàêîâûå òåëåæêè äâèæóòñÿ äðóã çà äðóãîì ïî èíåðöèè (áåç òðåíèÿ) ñ
îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè u0 = 2 ì/ñ. Íà çàäíåé òåëåæêå íàõîäèòñÿ ÷åëîâåê.  íåêîòîðûé ìîìåíò ÷åëîâåê ïåðåïðûãíóë â ïåðåäíþþ òåëåæêó ñî ñêîðîñòüþ u = 4 ì/ñ îòíîñèòåëüíî ñâîåé òåëåæêè. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòè, ñ êîòîðûìè áóäóò äâèãàòüñÿ òåëåæêè. Ìàññà êàæäîé òåëåæêè (áåç ÷åëîâåêà) M = 130 êã, ìàññà ÷åëîâåêà m = 70 êã.
80
Ðåøåíèå
Ðàññìîòðèì çàäíþþ òåëåæêó (ñì. ðèñ. 1).
r Ïðè rïðûæêå ÷åëîâåê îòòîëêíåòñÿ îò òåëåæêè, òåì ñàìûì èçìåíèâ åå ñêîðîñòü
îò u0 äî uç , à ñàì îòíîñèòåëüíî çåìëè áóäåò èìåòü ñêîðîñòü
r r r
(1)
u¢ = uç + u.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü òåëåæêó è ÷åëîâåêà
mr
m
êàê ñèñòåìó òåë, ÷òî ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü èç ðàñu¢
ñìîòðåíèÿ âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ìåær
M
M
u0
äó íèìè ïðè ïðûæêå. Íà ñèñòåìó äåéñòâóþò
r
uç X
âíåøíèå ñèëû, íàïðàâëåííûå âåðòèêàëüíî: âíèç
O
- ñèëû òÿæåñòè òåëåæêè è ÷åëîâåêà è ââåðõ Ðèñ. 1 ê çàäà÷å ¹7
ñèëà ðåàêöèè ïîâåðõíîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ
òåëåæêà. Ñëåäîâàòåëüíî, â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñèñòåìà çàìêíóòà, è âûïîëíÿåòñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ñèñòåìû
(âäîëü îñè OX):
r
r r
r
(2)
( D p ç ) x = [( p¢ + p ç ) - p 0 ] x = 0,
r
r
r
r r
r
ãäå p 0 = ( M + m) u0 - èìïóëüñ òåëåæêè ñ ÷åëîâåêîì äî ïðûæêà; p¢ = m u¢, p ç = M uç èìïóëüñû ÷åëîâåêà è òåëåæêè ïîñëå ïðûæêà.
Âûðàæåíèå (2) ñ ó÷åòîì (1) â ïðîåêöèè íà îñü OX ïðèìåò âèä
(3)
m ( uç + u) + M uç - ( M + m) u0 = 0.
Òåïåðü ðàññìîòðèì ïåðåäíþþ òåëåæêó (ñì.
mr
m
ðèñ. 2).
u¢
Ïðè «ïðèçåìëåíèè» íà òåëåæêó ÷åëî
r
r
r âåê
M
M
u
u
ï
0
òîë
r êíåò åå âïåðåä, èçìåíèâ ñêîðîñòü îò u0 äî
X
uï . Êàê è â ñëó÷àå ñ çàäíåé òåëåæêîé, ñèñòåìà O
òåë «÷åëîâåê -ïåðåäíÿÿ òåëåæêà» çàìêíóòà â ãîÐèñ. 2 ê çàäà÷å ¹7
ðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè, òî åñòü
r
r
r r
(4)
( D p ï ) x = [ p ï - ( p¢ + p¢0 )] x = 0,
r
r r
r
¢
ãäå p¢0 =rM u0 , p¢ = m u
r - èìïóëüñû òåëåæêè è ÷åëîâåêà äî åãî «ïðèçåìëåíèÿ» íà òåëåæêó; p ï = ( M + m) uï - èìïóëüñ ÷åëîâåêà è òåëåæêè ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïðûæêà.
Âûðàæåíèå (4) ñ ó÷åòîì (1) â ïðîåêöèè íà îñü OX ïðèìåò âèä
(5)
( M + m) uï - [ m ( uç + u) + M u0 ] = 0.
Ðåøèâ ñèñòåìó óðàâíåíèé (3) è (5), íàéäåì êîíå÷íûå ñêîðîñòè òåëåæåê:
m
uç = u0 u = 0,6 ì/ñ;
M +m
m uç + m u + M u0 ( m 2 + 2 m M + M 2 ) u0 + m M u
mM
uï =
=
= u0 +
u = 2,91 ì/ñ.
2
M +m
( M + m)
( M + m) 2
m
mM
Îòâåò: uç = u0 u = 0,6 ì/ñ; uï = u0 +
u = 2,91 ì/ñ.
M +m
( M + m) 2
8. Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ðàñïîëîæåíà ïóøêà, îòêàòûâàþùàÿñÿ ïðè
âûñòðåëå íàçàä. Èç ïóøêè ïðîèçâîäÿò âûñòðåë. Îïðåäåëèòå óãîë, ïîä êîòîðûì óñòàíîâëåí ñòâîë ïóøêè, åñëè ñíàðÿä âûëåòàåò ïîä óãëîì a = 60î ê ãîðèçîíòó. Ìàññà
ïóøêè M = 1 ò, ìàññà ñíàðÿäà m = 20 êã.
81
Ðåøåíèå
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïóøêó è ñíàðÿä êàê
ñèñòåìó òåë, ÷òî ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ìåær
äó íèìè ïðè âûñòðåëå (ñèëû äàâëåíèÿ ïîðîõîu
r
b
âûõ ãàçîâ è ñèëû òðåíèÿ ïðè äâèæåíèè ñíàðÿäà
u
X âíóòðè ñòâîëà). Åñëè ïðåíåáðå÷ü èìïóëüñàìè
O
ñèëû òÿæåñòè ñíàðÿäà è ñèëû òðåíèÿ ïóøêè î
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹8
ïîâåðõíîñòü çà âðåìÿ äâèæåíèè ñíàðÿäà âíóòðè
ñòâîëà (÷òî âïîëíå äîïóñòèìî â ñèëó êðàòêîâðåìåííîñòè âûñòðåëà), òî â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñèñòåìó ìîæíî ñ÷èòàòü çàìêíóòîé (âäîëü îñè OX). Ïðè ýòîì
çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
r
r
r
r
r
(1)
( D p ) x = [( p 3 + p 4 ) - ( p1 + p 2 )] x = 0,
r
r
r
r r
r
ãäå p1 = 0, p 2 = 0 - èìïóëüñû ïóøêè è ñíàðÿäà äî âûñòðåëà; p 3 = M u, p 4 = m u¢ - èìïóëüñû ïóøêè è ñíàðÿäà íåïîñðåäñòâåííî ïîñëå âûñòðåëà, ïðè÷åì ñêîðîñòü ñíàðÿäà
îòíîñèòåëüíî Çåìëè
r r r
u¢ = u0 + u,
r
ãäå u0 - ñêîðîñòü ñíàðÿäà îòíîñèòåëüíî ïóøêè.
 ïðîåêöèè íà îñü OX âûðàæåíèå (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
- M u + m u¢ cos a = 0, èëè - M u + m ( u0 cos b - u) = 0,
ãäå b - óãîë, ïîä êîòîðûì óñòàíîâëåí ñòâîë ïóøêè.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû ñèíóñîâ ïîëó÷èì:
u0
u¢
sin b
; u¢ = u0
.
=
î
sin (180 - a ) sin b
sin a
Ñëåäîâàòåëüíî,
sin b
m
M
sin b
- M u + m u0
cos a = 0; u =
u0 cos b;
cos b =
cos a;
sin a
M +m
M +m
sin a
M
ì M
ü
tg b =
tg a; b = arctg í
tg a ý » 59,5î.
M +m
î M +m
þ
ì M
ü
Îòâåò: b = arctg í
tg a ý » 59,5î.
î M +m
þ
r
r
u¢
u0
a
r
R
9. ×åðåç ëåãêèé áëîê ïåðåêèíóòà íåâåñîìàÿ íåðàñòÿæèìàÿ íèòü, ê êîíöàì êîòîðîé ïðèêðåïëåíû äâà ãðóçà ìàññàìè m1 = 3 êã è m2 = 7 êã. Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå öåíòðà
ìàññ ñèñòåìû ïðè äâèæåíèè ãðóçîâ. Òðåíèÿ â îñè áëîêà
r
r
íåò.
Tr2¢
T1¢
Ðåøåíèå
T2
r
Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ãðóçîâ m1 , m2 è íår
T1
a 2 âåñîìîãî áëîêà. Öåíòð ìàññ ñèñòåìû äâèæåòñÿ êàê ìàòåðèr
àëüíàÿ òî÷êà, ìàññà êîòîðîé ðàâíà ìàññå âñåé ñèñòåìû
a1
r
m2 g ( M = m1 + m2 ), ïîä äåéñòâèåì ðå çóëüòèðó þùåé âíåøíèõ
r
Y
ñèë, ïðèëîæåííûõ ê òåëàì:
m1 g
r
r
M ac = Fâíåø .
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹9
Î
82
Íà êàæäûé èç ãðóçîâ ñèñòåìû äåéñòâóþò ñèëà òÿæåñòè è ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè,
à íà áëîê - äâå ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè è ðåàêöèÿ ïîäâåñà. Ïðè ýòîì âíåøíèìè ñèëàìè ÿâëÿþòñÿ òîëüêî ñèëû òÿæåñ
ðåàêöèÿ ïîäâåñà:
r òè ãðóçîâr è ñèëà
r r
Fâíåø = m1 g + m2 g + R .
Ñëåäîâàòåëüíî,
r
r
r r
(1)
( m1 + m2 ) ac = m1 g + m2 g + R .
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ êàæ
äîãî èç ãðóçîâ r
r
r r
r
r
m1 a1 = m1 g + T1 ; m2 a 2 = m2 g + T2
â ïðîåêöèè íà îñü OY:
(2)
- m1 a1 = m1 g - T1 ; m2 a 2 = m2 g - T2 .
Ïîñêîëüêó íèòü, ñî åäèíÿþùàÿ ãðó çû, íåðàñòÿæèìà, òî óñêîðåíèÿ ãðó çîâ
a1 = a 2 = a. Òàê êàê áëîê íåâåñîì, òðåíèÿ â îñè áëîêà íåò è íèòü íèãäå íå ïåðåæàòà,
òî ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè T1 = T2 = T. Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî, çàïèøåì óðàâíåíèÿ (2) â
âèäå
m1 a = T - m1 g ; m2 a = m2 g - T.
Îòñþäà íàõîäèì:
m - m1
2 m1 m2
; T=
(3)
a= g 2
g.
m1 + m2
m1 + m2
Ïîñêîëüêó ïîñòóïàòåëüíî áëîê íå äâèæåòñÿ è åãî ñèëîé òÿæåñòè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, òî ñ ó÷åòîì, ÷òî T1¢ = T1 , T2¢ = T2 , T1 = T2 = T, ïîëó÷èì
0 = 2 T - R.
Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (1) â ïðîåêöèè íà îñü OY ïðèìåò âèä
( m1 + m2 ) ac = m1 g + m2 g - 2 T.
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (3) íàõîäèì
2
( m1 + m2 ) g - 2 T ì m1 - m2 ü
2
ac =
=í
ý g » 1,6 ì/ñ .
m1 + m2
î m1 + m2 þ
Óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ìîæíî òàêæå íàéòè ïî ôîðìóëå
2
r
r
ì m2 - m1 ü
- m1 a1 + m2 a 2 - m1 a + m2 a m2 - m1
1 N
ac =
S mi a i ; ac =
=
=
a=í
ý g.
M i =1
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2
m1 + m2 þ
î
2
ì m2 - m1 ü
2
Îòâåò: ac = í
ý g » 1,6 ì/ñ .
î m1 + m2 þ
10. ×åðåç ëåãêèé áëîê ïåðåêèíóòà âåðåâêà, íà îäíîì êîíöå êîòîðîé âèñèò ëåñòíèöà ñ ÷åëîâåêîì ìàññîé m = 60 êã, à íà äðóãîì - óðàâíîâåøèâàþùèé ëåñòíèöó ñ
÷åëîâåêîì ãðóç ìàññîé M = 80 êã. ×åëîâåê ïîäíÿëñÿ îòíîñèòåëüíî ëåñòíèöû íà ðàññòîÿíèå h = 1 ì è îñòàíîâèëñÿ. Ïðåíåáðåãàÿ ìàññàìè áëîêà è âåðåâêè, à òàêæå òðåíèåì â îñè áëîêà, îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ïåðåìåùåíèÿ öåíòðà ìàññ ýòîé ñèñòåìû.
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ ñèñòåìû
r
r
1 N
rc =
S mi ri
M i =1
N
(ãäå M = S i =1 mi – ìàññà ñèñòåìû), òî ïåðåìåùåíèå öåíòðà ìàññ
r
r
1 N
D rc =
S mi Dri .
M i =1
83
 íàøåì ñëó÷àå ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç ãðóçà
ìàññîé M, ÷åëîâåêà ìàññîé m è ëåñòíèöû ìàññîé ( M - m).
Ïðè ýòîì âñå òåëà ìîãóò ïåðåìåùàòüñÿ òîëüêî âäîëü îñè OY.
Ñëåäîâàòåëüíî,
M D y ãðóçà + m D y íåëîâåêà + ( M - m) D y ëåñòíèöû
. (1)
D yc =
2M
Êîãäà ÷åëîâåê áóäåò ïîäíèìàòüñÿ ïî ëåñòíèöå ââåðõ,
M -m
ëåñòíèöà áóäåò îïóñêàòüñÿ, à ãðóç ïîäíèìàòüñÿ. Ïðè ýòîì,
åñëè ëåñòíèöà îïóñòèòñÿ íà âåëè÷èíó H, òî, ïîñêîëüêó âåm
ðåâêà íåðàñòÿæèìà, ãðóç ïîäíèìåòñÿ íà H. Ñëåäîâàòåëüíî,
M
h
ïåðåìåùåíèÿ ëåñòíèöû è ãðóçà
Î
(2)
D y ëåñòíèöû = - H; D y ãðóçà = H,
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹10
à ïåðåìåùåíèå ÷åëîâåêà
(3)
D y íåëîâåêà = h - H.
Ñ ó÷åòîì (2) -(3) èç (1) ïîëó÷èì
M H + m ( h - H ) - ( M - m) H
mh
D yc =
=
= 45 ñì.
2M
2M
mh
Îòâåò: D yc =
= 45 ñì.
2M
Y
11. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 1 ì îäíèì êîíöîì êàñàåòñÿ ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè. Âåðõíèé êîíåö ñòåðæíÿ ïîäâåøåí íà íèòè òàê, ÷òî ñòåðæåíü
îáðàçóåò ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòüþ óãîë a = 60î. Íèòü ïåðåæèãàþò. Íà êàêîå
ðàññòîÿíèå ñìåñòèòñÿ íèæíèé êîíåö ñòåðæíÿ, êîãäà îí óïàäåò?
Ðåøåíèå
Ïîñëå ïåðåæèãàíèÿ íèòè ñòåðæåíü íà÷íåò
ïàäàòü, ïðè ýòîì ó âñåõ ÷àñòåé ñòåðæíÿ áóäóò
ðàçíûå òðàåêòîðèè.
Åñëè ìûñëåííî ðàçáèòü ñòåðæåíü íà ÷àñòè,
r C
òî íà êàæäóþ òàêóþ ÷àñòü, êðîìå åå ñèëû òÿæåñN
r
òè, áóäóò äåéñòâîâàòü ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ñîMg
Dl
a C¢
X ñåäíèìè ÷àñòÿìè, íàïðàâëåíèå è âåëè÷èíà êîòîO
ðûõ íåèçâåñòíû. ×òîáû èñêëþ÷èòü èç ðàññìîòðåíèÿ ýòè ñèëû, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ñòåðæåíü
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹11
êàê ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû î äâèæåíèè öåí
r òðà ìàññ
r
M ac = Fâíåø .
Ïîñêîëüêó íà ñòåðæåíü äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû - ñèëà òÿæåñòè è ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû r
r r
Fâíåø = M g + N ,
íàïðàâëåííûå âåðòèêàëüíî, òî â íàïðàâëåíèè îñè OX ñèñòåìà çàìêíóòà. Ñëåäîâàòåëüíî,
Fâíåø x = 0; ac x = 0.
Òàê êàê óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñòåðæíÿ ïî îñè OX ðàâíî íóëþ, òî ïðîåêöèÿ
ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ íà ýòó îñü
84
uc x = const,
òî åñòü íå áóäåò ìåíÿòüñÿ. Ïîñêîëüêó â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè îíà áûëà ðàâíà
íóëþ, òî è â ëþáîé äðóãîé ìîìåíò âðåìåíè
uc x = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, êîîðäèíàòà öåíòðà ìàññ x c ìåíÿòüñÿ íå áóäåò, è êîãäà ñòåðæåíü
óïàäåò, öåíòð ìàññ C îêàæåòñÿ â òî÷êå C ¢. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîì íèæíèé êîíåö
ñòåðæíÿ ñìåñòèòñÿ íà
Dl = 1 2 l - 1 2 l cos a = 1 2 l (1 - cos a ) = 25 ñì.
Îòâåò: Dl = 1 2 l (1 - cos a ) = 25 ñì.
12. Äâå íåáîëüøèå øàéáû, ìàññû êîòîðûõ m1 = 200 ã è m2 = 300 ã, ñâÿçàíû íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ äëèíîé l = 60 ñì è íàõîäÿòñÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå. Øàéáå m2 ñîîáùàþò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü u = 4 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ
ïåðïåíäèêóëÿðíî íèòè. Îïðåäåëèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè â ïðîöåññå äâèæåíèÿ
øàéá.
m1
r
Ðåøåíèå
u1
r
Ïîñêîëüêó ñóììà âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþr r1
ùèõ íà ñèñòåìó òåë, ðàâíà íóëþ (íà êàæäóþ èç
T1
øàéá äåéñòâóþò ñèëû òÿæåñòè è ñèëû íîðìàëüC
íîé ðåàêöèè îïîðû, êîòîðûå ðàâíû ïî âåëè÷èíå
r r
r
T2 r2
è ïðîòèâîïîëîæíû ïî íàïðàâëåíèþ), òî ñèñòåìà
u2
òåë çàìêíóòà. Ñëåäîâàòåëüíî, öåíòð ìàññ ñèñòåìû òåë äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî, è
m2
ñèñòåìà îòñ÷åòà, ñâÿçàííàÿ ñ öåíòðîì ìàññ (ñèñÐèñ. ê çàäà÷å ¹12
òåìà öåíòðà ìàññ), áóäåò èíåðöèàëüíîé.
r r
Çàäàäèì
ïî
ëî
æå
íèÿ
øàéá
â
ñèñ
òå
ìå
öåí
òðà
ìàññ
ðà
äè
óñ-âåê
òî
ðà
ìè
r
1 è r2 , à èõ
r
r
ñêîðîñòè - u1 è u2 .
r
r
Òàê êàê â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ðàäèóñ-âåêòîð rc öåíòðà ìàññ è ñêîðîñòü uc öåíòðà ìàññ ðàâíû íóëþ
r
r
r
r
r m1 r1 + m2 r2
r
m1 u1 + m2 u2
rc =
= 0; uc =
= 0,
m1 + m2
m1 + m2
òî
r
r
r
r
(1)
m1 r1 = - m2 r2 ; m1 u1 = - m2 u2 .
Èç ïåðâîãî âûðàæåíèÿ (1) ñëåäóåò, ÷òî öåíòð ìàññ ñèñòåìû òåë íàõîäèòñÿ íà
ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé øàéáû, è òåëà ïðè ñâîåì äâèæåíèè îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ
îïèñûâàþò â ïðîñòðàíñòâå îêðóæíîñòè, ïðè÷åì îòíîøåíèå èõ ðàäèóñîâ
r1 r2 = m2 m1 .
Èç âòîðîãî âûðàæåíèÿ (1) âûòåêàåò, ÷òî â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ ñêîðîñòè øàéá â
ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, à èõ ìîäóëè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñîîòíîøåíèåì
u1 u2 = m2 m1 .
Çàïèñàâ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ øàéá
r â âèäå
r
r
2r
d r1 T1
d 2 r2 T2
;
=
=
dt 2
m1
dt 2
m2
85
r r
r
r
(ãäå T1 , T2 – ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè, ïðè÷åì ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà T1 = - T2 ) è
âû÷èòàÿ îäíî óðàâíåíèå èç äðóãîãî, ïîëó÷èì:
r
r
r
r
T2 T1
d 2r2-1 m1 + m2 r
d 2r2-1 r
d2 r r
, èëè
(2)
( r2 - r1 ) =
=
T2 ;
m
= T2 ,
dt 2
m2 m1
dt 2
m1 m2
dt 2
r
r r
ãäå m = ( m1 m2 ) ( m1 + m2 ) – ïðèâåäåííàÿ ìàññà òåë; âåêòîð r2-1 = r2 - r1 îïðåäåëÿåò ïîëîæåíèå øàéáû m2 îòíîñèòåëüíî øàéáû m1 .
Óðàâíåíèå (2) ôîðìàëüíî àíàëîãè÷íî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà, êîòîðîå îïèñûâàåò äâèæåíèå òåëà ìàññîé m îòíîñèòåëüíî ríåïîäâèæíîãî òåëà m1 .
Ïîñêîëüêó íèòü íåðàñòÿæèìà, à ñêîðîñòü u, êîòîðóþ ñîîáùèëè øàéáå m2 , íàïðàâëåíà ïåðïåíäèêóëÿðíî íèòè, òî òåëî ìàññîé m îòíîñèòåëüíî øàéáû m1 áóäåò äâèãàòüñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r = l ñ íîðìàëüíûì óñêîðåíèåì a n = u2 l. Ñëåäîâàòåëüíî,
u2
T = m an = m
= 3,2 Í.
l
m m
m u2
Îòâåò: T =
= 3,2 Í, ãäå m = 1 2 .
l
m1 + m2
13. Ðàêåòà äâèæåòñÿ â îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë, âûïóñêàÿ íåïðåðûâíóþ ñòðóþ
ãàçà ñî ñêîðîñòüþ uîòí , ïîñòîÿííîé îòíîñèòåëüíî ðàêåòû. Îïðåäåëèòå çàêîí èçìåíåíèÿ ìàññû ðàêåòû ñî âðåìåíåì, åñëè ðàêåòà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì a, à
åå ìàññà â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà m0 .
Ðåøåíèå
Çàïèøåì óðàâíåíèå Ìåùåðñêîãî
r
r
du r
dm r
u
m
= uîòí
+ Fâíåø
dt
dt
X â îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë
r
O
du r
dm
m
= uîòí
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹13
dt
dt
â ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ðàêåòû
du
dm
m
= - uîòí
dt
dt
â âèäå
dm
.
m a = - uîòí
dt
Îòñþäà ïîëó÷èì:
m
t
dm
a dt
dm
a
a
m
- ( a / uîòí ) t
; ò
.
==-ò
d t; ln
=t;
m = m0 e
m
m
uîòí
m
u
u
0
îòí
îòí
m
0
Y
r
uîòí
r
a
0
Îòâåò: m = m0 e
- ( a / uîòí ) t
.
14. Ïëàòôîðìà íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ âïðàâî ïî ãëàä
r êîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ãîðèçîíòàëüíîé ñèëû F (ñì. ðèñóíîê). Èç íåïîäâèæíîãî áóíêåðà â íåå âûñûïàåòñÿ ïåñîê. Ñêîðîñòü ïîãðóçêè (ìàññà íàñûïàåìîãî ïåñêà
â åäèíèöó âðåìåíè) ïîñòîÿííà è ðàâíà m. Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòè îò âðåìåíè ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ ïëàòôîðìû ïðè ïîãðóçêå. Ìàññà ïëàòôîðìû m0 .
86
Ðåøåíèå
 óðàâíåíèè
r Ìåùåðñêîãîr
du r
dm
(1)
m
= uîòí
+ Fâíåø ,
r
r
dt
dt
N
r
u
çàïèñàííîì äëÿ ðàêåòû, ïðîèçâåäåíèå uîòí dm r
èìïóëüñ, óíîñèìûé ìàññîé dm ãàçîâ, èñòåêàþF
ùèõ èç ðàêåòû, â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ
X
O
ðàêåòîé.  íàøåé çàäà÷å â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿr
mg
çàííîé ñ ïëàòôîðìîé, èì
r ïóëüñ ïåñ
r êà ìàññîé
dm = m dt áóäåò ðàâåí ( - u dm), ãäå u - ñêîðîñòü
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹14
ïëàòôîðìû â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè.
Ñ ó÷åòîì ñêàçàííîãî óðàâíåíèå (1) çàïèøåì â âèäå
r
r m dt r
r r
du
(2)
m
= -u
+F+mg+N
dt
dt
r
r
r r
(ãäå Fâíåø = F + m g + N ), èëè â ïðîåêöèè íà îñü OX
du
m
= - u m + F.
dt
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü ïîãðóçêè ïîñòîÿííà, òî ê ìîìåíòó âðåìåíè t ìàññà ïëàòôîðìû ñ ïåñêîì áóäåò ðàâíà
m = m0 + m t.
Ñëåäîâàòåëüíî,
du
( m0 + m t )
= - u m + F.
dt
Îòñþäà ïîëó÷èì:
u
t
m +mt
du
dt
du
dt
F
Ft
; ò
; ln
; u=
.
=
=ò
= ln 0
F - u m m0 + m t 0 F - u m 0 m0 + m t
F - um
m0
m0 + m t
Âçÿâ ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè îò çàâèñèìîñòè u( t ), íàéäåì óñêîðåíèå ïëàòôîðìû:
F m0
& =
.
a=u
( m0 + m t ) 2
F m0
Ft
Îòâåò: u =
; a=
.
m0 + m t
( m0 + m t ) 2
A
15. Öåïî÷êó AB äëèíîé l = 2 ì óäåðæèâàþò
íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå òàê, ÷òî ÷àñòü
åå äëèíû h = 80 ñì ñâîáîäíî ñâåøèâàåòñÿ, êàñàh
ÿñü ñâîèì êîíöîì B ïîâåðõíîñòè ïîëà.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè êîíåö A öåïî÷êè îòïóñòèB
ëè. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îí ñîñêîëüçíåò ñî ñòîëà?
