Примеры решения задач РАСЧЕТ СРЕДНЕЙ ПО ДАННЫМ ВАРИАЦИОННОГО ИНТЕРВАЛЬНОГО РЯДА, РАСЧЕТ МОДЫ И МЕДИАНЫ РАСЧЕТ ПОКАЗАТЕЛЕЙ ВАРИАЦИИ Задача 4.34. При выборочном обследовании 19-ти % изделий партии готовой продукции по методу бесповторного отбора получены следующие данные о содержании влаги в образцах: Влажность, % (xi) 1 до 13 13–15 15–17 17–19 19 и выше Итого: Число образцов (fi) 2 4 16 50 24 6 100 Середина интервала (xi) 3 12 =(11+13)/2 14=(13+15)/2 16=(15+17)/2 18=(17+19)/2 20=(19+21)/2 X Накопленные частоты (Si) 4 4 20 (4+16) 70 (20+50) 94 (70+24) 100 (94+6) На основании данных выборочного обследования вычислите: 1) Средний процент влажности готовой продукции. Исходные данные представлены в виде интервального вариационного ряда распределения, поэтому для нахождения среднего значения используем формулу средней арифметической взвешенной: xi f i x= fi В качестве вариант х будут выступать середины интервалов (графа 3), а в качестве частот f – число образцов (графа 2). Таким образом, средний процент влажности будет равен: xi f i = 12 4 + 14 16 + ... = 16,24% x= 100 f i 2) Определим значение моды и медианы в интервальном ряду распределения. Мода (М0) – величина признака (варианта), которая встречается в ряду распределения с наибольшей частотой (весом). В интервальных рядах распределения значение моды определяется по формуле: ( f Mо - f Mо-1 ) Mo = xMо + iMо . , (5.1) ( f Mо - f Mо-1 ) + ( f Mо - f Mо+1 ) где xmo – нижняя граница модального интервала; imo – величина модального интервала; fmo-1 – частота интервала, предшествующего модальному; fmo – частота модального интервала; fmo+1 – частота интервала, следующего за модальным. Для проведения подстановки в формулу необходимо определить модальный интервал, то есть интервал с максимальной частотой. Модальным является интервал, которому соответствует наибольшее значение частоты. В данной задаче модальным будет интервал от 15 до 17, т.к. ему соответствует максимальное значение f (f=50)/ Влажность, % (xi) 1 до 13 13–15 15–17 17–19 19 и выше Итого: Число образцов (fi) 2 4 16 fмо-1 50 fмо 24 fмо+1 6 100 0 = 15 + 2 50 − 16 = 16,13%. (50 − 16) + (50 − 24) Таким образом, в данном ряду распределения наиболее часто встречаются образцы влажностью 16,13%. Медиана. Медиана в интервальном ряду распределения рассчитывается по следующей формуле: f -S Mе -1 Mе = xMе + iMе 2 . f Mе где хme – нижняя граница медианного интервала; ime – величина медианного интервала; f – сумма частот ряда; Sme-1 – накопленный итог численностей до медианного интервала; fme – численность медианного интервала. Подстановка в формулу предполагает нахождение медианного интервала, для чего рассчитываются накопленные частоты (см. графу 4). Поскольку полусумма частот составляет 50 (100/2), то медианный интервал 15-17. Влажность, % до 13 13–15 15–17 17–19 19 и выше Итого: e = 15 + 2 Число образцов (fi) 4 16 50 24 6 100 Накопленные частоты (Si) 4 20 70 94 100 f 2 = 100 = 50 2 0,5 100 − 20 = 16,2%. 50 Следовательно, 50% единиц совокупности имеют влажность до 16,2%, а остальные 50% образцов – более 16,2%. 3). Рассчитать показатели вариации. Абсолютные показатели вариации: 3.1) Размах вариации: R = Xmax - Xmin=21-11=10 п.п. 3.2) Среднее линейное отклонение: x − x f 12 − 16,24 4 + 14 − 16,24 16 + ... + 20 − 16,24 6 l= = = 1,3 п.п. 100 f 3.3) Дисперсию признака определим по формуле: 2 х−х f 2 = f (12 − 16,24) 2 4 + (14 − 16,24) 2 16 + ... + (20 − 16,24) 2 6 314,24 2 = = = 3,14 4 + 16 + 50 + 24 + 6 100 3.4) Среднее квадратическое отклонение рассчитывается как корень квадратный из дисперсии признака: = 2 = 3,14 = 1,77п.