Загрузил zmanovskiy06

Лекция 9. Кинематика тела

реклама
Кинематика тела
Абсолютно твёрдое тело (далее просто тело) в отличие от материальной точки имеет размеры. По этой причине некоторые виды движения тела отличаются от
движения МТ.
Движение, при котором все точки тела описывают одну и ту же траекторию и в
любой момент времени имеют одинаковую скорость и ускорение, называется поступательным. Описание такого движения не отличается от описания движения МТ, и
для определения кинематических параметров используются те же формулы и соотношения.
Если все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на прямой
линии, перпендикулярной плоскостям движения точек, движение называют вращательным, а эту прямую – осью вращения. Например, если вал (цилиндр) шарнирно
закрепить в центрах тяжести его торцевых сечений и приложить к валу крутящий момент, вал начнёт вращаться вокруг оси, проходящей через центры шарниров.
М
ось вращения


Разные точки вала имеют разные координаты, и при таком движении будут проходить разный путь, поэтому способ описания вращения через изменение пути или
координат неприемлем.
Однако при вращательном движении есть параметр, который изменяется с одной
и той же скоростью (ускорением) для всех точек тела. Этот параметр называют углом
поворота и обозначают греческой буквой «фи». Единицы измерения  радианы
(рад) или градусы (0). Угол в 1радиан опирается на дугу, длина которой равна радиусу
(отсюда название). Длина любой окружности равна 6,28 её радиуса. Соответственно
длина половины окружности равна 3,14 радиуса (это число называют числом  «пи»).
На такую дугу опирается развёрнутый угол (1800 или 3,14 рад). Поэтому 1рад = 57,30
(180/3,14).
Таким образом, уравнение вращательного движения имеет вид: f(t).
Для определения угла поворота в любой момент необходимо в правую часть
уравнения подставить значение t от начала движения (начала отсчёта).
Например:
Задание.
Определить угол поворота вала в градусах через 2секунды от начала отсчёта,
если уравнение движения имеет вид:  = 3t2 +2(рад).
Решение.
Подставляем в уравнение 2с вместо t:  = 3×22 +2 = 14(рад).
Переводим в 0: 14 ×57,30 = 802,20.
Ответ:  = 802,20.
При достаточно быстром вращении в механике угол поворота заменяют числом
оборотов N. Поскольку 1об = 3600 = 2рад, то N(об) = рад ) / 6,28.
Быстроту изменения угла поворота называют угловой скоростью. Обозначают
греческой буквой «омега». Единицы измерения  - рад /с или с -1 (радиан считают
единичным углом и заменяют рад /с на 1/с, а это с -1).
Часто угловую скорость заменяют частотой вращения, которая обозначается
буквой n, измеряется в об/мин (оборотах в минуту). Учитывая число радиан в одном
обороте (2 ) и число секунд в минуте (60) не трудно установить соотношение:
2n n n (с -1) или n = 30(об /мин).
Подобно мгновенной линейной скорости v, которая определяется как производная пути по времени, мгновенная угловая скорость определяется как производная
угла поворота по времени. dd t = (t).
Для определения угловой скорости в любой момент нужно взять производную
от правой части уравнения вращательного движения, а затем подставить в получившееся выражение значение времени от начала отсчёта.
Например:
Задание.
Определить число оборотов и частоту вращения вала, если уравнение движения имеет вид -  = t 2 +10t через 20 секунд от начала отсчёта.
Решение.
Определяем угол поворота через 20с. Для этого подставим в уравнение движения 20 вместо t:  = 20 2 +10×20 = 600(рад).
Переведём в число оборотов: N = 600 /6,28 = 95,5 (об).
Для определения частоты вращения найдём сначала угловую скорость, взяв производную от правой части уравнения движения:
(t 2 +10t) / = 2t + 10, и подставив 20с вместо t: 2×20 + 10 = 50 (с -1).
Переведём в обороты в минуту:
n = 9,55×50 = 477,5 (об /мин).
Ответ - N = 95,5 (об); n = 477,5 (об /мин).
Быстроту изменения угловой скорости (частоты вращения) в кинематике называют угловым ускорением. Его принято обозначать греческой буквой  «ипсилон».
Единица измерения  – рад /с 2 или просто с -2.
Подобно касательному ускорению при движении материальной точки или поступательном движении тела, мгновенное угловое ускорение численно равно производной от угловой скорости по времени (второй производной от угла поворота).
 = / (t) = // (t).
Таким образом, для определения углового ускорения необходимо сначала взять
производную от правой части уравнения изменения угла поворота, тем самым определив уравнение изменения угловой скорости. А затем снова взять производную теперь
уже от уравнения угловой скорости. После этих действии достаточно подставить в получившееся выражение значение времени от начала отсчёта. Если конечно время, как
аргумент ещё сохранилось в последнем выражении.
Скачать