Ðèñ. 1 ê çàäà÷å ¹15
Ðåøåíèå
Ïðåäñòàâèì öåïî÷êó â âèäå äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ íà ñòîëå, à
âòîðàÿ - ñâåøèâàåòñÿ.
Ïðè ñîñêàëüçûâàíèè öåïî÷êè, ìàññû åå ÷àñòåé áóäóò èçìåíÿòüñÿ. Ïðè ýòîì áóäóò ìåíÿòüñÿ è ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ðàññìàòðèâàåìûå ÷àñòè, è óñêîðåíèå ýòèõ
÷àñòåé.
87
r
N
r
a1
r
T2 r
T1
Ïîìåñòèì íà÷à ëî ñèñòåìû êîîðäèíàò â
ïåðâîíà÷àëüíîå ïîëîæåíèå êîíöà A ÷àñòè öåX
O A
ïî÷êè, ëåæàùåé íà ñòîëå. Ïóñòü â íåêîòîðûé
x
r
ìîìåíò âðåìåíè êîîðäèíàòà ýòîãî êîíöà öåïî÷r
m1 g
a2
êè ðàâíà x. Òîãäà â ýòîò ìîìåíò íà ñòîëå áóäåò
h
íàõîäèòüñÿ ÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé (l - h - x) è
ìàññîé m1 = m0 ( l - h - x ), ãäå m0 = m l - ìàññà
Y
åäèíèöû äëèíû öåïî÷êè (m - ìàññà âñåé öåïî÷r
êè). Óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ýòîé
÷àñ
m2 g
r òè öåïî÷êè
r
r r
(1)
m1 a1 = m1 g + T1 + N .
Ðèñ. 2 ê çàäà÷å ¹15
Àíàëîãè÷íî äëÿ ÷àñòè öåïî÷êè ìàññîé m2 = m0 h, ñâåøèâàþùåéñÿ ñî ñòîëà:
r
r r
(2)
m2 a 2 = m2 g + T2 .
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ (1) -(2) â ïðîåêöèÿõ íà îñè OX è OY ñèñòåìû êîîðäèíàò ñ
ó÷åòîì, ÷òî m1 = m0 ( l - h - x ), m2 = m0 h, a1 = a 2 = a, T1 = T2 = T:
(3)
OX : m0 ( l - h - x ) a = T ; OY : m0 h a = m0 h g - T.
Ïðåäñòàâèâ óñêîðåíèå â âèäå
du du dx
du
a=
=
=u
dt
d x dt
dx
è ñëîæèâ ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè (3), ïîëó÷èì:
du
m0 ( l - x ) a = m0 h g ; ( l - x ) a = h g ; ( l - x ) u
= h g.
dx
Îòñþäà íàõîäèì:
u
l -h
dx
dx
u2
l
; ò u d u= h g ò
;
u du = h g
= h g ln ; u =
l-x 0
2
h
0 l-x
Îòâåò: u =
2 h g ln
l
» 3,8 ì/ñ.
h
2 h g ln ( l h ) » 3,8 ì/ñ.
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
3.1. Òåëî ìàññîé m = 5 êã äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì
a = 0,5 ì/ñ2. Îïðåäåëèòå èçìåíåíèå èìïóëüñà òåëà çà Dt = 3 ñ.
3.2. Ìÿ÷ ìàññîé m = 60 ã óïàë íà ïîë ñ âûñîòû H = 2 ì è ïîäñêî÷èë íà âûñîòó
h = 1 ì. Îïðåäåëèòå ïðîäîëæèòåëüíîñòü óäàðà, åñëè ñðåäíåå çíà÷åíèå ñèëû óäàðà
ìÿ÷à î ïîë ðàâíî < F > = 2 Í. Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
3.3. Ìÿ÷èê óïðóãî óäàðÿåòñÿ î ïîë. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ìÿ÷èê îòñêî÷èò îò ïîëà?
Ñêîðîñòü ìÿ÷èêà â ìîìåíò óäàðà u0 = 6 ì/ñ íàïðàâëåíà ïîä óãëîì a = 60î ê íîðìàëè.
Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ î ïîë m = 0,4. Ñèëîé òÿæåñòè ìÿ÷èêà ïðåíåáðå÷ü.
3.4. Ìåòåîðèò, ëåòåâøèé ïåðïåíäèêóëÿðíî êóðñó êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ, ïîïàäàåò â åãî îáøèâêó è çàñòðåâàåò â íåé. Íà êàêîé óãîë îòêëîíèòñÿ êîðàáëü îò ñâîåãî
êóðñà, åñëè åãî ìàíåâðîâûå äâèãàòåëè íå ïðîèçâåäóò êîððåêöèþ ïîñëåäíåãî? Ìàññà
ìåòåîðèòà ñîñòàâëÿåò n = 0,0001 ìàññû êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ, à ñêîðîñòü ìåòåîðèòà
â k = 10 ðàç áîëüøå ñêîðîñòè êîðàáëÿ.
3.5. Ñíàðÿä, âûïóùåííûé ñî ñêîðîñòüþ u0 = 100 ì/ñ ïîä óãëîì a = 45î ê ãîðèçîíòó, ðàçîðâàëñÿ â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè íà äâà îäèíàêîâûõ îñêîëêà. Îäèí
îñêîëîê óïàë íà çåìëþ ïîä òî÷êîé ðàçðûâà ñíàðÿäà ñî ñêîðîñòüþ u1 = 97 ì/ñ. Ñ êà88
êîé ñêîðîñòüþ óïàë íà çåìëþ âòîðîé îñêîëîê? Ñîïðîòèâëåíèåì âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
3.6. Íà ãîðèçîíòàëüíûõ ðåëüñàõ ñòîèò ïëàòôîðìà ñ ïåñêîì. Â ïåñîê ïîïàäàåò
ñíàðÿä, ëåòåâøèé âäîëü ðåëüñîâ, è çàñòðåâàåò â íåì. Â ìîìåíò ïîïàäàíèÿ ñíàðÿäà
åãî ñêîðîñòü ðàâíà u = 400 ì/ñ è íàïðàâëåíà ñâåðõó âíèç ïîä óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó. Êàêóþ ñêîðîñòü ïðèîáðåëà ïëàòôîðìà? Ìàññà ïëàòôîðìû ñ ïåñêîì M = 5 ò,
ìàññà ñíàðÿäà m = 10 êã. Òðåíèÿ íåò.
3.7. Íà êðàþ ïîêîÿùåéñÿ òåëåæêè ñòîÿò äâà ÷åëîâåêà. Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì,
îïðåäåëèòå ñêîðîñòü òåëåæêè ïîñëå òîãî, êàê îáà ÷åëîâåêà äðóã çà äðóãîì ñïðûãíóò
ñ íåå ñ îäèíàêîâîé ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòüþ u = 2 ì/ñ îòíîñèòåëüíî òåëåæêè. Ìàññà òåëåæêè M = 140 êã, ìàññà êàæäîãî ÷åëîâåêà m = 60 êã.
3.8. Ñòâîë ïóøêè íàïðàâëåí ïîä óãëîì a = 45î ê ãîðèçîíòó. Êîãäà êîëåñà ïóøêè
çàêðåïëåíû, ñêîðîñòü ñíàðÿäà, ìàññà êîòîðîãî â n = 50 ðàç ìåíüøå ìàññû ïóøêè,
u0 = 180 ì/ñ. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ïóøêè ñðàçó ïîñëå âûñòðåëà, åñëè êîëåñà îñâîáîäèòü.
m1
3.9. Áðóñîê ìàññîé m1 = 3 êã, íàõîäÿùèéñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå, ñîåäèíåí íåâåñîìîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, ïåðåáðîøåííîé ÷åðåç ëåãêèé áëîê ñ ãðóm2
çîì ìàññîé m2 = 1 êã (ñì. ðèñóíîê). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ áðóñêà î ïîâåðõíîñòü ñòîëà m = 0,2. Îïðåäåëèòå
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹3.9
óñêîðåíèå öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ïðè äâèæåíèè ãðóçîâ.
Òðåíèÿ â îñè áëîêà íåò.
m
3.10. Ïåðâîíà÷àëüíî ïîêîÿùèåñÿ ïðèçìû íà÷àëè
äâèãàòüñÿ èç ïîëîæåíèÿ, ïîêàçàííîãî íà ðèñóíêå. Â
3m
íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñêîðîñòü âåðõíåé ïðèçìû
a
îòíîñèòåëüíî íèæíåé ðàâíà uîòí = 3 ì/ñ. Êàêóþ ñêîðîñòü â ýòîò ìîìåíò èìåëà íèæíÿÿ ïðèçìà, åñëè óãîë
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹3.10
ïðè åå îñíîâàíèè a = 30î? Òðåíèÿ íåò.
3.11. Ïëîò ìàññîé M = 120 êã, íà êîòîðîì íàõîäèòñÿ ÷åëîâåê ìàññîé m = 80 êã,
ïîêîèòñÿ íà ïîâåðõíîñòè ïðóäà. ×åëîâåê ïåðåìåñòèëñÿ îòíîñèòåëüíî ïëîòà íà ðàññòîÿíèå S = 2 ì è îñòàíîâèëñÿ. Ïðåíåáðåãàÿ ñîïðîòèâëåíèåì âîäû, îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ïåðåìåùåíèÿ ïëîòà îòíîñèòåëüíî áåðåãà.
3.12. Äâà íåáîëüøèõ øàðèêà, ìàññû êîòîðûõ m1 = 20 ã è m2 = 50 ã, ñîåäèíåíû
ëåãêèì ñòåðæíåì äëèíîé l = 50 ñì è íàõîäÿòñÿ íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Øàðèêó m2 ñîîáùàþò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü u = 1 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ ïîä
óãëîì a = 30î ê ñòåðæíþ. Îïðåäåëèòå óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ.
3.13. Ðàêåòà äâèæåòñÿ â îòñóòñòâèå âíåøíèõ ñèë, âûïóñêàÿ íåïðåðûâíóþ
ñòðóþ ãàçà ñî ñêîðîñòüþ uîòí , ïîñòîÿííîé îòíîñèòåëüíî ðàêåòû. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ðàêåòû â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà åå ìàññà ðàâíà m, åñëè åå ìàññà â íà÷àëüíûé
ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà m0 .
3.14. Òåëåæêà ñ ïåñêîì äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ïîä
äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû F, ñîíàïðàâëåííîé ñ åå ñêîðîñòüþ. Ïðè ýòîì ïåñîê âûñûïàåòñÿ ÷åðåç îòâåðñòèå â äíå òåëåæêè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ m. Îïðåäåëèòå ñêî89
ðîñòü è óñêîðåíèå òåëåæêè â ìîìåíò âðåìåíè t, åñëè â ìîìåíò âðåìåíè t 0 = 0 ìàññà
òåëåæêè ñ ïåñêîì m0 , à åå ñêîðîñòü áûëà ðàâíà íóëþ.
3.15. Öåïî÷êà ìàññîé m = 1 êã è äëèíîé l = 1,4 ì âèñèò íà íèòè, êàñàÿñü ïîâåðõíîñòè ñòîëà ñâîèì íèæíèì êîíöîì.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íèòü ïåðåæãëè.
Îïðåäåëèòå èìïóëüñ, êîòîðûé öåïî÷êà ïåðåäàëà ïîëó.
Òåñòû
r
1. Òåëî ìàññîé m äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u. Ïîñëå ñîóäàðåíèÿ ñ íåïîäâèæíîé ñòåíêîé òåëî ñòàëî äâèãàòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè ñ òîé æå ïî ìîäóëþ ñêîðîñòüþ. Ìîäóëü èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òåëà ðàâåí K
À. Dp = 0
Á. Dp = m u
Â. Dp = 2 m u
Ã. Dp = 3 m u
2. Òåëî ìàññîé m äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ñ ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ u.
Âåëè÷èíà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òåëà çà âðåìÿ, â òå÷åíèå êîòîðîãî òåëî ïðîõîäèò ÷åòâåðòü äëèíû îêðóæíîñòè, ðàâíà K
À. Dp = 0
Á. Dp = m u
Â. Dp = 2 m u
Ã. Dp = 2 m u
3. Òåëî ìàññîé m = 100 ã ñâîáîäíî ïàäàåò âáëèçè ïîâåðõíîñòè çåìëè. Âåëè÷èíà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òåëà çà ïåðâûå Dt = 2 ñ ïàäåíèÿ ðàâíà K
À. Dp » 1 êã×ì/ñ
Á. Dp » 2 êã×ì/ñ
F
Â. Dp » 3 êã×ì/ñ
Ã. Dp » 4 êã×ì/ñ
2 F0
4. Äâà îäèíàêîâûõ òåëà îäíîâðåìåííî íà÷èríàþòr äâèF1
æåíèå ïîä äåéñòâèåì ñîîòâåòñòâåííî ñèë F1 è F2 , êîF0
òîðûå ëèíåéíî èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíàì,
ïðåäñòàâëåííûì íà ðèñóíêå. Âî ñêîëüêî ðàç áóäóò
F2 t îòëè÷àòüñÿ ñêîðîñòè òåë â ìîìåíò âðåìåíè t?
t
0
À. 1
Á. 2
Ðèñ. ê òåñòó ¹4
Â. 3
Ã. 4
5. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïî ïðÿìîé ïîä äåéñòâèåì ñèëû, êîòîðàÿ èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = 4 t [Í], ãäå âðåìÿ â ñåêóíäàõ. Âåëè÷èíà èçìåíåíèÿ èìïóëüñà òî÷êè çà ïåðâûå t = 4 ñ äåéñòâèÿ ñèëû ðàâíà K
Îòâåò: __________êã×ì/ñ
6. Òåëî ìàññîé m = 1 êã äâèæåòñÿ râ ïëîñêîñ
r òè2 rXOY ïîä äåéñòâèåì ñèëû, êîòîðàÿ èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = 2 t i - t j [Í], ãäå âðåìÿ â ñåêóíäàõ. Çà ïåðâûå
t = 3 ñ äåéñòâèÿ ñèëû âåëè÷èíà ñêîðîñòè òåëà èçìåíèëàñü íà K
À. Du » 3 ì/ñ
Á. Du » 10,8 ì/ñ
Â. Du » 12,7 ì/ñ
Ã. Du » 15 ì/ñ
7. Ñíàðÿä, ëåòÿùèé ñî ñêîðîñòüþ u = 300 ì/ñ, ðàçðûâàåòñÿ â âîçäóõå íà äâà îñêîëêà.
Îäèí èç îñêîëêîâ, ìàññîé m1 = 3 êã, èìååò ñêîðîñòü u1 = 600 ì/ñ è ñîõðàíÿåò ïåðâîíà÷àëüíîå íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ ñíàðÿäà. Ìàññà äðóãîãî îñêîëêà m2 = 2 êã. Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ýòîãî îñêîëêà ðàâíà K
À. u2 = 150 ì/ñ
Á. u2 = 300 ì/ñ
Â. u2 = 400 ì/ñ
Ã. u2 = 900 ì/ñ
90
8. Òåëåæêà ìàññîé m1 = 2 êã, äâèæóùàÿñÿ ñî ñêîðîñòüþ u1 = 3 ì/ñ, ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîäâèæíîé òåëåæêîé ìàññîé m2 = 4 êã è ñöåïëÿåòñÿ ñ íåé. Ñêîðîñòü òåëåæåê ïîñëå
èõ âçàèìîäåéñòâèÿ ðàâíà K
À. u = 3 ì/ñ
Á. u = 2 ì/ñ
Â. u = 1 ì/ñ
Ã. u = 0,5 ì/ñ
9. Íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ëåòÿò äâà øàðèêà èç ïëàñòèëèíà. Ñòîëêíóâøèñü, øàðèêè
ñëèïàþòñÿ. Èõ èìïóëüñû äî ñîóäàðåíèÿ ðàâíû p1 = 3×10-2 êã×ì/ñ è p 2 = 4×10-2 êã×ì/ñ.
Èìïóëüñ ñëèïøèõñÿ øàðèêîâ ñòàë ðàâåí K
À. p = 7×10-2 êã×ì/ñ
Á. p = 10-2 êã×ì/ñ
Â. p = 5×10-2 êã×ì/ñ
Ã. p = 2×10-2 êã×ì/ñ
10. Ñàíè ìàññîé m1 ñêîëüçÿò ñî ñêîðîñòüþ u1 . Íà íèõ ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ïðûãàåò ÷åëîâåê ìàññîé m2 ñ ãîðèçîíòàëüíîé ñêîðîñòüþ u2 . ×åìó ðàâåí èìïóëüñ ñàíåé ñ ÷åëîâåêîì?
À. p = m12 u12 - m22 u22
Á. p = m1 u1 + m2 u2
Â. p = m12 u12 + m22 u22
Ã. p = m1 u1 - m2 u2
r
r
r
11. Òåëî ìàññîé m1 = 2 êã, äâèæóùååñÿ ñî ñêîðîñòüþ u1 = 1 2 i - 2 j [ì/ñ], àáñîëþòíî
íå
r ãî ñòîë êíóëîñü ñ òå ëîì ìàñ ñîé m2 = 1 êã, äâè æó ùèì ñÿ ñî ñêî ðîñ òüþ
r óïðó
u2 = 2 i [ì/ñ]. Ìîäóëü èìïóëüñà îáðàçîâàâøåãîñÿ òåëà ðàâåí K
À. p = 0,5 êã×ì/ñ
Á. p = 5 êã×ì/ñ
Â. p = 10,5 êã×ì/ñ
Ã. p = 21 êã×ì/ñ
12. Ïðè âûñòðåëå èç ïèñòîëåòà ïóëÿ ìàññîé m âûëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ u. Êàêóþ ñêîðîñòü ïðèîáðåòåò ïî ñëå âûñòðåëà ïèñòîëåò, åñëè åãî ìàññà â 100 ðàç áîëüøå ìàññû
ïóëè?
À. u¢ = 0
Á. u¢ = u
Â. u¢ = 100 u
Ã. u¢ = 0,01 u
13. Ïî ñòîëó ñêîëüçèò êóá ìàññîé M ñî ñêîðîñòüþ u = 1 ì/ñ. Íàâñòðå÷ó åìó ãîðèçîíòàëüíî ëåòèò ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã ñî ñêîðîñòüþ u1 = 500 ì/ñ. Ïóëÿ ïðîáèâàåò êóá
íàñêâîçü è âûëåòàåò ïî ïåðâîíà÷àëüíîé ïðÿìîé ñî ñêîðîñòüþ u2 = 300 ì/ñ, à êóá
îñòàíàâëèâàåòñÿ. Ìàññà êóáà ðàâíà K
À. M = 1 êã
Á. M = 2 êã
Â. M = 4 êã
Ã. M = 8 êã
14. ×åëîâåê íåïîäâèæíî ñòîèò íà òåëåæêå, êîòîðàÿ äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ u = 2 ì/ñ
ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî òåëåæêè
äîë æåí èäòè ïî íåé ÷å ëî âåê, ÷òî áû òå ëåæ êà îñòà íî âè ëàñü? Ìàñ ñà òå ëåæ êè
M = 120 êã, ìàññà ÷åëîâåêà m = 60 êã.
Îòâåò: __________ì/ñ
15. Îäíîðîäíûé ñòåðæåíü äëèíîé l = 1 ì ñîãíóò ïîïîëàì ïîä ïðÿìûì óãëîì. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò
ìåñòà ñãèáà íàõîäèòñÿ öåíòð ìàññ ñòåðæíÿ?
À. Dx = 0
Á. Dx » 0,35 ì
Â. Dx » 0,5 ì
Ã. Dx » 0,71 ì
16. Âíóòðè äèñêà ðàäèóñîì R = 24 ñì, èçãîòîâëåííîãî
èç ïëîñêîé îäíîðîäíîé ïëàñòèíêè, âûðå çàí êðóã
Ðèñ. ê òåñòó ¹16
91
âäâîå ìåíüøåãî ðàäèóñà òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà äèñêà íàõîäèòñÿ öåíòð ìàññ äèñêà ñ âûðåçîì?
Îòâåò: __________ñì
17. Ëîäêà äëèíîé l = 3 ì è ìàññîé M = 120 êã ñòîèò íà ñïîêîéíîé âîäå íîñîì ê áåðåãó. Íà êàêîå ðàññòîÿíèå ñìåñòèòñÿ ëîäêà îòíîñèòåëüíî âîäû, åñëè ÷åëîâåê ìàññîé
m = 60 êã ïåðåéäåò ñ êîðìû íà íîñ ëîäêè? Ñîïðîòèâëåíèåì âîäû ïðåíåáðå÷ü.
Îòâåò: __________ì
18. Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Îòíî ñèòåëüíî
öåíòðà ìàññ ÷àñòèöû äâèæóòñÿ ïî K
À. Ïðÿìûì
Á. Îêðóæíîñòÿì
Â. Ýëëèïñàì
Ã. Ïî ïðîèçâîëüíûì òðàåêòîðèÿì
19. Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç äâóõ âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö. Ñêîðîñòè ÷àñòèö â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ K
À. u2 = u1 = 0
Á. u2 = u1 ¹ 0
Â. u2 = ( m2 m1 ) u1
Ã. u2 = ( m1 m2 ) u1
20. Ïðè êàêîì ñîîòíîøåíèè ìàññ äâà òåëà, ñâÿçàííûå íåðàñòÿæèìîé ëåãêîé íèòüþ,
ìîãóò âðàùàòüñÿ ñ îäèíàêîâûìè óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé
ïîâåðõíîñòè, åñëè îñü âðàùåíèÿ äåëèò íèòü â îòíîøåíèè 1:5?
Îòâåò: __________
21. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü, ïîëó÷åííóþ ïîðîõîâîé ðàêåòîé ìàññîé M = 1 êã ïîñëå
ñãîðàíèÿ ïîðîõà ìàññîé m = 40 ã. Ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ u = 600 ì/ñ.
À. u¢ = 60 ì/ñ
Á. u¢ = 24 ì/ñ
Â. u¢ = 15 ì/ñ
Ã. u¢ = 36 ì/ñ
22. Âàãîí, ãðóæåííûé ïåñêîì, äâèæåòñÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ u = 3 ì/ñ.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè â äíå âàãîíà îòêðûëñÿ íåáîëüøîé ëþê, è ïåñîê ñòàë ìåäëåííî âûñûïàòüñÿ. Ìàññà ïóñòîãî âàãîíà â 2 ðàçà ìåíüøå íà÷àëüíîé ìàññû ïåñêà.
Êàêîâà áóäåò ñêîðîñòü âàãîíà, êîãäà âåñü ïåñîê âûñûïëåòñÿ? Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü.
À. u¢ = 1 ì/ñ
Á. u¢ = 2 ì/ñ
Â. u¢ = 3 ì/ñ
Ã. u¢ = 5 ì/ñ
23. Ãèäðîðåàêòèâíûé (âîäîìåòíûé) êàòåð âñàñûâàåò è âûáðàñûâàåò åæåñåêóíäíî
m = 500 êã çàáîðòíîé âîäû. Ñêîðîñòü âûáðàñûâàåìîé âîäû îòíîñèòåëüíî êàòåðà
u = 25 ì/ñ. Ðåàêòèâíàÿ ñèëà âûáðàñûâàåìîé ñòðóè K
Îòâåò: __________Í
24. Ðàêåòà ìàññîé M âèñèò íàä ïîâåðõíîñòüþ Çåìëè. Êàêóþ ìàññó òîïëèâà â åäèíèöó âðåìåíè îíà äîëæíà ðàñõîäîâàòü, åñëè ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ u?
À. m = M g u
Á. m = ( M t ) exp {- g t u}
Â. m = ( M t ) exp {- u g t }
Ã. m = u M g
25. Ðàêåòà íà÷èíàåò äâèæåíèå, âûïóñêàÿ íåïðåðûâíóþ ñòðóþ ãàçà ñî ñêîðîñòüþ
uîòí , ïîñòîÿííîé îòíîñèòåëüíî ðàêåòû. Êàêîé ñêîðîñòè äîñòèãíåò ðàêåòà, êîãäà åå
ìàññà óìåíüøèòüñÿ âäâîå? Âíåøíèìè ñèëàìè ïðåíåáðå÷ü.
À. u = uîòí ln 2
Á. u = uîòí ln 2
Â. u = 2 uîòí
Ã. u = 1 2 uîòí
92
§4. Ðàáîòà è ýíåðãèÿ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè
4.1. Ðàáîòà ñèëû. Ìîùíîñòü ñèëû
r
Ðàññìîòðèì räâèæåíèå ìàòåðèàëüíîé òî÷êè ïîä
F
äåéñòâèåì ñèëû F (ðèñ. 4.1).
r
r
u
Åñëè çà áåñêîíå÷íî ìàëûé ïðîìåæóòîê âðåìåíè
a dr
dt ÷àñòèöà ïðîøëà ýëåìåíòàðíûé ïóòü dS, òî âåëè÷èÐèñ. 4.1
íà
(4.1)
dA = F dS cos a
r
íàçûâàåòñÿ
dS, ãäå a - óãîë ìåæäó râåêòîðàr ýëåìåíòàðíîé ðàáîòîé ñèëû F íà ïóòè
r
ìè ñèëû F è áåñêîíå÷íî ìàëîãî ïåðåìåùåíèÿ dr ÷àñòèöû (íàïîìíèì, ÷òî | dr | = dS).
