Методы решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными

Задачи:
 обобщить знания по теме «Методы решения
систем двух линейных уравнений с двумя
переменными»;
 расширить представления о методах решения
систем двух линейных уравнений с двумя
переменными;
 продолжить формирование информационных
навыков с научными текстами,
коммуникативных – работе в паре, в группе;
 воспитывать волю и настойчивость при
решении систем уравнений


Общий вид системы двух линейных уравнений
с двумя переменными x и y:
Решение системы – это пара чисел (x; y), при
подстановке
которых
каждое
уравнение
превращается в верное равенство.
Системы линейных
уравнений
несовместные
совместные
решение единственное
(то есть прямые
пересекаются в одной
точке)
решений бесконечно
много
(то есть прямые
совпадают)
решений нет
(прямые параллельны)

графический метод;

метод подстановки;

метод алгебраического сложения
Графический метод решения систем, как и
графический метод решения уравнений,
красив, но ненадежен.
Даже если графики уравнений удалось
построить, точки пересечения могут быть
не такими ‘’хорошими’’, как в специально
подобранных примерах учебника, а то и
вовсе могут оказаться за пределами
чертежа.
1)
2)
3)
4)
В уравнениях системы выразить y через x так,
чтобы получить функции.
Построить графики этих функций в одной
системе координат.
Найти
координаты
точек
пересечения
графиков.
Выписать ответы пары чисел, которые
служат координатами точек пересечения
графиков.
1)
2)
Решение:
В уравнениях системы
выразить y через x:
а) Построим график
уравнения y = 3x - 1. Это
прямая, проходящая
через точки (0; -1) и (1;2).
б) Построим график
уравнения y = -2x + 4. Это
прямая, проходящая
через точки (0;4) и (2;0).
y
4
2
0
x
1
-1
2
3)
4)
Прямые пересекаются
в точке (1;2)
Проверка показывает,
что на самом деле
пара (1;2) является
решением каждого
уравнения системы, а
значит, решением
системы уравнений.
Ответ: (1;2).
y
4
2
0
x
1
-1
2
Решение:
1)
1)
В уравнениях системы выразить y
через x:
а) Построим график уравнения
y = -0,5x + 2,5. Это прямая,
проходящая через точки (5; 0) и
(1;2).
б) Построим график уравнения
y = -0,5x - 0,75. Это прямая,
проходящая через точки (0,5;-1)
и (2,5;-2).
Прямые параллельны.
Ответ: система не имеет решений
y
x
-1
5
1)
1)
Решение:
В уравнениях системы
выразить y через x:
а) Построим графики
уравнений. Это прямые,
проходящая через точки
(-2; -4) и (-4;1).
Прямые совпадают.
Ответ: система имеет
бесконечно много
решений.
y
x
-4
-4
Линейные
функции
Алгебраическое
условие
y = k1 x + m1
y = k2 x + m2
k1 = k2, m1 ≠ m2
k 1 = k2, m1 = m2
k1 ≠ k2
Геометрический
вывод
Количество
решений
Прямые y =k1 x + m1 Решений нет
и y = k2 x + m2
параллельны
Прямые y = k1 x +m2 Бесконечно много
и y = k1 x + m2
решений
совпадают
Прямые y = k1 x + m1 Единственное
и y = k2 x + m2
решение
пересекаются
Метод постановки – это универсальный
алгебраический метод. Им можно решать
почти все системы из уз учебника. Активно
применяется в решении и более сложных
систем.
Этот
метод
может
быть
не
всегда
эффективен (т.е. не всегда быстро
приводит к цели), но достаточно надёжен.
1)
2)
3)
4)
5)
Выразить y через x из первого уравнения
системы;
Подставить полученное на первом шаге
выражение вместо y во второе уравнение
системы;
Решить полученное на втором шаге
уравнение относительно x.
Подставить найденное на третьем шаге
значение x в выражении y через x,
полученное на первом шаге;
Записать ответ в виде пары значений (x;y),
которые были найдены соответственно на
третьем и четвёртом шагах.
Решение:
1)
Выразим x через y из второго уравнения:
x=
2)
3)
Подставим найденное выражение вместо x в
первое уравнение системы: 4 ·
Решим полученное уравнение:
6y + 4 – 5y=1,
y +4=1,
y= - 3.
- 5y =1
4)
Подставим найденное значение y в
формулу
x=
5)
=
= -3,5
Пара x = -3,5, y = -3 – единственное
решение заданной системы.
Ответ: (-3,5; -3).
Систему уравнений легче решать методом
сложения, когда коэффициенты при x и y
сразу
являются
противоположными
числами.
Метод позволяет быстро исключить одну из
неизвестных переменных и найти другую.
.
1)
2)
3)
4)
5)
Преобразовать
коэффициенты
так,
чтобы коэффициенты при x или при y
были противоположными числами.
Сложить уравнения.
Решить уравнения с одной переменной.
Найти y, подставляя х в одно из
первоначальных уравнений.
Записать ответ в виде пары значений
(x;y).
1)
2)
Решение:
Умножив первое уравнение на 5, а второе
на 2, получим коэффициенты при y
противоположные числа.
Сложим получившиеся уравнения.
25x + 8x +10y -10y = -45 + 12,
Решим полученное уравнение.
25x + 8x = -45 + 12,
33x = -33,
x = -1
4) Найдём y, подставляя х в одно из
первоначальных уравнений:
5 · (-1) + 2y = -9,
2y = -4,
y = -2
5) Пара x = -1, y = -2- решение заданного
уравнения.
Ответ: (-1; -2)
3)
Матрица-
Определитель-
=
=
-
,
=
=
-
,
=
=
-
.
1) Если главный определитель ∆≠ 0, то система
имеет единственное решение (прямые
пересекаются):
x=
,y=
2) Если ∆=0 и хотя бы один из вспомогательных
определителей не равен нулю, то система не
имеет решений (прямые параллельны, но не
совпадают).
3) В случае
система сводится к
одному линейному уравнению с двумя
неизвестными и имеет бесчисленное множество
решений (прямые совпадают).
Решение:
Найдём определители системы:
=2·(-5) - 3·7= -31
=
=
=8·(-5) – 3·(- 3) = -31
= 2·(-3) -8·7 = -62
, следовательно система имеет единственное
решение: x=
=1, y=
=2.
Ответ: (1; 2).
Решение:
Найдём определители системы:
∆=
=2·4 – 3· 4 = 0,
=
=8· 6 – 3· 10=18≠0.
Ответ: система не имеет решений.
Решение:
Найдём определители системы:
∆=
=2·6 – 3·4 = 0,
=
= 8· 6 – 3·16 =0,
=
= 2· 16 – 8·4 = 0.
Ответ: система имеет бесконечно много
решений.
Параметр, будучи фиксированным, но
неизвестным числом, имеет как бы
двойственную природу. Во-первых,
предполагаемая известность
позволяет «общаться» с параметром
как с числом, а во-вторых, - степень
свободы общения ограничивается
его неизвестностью.
Дана система уравнений
Известно, что пара чисел (2;-1) является её
решением. Найти значения a и b.
Решение:
 Зная, что решением системы являются
координаты точки (2; -1), подставляем
x = 2, y= -1
Сложим получившиеся уравнения:
2a +2a -1b + 1b= 36 + 8
4a = 44
a=11
 Найдём b, подставляя a в одно из
первоначальных уравнений:
2 · 11-1b = 36
22- b = 36
b= 22 – 36
b = -14
Ответ: a=11, b = -14

