ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «КОМИ-ПЕРМЯЦКИЙ ПРОФЕССИОНАЛЬНО - ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ ОРДЕНА «ЗНАК ПОЧЕТА» ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ НА ТЕМУ «Использование графиков функций для решения задач» по учебной дисциплине «ОУП.07 Математика» Обучающийся: Коняева Александра Сергеевна. Курс 1 группа НК-23 Руководитель: В.И.Плотникова. (В.И Плотникова) СОДЕРЖАНИЕ ВВЕДЕНИЕ......................................................................................................................1 ГЛАВА 1.Функции и его графики...............................................................................2 1.1.История возникновения функций..............................................................................2 1.2. Определение функции............................................................................................2-3 ГЛАВА 2.Использование графиков функций для решения задач........................ 1.1.Решение уравнений..................................................................................................... 1.2.Решение систем уравнений........................................................................................ 1.3.Решение неравенств с одной переменной................................................................ 1.4.Решение неравенств с двумя переменными............................................................. ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................................................................................... СПИСОК ИНФОРМАЦИОННЫХ ИСТОЧНИКОВ............................................... Введение. Использование функций и построение их графиков является одним из важных разделов в математике. Умение владеть техникой построения графиков зачастую помогает решать большинство задач и иногда является единственным решением. Зачастую построение графиков связано с исследованием функций. Однако необходимость построения графиков не ограничивается только этим. Графики облегчают нахождение решений уравнений и неравенств, сокращая аналитические выкладки, и часто при этом являются единственным методом решения задач. Кроме этого, графический метод неоднократно применяется в решении многих задач. В связи с этим,объектом моего исследования стали уравнения,неравенства, их задачи и системы,которые либо нельзя решить аналитическим способом, либо подходяще решить графическим способом. Умение строить графики функций одно из важнейших как в математике, так и в других науках. Навыки построений графиков функций необходимо приобретать в школе. Исходя из этого, предметом моего исследования стали графики функций. Цель работы – показать использование графиков при решении неравенств, уравнений,их систем, а также прикладных задач. Такое решение представляется соответственно для оказания помощи. Актуальность: Графический метод, опирающийся на знания функций, доступен для понимания, хотя спектр применения методов, с помощью которых строится графики функций, разнообразный. Проблема: Проблема состоит в том что данную тему понимают не все обучающиеся. И эту тему не изучают в начальных классах, а только с 5 – 7 класса. Задача: Подробно объяснить и привести примеры решения этой темы. ГЛАВА 1.Функции и их графики. Переменная величина у называется функцией переменной величины х, если каждому значению х соответствует определенное значение у. Множество всех тех значений. которые принимает аргумент х функции y = f(x), называется областью определения этой функции. Функция y = f(x) называется нечетной , если при всех значениях х из области определения этой функции f(-x) = -f(x). Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат. Функция y = f (x) называется периодической, с периодом Т, где Т = 0, если значение функции не изменяется при добавлении числа Т к любому допустимому значению аргумента: f (x+ T) + f (x). Функция y = f (x) множество ограниченной , если можно указать такое положительное число М , что |f (x)|< M для всех значений х из области определения функции. Если же точка М не существует, то функция называется неограниченной. Графиком функции у = f(x) называется множество всех точек плоскости, координаты которых ( x,f(x)). 