[ВВЕДИТЕ НАЗВАНИЕ ОРГАНИЗАЦИИ]
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
Контролирующие материалы к тестированию
для студентов специальности 09.02.07 Информационные системы и
программирование
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для практических занятий по дисциплине «Численные методы» для
студентов 3 курса (специальность Программирование в компьютерных системах (infourok.ru)
[Введите аннотацию документа. Аннотация обычно представляет собой краткий обзор
содержимого документа. Введите аннотацию документа. Аннотация обычно представляет собой
краткий обзор содержимого документа.]
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Практикум разработан в соответствии с рабочей программой учебной дисциплины
ОП.10. Численные методы для студентов специальности 09.02.07 Информационные
системы и программирование.
СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ДИСЦИПЛИНЫ
Элементы теории погрешностей
Виды погрешностей:
Неустранимая погрешность (погрешности математической модели исходных
данных)
Погрешность метода (переход от математической модели к численным
методам)
Вычислительная погрешность (погрешность округления)
Формулы теории погрешностей вычислений
А - точное значение величины (точное число), а –приближенное значение величины
(приближенное число)
Абсолютная погрешность приближенного числа а: ∆а = |А − а|
∆
Относительная погрешность приближенного числа а: 𝛿𝑎 = |𝑎|𝑎
Предельная абсолютная (относительная) погрешность числа а – возможно меньше
числа ∆∗𝑎 (𝛿𝑎∗ ), которого не превосходит абсолютная (относительная) погрешность числа а
𝐴 = 𝑎 ± ∆∗𝑎 = 𝑎(1 ± 𝛿𝑎∗ )
Значащие цифры приближенного числа – все цифры в его записи, начиная с первой
ненулевой слева.
Первые n значащих цифр приближенного числа называются верными в узком (в
широком) смысле, если
∆𝑎 ≤ 0,5 ∙ 10𝑛 (∆𝑎 ≤ 1 ∙ 10𝑛 )
Округление чисел – это замена этих чисел приближенными числами с меньшим
количеством значащих цифр, в результате чего возникает погрешность округления:
∆окр = |а − а1 |
где а – данное число, а1 – результат округления.
Чтобы округлить число до n значащих цифр, отбрасывают все его цифры, стоящие
справа от n-й значащей цифры, или если это нужно для сохранении разрядов чисел,
заменяют их нулями.
При округлении приближенного числа а получаем новое приближенное число а1 ,
абсолютная погрешность которого складывается из абсолютной погрешности
первоначального числа а и погрешности округления:
∆𝑎1 = ∆𝑎 + ∆окр
Формулы для вычисления погрешностей значений функций
∆𝑓
f
|𝑓 ′ (𝑥)|∆𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥, 𝑦)
|
𝜕𝑓
𝜕𝑓
| ∆𝑥 + | | ∆𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
𝛿𝑓
(𝑥)|∆𝑥
|𝑓(𝑥)|
𝜕𝑙𝑛𝑓
𝜕𝑙𝑛𝑓
|
| ∆𝑥 + |
| ∆𝑦
𝜕𝑥
𝜕𝑦
|𝑓 ′
Формулы для вычисления погрешностей результатов арифметических действий над
приближенными числами x и y
∆𝑥°𝑦
𝛿𝑥°𝑦
𝑥∘𝑦
∆ 𝑥 + ∆𝑦
∆𝑥 + ∆𝑦
x+y
|𝑥 + 𝑦|
x-y
∆𝑥 + ∆𝑦
𝑥∙𝑦
𝑥
𝑦
|𝑥𝑦|(𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 )
𝑥
| | (𝛿𝑥 + 𝛿𝑦 )
𝑦
∆ 𝑥 + ∆𝑦
|𝑥 − 𝑦|
𝛿𝑥 + 𝛿𝑦
𝛿𝑥 + 𝛿𝑦
Абсолютные и относительные погрешности вычислений элементарных
математических функций
f
𝑥𝑛
√𝑛
1
𝑥
𝑒𝑥
𝑎𝑥
ln 𝑥
𝑙𝑔𝑥
sin 𝑥
cos 𝑥
𝑡𝑔𝑥
𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥
𝑥𝑦
∆𝑓
𝑛 ∙ |𝑥|𝑛−1 ∙ ∆𝑥
∆𝑥
2√𝑥
∆𝑥
𝑥2
𝑒 𝑥 ∆𝑥
𝑥
𝑎 ln 𝑎 ∙ ∆𝑥
∆𝑥
𝑥
∆𝑥
𝑥 ∙ ln 10
|𝑐𝑜𝑠𝑥| ∙ ∆𝑥
|𝑠𝑖𝑛𝑥| ∙ ∆𝑥
∆𝑥
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∆𝑥
𝑠𝑖𝑛2 𝑥
∆𝑥
√1 − 𝑥 2
∆𝑥
√1 − 𝑥 2
∆𝑥
1 + 𝑥2
∆𝑥
1 + 𝑥2
∆
𝑥
𝑥 𝑦 ∙ (|𝑦| + |ln 𝑥| ∙ ∆𝑦 )
𝑥
𝛿𝑓
𝑛 ∙ 𝛿𝑥
𝛿𝑥
2
𝛿𝑥
|𝑥| ∙ 𝛿𝑥
|𝑥| ∙ ln 𝑎 ∙ 𝛿𝑥
𝛿𝑥
|ln 𝑥|
𝛿𝑥
|ln 𝑥|
|𝑥 ∙ 𝑐𝑡𝑔𝑥|𝛿𝑥
|𝑥 ∙ 𝑡𝑔𝑥|𝛿𝑥
2 ∙ |𝑥|
𝛿
|𝑠𝑖𝑛2𝑥| 𝑥
2 ∙ |𝑥|
𝛿
|𝑠𝑖𝑛2𝑥| 𝑥
|𝑥|
|𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑥|√1 − 𝑥 2
|𝑥|
𝛿𝑥
𝛿𝑥
|𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑥|√1 − 𝑥 2
|𝑥|
𝛿
|𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔𝑥|(1 + 𝑥 2 ) 𝑥
|𝑥|
𝛿
|𝑎𝑟𝑐𝑐𝑡𝑔𝑥|(1 + 𝑥 2 ) 𝑥
|𝑦 ∙ ln 𝑥| ∙ 𝛿𝑦 + |𝑦| ∙ 𝛿𝑥
Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Система n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид
𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + 𝑎1𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏1
𝑥2 + 𝑎2𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏21
{𝑎21 𝑥1 + 𝑎22…
……
𝑎𝑛1 𝑥1 + 𝑎𝑛2 𝑥2 + 𝑎𝑛𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏𝑛
или в матричной форме 𝐴𝑥 = 𝑏
Все методы решения СЛАУ можно разбить на два класса: прямые и итерационные.
Прямые методы (метод Гаусса, прогонки и др.) позволяют в предположении отсутствия
ошибок округления получить точное решение задачи за конечное число арифметических
действий. Итерационные методы (метод простой итерации, метод Зейделя) или метод
последовательных приближений, позволяют вычислить последовательность векторов
{𝑥 (𝑘) }, сходящуюся к точному решению при 𝑘 → ∞.
Метод Гаусса (схема единственного деления, метод последовательного исключения
неизвестных) состоит из прямого и обратного ходов. Прямой ход состоит в
последовательном пересчете (за n-1 шагов) коэффициентов системы по формулам:
(𝑘−1)
(𝑘)
𝑎𝑖𝑗
(𝑘)
𝑏𝑖
=
(𝑘−1)
𝑎𝑖𝑗
−
(𝑘−1)
−
= 𝑏𝑖
𝑎𝑖𝑘
(𝑘−1)
(𝑘−1)
𝑎𝑘𝑘
(𝑘−1)
𝑎𝑖𝑘
(𝑘−1)
𝑎𝑘𝑘
∙ 𝑎𝑘𝑗
(𝑘−1)
∙ 𝑏𝑘
где верхний индекс k (номер шага) должен изменяться от 1 до n-1, нижние индексы i и j (в
(0)
(0)
любой очередности) – от k+1 до n; по определению полагают 𝑎𝑢𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 , 𝑏𝑖
= 𝑏𝑖 .
Обратный ход состоит в последовательном вычислении значений неизвестных по
формуле:
𝑥𝑘 =
𝑛
1
(𝑘−1)
(𝑏𝑘
(𝑘−1)
𝑎𝑘𝑘
(𝑘−1)
− ∑ 𝑎𝑘𝑗
∙ 𝑥𝑗 )
𝑗=𝑘+1
где k полагают равным n, n-1, …,2, 1 и сумма по определению считается равной нулю,
если нижний предел суммирования у знака Σ имеет значение больше верхнего.
Метод простой итерации. Систему приводят к виду 𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝑑, строят
последовательность векторов 𝑥 (𝑘+1) = 𝐶𝑥 (𝑘) + 𝑑, где 𝑥 (0) = 𝑑.
Условие сходимости: ‖𝐶‖ < 1 для какой-либо нормы матрицы.
Расчетные формулы (в покоординатной форме записи):
(𝑘+1)
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
𝑥𝑖
= 𝑐𝑖1 𝑥1 + 𝑐𝑖2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑖,𝑖+1 𝑥𝑖+1 + ⋯ + 𝑐𝑖,𝑛 𝑥𝑛 + 𝑑𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
Критерий окончания итерационного процесса:
‖𝑥 (𝑘+1) − 𝑥 (𝑘) ‖ ≤
𝜀(1−‖𝐶‖)
‖𝐶‖
или ‖𝑥 (𝑘+1) − 𝑥 (𝑘) ‖ < 𝜀
где 𝜀 > 0 - заданная точность.
Метод Зейделя отличается от метода простых итераций формулами для вычисления
координат последовательности векторов:
(𝑘+1)
(𝑘+1)
(𝑘+1)
(𝑘+1)
(𝑘)
𝑥𝑖
= 𝑐𝑖1 𝑥1
+ 𝑐𝑖2 𝑥2
+ ⋯ + 𝑐𝑖,𝑖+1 𝑥𝑖+1 + ⋯ + 𝑐𝑖,𝑛 𝑥𝑛 + 𝑑𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
Метод Якоби состоит в следующем: из первого уравнения системы выражают
неизвестное 𝑥1 , из второго уравнения системы выражают 𝑥2 и т.д. Если ввести
𝑎
𝑏
обозначения 𝑐𝑖𝑗 = − 𝑎𝑖𝑗 , 𝑑𝑖 = − 𝑎 𝑖 , 𝑖, 𝑗 = 1, 2, … , 𝑛, 𝑖 ≠ 𝑗 . В результате получаем систему в
𝑖𝑖
𝑖𝑖
матричной форме 𝑥 = 𝐶𝑥 + 𝑑. На главной диагонали матрицы C стоят нулевые элементы.
