49. Методика изучения степенной функции. Данная тема изучается в начале 10 класса и является основой для изучения показательной и логарифмической функций. В основной школе обучающиеся знакомы с темой «Степень с натуральным показателем» (7 класс), «Степень с целым показателем» (8 класс), изучены свойства степени, обучающиеся умеют преобразовывать выражения, содержащие степень. Также, на уровне основной школы обучающиеся познакомились с такими понятиями как функция, область определения и область значений функции, свойствами функции. В 10 классе процесс изучения тем «Степень» и «Функция» расширился. Обучающимся предложено углубить полученные знания и познакомиться, что же собой представляет степенная функция в зависимости от показателя р. Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводится поэтапно, в зависимости от того, каким числом является показатель: 1) четным натуральным числом; 2) нечетным натуральным числом; 3) числом, противоположным четному числу; 4) числом, противоположным нечетному числу; 5) положительным нецелым числом; 6) отрицательным нецелым числом. Обоснования свойств степенной функции не проводятся, они следуют из свойств степени с действительным показателем. Например, возрастание функции у = хр на промежутке х 0, где р — положительное нецелое число, следует из свойства: «Если 0 1 2, р 0, то х1р 2р». На примере степенных функций учащиеся знакомятся с понятием ограниченной функции, учатся доказывать, как ограниченность, так и неограниченность функции. Рассматриваются функции, называемые взаимно обратными. Важно обратить внимание на то, что не всякая функция имеет обратную. Доказывается симметрия графиков взаимно обратных функции относительно прямой у = х. Обращается внимание учащихся на отыскание области определения сложной функции и промежутков ее монотонности. Доказывается теорема о промежутках монотонности с опорой на определения возрастающей или убывающей функции, что позволяет изложить суть алгоритма доказательства монотонности сложной функции. Учащиеся знакомятся с дробно-линейными функциями. В основной школе учащиеся учились строить график функции у = и графики функций, которые получались сдвигом этого графика. Выделение целой части из дробно-линейного выражения приводит к знакомому учащимся виду функции. Умение применять определение модуля при решении уравнений и неравенств, содержащих знак модуля. Использование схем равносильных переходов. Рассмотрение равносильности уравнений, неравенств и систем уравнений и свойств равносильности проводится в связи с предстоящим изучением иррациональных уравнений и неравенств. Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению-следствию данного. При решении уравнений с параметром следует обратить внимание, что при записи ответа следует рассматривать все допустимые значения параметра. С помощью графиков решается вопрос о наличии корней и их числе, а также о нахождении приближенных корней, если аналитически решить уравнение трудно. Иррациональные неравенства не являются обязательными для изучения всеми учащимися. При их изучении основным способом решения является сведение неравенства к системе рациональных неравенств, равносильной данному неравенству. [5] Основные понятия в теме «Степенная функция». Функция вида у = хр, где р – заданное действительное число, называется степенной функцией. [6] Свойства и график степенной функции зависят от свойств степени с действительным показателем, и в частности от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень хр. Обычно указывают следующие свойства: 1.Область определения - все значения которые принимает аргумент х. 2.Область значений (множество значений) - все значения, которые принимает функция у. 3.Четность, нечетность функции. Графическая иллюстрация четной, нечетной функции: симметрия относительно Ох, Оу. Аналитическая запись свойства четности, нечетности: х ϵ R, f(x)= f(-x); f(x)=- f(x). 4.Промежутки возрастания и убывания функции: большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. 5.Промежутки знакопостоянства: у 0, y Новыми для изучения в 10-11 классах являются следующие определения. Определение 1. Функция у = f(х), определенная на множестве Х, называется ограниченной снизу на множестве Х, если существует число а такое, что для любого х ϵ Х выполняется неравенство f(х) ≥ а. [6] Пример: Определение 2. Функция у = f(х), определенная на множестве Х, называется ограниченной сверху на множестве Х, если существует число А такое, что для любого х ϵ Х выполняется неравенство f(х) ≤ А. Пример: Определение 3. Функцию, ограниченную и сверху, и снизу на множестве Х, называют ограниченной на этом множестве. Пример: Учебное пособие А. Г. Мордковича Взяв учебный методический комплекс с седьмого по девятый класс по А. Г. Мордковичу, рассматривается раскрытие функциональной линии. Так как тема курсовой «Степенная функция», то для рассмотрения понадобятся только те главы, которые связаны с ней [1]. Степенная