1.1 История возникновения функции. Понятие функции уходит своими корнями в далекую эпоху, когда люди впервые поняли, что окружающие их явления взаимосвязаны. Они еще не умели считать, но уже знали, что, чем больше дичи удастся убить на хоте, тем дольше племя будет избавлено от голода. Начиная с XVII века одним из важнейших понятий является понятие функции. Оно сыграло и играет большую роль в познании мира. Четкое представления понятия функции в XVII веке еще не было, однако путь к первому такому определению установил Декарт, который систематически рассматривал в своей «Геометрии» лишь те кривые, которые можно точно представить с помощью уравнений, к тому же преимущественно алгебраических. Постепенно понятие функции стало отождествляться таким образом с понятием аналитического выражения – формулы. Слово «функция» ( от латинского functio – совершение, выполнение) Лейбниц употреблял с 1673 г. в смысле роли (величина, выполняющая ту или иную функцию). Как термин в нашем смысле выражения «функция от х» стало употребляться Лейбницем и И. Бернулли. Точное определение функции было впервые дано в 1718 г. одним из учеников и сотрудников Лейбница, выдающимся швейцарским математиком Бернулли: «Функцией переменной величины называют количество, образованное каким угодно способом из этой переменной величины и постоянных». Оно привело в восхищение Лейбница, увидевшего, что отход от геометрических образов знаменует новую эпоху в изучении функций. Многие из этих функций нельзя было явно выразить с помощью ранее известных действий. Поэтому один из самых замечательных математиков XVII века Леонард Эйлер (1707-1783), вводя в своем учебнике понятие функции, говорит лишь, о том что « когда некоторые количества зависят от других таким образом, что при изменении последних и сами они подвергаются изменению, то первые называются функциями вторых». В формировании современного понимания функциональной зависимости применяли участие многие математики. Описание функции, почти совпадающее с современным, встречается уже в учебниках математики начала XIX века. Активным сторонником такого понимания функции был Н.И.Лобачевский. 1.2.Определение функции. Зависимой переменной «у» от переменной «х» называется функцией, если каждому значению «х» соответствует единственное значение «у». Переменную «х» называют независимой переменной или аргументом, а переменную «у» – зависимой переменной. Значение «у», соответствующее заданному значению «х», называют значением функции. Записывают: у=f(x) ( читается: «эф от икс»).Буквой «f» обозначается данная функция, т.е. функциональная зависимость между переменными х и у; f(x) есть значение функции, соответствующее значение аргумента «х». Говорят также, что f(x) есть значение функции в точке «х». Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область определения функций. Все значения, которые принимает функция f(x) ( при х, принадлежащих области ее определения), образуют область значений функции. Может возникнуть вопрос: Почему мы обозначаем функцию символом f, и когда он появился. Этот символ изобрел в 1733 г. французский математик Клеро. А появился этот символ, когда формировался общий подход к понятию функции, когда потребовалось обозначение «функции вообще». ГЛАВА 2. Использование графиков функций для решения задач. 2.1.Решение уравнений. Для того, чтобы найти решение уравнения с одним неизвестным графическим способом,нужно,перенеся все члены его в левую часть, представить это уравнение в виде f(x) = 0. После этого необходимо построить график функции y = f(x). Абциссы точек пересечения или касания этого графика с осью х равны корням исходного уравнения. Если таких нет, то уравнение не имеет решений. В ряде случаев при решении уравнений с одним известным целесообразней воспользоваться другим методом. Для этого уравнение записывается в виде f1 (x) = f2 (x) и заменяется системой решаемой графически. Абциссы точек пересечения или касания графиков f1 (x) и f2 (x) равны корням исходного уравнения. Пример 1. Решить уравнение Решение. После построения графиков функций и легко заметить, что уравнение имеет бесчисленное множество решений. Значения корней близки к , где k = 1,2...(рис.1) Пример 2. Найти число корней уравнения sin x = lg x. Решение. После построения графиков y = sin x и y = lg x становится очевидным, что это уравнение имеет три корня (рис.2) 2.2.Решение систем уравнений. Каждое из уравнений системы представляют собой функциональную зависимость между переменными х и у. Обе функции f и f могут быть изображены графически. Координаты х и у точек пересечения или касания этих графиков являются решением исходной системы уравнений. Число общих точек графиков равно количеству решений. Если общих точек нет, то система несовместна, т.