ГПМ и АЛ
Лекции, весенний семестр.
Основные понятия теории массового обслуживания, предпосылки к
построению математической модели ГАЛ.
1.Марковские процессы.
Механизм, станок, группу станков или ГАЛ можно представить, как некоторую физическую
систему S, состояние которой с течением времени изменяется случайным образом. В этом случае
говорят, что в системе S протекает случайный процесс.
Описание таких явлений приводит к решению задач в условиях неопределённости. Такие
задачи называют «стохастическими», если факторы, вызывающие неопределённость, и
представляющие собой случайные величины, можно описать с помощью законов распределения,
параметры которых либо известны, либо могут быть найдены. В том случае, когда случайная
составляющая отсутствует или не учитывается, задача называется детерминированной (т.е.
подчинённой функциональной зависимости).
Элемент «случайности» в разной степени присущ большинству реальных процессов, но обычно он
учитывается лишь тогда, когда оказывает существенное влияние на результат.
Примеры случайных процессов:
1.Космический корабль выводится на заданную орбиту. Процесс S - вывода сопровождается
корректирующими воздействиями, устраняющими случайные ошибки, следствием которых является
отклонения от заданного режима полёта. Причинами таких отклонений могут быть: погрешность при
определении массы корабля, погрешности геометрической формы, неравномерное сгорание топлива,
погрешности работы системы управления, ветровая нагрузка, атмосферные и температурные
воздействия и прочее. Т.о. процесс вывода корабля на орбиту является случайным.
2.Система S – поезд, совершающий перевозку из города A в город B. Является ли состояние системы
случайным. С точки зрения математики средней школы, задача детерминированная и время прибытия
поезда в город В подчиняется зависимости
. Но если нужно обеспечить соблюдение графика
движения поездов, задача должна рассматриваться как стохастическая.
Вообще, сложно найти пример процесса, не содержащего элементов случайности: обслуживание в
столовой или парикмахерской, время от времени сопровождается появлением очереди. Работа
хронометра подвержена случайным колебаниям. Процесс можно рассматривать как
детерминированный, если его случайные возмущения мало влияют на результат,
например, при составлении расписания движения паромов (самолётов) можно пренебречь случайным
положением их центра массы, а при их загрузке или проектировании – нельзя.
Особое место среди всех случайных процессов занимает «марковский случайный процесс».
Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента
времени t0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в
данный момент t0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.
Поясним это определение.
Пусть в настоящий момент t0 система находится в определенном состоянии S0. Наблюдая процесс со
стороны (см. рис), мы знаем состояние системы не только в момент t0, но и всю предысторию процесса,
т.е. все, что было при t < t0.
Точное предсказание будущего состояния системы невозможно, т.к. процесс случайный, но
некоторые вероятностные характеристики процесса в будущем найти можно. Например, вероятность
того, что через некоторое время t система S окажется в состоянии S1 или сохранит состояние S0, и т. п.
Для М случайного процесса такое «вероятностное предсказание» оказывается гораздо проще,
чем для НМ т.к. если процесс — марковский, то предсказывать можно только учитывая настоящее
состояние системы S0, не учитывая её предысторию (поведение системы при t < t0).
Это связано с тем, что в М состояние S0 зависит от прошлых состояний системы, но как только
S0 достигнуто, о них можно забыть.
Иными словами, в марковских процессах будущее зависит только от настоящего.
В силу своей простоты, М процессы удобно использовать для моделирования систем примерно
так, как мы используем модель «идеального газа» в физике. В точности М процессы на практике
встречаются редко, но есть процессы, приближающиеся к ним:
Регистрация счётчиком Гейгера космических частиц (если считать, что счётчик сохраняет
свою чувствительность во времени);
Появление ошибки при разработке управляющей программы для станка инженерамитехнологами.
Замечание: почти любой процесс можно рассматривать как марковский.
Например:
рассматривается работа станка, который в момент времени t0 сохраняет свою
работоспособность. Нас интересует вероятность сохранения им работоспособности при t>t0 (в
будущем).