Âûðàæåíèå (4.1) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
r r
(4.2)
dA = ( F , dr )
r r
r
r
(ãäå ( F , dr ) – ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ F è dr ), èëè
(4.3)
dA = FS dS,
r
r
ãäå FS = F cos a - ïðîåêöèÿ âåêòîðà ñèëû
F íà ïåðåìåùåíèå dr ÷àñòèöû.
r
Èç (4.3) âèäíî, ÷òî ðàáîòà ñèëû F íà ïóòè dS ìîæåò áûòü êàê ïîëîæèòåëüíîé,
òàê è îòðèöàòåëüíîé âåëè÷èíîé â çàâèñèìîñòè îò çíàêà FS. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ ïîä
ïðÿìûì óãëîì ê ïåðåìåùåíèþ ÷àñòèöû (a = 1 2 p), íå ïðîèçâîäèò íàä íåé íèêàêîé
ðàáîòû. Ïðè ðàâíîìåðíîì äâèæåíèè ÷àñòèöû ïî îêðóæíîñòè ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà
÷àñòèöó è ñîçäàþùàÿ åå íîðìàëüíîå óñêîðåíèå, íàïðàâëåíà âñåãäà ê öåíòðó îêðóæíîñòè è ïåðïåíäèêóëÿðíà ïåðåìåùåíèþ ÷àñòèöû, ñëåäîâàòåëüíî, åå ðàáîòà ðàâíà
íóëþ. Òî÷íî òàê æå íå ìîãóò ñîâåðøèòü ðàáîòó íàä òåëîì ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè
îïîðû ïðè åãî ñêîëüæåíèè ïî ïîäñòàâêå, ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè, åñëè òåëî âðàùàåòñÿ
íà çàêðåïëåííîé íèòè (ìàÿòíèê), è ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà äâèæóùóþñÿ çàðÿæåííóþ
÷àñòèöó â ìàãíèòíîì ïîëå (ìàãíèòíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñèëû Ëîðåíöà), ïîñêîëüêó âñå
ýòè ñèëû â ëþáîé ìîìåíò äâèæåíèÿ òåëà ïåðïåíäèêór
2
F
ëÿðíû åãî ïåðåìåùåíèþ.
r
Äëÿ òîãî ÷òîáû îïðåäåëèòü ðàáîòó ñèëû F íà êîdS
íå÷íîì ïóòè DS1-2 ÷àñòèöû (ðèñ. 4.2), íóæíî ðàçáèòü
ýòîò ïóòü íà áåñêîíå÷íî ìàëûå ó÷àñòêè dS è, îïðåäå- 1
ëèâ ðàáîòó dA íà êàæäîì ýëåìåíòàðíîì ó÷àñòêå, ñëîÐèñ. 4.2
æèòü ýòè ðàáîòû, òî åñòü
2 r
2
r
(4.4)
A1-2 = ò ( F , dr ) = ò FS dS.
1
1
Îòìåòèì, ÷òî åñëè ÷àñòèöà âîçâðàùàåòñÿ èç òî÷
r êè 2 â íà÷àëüíóþ òî÷êó 1 ïî
òîé æå òðàåêòîðèè, à âåëè÷èíà è íàïðàâëåíèå ñèëû F â êàæäîé òî÷êå îáðàòíîãî ïóòè
òàêèå æå, êàê è ïðè äâèæåíèè ÷àñòèöû èç 1 â 2 (â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò, ÷òî ÷àñòèöà
íàõîäèòñÿ â ïîñòîÿííîì ñèëîâîì ïîëå, ñóùåñòâóþùåì â ïðî ñòðàíñòâå íåçàâèñèìî
îò íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ ÷àñòèöû), òî ðàáîòà ñèë ïîëÿ
(4.5)
A2-1 = - A1-2 .
r r r
Åñëè ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì íåñêîëüêèõ ñèë F1 , F2 , F3 , K, òî, êàê ñëåäóåò èç (4.2) è (4.4):
r r r
r r
r r
r r
r
dA = ( F1 + F2 + F3 + K ) dr = ( F1 , dr ) + ( F2 , dr ) + ( F3 , dr ) + K = dA1 + dA2 + dA3 + K ,(4.6)
93
è
2 r
2 r
r r
r
r
A1-2 = ò ( F1 , dr ) + ò ( F2 , dr ) + ò ( F3 , dr ) + K = A1 + A2 + A3 + K
2
1
1
(4.7)
1
Òàêèì îáðàçîì, ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà (ðàáîòà íà êîíå÷íîì ïóòè) ðåçóëüòèðóþùåé íåñêîëüêèõ ñèë ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ýëåìåíòàðíûõ ðàáîò (ðàáîò íà êîíå÷íîì ïåðåìåùåíèè) ýòèõr ñèë.
Ìîùíîñòüþ N ñèëû F íàçûâàåòñÿ ðàáîòà ñèëû â åäèíèöó âðåìåíè:
r r
dA
dS
(4.8)
N=
=F
cos a = F u cos a = FS u = ( F , u)
dt
dt
(ãäå u = dS dt, ïðè÷åì âåêòîð ñêîðîñòè ÷àñòèöû ñîâïàäàåò ïî íàïðàâëåíèþ ñ åår ïåðåìåùåíèåì), òî åñòü ìîùíîñòü
ñèëû ðàâíà ñêàëÿðíîìó ïðîèçâåäåíèþ ñèëû F íà
r
âåêòîð ñêîðîñòè ÷àñòèöû u.
4.2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
Ïîä
r ñòàr âèâ â ôîðìóëó (4.4) âûðàæåíèå äëÿ rñèëû
r èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà â
âèäå F = d p dt è ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå dr = u dt, ïîëó÷èì
r
2 r
2
2
2
r
r r
r r
æ dp r ö
A1-2 = ò ( F , dr ) = ò çç
, u dt ÷÷ = ò ( d p, u) = ò m (d u, u) .
1
1 è dt
1
r rø 1 r
r
Òàê
êàê
ñêà
ëÿð
íîå
ïðî
èç
âå
äå
íèå
,
ãäå
(
d
u
,
u
)
=
u
(
d
u
)
(
d
u
) u – ïðîåêr öèÿ âåêòîðà
u
r
r
d u íà íàïðàâëåíèå âåêòîðà u, ðàâíàÿ ïðèðàùåíèþ du äëèíû âåêòîðà u, òî
2
2
2
d u2
d ( m u2 ) m u22 m u12
,
(4.9)
A1-2 = ò m u d u = ò m
=ò
=
2
2
2
2
1
1
1
ãäå u1 , u2 – íà÷àëüíàÿ è êîíå÷íàÿ ñêîðîñòü ÷àñòèöû.
Âåëè÷èíà
m u2
(4.10)
T=
2
íàçûâàåòñÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ÷àñòèöû. Èç (4.10) âèäíî, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ïîêîÿùåéñÿ ÷àñòèöû ðàâíà íóëþ. Åñëè ÷àñòèöà ñâîáîäíà èëè äâèæåòñÿ ñ
ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ ïî íåêîòîðîé êðèâîé (ïðè ýòîì óñêîðåíèå ÷àñòèöû îòëè÷íî îò íóëÿ), òî åå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îñòàåòñÿ íåèçìåííîé.
Âûðàæåíèå (4.10) ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç èìïóëüñ ÷àñòèöû:
m 2 u2
p2
.
(4.11)
T=
=
2m
2m
Ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (4.10) âûðàæåíèå (4.9) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
(4.12)
A1-2 = T2 - T1 = DT.
Ñîîòíîøåíèå (4.12) âûðàæàåò òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû: ðàáîòà âñåõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ÷àñòèöå, ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2
ðàâíà ïðèðàùåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû, èëè: èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèè ÷àñòèöû ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé
ñóììå ðàáîò âñåõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ÷àñòèöå, íà ýòîì ïóòè.
Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ëåãêî îáîáùàåòñÿ íà ñëó÷àé ïðîèçâîëüíîé ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ñèñòåìû íàçûâàåòñÿ ñóììà êèíåòè÷åñêèõ ýíåðãèé ÷àñòèö, èç êîòîðûõ ýòà ñèñòåìà ñîñòîèò (èëè íà êîòîðûå åå ìîæíî ìûñëåííî ðàçáèòü):
94
mi u2i
,
(4.13)
i =1
i =1 2
ãäå ui - ñêîðîñòü i-é ÷àñòèöû â âûáðàííîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà.
Äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîæíî
ñôîðìóëèðîâàòü àíàëîãè÷íûì îáðàçîì êàê äëÿ îäíîé ÷àñòèöû. Ïðè ýòîì ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû áóäåò îïðåäåëÿòüñÿ ðàáîòîé êàê âíåøíèõ, òàê è
âíóòðåííèõ ñèë.
N
N
T = S Ti = S
4.3. Ñâÿçü ìåæäó êèíåòè÷åñêèìè ýíåðãèÿìè â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà.
Òåîðåìà Êåíèãà
Êàê ñëåäóåò èç ôîðìóë (4.10) è (4.13), êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû èëè ñèñòåìû ÷àñòèö çàâèñèò îò âûáîðà ñèñòåìû îòñ÷åòà, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ðàññìàòðèâàåòñÿ äâèæåíèå. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ïðåîáðàçîâàíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïðè
ïåðåõîäå îò îäíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà ê äðóãîé. Ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, êîãäà
äâèæåòñÿ îäíà ÷àñòèöà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç T åå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ â êàêîé-ëèáî
¢
ñèñòåìå îòñ÷åòà K, à ÷åðåç T ¢ – â äðóãîé ñèñòåìå
r îòñ÷åòà K , äâèæóùåéñÿ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû K ïîñòóïàòåëüíî ñî ñêîðîñòüþ u0 . Ñêîðîñòè ÷àñòèöû â ñèñòåìå K,
¢
ñèñòåìå K ¢ è ñêîðîñòü ñèñ
r òårìû rK îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû K ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
(ñì. âûðàæåíèå (2.13)) u = u¢ + u0 . Ïîýòîìó
r r
m u20
m u2 m u¢ 2
,
=
+ m ( u¢, u0 ) +
2
2
2
èëè
r r
m u20
(4.14)
T = T¢ +
+ ( p¢, u0 ) ,
2
r
r
ãäå p¢ = m u¢ - èìïóëüñ ÷àñòèöû â ñèñòåìå K ¢.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê è çàïèøåì ñîîòíîøåíèå (4.14) äëÿ
êàæäîé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â âèäå
r r
m u2
Ti = Ti¢ + i 0 + ( p¢i , u0 ) ,
2
à çàòåì ñëîæèì èõ ñ ó÷åòîì (3.1):
r r
M u20
(4.15)
T = T¢ +
+ ( P¢, u0 ) ,
2
ãäå T, T ¢ – êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèèr ñèñòåìû ÷àñòèö â ñèñòåìàõ îòñ÷åòà K è K ¢ ñîîòâåòñòâåííî; M – ìàññà ñèñòåìû; P¢ – èìïóëüñ ñèñòåìû, êîòîðûé ìîæíî ïðåäñòàâèòü
â âèäå (ñì. ôîðìóëó (3.12)):
r
r
P¢ = M u¢c ,
r
ãäå u¢c – ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû îòñ÷åòà K ¢. Òàêèì îáðàçîì,
r r
M u20
(4.16)
T = T¢ +
+ M ( u¢c , u0 ) .
2
r
Åñëè â ñèñòåìå K ¢ öåíòð ìàññ ïîêîèòñÿ, òî u¢c = 0 è
M u20
.
(4.17)
T = T¢ +
2
Ñîîòíîøåíèå (4.17) âûðàæàåò òåîðåìó Êåíèãà: êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ðàâíà ñóììå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âñåé ìàññû ñèñòåìû,
ìûñëåííî ñîñðåäîòî÷åííîé â åå öåíòðå ìàññ è äâèæóùåéñÿ âìåñòå ñ íèì, è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òîé æå ñèñòåìû â åå îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè ïî îòíîøåíèþ ê
ïîñòóïàòåëüíî äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷åòà ñ íà÷àëîì â öåíòðå ìàññ.
95
4.4. Êîíñåðâàòèâíûå ñèëû. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
Åñëè ÷àñòèöà â êàæäîé òî÷êå ïðî ñòðàíñòâà ïîäâåðæåíà âîçäåéñòâèþ äðóãèõ òåë, òî ãîâîðÿò, ÷òî ýòà
÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â ïîëå ñèë (ñèëîâîì ïîëå). Åñëè âî
b
âñåõ òî÷êàõ ïîëÿ ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ÷àñòèöó, îäèc
íàêîâû ïî âåëè÷èíå è íàïðàâëåíèþ, ïîëå íàçûâàåòñÿ
1
îäíîðîäíûì. Ïîëå, îñòàþùååñÿ ïîñòîÿííûì ñî âðåÐèñ. 4.3
ìåíåì, íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì. Äëÿ ñòàöèîíàðíîãî ïîëÿ ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ íàä ÷àñòèöåé ñèëàìè ïîëÿ, çàâèñèò ëèøü îò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû è íå çàâèñèò îò ïóòè, ïî
êîòîðîìó äâèãàëàñü ÷àñòèöà (ðèñ. 4.3):
(4.18)
A1- a - 2 = A1- b - 2 = A1- c - 2 .
Ñèëû, îáëàäàþùèå òàêèì ñâîéñòâîì, íàçûâàþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè èëè ïîòåíöèàëüíûìè.
Èç ýòîãî ñâîéñòâà ñëåäóåò è äðóãîå ýêâèâàëåíòíîå rïåðâîìó óòâåðæäåíèå: åñëè
÷àñòèöà, íà êîòîðóþ äåéñòâóåò êîíñåðâàòèâíàÿ ñèëà Fêîíñ , äâèæåòñÿ ïî ëþáîìó
çàìêíóòîìó ïóòè, òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ïðè ýòîì êîíñåðâàòèâíîé ñèëîé, áóäåò
ðàâíà íóëþ. Ìàòåìàòè÷åñêè ýòî ñâîéñòâî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:
r
r
(4.19)
A = ò ( Fêîíñ , dr ) = ò Fêîíñ S dS = 0,
a
2
S
S
ãäå êðóæîê îçíà÷àåò, ÷òî èíòåãðàë âû÷èñëÿåòñÿ ïî
a
çàìêíóòîìó ïóòè S.
Äëÿ òîãî ÷òîáû äîêàçàòü ýòî ñâîéñòâî êîíñåðâàòèâíûõ ñèë, ðàçîáüåì ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûé ïóòü
b
1– à–2– b–1 íà äâå ÷àñòè 1– à–2 è 2– b–1 (ðèñ. 4.4).
1
Ðàáîòà íà âñåì ïóòè ðàâíà àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ðàÐèñ. 4.4
áîò íà êàæäîì èç ó÷àñòêîâ: A = A1- a - 2 + A2- b -1 . Ïîñêîëüêó ïîëå êîíñåðâàòèâíîé ñèëû ñòàöèîíàðíî, òî A2- b -1 = - A1- b - 2 (ñì. (4.5)). Òàêèì
îáðàçîì, ñ ó÷åòîì (4.18)
A = A1- a - 2 - A1- b - 2 = 0.
Ëþáîå îäíîðîäíîå ñòàöèîíàðíîå ïîëå ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíûì. Ê êîíñåðâàòèâíûì îòíîñÿòñÿ òàêæå è öåíòðàëüíûå ïîëÿ (â òàêèõ ïîëÿõ âåëè÷èíà ñèëû çàâèñèò
ëèøü îò ðàññòîÿíèÿ äî íåêîòîðîé òî÷êè, íàçûâàåìîé öåíòðîì), íàïðèìåð, ãðàâèòàöèîííîå ïîëå è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà. Òàê êàê ðàáîòà ñèë òàêîãî
ïîëÿ íå çàâèñèò îò òðàåêòîðèè äâèæåíèÿ ÷àñòèöû, à îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî êîíå÷íûìè
òî÷êàìè åå ïóòè, òî ýòà âåëè÷èíà èìååò ãëóáîêîå ôèçè÷åñêîå ñîäåðæàíèå. Ñ ïîìîùüþ ðàáîòû ìîæíî îïðåäåëèòü âàæíóþ õàðàêòåðèñòèêó òåëà, íàõîäÿùåãîñÿ â
êîíñåðâàòèâíîì ñèëîâîì ïîëå, êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé.
Ïðèìåì êàêóþ-ëèáî òî÷êó O (ñì. ðèñ. 4.5) ïðî ñòP ( x , y, z )
ðàíñòâà çà íà÷àëî îòñ÷åòà ðàáîòû è ðàññìîòðèì ðàáîòó AO - P , ñîâåðøàåìóþ ñèëàìè ïîëÿ íàä òåëîì ïðè åãî
ïåðåìåùåíèè ïî ïðîèçâîëüíîé òðàåêòîðèè èç òî÷êè O
â íåêîòîðóþ òî÷êó P. Îáîçíà÷èì ýòó ðàáîòó ÷åðåç
O ( x 0 , y0 , z 0 )
( -U ), òî åñòü
(4.20)
AO - P = -U.
Ðèñ. 4.5
2
96
Âåëè÷èíà AP -O = - AO - P (òî åñòü ðàáîòà ñèëîâîãî ïîëÿ ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè P â òî÷êó O) íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ÷àñòèöû â òî÷êå P.
Îíà ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé êîîðäèíàò x, y, z è x 0 , y 0 , z 0 òî÷åê P è O:
(4.21)
U = U ( x , y, z , x 0 , y 0 , z 0 ).
Î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êå O
(4.22)
U ( O ) = 0,
ïîýòîìó òî÷êó O íàçûâàþò íóëåâûì óðîâíåì ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè. Âûáîð íóëåâîãî óðîâíÿ ïðîèçâîëåí – îáû÷íî îí âûáèðàåòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû âûðàæåíèå
äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âûãëÿäåëî íàèáîëåå ïðîñòî.
Íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (4.20) è ðàáîòû ñèëû (4.4),
çíàÿ äåéñòâóþùèå êîíñåðâàòèâíûå ñèëû êàê ôóíêöèè êîîðäèíàò ÷àñòèöû, ìîæíî
âû÷èñëèòü åå ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ:
P r
O r
r
r
(4.23)
U = - AO - P = - ò ( F , dr ) = ò ( F , dr ) .
O
P
2
Î÷åâèäíî, äîëæíî áûòü è äðóãîå ïðàâèëî - êàê
íàéòè ñèëó, äåéñòâóþùóþ íà ÷àñòèöó, åñëè èçâåñòíà
åå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ.
1
Âûðàçèì ðàáîòó A1-2 êîíñåðâàòèâíîé ñèëû ïðè
ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç êàêîé-ëèáî ïðîèçâîëüíîé
O
òî÷êè 1 â òî÷êó 2 (ðèñ. 4.6). Òàê êàê ýòà ðàáîòà íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè, ïåðåìåñòèì ÷àñòèöó èç 1 â 2
Ðèñ. 4.6
÷åðåç íóëåâîé óðîâåíü O. Òîãäà
(4.24)
A1-2 = A1 - O + AO - 2 .
Òàê êàê AO - 2 = - A2-O , òî íà îñíîâàíèè îïðåäåëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
(4.20) ïîëó÷èì
A1-2 = U 1 - U 2 ,
ãäå U 1 , U 2 - çíà÷åíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â òî÷êàõ 1 è 2 ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòà êîíñåðâàòèâíîé ñèëû ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè
1 â òî÷êó 2 ðàâíà óáûëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè:
(4.25)
A1-2 = - (U 2 - U 1 ) = - DU.
Ïóñòü ïîä äåéñòâè
r åì êîíñåðâàòèâíîé ñèëû ÷àñòèröà ñîâåðøèëà áåñêîíå÷íî ìàëîå ïåðåìåùåíèå dr . Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà dA ñèëû F ïðè òàêîì ïåðåìåùåíèè áóäåò ðàâíà
r r
(4.26)
( F , dr ) = - d U,
èëè
(4.27)
Fx d x + F y d y + Fz d z = - d U.
r
Ýòè ðàâåíñòâà ñïðàâåäëèâû, êàêèì áû íè áûëî ïåðåìåùåíèår dr . Ïîýòîìó, åñëè
ôóíêöèÿ rU ( x , y, z ) èçâåñòíà, òî îíà ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåò ñèëó F. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ
âåêòîðà F, äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü åãî ïðîåêöèè íà êîîðäèíàòíûå îñè.
Ïóñòü ÷àñòèöà ïåðåìåùàåòñÿ âäîëü êàêîé-ëèáî îäíîé îñè, íàïðèìåð, îñè OX.
Òîãäà d x = d y = 0 è
(4.28)
Fx d x = - ( dU ) y, z
è, ñëåäîâàòåëüíî,
97
ì dU ü
(4.29)
Fx = - í
ý ,
î d x þ y, z
ãäå èíäåêñû y, z â ïðàâîé ÷àñòè îçíà÷àþò, ÷òî ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû êîîðäèíàòû y è z äîëæíû îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûìè.  ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ U ( x , y, z ) ïðè
äèôôåðåíöèðîâàíèè äîëæíà ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê ôóíêöèÿ îäíîãî àðãóìåíòà x;
îñòàëüíûå äâà àðãóìåíòà y è z ÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè, êîòîðûå ïðè äèôôåðåíöèðîâàíèè ïî x äîëæíû îñòàâàòüñÿ ïîñòîÿííûìè. Âåëè÷èíû, ïîëó÷àþùèåñÿ â ðåçóëüòàòå òàêîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è îáîçíà÷àþòñÿ êàê
¶U
.
(4.30)
Fx = ¶x
Àíàëîãè÷íî äëÿ ïðîåêöèé ñèëû íà îñòàëüíûå äâå îñè:
¶U
¶U
; Fz = .
(4.31)
Fy = ¶y
¶z
Î÷åâèäíî, åñëè ôóíêöèÿ U ( x , y, z ) èçâåñòíà, òî íàõîæäåíèå ñîñòàâëÿþùèõ Fx ,
F y è Fz ñâîäèòñÿ ê âû÷èñëåíèþ åå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ. Ðàçóìååòñÿ, ñêàçàííîå
ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë.
Ôîðìóëû (4.30), (4.31) ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíó âåêòîðíóþ ôîðìóëó:
r
r
r
¶U r ¶U r ¶U r
Fx i + F y j + Fz k = ijk,
¶x
¶y
¶z
èëè
r
r
(4.32)
F = - grad U = - ÑU,
ãäå
r
¶ r ¶ r ¶ r
Ñ=
i+
j+
k
¶x
¶y
¶z
– îïåðàòîð «íàáëà» èëè îïåðàòîð Ãàìèëüòîíà, êîòîðûé, áóäó÷è ïðèìåíåííûì ê ñêàëÿðíîé ôóíêöèè U ( x , y, z ), íàçûâàþò ãðàäèåíòîì. Òàêèì îáðàçîì, êîíñåðâàòèâíàÿ
ñèëà ðàâíà ãðàäèåíòó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, âçÿòîìó ñî çíàêîì ìèíóñ.
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
r
Åñëè ÷àñòèöû, âõîäÿùèå â ñèñòåìó, âçàèìîäåéñòFj -i
âóþò äðóã ñ äðóãîì, ïðè÷åì ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ÿâëÿþòñÿ êîíñåðâàòèâíûìè, òî äëÿ òàêîé ñèñòåìû ìîæmj
r
íî ââåñòè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ
O
U âç . Ýòà ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì:
mi
âûáèðàþòñÿ äâå ïðîèçâîëüíûå ÷àñòèöû ñèñòåìû, ñêàr
Fi - j
æåì mri è m j , âçà
r èìîäåéñòâóþùèå ìåæäó ñîáîé ñ ñèÐèñ. 4.7
ëàìè Fi - j = - F j - i (òðåòèé çàêîí Íüþòîíà). Îäíà èç
÷àñòèö (íàïðèìåð, mi ) ñ÷èòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, à äðóãóþ ïåðåìåùàþò èç èñõîäíîãî
ïîëîæåíèÿ íà âûáðàííûé çàðàíåå ïðîr èçâîëüíûé íóëåâîé óðîâåíü (òî÷êà O íà
ðèñ. 4.7). Ðàáîòà êîíñåðâàòèâíîé ñèëû F j - i ïðè òàêîì ïåðåìåùåíèè è áóäåò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèöû m j ñ ÷àñòèöåé mi , êîòîðóþ îáîçíà÷èì
U j - i . Åñëè ñ÷èròàòü íåïîäâèæíîé ÷àñòèöó m j , à ïåðåìåùàòü â òî÷êó O ÷àñòèöó mi , òî
ðàáîòà ñèëû Fi - j (òî åñòü U i - j ) îêàæåòñÿ ðàâíîé U j - i :
(4.33)
U i - j = U j -i .
98
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ñèñòåìû U âç ðàâíà ñóììå ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé U i - j äëÿ âñåõ ðàçëè÷íûõ âîçìîæíûõ ïàð ÷àñòèö ñèñòåìû:
(4.34)
U âç = U 1-2 + U 1-3 + K + U 2-3 + U 2-4 + K + U 3-4 + U 3-5 + K,
èëè
(4.35)
U âç = 1 2 S S U i - j ,
i¹j
ãäå ìíîæèòåëü { 1 2} ïîÿâëÿåòñÿ èç-çà òîãî, ÷òî ïðè ñóììèðîâàíèè â ïðàâîé ÷àñòè ëþáîå ñëàãàåìîå, íàïðèìåð U 2-3 , èìååò ïàðó U 3-2 , íî íà îñíîâàíèè (4.33) U 2-3 = U 3-2 .
 çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì íåêîòîðûå âàæíûå ïðèìåðû.
Ïðèìåð 1. Âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè ïîëå ñèëû òÿæåñòè ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì è ñòàöèîíàðíûì, òî åñòü êîíñåðâàòèâíûì. Íàéäåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ
÷àñòèöû ìàññîé m, íàõîäÿùåéñÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè.
 ñèñòåìå îòñ÷åòà, ïîêàçàííîé íà ðèñ. 4.8, òî÷êà
Z
P, â êîòîðîé ìû õîòèì íàéòè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåð- z 0
O
ãèþ ÷àñòèöû, èìååò êîîðäèíàòó z. Âûáåðåì íóëåâîé
óðîâåíü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (òî÷êà O) íà âûñîòå,
P
z
A
âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà êîòîðîé ðàâíà z 0 . ×òîáû íàr
mg
éòè ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèè ÷àñòèöû
r
r â òî÷êå P, îïðåäåëèì ðàáîòó ñèëû òÿæåñòè F = m g ïðè ïåðåìåùåÐèñ. 4.8
íèè ÷àñòèöû èç òî÷êè O â òî÷êó P ïî ïóòè O - A - P
(òî÷êà A íàõîäèòñÿ ïîä òî÷êîé O íà òîé æå âûñîòå, ÷òî è òî÷êà P; âûáîð ïóòè èç O â
P ïðîèçâîëåí, òàê êàê ðàáîòà êîíñåðâàòèâíîé ñèëû íå çàâèñèò îò ôîðìû ïóòè):
(4.36)
AO - P = AO - A + AA - P = AO - A = m g ( z 0 - z ) ,
ãäå ó÷òåíî, ÷òî AA - P = 0, òàê êàê íà ïóòè A - P ñèëà òÿæåñòè ïåðïåíäèêóëÿðíà ïåðåìåùåíèþ.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (4.20)
(4.37)
U = - AO - P = m g ( z - z 0 ) .