п. ; Относительные показатели вариации: R 10 3.5) Коэффициент осцилляции: k R = 100% = 100 = 61,6% 16,24 x 3.6) Коэффициент относительного линейного отклонения: l 1,3 kl = 100% = 100 = 8,0% 16,24 x 1,77 3.7) Коэффициент вариации: = 100 = 10,9% . 16,24 ( ) Поскольку коэффициент вариации меньше 33%, то статистическая совокупность является качественно однородной, что свидетельствует об устойчивости обобщающих статистических характеристик. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИЗУЧЕНИЕ ДИНАМИКИ СОЦИАЛЬНОЭКОНОМИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ Задача 1. Имеются следующие данные о производстве телевизоров Год Производство телевизоров, шт. 2017 1250 2018 1263 2019 1252 2020 1270 2021 1284 Для анализа динамики производства телевизоров вычислите: 1) абсолютные приросты, темпы роста и прироста по годам и к 2017 г., абсолютное содержание одного процента прироста (снижения) по годам. Полученные показатели представьте в виде таблицы; 2) среднегодовое производство телевизоров за 2017- -2021 гг., 3) среднегодовые абсолютный прирост, темп роста и темп прироста производства телевизоров за анализируемый период. Решение: 1.1) Рассчитаем абсолютные приросты, которые могут быть рассчитаны с переменной базой сравнения (цепные) и постоянной базой сравнения (базисные). цепные . базисные . yiц = y i − y i −1 ; . y iб = y i − y1 y2018 = y2018 − y2017 = 1263 − 1250 = 13 шт.; y2018 = y2018 − y2017 = 1263 − 1250 = 13 шт.; ц б y2019 = y2019 − y2018 = 1252 − 1263 = −11 шт; y2019 = y2019 − y2017 = 1252 − 1250 = 2 шт; ц б y2020 = y2020 − y2019 = 1270 − 1252 = 18 шт; y2020 = y2020 − y2017 = 1270 − 1250 = 20 шт; б ц y2021 = y2021 − y2020 = 1284 − 1270 = 14 шт. ц y2021 = y2021 − y2017 = 1284 − 1250 = 34 шт. б 1.2) Определяем темпы роста: Цепные Ti ц = yi 100; y i −1 y2018 1263 100 = 100 = 101,0%; y2017 1250 y 1252 ц T2019 = 2019 100 = 100 = 99,1%; y2018 1263 y 1270 ц T2020 = 2020 100 = 100 = 101,4%; y2019 1252 y 1284 ц T2021 = 2021 100 = 100 = 101,1%. y2020 1270 ц T2018 = базисные. Ti б = yi 100. y1 y2018 1263 100 = 100 = 101,0%; y2017 1250 y 1252 б T2019 = 2019 100 = 100 = 100,2%; y2017 1250 y 1270 б T2020 = 2020 100 = 100 = 101,6%; y2017 1250 y 1284 б T2021 = 2021 100 = 100 = 102,7%. y2017 1250 б T2018 = 1.3) Темпы прироста рассчитывают по формулам: Цепные Tiц = Базисные y i − y i −1 ц ц 100, или T = T − 100 . y i −1 Ti б = yi − y1 100, или T б = T б − 100 . y1 1.4) Абсолютное значение одного процента прироста (снижения) отношение абсолютного цепного прироста к соответствующему цепному темпу прироста, выраженному в процентах. Оно определяется по формуле: yiц yi − yi −1 y A% = = = i −1 = 0,01 yi −1 ц Ti 100 ( yi − yi −1 ) / yi −1100 100 За 2018 г. А2018=0,01∙1250=12,5 и т.д. Результаты расчетов представим в виде статистической таблицы: Таблица 1. – Аналитические показатели динамики производства телевизоров за 2018 - 2021гг. Абсолютные Абсолютно Темпы Произв приросты, шт Темпы роста, % е прироста, % одство содержание Год телевиз 1% цепны бази оров, базисны базисны цепные цепные е сны прироста, шт е е шт е 2017 1250 100,0 2018 1263 13 13 101,0 101,0 1,0 1,0 12,50 2019 1252 -11 2 99,1 100,2 -0,9 0,2 12,63 2020 1270 18 20 101,4 101,6 1,4 1,6 12,52 2021 1284 14 34 101,1 102,7 1,1 2,7 12,70 2) В условии задачи дан интервальный динамический ряд, поэтому средний уровень производства телевизоров за этот период может быть исчислена по формуле средней арифметической простой: y= y = 1250 + 1263 + 1252 + 1270 + 1284 = 6319 = 1263,8 шт, n 5 5 3.1) Средний абсолютный прирост исчисляется по формуле: y = yi − y1 1284 − 1250 34 = = = 8,5 шт; n −1 5 −1 4 3.2) Среднегодовой темп роста исчисляется по формуле: T = n −1 yi 5−1 1284 = = 1,007 , или 100,7%. y1 