https://nsportal.ru/ap/library/drugoe/2017/04/27/informatsionnoreferativnaya-rabota-po-matematike-13-sposobov-resheniya
https://findslide.org/algebra/574687-issledovatelskiy-proekt-resheniekvadratnyh-uravneniy
https://school-science.ru/2/7/30791
Муниципальный бюджетное общеобразовательное учреждение
«Средняя общеобразовательная школа №1 имени Героя России С.А
Кислова»
ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ
Тип проекта: информационно-познавательный
Тема проекта
13 способов решения квадратных уравнений
Автор проекта: учащийся 10Б класса
Недбайло Михаил
Наставник
проекта:
учитель
математики Александрова Н.А
2024 учебный год
1.Введение
Выбрать именно эту тему проекта я решил после того как
посмотрел
видео-ролик
про
появление
и
решения
квадратных уравнений
1. Актуальность проекта: Сейчас квадратные уравнения
очень актуальны. Нам везде попадаются квадратные
уравнения, не только в математике и но и других науках.
С
Практическая значимость: ОГЭ
и ЕГЭ – это
квадратные уравнения. На уроках алгебры, геометрии,
физики мы часто встречаемся с решением квадратных
уравнений. Поэтому каждый ученик должен уметь верно и
рационально решать квадратные уравнения, это так же
может пригодится при решении более сложных задач.
Цель проекта: изучить тринадцать способов решения
уравнений второй степени и рассмотреть применение
данных способов решения квадратных уравнений на
конкретных примерах.
Задачи проекта:
1. Кратко светить историю возникновения и решения
квадратных уравнений
2. Описать технологии различных существующих
способов решения квадратных уравнений.
3. Привести примеры решения квадратных уравнений
всеми способами
4. Сформулировать выводы и рекомендации по выбору
способа решения конкретного уравнения.
5. Создать буклет\книгу для подготовки в ЕГЭ
Квадратное уравнение- алгебраическое уравнение общего вида.
𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Где х – неизвестное, a, b, c – коэффициенты, причем а≠0.
Выражение ax2+bx+c=0 называют квадратным трехчленом.
Корень- это значение переменной х, обращающее квадратных трехчлен
в ноль, а квадратное уравнение в верное числовое равенство.
Элементы квадратного уравнение имеют собственные названия:
1. а называют первым или старшим коэффициентом;
2. b называют вторым, средним или коэффициентом при х;
3. c называют свободным членом.
Приведённым называют квадратное уравнение, в котором старший
коэффициент равен единице. Такое уравнение может быть получено
делением всего выражения на старший коэффициент а:
𝒃
𝒄
𝒙 + 𝒑𝒙 + 𝒒 = 𝟎, 𝒑 = 𝒒 = .
𝒂
𝒂
𝟐
полным называют такое квадратное уравнение, все коэффициенты
которого отличны от нуля.
Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы
один из коэффициентов, кроме старшего(либо второй коэффициент, либо
свободный член), равен нулю.
2.Способы решения квадратных уравнений
2.1 Общая формула для вычисления корней с помощью
дискриминанта
Дискриминантом
квадратного
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
уравнения
называется величина 𝐷 = 𝑏 2 − 4𝑎𝑐
Условие
D>0
D=0
D<0
Количество
Два корня
Один корень
Действительных
кратности два
корней нет
корней
формула
𝑥1,2
𝑥=−
−𝑏 ± √𝐷
(1)
=
2(𝑎)
𝑏
2𝑎
-
Пример:
𝑥 2 + 17𝑥 − 18 = 0
Применяем формулу:
𝐷 = 172 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−18)
𝑥1 =
𝐷 = 361 D>0, два действительных корня
𝑥2 =
Ответ: 𝑥1 = 1; 𝑥2 = −18
−17+√361
2⋅1
−17−√361
2⋅1
𝑥1 = 1
𝑥2 = −18
2.2
Корни
квадратного
уравнения
при
чётном
коэффициенте b
Дискриминант
Корни
приведён
ное
неприведённое
неприведённое
D>0
Удобнее вычислять значение
четверти дискриминанта:
𝐷
= 𝑘 2 − 𝑎𝑐
4
приведённое
𝑥1,2 =
𝐷
4
−𝑘±√𝑘 2 −𝑎𝑐
𝑎
𝑥1,2 = −𝑘 ± √𝑘 2 − 𝑐
= 𝑘2 − 𝐶
Все необходимые свойства при
D=0
𝑥=
этом сохраняются.