Èç (4.37) âèäíî, ÷òî U > 0, åñëè ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ âûøå íóëåâîãî óðîâíÿ
( z > z 0 ), è U < 0, åñëè ÷àñòèöà ðàñïîëîæåíà íèæå íóëåâîãî óðîâíÿ. Åñëè íóëåâîé
óðîâåíü O âûáðàòü íà âûñîòå íà÷àëà îòñ÷åòà êîîðäèíàòû z (íå îáÿçàòåëüíî ëåæàùåãî íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè), òî z 0 = 0 è âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (4.37)
ïðèíèìàåò íàèáîëåå ïðîñòîé âèä
(4.38)
U = m g z,
ãäå z âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà ÷àñòèöû, îòñ÷èòûâàåìàÿ ââåðõ (z > 0) èëè âíèç (z < 0)
îò íóëåâîãî óðîâíÿ.
Ïðèìåð 2. Ê êîíñåðâàòèâíûì ñèëàì îòíîñèòñÿ
k
òàêæå ñèëà óïðóãîñòè, âîçíèêàþùàÿ ïðè íå î÷åíü
ñèëüíûõ äåôîðìàöèÿõ (ñæàòèè èëè ðàñòÿæåíèè) òâåðäîãî òåëà èëè ïðóæèíû, êîãäà âûïîëíÿåòñÿ çàêîí
l0
x
Ãóêà. Íàéäåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ðàñòÿíóòîé
r
Fóïð
(èëè ñæàòîé) ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k. Ïóñòü ïðóæèíà,
äëèíà êîòîðîé â íåäåôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè ðàâíà l0 , æåñòêî çàêðåïëåíà çà îäèí èç êîíöîâ è, íàïðèìåð, ñæàòà íà âåëè÷èíó x (ðèñ. 4.9).  ïðóæèíå âîçÐèñ. 4.9
íèêàåò ñèëà óïðóãîñòè
99
Fóïð = k x,
ñòðåìÿùàÿñÿ âåðíóòü ïðóæèíó â íåäåôîðìèðîâàííîå ñîñòîÿíèå.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèíû âûáåðåì â êà÷åñòâå íóëåâîãî óðîâíÿ ñîñòîÿíèå íåäåôîðìèðîâàííîé ïðóæèíû (x = 0). Îïðåäåëèì ðàáîòó ñèëû
óïðóãîñòè ïðè âîçâðàùåíèè ïðóæèíû èç èñõîäíîãî ñîñòîÿíèÿ â íåäåôîðìèðîâàííîå, êîòîðàÿ è áóäåò ðàâíà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèíû. Êàê â ñëó÷àå ñæàòîé,
òàê è â ñëó÷àå ðàñòÿíóòîé ïðóæèíû ýòà ðàáîòà ïîëîæèòåëüíà, à åå âåëè÷èíà
0
0
A ( Fóïð ) = - ò Fóïð d x = - ò k x d x =
x
x
k x2
,
2
ãäå ó÷òåíî, ÷òî ïðèðàùåíèå d x < 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèè ñæàòîé (èëè ðàñòÿíóòîé) ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k
k x2
.
(4.39)
U=
2
Ïðèìåð 3. Íàéäåì ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ãðàâèòàöèîííîãî âçàèìîäåéñòâèÿ
äâóõ ÷àñòèö.
Âñÿêîå òåëî èçìåíÿåò ñâîéñòâà îêðóæàþùåãî åãî ïðî ñòðàíñòâà – ñîçäàåò â íåì
ãðàâèòàöèîííîå ïîëå. Ýòî ïîëå ïðîÿâëÿåò ñåáÿ â òîì, ÷òî ïîìåùåííîå â íåãî òåëî
îêàçûâàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû. Îá èíòåíñèâíîñòè ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ ñóäÿò ïî
âåëè÷èíå ñèëû, äåéñòâóþùåé íà òåëî åäèíè÷
r íîé ìàññû. Âåëè÷èíà
r F
(4.40)
G=
m
íàçûâàåòñÿ íàïðÿæåííîñòüþ ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ.
Èç çàêîíà âñåìèðíîãî òÿãîòåíèÿ
r
mM r
(4.41)
F=-g 3 r
r
ëåãêî âèäåòü, ÷òî íàïðÿæåííîñòü ïîëÿ, ñîçäàâàåìîãî ÷àñòèöåé ìàññîé M, ðàâíà
r
M r
(4.42)
G = - g 3 r,
r
r
ãäå r – ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé îò ÷àñòèöû M â çàäàííóþ òî÷êó ïîëÿ.
Òàê êàê ñèëà (4.41)
r ÿâëÿåòñÿ êîíñåðâàòèâíîé, òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
(4.32). Ïîñêîëüêó ñèëà F ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îäíîé ïåðåìåííîé r, òî
dU
, èëè dU = - F dr.
F=dr
Ñëåäîâàòåëüíî,
¥
¥
mM
mM
,
U = - ò F dr = - ò g 2 dr = - g
r
r
r
r
òî åñòü, åñëè íóëåâîé óðîâåíü âûáðàí íà áåñêîíå÷íîñòè, òî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ
÷àñòèöû m â ãðàâèòàöèîííîì ïîëå ÷àñòèöû M íà ðàññòîÿíèè r îò íåå ðàâíà
mM
.
(4.43)
U = -g
r
Âåëè÷èíó
U
M
(4.44)
j = = -g
m
r
íàçûâàþò ïîòåíöèàëîì ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî
100
r
r
r
r
r
F = m G = -ÑU = -Ñ ( m j ) = - m Ñj,
òî åñòü ïîòåíöèàë ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ è åãî íàïðÿæåííîñòü ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì
r
r
(4.45)
G = -Ñj.
4.5. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè
rÏóñòü
r ìàòår ðèàëüíàÿ òî÷êà ìàññîé m äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì êîíñåðâàòèâíûõ
ñèë F1 , F2 , ..., Fn è êà
r êèõ-ëèáî äðóãèõ íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë, ðàâíîäåéñòâóþùóþ
êîòîðûõ îáîçíà÷èì Fíåêîíñ . Ñîãëàñíî òåîðåìå î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (4.12), ïðèðàùåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2
r
r
r
r
(4.46)
T2 - T1 = A1-2 ( F1 ) + A1-2 ( F2 ) + ... + A1-2 ( Fn ) + A1-2 ( Fíåêîíñ ).
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî (ñì. âûðàæåíèå (4.25))
r
r
r
(4.47)
A1-2 ( Fi ) = U 1 ( Fi ) - U 2 ( Fi )
r
(ãäå U ( Fi ) - ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ïîëå i-é êîíñåðâàòèâíîé ñèëû Fi ), ñîîòíîøåíèå (4.46) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå
r
r
r
r
r
[ T2 + U 2 ( F1 ) + ... + U 2 ( Fn )] - [ T1 + U 1 ( F1 ) + ... + U 1 ( Fn )] = A1-2 ( Fíåêîíñ ) . (4.48)
Âåëè÷èíà, ñòîÿùàÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ â (4.48), íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèåé ìàòåðèàëüíîé òî÷êè E è ñêëàäûâàåòñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
÷àñòèöû è ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé â ïîëå âñåõ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ
íà ÷àñòèöó, òî åñòü
n
r
r
r
r
m u2
(4.49)
E = T + U ( F1 ) + U ( F2 ) + K + U ( Fn ) =
+ S U ( Fi ) .
i =1
2
Òîãäà (4.48) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
r
(4.50)
E2 - E1 = D E = A1-2 ( Fíåêîíñ ) ,
òî åñòü ïðèðàùåíèå ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç
òî÷êè 1 â òî÷êó 2 ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ðàáîò âñåõ íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë,
ïðèëîæåííûõ ê ÷àñòèöå, íà ýòîì ïóòè. Ýòî åñòü òåîðåìà î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé
ýíåðãèè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû: åñëè íà ÷àñòèöó äåéñòâóþò òîëüêî êîíñåðâàòèâíûå ñèëû, òî ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.
Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìîæåò óìåíüøàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì òàêèõ
ñèë, íàïðèìåð, êàê ñèëà òðåíèÿ èëè ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, ðàáîòà êîòîðûõ îòðèöàòåëüíà. Ñèëû òðåíèÿ è ñîïðîòèâëåíèÿ ïîýòîìó íàçûâàþòñÿ äèññèïàòèâíûìè ñèëàìè, òàê
êàê èõ äåéñòâèå ïðèâîäèò ê ïðåâðàùåíèþ ÷àñòè ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû â òåïëîâóþ ýíåðãèþ.
Ðàññìîòðèì ñèñòåìó N ìàòåðèràëüíûõ òî÷åê, íà êàæäóþ èç êîròîðûõ äåéñòâóþò
êàê âíóòðåííèå (êîíñåðâàòèâ
r íûå Fi - j êîíñ è íåêîíñåðrâàòèâíûå Fi - j íåêîíñ ), òàê è
âíåøíèå (êîíñåðâàòèâíûå Fi êîíñ è íåêîíñåðâàòèâíûå Fi íåêîíñ ) ñèëû. Íà îñíîâàíèè
òåîðåìû î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû
(4.51)
A1-2 = T2 - T1 ,
ãäå
N N
N
r
r
r
r
A1-2 = S S {A1-2 ( Fi - j êîíñ ) + A1-2 ( Fi - j íåêîíñ )} + S {A1-2 ( Fi êîíñ ) + A1-2 ( Fi íåêîíñ )}. (4.52)
i =1 j =1
j¹ i
i =1
101
Ðàáîòà âñåõ âíóòðåííèõ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ðàâíà óáûëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö (ñì. (4.35))
N N
r
(4.53)
S S A1-2 ( Fi - j êîíñ ) = U âç 1 - U âç 2 ,
i =1 j =1
j¹ i
ðàáîòà âíåøíèõ êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ðàâíà óáûëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (ñì.
(4.25))
N
r
(4.54)
S A1-2 ( Fi êîíñ ) = U 1 - U 2 ,
i =1
à ðàáîòà âñåõ âíóòðåííèõ è âíåøíèõ íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë
N N
N
r
r
r
S S A1-2 ( Fi - j íåêîíñ ) + S A1-2 ( Fi íåêîíñ ) = A1-2 ( Fíåêîíñ ) .
i =1 j =1
j¹ i
i =1
(4.55)
Ñ ó÷åòîì (4.52) -(4.55) âûðàæåíèå (4.51) ïðè
r ìåò âèä
(4.56)
U âç 1 - U âç 2 + U 1 - U 2 + A1-2 ( Fíåêîíñ ) = T2 - T1 .
Ñóììà ïîëíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ýíåðãèé âñåõ ÷àñòèö, âõîäÿùèõ â ñèñòåìó ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê, è èõ ýíåðãèé âçàèìîäåéñòâèÿ íàçûâàåòñÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé
ýíåðãèåé ñèñòåìû:
(4.57)
E = T + U + U âç .
Ñëåäîâàòåëüíî, (4.56) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
r
(4.58)
E2 - E1 = D E = A1-2 ( Fíåêîíñ ),
òî åñòü ïðèðàùåíèå ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé
ñóììå ðàáîò âñåõ íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë. Ýòî åñòü òåîðåìà î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû. Èç ýòîé òåîðåìû âûòåêàåò çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê: åñëè íà ñèñòåìó íå äåéñòâóþò
íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû, òî ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.
Åñëè ñèñòåìà ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé, òî ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà ñóììå åå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé
âçàèìîäåéñòâèÿ:
(4.59)
E = T + U âç .
Èç (4.58) ñëåäóåò, ÷òî ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû ìîæåò
èçìåíÿòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìåæäó òåëàìè ñèñòåìû ïîìèìî êîíñåðâàòèâíûõ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ äåéñòâóþò åùå è íåêîíñåðâàòèâíûå ñèëû (íàïðèìåð, ñèëû
òðåíèÿ è ñîïðîòèâëåíèÿ). Åñëè âíóòðè çàìêíóòîé ñèñòåìû äåéñòâóþò òîëüêî êîíñåðâàòèâíûå ñèëû, òî åå ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íå èçìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè (êàê è çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà) ÿâëÿåòñÿ ôóíäàìåíòàëüíûì çàêîíîì ïðèðîäû è ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì îäíîðîäíîñòè âðåìåíè: ôèçè÷åñêèå ïðîöåññû, ïðîòåêàþùèå â çàìêíóòîé ñèñòåìå, íå çàâèñÿò îò âûáîðà ìîìåíòà
âðåìåíè, òî åñòü çàìåíà îäíîãî ìîìåíòà âðåìåíè äðóãèì áåç èçìåíåíèÿ êîîðäèíàò è
ñêîðîñòåé ÷àñòèö íå èçìåíÿåò ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà ñèñòåìû.
4.6. Óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû
Ðàññìîòðèì ìàòåðèàëüíóþ òî÷êó, äâèæåíèå êîòîðîé âîçìîæíî, íàïðèìåð,
òîëüêî â íàïðàâëåíèè îñè OX. Ïóñòü ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ â ïîëå êîíñåðâàòèâíîé
ñèëû, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â êîòîðîì âäîëü îñè OX èçìåíÿåòñÿ òàê, êàê ïîêàçàíî
íà ðèñ. 4.10.
102
Èç ñâÿçè ñèëû ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé U
II
I
(4.32) â äàííîì ñëó÷àå ñëåäóåò
E2
dU
E1
.
F=dx
Î÷åâèäíî, ÷òî â òî÷êàõ ñ êîîðäèíàòàìè x 0
X
è x ¢0 ïðîèçâîäíàÿ dU d x = 0 è F = 0. Ïîýòîìó
0 x
x2
x3
x0
x ¢0
1
òî÷êè, â êîòîðûõ dU d x = 0, îïðåäåëÿþò ïîëîÐèñ. 4.10
æåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, ïðè÷åì ðàâíîâåñèå
óñòîé÷èâîå, åñëè d 2U d x 2 > 0 (òî÷êà ìèíèìóìà), è ðàâíîâåñèå íåóñòîé÷èâîå, åñëè
d 2U d x 2 < 0 (òî÷êà ìàêñèìóìà).
Åñëè ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû E1 = T + U èìååò çíà÷åíèå ìåíüøåå U ( x ¢0 ), òî
ïðè íàõîæäåíèè òî÷êè â îáëàñòÿõ I èëè II, îíà íå ñìîæåò ïåðåéòè èç îäíîé îáëàñòè
â äðóãóþ. Ïðè ýòîì åñëè òî÷êà íàõîäèëàñü â îáëàñòè I, òî åå äâèæåíèå áóäåò îãðàíè÷åííî êîîðäèíàòàìè x 1 è x 2 . Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåòñÿ ôèíèòíûì. Åñëè æå òî÷êà
íàõîäèëàñü â îáëàñòè II, òî åå äâèæåíèå îãðàíè÷åííî òîëüêî â îäíó ñòîðîíó (òî÷êà ñ
êîîðäèíàòîé x 3 ). Òàêîå äâèæåíèå íàçûâàåò ñÿ èíôèíèòíûì. Â îáëàñòè x < x 1 è
x 2 < x < x 3 ÷àñòèöà ïðîíèêíóòü íå ìîæåò. Îáëàñòü x 2 < x < x 3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð, ÷åðåç êîòîðûé ÷àñòèöà íå ìîæåò ïðîíèêíóòü, èìåÿ äàííûé çàïàñ ïîëíîé ýíåðãèè. Îáëàñòü x 1 < x < x 2 íàçûâàåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ÿìîé.
Åñëè ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû E2 = T + U > U ( x ¢0 ), òî äâèæåíèå òî÷êè, ïåðâîíà÷àëüíî, íàõîäÿùåéñÿ â ëþáîé èç îáëàñòåé, áóäåò èíôèíèòíûì.
Êðàòêèå âûâîäû
r
r
1. Ýëåìåíòàðíàÿ ðàáîòà ñèëû F íà ïóòè dS = | dr |
r r
dA = ( F , dr ) .
r
2. Ðàáîòà ñèëû F íà êîíå÷íîì ïóòè DS1-2
2 r
r
A1-2 = ò ( F , dr ) .
r
1
3. Ìîùíîñòü ñèëû F
r r
dA
N=
= ( F , u) .
dt
4. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû
m u2
.
T=
2
5. Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû (ñèñòåìû ÷àñòèö): èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû (ñèñòåìû ÷àñòèö) ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç òî÷êè 1 â òî÷êó
2 ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ðàáîò âñåõ ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ÷àñòèöå (ñèñòåìå ÷àñòèö), íà ýòîì ïóòè:
DT = T2 - T1 = A1-2 .
6. Òåîðåìà Êåíèãà: êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê ðàâíà ñóììå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè âñåé ìàññû ñèñòåìû, ìûñëåííî ñîñðåäîòî÷åííîé â åå öåíòðå ìàññ è äâèæóùåéñÿ âìåñòå ñ íèì, è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òîé æå ñèñòåìû â åå
îòíîñèòåëüíîì äâèæåíèè ïî îòíîøåíèþ ê ïîñòóïàòåëüíî äâèæóùåéñÿ ñèñòåìå îòñ÷åòà ñ íà÷àëîì â öåíòðå ìàññ.
103
7. Êîíñåðâàòèâíûìè èëè ïîòåíöèàëüíûìè íàçûâàþòñÿ ñèëû, ðàáîòà êîòîðûõ íàä
÷àñòèöåé çàâèñèò ëèøü îò íà÷àëüíîãî è êîíå÷íîãî ïîëîæåíèÿ ÷àñòèöû è íå çàâèñèò
îò ïóòè, ïî êîòîðîìó äâèãàëàñü ÷àñòèöà. Ðàáîòà êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ïî çàìêíóòîìó
ïóòè ðàâíà íóëþ.
8. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ïîëå êîíñåðâàòèâíîé ñèëû ðàâíà ðàáîòå êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç äàííîé òî÷êè íà íóëåâîé óðîâåíü.
9. Ðàáîòà êîíñåðâàòèâíîé ñèëû ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 ðàâíà óáûëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè:
A1-2 = - (U 2 - U 1 ) = - DU.
10. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â ïîëå ñèëû òÿæåñòè
U = m g z,
ãäå z âåðòèêàëüíàÿ êîîðäèíàòà ÷àñòèöû, îòñ÷èòûâàåìàÿ ââåðõ (z > 0) èëè âíèç (z < 0)
îò íóëåâîãî óðîâíÿ.
11. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ðàñòÿíóòîé (èëè ñæàòîé) ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k
k x2
,
U=
2
ãäå x - âåëè÷èíà äåôîðìàöèè ïðóæèíû.
12. Ñâÿçü êîíñåðâàòèâíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ÷àñòèöû:
r
r
F = - grad U = - ÑU.
13. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû (ñèñòåìû ÷àñòèö):
E = T + U ; E = T + U + U âç .
14. Òåîðåìà î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû (ñèñòåìû ÷àñòèö): ïðèðàùåíèå ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû (ñèñòåìû ÷àñòèö) ïðè åå ïåðåìåùåíèè èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ðàáîò âñåõ íåêîíñåðâàòèâíûõ
ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ÷àñòèöå (ñèñòåìå ÷àñòèö), íà ýòîì ïóòè:
r
D E = E2 - E1 = A1-2 ( Fíåêîíñåðâ ) .
15. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû (ñèñòåìû ÷àñòèö):
åñëè íà ÷àñòèöó (ñèñòåìó ÷àñòèö) äåéñòâóþò òîëüêî êîíñåðâàòèâíûå ñèëû, òî ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû (ñèñòåìû ÷àñòèö) îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé.
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ
1.  êàêèõ ñëó÷àÿõ ðàáîòà ñèëû áóäåò ïîëîæèòåëüíîé? îòðèöàòåëüíîé?
2. Åñëè ðàáîòà ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, ðàâíà íóëþ, òî êàê íàïðàâëåíà
ñèëà ïî îòíîøåíèþ ê íàïðàâëåíèþ äâèæåíèÿ ÷àñòèöû?
3. ×òî òàêîå ìîùíîñòü ñèëû?
4. Ïðè ðàâíîóñêîðåííîì äâèæåíèè ÷àñòèöû áîëüøåé ÿâëÿåòñÿ ìãíîâåííàÿ
ìîùíîñòü ðàâíîäåéñòâóþùåé ñèëû èëè ñðåäíÿÿ ìîùíîñòü?
5. Êàêîâà ñâÿçü êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ÷àñòèöû ñ åå èìïóëüñîì?
6. Êàê ñâÿçàíû êèíåòè÷åñêèå ýíåðãèè ñèñòåìû ÷àñòèö â ïðîèçâîëüíîé èíåðöèàëüíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà è â ñèñòåìå öåíòðà ìàññ?
7. Êàêîâà ñâÿçü ìåæäó êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé ÷àñòèöû è ðàáîòîé ñèë, ïðèëîæåííûõ ê ÷àñòèöå?
104
8. Êàêèå êîíñåðâàòèâíûå ñèëû âû çíàåòå?
9. ×åìó ðàâíà ðàáîòà êîíñåðâàòèâíûõ ñèë ïî çàìêíóòîé òðàåêòîðèè?
10. Êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû è ðàáîòà êîíñåðâàòèâíûõ ñèë?
11. Ñôîðìóëèðóéòå òåîðåìó î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ÷àñòèö.
12. Êàêèå ñèëû íàçûâàþòñÿ äèññèïàòèâíûìè?
13. Ñôîðìóëèðóéòå çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè.
Çàäà÷è
1. Ê ñàíÿì ìàññîé m = 10 êã, ñòîÿùèì íà ãîðèçîíòàëüíîé äîðîãå, ïðèëîæèëè
ñèëó F = 60 Í, íàïðàâëåííóþ ââåðõ ïîä óãëîì a = 30î ê rãîðèçîíòó. Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ ñàíåé î äîðîãó m = 0,2. Îïðåäåëèòå ðàáîòó ñèëû F çà ïåðâûå Dt = 10 ñ.
Ðåøåíèå
r
r
Ðàáîòà ïîñòîr ÿííîé ñèëû F íà ýëåìåíòàð- Y
r
r
N
a
íîì ïóòè dS = | dr | ðàâíà
F
r r
dA = ( F , dr ) = F dS cos a,
a
r
à íà êîíå÷íîì ïóòè DS
Fòð
X
DS
O
A = ò F cos a dS = F cos a DS.
r
0
mg
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ñàíåé
r r
r r r
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹1
m a = F + m g + N + Fòð
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
OX : m a = F cos a - Fòð ; OY : 0 = F sin a - m g + N,
ãäå Fòð = m N. Îòñþäà íàõîäèì:
N = m g - F sin a; m a = F cos a - m ( m g - F sin a );
F (cos a + m sin a ) - m m g
.
(1)
a=
m
Äâèãàÿñü ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì (1), çà âðåìÿ Dt ñàíè ïðîéäóò ïóòü
D S = 1 2 a Dt 2 ,
r
à ñèëà F ñîâåðøèò ðàáîòó
[F (cos a + m sin a ) - m m g] Dt 2
2
1
A = 2 F cos a a Dt = F cos a
» 10 êÄæ.
2m
[F (cos a + m sin a ) - m m g] Dt 2
Îòâåò: A = F cos a
» 10 êÄæ.
2m
2. Öåïî÷êà ìàññîé m = 0,8 êã è äëèíîé l = 1,5 ì ëåæèò íà øåðîõîâàòîì ñòîëå
òàê, ÷òî îäèí åå êîíåö ñâåøèâàåòñÿ ñ êðàÿ ñòîëà. Öåïî÷êà íà÷èíàåò ñàìà ñîñêàëüçûâàòü, êîãäà åå ñâåøèâàþùàÿñÿ ÷àñòü ñîñòàâëÿåò h = 1 3 äëèíû öåïî÷êè. Êàêóþ ðàáîòó
ñîâåðøèò ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà öåïî÷êó, ïðè åå ïîëíîì ñîñêàëüçûâàíèè ñî
ñòîëà?
Ðåøåíèå
Ïðåäñòàâèì öåïî÷êó â âèäå äâóõ ÷àñòåé, îäíà èç êîòîðûõ íàõîäèòñÿ íà ñòîëå, à
âòîðàÿ - ñâåøèâàåòñÿ.
105
r
Fòð x
r
Nx
 ïîëîæåíèè, êîãäà öåïî÷êà ñàìà íà÷èíàåò
ñîñêàëüçûâàòü, íà ñâåøèâàþùèérñÿ êîíåö öåïî÷O
êè äåéñòâóåò ñèëà òÿæåñòè h m g, êîòîðàÿ óðàâr
íîâåøèâàåòñÿ ñèëîé òðåíèÿ, äåéñòâóþùåé íà
mx g
÷àñòü öåïî÷êè, íàõîäÿùóþñÿ íà ñòîëå:
Fòð = m (1 - h) m g,
òî åñòü
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹2
h m g = m (1 - h) m g.
Ñëåäîâàòåëüíî, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ öåïî÷êè î ñòîë
h
.
m=
1- h
Ïðè ñîñêàëüçûâàíèè öåïî÷êè, ìàññû åå ÷àñòåé áóäóò èçìåíÿòüñÿ. Ïðè ýòîì áóäóò èçìåíÿòüñÿ è ñèëû, äåéñòâóþùèå íà ðàññìàòðèâàåìûå ÷àñòè.
Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè íà ñòîëå îñòàåòñÿ ÷àñòü öåïî÷êè äëèíîé x
è ìàññîé mx = ( m l) x. Ñèëà òðåíèÿ, äåéñòâóþùàÿ íà íåå
h m
Fòð x = m N x = m mx g =
x g,
1
h
l
r
íà ýëåìåíòàðíîì ïóòè d x = | dr | ñîâåðøèò ðàáîòó
r
r
h m
dA = ( Fòð , dr ) = Fòð d x cos a = - Fòð d x = x gdx
1
h
l
r
r
(ãäå a = p - óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì ñèëû òðåíèÿ Fòð è ïåðåìåùåíèåì dr ), à íà
âñåì ïóòè DS = (1 - h) l X
(1 - h ) l
h m
mgl
A=g ò x d x = - h (1 - h)
» - 1,3 Í.
1- h l
2
0
mgl
Îòâåò: A = - h (1 - h)
» - 1,3 Í.
2
3. Íà ïîêîÿùóþñÿ ÷àñròèöó ìàññîé rm íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ñèëà, èçìåíÿþùàÿñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = g sin ( w t ) i [Í], ãäå g, w - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå.
Îïðåäåëèòå ðàáîòó ýòîé ñèëû ê ìîìåíòó âðåìåíè t 0 = p ( 2 w) ñ.