1250 3.3) Среднегодовой темп прироста равен: T = T − 100 = 100 ,7 − 100 = 0,7%. Тема 8. Индексный метод Таблица 8.1 – Формулы расчета взаимосвязанных агрегатных индексов Исходная экономическая взаимосвязь признаков Индекс Стоимость продукции: Стоимости продукции pq = p q Цен Физического объема (количества) Взаимосвязь показателей Исходная экономическая взаимосвязь признаков Затраты на производство продукции: zq=z×q Формулы расчета общего агрегатного индекса pq I pq = 1 1 p0 q0 p1 q1 Ip = p0 q1 q1 p0 Iq = q0 p0 I pq = I p I q Индекс Формулы расчета общего агрегатного индекса Затрат на I = z1 q1 zq z 0 q0 производство продукции z1 q1 Себестоимости Iz = Физического объема (количества) Взаимосвязь показателей Iq = z 0 q1 q1 z 0 Абсолютное изменении результативного показателя, вызванных действием факторов pq = p1q1 − p0 q0 в том числе pq p = p1 q1 − p0 q1 pqq = q1 p0 − q0 p0 pq = pq p + pqq Абсолютное изменении результативного показателя, вызванных действием факторов zq = z1 q1 − z 0 q0 в том числе zq z = z1q1 − z 0 q1 zqq = q1 z 0 − q0 z 0 q0 z 0 I zq = I z I q zq = zq z + zqq Пример решения задач: Пример 8.1. Имеются следующие данные о реализации овощей на рынке Овощи Картофель Свекла Морковь Цена за 1 кг, тыс. ден. ед. II квартал (p0) III квартал (p1) 0,8 0,5 1,0 0,8 1,2 1,2 Продано, тыс. кг II квартал (q0) 20 3 2 III квартал (q1) 45 2 2 Определите: 1. Индивидуальные индексы цен и количества проданных овощей. p 0,5 i p ( картофель) = 1 = = 0,625 или 62,5% p0 0,8 Следовательно, цена на картофель в третьем квартале по сравнению со вторым снизилась на 37,5% (65,5-100=-37,5%) Аналогично определим, как изменились цены на остальные овощи. q 45 iq ( картофель) = 1 = = 2,25 или 225% q0 20 Следовательно, количество реализованного картофеля возросло в 2,25 раза за рассматриваемый период или на 125%. И т.д. 2. Общий индекс стоимости реализованных овощей в III квартале по сравнению с первым. p q 0,5 45 + 0,8 2 + 1,2 2 26,5 I pq = 1 1 = = = 1,238 или 123,8% p q 0 , 8 20 + 1 , 0 3 + 1 , 2 2 21 , 4 0 0 Выручка от реализации овощей в среднем увеличилась на 23,8% в III квартале по сравнению с I кварталом. Абсолютное изменение стоимости реализованных овощей: pq = p1q1 − p0 q0 = 26,5 − 21,4 = 5,1 млн. р. 3. Общий агрегатный индекс цен и абсолютное изменение выручки от реализации овощей за счет изменения цен. pq 26,5 26,5 Ip = 1 1 = = = 0,656или65,6% p0 q1 0,8 45 + 1,0 2 + 1,2 2 40,4 Цены на овощи снизились в среднем на 34,4 % pq( p ) = p1q1 − p0 q1 =26,5 – 40,4=-13,9 млн.р. За счет изменения цен, выручка от реализации овощей снизилась на 13,9 млн. р. 4. Общий агрегатный индекс физического объема и абсолютное изменение выручки от реализации овощей за счет изменения количества проданных овощей. q1 p0 40,4 Iq = = = 1,888или188,8% q0 p0 21,4 Количество реализованных овощей увеличилось в среднем на 88,8 % pqq = q1 p0 − q0 p0 =40,4 – 21,4=19 млн. р. За счет изменения физического объема продаж, выручка от реализации овощей выросла на 19 млн. р. Пример 8.2. Динамика себестоимости и объема производства продукции на предприятии характеризуется следующими данными Продукция Выработано продукции, ед. Себестоимость единицы продукции, млн. р. базисный отчетный базисный отчетный период (q0) период (q1) период (z0) период (z1) А 1100 1250 2,0 2,1 Б 2500 2000 3,2 3,6 На основании имеющихся данных вычислите. 1) общий индекс затрат на производство продукции; 2) общий индекс себестоимости продукции; 3) общий индекс физического объема производства продукции. 4) абсолютное изменение суммы затрат на производство продукции и разложите его по факторам (за счет изменения себестоимости и объема выработанной продукции). Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами. Сформулируйте выводы. Решение: 1) общий индекс затрат на производство продукции I zq = z q z q 1 1 2,1 1250 + 3,6 2000 9825 = = 0,963, или 96,3% ; 2,0 1100 + 3,2 2500 10200 = 0 0 2) общий агрегатный индекс себестоимости продукции: Iz = z q z q 1 1 0 1 3) общий продукции: = 9825 9825 = = 1,104, или 110,4% 2,0 1250 + 3,2 2000 8900 агрегатный Iq = индекс q z q z 1 0 0 0 = физического объема производства 8900 = 0,873, или 87,3%. 10200 Эти индексы взаимосвязаны между собой: I z I q = I zq 1,104 0,873 = 0,963 Чтобы найти абсолютное изменение суммы затрат на производство продукции в том числе разложить его по факторам (за счет изменения себестоимости и объема выработанной продукции), нужно от числителя соответствующего индекса вычесть его знаменатель. Так, абсолютный прирост (снижение) затрат на производство продукции равен: zq = z1q1 − z0 q0 = 9825 − 10200 = −375 млн. р. , в том числе: за счет изменения себестоимости: zq( z ) = z1q1 − z0 q1 = 9825 − 8900 = 925 млн. р. и за счет изменения физического объема продукции: zq(q ) = q1 z0 − q0 z0 = 8900 − 10200 = −1300 млн. р. Таким образом, затраты на производство продукции снизились в отчетном периоде по сравнению с базисным на 3,7%, что в абсолютном выражении составляет 375 млн.р., в том числе за счет изменения себестоимости затраты на производство продукции возросли на 10,4% (или на 925 млн.р.), а за счет изменения физического объема продукции, затраты снизились на 12,7% (или на 1300 млн.р.). Пример 8.3. Имеются данные о продаже фруктов на рынке Фрукты Продано на сумму, Индивидуальный Изменение количества индекс физического млн. р. проданных фруктов в объема,% сентябре по сравнению с q август сентябрь iq = 1 100 августом, % q0 Сливы 15 15 -12 88,0 Груши 30 32 +10 110,0 Яблоки 55 50 Без изменения 100,0 Итого 100 97 Вычислите общие индексы: 1) выручки от продажи фруктов; 2) количества проданных фруктов; 3) цен, используя взаимосвязь индексов. Сформулируйте выводы. Решение: Чтобы определить изменение выручки в отчетном периоде по сравнению с базисным, необходимо рассчитать агрегатный индекс товарооборота продукции: I pq = pq p q 1 1 0 0 = 15 + 32 + 50 97 = = 0,97, или97,0%. 15 + 30 + 55 100 По условию задачи нам известно как изменилось количество проданных фруктов в сентябре по сравнению с августом. Следовательно, можно определить индивидуальный индекс физического объема реализованной продукции (см. табл.1.7.). Агрегатный индекс физического объема товарооборота определяется по формуле: Iq = q p q p 1 0 0 0 В знаменателе индекса реальная величина -- фактический товарооборот базисного периода (за август). Заменив q1 значением из индивидуального индекса iq = q1 (q1 = iq q0 ), получим q0 товарооборота: Iq = i q p q p q 0 0 0 0 = среднеарифметический индекс физического объема 15 0,88 + 30 1,10 + 55 1,00 101,2 = = 1,012, или 101,2%. 100 100 Зная взаимосвязь индексов, т.е. Ipq=Ip∙Iq можно рассчитать общий индекс цен: I p= I pq I q = 0,97 1,012 = 0,958 , или 95,8%. Следовательно, выручка от продажи фруктов в сентябре снизилась на 3% по сравнению с августом. За счет изменения физического объема продаж товарооборот возрос на 1,2%, а за счет изменения цен снизился на 4,2%. Пример 8.4. Имеются следующие данные о производстве мебели на мебельной фабрике во II полугодии по сравнению с I полугодием текущего года Вид продукции Общие затраты на производство мебели, тыс. руб. I полугодие II полугодие Изменение себестоимости единицы продукции во II полугодии по сравнению с I, % Диваны 150,5 186,5 +6,5 Кровати 105,5 119,4 +5,0 Комоды 69,0 74,1 -2,0 Определите: 1) общий индекс затрат на производство продукции; 2) общий индекс себестоимости продукции; 3) общий индекс физического объема производства продукции, используя взаимосвязь индексов; 4) абсолютный прирост затрат на производство продукции, в том числе за счет изменения себестоимости и физического объема производства. Сформулируйте выводы. Решение: 1) Общий индекс затрат на производство продукции определим по формуле: I zq = z q z q 1 1 0 0 = 186,5 + 119,4 + 74,1 380,0 = = 1,169, или 116,9%. 