Расчетная формула
(𝑘+1)
𝑥𝑖
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
(𝑘)
= 𝑐𝑖1 𝑥1 + 𝑐𝑖2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑖,𝑖−1 𝑥𝑖−1 + 𝑐𝑖,𝑖+1 𝑥𝑖+1 + ⋯ + 𝑐𝑖,𝑛 𝑥𝑛 + 𝑑𝑖 , 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
Условие сходимости (условие преобладания диагональных элементов матрицы А)
𝑛
|𝑎𝑖𝑖 | ≥ ∑ |𝑎𝑖𝑗 |,
𝑖 = 1, 2, … , 𝑛
𝑗=1,𝑗≠𝑖
Численные методы решения нелинейных уравнений
Численное решение уравнения 𝑓(𝑥) = 0 состоит из двух этапов: отделения корней и
уточнения корней.
Отделение корней – разбиение всей области допустимых значений x на отрезки, в
каждом из которых содержится один корень.
Отделение корней обычно производится двумя способами: графическим и (или)
аналитическим.
Графический способ. Строят график функции 𝑦 = 𝑓(𝑥) и определяют отрезки, в
которых находятся абсциссы точек пересечения его с осью 0x. В некоторых случаях
целесообразно представить уравнение 𝑓(𝑥) = 0 в равносильном виде 𝑓1 (𝑥) = 𝑓2 (𝑥) так,
чтобы графики функций 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) и 𝑦 = 𝑓2 (𝑥) строились по возможности проще. Корень
уравнения представляет собой абсциссу точки пересечения графиков 𝑦 = 𝑓1 (𝑥) и 𝑦 =
𝑓2 (𝑥).
Аналитический способ. Основу данного способа составляют следующие критерии:
если на отрезке [a;b] функция 𝑓(𝑥) непрерывна и ее значения на концах отрезка
имеют разные знаки, т.е. 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑏) < 0, то на этом отрезке имеется хотя бы один
корень уравнения 𝑦 = 𝑓(𝑥)
если на отрезке [a;b] функция 𝑓(𝑥) непрерывна и монотонна, а ее значение на
концах отрезка имеют разные знаки, то на этом отрезке имеется один и только
один корень уравнения 𝑦 = 𝑓(𝑥)
Алгоритм отделения корней аналитическим способом:
найти производную 𝑓 ′ (𝑥)
составить таблицу знаков функции 𝑓(𝑥), полагая x равным: критическим
значениям (в которых 𝑓 ′ (𝑥) = 0 или не существует) и граничным значениям
(исходя из области допустимых значений x), или близким к ним.
Определить отрезки, на концах которых функция принимает значения
противоположных знаков.
Уточнение корней – нахождение приближенных значений локализованных корней с
точностью до заданного достаточно малого числа 𝜀 > 0.
Пусть на отрезке [𝑎; 𝑏] расположен один однократный корень уравнения 𝑓(𝑥) = 0,
который необходимо уточнить с точностью до ε.
Методы уточнения корней
- Метод половинного деления (бисекций, дихотомия)
За первое приближение корня принимают середину отрезка 𝑥 =
𝑎+𝑏
2
. Если 𝑓(𝑥) ≠ 0,
исследуют функцию на концах отрезков [𝑎; 𝑥] и [𝑥; 𝑏]. Выбирается тот отрезок, у которого
значения функции на концах имеют противоположные знаки. Полученный отрезок снова
делят пополам и проводят те же рассуждения. Процесс продолжается до тех пор, пока не
выполнится условие |𝑏 − 𝑎| < 𝜀.
- Метод хорд (пропорциональных частей)
Если 𝑓(𝑏) ∙ 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 на [𝑎; 𝑏], то
𝑏−𝑥
𝑘
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑓(𝑏)−𝑓(𝑥
∙ 𝑓(𝑥𝑘 ) (при этом 𝑥0 = 𝑎)
)
𝑘
Если 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓 ′′ (𝑥) > 0 на [𝑎; 𝑏], то
𝑥 −𝑎
𝑥𝑘+1 = 𝑎 − 𝑓(𝑥 𝑘)−𝑓(𝑎) ∙ 𝑓(𝑎) (при этом 𝑥0 = 𝑏)
𝑘
-
Метод Ньютона (касательных)
𝑓(𝑥 )
𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 − 𝑓′ (𝑥𝑘 ) (𝑘 = 0,1,2, … )
𝑘
начальное приближение 𝑥0 выбирается из условия выполнения неравенства
𝑓(𝑥0 ) ∙ 𝑓 ′′ (𝑥0 ) > 0
- Метод простых итераций
Уравнение 𝑓(𝑥) = 0 приводится к виду 𝑥 = 𝜑(𝑥), |𝜑 ′ (𝑥)| < 1 для любого 𝑥𝜖[𝑎; 𝑏].
Последовательные приближения вычисляются по формуле
𝑥𝑘+1 = 𝜑(𝑥𝑘 ) (𝑘 = 0, 1, 2, … )
Процесс вычисления приближенных значений корня 𝑥1, , 𝑥2 , … по формулам метода
хорд, методы Ньютона и метода простой итерации заканчивается при выполнении
условия |𝑥𝑘+1 − 𝑥𝑘 | ≤ 𝜀.
Интерполирование и экстраполирование функций
Функция 𝑦 = 𝑓(𝑥) задана таблицей:
…
𝑥𝑖
𝑥0
𝑥1
𝑥𝑛
…
𝑦𝑖
𝑦0
𝑦1
𝑦𝑛
Интерполяция функции – построение функции 𝑦 = 𝑔(𝑥): 𝑔(𝑥𝑖 ) = 𝑦𝑖 (𝑖 = 0, 1, … , 𝑛)
Формула 𝑦 = 𝑔(𝑥) называется интерполяционной и используется для вычисления
значения функции f(x) в точке x,не совпадающей с узлами интерполяции. При этом
различают собственно интерполирование (интерполяция) функции, когда 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], и
экстраполирование (экстраполяцию) функции, когда 𝑥 ∉ [𝑎, 𝑏].
Интерполяционная формула Лагранжа:
𝑛
𝐿𝑛 (𝑥) = ∑ 𝑦𝑖
𝑖=0
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 ) … (𝑥 − 𝑥𝑖−1 )(𝑥 − 𝑥𝑖+1 ). . (𝑥 − 𝑥𝑛 )
(𝑥𝑖 − 𝑥0 )(𝑥𝑖 − 𝑥1 ) … (𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 )(𝑥𝑖 − 𝑥𝑖+1 ). . (𝑥𝑖 − 𝑥𝑛 )
При n=2 формула имеет вид:
(𝑥 − 𝑥1 )(𝑥 − 𝑥2 )
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥2 )
(𝑥 − 𝑥0 )(𝑥 − 𝑥1 )
𝐿2 (𝑥) =
𝑦0 +
𝑦1 +
𝑦
(𝑥0 − 𝑥1 )(𝑥0 − 𝑥2 )
(𝑥1 − 𝑥0 )(𝑥1 − 𝑥2 )
(𝑥2 − 𝑥0 )(𝑥2 − 𝑥1 ) 2
Первая интерполяционная формула Ньютона:
∆𝑦0
∆2 𝑦0
∆𝑛 𝑦0
𝑁𝑛 (𝑥) = 𝑦0 +
𝑞+
𝑞(𝑞 − 1) + ⋯ +
𝑞(𝑞 − 1) … (𝑞 − 𝑛 + 1)
1!
2!
𝑛!
𝑥−𝑥
где 𝑞 = ℎ 0 , ℎ = 𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 (𝑖 = 0, 1, … , 𝑛), ∆𝑖 𝑦0 - конечная разность i-го порядка: ∆𝑖 𝑦0 =
∆𝑖−1 𝑦1 − ∆𝑖−1 𝑦0 (i=1, 2, …, n).
Вторая интерполяционная формула Ньютона:
∆𝑦𝑛−1
∆2 𝑦𝑛−2
∆𝑛 𝑦0
𝑁𝑛 (𝑥) = 𝑦𝑛 +
𝑞+
𝑞(𝑞 + 1) + ⋯ +
𝑞(𝑞 + 1) … (𝑞 + 𝑛 − 1)
1!
2!
𝑛!
𝑥−𝑥
где 𝑞 = ℎ 𝑛 .
Аппроксимация функции методом наименьших квадратов – построение функции
𝑦 = 𝑔(𝑥): 𝑔(𝑥𝑖 ) ≈ 𝑦𝑖 (𝑖 = 0, 1, … , 𝑛)
Вид аппроксимирующей функции: 𝑔(𝑥) = 𝑔(𝑥, 𝑎0 , … , 𝑎𝑚 )
Параметры аппроксимирующей функции 𝑎0 , … , 𝑎𝑚 :
n
σ=
∑ ε2i
i=0
n
= ∑(yi − g(𝑥, 𝑎0 , … , 𝑎𝑚 ))2 → min
i=0
Линейная аппроксимация:
𝑔(𝑥, 𝑎0 , 𝑎1 ) = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 (𝑚 = 1),
2
𝜎 = ∑𝑛𝑖=0(𝑦𝑖 − (𝑎0 + 𝑎1 𝑥)) → 𝑚𝑖𝑛,
𝑛
𝑛
𝑛𝑎0 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖 = ∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑎0 ∑ 𝑥𝑖 + 𝑎1 ∑ 𝑥𝑖2 = ∑ 𝑦𝑖 𝑥𝑖
{ 𝑖=1
𝑖=1
𝑖=1
Интерполяция сплайнами. Функция 𝑆𝑚 (𝑥) называется сплайном степени m для
функции f(x) , если:
на каждом отрезке [𝑥𝑖 ; 𝑥𝑖+1 ] (𝑖 = 0,1, . . , 𝑛 − 1) 𝑆𝑚 (𝑥) является многочленом m-й
степени;
𝑆𝑚 (𝑥) и ее производные до (m-1)-го порядка включительно непрерывны на
[𝑥0 ; 𝑥𝑛 ] (условие гладкой стыковки звеньев сплайна);
𝑆𝑚 (𝑥) = 𝑦𝑖 – непосредственно условие интерполяции.