Ðåøåíèå
r
r
Ðàáîòà ñèëû F íà ýëåìåíòàðíîì ïóòè dS = | dr | ðàâíà
r r
r r
r r
dA = ( F , dr ) = ( F , u dt ) = ( F , u) dt,
à íà êîíå÷íîì ïóòè DS, ïðîéäåííîì ÷àñòèöåé çà âðåìÿ t 0 ,
t0
r r
A = ò ( F , u) dt.
0
Íà îñíîâàíèè âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà óñêîðåíèå ÷àñòèöû
r
r F g sin ( w t ) r
a= =
i.
m
m
r
r
Ïðåäñòàâèâ óñêîðåíèå â âèäå a = d u dt, ïîëó÷èì
r
r g
d u = sin ( w t ) dt i .
m
106
Îòñþäà íàéäåì çàêîí èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè ÷àñòèöû ñî âðåìåíåì:
u
t
r
r
r
r
g
g
ò d u = ò m sin (w t ) dt i ; u = m w [1 - cos (w t )] i .
0
0
r
Ñëåäîâàòåëüíî, ê ìîìåíòó âðåìåíè t 0 = p ( 2 w) ñèëà F ñîâåðøèò ðàáîòó
t
p (2 w)
p (2 w)
g2 0
g2
g2
A=
sin ( w t ) [1 - cos ( w t )] dt =
sin ( w t ) d t sin 2 ( w t ) dt;
m w 0ò
m w 0ò
2 m w 0ò
g2
g2
g2
g2
g2
o
1 p - cos 0 o ) +
,
A=(cos
(cos
p
cos
0
)
=
=
2
2
2
2
m w2
4 m w2
m
w
2
m
w
2
m
w
r r
ãäå ó÷òåíî, ÷òî ñêàëÿðíîå ïðîèçâåäåíèå ( i , i ) = 1.
g2
Îòâåò: A =
.
2 m w2
4. Êàêîé ìîùíîñòè äâèãàòåëü äîëæåí èìåòü ïîëíîïðèâîäíûé àâòîìîáèëü ìàññîé m = 1,5 ò, ÷òîáû ïðè ïî ñòîÿííîé ñèëå òÿãè çà Dt = 10 ñ íàáðàòü ñêîðîñòü
u = 100 êì/÷?
Ðåøåíèå
Ïðè óñêîðåííîì äâèæåíèè àâòîìîáèëÿ åãî
r
ñêîðîñòü áóäåò íåïðåðûâíî âîçðàñòàòü. Ïðè ýòîì
N
r
r
a
àâòîìîáèëü çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè áóu
äåò ïðîõîäèòü ðàçíûå ïóòè. Ïîñêîëüêó ñèëà òÿãè
r
Fòð X
ïîñòîÿííà, òî ðàáîòà, ñîâåðøàåìàÿ ýòîé ñèëîé, ñ
O
òå÷åíèåì âðåìåíè áóäåò òàêæå âîçðàñòàòü. Ñëår
äîâàòåëüíî, áóäåò âîçðàñòàòü ìîùíîñòü ñèëû
mg
òÿãè. Ïîýòîìó â äàííîé çàäà÷å íàéäåì ìãíîâåííóþ ìîùíîñòü ìîòîðà è ñðåäíþþ ìîùíîñòü çà
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹4
âðåìÿ Dt:
r r
(1)
N = ( Fò , u) = Fò u; < N > = Fò < u >,
ãäå Fò - ñèëà òÿãè ìîòîðà;
r u - ñêîðîñòü àâròîìîáèëÿ ÷åðåç âðåìÿ Dt ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ, ïðè÷åì âåêòîð u ñîíàïðàâëåí ñ Fò ; < u > - ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ çà
âðåìÿ Dt.
Ïðè äâèæåíèè àâòîìîáèëÿ ñ âêëþ÷åííûì äâèãàòåëåì ñèëîé òÿãè ÿâëÿåòñÿ ñèëà
òðåíèÿ, ïðåïÿòñòâóþùàÿ ïðîñêàëüçûâàíèþ âåäóùèõ êîëåñ ïî ïîâåðõíîñòè äîðîãè è
íàïðàâëåííàÿ â ñòîðîíó äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ: Fò = Fòð .
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ àâòîìîáèëÿ
r
r r r
m a = m g + N + Fòð
â ïðîåêöèè íà îñü OX:
(2)
OX : m a = Fòð .
Äâèãàÿñü ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì
(3)
a = Fòð m = Fò m,
çà âðåìÿ Dt àâòîìîáèëü íàáåðåò ñêîðîñòü
(4)
u = a Dt
è ïðîéäåò ïóòü
D S = 1 2 a Dt 2 .
107
Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ çà âðåìÿ Dt
(5)
< u > = D S Dt = 1 2 a Dt.
Ïðåäñòàâèì ìãíîâåííóþ ìîùíîñòü è ñðåäíþþ ìîùíîñòü ìîòîðà (1) ñ ó÷åòîì
(2) -(5):
m u2
m a 2 D t m u2
N = Fò u = m a u =
» 116 êÂò; < N > = Fò < u > =
=
» 58 êÂò.
Dt
2
2 Dt
2
2
mu
mu
Îòâåò: N =
» 116 êÂò; < N > =
» 58 êÂò.
Dt
2 Dt
5. Áðóñêó ìàññîé m, íàõîäÿùåìóñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ñîîáùèëè
ñêîðîñòü u0 . Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ áðóñêà çàâèñèò îò ïðîéäåííîãî ïóòè S ïî çàêîíó:
m = g S, ãäå g - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ìãíîâåííóþ
ìîùíîñòü ñèëû òðåíèÿ.
Ðåøåíèå
Çàïèøåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ áðóñêà
r
Y
r
r r r
r
N
m a = m g + N + Fòð
a
r
r
â ïðîåêöèÿõ íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò:
u
Fòð
X
OX : - m a = - Fòð ; OY : 0 = N - m g.
O
r
Îòñþäà ïîëó÷èì
mg
(1)
- m a = - m m g,
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹5
ãäå ó÷òåíî, ÷òî ñèëà òðåíèÿ Fòð = m N = m m g.
Òàê êàê ïðè äâèæåíèè ñêîðîñòü áðóñêà óìåíüøàåòñÿ, òî çà áåñêîíå÷íî ìàëîå
âðåìÿ dt ïðèðàùåíèå ìîäóëÿ ñêîðîñòè áðóñêà ñîñòàâèò d u, ïðè÷åì d u < 0. Ïðåäñòàâèâ óñêîðåíèå áðóñêà êàê
du
du d x
du
du
a=== -u
= -u
dt
d x dt
dx
dS
(ãäå ó÷òåíî, ÷òî ïðîåêöèÿ ñêîðîñòè íà îñü OX ðàâíà ïðîèçâîäíîé ïî âðåìåíè îò êîîðäèíàòû, à ýëåìåíòàðíîå ïåðåìåùåíèå d x áðóñêà çà âðåìÿ dt ðàâíî ïóòè dS), çàïèøåì óðàâíåíèå (1) â âèäå
du
(2)
mu
= - g S m g.
dS
Ðàçäåëèâ ïåðåìåííûå â (2)
(3)
u d u = - g S g dS
è ïðîèíòåãðèðîâàâ (3), ïîëó÷èì:
u
S
u2 u20
g S2g
2
2
ò u d u = - ò g S g dS; 2 - 2 = - 2 ; u = u0 - g S g.
u0
0
Ïîñêîëüêó ìãíîâåííàÿ ìîùíîñòü ñèëû òðåíèÿ
r r
N = ( Fòð , u) ,
à íàïðàâëåíèÿ ñêîðîñòè áðóñêà è ñèëû òðåíèÿ ïðîòèâîïîëîæíû, òî
N = - Fòð u = - g S m g u20 - g S 2 g .
Èññëåäóåì çàâèñèìîñòü (4) íà ýêñòðåìóì:
u0
dN
d
2
.
= -g mg
S 2 u20 - g S 4 g ; u20 - 2 g S m
g = 0; S m =
dS
dS
2g g
108
(4)
Ïîñêîëüêó â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè Fòð = 0 (òàê êàê S = 0), à â ìîìåíò
îñòàíîâêè áðóñêà u = 0, òî ìîùíîñòü ñèëû òðåíèÿ â íà÷àëå è â êîíöå äâèæåíèÿ
áðóñêà ðàâíà íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè
u0
Sm =
2g g
îíà ìàêñèìàëüíà:
m u20
2
N max = - g S m m g u20 - g S m
g =g g.
2
m u20
Îòâåò: N max = g g.
2
6. Ñàíè äëèíîé l = 0,6 ì, ñîñêîëüçíóâ ñ ãîðêè, äâèæóòñÿ áåç òðåíèÿ ïî çàñíåæåííîé ãîðèçîíòàëüíîé äîðîãå ñî ñêîðîñòüþ u0 = 3 ì/ñ è âûåçæàþò íà àñôàëüò.
Îïðåäåëèòå ïóòü, ïðîéäåííûé ñàíÿìè ïî àñôàëüòó, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ïî àñôàëüòó m = 0,5.
Ðåøåíèå
Ïðè äâèæåíèè ñàíåé ïî àñôàëüòó èõ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ìåíÿòüñÿ îò
T1 = 1 2 m u20 äî T2 = 0. Çàïèøåì òåîðåìó î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñàíåé â âèäå
r
r
DT = T2 - T1 = A ( F ),
r
N
r
ãäå A ( F ) – àëãåáðà
r
r r
r è÷åñêàÿ ñóììà ðàáîò âñåõ ñèë
Nx r
u
(ñèëû òÿæåñòè m
,
ñèëû
íîð
ìàëü
íîé
ðå
àê
öèè
g
N
r
Fòð
Fòð x
X
è ñèëû òðåíèÿ Fròð ), äå
éñòâó
þ
ùèõ
íà
ñàíè.
Ïîñ
r
x
êîëüêó ñèëû m g è N íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóO
r
r
ëÿðíî ïåðåìåùåíèþ ñàíåé, òî èõ ðàáîòà ðàâíà
mx g
m
g
íóëþ. Ñëåäîâàòåëüíî, èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹6
ýíåðãèè ñàíåé áóäåò ðàâíî ðàáîòå ñèëû òðåíèÿ:
r
m u20
(1)
0= A ( Fòð ) .
2
 òå÷åíèå ïðîìåæóòêà âðåìåíè, ïîêà ñàíè ïîëíîñòüþ íå âûåäóò íà àñôàëüò,
ñèëà òðåíèÿ áóäåò ìåíÿòüñÿ, à çàòåì ñòàíåò ïîñòîÿííîé.
Ðàññìîòðèì ïðîìåæóòî÷íîå ïîëîæåíèå ñàíåé, ñîîòâåòñòâóþùåå äëèíå x èõ
÷àñòè, íàõîäÿùåéñÿ íà àñôàëüòå.  ýòîò ìîìåíò íà ñàíè áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà òðåíèÿ
Fòð x = m N x ,
ãäå N x = mx g ; mx – ìàññà ÷àñòè ñàíåé, íàõîäÿùåéñÿ â äàííûé ìîìåíò íà àñôàëüòå:
mx = ( m l ) x.
Ñëåäîâàòåëüíî,
Fòð x = m ( m l ) x g .
r
Êàê âèäèì, âåëè÷èíà ñèëû Fòð x áóäåò ìåíÿòüñÿ â çàâèñèìîñòè
r îò ïðîéäåííîãî
ñàíÿìè ïóòè x ïî ëèíåéíîìó çàêîíó. Ðàáîòà ïåðåìåííîé ñèëû Fòð x áóäåò îòðèöàòåëüíîé (ïîñêîëüêó ñèëà òðåíèÿ íàïðàâëåíà ïðîòèâîïîëîæíî ïåðåìåùåíèþ ñàíåé)
è â èíòåðâàëå 0 £ x £ l ðàâíà
l
l
r
m
mmgl
.
(2)
A ( Fòð x ) = - ò Fòð x d x = - m g ò x d x = l 0
2
0
109
Äàëüíåéøåå äâèæåíèå ñàíåé áóäåò ïðîèñõîäèòü ïðè ïî
r ñòîÿííîé âåëè÷èíå
ñèëû òðåíèÿ Fòð = m N, ãäå N = m g. Ðàáîòà ïîñòîÿííîé ñèëû Fòð íà ïóòè DL
r
(3)
A ( Fòð ) = - Fòð D L = - m m g D L .
Ñ ó÷åòîì (2) è (3) âûðàæåíèå (1) ïðèìåò âèä
m u20
mmgl
=- m m g DL.
2
2
Ñëåäîâàòåëüíî, ïóòü, ïðîéäåííûé ñàíÿìè ïî àñôàëüòó,
u20
l
DS = l + D L =
+ » 1,2 ì.
2m g 2
u20
l
Îòâåò: DS =
+ » 1,2 ì.
2m g 2
r
1 u0
7. Íåáîëüøàÿ ìóôòî÷êà ìàññîé m = 150 ã
r
äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîìó ïðîâîäó, èçîãíóòîìó â ãîF
ðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè â âèäå äóãè îêðóæíîña r
òè ðàäèóñîì R = 50 ñì.  òî÷êå 1 íà ìóôòî÷êó
u
R
íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ïîñòîÿííàÿ ãîðèçîíòàëür
dr
íàÿ ñèëà F = 30 Í. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü ìóôòî÷a
da
êè â òî÷êå 2, åñëè â òî÷êå 1 ñêîðîñòü ìóôòî÷êè
2
ðàâíà u0 = 7,5 ì/ñ.
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹7; âèä ñâåðõó
Ðåøåíèå
Ïðè äâèæåíèè ìóôòî÷êè ñèëà òÿæåñòè è ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè ñî ñòîðîíû
ïðîâîäà áóäóò íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî ïåðåìåùåíèþ (ñèëà òÿæåñòè íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç, à ñèëà ðåàêöèè - âäîëü ðàäèóñà äóãè ê öåíòðó êðèâèçíû). Ïîýòîìó ðàáîòû ýòèõ ñèë
r áóäóò ðàâíû íóëþ.
r
Ðàáîòà ñèëû F íà ýëåìåíòàðíîì ïóòè | dr | ðàâíà
r r
d A = ( F , dr ) = F dr cos a,
ãäå a - óãîë ìåæ
r äó íàïðàâëåíèåì ñèëû è ïåðåìåùåíèåì â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.
Òàê êàê | dr |r= dS, à ïóòü, ïðîéäåííûé ìóôòî÷êîé, ðàâåí äëèíå äóãè dS = R d a,
òî ðàáîòà ñèëû F íà êîíå÷íîì ïóòè
1 2p
A = ò F R cos a d a = F R .
0
r
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàáîòà ñèëû F ïðè ïåðåìåùåíèè ìóôòî÷êè èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2 ðàâíà ïðèðàùåíèþ åå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:
A = DT = T2 - T1 = 1 2 m u2 - 1 2 m u20 .
Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü ìóôòî÷êè â òî÷êå 2
u=
Îòâåò: u =
u20 + 2 A m =
u20 + 2 F R m » 16 ì/ñ.
u20 + 2 F R m » 16 ì/ñ.
8. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íåêîòîðîì ñèëîâîì ïîëå èìååò âèä
U = a x y, ãäå a - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó îò åå êîîðäèíàò, è ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ýòîé ñèëîé,
ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè M 1 { x 1 ; y1} â òî÷êó M 2 { x 2 ; y 2}.
110
Ðåøåíèå
Ñâÿçü ìåæäó êîíñåðâàòèâíîé ñèëîé, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé
r
r
F = - grad U = - ÑU
çàïèøåì â âèäå
r
r
r
¶U r ¶U r ¶U r
Fx i + F y j + Fz k = ijk.
¶x
¶y
¶z
Îòñþäà íàõîäèì ïðîåêöèè âåêòîðà ñèëû íà îñè ñèñòåìû êîîðäèíàò
¶U
¶U
¶U
(1)
Fx = = - a y; F y = = - a x; Fz = =0
¶x
¶y
¶z
è âåëè÷èíó ñèëû
(2)
F = Fx2 + F y2 + Fz2 = a x 2 + y 2 .
Ïîñêîëüêó ðàáîòà êîíñåðâàòèâíîé ñèëû ðàâíà óáûëè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
A1-2 = - DU,
òî ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè M 1 â òî÷êó M 2 ñèëà (2) ñîâåðøèò ðàáîòó
A1-2 = U 1 - U 2 = a ( x 1 y1 - x 2 y 2 ).
Îòâåò: F = a
x 2 + y 2 ; A1-2 = a ( x 1 y1 - x 2 y 2 ).
9. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íåêîòîðîì ñèëîâîì ïîëå èìååò âèä
U = a r 2 - b r, ãäå a, b - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå, r - ðàññòîÿíèå äî öåíòðà ïîëÿ.
Îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå r0 , ñîîòâåòñòâóþùåå ðàâíîâåñíîìó ïîëîæåíèþ ÷àñòèöû
(âûÿñíèâ, óñòîé÷èâî ëè ýòî ïîëîæåíèå), è ìàêñèìàëüíóþ ñèëó ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùóþ íà ÷àñòèöó.
Ðåøåíèå
Ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû çàâèñèò òîëüêî îò ðàññòîÿíèÿ r äî
öåíòðà ïîëÿ, òî ñâÿçü ìåæäó êîíñåðâàòèâíîé ñèëîé, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé
r
r
F = - grad U = -ÑU
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
dU
.
Fr = dr
Ñëåäîâàòåëüíî, çàâèñèìîñòü ïðîåêöèè ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, îò ðàññòîÿíèÿ r äî öåíòðà ïîëÿ
2a b
(1)
Fr = 3 - 2 .
r
r
 ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ Fr ( r0 ) = 0:
2a b
2a
.
- 2 = 0; r0 =
3
r0
r0
b
Òàê êàê ïðè r = r0 âòîðàÿ ïðîèçâîäíàÿ îò ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè
æ d 2U ö
6a 2b
b4
çç 2 ÷÷
= 4 - 3 =
> 0,
r0
8 a3
è dr ø r = r0 r0
òî ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâîå.
111
×òîáû íàéòè ìàêñèìàëüíóþ ñèëó ïðèòÿæåíèÿ, äåéñòâóþùóþ íà ÷àñòèöó, èññëåäóåì çàâèñèìîñòü (1) íà ýêñòðåìóì, è èçîáðàçèì íà ðèñóíêå ïðèìåðíûå ãðàôèêè
U ( r ) è Fr ( r ):
dFr
6a 2b
6a 2b
3 a æ d 2 Fr ö
24 a 6 b 2 b 4
÷
; çç
= - 4 + 3 ; - 4 + 3 = 0; rm =
=
- 4 =
> 0.
2 ÷
5
4
dr
r
r
rm
rm
b
dr
r
r
81
a
m
m
è
ør =r
m
Êàê âèäèì èç ðèñóíêà, ïðè r ® 0 ïîòåíöèU (r )
àëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû è ïðîåêöèÿ ñèëû, äåéñòFr ( r )
âóþùåé íà íåå, ïîëîæèòåëüíû è ñòàíîâÿòñÿ áåñr0 rm
r êîíå÷íî áîëüøèìè, à ïðè r ® ¥ - îòðèöàòåëüíû
0
è ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ. Ïðè ýòîì îáà ãðàôèêà èìåþò ìèíèìóìû â ñîîòâåòñòâóþùèõ òî÷êàõ.
Ïîñêîëüêó ñèëà íàïðàâëåíà â ñòîðîíó óáûÐèñ. ê çàäà÷å ¹9
âàíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, òî ïðè r < r0 íà
÷àñòèöó áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà îòòàëêèâàíèÿ, à ïðè r > r0 - ñèëà ïðèòÿæåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ áóäåò ìàêñèìàëüíîé ïðè r = rm :
2a b
b3
.
Fmax = 3 - 2 =
rm rm
27 a 2
2a
b3
Îòâåò: r0 =
, ðàâíîâåñèå óñòîé÷èâîå; Fmax =
.
b
27 a 2
10. Áðóñîê ìàññîé m = 2 êã ìåäëåííî ïåðåìåñòèëè ïî øåðîõîâàòîé íàêëîííîé
ïëîñêîñòè íà âûñîòó h = 51 ñì, ñîâåðøèâ ïðè ýòîì ðàáîòó A = 16 Äæ. Íà ýòîé âûñîòå áðóñîê îòïóñòèëè è îí ñîñêîëüçíóë âíèç. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü áðóñêà, êîãäà îí
äîñòèã ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ.
Ðåøåíèå
r
Ïðèìåíèì òåîðåìó î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé
r
N
F 2
ýíåðãèè äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ áðóñêà ââåðõ ïî
íàêëîíríîé ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì íåêîòîðîé
r
ñèëû F (èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2):
r
h
Fòð
DE
=
E
E
=
A
(
F
2
1
íåêîíñ ),
r
m
g
U
=
0
a
0
ãäå ðàáîòà íåêîíñåðâàòèâíûõr ñèë ðàâíà àëãåáðà
1
r è÷åñêîé ñóììå ðàáîò ñèëû
r F è ñèëû òðåíèÿ Fòð
(ïîñêîëüêó ðàáîòà ñèëû N ðàâíà íóëþ):
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹10
r
r
A ( Fíåêîíñ ) = A + A ( Fòð ).
Åñëè íóëåâîé óðîâåíü îòñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè U 0 = 0 âûáðàòü ó ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ áðóñêà, òî èçìåíåíèå ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè áðóñêà
DE = E2 - E1 = m g h ,
ãäå E1 = T1 + U 1 = 0 - ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áðóñêà â òî÷êå 1; E2 = T2 + U 2 = m g h ýíåðãèÿ áðóñêà íà âûñîòå h. Ñëåäîâàòåëüíî,
r
(1)
m g h = A + A ( Fòð ) .
Ïðèìåíèì òåîðåìó î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè äëÿ îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ
áðóñêà âíèç èç òî÷êè 2 â òî÷êó 1:
r
DE¢ = E¢2 - E1¢ = A¢ ( Fíåêîíñ ),
112
ãäå E1¢ = T1¢ + U 1¢ = m g h, E¢2 = T2¢ + U ¢2 = 1 2 m u2 - ýíåðãèè
r áðóñêà íà râûñîòå h è â íèæ¢
íåé òî÷êå íàêëîííîér ïëîñêîñòè
r ñîîòâåòñòâåííî; A ( Fíåêîíñ ) = A¢ ( Fòð ) - ðàáîòà ñèëû
òðåíèÿ, ïðè÷åì A¢ ( Fòð ) = A ( Fòð ) . Ñëåäîâàòåëüíî,
r
1 m u2 - m g h = A ( F ) .
2
òð
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (1) ïîëó÷èì:
1 m u2 - m g h = m g h - A;
u = 2 ( 2 g h - A m) » 2 ì/ñ.
2
Îòâåò: u =
2 ( 2 g h - A m) » 2 ì/ñ.
11. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëåæàò äâà áðóñêà m1 = 1 êã è m2 = 2 êã, ñîåäèíåííûõ ìåæäó ñîáîé ëåãêîé ïðóæèíîé. Êàêóþ íàèìåíüøóþ ïîñòîÿííóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñèëó íàäî ïðèëîæèòü ê áðóñêó m1 , ÷òîáû ñäâèíóëñÿ áðóñîê m2 ? Êîýôôèöèåíò
òðåíèÿ áðóñêîâ î ïîâåðõíîñòü ñòîëà îäèíàêîâ è ðàâåí m = 0,2.  íà÷àëüíûé ìîìåíò
ïðóæèíà íåäåôîðìèðîâàíà.
Ðåøåíèå
r
r
Ïðè äâèæåíèè âïðàâî áðóñêà m1 ïðóæèíà
r
r
N
N
1
2
áóäåò ñæèìàòüñÿ, è íà áðóñêè áóäóò äåéñòâîâàòü
¢
Fóïð
Fóïð
r
ñèëû óïðóãîñòè
F
¢ = k Dx ,
Fóïð = Fóïð
r
r
ãäå k - êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè ïðóæèíû; Dx - åå
F
F
r
r
òð
1
òð 2
äåôîðìàöèÿ, ðàâíàÿ ðàññòîÿíèþ, ïðîéäåííîìó
m1 g
m2 g
áðóñêîì m1 (ïðè óñëîâèè, ÷òî áðóñîê m2 ïîêîèòÐèñ. ê çàäà÷å ¹11
ñÿ). Êðîìå ñèëû óïðóãîñòè íà ïåðâûé áðóñîê â
ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâ
r ëåíèè äåéñòâóåò ñèëà òðåíèÿ Fòð 1 = m N 1 = m m1 g, à íà âòîðîé
¢ .
– ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ Fòð 2 , ïðè÷åì Fòð 2 = Fóïð
Ïîñêîëüêó ïðè äâèæåíèè ïåðâîãî áðóñêà ïðóæèíà ñæèìàåòñÿ è ñèëà óïðóãîñòè
âîçðàñòàåò, òî äî íåêîòîðîãî ìîìåíòà ñèëà F > Fróïð è áðóñîê ìàññîé m1 áóäåò äâèãàòüñÿ óñêîðåííî, à ïîñëå ýòîãî âåëè÷èíà ñèëû F ñòàíåò ìåíüøå ñèëû óïðóãîñòè è
áðóñîê ñòàíåò äâèãàòüñÿ çàìåäëåííî äî ïîëíîé îñòàíîâêè. Â ýòîò ìîìåíò äåôîðìàöèÿ ïðóæèíû è ñèëà óïðóãîñòè ñòàíóò ìàêñèìàëüíûìè.
r
Î÷åâèäíî, ÷òî áðóñîê m2 ñäâèíåòñÿ ñ ìåñòà, åñëè ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ Fòð 2 äîñòèãíåò ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ Fòð 2 = m N 2 = m m2 g. Ñëåäîâàòåëüíî, óñëîâèå íà÷àëà
äâèæåíèÿ âòîðîãî áðóñêà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
(1)
m m2 g = k Dx max,
ãäå Dx max - ïóòü, ïðîéäåííûé äî îñòàíîâêè ïåðâûì áðóñêîì.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïóòè Dx max âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé
ýíåðãèè
r
DE = A ( Fíåêîíñ ),
ãäå ðàáîòà íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë
r
r
r
r
A ( Fíåêîíñ ) = A ( F ) + A ( N 1 ) + A ( Fòð 1 ) = F Dx max - Fòð 1 Dx max = F Dx max - m m1 g Dx max.
