Одномерные деформации нелинейно упругих микрополярных тел

ОДНОМЕРНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ НЕЛИНЕЙНО УПРУГИХ МИКРОПОЛЯРНЫХ
ТЕЛ
Л. М. Зубов
Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия
Определен класс конечных деформаций упругой микрополярной среды, при которых
система уравнений равновесия сводится к обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Найденные семейства деформаций описывают, в частности, изгиб и кручение микрополярных тел
различной геометрической формы. Для физически линейного континуума Коссера получен ряд
точных решений о больших деформациях трехмерных тел.
1. Уравнения равновесия в ортогональных криволинейных координатах.
Микрополярная среда (или континуум Коссера) – это материальное тело, каждая частица
которого имеет шесть степеней свободы абсолютно твердого тела, то есть характеризуется
положением в пространстве и ориентацией. Взаимодействие частей микрополярного тела
осуществляется не только обычными (силовыми), но и моментными напряжениями.
Удельная потенциальная энергия деформации W континуума Коссера задается как
функция двух тензорных аргументов [1, 2]
W  W  Y, L  , Y  C  HT , C  gradR ,
(1.1)
(1.2)
L  E    gradH   HT .
Здесь Y – мера деформации, L – тензор изгибной деформации, C – градиент
деформации, H – собственно ортогональный тензор микроповорота, E – единичный
тензор, R – вектор положения частиц деформированного тела, grad – оператор градиента
в лагранжевых координатах.
Рассматривая задачу статики микрополярного тела, уравнения равновесия запишем в
виде [2]
divD   b  0 ,
(1.3)
divG   CT  D   l  0 ,

(1.4)
W
W
, K
,
(1.5)
Y
L
В (1.3)–(1.5) D и G – тензоры напряжений и моментных напряжений типа Пиолы, P и K
– тензоры напряжений и моментных напряжений типа Кирхгофа, div – оператор
дивергенции в лагранжевых координатах,  – плотность материала в отсчетной
конфигурации, b – массовая сила, l – интенсивность массовой моментной нагрузки,
индекс «  » в (1.4) означает векторный инвариант тензора второго ранга [3].
Пусть uk , k  1, 2,3 – некоторые ортогональные криволинейные координаты в
D  P  H, G  K  H, P 
отсчетной конфигурации материального тела (лагранжевы координаты), U s , s  1, 2,3 –
какие-либо ортогональные криволинейные координаты в пространстве (эйлеровы
координаты). Коэффициенты Ляме этих координат обозначим соответственно
am  uk  , An U s  , а ортонормированные векторные базисы, ассоциированные с
указанными координатами, обозначим fm  uk  , Fn U s  . Предполагается, что векторные
базисы fm и Fn имеют одноименную ориентацию. Будем использовать следующие
разложения введенных выше векторов и тензоров
b  bn Fn , l  ln Fn , C  Cmnf m  Fn , H  H mnf m  Fn ,
Y  Ymnf m  f n , L  Lmnf m  f n , D  Dmnf m  Fn ,
(1.6)
G  Gmnfm  Fn , P  Pmnf m  f n , K  K mnf m  f n .
Из (1.1), (1.5), (1.6) следуют формулы
Ymn  Cmk H nk , Dmn  Pmk H kn , Gmn  K ms H sn .
Пусть деформация среды Коссера задана при помощи функций
(1.7)
U s  U s  uk  , H mn  H mn  uk  .
Справедливо представление
(1.8)
As U s
(не суммировать по s , k ).
ak uk
Уравнения равновесия (1.3), (1.4) примут вид
Cks 

g  Csk  Am
A
1  
Dsm  k Dsk    bm  0,
 Dsm
 

as  Am Ak  U k
U m
g us 

(1.9)
g  a1a2 a3 ,
(1.10)