Кубический сплайн:
𝑃1 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥0 ; 𝑥1 ]
𝑃
∈ [𝑥1 ; 𝑥2 ]
𝑆3 (𝑥) = { 2 (𝑥), 𝑥 …
𝑃𝑛 (𝑥), 𝑥 ∈ [𝑥𝑛−1 ; 𝑥𝑛 ]
где 𝑃𝑖 (𝑥) - звено сплайна, 𝑃𝑖 (𝑥) = 𝑎𝑖 (𝑥 − 𝑥𝑖 )3 + 𝑏𝑖 (𝑥 − 𝑥𝑖 )2 + 𝑐𝑖 (𝑥 − 𝑥𝑖 ) + 𝑑𝑖 (𝑖 =
1,2, … , 𝑛)
Система уравнений для определения коэффициентов сплайна имеет вид:
𝑎𝑖 ℎ𝑖3 − 𝑏𝑖 ℎ𝑖2 + 𝑐𝑖 ℎ𝑖 = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1
𝑐𝑖−1 − 𝑐𝑖 + 2𝑏𝑖 ℎ𝑖 − 3𝑎𝑖 ℎ𝑖2 = 0
𝑏𝑖−1 − 𝑏𝑖 + 3𝑎𝑖 ℎ𝑖 = 0
𝑏1 − 3𝑎1 ℎ1 = 0
{
𝑏𝑛 = 0
Оценка погрешности интерполяции кубического сплайна:
|𝑓(𝑥) − 𝑆3 (𝑥)| ≤ 𝑀4 ℎ4
где 𝑀4 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓 (4) (𝑥)|.
Численное дифференцирование и интегрирование
Численным дифференцированием назывыается процесс вычисления приближенного
значения производной 𝑓 (𝑘) (𝑥) некоторой функции f(x) по ее значениям 𝑦0 = 𝑓(𝑥0 ), 𝑦1 =
𝑓(𝑥1 ), … , 𝑦𝑛 = 𝑓(𝑥𝑛 )
Разностные формулы для производных, основанные на полиноме Лагранжа:
𝑓(𝑥𝑖 + ℎ) − 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑦𝑖+1 − 𝑦𝑖
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) ≈
=
ℎ
ℎ
𝑓(𝑥𝑖 ) − 𝑓(𝑥𝑖 − ℎ) 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) ≈
=
ℎ
ℎ
𝑓(𝑥
+
ℎ)
−
𝑓(𝑥
−
ℎ)
𝑦
𝑖
𝑖
𝑖+1 − 𝑦𝑖−1
𝑓 ′ (𝑥𝑖 ) ≈
=
2ℎ
2ℎ
Формулы
численного
дифференцирования,
интерполяционной формуле Ньютона:
основанные
на
первой
𝑦
′ (𝑥)
1
∆2 𝑦0
∆3 𝑦0
∆4 𝑦0
2
(2𝑞 − 1) +
(3𝑞 − 6𝑞 + 2) +
(4𝑞 3 − 18𝑞 2 + 22𝑞 − 6)
≈ (∆𝑦0 +
ℎ
2
6
24
+⋯)
𝑦 ′′ (𝑥) ≈
где 𝑞 =
1
∆4 𝑦0
2
3 (𝑞
(12𝑞 2 − 36𝑞 + 22) + ⋯ )
(∆
𝑦
+
∆
𝑦
−
1)
+
0
0
ℎ2
24
𝑥−𝑥0
ℎ
Формулы численного интегрирования
Пусть отрезок интегрирования [a;b] разбит на n частей с шагом
ℎ=
𝑏−𝑎
𝑛
, 𝑥𝑖 = 𝑎 + 𝑖ℎ (𝑖 = 0,1,2, … , 𝑛)
Простейшим приемом получения квадратурных формул является замена
подынтегральной функции f(x) на отрезке [a;b] интерполяционным многочленом
(нулевой, первой и второй степени), построенным по узлам квадратурной формулы, с
последующим интегрированием этого многочлена. Полученные таким образом формулы
называются квадратурными формулами интерполяционного типа (формулы НьютонаКотеса).
Тогда имеет место следующие квадратурные формулы для вычисления 𝐼 =
𝑏
∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 и оценки их погрешностей:
формула левых прямоугольников:
𝑛−1
𝐼 ≈ ℎ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ),
|𝑅𝑛 | ≤
𝑖=0
𝑀1 (𝑏 − 𝑎)ℎ
2
формула правых прямоугольников:
𝑛
𝐼 ≈ ℎ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 ),
|𝑅𝑛 | ≤
𝑖=1
𝑀1 (𝑏 − 𝑎)ℎ
2
формула центральных (средних) прямоугольников:
𝑛
𝑛
ℎ
ℎ
𝐼 ≈ ℎ ∑ 𝑓 (𝑥𝑖−1 + ) = ℎ ∑ 𝑓 (𝑥𝑖 − ) ,
2
2
𝑖=1
|𝑅𝑛 | ≤
𝑖=1
𝑀2 (𝑏 − 𝑎)ℎ2
24
формула трапеций:
𝑛−1
𝑓(𝑥0 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )
𝐼 ≈ ℎ(
+ ∑ 𝑓(𝑥𝑖 )),
2
|𝑅𝑛 | ≤
𝑖=1
𝑀2 (𝑏 − 𝑎)ℎ2
12
формула Симпсона (парабол):
𝑛/2
𝑛/2
ℎ
𝐼 ≈ (𝑓(𝑥0 ) + 4 ∑ 𝑓(𝑥2𝑖−1 ) + 2 ∑ 𝑓(𝑥2𝑖−2 ) + 𝑓(𝑥𝑛 )) ,
3
𝑖=1
𝑖=2
|𝑅𝑛 | ≤
𝑀4 (𝑏 − 𝑎)ℎ4
180
где 𝑀𝑘 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓 (𝑘) (𝑥)|
Оценка погрешностей квадратурных формул методом Рунге
Для определения погрешностей квадратурных формул требуется знание
производных 𝑀4 = 𝑚𝑎𝑥|𝑓 (4) (𝑥)| от подынтегральной функции и применяется
приближенная оценка погрешностей методом двойного пересчета или методом Рунге.
Выбирают некоторое натуральное число n и проводят вычисления по одной из
формул дважды: при разбиениях отрезка на n и 2n частей (обозначения
𝐼𝑛 и 𝐼2𝑛 или 𝐼ℎ и 𝐼ℎ ). Тогда погрешности имеют следующий вид для погрешности числа
2
𝐼2𝑛 :
формулы левых (или правых) прямоугольников
|𝑅2𝑛 | = |𝐼 − 𝐼2𝑛 | ≈ |𝐼𝑛 − 𝐼2𝑛 |
формулы трапеций и средних прямоугольников
|𝐼𝑛 − 𝐼2𝑛 |
|𝑅2𝑛 | = |𝐼 − 𝐼2𝑛 | ≈
3
формулы Симпсона
|𝐼𝑛 − 𝐼2𝑛 |
|𝑅2𝑛 | = |𝐼 − 𝐼2𝑛 | ≈
15
общий случай
|𝐼𝑛 − 𝐼2𝑛 |
|𝑅2𝑛 | = |𝐼 − 𝐼2𝑛 | ≈ 𝑘
, 𝑘 − порядок точности
2 −1
Метод Монте-Карло
Это метод статистических испытаний. Формула для вычисления интеграла,
следующая:
𝑏
𝑁
1
𝑆1 + 𝑆2 + ⋯ + 𝑆𝑛 𝑏 − 𝑎
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ≈
=
∑ 𝑓(𝑥𝑖 ) , 𝜀 ≈ 𝑁 −2
𝑁
𝑁
𝑖=1
𝑎
Численные методы решений дифференциальных уравнений
Решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка:
𝑦 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥, 𝑦(𝑥))
Заключается в отыскании функции y(x), удовлетворяющей этому уравнению и начальному
условию 𝑦(𝑥0 ) = 𝑦0 .
Для решения поставленной задачи составляют таблицу значений 𝑦𝑖 = 𝑦(𝑥𝑖 ) , где
𝑥𝑖 = 𝑥0 + 𝑖ℎ (𝑖 = 0,1, … , 𝑛), ℎ =
𝑋−𝑥0
𝑛
, [𝑥0 , 𝑋]- отрезок, на котором ищется решение.
Значения 𝑦𝑖+1 отпределяется по формулам:
метод Эйлера (метод ломанных)
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ),
𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1
метод Эйлера-Коши
𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ) + 𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + ℎ𝑓(𝑥𝑖 . 𝑦𝑖 ))
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ℎ
, 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1
2
метод Рунге-Кутты 4-го порядка
𝑦𝑖+1 = 𝑦𝑖 + ∆𝑦𝑖
где
1 (1)
(2)
(3)
(4)
∆𝑦𝑖 = (𝑘𝑖 + 2𝑘𝑖 + 2𝑘𝑖 + 𝑘𝑖 )
6
(1)
(2)
ℎ
𝑘𝑖
ℎ
𝑘𝑖
(1)
(2)
(3)
𝑘𝑖 = ℎ𝑓(𝑥𝑖 , 𝑦𝑖 ), 𝑘𝑖 = ℎ𝑓 (𝑥𝑖 + , 𝑦𝑖 +
) , 𝑘𝑖 = ℎ𝑓 (𝑥𝑖 + , 𝑦𝑖 +
),
2
2
2
2
(4)
𝑘𝑖
(3)
= ℎ𝑓(𝑥𝑖 + ℎ, 𝑦𝑖 + 𝑘𝑖 ), 𝑖 = 0,1, … , 𝑛 − 1
Линейное программирование
Постановка задачи линейного программирования имеет три формы:
1. Общая постановка задачи
𝑛
max(𝑚𝑖𝑛) 𝐹(𝑥̅ ) = ∑ 𝑐𝑗 𝑥𝑗
𝑗=1
𝑘
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖
𝑗=1
𝑛
𝑥𝑖 ≥ 0, где 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛 и 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖
{𝑗=𝑘+1
т – количество неизвестных, m – количество уравнений
2. Симметричная постановка задачи
∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖
𝑚𝑖𝑛𝐹(𝑥̅ ) = ∑𝑛𝑗 𝑐𝑗 𝑥𝑗
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑖 = 𝑚; 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
∑𝑛𝑗=1 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖
𝑚𝑎𝑥𝐹(𝑥̅ ) = ∑𝑛𝑗 𝑐𝑗 𝑥𝑗
𝑥𝑗 ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚; 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
3. Каноническая постановка задачи
𝑛
𝑚
𝑚𝑎𝑥𝐹(𝑥̅ ) = ∑ 𝑐𝑗 𝑥𝑗 + 0 ∙ ∑ 𝑥𝑛+𝑖
𝑗=1
𝑖=1
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 + 𝑥𝑛+𝑖 = 𝑏𝑖 , 𝑥𝑖 ≥ 0, 𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚; 𝑗 = ̅̅̅̅̅
1, 𝑛
𝑗=1
Переход к канонической форме от других форм происходит с помощью введения
дополнительных балансовых неотрицательных переменных 𝑥𝑛+𝑖 ≥ 0, (𝑖 = ̅̅̅̅̅̅
1, 𝑚). При этом
неравенства-ограничения оказываются равенствами.