е. не имеет решений. 1 2 Пример 3. Решить систему уравнений Решение. Уравнения, входящие в систему, удобно записать в виде (рис.3) Графики этих функций пересекаются в точке с координатами х = 2 и у = 2, значения являются решением исходной системы. Из рисунка 4 видно, что это решение единственно. Пример 4. Решить систему уравнений Решение. Для решения системы нужно построить графики функций и .(рис.4) Эти графики имеют две точки пересечения, т.е. система обладает двумя решениями, которые находятся приближенно: Пример 5. Решить систему уравнений Решение. В первом квадрате первое уравнение системы может быть представлено в виде , т.е. , поэтому здесь график представляет собой четверть окружности единичного радиуса с центром в начале координат. Если х < 0, то у = 1 ( прямая, параллельная оси 0х), а если у < 0, то х = 1 ( прямая, параллельная оси 0у). График функции у = cos2x очевиден. Построенные графики (рис.5) имеют одну точку пересечения и бесконечное множество точек касания, что соответствует множеству решений заданной системы уравнений: и , где k = 0, 1, 2,... . 2.3.Решение неравенств с одной переменной. Наглядность, свойственная графическому методу, при решении неравенств еще более ценна, чем при решении уравнений. Способы решения остаются теми же. Сами же решения, в отличие от решений уравнений, чаще изображаются на графике не только отдельными точками, но и целыми участками числовой оси. Пример 6. Решить неравенство Решение. После построения графиков функций и (рис.6) записываем решение: -1 х х. 2.4.Решение неравенств с двумя переменными. Решением неравенства с двумя переменными х и у называется любая nfpa чисел х0 и у0, удовлетворяющая этому неравенству. Графически это соответствует заданию точки с координатами (х0, у0). Совокупность всех точек, координаты которых удовлетворяют некоторому неравенству, называется областью его решений. Для графического решения неравенства с двумя переменными необходимо построить график функций y = f(x) (для неравенства вида yf(x) yf(x)) или геометрическое место точек F(x,y) = 0( для неравенства вида F(x,y) >0). Такие построения разбирают всю плоскость ( x,y) на две или более областей. Область, в которой выполняется исходное неравенство, и представляют собой область его решений. Пример 7. Решить неравенство y = x2 – 5x + 4 Решение. График функции y = x2 – 5x + 4 представляет собой параболу. Координаты любой точки, лежащей выше параболы, удовлетворяют заданному неравенству ( на рис.7 область решений неравенства закрашена, причем точки самого графика в эту область не входят). Пример 8. Решить неравенство lg ( y – x)< 0. Решение. Это неравенство равносильно системе неравенств Графики функций у = х+1 и у = х представляют собой параллельные прямые. Областью решений неравенства является полуплоскость, лежащая ниже прямой у = х+1, включая точки самой прямой (рис.14). Область решения неравенства у – х0 – полуплоскость выше прямой у=х. Общая часть этих полуплоскостей (или их пересечение), очевидно, содержит точки, удовлетворяющие обоим неравенствам. Следовательно, областью решений неравенства lg(y – x) < 0 является полоса. заключенная между двумя прямыми (закрашенная часть), причем одна из границ полосы – прямая у = х + 1 – также входит в область решений. Заключение. Курс математики предусматривает изучение различных способов решения уравнений и неравенств. Однако на вступительных экзаменах в ВУЗы все чаще встречаются уравнения и неравенства, методы, решения которых выходят за рамки школьного учебника математики. В связи с этим, вполне целесообразно рассмотреть использование графиков для решения уравнений и неравенств на факультативных занятиях. Это и закрепление изученных свойств функций. и прекрасная демонстрация их применения на практике, и подготовка учащихся к вступительным экзаменам. В данной работе представлены графические способы решения уравнений, неравенств, их систем и прикладных задач, которые наглядно объясняются геометрической интерпритацией, сопровождаются рисунками, а также достаточным количеством примеров. Список используемой литературы. 1.Дороднов А.М., Острецов И.Н. и др. « Графики функций». 2.Егерев В.К. , Радунский Б.А « Методика построения графиков функций». 3.Костюкова Н.К. « Построение графиков рациональных функций». 4. Гурский И.П. « Функции и построение графиков». 5. Гельфанд И.М., Глаголева Е.Г. « Функции и графики». 6. Шилов Г.Е. « Как строить графики»? 7. Сивашинский И.Х. «Элементарные функции и графики».
