Генеральная совокупность в задаче выбора 𝒏 объектов из 𝑴 объектов (в задаче размещения 𝒏 частиц по 𝑴 ячейкам)1 Число перестановок (𝑀 различимых объектов) 𝑃𝑀 = 𝑀𝑀 = 1𝑀 = 𝑀! = 1 ⋯ 𝑀 Упорядоченные Неупорядоченные выборки выборки 𝑛 ̅ 𝑛 ≡ 𝐶𝑀+𝑛−1 без запрета на 𝐴𝑛̅𝑀 ≡ 𝑀𝑛 = ⏟ 𝑀 ⋯ 𝑀 𝐶𝑀 несколько частиц в 𝑛 (статистика МаксвеллаБольцмана) ячейке Набор Выбор Выбор с возвращением 𝑀 = (( )) 𝑛 𝑀+𝑛−1 𝑀𝑛 =( )= 𝑛 𝑛! 𝑛 ⏞ 𝑀 ⋯ (𝑀 + 𝑛 − 1) = 1⋯𝑛 ⏟ 𝑛 (статистика Бозе-Эйнштейна) с запретом на несколько частиц в ячейке 𝐴𝑛𝑀 ≡ (𝑀)𝑛 = 𝑀 𝑛 𝑀 𝑛 𝐶𝑀 ≡( ) 𝑛 𝑀 = n! ( ) 𝑀! 𝑀𝑛 𝑛 = = (𝑀 − 𝑛)! ⋅ 𝑛! 𝑛! =𝑀 ⏟ ⋯ (𝑀 − 𝑛 + 1) 𝑛 Выбор без возвращения 𝑛 ⏞ 𝑀 ⋯ (𝑀 − 𝑛 + 1) = 1⋯𝑛 ⏟ 𝑛 (Статистика Ферми-Дирака) Размещение Тип Различимые Неразличимые частицы частицы частицы Ещё можно сказать, что это выбор строки длиной n символов из алфавита мощностью M. Частицы, объекты, символы здесь могут быть чем угодно: частицы=дробинки; объекты=шары и т.д. В комбинаторных формулах 00 = 00 = 00 = 0! = 1 («пустое произведение»). 𝐶𝑀𝑛 называют числом сочетаний, 𝐴𝑛𝑀 – размещений из 𝑀 по 𝑛. (𝑀 ) – биномиальный коэффициент; ((𝑀 )) – мультимножественный коэффициент. 𝑛 𝑛 1 Данная таблица для расчёта размера генеральной совокупности основана на таблицах из книги академика А.Н. Ширяева Вероятность — 1: Элементарная теория вероятностей. Математические основания. Предельные теоремы — издание четвёртое, переработанное и дополненное, М.: МЦНМО, 2007, ISBN 9785-94057-105-6. По сути отличается только тем, что даёт несколько больше информации. © Белолуцкий Фёдор Алексеевич, 2020