Переменные 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 называются базисными, а 𝑥𝑛+1 , 𝑥𝑛+2 , … , 𝑥𝑚 – свободными.
Оптимальным
решением
(оптимальным
планом)
задачи
линейного
программирования является такая совокупность неотрицательных значений независимых
переменных 𝑥𝑗 = 𝜆𝑗 , которые удовлетворяют условиям:
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 𝑖 = 1, … , 𝑚1
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 𝑖 = 𝑚1 + 1, … , 𝑚2
𝑗=1
𝑛
∑ 𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 𝑖 = 𝑚2 + 1, … , 𝑚
𝑗=1
и обеспечивает в зависимости от постановки задачи максимального или минимального
значения целевой функции.
Симлекс-метод начинается с выбора опорного решения, содержащего базисные и
свободные переменные, т.е. составляет базисный план. Путем несложных преобразований
(по методу Гаусса) от базисного решения переходят к опорному решению, которое
называется допустимым решением.
Алгоритм Симпекс-метода:
Если некоторые ограничения представляют собой неравенства, то происходит
переход к системе равенств (получается система уравнений)
Отыскивается базисное решение системы уравнений. При этом некоторые
переменные могут оказаться отрицательными. Базисное решение записывается в
виде
𝑦1 = 𝑎11 𝑥1 + 𝑎12 𝑥2 + ⋯ + 𝑎1𝑘 𝑥𝑘 + 𝑏1
𝑦21 = 𝑎21 𝑥1 + 𝑎22 𝑥2 + ⋯ + 𝑎2𝑘 𝑥𝑘 + 𝑏2
…
𝑦𝑚 = 𝑎𝑚1 𝑥1 + 𝑎𝑠2 𝑥2 + ⋯ + 𝑎𝑚𝑘 𝑥𝑘 + 𝑏𝑚
Целевая функция записывается в виде
𝐹 = 𝑐1 𝑥1 + 𝑐2 𝑥2 + ⋯ + 𝑐𝑘 𝑥𝑘 + 𝑐0
Переход от базисного решения к опорному, т.е. отыскание допустимого множества
решений.
Отыскание среди допустимого множества решений оптимального, т.е.
минимазирующего целевую функцию
Графический метод решения задачи линейного программирования отличается
простотой и наглядностью. Он не является универсальным, так как применяется для
случая двух переменных.
ЗАДАНИЯ В ТЕСТОВОЙ ФОРМЕ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Раздел 1. Элементы теории погрешностей
1. Погрешность, которая обусловлена неточностью задания числовых данных,
входящих в математическое описание задачи, называется …
А) неустранимая погрешность
Б) погрешность метода
В) вычислительная погрешность
2. Погрешность, которая является следствием несоответствия математического
описания задачи, т.е. погрешностей математической модели, называется …
А) неустранимая погрешность
Б) погрешность метода
В) вычислительная погрешность
3. При переходе от математической модели к численному методу возникают
погрешности, которые называются …
А) неустранимая погрешность
Б) погрешность метода
В) вычислительная погрешность
4. Погрешность, которая обусловлена выполнением арифметических операций над
числами называется …
А) неустранимая погрешность
Б) погрешность метода
В) вычислительная погрешность
5. Абсолютная погрешность – это …
А) модуль разности между точным и приближенным числами
Б) модуль разности между двумя числами
В) разность между точным и приближѐнным числами
6. Какие цифры в числе называются значащими?
А) Все цифры, начиная с первой справа, отличной от нуля
Б) Все верные цифры, начиная с первой справа, отличной от нуля
В) Все верные цифры, начиная с первой слева, отличной от нуля
7. Цифра α
в десятичной записи приближенного значения величины a
называется верной в строгом смысле, если …
А) абсолютная погрешность приближения не превосходит половины единицы того
разряда, которому принадлежит цифра α
Б) абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы того разряда,
которому принадлежит цифра α
В) погрешность приближения не превосходит половины единицы того разряда,
которому принадлежит цифра α
8. Относительная погрешность выражается в …
Ответ:___________________________________ (%)
9. К несуществующим видам погрешностям относится …
А) неустранимая погрешность
Б) погрешность метода
В) вычислительная погрешность
Г) результирующая погрешность
10. Соотнесите левую и правую часть формулы
∆𝑥 + ∆𝑦
|𝑥 + 𝑦|
𝛿(𝑥) + 𝛿(𝑦)
𝛿(𝑥𝑦)
∆(𝑥 + 𝑦)
𝑥
𝛿( )
𝑦
𝛿(𝑥 − 𝑦)
∆(𝑥) + ∆(𝑦)
∆𝑥 + ∆𝑦
𝛿(𝑥 + 𝑦)
|𝑥 − 𝑦|
11. Даны числа 4,756±0,0005, 7,4±0,02, -4,76±0,003, 4,2±0,02. Относительная
погрешность суммы данных чисел равна …
Ответ:_________________________(0,375%)
𝑥 ∙𝑥
12. Относительная погрешность значения функции 𝑦 = 𝑥1 ∙𝑥2 при заданных значениях
3
4
𝑥1 = 4.756 ± 0.0005, 𝑥2 = 7.4 ± 0.02, 𝑥3 = −4.76 ± 0.003, 𝑥4 = 4.2 ± 0.02 равна …
Ответ:_________________________(0,82%)
13. Заполнить таблицу для вычисления величины 𝐹 =
√𝑎+√𝑏
𝑏+ln 𝑎
с помощью метода строго
учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции, если цифры
верны в строгом смысле
a
b
F
ln 𝑎
𝑏 + ln 𝑎
√𝑏
√𝑎
√𝑎 + √𝑏
12.34
14.3
3.513
3.78
7.29
2.5128
16.8
0.434
∆(𝑎)
∆(𝑏)
∆(ln 𝑎)
∆(𝑏
∆(𝐹)
∆(√𝑎)
∆(√𝑎
∆(√𝑏)
+
ln
𝑎)
+ √𝑏)
0.005
0.05
0.00071
0.0066
0.0073
0.00041
0.050
0.0017
14. Относительная погрешность вычисления для выражения 𝐹 =
𝑚2 𝑛 3
√𝑘
, где 𝑚 = 2.3 ±
0.02, 𝑛 = 0.45 ± 0.01, 𝑘 = 39.678 ± 0.003 равна …
Ответ_____________________________(0,84%)
15. Относительная погрешность вычисления для выражения 𝐹 =
(𝑛−1)(𝑚+𝑛)
(𝑚−𝑛)2
, где 𝑚 =
3.056 ± 0.0001, 𝑛 = 5.72 ± 0.02 равна …
Ответ_____________________________(1,8%)
16. Соотнести погрешности значений элементарных функций
Абсолютная погрешность
Функция
∆(𝑥)
𝑥2
∆(𝑥)
𝑥
∆(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∆(𝑥)
𝑥 𝑦 (|𝑦|
+ |ln 𝑥|∆(𝑦))
𝑥
𝑡𝑔(𝑥)
1
𝑥
𝑥𝑦
ln 𝑥
Относительная
погрешность
|𝑦 ln 𝑥|𝛿(𝑦) + |𝑦|𝛿(𝑥)
∆(𝑥)
|𝑥|
𝛿(𝑥)
|ln 𝑥|
2∆(𝑥)
|sin(2𝑥)|
17. A - точное значение числа, а - приближенное. Найти абсолютную погрешность,
если А=8,3; а=8,325 …
Ответ:____________________(0,025)
18. A - точное значение числа, а - приближенное. Найти абсолютную погрешность
приближения, если А=14,7;а=14,82 …
Ответ:_______________(0,12)
19. Если абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в которой
находится данная цифра, то цифра является верной в …
А) широком смысле
Б) строгом смысле
В) узком смысле
20. Если абсолютная погрешность не превосходит половины разряда, в которой
находится данная цифра, то цифра является верной в …
А) широком смысле
Б) строгом смысле
В) узком смысле
𝑎2 +√𝑏
21. Заполнить таблицу для вычисления величины 𝐹 = 𝑒 𝑏∙ln(1+𝑏2) с помощью метода
строго учета границ абсолютных погрешностей после каждой операции, если
цифры верны в строгом смысле
a
b
𝑎2
√𝑏
𝑎2 + √𝑏
𝑒𝑏
1 + 𝑏2
ln(1
+ 𝑏2)
0.963
∆(𝑎)
2.436
∆(𝑏)
0.927
∆(𝑎2 )
1.5608
∆(√𝑏)
2.488
∆(𝑎2
+ √𝑏)
11.43
∆(𝑒 𝑏 )
6.934
∆(1
+ 𝑏2)
1.9364
∆(ln(1
+ 𝑏 2 ))
0.0005
0.0005
0.0014
0.00021
0.0019
0.0085
0.0025
0.00040
𝑒𝑏
∙ ln(1
+ 𝑏2)
22.13
∆(𝑒 𝑏
∙ ln(1
+ 𝑏 2 ))
0.025
F
0.1124
∆(𝐹)
0.00025
22.