Ïîñêîëüêó â íà÷àëüíîì è êîíå÷íîì ïîëîæåíèÿõ òåë èõ êèíåòè÷åñêèå è ïîòåíöèàëüíûå ýíåðãèè ðàâíû íóëþ, òî èçìåíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû DE
ðàâíî èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèíû:
2
.
DE = 1 2 k Dx max
113
Ñëåäîâàòåëüíî,
1 k Dx 2
èëè Dx max = 2 ( F - m m1 g ) k.
2
max = F Dx max - m m1 g Dx max,
Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå Dx max èç (2) â (1), ïîëó÷èì:
m m2 g = 2 ( F - m m1 g ); F = m g ( m1 + 1 2 m2 ) » 4 Í.
(2)
Îòâåò: F = m g ( m1 + 1 2 m2 ) » 4 Í.
12. Øàðèê ñêîëüçèò áåç òðåíèÿ ïî âíóòðåííåé ïîâåðõíîñòè æåëîáà, âûïîëíåííîãî â âèäå äâóõ ñîïðÿæåííûõ â òî÷êå A îêðóæíîñòåé ðàäèóñàìè R è 1 2 R < r < R.
Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü øàðèêà â íàèâûñøåé òî÷êå åãî òðàåêòîðèè, åñëè ïåðâîíà÷àëüíî øàðèê íàõîäèëñÿ íà âûñîòå h = R îò òî÷êè ñîïðÿæåíèÿ A.
Ðåøåíèå
Ïðè ñêîëü æåíèè øàðè êà
r íà íåãî áóäóò
äåéñòâîâàòü
r ñèëà òÿæåñòè mrg è ñèëà ðåàêöèè
r
æå
ëî
áà
Ïîñêîëüêó ñèëà N ïåðïåíäèêóëÿðíà
N.
B
uM M
a D
òðàåêòîðèè øàðèêà, òî îíà ðàáîòû íå ñîâåðøàa
åò. Ïîýòîìó ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ øàðèr a C
X
N m gr
êà áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ.
h
r
H
Åñëè íóëåâîé óðîâåíü îòñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âûáðàòü íà óðîâíå òî÷êè ñîïðÿæåA
U0 =0
íèÿ A, òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò (â òî÷êå B ) øàðèê
áóäåò èìåòü ýíåðãèþ
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹12
EB = m g h = m g R .
Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíî âñå ýòàïû äâèæåíèÿ øàðèêà.
Ñîñêîëüçíóâ èç òî÷êè B â òî÷êó A, øàðèê ïðèîáðåòåò êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ
TA = EB .  òî÷êå C (ðàñïîëîæåííîé íà ãîðèçîíòàëüíîì äèàìåòðå îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r) ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ øàðèêà U C = m g r < E . Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèè äîñòàòî÷íî, ÷òîáû øàðèê ñìîã äîñòè÷ü òî÷êè Ñ, â êîòîðîé êðîìå ïîòåíöèàëüíîé îí áóäåò èìåòü òàêæå êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî òî÷êè K øàðèê íå äîñòèãíåò, ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ â óêàçàííîé òî÷êå U Ê = m g 2 r > EB . Ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî â íåêîòîðîé òî÷êå D, ðàñïîëîæåííîé ìåæäó òî÷êàìè C è K, øàðèê
îòîðâåò
r ñÿ îò ïîâåðõíîñòè æåëîáà. Ïðè÷åì, â ìîìåíò îòðûâà øàðèê áóäåò èìåòü ñêîðîñòü uD , íàïðàâëåííóþ ïî êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè æåëîáà.
Çàïèñàâ çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè â âèäå
EB = ED , èëè m g R = m g H + 1 2 m u2D
(ãäå H = r (1 + cos a ) - âûñîòà òî÷êè îòðûâà D îòíîñèòåëüíî òî÷êè ñîïðÿæåíèÿ A
îêðóæíîñòåé), ïîëó÷èì
(1)
u2D = 2 g [R - r (1 + cos a)].
Ïðè äâèæåíèè ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì r â òî÷êå D øàðèê ïðèîáðåòåò íîðìàëüíîå óñêîðåíèå a n = u2D r. Çàïèñàâ óðàâíåíèå äâèæåíèÿ øàðèêà â ïðîåêöèè íà
îñü OX
m u2D
= m g cos a + N
r
â ìîìåíò îòðûâà (N = 0), ïîëó÷èì
(2)
u2D = g r cos a.
R
114
K
r
uD
Ïðèðàâíÿâ ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé (1) è (2), íàõîäèì:
(3)
2 g [R - r (1 + cos a )] = g r cos a; cos a = 2 3 ( R - r ) r.
Ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ cos a èç (3) â (2), íàéäåì ñêîðîñòü øàðèêà â ìîìåíò
îòðûâà îò ïîâåðõíîñòè æåëîáà:
uD = 2 3 g ( R - r ).
Ïîñëå îòðûâà îò ïîâåðõíîñòè æåëîáà øàðèê áóäåò äâèãàòüñÿ ïî ïàðàáîëå ïî
çàêîíàì
r äâèæåíèÿ òåëà, áðîøåííîãî âáëèçè ïîâåðõíîñòè çåìëè ñ íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ uD ïîä óãëîì a ê ãîðèçîíòó. Ïðè òàêîì äâèæåíèè ñêîðîñòü â âåðõíåé òî÷êå M
òðàåêòîðèè
uM = uD cos a .
Ñëåäîâàòåëüíî,
2 (R - r) 2
uM =
g (R - r).
3r
3
2 (R - r) 2
Îòâåò: uM =
g (R - r).
3r
3
13. Ãðóç ìàññîé m = 100 ã ïîäâåøåí ê ëåãêîé ïðóæèíå æåñòêîñòüþ k = 100 Í/ì,
ïðèêðåïëåííîé ê ïîòîëêó.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ãðóç óäåðæèâàþò òàê, ÷òî ïðóæèíà ðàñïîëîæåíà âåðòèêàëüíî è íåäåôîðìèðîâàíà. ×åìó áóäåò ðàâíà ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü
ãðóçà, åñëè åãî îòïóñòèòü? Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíîå ðàñòÿæåíèå ïðóæèíû ïðè äâèæåíèè ãðóçà.
Ðåøåíèå
Ïðè äâèæåíèè
r íà ãðóç áóäóò äåéñòâîâàòü
ñèëà
òÿ
æåñ
òè
è ñèëà óïðóãîñòè ïðóæèíû
m
g
r
r
F
r
óïð 1
Fóïð .  íà÷àëå äâèæåíèÿ ñèëà òÿæåñòè ïî âåëèF
óïð 2
÷èíå áóäåò áîëüøå ñèëû óïðóãîñòè ïðóæèíû è Dx 1
U0 = 0
Dx
2
óñêîðåíèå ãðóçà áóäåò íàïðàâëåíî âíèç. Ïîñëå
U ¢0 = 0
ïðîõîæäåíèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèëà óïðór
ãîñòè ñòàíåò áîëüøå ñèëû òÿæåñòè è ñêîðîñòü
mg
ãðóçà áóäåò óìåíüøàòüñÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ñêîr
m
g
ðîñòü ãðóçà áóäåò ìàêñèìàëüíîé â ìîìåíò ïðîÐèñ. ê çàäà÷å ¹13
õîæäåíèÿ èì ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, â êîòîðîì
(1)
m g = Fóïð 1 , èëè m g = k Dx 1 ,
ãäå Dx 1 – ðàñòÿæåíèå ïðóæèíû â ýòîò ìîìåíò.
Ïîñêîëüêó íà ãðóç äåéñòâóþò òîëüêî êîíñåðâàòèâíûå ñèëû, òî ìåõàíè÷åñêàÿ
ýíåðãèÿ ñèñòåìû áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ. Åñëè âûáðàòü íóëåâîé óðîâåíü îòñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè U 0 = 0 íà óðîâíå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ãðóçà, òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãðóçà
E1 = U 1 = m g Dx 1 ,
à ó íóëåâîãî óðîâíÿ îòñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè – ñóììå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè
ãðóçà è ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèíû:
E2 = T2 + U 2 = 1 2 m u2max + 1 2 k Dx 12 ,
ãäå umax – ìàêñèìàëüíàÿ ñêîðîñòü ãðóçà.
115
Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû ïðèìåò âèä
(2)
E1 = E2 ; m g Dx 1 = 1 2 m u2max + 1 2 k Dx 12 .
Èç (2) ñ ó÷åòîì (1) ïîëó÷èì:
Dx 1 = m g k; umax = g m k » 0,3 ì/ñ.
Ðàññìîòðèì âòîðóþ ÷àñòü çàäà÷è, è íàéäåì ìàêñèìàëüíîå ðàñòÿæåíèå ïðóæèíû ïðè äâèæåíèè ãðóçà. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðóæèíà áóäåò ìàêñèìàëüíî ðàñòÿíóòà, êîãäà ãðóç îêàæåòñÿ â êðàéíåì íèæíåì ïîëîæåíèè. Åñëè íóëåâîé óðîâåíü îòñ÷åòà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè U ¢0 = 0 âûáðàòü íà óðîâíå ñàìîãî íèæíåãî ïîëîæåíèÿ ãðóçà, òî
â íà÷àëüíûé ìîìåíò ýíåðãèÿ ñèñòåìû ðàâíà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ãðóçà
E1¢ = U 1¢ = m g Dx 2 ,
à ó íóëåâîãî óðîâíÿ îòñ÷åòà – ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðóæèíû:
E¢2 = U ¢2 = 1 2 k Dx 22 .
Íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè:
E1¢ = E2¢ ; m g Dx 2 = 1 2 k Dx 22 ; Dx max = Dx 2 = 2 m g k » 2 ñì.
Îòâåò: umax = g
m k » 0,3 ì/ñ; Dx max = 2 m g k » 2 ñì.
14. Áðóñêó, ëåæàùåìó íà äëèííîé ãîðèçîíòàëüíîé äîñêå, ñîîáùèëè ñêîðîñòü
u0 = 3 ì/ñ, íàïðàâëåííóþ âäîëü äîñêè. Îïðåäåëèòå ñóììàðíóþ ðàáîòó ñèë òðåíèÿ ê
ìîìåíòó, êîãäà áðóñîê ïåðåñòàíåò ñêîëüçèòü ïî äîñêå. Äîñêà ïî ïîâåðõíîñòè ñòîëà
ìîæåò äâèãàòüñÿ áåç òðåíèÿ. Ìàññà áðóñêà m = 600 ã, ìàññà äîñêè M = 1 êã.
r
Ðåøåíèå
r
N1
r
r
N2
Åñëè áðóñêó ñîîáùèòü ñêîðîñòü u0 , íàïðàâu
r
ëåííóþ âäîëü äîñêè, òî îí áóäåò óâëåêàòü çà ñîr
Fòð
¢
Fòð
áîé äîñêó çà ñ÷åò ñèëû òðåíèÿ, äåéñòâó
r þùåé
X ìåæäó íèìè. Äåéñòâèå ñèëû òðåíèÿ F ïðèâåO
òð
r
r
äåò
ê
ïðå
âðà
ùå
íèþ
÷àñ
òè
ìå
õà
íè
÷åñ
êîé
ýíåðãèè
mg
N 1¢
r
ñèñ
r òåìûr â òåïëîòó, à çà ñ÷åò ðàáîòû ñèëû òðåíèÿ
Mg
¢ = - Fòð äîñêà íà÷íåò äâèãàòüñÿ, òî åñòü ïðèFòð
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹14
îáðåòåò ìåõàíè÷åñêóþ ýíåðãèþ.
Åñëè ê íåêîòîðîìó ìîìåíòó âðåìåíè äîñêà ïðîéäåò ïóòü DS, òî áðóñîê ïðîéäåò ïóòü ( D S + Dl ), ãäå Dl - ðàññòîÿíèå, ïðîéäåííîå áðóñêîì ïî äîñêå. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàáîòû ñèë òðåíèÿ
r
r
¢ ) = Fòð
¢ D S.
A ( Fòð ) = - Fòð ( D S + Dl);
A ( Fòð
r r
¢
Ïîñ
êîëü
êó
,
à
ðà
áî
òû
ñèë
íîð
ìàëü
íîé
ðå
àê
öèè
F
=
F
N
òð
òð
1 , N 2 è ñèëû äàâëår
íèÿ N 1¢ ðàâíû íóëþ (ýòè ñèëû ïåðïåíäèêóëÿðíû òðàåêòîðèÿì òåë), òî ñóììàðíàÿ ðàáîòà íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ñèñòåìó,
r
r
r
¢ ) = - Fòð Dl.
(1)
A ( Fíåêîíñ ) = A ( Fòð ) + A ( Fòð
Òàê êàê ïðè äâèæåíèè òåë èõ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ íå ìåíÿëàñü, òî èçìåíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû «áðóñîê - äîñêà» ðàâíî èçìåíåíèþ åå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:
(2)
DE = DT = ( 1 2 m u12 + 1 2 M u22 ) - 1 2 m u20 ,
116
ãäå u1 , u2 - ñêîðîñòè ñîîòâåòñòâåííî áðóñêà è äîñêè â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè.
Ñ ó÷åòîì (1) -(2) òåîðåìó î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè
r
DE = A ( Fíåêîíñ )
çàïèøåì â âèäå
1 m u2 + 1 M u2 - 1 m u2 = - F
(3)
2
2
2
1
2
0
òð Dl .
Òàê êàê ïðè äâèæåíèè áðóñêà ïî äîñ
r êå âñå âíåøíèå ñèëû (ñèëû òÿæåñòè áðóñêà è äîñêè è ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè N 2 ) áóäóò íàïðàâëåíû ïåðïåíäèêóëÿðíî ïåðåìåùåíèþ òåë, òî â íàïðàâëåíèè îñè OX ñèñòåìà áóäåò çàìêíóòîé, è ïðîåêöèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû íà îñü OX íå áóäåò ìåíÿòüñÿ ñ òå÷åíèåì âðåìåíè:
r
r
r
r
r
( D p ) x = [( p 3 + p 4 ) - ( p1 + p 2 )] x = 0,
r
r r
r
r r
r
ãäå p1 = m u0 , p 2 = 0 - íà÷àëüíûå èìïóëüñû áðóñêà è äîñêè; p 3 = m u1 , p 4 = M u2 êîíå÷íûå èìïóëüñû òåë. Ñëåäîâàòåëüíî,
(4)
m u1 + M u2 - m u0 = 0.
 ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà áðóñîê ïåðåñòàíåò ñêîëüçèòü ïî äîñêå, ñêîðîñòè áðóñêà è äîñêè ñòàíóò îäèíàêîâûìè, è óðàâíåíèÿ (3) -(4) ïðèìóò âèä
1 ( m + M ) u2 - 1 m u2 = - F
( m + M ) u - m u0 = 0.
2
2
0
òð Dl ;
Îòñþäà íàõîäèì:
m u0
m M u20
;
u=
Aòð = - Fòð Dl = » - 1,7 Äæ.
m+M
2 (m + M)
m M u20
Îòâåò: Aòð = » - 1,7 Äæ.
2 (m + M)
15. Íåáîëüøàÿ øàéáà ñîñêàëüçûâàåò áåç òðåíèÿ ñ êëèíà, ëåæàùåãî íà ãëàäêîì
ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå. Íàêëîííàÿ ãðàíü êëèíà ïëàâíî ïåðåõîäèò â ãîðèçîíòàëüíóþ
ïîâåðõíîñòü. Ìàññà øàéáû m = 50 ã, ìàññà êëèíà M = 1 êã.  íà÷àëå øàéáà íàõîäèòñÿ íà âûñîòå h = 20 ñì îòíîñèòåëüíî ñòîëà. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü øàéáû, êîãäà îíà
ñîñêîëüçíåò ñ êëèíà.
Ðåøåíèå
Ïðè äâèæåíèè ïî ïîâåðõíîñòè êëèíà íà
r
m
N
øàéáó äåéñòâóþò äâå rñèëû: ñèëà òÿæåñòè è ñèëà
r
r
íîðìàëüíîé ðåàêöèè N.
r Ïðèr ýòîì øàéáà äåéñòuîòí
¢
u
r
âóåò íà êëèí ñ ñèëîé N ¢ = - N, êîòîðàÿ áóäåò òîërM
u
N¢
êàòü êëèí âïðàâî. Â ðåçóëüòàòå ýòîãî êëèí íà- O
X
÷íåò äâèãàòüñÿ.
Ïðè äâèæåíèè ñèñòåìû íà øàéáó è êëèí
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹15
äåéñòâóþò âíåøíèå ñèëû (ñèëû òÿæåñòè øàéáû
è êëèíà è ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè ñòîëà), íàïðàâëåííûå âåðòèêàëüíî, è â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñèñòåìà «øàéáà - êëèí» áóäåò çàìêíóòîé. Ñëåäîâàòåëüíî,
ïðîåêöèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû íà îñü OX íå èçìåíèòñÿ:
r
r
(1)
( p1 ) x = ( p 2 ) x ; 0 = - m u + M u¢,
r
r r
r r r
ãäå p1 = m u; p 2 = M u¢; u, u¢ – ñêîðîñòü øàéáû è êëèíà â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà øàéáà ñîñêîëüçíåò ñ êëèíà.
117
Îáðàòèìñÿ òåïåðü ê òåîðåìå î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû:
r
DE = A ( Fíåêîíñ ) .
r r
Ïîñêîëüêó ïðè äâèæåíèè òåë ïðîåêöèè íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë N è N ¢ íà ñîîòâåòñòâóþùèå íàïðàâëåíèÿ ïåðåìåùåíèÿ øàéáû è êëèíà íå ðàâíû íóëþ, òî èçìåíåíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû
DE = E2 - E1 = ( 1 2 m u2 + 1 2 M u¢ 2 ) - m g h
2
2
1
1
(ãäå rE1 = U
r 1 = m g h; E2 = T2 = 2 m u + 2 M u¢ ) ðàâíî àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ðàáîò
ñèë N è N ¢:
r
r
DE = A ( N ) + A ( N ¢) .
r
Ïðè ñîñêàëüçûâàíèè ñ êëèíà ñêîðîñòü øàéáû urø â ïðîèçâîëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ìîæ
r íî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû åå ñêîðîñòè uîòí îòíîñèòåëüíî êëèíà è ñêîðîñòè uêë êëèíà:
r
r
r
uø = uîòí + uêë .
Çà áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ dt ïåðåìåùåíèÿ øàéáû è êëèíà áóäóò ðàâíû
r
r
r
r
r
r
drø = uø dt = ( uîòí + uêë ) dt; drêë = uêë dt
r
r
ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ýëåìåíòàðíûå ðàáîòû ñèë N è N ¢
r
r r
r r
r r
r
r
r r
r
dA ( N ) = ( N , d rø ) = ( N , uîòí ) dt + ( N , uêë ) dt; dA ( N ¢) = ( N ¢, d rêë ) = ( N ¢, uêë ) dt,
à ñóììà ýòèõ ðàáîò
r
r
r r
r r r
dA( N ) + dA( N ¢) = ( N , uîòí ) dt + ( N + N ¢, uêë ) dt.
r
r
Ïîñêîëüêó ñèëà
N
r r ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêîðîñòè uîòí , à ïî òðåòüåìó çàêîíó Íüþòîíà ñóììà ñèë N + N ¢ = 0, òî çà áåñêîíå÷íî ìàëîå âðåìÿ dt
r
r
dA ( N ) + dA ( N ¢) = 0.
Ñëåäîâàòåëüíî, çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ øàéáû ïî êëèíó
r
r
A ( N ) + A ( N ¢) = 0
è ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû òåë áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ:
1 m u2 + 1 M u¢ 2 - m g h = 0.
DE = 0;
2
2
Îòñþäà ñ ó÷åòîì (1) íàõîäèì:
mu
u2 m u2
2M g h
;
u¢ =
» 1,9 ì/ñ.
+
- g h = 0; u =
M
2
2M
M +m
2M g h
Îòâåò: u =
» 1,9 ì/ñ.
M +m
16. Äâà áðóñêà m1 = 1 êã è m2 = 4 êã ñîåäèíèëè ìåæäó ñîáîé ëåãêîé ïðóæèíîé
æåñòêîñòüþ k = 100 Í/ì è ïîëîæèëè íà ãëàäêèé ãîðèçîíòàëüíûé ñòîë òàê, ÷òîáû
áðóñîê m1 êàñàëñÿ âåðòèêàëüíîé ñòåíû. Ïðóæèíó ñæàëè íà Dx = 4 ñì è ïî ñòàâèëè
óïîð, íå äàþùèé áðóñêó m2 äâèãàòüñÿ. Çàòåì óïîð óáðàëè. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü áðóñêà m1 .
Ðåøåíèå
Åñëè óáðàòü óïîð, áðóñîê m2 ïîä äåéñòâèåì ñèëû óïðóãîñòè ïðóæèíû íà÷íåò
äâèãàòüñÿ. Äî ìîìåíòà âðåìåíè, ïîêà ïðóæèíà íå ñòàíåò íåäåôîðìèðîâàííîé, áðóñîê m1 áóäåò ïðèæàò ê ñòåíå. Â ïîëîæå
r íèè, êîãäà ïðóæèíà ñòàíåò íåäåôîðìèðîâàííîé, áðóñîê m2 ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü u. Äâèãàÿñü ïî èíåðöèè, áðóñîê m2 áóäåò ðàñòÿãèâàòü ïðóæèíó, ÷òî âûçîâåò äâèæåíèå áðóñêà m1 .
118
r
r
m1 F
¢ 1
F
óïð 1 óïð
r
N
Òàê
r êàê òðåíèÿ íåò, òî âåëè÷èíó ñêîðîñòè u áðóñêà m2 â ïîëîæåíèè, êîãäà ïðóm2
æèíà ñòàíåò íåäå ôîðìèðîâàííîé, ìîæíî
íàéòè íà îñíîâàíèè çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ìåõà íè ÷åñ êîé ýíåð ãèè: íà÷àëü íàÿ ýíåð ãèÿ
r
ïðóæèíû U 0 = 1 2 k Dx 2 ïåðåéäåò â êèíåòèu
m2
m1
÷åñêóþ ýíåðãèþ áðóñêà T = 1 2 m2 u2 :
X
1 k D x 2 = 1 m u2 ;
u = Dx k m2 . (1) O
r
r
2
2
2
r
r
u2
u1
Ïðè äâèæåíèè îáåèõ áðóñêîâ ýíåðãèÿ
¢ 2
Fóïð
Fóïð 2
ñèñòåìû áóäåò ñî ñòîÿòü èç êèíåòè÷åñêèõ
m1
m2
ýíåðãèé áðóñêîâ T1 + T2 = 1 2 m1 u12 + 1 2 m2 u22 è
2
ýíåðãèè ïðóæèíû U = 1 2 k x , ãäå u1 , u2 , x –
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹16
ñêîðîñòè áðóñêîâ è âåëè÷èíà äåôîðìàöèè
ïðóæèíû â ðàññìàòðèâàåìûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ñèñòåìû áóäåò ðàâíà êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè T = 1 2 m2 u2 áðóñêà m2 :
1 m u2 + 1 m u2 + 1 k x 2 = 1 m u2 .
(2)
2
2
2
2
1 1
2 2
2
Ïîñëå òîãî, êàê áðóñîê m1 íà÷íåò äâèãàòüñÿ, ñóììà âíåøíèõ ñèë, äåéñòâóþùèõ
íà ñèñòåìó, áóäåò ðàâíà íóëþ (ñèë òÿæåñòè áðóñêîâ è ñèë íîðìàëüíîé ðåàêöèè ñòîëà), è ïðîåêöèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû íà îñü OX ìåíÿòüñÿ íå áóäåò:
r
r
r
(3)
( p ) x = ( p1 + p 2 ) x ; m2 u = m1 u1 + m2 u2 ,
r
r r
r r
r
ãäå p = m2 u; p1 = m1 u1 ; p 2 = m2 u2 .
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ (2) -(3) ñ ó÷åòîì (1):
(4)
m1 u12 + m2 u22 + 1 2 k x 2 = m2 k Dx 2 ; Dx k m2 = m1 u1 + m2 u2 .
Ïîñêîëüêó ñêîðîñòè òåë äîñòèãàþò ýêñòðåìàëüíûõ çíà÷åíèé (ñêîðîñòü îäíîãî
òåëà äîñòèãàåò ìàêñèìóìà, à âòîðîãî - ìèíèìóìà) ïðè ïðîõîæäåíèè òåëàìè ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ, òî u1 = u1 max è u2 = u2 min ïðè x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîò ìîìåíò
âðåìåíè ñèñòåìà óðàâíåíèé (4) ïðèìåò âèä
m1 u12 max + m2 u22 min = m2 k Dx 2 ; Dx k m2 = m1 u1 max + m2 u2 min .
Îòñþäà ïîëó÷èì:
u2 min = ( Dx k m2 - m1 u1 max ) m2 ; m1 m2 u12 max + ( Dx k m2 - m1 u1 max ) 2 = k m2 Dx 2 ;
m2 u1 max - 2 Dx
Îòâåò: u1 max =
2 Dx
k m2 + m1 u1 max = 0;
k m2
m1 + m2
u1 max =
2 Dx
k m2
m1 + m2
» 0,32 ì/ñ.
» 0,32 ì/ñ.
17. Øàð íàëåòàåò íà ïîêîÿùèéñÿ øàð è îòðàæàåòñÿ íàçàä ñî ñêîðîñòüþ â n = 4
ðàçà ìåíüøåé ïåðâîíà÷àëüíîé. Ñ÷èòàÿ ñîóäàðåíèå àáñîëþòíî óïðóãèì, îïðåäåëèòå
îòíîøåíèå ìàññ øàðîâ.
Ðåøåíèå
Ðàññìîòðèì àáñîëþòíî óïðóãîå ñòîëêíîâåíèå äâóõ òåë m1 è m2 , äâèæóùèõñÿ
âäîëü îäíîé ïðÿìîé (òàê íàçûâàåìûé öåíòðàëüíûé óäàð). Â ðåçóëüòàòå òàêîãî ñòîëêíîâåíèÿ îáà òåëà áóäóò äâèãàòüñÿ âäîëü òîé æå
r ïðÿ
r ìîé.
r Îáîç
r íà÷èì ñêîðîñòè òåë äî
è ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ ñîîòâåòñòâåííî ÷åðåç u1 , u2 , u¢1 è u¢2 .