Если настоящее состояние станка описывать просто, как «станок исправен», то процесс не является
марковским, т.к. на работоспособность станка оказывает влияние его прошлое, например:
время работы,
время последнего ремонта.
Если в описание настоящего состояния станка включить и эти параметры, то процесс можно считать
марковским или приближающимся к нему.
Замечание: понятно, что состояние станка можно описать множеством параметров:
наличие или отсутствие технического обслуживания,
наличие аварийных ситуаций (соударений подвижных органов),
характер работы (в основном черновая или чистовая обработка),
колебание температуры в цеху и т.д.
Однако усложнение математического описания процесса часто приводит не только к тому, что
задача становится «нерешаемой» из-за сложного математического описания, но и требует обработки
большого объёма экспериментальных данных. Поэтому при описании процесса крайне желательно
обходиться «ключевым» набором из одного – двух параметров.
2.Дискретные марковские процессы
Марковские процессы можно классифицировать.
Для нас будут важны так называемые марковские случайные процессы с дискретными
состояниями и непрерывным временем.
Процесс называется процессом с дискретными состояниями, если его возможные состояния
S1, S2, S3,.. можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние
происходит «скачком», практически мгновенно.
Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных
переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны,
если
переход может осуществиться, в принципе, в любой момент.
Пример дискретного М процесса:
техническое устройство S состоит из двух узлов, каждый из которых в случайный момент
времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже
продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.
Возможные состояния системы можно перечислить:
S0 — оба узла исправны,
S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен,
S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен,
S3 — оба узла ремонтируются.
Построим геометрическую схему - граф состояний для рассмотренной системы. Будем
изображать состояния системы прямоугольниками, в которых записаны обозначения состояний:
S1, S2, ... ..., Sn.
Стрелки обозначают переход из состояния в состояние. Например, стрелка, направленная из
S0 в S1,означает переход устройства в состояние с неисправным первым узлом; стрелка, направленная
обратно, из S1 в S0,— переход в работоспособное состояние в момент окончания ремонта этого узла.
Остальные стрелки объясняются аналогично.
Вопрос: что означает отсутствие стрелок между прямоугольниками S0 S3?
3.Поток событий
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно
за другим в случайные интервалы времени.
Например, поток событий образуют отказы в работе АЛ, поток событий образуют заготовки, следующие
на обработку, поток железнодорожных составов, поступающих на сортировочную станцию и т.д.
Поток событий можно изобразить рядом точек на временной оси 0-t.
При этом положение каждой точки на оси случайно, а значит, то, что мы видим на рисунке –
одна из реализаций случайного процесса.
Говоря о «потоке событий», нужно помнить, что здесь термин «событие» имеет другое
значение, чем в теории вероятностей. Там «событием» (или «случайным событием») называется какойто исход опыта, обладающий той или другой вероятностью.
События, образующие поток, сами по себе вероятностями не обладают; вероятностями
обладают другие, производные от них события, например: «на участок времени t (см. рис.) попадет
ровно два события», или «на участок времени попадет хотя бы одно событие», или «промежуток
времени между двумя соседними событиями будет не меньше t».
Важной характеристикой потока событий является интенсивность λ — среднее число событий,
приходящееся на единицу времени (или, что то же самое, средний интервал времени между
событиями).
Интенсивность потока может быть как постоянной (λ= const), так и переменной, зависящей от времени t.
Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, в часы пик —
интенсивнее, чем в другие часы.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные,
равные промежутки времени.
На практике чаще встречаются потоки не регулярные, со случайными интервалами.
Стационарный поток
Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят
от времени. В частности, интенсивность λ стационарного потока должна быть постоянной. Это не
значит, что фактическое число событий в единицу времени, постоянно, т.к. поток (если только он не
регулярный) имеет случайные сгущения и разрежения, как, например, показано на рисунке выше.
Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на
один участок длины L может попасть больше, а на другой — меньше событий, но среднее число
событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.