−𝑘
𝑎
𝑥 = −𝑘
Для уравнений вида, 𝑎𝑥 2 + 2𝑘𝑥 + 𝑐 = 0 то есть при чётном b ,
1
где 𝑘 = 𝑏,
2
Примечание: данные нижу формулы можно получить, подставив в
стандартные формулы выражение b=2k и совершив при этом не
сложные преобразования.
Пример:
𝑥 2 − 6𝑥 + 9 = 0
Применим формулу:
𝐷
4
=9−9
𝐷=0
Найдём корни:
𝑥 = −3
Ответ: 𝑥 = −3
2.3 Решение неполных квадратных уравнений
К
решению неполных квадратных
уравнений
практикуется
особый подход. Рассматриваются три возможных ситуации.
b=0,c=0
b=0,c≠0
b≠0,c=0
𝑎𝑥 2 = 0;
𝑎𝑥 2 + 𝑐 = 0
𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 = 𝑐
𝑥 2 = 0; 𝑥 = 0.
𝛼𝑥 2 = −𝑐
𝑐
𝑥2 = −
𝑎
𝑥(𝑎𝑥 + 𝑏) = 0
(процесс
преобразования
специально
показан 𝑥1,2
подробно,
на
практике можно сразу
переходить
к
последнему
𝑥 = 0 или 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0
𝑥=−
𝑐
= ±√−
𝑎
Если
−
𝑐
𝑎
Такое
>0,
то
действительных
уравнение
обязательно
уравнение не имеет два
𝑏
𝑎
имеет
действительных
корня.
корней.
равенству)
Пример:
2𝑥 2 − 8 = 0
Применим формулу:
𝑥2 = −
𝑐
𝑥1 = 2; 𝑥2 = −2
𝑎
𝑥1,2 = ±√−
(−8)
2
2.4 Разложение
множители
Найдём корни:
Ответ: 𝑥1 = 2; 𝑥2 = −2
квадратного
трёхчлена
на
линейные
С этим способом мы познакомились в школьном курсе алгебры 8
класса. Он основан на «способе группировки» при разложении
многочленов на множители и позволяет достаточно быстро решать
квадратное уравнение.
Если x1 и x2 — корни квадратного трёхчлена 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, то
справедливо равенство 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 ).
Если квадратный трёхчлен имеет корни, то его можно разложить
на линейные множители. И наоборот, если разложение существует, то
у квадратного трёхчлена есть корни.
При отсутствии корней квадратного трёхчлена разложение его на
линейные множители невозможно.
Пример:
𝑥 2 + 17𝑥 − 18 = 0
Применим формулу:
Место для уравнения.
2.5 Использование прямой и обратной теоремы Виета
Прямая теорема Виета и обратная ей теорема позволяют решать
приведённые квадратные уравнения устно, не прибегая к вычислениям по
формуле (2.1).
Согласно обратной теореме, всякая пара чисел (число) х1 , х2 будучи
решением системы уравнений
𝑥 + 𝑥 = −𝑝
{ 1𝑥 𝑥 2 = 𝑞
1 2
являются корнями уравнений 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞
Подобрать устно числа, удовлетворяющие этим уравнениям, поможет
прямая теорема. С её помощью можно определить знаки корней, не зная сами
корни. Для этого следует руководствоваться правилом:
1) если свободный член отрицателен, то корни имеют различный знак, и
наибольший по модулю из корней — знак, противоположный знаку второго
коэффициента уравнения;
2) если свободный член положителен, то оба корня обладают одинаковым
знаком, и это — знак, противоположный знаку второго коэффициента.