119
Ïîñêîëüêó ïðè àáñîëþòíî óïðóãîì ñòîëêíîâåíèè ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
ñèñòåìû ñîõðàíÿåòñÿ, òî çàêîí åå ñîõðàíåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ñîõðàíåíèþ òîëüêî êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:
1 m u2 + 1 m u2 = 1 m u¢ 2 + 1 m u¢ 2 .
(1)
2
2
2
2
1 1
2 2
1 1
2 2
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà âûðàæàåòñÿ âåêòîðíûì ðàâåíñòâîì
r
r
r
r
(2)
m1 u1 + m2 u2 = m1 u¢1 + m2 u¢2 .
Ïåðåïèøåì óðàâíåíèÿ (1) è (2) â âèäå
r r r
r
r
r
r
r
(3)
m1 ( u1 - u¢1 ) ( u1 + u¢1 ) = m2 ( u¢2 - u2 ) ( u¢2 + u2 );
r r
r
r
(4)
m1 ( u1 - u¢1 ) = m2 ( u¢2 - u2 ).
Ñ ó÷åòîì (4) ñîîòíîøåíèå (3) ìîæíî çàïèñàòü ïî-äðóãîìó:
r
r r
r
(5)
u1 + u¢1 = u2 + u¢2 .
Èç (2) è (5) ïîëó÷èì:
r
r
r
r r r
r
r
r
m1 u1 + m2 u2 = m1 u¢1 + m2 ( u1 + u¢1 - u2 ); ( m1 - m2 ) u1 + 2 m2 u2 = ( m1 + m2 ) u¢1 ;
r
r
r
( m1 - m2 ) u1 + 2 m2 u2
.
(6)
u¢1 =
m1 + m2
Àíàëîãè÷íî,
r
r
r
( m2 - m1 ) u2 + 2 m1 u1
.
(7)
u¢2 =
m1 + m2
Ôîðìóëû (6) -(7) ñïðàâåäëèâû äëÿ öåír m m r
m1 r
u¢1 1 2 u¢2
u1
òðàëüíîãî àáñîëþòíî óïðóãîãî óäàðà ïðè äâèæåíèè òåë êàê íàâñòðå÷ó, òàê è âäîãîíêó äðóã äðóX ãó.
O
Âîñïîëüçóåìñÿ äëÿ ðåøåíèÿ íàøåé çàäà÷è
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹17
ôîðìóëîé (6), çàïèñàâ åå â ïðîåêöèè íà îñü OX:
( m - m2 ) u1
,
- u¢1 = 1
r
m1 + m2
ãäå ó÷òåíî, ÷òî u2 = 0.
Îòñþäà íàõîäèì:
m2 u1 + u¢1
,
- u¢1 m1 - u¢1 m2 = m1 u1 - m2 u1 ; m1 ( u1 + u¢1 ) = m2 ( u1 - u¢1 );
=
m1 u1 - u¢1
èëè ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ çàäà÷è (u¢1 = 1 4 u1 )
m2 u1 + 1 4 u1 5
=
= .
m1 u1 - 1 4 u1 3
Îòâåò: m2 m1 = 5 3 .
18. Øàð ìàññîé M = 2 êã àáñîëþòíî óïðóãî ñòàëêèâàåòñÿ ñ ïîêîÿùèìñÿ øàðîì
ìàññîé m = 1 êã. Íà êàêîé íàèáîëüøèé óãîë ìîæåò îòêëîíèòüñÿ íàëåòàþùèé øàð îò
ñâîåãî ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ?
Ðåøåíèå
r
Ïóñòü ñêîðîñòü øàðà ìàññîé M äîr ñòîë
êíî
âå
íèÿ
ðàâ
íà
u
0 , à ñêîðîñòè øàðîâ
r
ìàññàìè M è m ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ – u1 è u2 ñîîòâåòñòâåííî.
Ïðè àáñîëþòíî óïðóãîì ñòîëêíîâåíèè ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû
è èìïóëüñ ñîõðàíÿþòñÿ. Ïîñêîëüêó çà âðåìÿ óäàðà èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåð120
ãèè ðàâíî íóëþ, òî çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè
r
ñâîäèòñÿ ê ñîõðàíåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè:
u2
m
1 M u2 = 1 M u2 + 1 m u2 .
(1) M r
2
2
2
0
1
2
M
u0
Ïðè íåöåíòðàëüíîì óäàðå øàðîâ, ìàññû êîa
òîðûõ íå îäèíàêîâû, øàðû ðàçëåòÿòñÿ ïîä íåêîr
u1
òîðûì óãëîì äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà. Ïðè÷åì
óãîë, ïîä êîòîðûì ðàçëåòÿòñÿ øàðû ïîñëå ñòîëêÐèñ. ê çàäà÷å ¹18
íîâåíèÿ, îïðåäåëÿåòñÿ íå òîëüêî çàêîíàìè ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è èìïóëüñà, íî è çàâèñèò îò èõ âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ ïðè ñòîëêíîâåíèè. Ïîýòîìó çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû óäîáíî èñïîëüçîâàòü â âåêòîðíîé ôîðìå:
r
r
r
(2)
M u0 = M u1 + m u2 .
r
Âûðàçèâ ñêîðîñòü u2 èç (2)
r
r
r
M ( u0 - u1 )
u2 =
m
è ïîäñòàâèâ â (1)
r r
M 2 [u20 - 2 ( u0 , u1 ) + u12 ]
2
2
,
M u0 = M u1 + m
m
ïîëó÷èì
m u20 = m u12 + M u20 - 2 M u0 u1 cos a + M u12 ,
r r
ãäå ó÷òåíî, ÷òîr ñêàëÿð
r íîå ïðîèçâåäåíèå âåêòîðîâ ( u0 , u1 ) = u0 u1 cos a; a – óãîë ìåæäó âåêòîðàìè u0 è u1 . Ñëåäîâàòåëüíî,
( M + m) u12 + ( M - m) u20
.
(3)
cos a =
2 M u0 u1
r
Èçr (3) ñëåäóåò, ÷òî ïðè çàäàííîé ñêîðîñòè u0 óãîë a çàâèñèò îò âåëè÷èíû ñêîðîñòè u1 . Ïîñêîëüêó cos a óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì a, òî äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü
íàèáîëüøåå çíà÷åíèå óãëà a max, íàéäåì òàêèå çíà÷åíèÿ u1 , ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ
( M + m) u12 + ( M - m) u20
f ( u1 ) =
u1
ìèíèìàëüíà:
2 ( M + m) u12 - ( M + m) u12 - ( M - m) u20
df
M -m
.
=
= 0;
u1 = u0
2
d u1
u1
M+m
Òàê êàê íàèìåíüøåå çíà÷åíèå óãëà a ðàâíî íóëþ (öåíòðàëüíûé óäàð), òî óãîë
a, ñîîòâåòñòâóþùèé ïîëó÷åííîìó çíà÷åíèþ u1 , áóäåò ìàêñèìàëåí:
( M - m) u20 + ( M - m) u20
M+m
m2
;
cos a max =
=
1
2 M u20
M -m
M2
sin a max = 1 - cos 2 a max = m M;
a max = arcsin ( m M ) = 30î.
Îòâåò: a max = arcsin ( m M ) = 30î.
19. «Ïóëÿ» ïðîáèâàåò çàêðåïëåííûé áðó ñîê ïðè ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè
u0 = 10 ì/ñ. Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòüþ äîëæíà ëåòåòü «ïóëÿ» äëÿ òîãî, ÷òîáû
ïðîáèòü íåçàêðåïëåííûé áðóñîê? Ìàññà áðóñêà M = 1 êã, ìàññà ïóëè m = 200 ã.
Ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ìàòåðèàëà áðóñêà ñ÷èòàòü ïîñòîÿííîé.
121
r
u1
Ðåøåíèå
Êîãäà ïóëÿ ïðîáèâàåò çàêðåïëåííûé áðóñîê,
âñÿ
åå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ T1 = 1 2 m u20 áór
m u
äåò çàòðà÷åíà íà
r ðàáîòó ïî ïðåîäîëåíèþ ñèëû
M
X
O
ñîïðîòèâëåíèÿ Fñîïð ìàòåðèàëà áðóñêà. Çàïèøåì
òåîðåìó î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè äëÿ
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹19
ïóëè â âèäår
DE = E2 - E1 = A ( Fñîïð ),
r
ãäå E1 = T1 ; E2 = T2 = 0; A ( Fñîïð ) - ðàáîòà ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,
r
(1)
0 - 1 2 m u20 = A ( Fñîïð ) .
Òåïåðü ðàññìîòðèì âçàèìîäåéñòâèå ïóëè ñ íåçàêðåïëåííûì áðóñêîì.
Ïðè äâèæåíèè ïóëè â íåçàêðåïëåííîì
r áðóñêå, íà íåå áóäåò äåéñòâîâàòü òàêàÿ
æå êàê è ðàíüøå rñèëà ñîïðî
r òèâëåíèÿ Fñîïð ìàòåðèàëà áðóñêà, à íà áðóñîê áóäåò
¢ = - Fñîïð . Ýòà ñèëà áóäåò òîëêàòü áðóñîê è ê ìîìåíòó âûëåòà
äåéñòâîâàòü ñèëà Fñîïð
r
ïóëè îí ïðèrîáðåòåò íåêîòîðóþ ñêîðîñòü u1 . Î÷åâèäíî, ÷òîáû ïóëÿ ïðîáèëà áðóñîê,
åå ñêîðîñòü u2 íà âûëåòå èç áðóñêà äîëæíà áûòü ðàâíà èëè áîëüøå ñêîðîñòè áðóñêà.
Íàéäåì ìèíèìàëüíóþ rñêîðîñòü ïóëè, ïðè êîòîðîé îíà ïðîáüåò áðóñîê è íà âûëåòå áóäåò èìåòü ñêîðîñòü u1 , ðàâíóþ ñêîðîñòè áðóñêà.
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïóëþ è áðóñîê êàê ñèñòåìó òåë, ÷òî ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü
èç ðàññìîòðåíèÿ âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè óäàðå, è ñ÷èòàòü ñèñòåìó çàìêíóòîé â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ ïóëè è áðóñêà (âäîëü îñè OX). Çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñèñòåìû â âèäå
r
r
r
r
r
(2)
( D p ) x = [( p 3 + p 4 ) - ( p1 + p 2 )] x = 0;
M u1 + m u1 - m u = 0,
r
r
r
r
r r
r
ãäå p1 = 0, p 2 = m u - èìïóëüñû áðóñêà è ïóëè äî rñîóäàðåíèÿ; p 3 = M u1 , p 4 = m u1 èìïóëüñû áðóñêà è ïóëè ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ; u - íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ïóëè.
Èçìåíåíèå ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû «ïóëÿ - áðóñîê» ïðè âçàèìîäåéñòâèè ïóëè ñ íåçàêðåïëåííûì áðóñîì ðàâríî
DE¢ = E¢2 - E1¢ = A ( Fñîïð ),
2
ãäå E1¢ = T1¢ = 1 2 m u , E¢2 = T2¢ = 1 2 M u12 + 1 2 m u12 . Îòñþäà ñ ó÷åòîì (1) ïîëó÷èì
1 M u2 + 1 m u2 - 1 m u2 = - 1 m u2 .
(3)
2
2
2
2
1
1
0
Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé (2) -(3) íàõîäèì:
mu
; ( M + m) u12 - m u2 = - m u20 ; m u2 - ( M + m) u2 = - ( M + m) u20 ;
u1 =
M+m
M+m
umin = u = u0
» 11 ì/ñ.
M
M+m
Îòâåò: umin = u0
» 11 ì/ñ.
M
r
u2
20. Áðóñîê ìàññîé M = 10 êã, ëåæàùèé íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, ñîåäèíåí ëåãêîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k = 500 Í/ì ñ âåðòèêàëüíîé ñòåíîé. Â áðóñîê ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíòàëüíî ñî ñêîðîñòüþ u0 = 200 ì/ñ
âäîëü ïðóæèíû ê ñòåíå, è çàñòðåâàåò â áðóñêå. Íà êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ âåëè÷èíó
ñîæìåòñÿ ïðóæèíà? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ áðóñêà î ïîâåðõíîñòü m = 0,4. Ïðóæèíà â
íà÷àëüíûé ìîìåíò íåäåôîðìèðîâàíà.
122
Ðåøåíèå
r
Áóäåì ðàññìàòðèâàòü ïóëþ è áðóñîê êàê
N
r
ñèñòåìó òåë, ÷òî ïîçâîëèò èñêëþ÷èòü èç ðàñFóïð
ñìîòðåíèÿ âíóòðåííèå ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè
r
u
0 m
óäàðå. Åñëè ïðåíåáðå÷ü ñìåùåíèåì áðóñêà è èìX
ïóëüñîì ñèëû òðåíèÿ çà âðåìÿ âçàèìîäåéñòâèÿ
r
òåë (÷òî âïîëíå äîïóñòèìî â ñèëó åãî êðàòêîâðå- O
Fòð
r
( M + m) g
ìåííîñòè), òî â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè
ñèñòåìó ìîæíî ñ÷èòàòü çàìêíóòîé (âäîëü îñè
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹20
OX). Ïðè ýòîì çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
r
r
r
r
( D p ) x = [ p 3 - ( p1 + p 2 )] x = 0; - ( M + m) u + m u0 = 0,
r
r
r
r
r
ãäå p1 = 0, p 2 = m u0 - èìïóëüñû áðóñêà è ïóëè äî ñîóäàðåíèÿ; p 3 = ( M + m) u - èìïóëüñ áðóñêà ñ ïóëåé ïîñëå âçàèìîäåéñòâèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü áðóñêà ïîñëå
âçàèìîäåéñòâèÿ ñ ïóëåé
u0
.
(1)
u=
M+m
Ïðè äâèæåíèè áðóñêà åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áóäåò óìåíüøàòüñÿ, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðóæèíû - óâåëè÷èâàòüñÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðóæèíà áóäåò ìàêñèìàëüíî ñæàòà, êîãäà áðóñîê äîñòèãíåò êðàéíåãî ëåâîãî ïîëîæåíèÿ.
Çàïèøåì òåîðåìó î ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè äëÿ ñèñòåìû «áðóñîê -ïðóæèíà» â âèäå
r
(2)
DE = E2 - E1 = A ( Fíåêîíñ ),
2
ãäå E1 = T1 = 1 2 ( M + m) u0 - ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû â íà÷àëüíûé ìî2
ìåíò âðåìåíè; E2 = U 2 = 1 2 k Dx max
- ýíåðãèÿ ñèñòåìû â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà áðóñîê äîñòèã êðàé
íå
ãî
ëå
âî
ãî
ïî
ëî
æåíèÿ, ïðîéäÿ ïóòü DS è ñæàâ ïðóæèíó íà
r
r
Dx max = DS; A ( Fíåêîíñ ) = A ( Fòð ) - ðàáîòà íåêîíñåðâàòèâíûõ ñèë (ïîñêîëüêó ðàáîòà
ñèëû íîðìàëüíîé ðåàêöèè ðàâíà íóëþ).
Ðàáîòà ñèëû òðåíèÿ
r
A ( Fòð ) = - Fòð Dx max = - m N Dx max = - m ( M + m) g Dx max,
ãäå ó÷òåíî, ÷òî N = ( M + m) g. Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå (2) ïðèìåò âèä
2
1 k Dx 2
1
2
max - 2 ( M + m) u = - m ( M + m) g Dx max.
Îòñþäà íàõîäèì:
2
1 k Dx 2
1
2
max + m ( M + m) g Dx max - 2 ( M + m) u = 0;
Dx max =
èëè ñ ó÷åòîì (1)
Dx max =
Îòâåò: Dx max =
- m ( M + m) g +
m 2 ( M + m) 2 g 2 + k m u2
,
k
m u20
m 2 g 2 ( M + m) 2
m g ( M + m)
+
» 43 ñì.
2
k
k ( M + m)
k
m u20
m 2 g 2 ( M + m) 2
m g ( M + m)
+
» 43 ñì.
2
k
k ( M + m)
k
123
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ
4.1. Îïðåäåëèòå ðàáîòó, êîòîðóþ íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ñ ìèíèìàëüíûì óñèëèåì ïåðåìåñòèòü áðóñîê ìàññîé m = 10 êã ââåðõ âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè èç òî÷êè 1 â òî÷êó 2, ïðèêëàäûâàÿ ñèëó âäîëü ïëîñêîñòè. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
ìåæäó áðóñêîì è ïëîñêîñòüþ m = 0,4. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè 1 è 2 ïî ãîðèçîíòàëè l = 1 ì, à ïî âåðòèêàëè h = 0,5 ì.
4.2. Áðó ñîê ìàñ ñîé m = 2 êã è äëè íîé
l
l = 60 ñì ëåæèò íà ñòûêå äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ
ñòîëîâ (ñì. ðèñóíîê). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áðóñêîì è ñòîëîì, íà êîòîðîì îí ëåæèò,
m = 0,4. Âòîðîé ñòîë ãëàäêèé. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïåðåòàùèòü
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹4.2
áðóñîê âîëîêîì ñ ïåðâîãî ñòîëà íà âòîðîé?
4.3. Íà ïîêîÿùóþñÿ ÷àñòèöó ìàññîé m íà÷èíàåò äåéñòâîâàòü ñèëà, èçìåíÿþùàÿñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó: F = g exp ( - b t ) [Í], ãäå g, b - ïîëîæèòåëüíûå ïîñòîÿííûå. Îïðåäåëèòå ðàáîòó ýòîé ñèëû çà î÷åíü áîëüøîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè (t ® ¥).
4.4. Áðóñêó ìàññîé m = 1 êã, íàõîäÿùåìóñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñîîáùèëè ñêîðîñòü u0 = 1,5 ì/ñ. Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ
m = 0,27. Îïðåäåëèòå ñðåäíþþ ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìóþ ñèëîé òðåíèÿ çà âñå âðåìÿ
äâèæåíèÿ áðóñêà.
4.5. Òåëî ìàññîé m = 1 êã áðîñèëè ïîä óãëîì a = 30î ê ãîðèçîíòó ñ íà÷àëüíîé
ñêîðîñòüþ u0 = 10 ì/ñ. Îïðåäåëèòå ñðåäíþþ ìîùíîñòü, ðàçâèâàåìóþ ñèëîé òÿæåñòè
çà âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ òåëà, è ìãíîâåííóþ ìîùíîñòü ñèëû òÿæåñòè â ìîìåíò âðåìåíè Dt = 0,4 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ. Ñèëîé ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà ïðåíåáðå÷ü.
4.6. Îäíîðîäíûé áðóñîê äëèíîé l = 0,6 ì, ñêîëüçÿùèé ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè, íàåçæàåò íà øåðîõîâàòûé ó÷àñòîê øèðèíîé 2 l, êîýôôèöèåíò òðåíèÿ íà êîòîðîì m = 0,4. Ïðè êàêîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè áðóñîê ïðåîäîëååò ýòîò ó÷àñòîê?
4.7. Ëîêîìîòèâ ìàññîé m íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ òàê, ÷òî åãî ñêîðîñòü ìåíÿåòñÿ ïî
çàêîíó: u = g S, ãäå g - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, S - ïðîéäåííûé ïóòü. Îïðåäåëèòå ñóììàðíóþ ðàáîòó âñåõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ëîêîìîòèâ, çà ïåðâûå Dt ñåêóíä
ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ.
4.8. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íåêîòîðîì ñèëîâîì ïîëå èìååò âèä
U = a ( x + y 2 + z 3 ), ãäå a - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ñèëû,
äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, è ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ýòîé ñèëîé, ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè M 1 { x 1 ; y1 ; z 1} â òî÷êó M 2 { x 2 ; y 2 ; z 2}.
4.9. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íåêîòîðîì ñèëîâîì ïîëå èìååò âèä
U = a r, ãäå a - ïîëîæèòåëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, r - ìîäóëü ðàäèóñ-âåêòîðà ÷àñòèöû.
Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ÷àñòèöó, è ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ýòîé
ñèëîé, ïðè ïåðåìåùåíèè ÷àñòèöû èç òî÷êè M 1 { x 1 ; y1 ; z 1} â òî÷êó M 2 { x 2 ; y 2 ; z 2}.
4.10. Ìàëü÷èê, ñúåõàâ íà ñàíêàõ ñ ïëîñêîé ãîðêè âûñîòîé h = 5 ì, â êîíöå ñïóñêà ïðèîáðåë ñêîðîñòü u = 6 ì/ñ. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü
ìàëü÷èêó, ÷òîáû âòàùèòü ñàíêè îáðàòíî íà âåðøèíó ãîðêè, ïðèëîæèâ ñèëó, íàïðàâëåííóþ âäîëü ïëîñêîñòè ãîðêè? Ìàññà ñàíîê m = 7 êã.
124
r
4.11. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëåæàò äâà
u0
áðóñêà m1 = 2 êã è m2 = 5 êã, ñîåäèíåííûå ìåæäó
k
ñîáîé ëåãêîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ k = 100 Í/ì
m2
m1
(ñì. ðèñóíîê). Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü,
íàïðàâëåííóþ âäîëü ïðóæèíû, íàäî ñîîáùèòü
áðóñêó m1 , ÷òîáû ñäâèíóëñÿ âòîðîé áðóñîê? ÊîÐèñ. ê çàäà÷å ¹4.11
ýôôèöèåíòû òðåíèÿ áðóñêîâ î ïîâåðõíîñòü ñòîëà
ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî m1 = 0,5 è m 2 = 0,3.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðóæèíà íåäåôîðìèðîâàíà.
R
4.12. Øàðèê íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ñ âûñîòû h
h
ïî ãëàäêîìó æåëîáó, ïåðåõîäÿùåìó â ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñîì R = 1 2 h (ñì. ðèñóíîê). Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü øàðèêà â íàèâûñøåé òî÷êå åãî òðàåêÐèñ. ê çàäà÷å ¹4.12
òîðèè (ïîñëå îòðûâà îò æåëîáà).
m
4.13. Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäÿò ñÿ
äâà îäèíàêîâûõ áðóñêà, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé
íèòüþ è ëåãêîé ñæàòîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ
k
k = 100 Í/ì (ñì. ðèñóíîê). Íèòü ïåðåæèãàþò. Íàñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî äîëæíà áûòü ñæàòà ïðóæèíà, ÷òîáû ïîñëå ïåðåæèãàíèÿ íèòè íèæíèé áðóm
ñîê ïîäñêî÷èë? Ìàññà êàæäîãî áðóñêà m = 0,1 êã.
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹4.13
4.14. Íå áîëü øîìó áðóñ êó, ëå æà ùå ìó íà
äëèííîé ãîðèçîíròàëüíîé äîñêå, ñîîáùèëè íåêîm
òîðóþ ñêîðîñòü u0 , íàïðàâëåííóþ âäîëü äîñêè.
Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó íà÷àëüíîé ñêîðîñòè áðóñh
êà, åñëè çà âðåìÿ äâèæåíèÿ áðóñêà ïî äîñêå âûB
A
äåëèëîñü Q = 2 Äæ òåïëîòû. Äîñêà ïî ïîâåðõíîñR
òè ñòîëà ìîæåò äâè ãàòü ñÿ áåç òðå íèÿ. Ìàñ ñà
áðóñêà m = 500 ã, ìàññà äîñêè M = 5 êã.
M
4.15. Áðóñîê ìàññîé M = 1 êã ñ ïîëóñôåðè÷åñêîé âûåìêîé ðàäèóñîì R = 20 ñì ñòîèò âïëîòÐèñ. ê çàäà÷å ¹4.15
íóþ ê âåðòèêàëüíîé ñòåíå (ñì. ðèñóíîê). Ñ êàêîé
ìàêñèìàëüíîé âûñîòû íàä áëèæàéøåé ê ñòåíå òî÷êîé A âûåìêè íàäî óðîíèòü ìàëåíüêèé øàðèê ìàññîé m = 200 ã, ÷òîáû îí íå ïîäíÿëñÿ íàä ïðîòèâîïîëîæíîé òî÷êîé B âûåìêè? Òðåíèÿ íåò.
4.16. Íà ãëàä êîì ãî ðè çîí òàëü íîì ñòîëå ëå æàò äâà áðóñ êà m1 = 0,1 êã è
m2 = 0,2 êã, ñâÿçàííûå ìåæäó ñîáîé íèòüþ è ëåãêîé ñæàòîé ïðóæèíîé æåñòêîñòüþ
k = 100 Í/ì. Íèòü ïåðåæèãàþò. Â ïðîöåññå ïîñëåäóþùåãî äâèæåíèÿ ìàêñèìàëüíàÿ
ñêîðîñòü ïåðâîãî áðóñêà u = 2 ì/ñ. Íàñêîëüêî ïåðâîíà÷àëüíî áûëà ñæàòà ïðóæèíà?
4.17. Øàð íàëåòàåò íà ïîêîÿùèéñÿ øàð è îòðàæàåòñÿ íàçàä ñ êèíåòè÷åñêîé
ýíåðãèåé â n = 4 ðàçà ìåíüøåé ïåðâîíà÷àëüíîé. Ñ÷èòàÿ ñîóäàðåíèå óïðóãèì, íàéäèòå îòíîøåíèå ìàññ øàðîâ.
4.18. Øàð óïðóãî ñòàëêèâàåòñÿ ñ òàêèì æå, íî ïîêîÿùèìñÿ øàðîì, êîòîðûé â
ðåçóëüòàòå óäàðà íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ïîä óãëîì a = 30î ê ïåðâîíà÷àëüíîìó íàïðàâëå125
íèþ äâèæåíèÿ íàëåòàþùåãî øàðà. Íà êàêîé óãîë îòíîñèòåëüíî ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ îòêëîíÿåòñÿ íàëåòàþùèé øàð â ðåçóëüòàòå ñîóäàðåíèÿ?
4.19. Äâà îäèíàêîâûõ áðóñêà ïîäâåøåíû íà îäíîì óðîâíå íà òîíêèõ íèòÿõ è
íàõîäÿòñÿ íà íå
r áîëüøîì ðàññòîÿíèè îäèí îò äðóãîãî. Ïóëÿ, ëåòÿùàÿ ãîðèçîíòàëüíî
ñî ñêîðîñòüþ u, ïðîáèâàåò îäèí áðóñîê è çàñòðåâàåò âî âòîðîì. Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, âûäåëèâøååñÿ â ïåðâîì áðóñêå, åñëè âî âòîðîì áðóñêå âûäåëèëîñü
Q2 òåïëîòû. Ìàññû áðóñêîâ è ïóëè îäèíàêîâû è ðàâíû m.