Как правило, отклонения от стационарности могут быть объяснены какими-то физическими
причинами. Например, совершенно естественно, интенсивность потока вызовов, поступающих на АТС,
ночью меньше, чем днем.
На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере на ограниченном
участке времени) могут считаться стационарными. Например, поток вызовов, поступающих на АТС
между 13 и 14 часами, практически стационарен; тот же поток в течение суток уже не стационарен.
Увеличение интенсивности потока покупателей, приходящих в магазин, в часы после
окончания рабочего дня тоже имеет физическое объяснение. Если поток событий имеет тенденцию к
явно выраженным сгущениям и разрежениям (особенно периодическим), нужно предположить наличие
физической причины этого и постараться ее выявить.
Поток без последействия
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух
непересекающихся участков времени τ1 и τ2 (см. рис.) число событий, попадающих на один из них, не
зависит от того, сколько событий попало на другой.
По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты
времени независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами.
Вопрос: заготовки, следуя по конвейеру, последовательно проходят через два рабочих места.
Является ли такой поток потоком с последействием или нет?
Ординарный поток
Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не
группами по несколько сразу.
Если поток событий ординарен, то вероятностью попадания на малый участок времени
двух или более событий можно пренебречь.
Например, поток клиентов, направляющихся к париумахеру или к зубному врачу, обычно ординарен,
чего нельзя сказать о потоке клиентов, направляющихся в ЗАГС для регистрации брака. Поток поездов,
подходящих к станции, ординарен, а поток вагонов — неординарен.
Стационарный Пуассоновский поток
Поток событий называется простейшим (или стационарным Пуассоновским), если он обладает
сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия.
Название «простейший» связано с тем, что процессы, связанные с простейшими потоками,
имеют наиболее простое математическое описание.
Интересно, что самый простой, на первый взгляд, регулярный поток не является
«простейшим», так как обладает последействием: моменты появления событий в таком потоке связаны
жесткой, функциональной зависимостью.
В специальной литературе приводятся доказательства того, что для простейшего потока с
интенсивностью λ интервал Т между соседними событиями имеет показательное распределение с
плотностью:
( )
,
см. рис.
Величина λ называется параметром показательного закона.
Для случайной величины Т, имеющей показательное распределение, математическое ожидание
тT есть величина, обратная параметру, а среднее квадратическое отклонение σT равно математическому
ожиданию:
(Для регулярного потока
Рекуррентный поток (поток Пальма)
Поток событий называется рекуррентным (иначе «потоком Пальма»), если он стационарен,
ординарен, а интервалы времени между событиями Т1, T2, Т3, ... (см. рис.) представляют собой
независимые случайные величины с одинаковым произвольным распределением.
Примеры рекуррентного потока.
1.Технический элемент (тарнзистор, лампа и т.д) работает непрерывно до своего отказа
(выхода из строя); отказавший элемент мгновенно заменяется новым.
Если отдельные экземпляры элемента выходят из строя независимо друг от друга, то поток
отказов является рекуррентным.
2.Рабочий выполняет операцию на конвейере. Если считать что время выполнения операции не
зависит от его эмоционального и физического состояния,то поток выполнения операции является
рекуррентным.
Вероятности состояния, финальные вероятности
Будем рассматривать марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным
временем.
Будем считать, что все переходы системы S из состояния в состояние происходят под
действием каких-то потоков событий:
поток заготовок,
поток отказов,
поток восстановлений и т. д.
Если все потоки событий, переводящие систему S из состояния в состояние,— простейшие, то
процесс, протекающий в системе, будет марковским, так как простейший поток не обладает
последействием («будущее» не зависит от «прошлого»).
Рассмотрим подробнее систему S.
Если система S находится в каком-то состоянии Si, из которого есть непосредственный переход
в другое состояние Sj (стрелка, ведущая из Si в Sj на графе состояний, см рис.), то мы будем считать, что
на систему, пока она находится в состоянии Si, действует простейший поток событий, переводящий её
по стрелке Si → Sj.
