Условие - Reshaem.Net

Численные методы газовой динамики
ЗАДАЧА
В задаче Дирихле для плоского эллиптического уравнения
необходимо вычислить значения функции u во внутренних узлах сетки
прямоугольной области в виде
j
3
с
2
1
d
в
e
а
f
h
g
0
0
1
2
3
i
при заданных граничных условиях a, b, c, d, e, f, g, h.
Для решения задачи рекомендуется использовать итерационный
метод Либмана, т. е. формулу
ui , j 
1
ui, j 1  ui 1, j  ui, j 1  ui 1, j .
4
Расчет проводится последовательно для j=1:
и для j=2:
u1,1 
1
u1,0  u0,1  u1,2  u2,1 ;
4
u 2,1 
1
u2,0  u1,1  u2,2  u3,1 ;
4
u1, 2 
1
u1,1  u0,2  u1,3  u2,2 ;
4
u 2, 2 
1
u2,1  u1,2  u12 ,3  u3,2 .
4
Очевидно, функции, содержащие в индексе число 0 или 3 равны
соответствующим граничным условиям – их и следует подставлять в
формулу.
Значения функций с иными индексами следует принимать
равными их значениям в предыдущем приближении. В нулевом
приближении обычно принимают
ui,0j  0 .
Для этих условий в 1-ом приближении будем иметь
u11,1 
1
u1,0  u0,1  0  0;
4
u 21,1 
1
u2,0  u1,1  0  u3,1 ;
4
u1(,12) 
1
u1,1  u0,2  u1,3  0;
4
u 21,2 
1
u2,1  u1,2  u2,3  u3,2 .
4
Здесь следует обратить внимание на то, что поскольку в первой
строчке функция u11,1 уже выведена, то в последующих строках значение
u11, 0 следует принимать равным, найденным в 1-ой строчке. Аналогично
в последней строчке используется значение u1,3 , u 2 ,1 , u1, 2 из предыдущих
строчек, т. е. найденные функции немедленно используются в
дальнейших вычислениях.
После определения функций в первом приближении переходим к
выполнению второго приближения. Достаточность выполненных
итераций определим сравнением результатов итераций
max
ui,nj  ui,nj1
ui,nj
 0,0001.
ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ
Номер
варианта
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
a
2
2
2
10
10
5
4
12
14
15
16
0
0
4
2
12
12
1
4
8
11
3
18
6
1
16
12
6
14
b
1
2
1
5
5
10
2
8
5
4
14
0
0
14
12
4
16
1
12
2
3
11
12
4
2
8
6
8
4
Значения граничных функций
c
d
e
f
1
2
2
1
0
0
0
0
1
2
4
5
0
0
0
0
0
0
1
2
2
1
0
0
1
0
0
1
1
2
0
0
2
1
1
2
1
2
1
4
6
0
0
0
0
1
0
1
15
2
2
15
2
1
1
2
0
0
0
0
1
2
2
1
1
1
1
1
0
0
1
1
12
4
2
1
1
2
2
2
2
1
3
13
1
2
13
2
6
1
1
0
1
2
2
1
4
6
6
4
4
2
1
1
2
1
1
2
3
1
1
3
1
2
2
1
g
1
0
5
0
0
1
0
0
0
1
2
0
0
1
2
1
0
10
1
0
1
0
0
5
1
2
1
1
0
h
2
0
4
0
0
2
2
0
0
1
1
0
0
1
1
1
0
5
2
0
0
1
0
4
1
4
1
1
0