Расчетное задание электронная оптика

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ПЕТРА ВЕЛИКОГО»
ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ
Высшая инженерно-физическая школа
Расчётно-графическое задание
3 курс, группа 4931601/11201
Дисциплина: Электронная оптика
Студент: Левковский А.В.
Преподаватель: Соловьёв К.В.
Санкт Петербург
2023
Движение в постоянном однородном
электрическом нерелятивистский случай
Однородное статическое поле возникает между
пластина-ми заряженного плоского конденсатора, при
этом линейные размеры пластин конденсатора – длина l
и ширина h – должны быть много больше расстояния
между пластинами d, как пока-зано на рис.2.1.
Напряженность электрического поля E = U/d.
l
h
d
Рис.2.1. Плоский конденсатор
На рис.2.2 схематически показано движение частицы с зарядом +q и массой m между пластинами плоского конденсатора
(вид сбоку), имеющими разность потенциалов U. На заряженную частицу действует сила со стороны электрического поля
𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗. Уравнение движения заряженной частицы имеет вид
𝑚𝑑𝑣⃗
= 𝑞𝐸⃗⃗ .
𝑑𝑡
Частица движется с ускорением, постоянным по величине и
направлению:
𝑑𝑣⃗
𝐸⃗⃗
= 𝑎⃗ = 𝑞 .
𝑑𝑡
𝑚
11
l
+U
+q, m
𝐸⃗⃗
d
𝑣⃗
𝐹⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗
Рис.2.2. Движение заряженной частицы в поле плоского конденсатора
Таким образом, для любого момента времени t скорость
частицы
𝑡
𝐸⃗⃗
𝐸⃗⃗
𝑣⃗ = 𝑣⃗0 + ∫ 𝑞 𝑑𝑡 = 𝑞 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑣⃗0 ,
𝑚
𝑚
𝑡0
если в момент времени t = t0 частица имела скорость, равную v0.
Радиус-вектор частицы в системе координат, связанной с неподвижным конденсатором, выражается в форме
𝑡
𝑡
𝑡
𝑡
𝑑𝑟⃗
𝐸⃗⃗
𝑟⃗−𝑟⃗0 = ∫ 𝑑𝑡 = ∫ 𝑣⃗ 𝑑𝑡 = 𝑞 ∫(𝑡 − 𝑡0 ) 𝑑𝑡 + 𝑣⃗0 ∫ 𝑑𝑡.
𝑑𝑡
𝑚
𝑡0
𝑡0
𝑡0
𝑡0
Отсюда в конечном итоге получим
1 𝐸⃗⃗
𝑟⃗(𝑡) = 𝑞 (𝑡 − 𝑡0 )2 + 𝑣⃗0 (𝑡 − 𝑡0 ) + 𝑟⃗0
2 𝑚
при условии, что в момент времени t = t0 радиус-вектор частицы
был 𝑟⃗0 . В последнем уравнении величина 𝑣⃗0 (𝑡 − 𝑡0 ) соответствует движению с постоянной скоростью 𝑣⃗0 , а первый член
характеризует равноускоренное движение в направлении поля.
Траектория движения частицы представлена на рис.2.3,а.
Выберем систему координат таким образом, чтобы ось y
была параллельна и противоположно направлена по отношению
к вектору Е (рис.2.3,б). Пусть частица в момент времени t0 = 0
начинает двигаться из исходной точки 𝑟⃗0 = 0 с начальной скоростью 𝑣⃗0 . Тогда уравнения движения запишутся в виде
12
t=t0
𝑣⃗(𝑡) y
t=t
𝑣⃗0
𝑟⃗(𝑡)
𝑣0𝑦
+q, m 𝑟⃗0
𝐸⃗⃗
𝑎⃗ = 𝑞
𝑚
𝑣⃗0
𝐹⃗
𝐸⃗⃗
𝑣0𝑥
а
x
б
Рис.2.3. Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле: а – в полярной, б – в прямоугольной системе координат
𝐸⃗⃗
𝑎⃗ = 𝑞 𝑚,
𝐸⃗⃗
𝑣⃗ = 𝑞 𝑡 + 𝑣⃗0 ,
𝑚
1 𝐸⃗⃗ 2
𝑟⃗ = 𝑞 𝑡 + 𝑣⃗0 𝑡
2 𝑚
и могут быть разложены на компоненты
ax = 0,
𝐸
𝑎𝑦 = −𝑞 ,
𝑚
υx = υ0x,
𝐸
𝑣𝑦 = −𝑞 𝑡 + 𝑣0𝑦 ,
𝑚
x = v0x t,
1 𝐸
𝑦 = − 𝑞 𝑡 2 + 𝑣0𝑦 𝑡.
2 𝑚
Из этих уравнений можно рассчитать все интересующие
нас величины, например траекторию частицы. Если переменную
t = x/v0x исключить из последнего уравнения, то получим
𝑣0𝑦
1
𝐸
𝑦=− 𝑞
𝑥2 +
𝑥.
2
2 𝑚𝑣0𝑥
v0𝑥
Отсюда видно, что траектория движения заряженной частицы в однородном электрическом поле имеет вид параболы.
Движение в постоянном однородном
электрическом(релятивистский случай)
Рассмотрим движение заряда e в однородном постоянном электрическом поле E®.
Без потери общности предположим, что поле направлено вдоль оси x. Движение
будет происходить в одной плоскости, в качестве которой выберем x y. Тогда
уравнения движения для частицы:
p9 x “ eE,
p9 y “ 0
Выбирая за начало отсчёта времени момент, когда p x “ 0, получаем:
px “ eEt,
py “ p0 .
(2.1)
a
“ c m2c2 ` p2. Подставляя сюда (2.1) по-
Кинетическая энергия частицы Eкин
лучаем:
b
b
2
2
4
2
2
Eкин “ m c ` c p0 ` pceEtq “ E02 ` pceEtq2
(2.2)
где E0 - энергия при t “ 0. Трёхмерный вектор скорости частицы связана с трёхмерным импульсом и энергией соотношением: v® “ p®c2 {Eкин . Для скорости по оси
v x “ x9 получаем
dx
p x c2
c2 eEt
“
“b
dt
Eкин
E02 ` pceEtq2
Интегрируя это выражение и выбирая константу интегрирования так, чтобы выполнялось xpt “ 0q “ 0, получаем зависимость координаты от времени:
b
1
E0
x“
E02 ` pceEtq2 ´
.
(2.3)
eE
eE
Аналогично, по оси y:
p y c2
dy
p0 c2
“
“b
,
dt
Eкин
2
2
E0 ` pceEtq
откуда
ceEt
p0 c2
Arsh
(2.4)
y“
eE
E0
Уравнение траектории находится, выражая из (2.4) t через y и подставляя в
(2.3),получаем:
x“
E0 eE y E0
ch
´
.
eE p0 c
eE
Квадрупольная линза
(релятивистский случай)
d
( mx )  qE x  q( y Bz  zB y ) ;
dt
d
( my )  qE y  q ( zBx  xBz ) ;
dt
(
2
.
1
4
)
d
( mz )  qEz  q( xB y  y Bx ) .
dt
Уравнения движения заряженной частицы в произвольном постоянном
магнитном поле можно получить из системы (2.14). Перейдём к z как к независимой переменной, для чего воспользуемся соотношениями:
v 2  x 2  y 2  z 2  z 2 (1  x2  y2 ) ,
d dz d
v
d
.