Раздел 2. Решение уравнений и систем линейных алгебраических уравнений
1. Какой метод приближенного решения уравнения иллюстрирует данный рисунок
Ответ:_______________________________________ (метод касательных, метод
Ньютона)
2. Какой метод приближенного решения уравнения иллюстрирует данный рисунок
Ответ:_______________________________________ (метод половинного деления,
метод дихотомия)
3. Какой метод приближенного решения уравнения иллюстрирует данный рисунок
Ответ:_______________________________________ (метод хорд)
4. Установите соответствие между численным методом решения уравнения и его
формулой
Метод половинного
деления
Метод хорд
Метод Ньютона
(касательных)
5. Отделите корень уравнения cos 𝑥 = 2𝑥
А) [-1;1]
Б) [0;1]
В) [1;2]
Г) [2;3]
6. Отделите корень уравнения 2 − 𝑙𝑔𝑥 − 2 = 0
А) [0;1]
Б) [1;2]
В) [2;3]
Г) [-1;0]
7. Отделите корень уравнения 2𝑥 − 4𝑥 = 0
А) [0;1]
Б) [1;2]
В) [2;3]
Г) [-1;0]
8. Отделите корень уравнения cos 2𝑥 − 5 + 𝑥 = 0
А) [-1;0]
Б) [0;2]
В) [3;4]
Г) [5;6]
9. Отделите корень уравнения 𝑥 3 + 𝑥 − 4 = 0
А) [-1;0]
Б) [0;1]
В) [1;2]
Г) [2;3]
10. Отделите корень уравнения 𝑥 3 − 3𝑥 − 0,4 = 0
А) [-1;0]
Б) [0;1]
В) [1;2]
Г) [2;3]
11. Основная идея метода заключается в том, что при вычислении (k+1) -го
приближения неизвестной учитываются уже вычисленные ране (k+1) – e
приближения (
,
, …,
) при решении СЛАУ
Ответ:___________________________ (метод Зейделя)
12. Какими способами можно выполнить отделение корней при решении уравнений
А) графическим способом
Б) аналитическим способом
В) табличным способом
13. Отделение корней можно выполнить двумя способами …
А) приближением и отделением:
Б) аналитическим и графическим;
В) систематическим и графическим;
Г) аналитическим и систематическим;
Д) приближением последовательным и параллельным
14. Расставьте по порядку этапы выполнения решения уравнений методом
половинного деления
А) Вычисляем 𝑓(𝑥0 )
Б) Выбранный отрезок опять делим пополам и проверяем, в каком из полученных
находится корень уравнения
𝑎 +𝑏
В) Найденный отрезок делим пополам точкой 𝑥0 = 0 2 0
Г)Определить новый отрезок [𝑎1 ; 𝑏1 ] следующим образом:
если 𝑓(𝑎0 ) ∙ 𝑓(𝑥0 ) < 0, то выбираем отрезок [𝑎1 ; 𝑏1 ] = [𝑎0 ; 𝑥0 ]
если 𝑓(𝑎0 ) ∙ 𝑓(𝑥0 ) > 0, то выбираем отрезок [𝑎1 ; 𝑏1 ] = [𝑥0 ; 𝑏0 ]
Д) Пусть [𝑎0 ; 𝑏0 ] - один из отрезков, на котором уравнение 𝑓(𝑥) = 0 имеет
единственный корень
Е) Корень считается найденным, когда |𝑏𝑖 − 𝑎𝑖 | < 𝜀
Ответ:___________________________ (ДВАГБЕ)
15. На рисунке представлена блок-схема алгоритма…
Ответ:_______________________ (отделения корней)
16. На рисунке представлена блок-схема алгоритма …
Ответ:__________________ (половинного деления)
17. На рисунке представлена блок-схема алгоритма …
Ответ:___________________ (простой итерации)
18. На рисунке представлена блок-схема алгоритма …
Ответ:_____________________ (метод Ньютона)
19. Какой метод относится к итерационным при решении систем линейных уравнений
А) метод Гаусса
Б) метод Жордана-Гаусса
В) метод Зейделя
Г) метод Крамера
20. Условие сходимости метода Зейделя для системы линейных уравнений является …
А) |𝑎𝑖𝑖 | ≥ ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 ≠ 𝑗
Б) |𝑎𝑖𝑖 | ≥ ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 = 𝑗
В) |𝑎𝑖𝑖 | ≤ ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 ≠ 𝑗
Г) |𝑎𝑖𝑖 | > ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 ≠ 𝑗
21. Условие сходимости метода простой итерации для системы линейных уравнений
является …
А) |𝑎𝑖𝑖 | ≥ ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 ≠ 𝑗
Б) |𝑎𝑖𝑖 | ≥ ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 = 𝑗
В) |𝑎𝑖𝑖 | < ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 ≠ 𝑗
Г) |𝑎𝑖𝑖 | > ∑|𝑎𝑖𝑗 | , 𝑖 ≠ 𝑗
22. Данную систему линейных уравнений решили методом Гаусса
𝑥 + 2𝑦 = 3
{
2𝑥 − 3𝑦 = −1
Укажите соответствие между словесной формулировкой и математической
записью
1 2 3
Данные значения x и y являются
(
| )
2 −3 −1
решением системы
Выполняем первый шаг метода
Гаусса
Прямой ход метода Гаусса
выполнен
Составляем
расширенную
матрицу системы
Обратный ход метода Гаусса
выполнен
23. Дана система линейных уравнений {
Зейделя система примет вид …
𝑥 = 2𝑥1 + 5𝑥2 − 1
А) { 1
𝑥2 = 2𝑥1 + 3𝑥2 − 3
𝑥 = 𝑥1 + 6𝑥2 − 1
В) { 2
𝑥1 = 3𝑥1 + 2𝑥2 − 3
(
1
0
2 3
| )
−7 −7
1 23
(
| )
0 11
1 01
(
| )
0 11
𝑥 = 1, 𝑦 = 1
𝑥1 + 5𝑥2 = 1
. Для сходящегося метода
2𝑥1 + 2𝑥2 = 3
𝑥1 = 1 − 5𝑥2
Б) {
3−2𝑥
𝑥2 = 2 1
Г) {
𝑥1 =
𝑥2 =
3−2𝑥2
2
1−𝑥1
5
24. Расставьте по порядку этапы выполнения решения уравнений методом хорд
А) Исследовать 𝑓 ′ (𝑥) и 𝑓 " (𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏], Убедиться, что на данном отрезке
производные не обращаются в 0 и их знаки не изменяются.
Б) Оценить погрешность |𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 | < 𝜀
В) Пусть [𝑎, 𝑏] - один из отрезков, на котором уравнение 𝑓(𝑥) = 0 имеет
единственный корень
Г)Вычислить следующие приближение к корню:
𝑓(𝑥𝑛 )(𝑏 − 𝑥𝑛 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
, где 𝑥0 = 𝑎
𝑓(𝑏) − 𝑓(𝑥𝑛 )
𝑓(𝑥𝑛 )(𝑥𝑛 − 𝑎)
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
, где 𝑥0 = 𝑏
𝑓(𝑥𝑛 ) − 𝑓(𝑎)
Д) Выбрать
𝑥0 = 𝑎, если 𝑓 ′ (𝑎) ∙ 𝑓 " (𝑎) >0
𝑥0 = 𝑏, если 𝑓 ′ (𝑏) ∙ 𝑓 " (𝑏) < 0
Ответ:___________________________ (ВАДГБ)
25. Расставьте по порядку этапы выполнения решения уравнений методом
касательных (Ньютона)
А) Пусть [𝑎, 𝑏] - один из отрезков, на котором уравнение 𝑓(𝑥) = 0 имеет
единственный корень.
Б) Оценить погрешность |𝑥𝑖+1 − 𝑥𝑖 | < 𝜀
В) Исследовать 𝑓 ′ (𝑥) и 𝑓 " (𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏], Убедиться, что на данном отрезке
производные не обращаются в 0 и их знаки не изменяются.
Г)Вычислить следующие приближение к корню:
𝑓(𝑥𝑛 )
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − ′
𝑓 (𝑥𝑛 )
Д) Выбрать
𝑥0 = 𝑎, если 𝑓 ′ (𝑎) ∙ 𝑓 " (𝑎) >0
𝑥0 = 𝑏, если 𝑓 ′ (𝑏) ∙ 𝑓 " (𝑏) > 0
Ответ:___________________________ (АВДГБ)
26. Расставьте по порядку этапы выполнения решения уравнений комбинированным
методом хорд и касательных
А) Вычисления прекращаются,когда |𝑏𝑛+1 − 𝑎𝑛+1 | < 𝜀
Б) Пусть [𝑎, 𝑏] - один из отрезков, на котором уравнение 𝑓(𝑥) = 0 имеет
единственный корень.
В) Исследовать 𝑓 ′ (𝑥) и 𝑓 " (𝑥) на отрезке [𝑎, 𝑏], Убедиться, что на данном отрезке
производные не обращаются в 0 и их знаки не изменяются.
Г)Пусть 𝑓(𝑏) ∙ 𝑓 " (𝑏) > 0, тогда приближение по методу касательных будет
происходить справа, а по методу хорд – слева. Итерационные формулы имеют вид:
𝑓(𝑏𝑛 )
𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 − ′
,𝑏 = 𝑏
𝑓 (𝑏𝑛 ) 0
𝑓(𝑎𝑛 )(𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 )
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 −
,𝑎 = 𝑎
𝑓(𝑏𝑛 ) − 𝑓(𝑎𝑛 ) 0
Д) Пусть 𝑓(𝑎) ∙ 𝑓 " (𝑎) > 0 , тогда приближение по методу касательных будет
происходить слева, а по методу хорд – справа. Итерационные формулы имеют вид:
𝑓(𝑎𝑛 )
𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛 − ′
,𝑎 = 𝑎
𝑓 (𝑎𝑛 ) 0
𝑓(𝑏𝑛 )(𝑏𝑛 − 𝑎𝑛 )
𝑏𝑛+1 = 𝑏𝑛 −
,𝑏 = 𝑏
𝑓(𝑏𝑛 ) − 𝑓(𝑎𝑛 ) 0
Ответ:___________________________ (БВДГА)
27. Суть данного метода заключается в преобразовании системы линейных уравнений
к системе с треугольной матрицей, из которой затем последовательно получаются
значения всех неизвестных – это метод …
Ответ:___________________________ (Гаусса)
28. Для того, чтобы применить метод Якоби к решению СЛАУ 𝐴𝑥 = 𝑏, необходимо
предварительно преобразовать эту систему к виду …
А) 𝑥 = 𝐵𝑋 + 𝑐
Б) 𝑥 = 𝐴𝑋 − 𝑏
В) 𝑥 = 𝐴𝑋 + 𝑐
Г) 𝑥 = 𝐵𝑋 + 𝑏
29. Условие сходимости при решении СЛАУ методом простой итерации для системы
20𝑥1 + 2𝑥2 + 3𝑥3 + 7𝑥4 = 5
𝑥1 + 12𝑥2 − 2𝑥3 − 5𝑥4 = 4
5𝑥1 − 3𝑥2 + 13𝑥3 = −3
{
−3𝑥3 + 15𝑥4 = 7
будет следующей …
А)20 < 2 + 3 + 7 + 5
Б) 20 > 2 + 3 + 7
12 < 1 + 2 + 5 + 4
12 > 1 + 2 + 5
13 < 5 + 3 + 3
13 > 5 + 3
15 < 3 + 7
15 > 3
В) 20 < 2 + 3 + 7
Г) 20 > 2 + 3 + 7 + 5
12 < 1 + 2 + 5
12 < 1 + 2 + 5 + 4
13 < 5 + 3
13 < 5 + 3 + 3
15 < 3
15 < 3 + 7
30.