g  Csk  Am
A
1  
Gsm  k Gsk   Ckn Dks ensm   lm  0 .
(1.11)
 Gsm
 

as  Am Ak  U k
U m
g us 

В (1.10), (1.11) ensm – символ Леви-Чивиты и подразумевается суммирование по
s, k , n от 1 до 3. По индексу m суммирования нет.
2. Частные решения, приводящие к одномерным краевым задачам. В
дальнейшем предполагается, что массовыми силами и массовыми моментами можно
пренебречь: bm  lm  0 . Будем использовать такие координатные системы us , U k ,
коэффициенты Ляме которых зависят лишь от одной координаты:
am  am  u1  ,
An  An U1  . Этому условию удовлетворяют декартовы и круговые цилиндрические
координаты. Рассмотрим следующие семейства конечных деформаций континуума
Коссера
U1    u1  , U 2   u1   p2u2  r2u3 , U3   u1   p3u2  r3u3 ,
H  H mn  u1  fm  Fn .
(2.1)
(2.2)
Здесь p2 , r2 , p3 , r3 – постоянные, H mn – элементы собственно ортогональной матрицы,
общее представление которой можно взять в виде (  mn – символ Кронекера)
H mn  u1    4   2   4   2   mn  2 m n  4emns s  ,
  12   22  32 ,  s   s  u1  , s  1, 2, 3.
Из соотношений (1.1), (1.6), (1.7) видно, что при деформациях вида (2.1), (2.2)
величины Cmn , Ymn , Lmn зависят только от координаты u1 . Если микрополярная среда
однородна и изотропна, то доказывается, что компоненты напряжений Dsm и моментных
напряжений Gsm также не зависят от координат u2 , u3 . Отсюда вытекает, что на
семействах деформаций (2.1), (2.2) система уравнений равновесия (1.10), (1.11) сводится к
системе шести обыкновенных дифференциальных уравнений для шести функций одной
переменной:  ,  ,  ,  m  m  1, 2,3 . В силу указанного свойства данные деформации
называются одномерными. В качестве граничных условий при одномерных деформациях
на двух поверхностях u1  const могут быть заданы постоянные составляющие
1
напряжений D1m и моментных напряжений G1m
 m  1, 2,3 .
Краевые условия на
остальной части поверхности тела могут быть выполнены лишь в некотором
интегральном (осредненном) смысле за счет подбора постоянных pk , rk .
В частном случае, когда координаты uk – декартовы, а координаты U s –
цилиндрические, формулы (2.1), (2.2) описывают изгиб прямоугольной плиты, при
котором она превращается в сектор полого кругового цилиндра или замкнутый цилиндр
(трубу). Указанный цилиндрический сектор подвергается затем кручению, растяжению и
осевому сдвигу.
В классе одномерных деформаций (2.1), (2.2) существуют такие, для которых часть
из уравнений равновесия (1.10), (1.11) удовлетворяется тождественно. Например, если в
(2.1) положить   u1     u1   0 , а тензор микроповорота взять в виде
(2.3)
H  f1  F1  cos   u1  f2  F2  f3  F3   sin   u1  f3  F2  f2  F3  ,
то в случае изотропного материала тождественно удовлетворяются уравнения (1.10) и
(1.11) при m  2 и m  3 , и задача сводится к двум обыкновенным уравнениям
относительно функций   u1  и   u1  . Отметим наиболее важные случаи деформации,
которые можно описать соотношениями (2.1) при     0 и (2.3): изгиб прямоугольного
параллелепипеда, цилиндрический изгиб или выпрямление сектора полого кругового
цилиндра, раздувание, растяжение вдоль оси и кручение полого кругового цилиндра,
образование винтовой дислокации в полом цилиндре, выворачивание круглой трубы. В
задачах о круговом цилиндре указанное семейство деформаций содержит достаточный
произвол для удовлетворения условий на торцах в смысле Сен-Венана.
Простейшей моделью изотропного сжимаемого микрополярного тела является
физически линейный материал [2], для которого упругий потенциал W – квадратичная
форма тензоров Y  E и L
2W   tr 2  Y  E        tr  Y  E    Y T  E  
     tr  Y  E    tr 2 L       tr  L  LT        trL2 ,
2
(2.4)
где  ,  ,  ,  ,  ,  – материальные постоянные. В рамках модели (2.4) ряд практически
важных случаев из перечисленных выше семейств деформаций приводит к
дифференциальным уравнениям, допускающим точное явное решение. Это позволило
построить несколько решений в замкнутой форме, характеризующих поведение
микрополярных тел при больших деформациях.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных
исследований (проект 09-01-00459).
ЛИТЕРАТУРА
1. Toupin R.A. Theories of elasticity with couple-stress // Arch. Ration. and Mech. Anal. –
1964. – V. 17. – №. 5. – P. 85–112.
2. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and Disclinations in Elastic Bodies. –
Berlin: Springer, 1997.
3. Зубов Л.М., Карякин М.И. Тензорное исчисление: Основы теории. – М.: Вуз. кн., 2006.