1. Какие значения может принимать вероятность? От 0 до 1 Математическое ожидание? Математическое ожидание может быть как положительным, так и отрицательным числом. Математическое ожидание постоянной величины С равно этой постоянной. М (С) = С. Дисперсия? Неотрицательные, а если случайная величина - константа, то ее дисперсия = 0 2. Что характеризуют параметры распределения МХ, DX, X . МХ - Математи́ ческое ожида́ние – среднеожидаемое значение при многократном повторении DX – Дисперсия - Мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания oX – Среднеквадратическое отклонение случайной величины показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения. 3. Формулы для вычисления МХ, DX, X . (для непрерывного и дискретного случая) . Дисперсия для дискретной: Дисперсия для непрерывной: Соответственно суммирование по всем возможным значениям заменяется на интегрирование в пределах . Вероятность отдельного значения дискретной случайной величины случайной величины заменим на элемент вероятности для непрерывной . Тогда получаем: Среднеквадратичное отклонение: 4. Определение и вид графика (для непрерывного и дискретного случая) функции распределения. Дискретная: Функцией распределения называют функцию , определяющую вероятность того, что случайная величина в результате испытания примет значение, меньшее , то есть: Геометрически это равенство можно истолковать так: есть вероятность того, что случайная величина примет значение, которое изображается на числовой оси точкой, лежащей левее точки . Функция распределения дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Непрерывная: функция распределения ЛЮБОЙ непрерывной случайной величины всегда и всюду непрерывна Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называются функцию распределения : – первую производную от функции 5. Условие нормировки плотности распределения вероятностей (с объяснением смысла). 6. Коэффициент корреляции равен 0.9 (0.5; 0,1; -0.7; -1). Что можно сказать про случайные величины X и Y? Коэффициент корреляции - это величина, которая может варьировать в пределах от -1 до 1. В случае полной положительной корреляции этот коэффициент равен плюс 1, а при полной отрицательной - минус 1. В случае же если эти точки не выстраиваются по прямой линии, а образуют «облако», коэффициент корреляции по абсолютной величине становится меньше единицы и по мере округления этого облака приближается к нулю: В случае если коэффициент корреляции равен 0, обе переменные полностью независимы друг от друга. В гуманитарных науках корреляция считается сильной, если ее коэффициент выше 0,60; если же он превышает 0,90, то корреляция считается очень сильной. Однако для того, чтобы можно было делать выводы о связях между переменными, большое значение имеет объем выборки: чем выборка больше, тем достовернее величина полученного коэффициента корреляции. Отрицательная или обратная корреляция описывает, когда две переменные имеют тенденцию перемещаться в противоположных размерах и направлениях друг от друга, так что, когда одна увеличивается, другая переменная уменьшается, и наоборот. 7. Вид плотности нормального распределения. или закон Гаусса Нормальное распределение – наиболее часто встречающийся вид распределения. С ним приходится встречаться при анализе погрешностей измерений, контроле технологических процессов, а также при анализе и прогнозировании различных явлений в биологии, медицине и других областях знаний. Функция плотности распределения определена на всей числовой оси Ох, то есть каждому значению х соответствует вполне определённое значение функции. При всех значениях х (как положительных, так и отрицательных) функция плотности принимает положительные значения, то есть нормальная кривая расположена над осью Ох. Предел функции плотности при неограниченном возрастании х равен нулю Функция плотности нормального распределения в точке имеет максимум а есть математическое ожидание – среднее квадратическое отклонение (то есть ) нормального распределения 8. Почему закон Гаусса называют нормальным? Нормальный закон («закон Гаусса») играет исключительную роль в теории вероятностей и её приложениях. Главная особенность закона Гаусса состоит в том, он является предельным законом, к которому приближаются, при определённых условиях, другие законы распределения. 9. В чём смысл закона больших чисел? Математическое ожидание – под ним понимается усредненное значение случайной величины. Например, при броске костей (1 кубика) при каждом броске вероятность выпадения цифры от 1 до 6 равна. Матожидание же рассчитывается как среднее значение выпавшего результата на определенной выборке, его величина зависит от выбранной выборки; Случайная величина – любое событие, итог которого невозможно спрогнозировать со 100%-ной точностью. Простейший пример – подбрасывание монетки (экспериментатор не знает какая сторона монеты выпадет в каждом конкретном случае). Закон больших чисел простыми словами – это закон, позволяющий понять, каким вероятнее всего окажется результат эксперимента, если проводить его неоднократно. Чем большим будет число таких экспериментов, тем ближе будет результат к математическому ожиданию Более того, закон больших чисел – это та закономерность, которая позволяет прогнозировать исход случайных событий на длинной дистанции. Это важно в прогнозировании и оценке рисков в любой сфере деятельности человека. Вероятность выпадения одной из сторон 50%, если подбросить ее 10 раз, то распределение может оказаться и 70/30 и 20/80. Но если продолжать эксперимент 10000, 1000000 раз, то распределение будет приближаться к 50/50. 10.Вероятность попадания в интервал для случайной величины, распределённой по нормальному закону α-Мат Ожидание β - средне квадр. отклонение данной величины. Какие задачи решает математическая статистика? Математическая статистика- раздел математики, тесно связанный с теорией вероятности. МС занимается изучением закономерностей, которым подчиняются массовые явления, на основе результатов наблюдений. Различие между теорией вероятности и математической статистикой: Типичные задачи теории вероятности - по известным вероятностям простых случайных событий вычислить вероятность более сложных событий; Типичные задачи математической статистики - на основании результатов наблюдений оценить вероятность случайного события или вероятность характеристики случайной величины. Разработка методов анализа статистических данных в зависимости от целей исследования. При решении любой задачи математической статистики имеется 2 источника информации: 1. результаты наблюдений, экспериментов; 2. априорная (доопытная) информация о свойствах изучаемого объекта, накопленная к текущему моменту. 11.Что является оценкой МХ, DX, Оценка математического ожидания М (X) случайной величины есть среднее арифметическое X всех полученных результатов наблюдений. Оценка математического ожидания, которая является случайной величиной, должна быть достаточно близкой к самому математическому ожиданию. В первой формуле оценка математического ожидания не смещена, но во второй формуле дисперсия является выборочной. Т.е. эта оценка дает характеристику величине дисперсии данной выборки, не для популяции данных. 12.Что является оценкой функции распределения и плотности? В тех случаях, когда объем выборки велик и достаточно много выборочных значений мало отличающихся друг от друга, возникает предположение о непрерывности распределения генеральной случайной величины. Наблюдатель изначально может знать, является ли генеральная случайная величина непрерывной. В этих случаях строится аналог функции плотности распределения. Над каждым промежутком строится прямоугольник высоты членов выборки, попавших в i-ый промежуток, выборки. где число длина i-го промежутка, п – объем Организация приема экзамена в режиме онлайн 1. Все студенты находятся в «комнате ожидания». После подключения студент должен (без напоминания) показать документ так, чтобы была видна фотография и фамилия – приготовить заранее! 2. Отвечать нужно без наушников. Если последнее невозможно, то после получения вопроса необходимо снять (приспустить) наушники. 3. На экзамен подключаются только те студенты, у которых есть зачтенные контрольные работы Помните, что сеансы в ZOOM продолжаются 40 минут - нужно будет переключаться.
