Лекции по математике- часть 1

0
1
Математический анализ. Множества и функции
Понятие множества. Операции над множествами
Понятие множества является первичным, не определяемым через
более простые.
Множество – это совокупность некоторых объектов. Эти объекты,
называют элементами, или точками, этого множества.
Это
может
быть
множество
точек
окружности,
множество
предприятий отрасли, множество студентов в аудитории и т.п. Примеры
множеств:
А = {Иванов, Смирнов, Петров, Сидоров}
B = {k, m, n}
C = {5; -7; 0,9; 100; 8}
D - множество чисел от 5 до 10
E = {Иванов}
F - множество чисел от 7 до 100
G = {Соколов, Кузнецов}
N – множество натуральных чисел
и т.д.
Множества могут включать любое количество элементов – один (Е),
другое конечное число (A, B, C, E, G), бесконечное число (D, F, N) либо ноль,
т.е. вообще ни одного элемента. В последнем случае множество называют
пустым и обозначают .
Говорят, что элемент множества принадлежит этому множеству. Для
обозначения принадлежности используется символ «» (если элемент не
принадлежит множеству, это обозначают символом «»). Например,
Иванов  А; 5  С; 10 С.
2
Операции над множествами
Если одно множество состоит из части элементов другого или
совпадает с ним, то первое из них называют подмножеством второго и
записывают это с помощью символа «». Например, Е – подмножество А,
т.е. Е  А.
Два множества называются равными, если они состоят из одних и тех
же элементов.
Объединением двух множеств называется множество, состоящее из
всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств. Оно
обозначается символом «». Например, DF - множество чисел от 5 до 100.
Пересечением двух множеств называется множество, состоящее из
всех элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных
множеств. Оно обозначается символом «». Например, DF - множество
чисел от 7 до 10; CD = {5; 8}; АЕ = {Иванов}; АG = .
Разностью множеств называется множество, состоящее из всех
элементов, принадлежащих первому из них, которые не принадлежат
второму. Она обозначается символом «\». Например, {Смирнов, Петров,
Сидоров}; С\D = {-7; 0,9; 100}.
Дополнением множества, которое является подмножеством другого
множества, называют множество, состоящее из всех элементов второго
множества, не принадлежащих первому. Например, для Е  А дополнением
Е до А будет множество {Смирнов, Петров, Сидоров} =А\Е.
Множества, элементами которых являются действительные1 числа,
называются числовыми. Например, C, D, F, N – числовые множества.
Вещественные, или действительные числа — математические
объекты, введенные для представления и сравнения значений физических
величин (такое число может быть интуитивно представлено как
описывающее положение точки на прямой). Включают в себя рациональные
и иррациональные числа. Иррациональное число — это вещественное число,
1
3
Из школьного курса алгебры известны числовые множества: R действительных чисел, Q - рациональных, I - иррациональных, Z - целых, N
— натуральных чисел. Очевидно, что NZQR, IR, R=QI.
Множество действительных чисел R изображается точками числовой
прямой (или числовой оси), т.е. прямой, на которой выбрано начало отсчета,
положительное направление и единица масштаба. Между множеством
действительных чисел и точками этой прямой существует взаимно
однозначное
соответствие,
т.е.
каждому
действительному
числу
соответствует определенная точка числовой прямой, и наоборот, каждой
точке прямой — определенное действительное число (см. рис. 1.1). Поэтому
часто вместо "число х" говорят "точка х".
0
1
x
Рисунок 1.1 – Числовая прямая
Множество, элементы которого удовлетворяют неравенству a  x  b,
называется отрезком (или сегментом) [а; b]; неравенству а < х < b интервалом
]а;
полуинтервалами
b[2;
неравенствам
соответственно
[а;
ах<b
b[
и
или
]а;
а<хЬ,
b].
называются
Наряду с
этим
рассматриваются бесконечные интервалы и полуинтервалы ]-; а[, ]b; +[,
]-, +[, ]-; а] и [b; +[. В дальнейшем все указанные множества
объединbм термином промежуток.
которое не является рациональным, то есть не может быть получено путем
деления целого числа на натуральное (например, 2).
То значение, которое не включают в интервал, часто обозначают подругому, а именно, берут в круглую скобку, т.е. интервал записывают в виде
(a; b). Недостатком такого обозначения является возможность неправильно
понять запись (a; b), как координаты точки в двумерном пространстве.
Поэтому здесь и далее концы интервалов и полуинтервалов будем брать в
квадратные скобки, но те значения, которые в них не включаются, будем
брать в скобки, повернутые наружу.
2
4
Понятие окрестности точки
Абсолютная величина (или модуль) действительного числа х - это
само число х, если х неотрицательно, и противоположное число -х, если х
отрицательно:
 x, если x  0
x
 x, если x  0
Некоторые свойства абсолютных величин:
1) |х| ≥ 0 (по определению);
2) |х + y|  |х| + |y|;
3) |х - y| ≥ |х| - |y|;
4) |хy| = |х||y|;
5) |х/y| = |х|/|y|.