функция в математике, по мнению автора, - это уравнение вида y x n , где n (показатель степени)некоторое вещественное число. Показатель степени может принимать такие значения как: натуральные, чётные или нечётные, отрицательные или положительные, рациональные или иррациональные [1]. Автор учебника, объясняет, что кроме линейной функции существуют и другие, например, когда показатель степени равен двум. Это первая степенная функция, с которой знакомятся учащиеся седьмого класса, имеющая вид y x 2 , рассматриваемая на всей координатной плоскости. Уравнение данного вида является параболой. Для наглядности параболы автор предлагает построить функцию по найденным точкам. По построенному графику (парабола) предлагается описать его геометрическими свойствами. Во-первых, парабола, как показано на графике, обладает симметричностью, так как ось у в данном случае является осью симметрии. Во-вторых, O y делит параболу на две части, и эти части обычно называют ветвями параболы. В-третьих, у параболы есть особенная точка, называемая вершиной параболы, в которой смыкаются ветви. В-четвёртых, переход от ветвей к вершине параболы должен быть плавным. Затем пробуем описать свойства функции по данному графику. Во-первых, замечаем, что y 0 при x 0 , y 0 при x 0 и наоборот. Во-вторых, отмечаем, что y наим 0 , а y наиб не существует, так как оно бесконечно большое. В-третьих, видим, что на промежутке ;0 функция убывает, а на промежутке 0; функция возрастает. Далее приводится примеры, которые направлены на построение графиков по указанным условиям, а также на поиск наименьшего и наибольшего значения функции [2]. Ветви параболы могут быть направлены вниз, так как перед независимой переменной х может стоять отрицательный коэффициент, и, наоборот, ветви параболы могут быть направлены вверх, так как перед независимой переменной х может стоять положительный коэффициент. В восьмом классе перед изучением следующей степенной функции предлагается понятие квадратного корня. В этой теме учащиеся изучают таблицу квадратов, которая в бедующем является вспомогательным элементом. Затем вводятся множества таких чисел, как: множество иррациональных чисел и множество действительных чисел. После изученного материала вводится функция вида y n x y x1 / n . Также, как и в седьмом классе, предлагается для наглядного представления данной функции построить график. В итоге построения видно, что данный график является ветвью параболы. Опираясь на полученный график, описываются следующие свойства функции: во-первых, область определения функции – луч 0; ; во-вторых, y 0 при x 0 , y 0 при x 0 ; в-третьих, на промежутке 0; функция возрастает; в-четвертых что y наим 0 , а y наиб не существует, так как оно бесконечно большое; в-пятых, y x – функция непрерывная. Далее рассматриваются примеры и их решения, после которых указываются замечания [2]. В девятом классе происходит знакомство с такими функциями, как: y x n n , 3 y x n n , y x . Так как ранее была разобрана теория по степеням, материал не разбирается. Сразу предложены задачи, предполагается, что преподаватель сам объясняет тему [2]. Таким образом, основными характеристиками в учебном пособии А.Г. Мордковича являются: логически-структурированный материал, готовые алгоритмы, разделение на две части (практическая, теоретическая), преобладание проблемного подхода. Учебное пособие М.Ю. Колягина В учебном пособии Ю.М. Колягина рассмотрение степенной функциональной линии начинается с восьмого класса. В начале автор предлагает учащимся познакомится с квадратичной функцией. Он вводит её определение, приводя примеры из физики, геометрии и других наук, связанных с математикой. После теоретической части автор разбирает различные задачи. В следующем параграфе учащимся предлагается сравнить y x2 и y a x2 графическим способом. Автор вводит определение параболы, так как графиками данных функций является парабола. С помощью материала предыдущих параграфов учащиеся изучают свойства функции y a x 2 b x c . После изучения свойств автор знакомит с алгоритмом построения данной функции. В конце главы приложены упражнения для закрепления данной темы [3]. В девятом классе автор подводит учащихся к выводу, что функции в виде y x n n и есть степенная функция. В параграфах рассказывается о следующих свойствах функции: область определения и область значений, убывание и возрастание, чётность и нечётность. После каждого свойства приведены примеры. В следующем параграфе автор знакомит учащихся с графиком гипербола, а также её свойствами. В конце главы приложены задания на обобщение темы [3]. Таким образом, в учебном пособии Ю.