Как только появится первое событие этого потока, происходит «перескок» системы из Si в Sj.
На графе состояний у каждой стрелки показана интенсивность λij потока событий, переводящего
систему по данной стрелке.
Для устройства, состоящего из двух узлов, с возможностью отказа каждого узла
рассмотренный ранее граф состояний будет выглядеть так:
S0 — оба узла исправны,
S1 — первый узел ремонтируется, второй исправен,
S2 — второй узел ремонтируется, первый исправен,
S3 — оба узла ремонтируются.
λi – интенсивность потока отказов узла i;
μi – интенсивность потока восстановления
(ремонта, условно показана одна стрелка) среднее число событий, приходящееся на единицу
времени (или, что то же самое, среднее время
безотказной работы и среднее время ремонта узла
i)
Система может находиться в любом из своих состояний, причём вероятность нахождения в
каком-либо i-ом состоянии будет разной.
Пример.
Определим вероятность состояний для системы, граф состояний которой показан на рисунке
ниже.
В каждый момент времени t система может находиться каждом из состояний Si.
Обозначим вероятность состояния Si для системы как
( )
( )
Очевидно, что ∑
Рассмотрим вероятность состояния S1 - p1.
Система будет оставаться в этом состоянии на момент
, если:
1)
в момент времени t система находилась в
состоянии S1 и за интервал
не вышла из него;
2)
в момент времени t система находилась в
состоянии S2 и за интервал
вернулась; в состояние S1.
Найдём вероятности этих вариантов.
Вероятность варианта 1 получается как произведение вероятностей p1(t) – система в
состоянии S1 в момент t и вероятности того, что система не выйдет из состояния S1. Поток событий,
выводящий систему из состояния S1 – простейший, т.к. получается суммированием двух простейших
потоков с интенсивностью
) , а вероятность
Поэтому вероятность выхода системы из состояния S1 составляет ( |
(
)
сохранения состояния S1:
Вероятность варианта 2 состоит из вероятности нахождения системы в состоянии S2 и
возврата системы в состояние S1:
]
( )[
Складывая вероятности 1 и 2 вариантов, получаем вероятность состояния системы S1:
(
)
( )
Преобразуем это выражение, раскрыв квадратные скобки, перенесем p1(t) в левую часть и
разделим обе части на Δt:
(
)
( )
( ) ( |
) ( )
Устремим Δt к нулю:
( )
( )
( |
) ( )
( |
)
Рассуждая аналогично для всех остальных состояний, можно составить систему
дифференциальных уравнений (*):
{
( |
)
( |
)
(*)
В (*) неизвестные – pi – вероятности нахождения системы S в состоянии i.
Эти уравнения называются уравнениями Колмогорова, правило построения которых можно
сформулировать следующим образом:
в левой части каждого уравнения стоит производная вероятности какого-то (i-го)
состояния. В правой части — сумма произведений вероятностей всех состояний, из
которых идут стрелки в данное состояние, на интенсивности соответствующих потоков
событий, минус суммарная интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного
состояния, умноженная на вероятность данного (i-го) состояния.
Для построения уравнения Колмогорова достаточно иметь граф состояний системы. Так для устройства,
состоящего из двух узлов, с возможностью отказа каждого узла система состояний (*), соответствующая
графу, будет выглядеть:
Решение системы даёт возможность найти вероятности, как функцию от времени. В
аналитическом виде решение возможно при числе уравнений до 3.
При большем числе система решается численно.
Теоретически доказано, что для конечного числа состояний системы (Si) при больших
значениях t (t) все значения pi стремятся к определённым пределам, которые называют финальными
вероятностями состояний системы (pi).
Поясним, что это такое:
при t → ∞ в системе S устанавливается предельный стационарный режим, в ходе которого система
случайным образом меняет свои состояния, но их вероятности уже не зависят от времени. Финальную
вероятность состояния Si можно истолковать как среднее относительное время пребывания системы в
состоянии Si.
