10 Teoria kriticheskikh razmerov 5

УрФУ
Кафедра «Атомная энергетика»
Физика ядерных
реакторов.
Теория критических размеров
Преподаватели:
Титов Г.П.
Велькин В.И.
Аспирант
Носов Д.А.
Екатеринбург 2011
11. Цилиндрический реактор, окруженный отражателем со всех сторон
Задача
для
цилиндрического
реактора,
окруженного
отражателем
со
всех
сторон,
решается
методом
последовательных приближений.
11. Цилиндрический реактор,
окруженный отражателем со
всех сторон.
Высота реактора заменяется эквивалентной высотой, и решается
задача о нахождении критического радиуса с боковым
отражателем, но без отражателя на торцах.
Находим эффективную добавку бокового отражателя δэфбок и
радиус реактора R.
11. Цилиндрический реактор, окруженный отражателем со всех сторон
Заменяем радиус реактора через Rэкв = R + δэфбок и решаем
задачу с эквивалентным радиусом Rэкв и отражателем на торцах
без отражателей на боковой поверхности.
Находим эффективную добавку торцевого отражателя А и высоту
реактора. Если она значительно отличается от принятой, то
находят новое значение эквивалентной высоты
Нэкв = Н + 2 δэфт
и расчет повторяют.
12. Коэффициент неравномерности
Коэффициенты неравномерности цилиндрического реактора
определяются из соотношений:
 c (r ) max
Kr 
,
 c (r )
по радиусу
по высоте
Z ( z)
12. KКоэффициент

,
Z ( z)
неравномерности.
 AJ ( r )2 rdr 2 A
c
max
z
c
где
R
0
c (r )  0
c
R
2

c R
c R
Kr 
.
2 J1 ( c R)
J1 ( c R);
12. Коэффициент неравномерности
По аналогии
c H / 2
Kz 
,
sin(  c H / 2)
объемный коэффициент
K  Kr K z .
С учетом отражателя
2, 405
c 
;
бок
R   эф
c 

H  2
т
эф
.
Отражатель уменьшает коэффициенты неравномерности.
12. Коэффициент неравномерности
Все эти формулы и уравнения получены в одногрупповом
приближении, поэтому их применение ограничено.
Для реактора с отражателем уравнения в одногрупповом
приближении справедливы для областей, достаточно удаленных
от границы с отражателем.
Для реакторов больших размеров удовлетворяется условие
R   ,
а так как L2 ≈ τ, то из уравнения критичности в одногрупповом
приближении должно удовлетворяться условие
(К∞ - 1) << 1.
13. Гомогенный реактор с отражателем в двухгрупповом
приближении. Постановка задачи
Некоторые эффекты влияния отражателя на характеристики
реактора были проиллюстрированы на примере одногруппового
приближения.
13. Гомогенный реактор с
отражателем в двухгрупповом
приближении.
Постановка
Этот недостаток
одногруппового
приближения можно
исправить, решая задачу с использованием уравнений для
различных энергий (групп)задачи
нейтронов.
Однако полученные результаты недостаточно точны, поскольку
характерные изменения спектра нейтронов вблизи поверхности
раздела активной зоны и отражателя не учитывались.
Одним из широко применяемых методов определения
критических размеров реактора на тепловых нейтронах является
двухгрупповое приближение.
13. Гомогенный реактор с отражателем в двухгрупповом
приближении. Постановка задачи
Будем считать, что испытав некоторые столкновения, быстрые
нейтроны скачком переходят в группу тепловых нейтронов.
Тогда необходимо определить коэффициенты диффузии и
сечения реакций.
Поток быстрых нейтронов определяется из условия
E0
E0
Ec
Ec
1   vn( E )dE   ( E )dE ,
где Е0 – энергия рождающихся нейтронов, Ес – энергия на
границе групп.
13. Гомогенный реактор с отражателем в двухгрупповом
приближении. Постановка задачи
С учетом потока усредняются все сечения. Сечение упругого
рассеяния в быстрой группе
E0
  ( E )dE
s
 s1  cE0
E
.
 ( E )dE
Ec
Число столкновений для превращения быстрых нейтронов в
тепловые равно
1 E

