Дискретная математика по конспектам

1. Что называется объединением, пересечением, разностью,
симметрической разностью множеств, дополнением
множества?
Ответ:
Объединением множеств А и В называется множество АВ, элементами
которого являются все элементы множества А и все элементы множества В.
АВ={a: aA или аВ}
А
В
Пересечением множеств А и В называется множество АВ,
элементами которого являются все элементы, одновременно принадлежащие
множеству А и множеству В.
АВ={a: aA и аВ}.
А
В
Разностью множеств А и В называется множество А\В, элементами
которого являются все элементы множества А, не содержащиеся во
множестве В.
А\ В={a: aA и аВ}.
А
В
Симметрической разностью множеств А и В называется множество
АВ=(А\ В)(В\А)
А
В
Часто складывается ситуация, когда все рассматриваемые множества
содержатся в некотором едином множестве , называемом универсальным
множеством. Дополнением множества А (до универсального) называется
̅=\А.
множество А
А
̅
А
2. Что такое инъективное, сюръективное, биективное
отображение?
Ответ:
Отображение f называется инъективным, если различные элементы
множества А переходят в различные элементы множества В, то есть
а1а2f(а1)f(а2).
Отображение f называется сюръективным, если каждый элемент
множества В имеет хотя бы один прообраз во множестве А, то есть для
каждого bВ существует аА такой, что f(a)=b.
Если отображение инъективно и сюръективно, то оно называется
биективным.
3. Что такое мощность множества двоичных наборов и
мощность множества всех подмножеств данного
множества?
Ответ:
Мощность множества - это характеристика множества, которая
определяет количество элементов в множестве. Мощность принято
обозначать card A.
Я хз, что тут и как тут
4. Что такое правило произведения (с примером)?
Ответ:
1. Правило произведения для множеств: для любых конечных
множеств А и В card AxB=cardAcard B.
2. Правило произведения для объектов: если объект А может быть
выбран m способами, при любом выборе А объект В может быть
выбран n способами, то выбор А и В можно выбрать m x n
способами.
5. Что такое перестановки (с повторением и без
повторения) и чему равно число всех перестановок?
Ответ:
Перестановка — это способ их последовательного расположения с
учётом порядка.
6. Что такое размещения (с повторением и без повторения)
и чему равно число всех размещений?
Ответ:
Размещение из n по k — это упорядоченный набор из k различных
элементов, взятых из некоторого множества с мощностью n, где k ≤ n. То
есть некая перестановка k выбранных элементов из n.
7. Что такое сочетания (с повторением и без повторения) и
чему равно число всех сочетаний?
Ответ:
Сочетание из n по k — это неупорядоченный набор из k различных
элементов, взятых из некоторого множества с мощностью n, где k ≤ n. То
есть набор, для которого порядок выбора не имеет значения.
8. Что такое рефлексивное, симметричное, транзитивное
отношение, отношение эквивалентности и каково его
основное свойство?
Ответ:
Всякое множество ГАхА декартово произведение множества А
самого на себя называется отношением на множестве А.
Отношение Г называется рефлексивным, если для всех аА верно аГа.
Отношение Г называется симметричным, если для всех а, bА, верно аГb
bГа.
Отношение Г называется транзитивным, если для любого а,b, сА,
аГb, bГс аГс.
Отношение Г называется антирефлексивным, если для любого аА
аГа никогда не выполняется.
Отношение Г называется антисимметричным, если для любого аА и
bА аГb и bГа одновременно невозможно.
Отношение Г называется асимметричным, если для любых а, bА из
аГb и bГа а=b.
Если отношение Г рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно
называется отношением эквивалентности.
Основное свойство эквивалентности — это свойство двух объектов иметь одинаковое
значение или смысл.
9. Что такое отношение нестрогого порядка, строгого
порядка?
Ответ:
Если на множестве А задано отношение эквивалентности Г, то множество А
распадается на объединение непересекающихся классов эквивалентности.
Отношение Г называется отношением нестрогого порядка, если оно
рефлексивно, асимметрично, транзитивно.
Отношение Г называется отношением строгого порядка, если оно
антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно.
Множество с заданным на нем отношением порядка называют
упорядоченным множеством.
10.
Что называется графом, орграфом, вершиной графа,
дугой графа, ребром графа? Что такое путь (маршрут),
цепь, контур, цикл? Что называется мостом графа?
Ответ:
Граф - совокупность двух множеств (вершин и ребер)
Граф, состоящий из дуг, называют ориентированным (или просто
орграфом), а образованный ребрами – неориентированным.