Раздел 3. Интерполирование и экстраполирование функций
1. Интерполяция – это…
А) способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся
дискретному набору известных значений
Б) продолжение функции, принадлежащей заданному классу, за пределы ее
области определения
В) замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле
близким к исходным.
Г) метод решения задач, при котором объекты разного рода объединяются общим
понятием
2. Интерполяционный многочлен Лагранжа для функций, заданной таблично
х
1
2
3
5
y
1
5
14
81
равен:
А) (x) = x³-2x²+3x-1;
Б) (x) =
-2x³+3x²+5x;
В)(х) = x³+2x²+3x+5;
Г) (x) = 5 - 14x³+81x²+
3. Укажите название интерполяционного многочлена
n
(x x0 )...(x xi 1 ) (x xi+1 )...(x xn )
Ln (x) =
yi
(xi x0 )...(xi xi 1 ) (xi xi+1 )...(xi x0 )
i=0
Ответ:_____________________________________
4. Укажите название интерполяционного многочлена
y0
2 y0
n y0
N ( x ) y0
( x x0 )
( x x0 )( x x1 ) ...
( x x0 )( x x1 )...( x xn1 ) .
1! h
2! h 2
n! h n
Ответ:_____________________________________
5. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице
X
-2
-1
0
Y
5
0
-1
Ответ:_______________________________
6. Как называется приближение, когда выбранная приближенная функция проходит
так, чтобы отклонения её в имеющихся точках было наименьшим?
Ответ:__________________________________ (аппроксимация)
7. Виды интерполяций …
А) линейная интерполяция
Б) квадратичная интерполяция
В) параметрическая интерполяция
Г) полиномиальная интерполяция
Д) сплайновая интерполяция
8. Функция задана таблицей
x
y
0
-1
1
-3
2
3
6
1187
Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа, определить ее значение в
точке 𝑥 = 4
Ответ:______________________(255)
9. Какой интерполяционный многочлен соответствует таблице
X
1
3
Y
1
9
Ответ:_______________________________ (4x-3)
10. Дана таблица значений функции
1
2
3
4
X
2
4
7
6
Y
Заполнить таблицу конечных разностей
i
𝑋𝑖
𝑌𝑖
∆𝑌𝑖
∆2 𝑌𝑖
∆3 𝑌𝑖
0
1
2
2
1
-5
1
2
4
2
3
7
3
4
6
11. Функция задана таблично
0
1
X
-3
1
Y
При каком значении x функция y=6?
Ответ:___________________________(1,99)
12. Функция задана таблицей
x
y
100
10
121
11
3
-1
-4
3
13
4
24
144
12
Пользуясь интерполяционным многочленом Лагранжа, определить ее значение в
точке 𝑥 = 105
Ответ:______________________(10,245624)
13. Дана таблица значений функции
1
2
3
4
X
0
3
5
7
Y
Заполнить таблицу конечных разностей
i
𝑋𝑖
𝑌𝑖
∆𝑌𝑖
∆2 𝑌𝑖
∆3 𝑌𝑖
0
1
0
3
-1
1
1
2
3
2
0
2
3
5
2
3
4
7
14. Дана таблица значений функции
1
2
3
4
X
0
3
5
7
Y
Тогда интерполяционный многочлен Ньютона для функции …
1
1
3
1
3
А) 6 (𝑥 3 − 9𝑥 2 + 38𝑥 − 30)
Б) 6 𝑥 3 − 2 𝑥 2 + 38𝑥 − 5
В) 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 38𝑥 − 30
Г) 6 𝑥 3 − 2 𝑥 2 − 38𝑥 + 5
15. мм
Раздел 4. Численное интегрирование и дифференцирование
1. Для приближенного вычисления интеграла существуют численные методы, такие
как …
А) метод прямоугольника
Б) метод Эйлера
В) метод трапеций
Г) метод Монте-Карло
Д) метод Симпсона
2. Соотнесите формулы и методы приближенных вычислений интегралов
Метод Симпсона
Метод правых
прямоугольников
Метод трапеций
Метод левых
прямоугольников
3. Расставьте по порядку этапы вычисления определенного интеграла по формулам
прямоугольников:
А) Выбрать одну из трех формул левых, правых или средних прямоугольников.
Для формулы левых прямоугольников положить 𝛾1 = 𝑎, для формулы правых
∆𝑥
прямоугольников 𝛾1 = 𝑎 + ∆𝑥 и для формул средних прямоугольников 𝛾1 = 𝑎 + 2
𝑏−𝑎
Б) Найти длину одного отрезка ∆𝑥 = 𝑛 .
В) Сложить все значения функции и полученную сумму умножить на длину одного
отрезка ∆𝑥. Полученное произведение считать приближенным значением
определенного интеграла.
Г)Для каждого из имеющихся значений аргумента вычислить значения
подынтегральной функции 𝑓(𝑦𝑖 )
Д) Выбрать число n отрезков, на которые разбивается промежуток интегрирования
[𝑎, 𝑏]
Е) Вычислить значения аргумента 𝛾𝑖 = 𝛾𝑖−1 + ∆𝑥 (𝑖 = 2,3, … , 𝑛)
Ответ:___________________________ (ДБАЕГВ)
4. Соотнесите геометрические иллюстрации и методы приближенных вычислений
интегралов
Метод трапеций
Метод Симпсона
Метод прямоугольников
9 𝑑𝑥
5. Определенный интеграл ∫1
𝑥+2
, вычисленный методом левых прямоугольников
равен … при n=4
Ответ:__________________(1,6024)
6.
9 𝑑𝑥
Определенный интеграл ∫1
𝑥+2
, вычисленный методом правых прямоугольников
равен … при n=4
Ответ:__________________(1,1053)
1 𝑑𝑥
7. Определенный интеграл ∫0
1+𝑥 2
, вычисленный по формуле Симпсона равен … при
n=4
Ответ:__________________(0,764)
1 𝑑𝑥
8. Определенный интеграл ∫0
1+𝑥 2
, вычисленный методом трапеций равен … при n=4
Ответ:__________________(0,702)
9. Соотнесите абсолютные погрешности и методы приближенных вычислений
интегралов
(𝑏 − 𝑎)3 ∙ max|𝑓 " (𝑥)|
[𝑎,𝑏]
Метод трапеций
|𝑅𝑛 (𝑓)| ≤
12𝑛2
(𝑏 − 𝑎)3 ∙ max|𝑓 " (𝑥)|
[𝑎,𝑏]
Метод Симпсона
|𝑅𝑛 (𝑓)| ≤
24𝑛2
(𝑏 − 𝑎)5 ∙ max|𝑓 𝐼𝑉 (𝑥)|
[𝑎,𝑏]
Метод прямоугольников
|𝑅𝑛 (𝑓)| ≤
180 ∙ (2𝑛)4
10. Шаг равномерной сетки изменения х на отрезке [a;b] вычисляется по формуле
(n – число узлов)
А) ℎ =
𝑏−𝑎
𝑛
Б) ℎ =
𝑏+𝑎
𝑛
𝑏−𝑎
В) ℎ = 𝑛−1
𝑏+𝑎
Г) ℎ = 𝑛−1
11. При решении задачи численного интегрирования интерполяция используется …
А) на этапе вычисления элементарного интеграла
Б) при вычислении конечных разностей
В) при вычислении шага интегрирования
Г) в списке нет правильного ответа
12. Метод численного интегрирования, в котором подынтегральная функция
заменяется полиномом нулевой степени, называется …
А) методом трапеций
Б) методом прямоугольников
В) методом Симпсона
Г) методом Гаусса
13. В методе Симпсона количество интервалов разбиения должно быть …
А) не менее пяти
Б) кратным трем
В) кратным двум
Г) кратным четырем
14. Значение интеграла, вычисленное с использованием формулы трапеции, для
функции, заданной таблично, равно …
x
0.1
0.2
0.3
0.4
y(x)
-4
-3.8
0
2
А) 0,48
Б) -0,36
В) 0,83
Г) 0,36
15. Значение интеграла для функции, заданной таблично, вычисленное методом
Симпсона, равно …
x
1
2
3
4
5
y(x)
А) 2,7
1
4
Б) -2,7
10
13
В) 35
16
Г) 0,55
0.5
f (x)dx
16. Значение интеграла
, вычисленное по формуле правых
0.1
прямоугольников, если подынтегральная функция задана таблицей, равно …
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
y(x)
4
5.5
4.5
3.5
3
А) 2,75
Б) 1,9
В) 2,05
Г) 1,65
0.5
17. Значение
интеграла
f (x)dx ,
вычисленное
по
формуле
левых
0.1
прямоугольников, если подынтегральная функция задана таблицей, равно …
x
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
y(x)
3
5
4
3.5
3
А) 1,4
Б) 1,95
В) 2,5
Г) 2,05
18.