4.20. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëår
æàò äâà áðóñêà m1 = 2 êã è m2 = 3 êã, ñîåäèíåííûõ
m u0
ìåæäó ñîáîé ëåãêîé ïðóæèíîé (ñì. ðèñóíîê). Â
m2
m1
áðóñîê m1 ïîïàäàåò ïóëÿ ìàññîé m = 10 ã, ëåòÿùàÿ âäîëü ïðóæèíû ñî ñêîðîñòüþ u0 = 500 ì/ñ, è
Ðèñ. ê çàäà÷å ¹4.20
çàñòðåâàåò â áðóñêå. Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ñêîðîñòü áóäåò èìåòü áðóñîê m2 ïðè äâèæåíèÿ ñèñòåìû?  íà÷àëüíûé ìîìåíò ïðóæèíà
íåäåôîðìèðîâàíà.
Òåñòû
 ðàñ÷åòàõ óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíûì 10 ì/ñ2
1. Øàðèê ìàññîé m âðàùàþò íà íèòè äëèíîé l òàê, ÷òî îí îïèñûâàåò îêðóæíîñòü â
âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Ðàáîòà ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè çà îäèí îáîðîò øàðèêà ðàâíà
K
À. A = 0
Á. A = m g l
Â. A = 2 m g l
Ã. A = 6 m g l
2. Ðàáîòà êàêîé èç ïåðå÷èñëåííûõ ñèë âñåãäà ðàâíà íóëþ?
À. Ñèëû òÿæåñòè
Á. Ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòè
Â. Ìàãíèòíîé ñèëû
Ã. Ñèëû íîðìàëüíîé ðåàêöèè îïîðû
F, Í
3. Íà òåëî äåéñòâóåò ñèëà, âåëè÷èíà êîòîðîé ìåíÿåòñÿ
â çàâèñèìîñòè îò ïðîéäåííîãî òåëîì ïóòè ïî çàêîíó,
ïðåäñòàâëåííîìó íà ðèñóíêå. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå
ðàáîòû ýòîé ñèëû íà ïåðâûõ 3 ì ïóòè ê ðàáîòå íà ñëåäóþùèõ 3 ì ïóòè. Ñèëà âñå âðåìÿ íàïðàâëåíà âäîëü
S, ì íàïðàâëåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà.
0 1 2 3 4 5 6
À. 1
Á. 1 3
Ðèñ. ê òåñòó ¹3
Â. 1 2
Ã. 2 3
4. ×òîáû âûòàùèòü ãâîçäü äëèíîé l = 10 ñì èç äîñêè, íóæíî ïðèëîæèòü ñèëó íå ìåíåå ÷åì F0 = 500 Í. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ãâîçäÿ ñ ìàòåðèàëîì äîñêè
ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà äëèíå ïîãðóæåííîé â äîñêó ÷àñòè ãâîçäÿ, îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó, ñîâåðøåííóþ ïðè çàáèâàíèè ãâîçäÿ.
Îòâåò: __________Äæ
5. Èìïóëüñ òåëà óâåëè÷èëñÿ â k = 4 ðàçà. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ òåëà K
À. Óâåëè÷èëàñü â 2 ðàçà
Á. Óâåëè÷èëàñü â 4 ðàçà
Â. Óâåëè÷èëàñü â 8 ðàç
Ã. Óâåëè÷èëàñü â 16 ðàç
6. Íà êàòåð äåéñòâóåò ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ, ïðîïîðöèîíàëüíàÿ êâàäðàòó ñêîðîñòè êàòåðà. Âî ñêîëüêî ðàç íóæíî óâåëè÷èòü ìîùíîñòü ìîòîðà, ÷òîáû ñêîðîñòü êàòåðà âîçðîñëà â äâà ðàçà?
126
À. 2
Á. 4
Â. 8
Ã. 16
7. Ïðè ñêîðîñòè ïîëåòà u = 900 êì/÷ äâèãàòåëü ñàìîëåòà ðàçâèâàåò ìîùíîñòü
N = 7,5 ÌÂò. Ñèëà òÿãè äâèãàòåëÿ â ýòîì ðåæèìå ïîëåòà ðàâíà K
À. F = 3000 Í
Á. F » 8,3 êÍ
Â. F = 30 êÍ
Ã. F » 83 êÍ
8. Ðàáîòà êàêèõ èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ñèë çàâèñèò îò ôîðìû òðàåêòîðèè?
1) ñèëû òÿãîòåíèÿ; 2) ñèëû óïðóãîñòè; 3) ñèëû òðåíèÿ.
À. Òîëüêî 1
Á. Òîëüêî 2
Â. Òîëüêî 3
Ã. Âñåõ èç ïåðå÷èñëåííûõ
9. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû â íåêîòîðîì ñèëîâîì ïîëå èìååò âèä U = a x 2 y,
ãäå a = 2 Äæ/ì3. Îïðåäåëèòå ðàáîòó, ñîâåðøàåìóþ ñèëàìè ïîëÿ, ïðè ïåðåìåùåíèè
÷àñòèöû èç òî÷êè M 1 {3 ì; 4 ì} â òî÷êó M 2 {1 ì; 2 ì}.
Îòâåò: __________Äæ
10. Öåïü ìàññîé m = 5 êã è äëèíîé l = 1 ì ëåæèò íà ñòîëå. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû, âçÿâ çà êîíåö, ïîäíÿòü öåïü íàä ñòîëîì?
Îòâåò: __________Äæ
11. Êîëîäåö äîëæåí èìåòü ãëóáèíó H = 5 ì. Êîãäà áûëà âûïîëíåíà ÷åòâåðòü âñåé íåîáõîäèìîé ðàáîòû, ãëóáèíà êîëîäöà äîñòèãëà K
À. h = 1 ì
Á. h = 1,25 ì
Â. h = 2,5 ì
Ã. h = 3 ì
12. Êàìåíü áðîøåí âåðòèêàëüíî ââåðõ. Åãî íà÷àëüíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
T = 20 Äæ. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ êàìíÿ â âåðõíåé òî÷êå òðàåêòîðèè îòíîñèòåëüíî
óðîâíÿ, ñ êîòîðîãî îí áûë áðîøåí, ðàâíà K
Îòâåò: __________Äæ
13. Ïóëÿ âûëåòåëà èç äóëà ðóæüÿ ñî ñêîðîñòüþ u0 = 600 ì/ñ.  âûñøåé òî÷êå òðàåêòîðèè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ïóëè ðàâíà T = 450 Äæ. Îïðåäåëèòå, ïîä êàêèì óãëîì
(â ãðàäóñàõ) ê ãîðèçîíòó ïðîèçâåäåí âûñòðåë. Ìàññà ïóëè m = 10 ã.
Îòâåò: __________
14. Øàðèêó, ïîäâåøåííîìó íà äëèíîé íèòè, â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ñîîáùèëè ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü u0 = 2 ì/ñ. Íà êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ âûñîòó ïîäíèìåòñÿ øàðèê ïðè äâèæåíèè?
À. hmax = 40 ñì
Á. hmax = 20 ñì
Â. hmax = 10 ñì
Ã. hmax = 5 ñì
15. ×òîáû íåêîòîðóþ ïðóæèíó ðàñòÿíóòü íà Dx = 2 ñì, íåîáõîäèìî ñîâåðøèòü ðàáîòó A = 2 Äæ. ×òîáû äâå òàêèå ïðóæèíû, ñîåäèíåííûå ïîñëåäîâàòåëüíî, ðàñòÿíóòü íà
Dx, íàäî ñîâåðøèòü ðàáîòó K
À. A¢ = 1 Äæ
Á. A¢ = 4 Äæ
Â. A¢ = 16 Äæ
Ã. A¢ = 64 Äæ
16. Ïðè âûñòðåëå èç ïðóæèííîãî ïèñòîëåòà âåðòèêàëüíî ââåðõ ïóëÿ ìàññîé m = 20 ã
ïîäíÿëàñü íà âûñîòó h = 5 ì. Îïðåäåëèòå æåñòêîñòü ïðóæèíû ïèñòîëåòà, åñëè ïåðåä
âûñòðåëîì îíà áûëà ñæàòà íà Dx = 10 ñì.
Îòâåò: __________Í/ì
127
17. Êàìåíü ìàññîé m = 0,5 êã, ïàäàÿ áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ñ âûñîòû h = 80 ì, ïðèîáðåë ñêîðîñòü u = 32 ì/ñ. Çà ýòî âðåìÿ â òåïëî ïåðåøëà ÷àñòü íà÷àëüíîé ýíåðãèè,
ðàâíàÿ K
À. n = 0,18
Á. n = 0,36
m
Â. n = 0,42
Ã. n = 0,48
18. Íà âåðòèêàëüíî ñòîÿùóþ ïðóæèíó æåñòêîñòüþ k áåç
íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ïîëîæèëè ãðóç ìàññîé m (ñì. ðèñók
íîê). Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ñèñòåìå çà
âðåìÿ çàòóõàíèÿ êîëåáàíèé?
À. Q = m2 g 2 k
Á. Q = m g k
Ðèñ. ê òåñòó ¹18
Â. Q = m2 g 2 2 k
Ã. Q = m g 2 k
19. Ïðè íåóïðóãîì óäàðå K
À. Ñîõðàíÿåòñÿ òîëüêî èìïóëüñ ñèñòåìû
Á. Ñîõðàíÿåòñÿ òîëüêî ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû
Â. Ñîõðàíÿåòñÿ èìïóëüñ è ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû
Ã. Íå ñîõðàíÿþòñÿ íè èìïóëüñ, íè ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû
r
20. Øàð ìàññîé m, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ u, ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîäâèæíûì øàðîì òàêîé æå ìàññû. Óäàð öåíòðàëüíûé è àáñîëþòíî óïðóãèé. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ âòîðîãî øàðà ïîñëå óäàðà ðàâíà K
À. T = 1 4 m u2
Á. T = 1 2 m u2
Â. T = m u2
Ã. T = 0
21. Òðè îäèíàêîrâûõ øàðà ðàñïîëîæåíû âäîëü îäíîé ïðÿìîé. Ïåðâîìó øàðó ñîîáùèëè ñêîðîñòü u, íàïðàâëåííóþ âäîëü ýòîé ïðÿìîé. Ïîñëå àáñîëþòíî óïðóãèõ öåíòðàëüíûõ ñòîëêíîâåíèé ñêîðîñòü òðåòüåãî øàðà ðàâíà K
À. u3 = 1 3 u
Á. u3 = 2 3 u
Â. u3 = u
Ã. u3 = 0
r
22. Øàð ìàññîé m, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ u, ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîäâèæíûì øàðîì òàêîé æå ìàññû. Óäàð íåöåíòðàëüíûé è àáñîëþòíî óïðóãèé. Óãîë (â ãðàäóñàõ)
ìåæäó ñêîðîñòÿìè øàðîâ ïîñëå óäàðà ðàâåí K
Îòâåò: __________
r
23. Øàð ìàññîé M, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ u, àáñîëþòíî óïðóãî ñòàëêèâàåòñÿ ñ
íåïîäâèæíûì øàðîì ìàññîé m << M . Ïîñëå óäàðà ñêîðîñòü øàðà m ðàâíà K
À. u¢ = u
Á. u¢ = 2 u
Â. u¢ = ( m M ) u
Ã. u¢ = ( M m) u
24. Ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó äâà øàðà
ìàññàìè m1 è m2 ñ îäèíàêîâûìè ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòÿìè. Ïðîèñõîäèò àáñîëþòíî
óïðóãèé öåíòðàëüíûé óäàð, è øàð m1 îñòàíàâëèâàåòñÿ. Îòíîøåíèå ìàññ m1 m2 øàðîâ ðàâíî K
Îòâåò: __________
r
25. Øàð ìàññîé m, äâèæóùèéñÿ ñî ñêîðîñòüþ u, ñòàëêèâàåòñÿ ñ íåïîäâèæíûì øàðîì òàêîé æå ìàññû. Óäàð àáñîëþòíî íåóïðóãèé.  ðåçóëüòàòå óäàðà âûäåëèëîñü êîëè÷åñòâî òåïëîòû K
À. Q = 1 4 m u2
Á. Q = 1 2 m u2
Â. Q = m u2
Ã. Q = 3 8 m u2
128
Îòâåòû ê çàäà÷àì
1.1. 1) y = x - (b a ) x 2 ; 2) u = a 1 + (1 - 2 b t ) 2 ; a = 2 a b; 3) t 0 = 1 b.
r
r r
r
r
r
1.2. 1) y = (b a ) x - g; 2) u = 2 a t i + 2 b t j; a = 2 a i + 2 b j ; 3) D S = D t 2 a 2 + b 2 .
1.3. a = 2 a u2 .
1.4. 1) u = 1 2 a 2 t; a = 1 2 a 2 ; 2) < u > = 1 2 a
DS.
1.5. a = 1 3 p.
1.6. L =
1.7. t = ( 2 + 2 ) Dt.
1.8. t = Dt
l
n2 - 1
1-
.
4<u>
» 7,1 ìèí.
a Dt
2 g h (1 + 2 )
» 2,4 ñ.
g
( u40 + 1 4 g 2 S 2 ) 3 2
g S2
1.10. h =
» 1,225 ì; R =
» 14 ì.
8 u20
g u40
g D t ( 2 - 1)
g l 2 u22
1.11. u0 =
1.12. h =
» 32,5 ì/ñ.
» 3,2 ì.
sin a
2 ( u12 + u22 ) 2
u 1 + 4 a2t4
2 u20 tg a
1.13. S =
1.14. a =
» 4,9 ì.
» 0,7 ì/ñ2.
g cos a
t
2
u
1.15. < w > = 1 3 w0 .
1.16. a t =
» 0,1 ì/ñ2.
20 p R
wd
1.17. N =
1.18. u0 = 1 2 ( u2 - u1 ) = 3 ì/ñ.
= 7958.
2pu
a2 Dt 4
1.19. a = 2 a 0 1 + 0 2 » 7,5 ì/ñ2.
1.20. RA = 4 R = 40 ñì.
4R
t2
2.1. F = m b w2 sin ( w t ) » 7,4 ìÍ.
2.2. u =
4 a 2 t 2 + 9 b 2 » 3,33 ñì/ñ.
6m
F cos b F cos a ( m g - F sin b )
2.3. a =
» 1 ì/ñ2.
m
m ( m g - F sin a )
u20
î
2.4. a = arcctg m » 68,2 ; S min =
» 1,2 ì.
2 g 1 + m2
m m
F
2.5. T = 1 2 (1 + m) ( a + g ) » 10,1 Í. 2.6. aáð = a ä =
- m 2 g » 0,35 ì/ñ2.
m1 + m2
M+m
1.9. Dt =
2.7. a1 = (sin a - m1 cos a ) g » 3,6 ì/ñ2;
(m - m 2 ) m - m 2 M
a2 = 1
g cos a + g sin a » 3,4 ì/ñ2.
M
4 sin a - 3 m cos a
2.8. a = g
» 9 ì/ñ2.
1 + 3 (sin a - m cos a) sin a
9 m1 m2
2.9. a = g (cos a - m1 sin a ) » 8 ì/ñ2.
2.10. F =
g » 132,3 Í.
4 m1 + m2
4 m1 m2
2.11. a =
g » 8,1 ì/ñ2.
4 m1 m2 + M ( m1 + m2 )
129
g (cos a + m sin a ) 2 2
( t - t 0 ) - m g ( t - t 0 ) » 4,8 ì/ñ,
2m
mg
mmg
ãäå t =
; t0 =
.
g sin a
g (cos a + m sin a )
m u0 - u
2.13. u¢ = 1 4 u = 0,25 ì/ñ.
2.14. r =
= 6 êã/ì.
D t u u0
2.12. u =
g g » 5 ì.
2.15. DS = u0
3.1. D p = m a D t = 7,5 êã×ì/ñ.
3.2. Dt =
m ( 2 g H + 2 g h)
» 0,45 ñ.
<F>- mg
1 + ( tg a - 2 m) 2 » 4,1 ì/ñ.
3.3. u = u0 cos a
3.4. Íà a = arctg ( n k ) » 0,057î.
m u cos a
» 0,7 ì/ñ.
M+m
u cos a
3.8. u = 0
» 2,5 ì/ñ.
1+ n
3.6. u¢ =
3.10. u = 1 4 uîòí cos a » 0,65 ì/ñ.
m1 + m2 u sin a
» 3,5 ðàä/ñ.
m1
l
m0
F
F
3.14. u = ln
; a=
.
m m0 - m t
m0 - m t
3.12. w =
3.5. u2 =
u12 + 4 u20 cos 2 a » 171,5 ì/ñ.
m ( 2 M + 3 m)
u » 1,1 ì/ñ.
( M + m) ( M + 2 m)
( m2 - m m1 ) m12 + m22
3.9. añ =
g » 0,77 ì/ñ2.
2
( m1 + m2 )
r
m
3.11. Dr =
S = 80 ñì.
M+m
3.7. u¢ =
3.13. u = uîòí ln
m0
.
m
3.15. p = 2 3 m
2 g l » 3,5 êã×ì/ñ.
4.1. A = m g ( h + m l ) » 88,2 Äæ.
4.2. A = 1 2 m m g l » 2,35 Äæ.
g2
4.3. A =
.
2 m b2
4.4. < N > = - 1 2 m m g u0 » - 2 Âò.
4.5. < N > = 0; N = - m g ( u0 sin a - g Dt ) » - 10,6 Âò.
4.7. A = 1 8 m g 4 Dt 2 .
4.6. u0 > 2
m g l » 3 ì/ñ.
4.8. F = a
1 + 4 y 2 + 9 z 4 ; A1-2 = a [( x 1 + y12 + z 13 ) - ( x 2 + y 22 + z 23 )].
a
a
= 0.
x 12 + y12 + z 12
x 22 + y 22 + z 22
4.10. A = 2 m g h - 1 2 m u2 » 560 Äæ.
4.9. F =
a
; A1-2 =
r2
m 2 m2
( 2 m1 m1 + m 2 m2 ) » 1,6 ì/ñ.
k m1
4.11. u0 min = g
4.12. uM = 2 3
4.14. u0 =
130
2
3
g R.
2 ( M + m) Q
» 3 ì/ñ.
mM
3m g
» 3 ñì.
k
mR
4.15. hmax =
= 4 ñì.
M
4.13. Dx =
4.16. Dx = u
m1 ( m1 + m2 )
» 7,7 ñì.
k m2
4.18. b = 90 î - a = 60î.
4.20. u2 max =
4.17.
m2
=
m1
4.19. Q1 = 2
n +1
n -1
= 3.
Q2 m ( u - 2
Q2 m ).
2 m u0
» 2 ì/ñ.
m + m1 + m2
Îòâåòû ê òåñòàì
¹ çàäàíèÿ
§1
§2
§3
§4
1
Â
Â
Â
À
2
À
Â
Â
Â
3
Á
Ã
Á
Ã
4
Â
Á
Â
25
5
Á
Â
32
Ã
6
Á
Ã
Â
Â
7
À
À
À
Â
8
0
Ã
Â
Â
9
Â
Â
Á
68
10
Ã
6
Â
25
11
3
840
Á
Â
12
Â
Â
Ã
20
13
Ã
Â
Á
60
14
Á
Â
6
Á
15
25
150
Á
À
16
Á
Ã
4
200
17
1
Á
1
Á
18
Ã
Â
Á
Â
19
À
Á
Ã
À
20
Â
Â
5
Á
21
Ã
Á
Á
Â
22
À
Â
Â
90
23
Â
1
12500
Á
24
Ã
Ã
À
3
25
4
1
Á
À
131
Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê
1. Èðîäîâ È. Å. Ìåõàíèêà. Îñíîâíûå çàêîíû. - Ì.: Íàóêà, 1985.
2. Ñàâåëüåâ È. Â. Êóðñ îáùåé ôèçèêè. Ò. 1. Ìåõàíèêà. Ìîëåêóëÿðíàÿ ôèçèêà. - Ì.:
Íàóêà, 1986.
3. Ñèâóõèí Ä. Â. Îáùèé êóðñ ôèçèêè. Ò. 1. Ìåõàíèêà. - Ì.: Íàóêà, 1989.
4. Èðîäîâ È. Å. Çàäà÷è ïî îáùåé ôèçèêå. - Ì.: Íàóêà, 2002.
5. Ñòðåëêîâ Ñ. Ï., Ñèâóõèí Ä. Â., Óãàðîâ Â. À., ßêîâëåâ È. À. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî îáùåìó êóðñó ôèçèêè. Ìåõàíèêà. Ò. 1/ Ïîä ðåä. È. À. ßêîâëåâà. - Ì.: Ôèçìàòëèò, 2006.
6. ×åðòîâ À. Ã., Âîðîáúåâ À. À. Çàäà÷íèê ïî ôèçèêå. - Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1988.
7. Âîëüêåíøòåéí Â. Ñ. Ñáîðíèê çàäà÷ ïî îáùåìó êóðñó ôèçèêè. - ÑÏá.: ÑïåöËèò,
2002.
8. Àíèñèìîâ Â. Ì., Òðåòüÿêîâà Î. Í. Ïðàêòè÷åñêèé êóðñ ôèçèêè. Ìåõàíèêà/ Ïîä
ðåä. Ã. Ã. Ñïèðèíà. - Ì.: ÂÂÈÀ èì. Í. Å. Æóêîâñêîãî, 2008.
9. Àíèñèìîâ Â. Ì., Ëàóøêèíà Ë. À., Òðåòüÿêîâà Î. Í. Ôèçèêà â çàäà÷àõ/ Ïîä ðåä.
Î. Í. Òðåòüÿêîâîé. 4-å èçä. - Ì.: Âóçîâñêàÿ êíèãà, 2012.
10. Áàáåöêèé Â. È., Òðåòüÿêîâà Î. Í. Ïðèêëàäíàÿ ôèçèêà. Ìåõàíèêà. Ýëåêòðîìàãíåòèçì. - Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 2005.
11. Äåìêîâ Â. Ï., Òðåòüÿêîâà Î. Í. Ôèçèêà. Òåîðèÿ. Ìåòîäèêà. Çàäà÷è. - Ì.: Âûñøàÿ
øêîëà, 2001.
12. Äåìêîâ Â. Ï., Òðåòüÿêîâà Î. Í. Ôèçèêà. Ìåõàíèêà. 5-å èçä., ïåðåðàá. - Ì.:
Èçä-âî ÌÀÈ, 2006.
13. Òóð÷èíà Í. Â., Ðóäàêîâà Ë. È., Ñóðîâ Î. È. è äð. 3800 çàäà÷ ïî ôèçèêå. - Ì.: Äðîôà, 2000.
132
Îãëàâëåíèå
Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
§1. Êèíåìàòèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ êèíåìàòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Ïðÿìàÿ è îáðàòíàÿ çàäà÷è êèíåìàòèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3. Êèíåìàòèêà äâèæåíèÿ ïî îêðóæíîñòè. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10
Êðàòêèå âûâîäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Òåñòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
§2. Äèíàìèêà ìàòåðèàëüíîé òî÷êè. Çàêîíû Íüþòîíà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.1. Ìàññà è èìïóëüñ òåëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Ñèëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.3. Çàêîíû Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.4. Ïðèíöèï îòíîñèòåëüíîñòè Ãàëèëåÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Äâèæåíèå â íåèíåðöèàëüíûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà. Ñèëû èíåðöèè . . . . . . . . . . 48
Êðàòêèå âûâîäû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
Òåñòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
§3. Äèíàìèêà ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. . . . . . . . .70
3.1. Âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ ñèñòåìû ìàòåðèàëüíûõ òî÷åê.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.2. Íåêîòîðûå ñëåäñòâèÿ èç çàêîíîâ Íüþòîíà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71
3.2.1. Èìïóëüñ ñèëû è èçìåíåíèå èìïóëüñà òåëà. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.2. Òåîðåìà î äâèæåíèè öåíòðà ìàññ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72
3.2.3. Äâèæåíèå òåë ñ ïåðåìåííîé ìàññîé. Ðåàêòèâíîå äâèæåíèå. . . . . . . . . 74
Êðàòêèå âûâîäû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Òåñòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
§4. Ðàáîòà è ýíåðãèÿ. Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè . . . . . . . . . . . . . . 93
4.1. Ðàáîòà ñèëû. Ìîùíîñòü ñèëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Òåîðåìà î êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. . . . . . . . . . . . . . . . 94
133
4.3. Ñâÿçü ìåæäó êèíåòè÷åñêèìè ýíåðãèÿìè â ðàçëè÷íûõ ñèñòåìàõ îòñ÷åòà.
Òåîðåìà Êåíèãà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4. Êîíñåðâàòèâíûå ñèëû. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.5. Ïîëíàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ.
Çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6. Óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102
.
Êðàòêèå âûâîäû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
Âîïðîñû äëÿ ñàìîêîíòðîëÿ è ïîâòîðåíèÿ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104
Çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Òåñòû. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
Îòâåòû ê çàäà÷àì. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
Îòâåòû ê òåñòàì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
Áèáëèîãðàôè÷åñêèé ñïèñîê. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
134
Òåì. ïëàí 2017, ÷. 2, ïîç.16
Äåìêîâ Âëàäèìèð Ïàâëîâè÷
Ñóðîâ Îëåã Èâàíîâè÷
ÔÈÇÈÊÀ.
ÌÅÕÀÍÈÊÀ
Êèíåìàòèêà. Äèíàìèêà. Çàêîíû ñîõðàíåíèÿ
Ðåäàêòîð Å.Â. Äìèòðèåâà
Êîìïüþòåðíàÿ âåðñòêà Â.Ï. Äåìêîâà
Ïîäïèñàíî â ïå÷àòü 12.02.18.
Áóìàãà ïèñ÷àÿ. Ôîðìàò 60õ84 1/16. Ïå÷àòü îôñåòíàÿ.
Óñë. ïå÷. ë. 7,90. Ó÷.-èçä. ë. 8,50. Òèðàæ 500 ýêç.
Çàê. 860/541.
Èçäàòåëüñòâî ÌÀÈ
(ÌÀÈ), Âîëîêîëàìñêîâ ø., ä. 4, Ìîñêâà, À-80, ÃÑÏ-3 125993
Òèïîãðàôèÿ Èçäàòåëüñòâà ÌÀÈ
(ÌÀÈ), Âîëîêîëàìñêîâ ø., ä. 4, Ìîñêâà, À-80, ÃÑÏ-3 125993
Îòïå÷àòàíî ñ ãîòîâîãî îðèãèíàë-ìàêåòà