dt dt dz
1  x2  y2 dz
При этом точные релятивистские уравнения движения частицы с импульсом p  mv в магнитном поле примут вид
x 
q
1  x2  y2  yBz  (1  x2 ) B y  xyBx  ,


p
y  
q
1  x2  y2  xBz  (1  y2 ) Bx  xyBy  .


p
В общем случае решение этой системы можно получить лишь численными
методами и для анализа движения частиц в идеальном магнитном квадруполе мы ограничимся параксиальным приближением:
Bx=Gy ,By=Gx ,Bz=0 ,x′ ~ y′ << 1, (dz/dt)² ≈ v² .
В этом приближении уравнения движения по поперечным координатам
оказываются линейны и не связаны между собой:
x  k ( z ) x  0 , y  k ( z ) y  0 .
(4.18)
В этих уравнениях фигурирует отвечающая за фокусировку величина
k ( z) 
q
q c
G( z) 
G ( z ) [м 2 ] .
2
p
mc 
В уравнении (4.18) подтверждается обнаруженный ранее из качественного
анализа факт различных знаков фокусировки по х и у. Заметим попутно,
что для электростатического квадруполя
ke ( z ) 
q
1
2
mc 2
Ge ( z ) ,
и ke имеет ту же размерность [м–2], если градиент измерять в [В/м2].
Введём градиент поля G = ∂By/∂x при y=0.
Измеряется в Тл/м. В идеальной (или близкой к
ней) квадрупольной линзе G = −2c₂,
постоянной величиной. В такой линзе: Bx=Gy,
By=Gx, Bz =0. Ge [В/см^2]=300βG [Гс/см] .
Квадрупольная линза
(нерелятивистский случай)
Рис. 4.15. Распределение градиента
вдоль оси реального квадруполя
Реальный квадруполь имеет
ограниченную протяжённость с
распределением градиента по оси z,
как показано на рис. 4.15.
Отметим, что ---------------------->
на краях линзы компонента Bz  0 , вследствие чего возникает связь между
вертикальным и горизонтальным движением, однако в линейном приближении этой связью можно пренебречь.
Рассмотрим одиночную квадрупольную линзу с градиентом G  const
и k  0 , она обеспечивает фокусировку по x и дефокусировку по у. Входные координаты частицы обозначим через x0 , x0 , y0 , y0 . В соответствии с
уравнениями движения (4.18) в пределах линзы (0  z  L) имеем:
x( z )  x0 cos  k  z  
x0
k
sin  k  z  ,
x( z )   x0 k sin  k  z   x0 cos  k  z  ,
y ( z )  y0 ch  k  z  
y0
k
sh  k  z  ,
y( z )  y0 k sh  k  z   y0 ch  k  z  .
Как и следует ожидать из линейности уравнений (4.18), движение в квадруполе можно описать при помощи матриц:
 cos  k  z 
sin  k  z  k 
M  
,
  k sin  k  z 
cos  k  z  
 ch  k  z 
sh  k  z  k 
M  
.
 k sh  k  z 
ch  k  z  
(4.19)
Поскольку присутствует только магнитное поле, то det M   det M   1 .