Математика контрольная работа

КАФЕДРА (Теории и методологии науки)
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
По дисциплине: Математика
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
1
1. Решить матричное уравнение 8
0
−8
3
1 2 3
1 2
3 −1 * Х * 4 5 6 = 4 5
−8
1
7 8 9
7 8
3
6
9
Согласно свойству матриц: произведение любой матрицы и единичной
матрицы подходящего размера равно самой матрице, можно сделать вывод о том, что
1
8
0
−8
3
1 0
3 −1 * Х = 0 1
−8
1
0 0
0
0
1
Единичная матрица по свойствам матрицы равна произведению матрицы на
обратную ей. Отсюда следует, что для нахождения Х необходимо найти обратную
1 −8
3
матрицу матрице 8
3 −1.
0 −8
1
Обратная матрица существует только в том случае, если определитель
исходной матрицы не равен нулю. Найдем определитель матрицы:
∆ = 1*(3*1 – (-8)*(-1)) – 8*((-8)*1 – (-8)*3) + 0*((-8)*(-1) – 3*3) = -133.
Определитель не ноль, значит обратная матрица существует.
Для вычисления обратной матрицы допишем к исходной единичную:
1
8
0
−8
3 1
3 −1 │0
−8
1 0
0 0
1 0
0 1
Теперь чтобы найти обратную матрицу, используя элементарные
преобразования над строками матрицы, преобразуем левую часть полученной
матрицы в единичную.
от 2 строки отнимаем 1 строку, умноженную на 8
2-ую строку делим на 67
1 −8
3
1
│
0 67 −25 −8
0 −8
1
0
0 0
1 0
0 1
1 −8
3
1
8
25
0
1 − │− 67
67
0
0 −8
1
0
2
1
67
0
0
0
1
к 1 строке добавляем 2 строку, умноженную на 8; к 3 строке добавляем 2
строку, умноженную на 8
3-ую строку делим на -
1
0
0
1
−
0
0
−
1
3
8
67
25
67
8
67
1
67
133
│ − 67
−
67
64
67
8
67
67
0
1
133
67
1
0
0
0
1
0
1
67
25│
−
−
67
1
−
3
8
67
8
67
1
67
64
67
8
133
−
0
0
133
−
1
от 1 строки отнимаем 3 строку, умноженную на
строку, умноженную на
0
67
25
1
0
0
0 0 133
8
1 0│ 133
0 1 64
133
Ответ: Х =
−
−
16
1
133
1
133
25
133
8
133
−
−
5
16
1
133
8
133
1
133
25
−
133
64
−
133
3
133
8
133
−
−
133
67
133
133
; к 2 строке добавляем 3
67
5
67
133
67
133