Абсолютная величина разности двух чисел |х - а| означает расстояние
между точками х и а числовой прямой как для случая х < а, так и для х > а
(см. рис. 1.2). Поэтому, например, решениями неравенства |х - а| <  (где
 > 0) будут точки х интервала ]а - , а + [.
х<а
x
a
x
|х - а|
х>а
a
x
x
|х - а|
Рисунок 1.2 – Расстояние между точками х и а
Окрестность точки. Всякий интервал, содержащий точку а,
называется окрестностью точки а.
5
Интервал ]а - , а + [, т.е. множество точек х таких, что |х - а| <  (где
 > 0) называется -окрестностью точки а (см. рис. 1.3).

a

x
a-
a+
Рисунок 1.3 – -окрестность точки а
Функциональная зависимость
Постоянной
величиной
(константой)
называется
величина,
сохраняющая одно и то же значение.
Переменной
называется
величина,
которая
может
принимать
различные числовые значения.
Функция – это соответствие (закон), согласно которому каждому
элементу х множества X (х  X) ставится в соответствие вполне
определенный элемент у множества Y (у  Y) (этот элемент y обязательно
должен быть только один для любого х)..
При этом говорят, что на множестве X задана функция y = f(x).
Переменная х называется независимой переменной (или аргументом),
у - зависимой переменной, а буква f обозначает закон соответствия.
Множество
X
называется
областью
определения
(или
существования) функции, а множество Y - областью значений функции.
Если множество X специально не оговорено, то под областью
определения функции подразумевается область допустимых значений
независимой переменной х, т.е. множество таких значений х, при которых
функция у = f(х) вообще имеет смысл.
Например, область определения функции y  x  5 есть промежуток
[5; +[, так как под знаком корня должно стоять неотрицательное выражение
(х – 5 ≥ 0).
6
Способы задания функций. Существует несколько способов задания
функций:
а)
Аналитический способ, если функция задана формулой вида
y = f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике. Например,
функция y  x  5 задана аналитически.
С помощью формулы функция может быть задана явно или неявно.
Задание будет явным, если правая часть формулы не содержит зависимую
переменную. Например, в формуле y  x  5 правая часть не содержит y,
поэтому функция задана явно. Пример неявного задания функции –
выражение x3 + y2 = 2. С помощью этого выражения неявно заданы две
функции – y  2  x 3 для y > 0 и y   2  x 3 для y < 0.
б)
Табличный способ состоит в том, что функция задается
таблицей, содержащей значения аргумента х и соответствующие значения
функции f(x). Например, прайс-лист, в котором каждому номеру товара
соответствует его цена.
в)
Графический способ состоит в изображении графика функции -
множества точек (х, y), абсциссы которых есть значения аргумента х, а
ординаты - соответствующие им значения y (см. рисунок 1.3).
Основные свойства функций
1. Четность и нечетность. Функция y = f(x) называется четной для
любых значений х из области определения, если f(-x) = f(x), и нечетной, если
f(-x) = -f(x). В противном случае функция называется функцией общего вида.
Например, функция у = х2 является четной, так как (-х)2 = х2; а
функция у = х3 – нечетной, так как (-х)3 = -х3. Функция у = f(x) = х2 +х3
является функцией общего вида, так как f(-x) = (-х)2 +(-х)3 = х2 - х3. При этом
f(-x)  f(x) и f(-x)  - f(x).
7
График четной функции симметричен относительно оси ординат
(например, функции у = х2), а график нечетной функции симметричен
относительно начала координат (например, график функции у = х3).
2. Монотонность. Функция y = f(x) называется возрастающей
(убывающей) на некотором промежутке, еcли большему значению
аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение
функции.
Пусть х1, х2  X и х2 > х1. Тогда функция возрастает на промежутке X,
если f(x2) > f (х1) и убывает, если f(x2) < f (х1).
В обоих случаях функции называются строго монотонными. Если
два последних неравенства – нестрогие (т.е. f(x2) ≥ f (х1) и f(x2)  f (х1)), то
функции называют соответственно неубывающими и невозрастающими.
Например, функция у = х2 убывает для неположительных значений
аргумента (т.е. на промежутке ]-; 0]) и возрастает для неотрицательных.
3. Ограниченность. Функция y = f(x) называется ограниченной на
некотором промежутке X, если существует такое положительное число М,
что модуль значения функции не превышает этого числа для любого
аргумента из этого промежутка. (М > 0: |f(x)|  M для любого х  X)
В противном случае функция называется неограниченной.
Например, функция у = cos х ограничена на всей числовой оси, так
как |cos х|  1. Функция у = х не ограничена на ]-; +[.