Например,
если система S имеет три состояния S1, S2, S3 и их финальные вероятности равны 0,2, 0,3 и 0,5, это
значит, что в предельном, стационарном режиме система в среднем две десятых времени проводит в
состоянии S1, три десятых — в состоянии S2 и половину времени — в состоянии S3.
Найти финальные вероятности можно из системы (*), пользуясь тем, что
Для рассмотренного примера можно записать:
( |
)
(
)
{(
)
( |
)
(***)
В связи с тем, что система состоит из однородных уравнений (без свободного члена), её
решение возможно при замене любого из уравнений системы на нормировочное уравнение:
∑
О практическом применении полученного результата
Пусть нами установлены численные значениями интенсивностей λ1 = 1, λ2 = 2, μ1 = 2, μ2 = 3.
Решим систему (***), заменим четвертое уравнение на нормировочное:
{
Решая, получим:
р0 = 6/15 = 0,4;
р1 = 3/15 = 0,2;
р2= 4/15 ≈ 0,27;
pз = 2/15 ≈ 0,13,
т. е. в предельном, стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет проводить в
состоянии S0 (оба узла исправны), 20% — в состоянии S1 (первый узел ремонтируется, второй работает),
27% —в состоянии S2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13%—в состоянии S3 полной
негодности (оба узла ремонтируются).
Знание этих финальных вероятностей может помочь оценить среднюю эффективность работы
системы и загрузку ремонтных служб:
предположим, что система S в состоянии S0 (полностью исправная) приносит в единицу
времени доход 8 (условных единиц), в состоянии S1 — доход 3, в состоянии S2 — доход 5, в состоянии S3
— вообще не приносит дохода.
Тогда в предельном, стационарном режиме средний доход в единицу времени будет:
Так же можно оценить загрузку ремонтных служб, занятых ремонтом узлов 1 и 2:
узел 1 ремонтируется долю времени, равную р1 + p3 = 0,2 + 0,13 = 0,33.
узел 2 ремонтируется долю времени р2 + p3 = 0,4.
Понятно, что при наличии таких данных можно ставить вопрос об оптимизации решения.
Допустим, что существуют технические возможности сократить время простоя узлов, уменьшив среднее
время ремонта того или другого узла или сразу обоих за счёт дополнительного оснащения ремонтных
служб. Или если существует возможность увеличить их надёжность, выполнив капитальный ремонт или
заменив их новыми или более надёжными.
Это нам обойдется в какую-то сумму. Спрашивается, «стоит ли овчинка выделки»? Т.е. окупит ли
увеличение дохода, связанное с уменьшением времени простоя и ускорением ремонта, повышенные
расходы на ремонт?
Элементы теории массового обслуживания
Рассмотрим систему, граф состояний которой показан на рисунке:
Схема гибели и размножения
Особенность этой системы в том, что граф состояний можно представить цепочкой, в которой
каждое из средних состояний (S1, S2, ..., Sn-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних
состояний — правым и левым, а крайние состояния (S0, Sn) — только с одним соседним состоянием.
На систему действуют потоки событий интенсивностью λij и λji переводящие её из состояния Si
в состояние Sj и обратно.
Будем считать эти потоки простейшими.
Примером таких систем (с некоторыми допущениями) могут быть:
- автоматическая линия и её рабочие места (обсудить что есть состояния и потоки);
- объект управления, на вход которого поступают управляющие воздействия, переводящие его
в состояние Sij, после «отработки» которого объект переходит в состояние Sji.
- главный привод станка, обрабатывающий ступенчатую поверхность.
Вообще, граф, представленный на рисунке, называется «схема гибели и размножения» т.к.
подобной схемой в биологии описывается изменение численности популяции.
Такая схема очень часто встречается в разных задачах практики, в частности — в теории
массового обслуживания.
Теория массового обслуживания — раздел теории исследования операций, изучающий
системы массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные
станции, ремонтные мастерские, поисковые системы Internet, магазины, парикмахерские, цеха
предприятий, в т.ч. автоматизированные, отдельно взятый станок или робот и т. п.