150,5 + 105,5 + 69,0 325,0 Затраты на производство мебели во II полугодии по сравнению с I возросли на 16,9 % 2) Общий индекс себестоимости рассчитывается по формуле: I z = z q z q 1 1 0 1 По условию задачи известно изменение себестоимости единицы продукции во II полугодии по сравнению с I, а также затраты на производство продукции в отчетном iz = периоде. Заменив z0 значением из индивидуального индекса z1 z z 0 = 1 , получим средний гармонический индекс себестоимости: z0 iz 186,5 + 119,4 + 74,1 380,0 z q z1 q1 z q Iz = 1 1 = = 1 1 = = = 1,043 или 104,3% z1 q1 186,5 119,4 74,1 364,4 z 0 q1 z1 q + + 1 iz iz 1,065 1,050 0,98 Себестоимость производства единицы продукции за рассматриваемый период увеличилась в среднем на 4,3 %. 3) Зная взаимосвязь индексов, т.е. Izq=Iz∙Iq можно рассчитать общий индекс физического объема производства: I q = I zq I z = 1,169 1,043 = 1,121 или 112,1%. Физический объем производства мебели увеличился на 12,1 %. 4) Абсолютное изменение затрат на производство продукции, в том числе за счет изменения факторов определим следующим образом: zq = z1q1 − z 0 q0 = 380,0 − 325,0 = 55,0 тыс. руб. в том числе zq z = z1q1 − z 0 q1 = 380,0 − 364,4 = 15,6 тыс. руб. zqq = zq − zq z = 55,0 − 15,6 = 39,4 тыс. руб. Таким образом, затраты на производство мебели во II полугодии по сравнению с I полугодием возросли на 16,9 %, что в абсолютном выражении составило 55,0 тыс. руб. За счет изменения себестоимости затраты увеличились на 15,6 тыс. руб., а за счет изменения физического объема производства затраты увеличились на 39,4 тыс. руб. Пример 8.5 Имеются следующие данные о товарообороте магазина Продано товаров в фактических ценах, млн. р. Товарная группа базисный период отчетный период Овощи 650 728 Фрукты 350 432 В отчетном периоде по сравнению с базисным цены на овощи повысились на 12 %, а на фрукты – на 8 %. Вычислите: 1) общий индекс товарооборота в фактических ценах; 2) общий индекс цен и сумму дополнительных расходов населения в отчетном периоде при покупке картофеля и фруктов в данном магазине; 3) общий индекс физического объема товарооборота, используя взаимосвязь индексов/ Общий индекс товарооборота определим по формуле: I pq = pq pq 1 1 0 0 = 728 + 432 1160 = = 1,16, или 116,0%. 650 + 350 1000 Товарооборот магазина в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 16,0 % pq 2) Общий индекс цен рассчитывается по формуле: I p = 1 1 p0 q1 По условию задачи известно изменение цен на каждую группу товаров в отчетном периоде по сравнению базисным, а также товарооборот в отчетном p p периоде. Заменив p0 значением из индивидуального индекса i p = 1 p0 = 1 , p0 ip получим средний гармонический индекс цен: 1160 1160 p q p1 q1 p q Ip = 1 1 = = 1 1 = = = 1,105 или 110,5% p p q 728 432 1050 p 0 q1 1 1 1 + q1 1,12 1,08 ip ip Цены на товары в данном магазине за рассматриваемый период увеличились в среднем на 10,5 %. Сумму дополнительных расходов определим следующим образом: pq p = p1q1 − p0 q1 = 1160 − 1050 = 110 млн. руб. 3) Зная взаимосвязь индексов, т.е. Ipq=Ip∙Iq можно рассчитать общий индекс физического объема производства: Iq=Ipq/Ip=1,16/1,105=1,05 или 105,0 % Физический объем продаж увеличился на 5 %.