ln
0
Ec
.
13. Гомогенный реактор с отражателем в двухгрупповом
приближении. Постановка задачи
Тогда
s
E0
ln
 Ec
1
 11
-число быстрых нейтронов, переходящих в тепловую группу в
единице объема в единицу времени.
Здесь Ʃ1 – некоторое условное макроскопическое сечение,
которое характеризует исчезновение нейтронов из быстрой
группы. Оно же иногда называется сечением поглощения
быстрых нейтронов, а чаще всего – сечением увода.
Аналогично определяется коэффициент диффузии в быстрой
группе D1.
13. Гомогенный реактор с отражателем в двухгрупповом
приближении. Постановка задачи
Если в первом приближении представить Ф(r, E) = Ф(r)Ф(Е), то
для первой группы можно записать
E0
D1 
grad  (r )  D( E )( E )dE
Ec
E0
.
grad  (r )   ( E )dE
Ec
В асимптотическом случае теории замедления Ф(Е) = А/Е,
E0
поэтому
E
E D( E ) E
D1  c
.
E0
ln
Ec
13. Гомогенный реактор с отражателем в двухгрупповом
приближении. Постановка задачи
Находим длину диффузии
E0
E0
dE E0
dE
D( E )
D( E )
ln


E0
E
E
Ec Ec
D1 Ec
D( E ) dE
2
L1 



 T ,
E0
1
 s
 s
E  s
Ec
ln
Ec
где τТ – возраст тепловых нейтронов.
Таким образом, длина диффузии совпадает с возрастом
нейтронов:
L12   T
Теперь можем записать для двух
обеспечивающие достаточную точность.
групп
уравнения,
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Запишем уравнения реактора с отражателем в двухгрупповом
приближении, т.е. уравнения диффузии для быстрых и тепловых
нейтронов в активной зоне и отражателе:
D1c 1c  1c 1c 
K
 2c  2c  0;
(59)
14. Критическое
 уравнение
реактора
отражателем
в(60)
D   с 
    0;
(61)
двухгрупповом
D   приближении.
  0;
2c
2c
2c
1r
1r
2c
1c
1r
1c
1r
D2 r 2 r  2 r 2 r  1r 1r  0;
(62)
Индекс 1 относится к быстрой группе, а 2 – к тепловой. В этих
уравнениях первый член представляет собой утечку, второй –
увод, третий – источники.
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Граничные условия:
Ф1 и Ф2 конечны и положительны во всем объеме активной зоны
и отражателя;
Ф1 и Ф2 для симметричных реакторов симметричны по
отношению к осям и плоскостям симметрии;
на границе активной зоны и отражателя плотности потоков и
токов равны;
Ф1 и Ф2 равны нулю на экстраполированной границе отражателя.
При выводе сначала будем рассматривать систему уравнений
для активной зоны, а потом для отражателя.
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Активная зона. Разделим уравнение (59) на D1c, а (60) – на D2c. В
результате получим
K
1c  1c 
 2 c  2 c  0;
c
 D1c
(63)
1c
1
 2 c  2  2 c 
1c  0;
Lc
D2 c
(64)
1
Рассмотрим общее решение однородных частей этих уравнений:
2
(65)
  B   0;
1с
1
1c
 2с  B22 2c  0,
(66)
где В1 и В2 – геометрические параметры системы и для заданной
геометрии реактора В12 = В22.
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Данная система уравнений линейная и однородная,
следовательно решения ψ1с и ψ2с пропорциональны между
собой и являются решениями уравнения
  B 2  0.
(67)
Решение этого уравнения ищем в виде
 1c   (r );
 2 c  S (r ),
где
S
–
постоянная,
пропорциональности.
некоторый
коэффициент
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Подставив решения в уравнения (63) и (64), получим
K
   
 2 c S  0;
c
 D1c
1c
1
S   2 S 
  0.
Lc
D2 c
1
Воспользовавшись уравнениями (65) и (66), имеем
K
B    
 2 c S  0;
c
 D1c
1c
1
2
 SB   2 S 
  0.
Lc
D2 c
2
1
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Из второго уравнения определяем
S
1c
D2 c ( B  1/ L )
2
2
c