М. Колягина проявляются следующие характеристики: индивидуальный подход (от частного к общему), изучение степенной функциональной линии начинается с 8 класса, применяется деятельностный подход в обучении (т. е. материал в рубриках), в конце каждой главы приводится перечень изученных новых понятий, формул, алгоритмов и способов действий. Правила дифференцирования Пусть u=u(x), v=v(x), w=w(x) – некоторые функции, с – некоторое число, тогда: (с·u)`=c·u`(постоянный множитель можно выносить за знак производной); (u+v-w)`=u`+v`-w`(производная суммы (разности) функций равна сумме (разности) производных этих функций); (u·v)`=u`·v+u·v`(производная произведения); Начнем со степенных уравнений. Для их решения нам понадобится следующее утверждение: если значения . Для них, если , то для всех действительных . Исключение – четные , то или . Это легко увидеть, построив графики левой и правой частей равенства. Для всех показателей степени , каждому значению функции аргумент (см. рис. 1). соответствует ровно один Рис. 1. Для всех показателей степени , каждому значению функции ровно один аргумент соответствует Таким образом, если значения функции равны, то равны и аргументы. Исключение – четные значения . По графику видим, что каждому значению функции соответствует два противоположных значения аргумента (см. рис. 2). И если значения функций равны, то их аргументы или равны, или противоположны. Рис. 2. При четных значения аргумента каждому значению функции соответствует два противоположных Идея решения степенных уравнений: представить левую и правую части как степени с одинаковым показателем. И затем использовать указанное ранее свойство. Задание 1. Решить уравнение: Решение. Слева третья степень, представим правую часть как третью степень выражения: Получаем: Показатели равны, это нечетные числа. Поэтому можем сказать, что равны и основания: Получили линейное уравнение: Ответ: . Как видите, используя указанное свойство мы свели решение нашего уравнения к тому, которое мы уже умеет решать. В дальнейшем мы будем подробно останавливаться лишь на первой части решения – сведению уравнения к линейному, квадратному или любому другому, алгоритм решения которых вы уже знаете. Сформулируем общий алгоритм решения степенных уравнений: 1. указать ОДЗ уравнения, для отрицательных степеней – основание не равно , для нецелых степеней – основание больше либо равно нулю; 2. представить уравнение в виде степени; , при необходимости использовать свойства 3. записать следствие: или для четных значений ; для всех остальных степеней; 4. решить полученное уравнение и сверить ответы с ОДЗ. Ознакомление учащихся с показательной и логарифмической функциями начиная с изучения свойств степеней и логарифмов. Курс алгебры знакомит учащихся с понятием степени с рациональным показателем. Таким образом для любого основания степени (где , ) можно построить функцию: , , область определения которой – множество действительных чисел. Необходимо ввести определение степени с иррациональным показателем. Используемое свойство степени с основным, например, большим единицы (возрастании), рациональное приближение иррационального числа α: r1< α< r2. Исходя из графического изображения зависимости показателя степени и значения степени, показывается, что найдется такое значение y, которое будет наибольшим среди всех ar1 и наименьшим среди всех ar2 , которое можно считать значением aα. Затем формируется определение показательной функции: функция, заданная формулой y=ax ( , ), называется показательной функцией с основанием a, и формулируемые основные свойства: D(ax)=R; E(ax)=RТ; ax возрастает при a>1 и ax убывает при 0<a<1; напоминаются основные свойства степеней. Т.о. показательная функция есть систематизация, обобщение и расширение знаний учащихся о свойствах степени. Логарифмическая функция – новый математический объект для учащихся. К понятию логарифма учащихся подводят в процессе решения показательного уравнения ax=b в том случае, если b нельзя представить в виде степени с основанием a. Наше уравнение в случае b>0 имеет единственный корень, который называют логарифмом b по основанию a и обозначают logab, т.е. alogab=b. Одновременно с введением нового понятия учащиеся знакомятся с основным Логарифмическим тождеством. При работе с логарифмами применяются следующие их свойства, вытекающие из свойств показательной функции: При любом ( ) и любых положительных x и y, выполнены равенства: 1. loga1=0 2. logaa=1 3. logaxy= logax+ logay 4. logax/y= logax- logay 5. logaxp= plogax Изучение логарифмической функции начинается с выделения определения: функцию, заданную формулой называют логарифмической функцией с основанием . Основные свойства выводится из свойств показательной функции: 1. 2. , , 3. Логарифмическая функция на всей области определения возрастает (при a>1) или убывает (при 0<a<1). Покажем, что при a>1 возрастает. Пусть что: функция и . Допустим противное, т.е. что , надо доказать, . Т.к. показательная при a>1 возрастает, то из неравенства следует: что противоречит выбору . Следовательно: и функция при a>1 – возрастает. Т.к. при a>1 функция возрастает, то логарифмическая функция положительна при x>1 и отрицательна для 0<x<1 (для основания 0<a<1 – наоборот). На основании рассмотренных свойств строится график этой функции. ,