Каналы обслуживания
Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или «приборов»), которые
называют каналами обслуживания.
Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и
др.
СМО могут быть одноканальными и многоканальными.
Поток заявок
Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или «требований»),
поступающих в случайные моменты времени.
Поток обслуживаний — поток заявок, обслуживаемых одним непрерывно занятым каналом.
Обслуживание заявки продолжается какое-то, случайное время Tоб, после чего канал
освобождается и готов к приему следующей заявки.
Случайный характер потока заявок и времён обслуживания приводит к тому, что в какие-то
периоды времени на входе СМО скапливаются заявки, которые либо становятся в очередь, либо
покидают СМО необслуженными; в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще
простаивать.
Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями
СМО и непрерывным временем.
Предмет теории массового обслуживания — построение математических моделей,
связывающих заданные условия работы СМО (число каналов, их производительность, правила работы,
характер потока заявок) с интересующими нас характеристиками — показателями эффективности СМО,
описывающими ее способность справляться с потоком заявок. В качестве таких показателей (в
зависимости от целей) могут применяться разные величины, например:
среднее число заявок, обслуживаемых СМО в единицу времени (т. е. производительность);
среднее число занятых каналов;
среднее число заявок в очереди;
вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение;
среднее время ожидания обслуживания (время нахождения заявки в очереди); и т. д.
Моделирование СМО проводят для принятия решений о выборе:
числа каналов обслуживания в структуре СМО;
производительности канала СМО;
структуры СМО;
режима работы СМО (1, 2, 3 смены);
для поиска «узких мест» СМО;
надёжности элементов системы и оценки их влияния на работоспособность СМО в целом и т. д.
Математический анализ работы СМО облегчается, если процесс этой работы — марковский
(для этого достаточно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние
(потоки заявок, потоки «обслуживаний»), были простейшими).
Если это свойство нарушается, то аналитическое решение задачи часто невозможно, но аппарат
простейшей, марковской теории массового обслуживания остаётся полезным для приближенного
описания работы СМО даже в тех случаях, когда потоки событий не простейшие.
Для приведённого выше графа (схемы гибели и размножения) найдём финальные вероятности
состояний.
Применим выводы, полученные при выводе предельных состояний системы (см. уравнения
Колмогорова).
Для первого состояния имеем:
(1)
для второго
(
)
(2)
учитывая (1), из (2) можем получить:
обобщая, имеем:
Финальные вероятности:
{
Кроме уравнений системы сохраняется нормировочное условие:
∑
Решим эту систему уравнений. Для этого из первого уравнения системы выразим p1 через р0:
Тогда из второго получим:
Обобщая результат, получаем для любого k:
Обратим внимание на последнюю формулу.
В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева
направо (с начала и до данного состояния Sk), а в знаменателе — произведение всех интенсивностей,
стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk). При этом все вероятности состояний p1,...
..., рn выражены через одну из них (р0).
Подставим эти выражения в нормировочное условие, получим для р0:
(
)
(
)
Все остальные вероятности уже выражены через р0.
Значит, вычисляя р0, мы одновременно находим все остальные вероятности предельных
состояний pi.
Таким образом,
вероятность р0 нахождения СМО в состоянии S0 зависит только от интенсивности потоков ,
зная их можно определить финальные вероятности состояний системы.
Статистические испытания систем на моделях.
Метод Монте-Карло
Для отыскания аналитического решения необходимо, чтобы поток случайных событий
был марковским или близким к нему, что далеко не всегда соответствует на практике.
Если аналитические методы неприменимы, или требуется оценить их точность,
применяют универсальный численный метод – метод Монте-Карло.
В задачах исследования операций метод Монте-Карло применяется для решения трех основных
задач:
1) моделирования сложных, комплексных операций, где присутствует много
взаимодействующих случайных факторов;
2) проверки применимости более простых, аналитических методов и выяснения условий их
применимости;
3) выработки поправок к аналитическим формулам.