Если в определении рассматривать не модуль значения функции, а
само значение, которое должно быть не меньше или не больше числа М, то
можно говорить об ограниченности снизу или сверху.
4. Периодичность. Функция y = f(x) называется периодической с
периодом Т  0, если для любых х из области определения f(х + Т) = f(x).
8
Например3, функция у = sin х имеет период Т = 2, так как
sin (х +2) = sin х.
Обратная функция. Если для функции y = f(x) различным
аргументам х1  х2 соответствуют различные значения функции y1  y2, то
можно определить функцию x = (y), которая каждому число y = f(x) ставит в
соответствие число х. Такую функцию называют обратной для f и
обозначают f-1.(не следует путать это обозначение с возведением в степень
(-1)).
Из этого определения следует, что для любой строго монотонной
функции существует обратная функция.
Например, для функции у=ах обратной будет функция x=lоgaу (или в
обычных обозначениях зависимой и независимой переменных у= lоgах).
Графики взаимно обратных функций симметричны относительно
биссектрисы первого и третьего координатных углов (относительно прямой
y = x) (см. рис. 1.3).
y
y = f(x)
y=х
y = f-1(х)
0
1
x
Рисунок 1.3 – Графики функции и обратной функции
Под
термином
"период"
подразумевается
наименьший
положительный период функции, равный 2; любой период функции
у = sin х равен 2n, где n  Z.
3
9
Сложная функция. Пусть функция y = f (u) есть функция от
переменной u, определенной на множестве U c областью значений Y, а
переменная u, в свою очередь, является функцией u =  (х) от переменной х,
определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на
множестве X функция y = f [ (х)] называется сложной функцией (или
композицией функций, суперпозицией функций, функцией от функции).
Например, у = lg sin х — сложная функция, так как ее можно
представить в виде у= lg u, где u = sin х.
Графики основных элементарных функций
См. Кремер, стр. 129-131.
Представим ряд свойств основных элементарных функций в виде
таблицы 1.
10
Таблица 1 – Свойства основных элементарных функций
Функция
Область
Область
Четность,
определения
значений
нечетность
Монотонность Период
I. Степенная функция
1. y = xn,
для нечетных
nN
n возрастает
на ]-; +[
]-; + [
для
(на всей
нечетных n
области
]-; +[;
определения);
для четных
для четных n
n [0; +[
убывает на
для
]-; 0],
нечетных n возрастает на
нечетная;
[0; +[
2. y = x-n,
для четных для нечетных
nN
n четная
n убывает на
для
]-; 0[,
нечетных n
возрастает на
]-; 0[
]-; 0[
]0; +[;
]0; +[
]0; +[;
для четных n
для четных
возрастает на
n ]0; +[
]-; 0[,
убывает на
]0; +[
-
11
3.
для
для
нечетных n
нечетных n
n  N,
]-; +[;
]-; +[;
n>1
для четных n для четных
yn x,
[0; +[
n [0; +[
возрастает для
для
нечетных n нечетных n;
нечетная;
для четных n
для четных на [0; +[ на
n общего
всей области
вида
определения
II. Показательная (экспоненциальная) функция
4. y = ax,
для a > 1
a
возрастает,
>
0,
a1
]-; + [
]0; + [
общего
вида
для a < 1
убывает на
-
]-; +[ (на
всей области
определения)
III. Логарифмическая функция
5.
для a > 1
y = logax,
возрастает,
a
для a < 1
>
a1
0,
]0; + [
]-; + [
общего
вида
убывает на
]0; +[ (на
всей области
определения)
-
12
IV. Тригонометрические функции
6.
возрастает на
y = cos x
[- + 2n;
четная
2n], убывает
на [2n;
 + 2n],
nZ
7.
]-; + [
возрастает на
[-1; + 1]
y = sin x
2
[-/2 + 2n;
/2 + 2n],
убывает на
[/2 + 2n;
3/2 + 2n],
нечетная
nZ
8.
]-/2 + n;
возрастает на
y = tg x
/2 + n[,
всей области
nZ
9.
y = ctg x
определения
]-; + [
убывает на
]n;  + n[,

всей области
nZ
определения
V. Обратные тригонометрические функции
возрастает на
10. y =
[-/2; /2]
= arcsin x
11. y =
=arccos x
нечетная
всей области
определения
[-1; 1]
[0; ]
общего
вида
убывает на
всей области
определения
-
13
возрастает на
12. y =
]-/2; /2[
= arctg x
13. y =
= arcctg x
нечетная
всей области
определения
]-; + [
]0; [
общего
вида
убывает на
всей области
определения
Элементарные функции – это функции, которые могут быть
получены из основных элементарных функций с помощью конечного числа
алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и
конечного числа композиций функций.
Например, функция y = х2 + lg sin х является элементарной, так как
она получена путем сложения функций и образования сложной функции.
Пример неэлементарной функции у= |х|.