Раздел 5. Численное решение задач оптимизации
1. Область решения задачи линейного программирования
5𝑥2 − 𝑥1 ≤ 10
{2𝑥2 − 3𝑥1 ≥ −9
3𝑥2 + 2𝑥1 ≥ 6
является заштрихованный многоугольник
Тогда максимальное значение целевой функции 𝐹 = 2𝑥1 − 4𝑥2 + 10, где 𝑥1 , 𝑥2
принадлежат области решения, равно …
Ответ:___________________ (16)
2. Математическая модель некоторой задачи линейного программирования
представляет собой систему неравенств
𝑥1 + 8𝑥2 ≤ 20
3𝑥1 + 4𝑥2 ≥ 15
𝑥1 ≥ 0
{
𝑥2 ≥ 0
Дана целевая функция 𝐹 = 2𝑥1 + 𝑥2 , найти наименьшее значение. Для решения
задачи Симплекс-методом математическая модель примет стандартный вид …
𝑥1 + 8𝑥2 + 𝑥3 = 20
𝑥1 + 8𝑥2 − 𝑥3 = 20
3𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥4 = 15
3𝑥1 + 4𝑥2 + 𝑥4 = 15
𝑥1 ≥ 0
𝑥1 ≥ 0
А)
Б)
𝑥2 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
{
{
𝑥4 ≥ 0
𝑥4 ≥ 0
𝑥1 + 8𝑥2 − 𝑥3 = 20
𝑥1 + 8𝑥2 + 𝑥3 = 20
3𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥4 = 15
3𝑥1 + 4𝑥2 − 𝑥4 = 15
𝑥1 ≥ 0
𝑥1 ≥ 0
В)
Г)
𝑥2 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
{
{
𝑥4 ≥ 0
𝑥4 ≥ 0
3. Фирма планирует организовать выпуск трех типов изделий А, В, С. Для
производства любого изделия требуется затратить материалы двух видов: I и II.
Запасы материалов ограничены: вида I- 2500 кг; вида II – 3500 кг. Для
изготовления одного изделия типа А требуется 4 кг вида I и 2 кг вида II; для
производства одного изделия типа B требуется 3 кг вида I и 7 кг вида II; для
производства одного изделия типа С требуется 1 кг вида I и 5 кг вида II. Прибыль
от реализации одного изделия типа А составляет 400 руб., изделия типа В – 300
рулей и изделия типа С – 500 руб.
Требуется составить такой план производства изделий типа А, В, С, чтобы прибыль
от реализации была наибольшей. Тогда математическая модель будет иметь вид …
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≤ 2500
2𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 3500
𝑥1 ≥ 0
А)
𝐹 = 400𝑥1 + 300𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≥ 2500
2𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 3500
𝑥1 ≥ 0
Б)
𝐹 = 400𝑥1 + 300𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≥ 2500
2𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 ≥ 3500
𝑥1 ≥ 0
В)
𝐹 = 400𝑥1 + 300𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
4𝑥1 + 3𝑥2 + 𝑥3 ≤ 2500
2𝑥1 + 7𝑥2 + 5𝑥3 ≤ 3500
𝑥1 ≥ 0
Г)
𝐹 = 400𝑥1 + 300𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
4. Пусть при решении четырех задач линейного программирования Симплексметодом были получены четыре варианта результатов:
𝑥 = 2 − 5𝑥1 + 6𝑥2
1) { 3
𝐹 = 10 + 4𝑥1 + 𝑥2
𝑥4 = 4 + 3𝑥1 + 𝑥2
𝑥 = 3 − 5𝑥3 + 6𝑥2
2) { 1
𝐹 = 6 + 4𝑥2 − 𝑥3
𝑥4 = 1 + 3𝑥3 + 𝑥2
𝑥3 = 5 − 5𝑥1 + 6𝑥4
𝐹 = 12 − 4𝑥1 + 𝑥4
𝑥2 = 1 + 3𝑥1 + 𝑥4
𝑥 = 2 − 5𝑥3 + 6𝑥4
4) { 1
𝐹 = 11 − 4𝑥3 − 𝑥4
𝑥2 = 4 + 3𝑥3 + 𝑥4
В задачах необходимо найти наименьшее значение F для неотрицательных
значений входящих в целевую функцию неизвестных.
Тогда один из полученных видов записи F может ответить на поставленный
вопрос. В этом случае наименьшее значение F равно …
Ответ:______________ (10)
5. Пусть при решении четырех задач линейного программирования Симплексметодом были получены четыре варианта результатов:
𝑥 = 7 − 𝑥1 + 2𝑥2
1) { 3
𝐹 = 12 + 4𝑥1 − 𝑥2
𝑥4 = 18 + 𝑥1 − 𝑥2
𝑥 = 8 − 𝑥3 + 3𝑥2
2) { 1
𝐹 = 26 + 𝑥2 + 7𝑥3
𝑥4 = 5 + 𝑥3 + 6𝑥2
𝑥 = 9 + 3𝑥1 + 2𝑥4
3) { 3
𝐹 = 2 − 𝑥1 + 12𝑥4
𝑥2 = 21 + 3𝑥1 + 𝑥4
𝑥 = 9 − 2𝑥3 + 2𝑥4
4) { 1
𝐹 = 10 − 7𝑥3 + 𝑥4
𝑥2 = 14 − 3𝑥3 + 8𝑥4
В задачах необходимо найти наименьшее значение F для неотрицательных
значений входящих в целевую функцию неизвестных.
Тогда один из полученных видов записи F может ответить на поставленный
вопрос. В этом случае наименьшее значение F равно …
Ответ:______________ (26)
6. Фирма планирует организовать выпуск трех типов изделий А, В, С. Для
производства любого изделия требуется затратить материалы двух видов: I и II.
Запасы материалов ограничены: вида I- 3000 кг; вида II – 8500 кг. Для
изготовления одного изделия типа А требуется 3 кг вида I и 5 кг вида II; для
производства одного изделия типа B требуется 2 кг вида I и 4 кг вида II; для
производства одного изделия типа С требуется 1 кг вида I и 6 кг вида II. Прибыль
от реализации одного изделия типа А составляет 700 руб., изделия типа В – 200
рулей и изделия типа С – 400 руб.
Требуется составить такой план производства изделий типа А, В, С, чтобы прибыль
от реализации была наибольшей. Тогда математическая модель будет иметь вид …
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 3000
5𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 ≤ 8500
𝑥1 ≥ 0
А)
𝐹 = 700𝑥1 + 200𝑥2 + 400𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 3000
5𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 8500
𝑥1 ≥ 0
Б)
𝐹 = 700𝑥1 + 200𝑥2 + 400𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
3) {
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≥ 3000
5𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 8500
𝑥1 ≥ 0
В)
𝐹 = 700𝑥1 + 200𝑥2 + 400𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
3𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≤ 3000
5𝑥1 + 4𝑥2 + 6𝑥3 ≤ 8500
𝑥1 ≥ 0
Г)
𝐹 = 700𝑥1 + 200𝑥2 + 400𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
7. Область решения задачи линейного программирования
3𝑥2 − 𝑥1 ≤ 12
{ 2𝑥2 + 𝑥1 ≥ 8
𝑥2 + 3𝑥1 ≤ 24
является заштрихованный многоугольник
Тогда максимальное значение целевой функции 𝐹 = 2𝑥1 − 4𝑥2 + 10, где 𝑥1 , 𝑥2
принадлежат области решения, равно …
Ответ:___________________ (4)
8. Математическая модель некоторой задачи линейного программирования
представляет собой систему неравенств
𝑥1 + 9𝑥2 ≤ 100
3𝑥1 + 24𝑥2 ≥ 50
𝑥1 ≥ 0
{
𝑥2 ≥ 0
Дана целевая функция 𝐹 = 7𝑥1 + 6𝑥2 , найти наименьшее значение. Для решения
задачи Симплекс-методом математическая модель примет стандартный вид …
𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 100
𝑥1 + 9𝑥2 − 𝑥3 = 100
3𝑥1 + 24𝑥2 − 𝑥4 = 50
3𝑥1 + 24𝑥2 − 𝑥4 = 50
𝑥1 ≥ 0
𝑥1 ≥ 0
А)
Б)
𝑥2 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
{
{
𝑥4 ≥ 0
𝑥4 ≥ 0
𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 100
𝑥1 + 9𝑥2 + 𝑥3 = 100
3𝑥1 + 24𝑥2 + 𝑥4 = 50
𝑥1 ≥ 0
3𝑥1 + 24𝑥2 − 𝑥4 = 50
В)
Г) {
𝑥2 ≥ 0
𝑥1 ≥ 0
𝑥3 ≥ 0
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥4 ≥ 0
9. Фирма планирует организовать выпуск трех типов изделий А, В, С. Для
производства любого изделия требуется затратить материалы двух видов: I и II.
Запасы материалов ограничены: вида I- 500 кг; вида II – 800 кг. Для изготовления
одного изделия типа А требуется 3 кг вида I и 4 кг вида II; для производства
одного изделия типа B требуется 2 кг вида I и 1 кг вида II; для производства
одного изделия типа С требуется 6 кг вида I и 2 кг вида II. Прибыль от реализации
одного изделия типа А составляет 620 руб., изделия типа В – 380 рулей и изделия
типа С – 500 руб.
Требуется составить такой план производства изделий типа А, В, С, чтобы прибыль
от реализации была наибольшей. Тогда математическая модель будет иметь вид …
3𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≤ 500
4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 800
𝑥1 ≥ 0
А)
𝐹 = 620𝑥1 + 380𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
3𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 500
4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≥ 800
𝑥1 ≥ 0
Б)
𝐹 = 620𝑥1 + 380𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
3𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≥ 500
4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 800
𝑥1 ≥ 0
В)
𝐹 = 620𝑥1 + 380𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑎𝑥
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
3𝑥1 + 2𝑥2 + 6𝑥3 ≤ 500
4𝑥1 + 𝑥2 + 2𝑥3 ≤ 800
𝑥1 ≥ 0
Г)
𝐹 = 620𝑥1 + 380𝑥2 + 500𝑥3 → 𝑚𝑖𝑛
𝑥2 ≥ 0
{
𝑥3 ≥ 0
10. Пусть при решении четырех задач линейного программирования Симплексметодом были получены четыре варианта результатов:
𝑥 = 28 − 2𝑥1 + 4𝑥2
1) { 3
𝐹 = 49 − 𝑥1 + 2𝑥2
𝑥4 = 9 + 3𝑥1 + 5𝑥2
𝑥 = 1 − 𝑥3 + 𝑥2
2) { 1
𝐹 = 9 + 3𝑥2 − 12𝑥3
𝑥4 = 6 + 𝑥3 + 7𝑥2
𝑥 = 11 − 𝑥3 + 𝑥4
3) { 1
𝐹 = 6 − 3𝑥3 − 12𝑥4
𝑥2 = 6 + 𝑥3 + 7𝑥4
𝑥 = 7 − 𝑥1 + 8𝑥4
4) { 3
𝐹 = 7 − 𝑥1 + 𝑥4
𝑥2 = 5 + 𝑥1 + 3𝑥4
В задачах необходимо найти наименьшее значение F для неотрицательных
значений входящих в целевую функцию неизвестных.