К достоинствам метода относится:
универсальность применения – метод не предъявляет требований по сколь-нибудь
серьезным допущений и упрощениям. Метод применим для любых законов
распределения и к системам любой сложности.
К недостаткам метода относится:
1. громоздкость и трудоёмкость статистических моделей;
2. огромное число реализаций, необходимое для нахождения искомых
параметров с приемлемой точностью, затрудняющее осмысление
результатов в сравнении с аналитической моделью.
Идея метода
Идея метода состоит в следующем:
вместо использования аналитического аппарата для описания процесса
(дифференциальных или алгебраических уравнений), производится «розыгрыш» Случайного
явления с помощью специально организованной процедуры, имитирующей элемент
случайности и потому дающей случайный результат.
Каждый такой результат представляет собой отдельную реализацию случайного
явления. Если специально организованная нами процедура повторяет те же законы, которым
подчиняется случайное явление, то множество реализаций можно рассматривать как некий
искусственно полученный статистический материал, который может быть обработан обычными
методами математической статистики.
Нередко такой прием оказывается проще, чем попытки построить аналитическую
модель.
Для сложных операций, в которых участвует большое число элементов (систем и
подсистем, машин, людей, организаций, подсобных средств), процесс обычно не является
марковским и метод статистического моделирования, как правило, оказывается не только
проще аналитического, но и единственно возможным.
Реализация метода Монте-Карло базируется на имитации случайного процесса –
выработки случайного числа или их последовательности. Для этого используются «генераторы
случайных чисел», которые в действительности являются псевдослучайными.
Под генератором случайных чисел (ГСЧ) понимают алгоритм, порождающий
последовательность чисел, элементы которой почти независимы друг от друга и подчиняются
заданному распределению.
ГСЧ может реализовать модель любого закона распределения, но обычно «базовым»
является равномерный закон, который с помощью специальных преобразований приводится к
необходимой форме.
Например, закон показательного (экспоненциального) распределения может быть
получен из нормированного равномерного закона.
Закон показательного (экспоненциального) распределения играет весьма важную роль
в системах массового обслуживания. Например, в системах с восстановлением
работоспособности после отказа показательному закону подчиняется время восстановления
работоспособности системы ti.
Плотность вероятности и функция распределения показательного закона
соответственно:
( )
( )
где – параметр скорости распределения (среднее время между двумя случайными
событиями – математическое ожидание равно
).
Дисперсия и среднеквадратичное отклонение показательного закона равны
соответственно:
Генератор случайных чисел, имитирующий закон экспоненциального распределения
может быть получен с помощью генератора равномерного распределения последовательности
случайных чисел xi (
):
(
)
Генератор случайных чисел требует настройки.
Процедура настройки необходима для определения параметров работы генератора,
которые должны соответствовать параметрам имитируемого закона распределения:
Математическому ожиданию;
Дисперсии или среднеквадратичному отклонению;
Диапазону значений и т.д.
В приложении Simulink пакета Matlab реализованы генераторы случайных чисел для
равномерного распределения и нормального распределения.
Блок «Random Number» генерирует случайные числа,
распределенные по нормальному закону распределения.
Распределение выполняется на заданном пользователем
интервале.
Блок «Uniform Random Number» генерирует случайные
числа, распределенные по закону равномерного
распределения. Распределение выполняется на заданном
пользователем интервале.
Пример настройки генератора равномерного распределения показан на рисунке:
Параметры ГРР
Minimum – минимальное значение
диапазона генератора;
Maximum – максимальное значение
диапазона генератора;
Seed – начальное значение
(неотрицательное число);
Sample time – интервал срабатывания
генератора
Interpret vector parameters as 1-D –
интерпретировать результат как
одномерный массив
Статистическая обработка результатов моделирования методом Монте-Карло
позволяет ответить на вопросы:
о продолжительности пребывания системы в каждом из возможных состояний;
о вероятности наступления различных состояний системы;
о фактической производительности системы, оказывающейся обычно меньше
номинальной;
о «узких местах» системы;
о времени нахождения заявки в очереди и т.д.