2.7 Способ «переброски» первого коэффициента
По своей сущности метод «переброски» является просто модификацией
теоремы виета
Метод «переброски» — это сведение уравнения, которое нельзя привести
так, чтобы все коэффициенты остались целыми, к приведённому уравнению с
целыми коэффициентами:
1) умножаем обе части на старший коэффициент:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0| × 𝑎
(𝑎𝑥)2 + 𝑏(𝑎𝑥) + 𝑎𝑐 = 0
2) заменяем у = ах
𝑦 2 + 𝑏𝑦 + 𝑎𝑐 = 0
Далее решаем уравнение относительно 𝑦 по методу, описанному выше и
находим 𝑥 =
𝑦
𝑎
2.8 Решение квадратных уравнений с помощью номограммы
Это старый и незаслуженно забытый способ решения квадратных
уравнений, о котором рассказывается в Таблице XXII Четырехзначных
математических таблиц, автор В.М. Брадис. Номограмма позволяет, не
решая квадратного уравнения z2+ рz + q = 0, по его коэффициентам
определить корни уравнения[2,83].
2.9 Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и линейки
Решим квадратное уравнение ах2 + bх + с
=0
с помощью циркуля и линейки (рисунок
1).
Допустим,
что
искомая
окружность
пересекает ось абсцисс в точках В(х1; 0
) и D(х2;
0), где х1 и х2–корни
уравнения ах2+bх+с = 0, и проходит через
точки А(0; 1)и С(0;c/a) на оси ординат. По
теореме о секущих имеем OB∙OD = OA∙OC,
отсюда OC=OB∙OD/OA=х1,∙х2/1=c/a. Центр
окружности находится в точке пересечения
перпендикуляров SF и SK, восстановленных
в серединах хорд AC и BD, [10,34].
Итак:1)
построим
точки
S
(центр
окружности) и A(0; 1); 2) проведем окружность
радиусом SA; 3) абсциссы точек пересечения
этой окружности с осью ох являются корнями
исходного квадратного уравнения. При этом
возможны три случая:
а) два решения
(рисунок 2,а); б) одно решение (рисунок 2,б);
в) нет решений (рисунок 2,в). Практическая
часть.
Вывод: очевидно, что этот красивый способ практически не
применяется
из-за
геометрических
построений
и
последующей
проверки результатов решения.
2.10 Геометрический способ решения квадратных уравнений
В древности, когда геометрия была более развита, чем алгебра,
квадратные уравнения решали не алгебраически, а геометрически. Вот
пример из «Алгебры» ал – Хорезми: х2 +10х = 39. На сторонах квадрата
со стороной х строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого
из них равна 2,5. Площадь каждого прямоугольника равна 2,5х.
Полученную фигуру дополняют до нового квадрата, достраивая в углах
четыре равных квадрата, сторона каждого из них равна 2,5, а площадь
6,25. Площадь квадрата можно представить как сумму площадей:
первоначального х2, четырёх прямоугольников , т.е. S = x2 + 10x +25.
Из геометрического метода нахождения квадратных корней
вытекает любопытнейший способ решения уравнений, основанный на
выполнении различных действий с отрезками и позаимствованный из
книги «Геометрия» великого французского ученого Рене Декарта (15961650).
2.11 Метод «переброски»
Так называемый метод «переброски» позволяет сводить решение
неприведённых и непреобразуемых к виду приведённых с целыми
коэффициентами путём иъ деления на старший коэффициент
уравнений к решению приведённых с целыми коэффициентами. Он
заключатеся в следующем:
1) умножаем обе части на выражение:
ax2+bx+c=0|*a
(ax)2+b(ax)+ac=0
2)вводим новую переменную y=ax:
У2+by+ac
Далее уравнение решают устно способом обратной теоремы
виетта, затем возвращаются к исходной переменной и находят корни
уравнений у1= ах1 и у2=ах2.
Заключение
В ходе выполнения своей работы я считаю , что я с поставленной
целью
и
задачами
справился,
мне
удалось
обобщить
и
систематизировать изученный материал по выше указанной теме.
Способов решения квадратных уравнений очень много. Я нашёл 13
способов решения квадратных уравнений. Нужно отметить, что не все
они удобны для решения, но каждый их них уникален.