Тогда один из полученных видов записи F может ответить на поставленный
вопрос. В этом случае наименьшее значение F равно …
Ответ:______________ (6)
11. Алгоритм последовательного улучшения плана, применимого к задаче
минимизации целевой функции, при этом допустимая область определяется
следующим образом: компоненты произведения матрицы ограничений и вектора
переменных должны быть больше либо равны соответствующих компонент
вектора ограничений, условие не отрицательности переменных не накладывается –
это …
А) Алгоритм двойственного симплекс -метода
Б) Алгоритм метода ветвей и границ
В) Алгоритм метода Гомори
Г) Алгоритм симплекс - метода
12. Алгоритм последовательного улучшения плана, позволяющий осуществлять
переход от одного допустимого базисного решения к другому таким образом,
что значение целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число
шагов находится оптимальное решение называется …
А) Алгоритм двойственного симплекс -метода
Б) Алгоритм метода ветвей и границ
В) Алгоритм метода Гомори
Г) Алгоритм симплекс - метода
13. Интерпретация зависимостей, имеющих место в задаче линейного
программирования в виде геометрических фигур (точек, прямых, полуплоскостей,
многоугольников) в декартовой системе координат называется …
А) Аналитическая интерпретация задачи линейного программирования
Б) Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования
В) Опорный план
Г) Правильного ответа нет
14. Допустимая область задачи линейного программирования - это …
А) множество опорных планов задачи линейного программирования
Б) множество точек отрезка
В) опорный план, число ненулевых компонент которого меньше числа ограничений
Г) полуплоскость
15. Задача, характеризующаяся тем, что целевая функция является линейной функцией
переменных, а область допустимых значений определяется системой линейных
равенств или неравенств, называется
А) задача математического программирования
Б) Задача линейного программирования
В) Задача динамического программирования
Г) Задача о составлении плана производства
16. Имеются какие - то переменные 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) и функция этих переменных
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ), которая носит название целевой функции. Ставится задача:
найти экстремум (максимум или минимум) целевой функции при условии, что
переменные x принадлежат некоторой области G, называется …
А) задача математического программирования
Б) Задача линейного программирования
В) Задача динамического программирования
Г) Задача о составлении плана производства
17. Оптимальный план ЗЛП это …
А) Решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который не
входит в допустимую область и доставляет экстремум целевой функции
Б) Решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который входит
в допустимую область и доставляет ненулевое значение целевой функции
В) Решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который входит
в допустимую область и доставляет нулевое значение целевой функции
г) Решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который входит
в допустимую область и доставляет экстремум целевой функции
18. Последовательное улучшение плана задачи линейного программирования,
позволяющее осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к
другому, причем так, что значения целевой функции непрерывно возрастают и за
конечное число шагов находится оптимальное решение – это …
А) Симплекс -метод
Б) Стохастическое программирование
В) Смешанные стратегии
Г) Семейный спор
19.
ОТВЕТЫ
Раздел 1
№
вопрос
а
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Ответ
А
А
Б
В
А
В
А
%
Г
∆𝑥 + ∆𝑦
|𝑥 + 𝑦|
𝛿(𝑥) + 𝛿(𝑦)
𝛿(𝑥𝑦)
∆(𝑥 + 𝑦)
𝑥
𝛿( )
𝑦
𝛿(𝑥 − 𝑦)
∆(𝑥) + ∆(𝑦)
∆𝑥 + ∆𝑦
|𝑥 − 𝑦|
𝛿(𝑥 + 𝑦)
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
0,375%
0,82%
a
b
F
ln 𝑎
𝑏
√𝑏
√𝑎
√𝑎
+
ln
𝑎
+ √𝑏
12.34 14.3
3.513
3.78
7.29
2.5128
16.8
0.434
∆(𝑎) ∆(𝑏) ∆(√𝑎) ∆(√𝑏) ∆(√𝑎 ∆(ln 𝑎) ∆(𝑏
∆(𝐹)
+ ln 𝑎)
+ √𝑏)
0.005 0.05 0.00071 0.0066 0.0073 0.00041 0.050 0.0017
0,84%
1,8%
Абсолютная погрешность
Функция
∆(𝑥)
𝑥2
∆(𝑥)
𝑥
∆(𝑥)
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥
∆(𝑥)
𝑥 𝑦 (|𝑦|
+ |ln 𝑥|∆(𝑦))
𝑥
𝑡𝑔(𝑥)
Относительная
погрешность
|𝑦 ln 𝑥|𝛿(𝑦) + |𝑦|𝛿(𝑥)
1
𝑥
𝑥𝑦
∆(𝑥)
|𝑥|
𝛿(𝑥)
|ln 𝑥|
2∆(𝑥)
|sin(2𝑥)|
ln 𝑥
0,025
0,12
А
Б
a
b
𝑎2
√𝑏
𝑎2 + √𝑏
𝑒𝑏
1 + 𝑏2
ln(1
+ 𝑏2)
0.963
2.436
0.927
1.5608
2.488
11.43
6.934
1.9364
𝑒𝑏
∙ ln(1
+ 𝑏2)
22.13
F
0.112
∆(𝑎)
∆(𝑏)
∆(𝑎2 )
∆(√𝑏)
∆(𝑎2
+ √𝑏)
∆(𝑒 𝑏 )
∆(1
+ 𝑏2)
∆(ln(1
+ 𝑏 2 ))
0.0005
0.0005
0.0014
0.00021
0.0019
0.0085
0.0025
0.00040
∆(𝑒 𝑏
∙ ln(1
+ 𝑏 2 ))
0.025
Раздел 2
№
вопрос
а
1
2
3
4
Ответ
метод касательных, метод Ньютона
метод половинного деления, метод дихотомия
метод хорд
Метод половинного
деления
Метод хорд
Метод Ньютона
(касательных)
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Б
Б
А
Г
В
АВ
метод Зейделя
АБ
Б
ДВАГБЕ
отделения корней
половинного деления
простой итерации
метод Ньютона
В
А
Г
Данные значения x и y являются
решением системы
Выполняем первый шаг метода
Гаусса
Прямой ход метода Гаусса
выполнен
1
2
1
(
0
(
2 3
| )
−3 −1
2 3
| )
−7 −7
1 23
(
| )
0 11
∆(𝐹)
0.0003
Составляем
расширенную
матрицу системы
Обратный ход метода Гаусса
выполнен
1 01
| )
0 11
(
𝑥 = 1, 𝑦 = 1
Б
ВАДГБ
АВДГБ
БВДГА
Гаусса
А
Б
23
24
25
26
27
28
29
Раздел 3
№ вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Ответ
А
А
многочлен Лагранжа
многочлен Ньютона
i
0
1
2
3
i
0
1
2
3
𝑋𝑖
1
2
3
4
𝑋𝑖
1
2
3
4
𝑌𝑖
2
4
7
6
𝑌𝑖
0
3
5
7
∆𝑌𝑖
2
3
-1
∆𝑌𝑖
3
2
2
аппроксимация
АБГД
255
4x-3
2
∆ 𝑌𝑖 ∆3 𝑌𝑖
1
-5
-4
1,99
10,245624
∆2 𝑌𝑖 ∆3 𝑌𝑖
-1
1
0
А
15
Раздел 4
№
Ответ
вопрос
а
1
2
АВГД
Метод Симпсона
Метод правых
прямоугольников
Метод трапеций
Метод левых
прямоугольников
ДБАЕГВ
3
4
Метод трапеций
Метод Симпсона
Метод
прямоугольников
5
6
7
8
9
1,6024
1,1053
0,764
0,702
(𝑏−𝑎)3 ∙max|𝑓 " (𝑥)|
|𝑅𝑛 (𝑓)| ≤
Метод трапеций
[𝑎,𝑏]
12𝑛2
(𝑏−𝑎)3 ∙max|𝑓 " (𝑥)|
|𝑅𝑛 (𝑓)| ≤
Метод Симпсона
[𝑎,𝑏]
24𝑛2
5
(𝑏 − 𝑎) ∙ max|𝑓 𝐼𝑉 (𝑥)|
|𝑅𝑛 (𝑓)| ≤
10
11
12
13
14
15
Метод прямоугольников
[𝑎,𝑏]
180 ∙ (2𝑛)4
А
А
Б
В
Б
В
Б
А
16
17
18
19
Раздел 5
№ вопроса
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
Ответ
16
А
А
10
26
А
4
А
А
6
А
Г
Б
А
Б
Б
Г
А
Список литературы
1. Ганичев А.В. Математическое программирование: учебное пособие для СПО / А.В.
Ганичева, А.В. Ганичев. – 2-е изд., стер. – Санк-Петербург: Лань, 2022. – 88 с.: ил. –
Текст: непосредственный
2. Колпачев В.Н. Численные методы. Опорные конспекты: учебное пособие/В.Н.
колпачев, Н.А. Селезнева/ВИВТ-АНОО ВО.-Воронеж, 2019.-120 с.
3. Слабнов В.Д. Численные методы и программирование: учебное пособие для
СПО/В.Д. Слабнов – 2-е изд., стер. – Санкт-Петербург: Лань, 2022.-460 с.
4. Численные методы: Сб.лабораторных работ/Перм.гос.ун-т;Перм.гос.пед.ун-т;
Автор-сост.И.П.Половина.-Пермь,2007.-68 с.
5. Трухан А.А. Линейная алгебра и линейное программирование: учебное пособие
для СПО / А.А. Трухан, В.Г. Контуренко. – Санкт-Петербург: Лань, 2020. – 316
с.:ил. – Текст: непосредственный
6. Тугашова Л.Г. Моделирование объектов управления в MatLab: учебное пособие
для СПО / Л.Г. Тугашова, А.В. Затонский. – 3-е изд., стер. – Санкт-Петербург:
Лань, 2023. – 144 с.:ил. – Текст: непосредственный