 D1c
 c D2 c ( B  1/ L )
2
2
c
.
Подставив S в первое уравнение, получим квадратное уравнение
относительно В2:
2 2
2
K   (1  B Lc )(1  B  c ),
или
K
1
2 2
2
(1  B Lc )(1  B  c )
- критическое уравнение для реактора без отражателя в
двухгрупповом приближении. Эта формула совпадает с
полученной (31) для большого реактора в одногрупповом
приближении.
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Решая уравнение, получаем
 1 1  2 K  1
B   2 B 
0
2
 c Lc
  c Lc 
4
и
2
 

 1 1  4( K  1) 
1 1 1 
2
2
B1       2     2  
 0;
2
2    c Lc 
 c Lc 
 c Lc 



2
 




4( K  1) 
1 1 1
1 1
2
2
B2       2     2  
 0.
2
2    c Lc 
 c Lc 
 c Lc 



14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Если учесть, что (К∞ - 1) << 1, то выражение под корнем
разлагается в ряд.
Получим упрощенный вид уравнений
K  1
  2
;
Lc   c
2
1 1
  2 .
Lc  c
2
Постоянная S принимает два значения:
S1 
 D1c
 c D2 c (1/ L   )
2
c
2
;
S2 
 D1c
 c D2 c (1/ L  )
2
c
2
.
Следовательно, уравнение (67) можно записать в виде двух
уравнений:
X   2 X  0;
Y  2Y  0.
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Тогда
1c  AX  CY ;
2c  S1 AX  S2CY .
Функции X и Y решаются для соответствующей системы
координат, своего типа реактора.
Отражатель. Имеем
1r 
1
r
1r  0;
1r
1
 2 r  2  2 r 
1r  0.
Lr
D2 r
(68)
(69)
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Запишем решения уравнений (68) и (69):
1r  FZ1 ,
где Z1 – решение уравнения Z 
1
1
r
Z1  0;
2r  G1Z 2  S31r  G1Z 2  S3 FZ1 ,
где Z2 – решение уравнения Z  1 Z  0;
2
2
L2r
В этих уравнениях F, G1, S3 – константы интегрирования.
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Для определения коэффициента связи S3 значения Ф1r и Ф2r
подставим в уравнение (69) и получим
1r
S3 
.
2
D2 r (1/ Lr  1/  r )
Теперь в общем случае для системы уравнений
X   2 X  0;
1
Z1  Z1  0;
r
Y  2Y  0;
1
Z 2  2 Z 2  0
Lr
может быть записано решение в следующем виде
1c  AX  CY ;
 2c  S1 AX  S2CY ;
1r  FZ1;
 2 r  G1Z 2  S3 FZ1.
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Все эти решения определяются для конкретной геометрии
реактора. Постоянные определяются из граничных условий:
AX  CY  FZ1  0;
S1 AX  S2CY  G1Z 2  S3 FZ1  0;
D1c ( AX ' CY ')  D1r FZ1  0;
D2c S1 AX ' S2 D2cCY ' D2 r G1Z 2 ' S3 FD2 r Z1 '  0.
Решение этой системы возможно, если определитель системы
равен нулю:
X
Y
Z
0
1
S1 X
S2Y
 S3 Z1
Z 2
D1c X '
D1cY '
D1r Z1
0
S1 D2 c X ' S2 D2cY '  S3 D2 r Z1'
 D2 r Z 2 '
0
14. Критическое уравнение реактора с отражателем
в двухгрупповом приближении
Введем обозначения:
X'

;
X
Y'
 ;
Y
Z1 '

;
Z1
Z2 '

;
Z2
D1r
D2 r
;
g1 
; g2 
D2 c
D1c
В результате получим критическое уравнение реактора в
двухгрупповом приближении
g 2 C1  g1 C2   C3

,
C1  C2  C3
где
C1  S1 ( g1   ); C2  S2 (    g 2 ); C3  S3 g2 (   ).
Спасибо за внимание