.
1)
2)
Если а =0, то имеем уравнение 0·х = b.
Тогда, если, кроме того, b ≠ 0, то уравнение
не имеет решений, а если b = 0, то
уравнение имеет вид 0 · х = 0 и
удовлетворяется при любом х, т.е. решением
уравнения будет множество всех
действительных чисел.
Если а ≠ 0, то уравнение имеет
единственное решение х = .
Решение: Из второго уравнения найдём х=1–аy
и подставим в первое уравнение:
a(1 – аy) - 3аy = 2а + 3
-a(a + 3) y = a + 3
Исследуем это линейное уравнение.
Возможны случаи:
1) a=0. Тогда уравнение имеет вид:
0·(0+3) y = 0 + 3
0· y = 3
Нет корней. Следовательно, при a=0 система
не имеет решений.
2) a= -3. Тогда 3(-3 + 3) y = -3 +3 → 0· y = 0
Следовательно, y – любое число. При этом
x = 1 – аy = 1 –(-3) y = 1+ 3y
3) a ≠ 0, a ≠ -3.
Тогда из уравнения -a(a + 3) y = a + 3 выразим y:
y=
=- ,
а полученное значение y подставим во второе
уравнение: x = 1 – аy = 1 – a(- ) = 2.
Ответ: если a=0, то система не имеет решений;
если a= -3, то x = 1+ 3y, y – любое число;
если a ≠ 0, a ≠ -3, то x = 2, y = -
Решение: Найдём определители системы:
∆=
=(а+5)(5а+6) - (2а+3)(3а+10)=а(2-а)
= (3а + 2)(5а + 6) - (2а + 3)(2а + 4) =
= а(11а + 14)
= (а + 5)(2а + 4) - (3а + 2)(3а + 10) =
= -а(7а + 22)
∆ = а(2 - а) ≠ 0
x= =
=
1)
а ≠ 0 и а ≠ 2. Тогда
y= ===
2) ∆ = а(2 - а) = 0, тогда а = 0 или а = 2.
При а = 0 определители
= а(11а + 14) = 0·(11·0 + 14) = 0,
= - а(7а + 22) = - 0·(7·0 + 22) = 0,
0. Тогда система имеет вид
5x + 3y = 2
x – произвольное число
б) при а = 2 определитель
а(11а + 14) = 2·( 11·2 + 14) = 72 ≠ 0.
Этого достаточно, чтобы утверждать, что
система не имеет решений.
Ответ: если а ≠ 0 и а ≠ 2, то x =
,y=
если а = 0, то x – любое число, y =
;
-
x;
если а = 2, то система не имеет решений.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Алгебра: Учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений / Ю.Н. Макарычев, Н.Г.
Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова; Под ред. С.А.Теляковского.- 10-е
изд.- М.: Просвещение, 2001. – 223с.
Выготский М.Я. Справочник по высшей математике. 10-е изд.,
стереотипное.- М.: Издательство «Наука», главная редакция физикоматематической литературы, 1973.- 872с.
Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. 3-е
издание, дополненное и переработанное.- М.: Илекса, Харьков: Гимназия,
1999. – 336с.
Кузнецова Л.В., Суворова С.Б. и др. Государственная итоговая аттестация
выпускников 9 классов в новой форме. Алгебра. 2009/ФИПИ.- М.:
Интеллект-Центр, 2009.
Математический энциклопедический словарь. / Гл. ред. Ю.В.Прохоров; Ред.
кол.: СИ. Адян, Н.С Бахвалов, В.И. Битюцков, А.П. Ершов, Л.Д. Кудрявцев,
А.Л. Онищик, А.П. Юшкевич.- М.: Сов. энциклопедия, 1988.- 847 с, ил.
Мордкович А.Г. Алгебра. 7 кл.: В двух частях.- 9-е изд.- М.: Мнемозина,
2010.
Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами:
Учебное пособие.- 2-е изд., доп., перераб.- Чебоксары: изд-во Чуваш. унта, 2000. – 144с.