Множество точек – вершины; Ребра – соединяющие вершины линии; Дуга графа
– односторонне направленное ребро; Мост - ребро, соединяющее две
различные компоненты графа
Маршрут длины m – это последовательность ребер графа (не обязательно
различных) таких, что любые два соседних ребра xi, xi+1 имеют общую
концевую вершину.
Замкнутый маршрут приводит в ту же вершину, из которой он начался.
Цепь – это маршрут, все ребра которого различны.
Простая цепь – это цепь без повторяющихся вершин. Замкнутая цепь
называется циклом. Простой цикл – это простая замкнутая цепь.
В случае «орграфа» слово «цепь» заменяется на «путь», а «цикл» на
«контур».
11. Каков алгоритм решения задачи о кратчайшем пути в
невзвешенном графе?
Ответ:
Алгоритм решения задачи о нахождении кратчайшего пути из А в В в смысле
наименьшего количества ребер:
1. Вершине А припишем индекс 0.
2. Всем вершинам, смежным с А, припишем индекс 1.
3. Всем вершинам, смежным с вершинами индекса 1 и не имеющим
индекса, припишем индекс 2 и т.д.
4. Как только вершина В получит некоторый индекс, процесс присвоения
останавливается. Значение индекса n вершины В и есть длина
кратчайшего пути из А в В. Построим этот путь.
5. Среди вершин, смежных с В, обязательно найдется вершина с индексом
n-1 (одна или несколько), возвращаемся в эту вершину и продолжаем
этот процесс.
6. Через n шагов придем в вершину с индексом 0, т.е. в А. Один или
несколько путей построены.
12.
Каков алгоритм решения задачи о кратчайшем пути
во взвешенном графе?
Ответ:
Найти кратчайший путь из А в В во взвешенном графе (в смысле суммы
весов ребер (дуг)).
Будем постепенно приписывать всем вершинам графа числовые
индексы:
1. Вершине А припишем индекс 0, всем остальным вершинам значение
+.
2. Будем постепенно перебирать все пары смежных вершин vx и vy.
Каждый раз проверим первенство 𝜇𝑣𝑦 > 𝜇𝑣𝑥 + 𝑣𝑥𝑣𝑦 , если оно
3. выполняется, то уменьшаем индекс 𝜇𝑣𝑦 , заменив его на
𝜇𝑣х + 𝑣𝑥𝑣𝑦 .
vx
𝜇𝑣𝑥
vy
𝑣𝑥𝑣𝑦
𝜇𝑣𝑦
4. Процесс останавливаем, когда ни один индекс уже нельзя уменьшить.
В этот момент вершина В имеет некий индекс . Это и есть наименьшая
сумма весов всех дуг.
5. Построим путь с такой суммой. Будем возвращаться из вершины В в А.
Среди вершин, смежных с В, обязательно найдется вершина С, для
которой выполняется точно равенство В=С+СВ.
Возвращаемся к С и повторяем процесс. Поскольку индексы все время
уменьшаются, то через несколько шагов придем в вершину с индексом 0, т.е.
вершину А.
13.
Что такое эйлерова цепь (цикл), у каких графов они
существуют?
Ответ:
Эйлеров цикл в графе — это путь, проходящий по всем рёбрам графа и
притом только по одному разу. Эйлеров цикл является замкнутым путем,
проходящим через каждое ребро графа ровно по одному разу. Эйлеров цикл
существует лишь в связных графах с четными степенями вершин
1. Связный граф обладает эйлеровым циклом тогда и только тогда, когда все
его вершины имеют четную степень.
2. Связный граф обладает эйлеровой цепью тогда и только тогда, когда
ровно две его вершины имеют нечетную степень
14.
В чем состоит формула Эйлера и для каких объектов
она верна?
Ответ:
формула Эйлера (Грани+Вершины-Ребра=2) верна для планарных графов
Плана́рный граф — граф, который можно изобразить на плоскости без
пересечений рёбер не по вершинам.
15.
Как выглядят непланарные графы № 1 и № 2?
Сформулируйте теорему Куратовского-Понтрягина
Ответ:
Непланарные графы — это графы, которые нельзя представить в виде плана
(то есть, такие графы нельзя нарисовать на плоскости, не пересекая линии).
Теорема Куратовского-Понтрягина: для любого непланарного графа можно
найти два таких непланарных графа, что один является подграфом другого.
То есть, любой непланарный граф можно представить в виде плана
(нарисовать на плоскости без пересечений), и при этом он будет содержать
два подграфа, которые также можно представить в виде плана.
16. Что такое хроматическое число графа и какова его
величина?
Ответ:
Хроматическое число графа - минимальное число n, при котором граф G
допускает n цветную раскраску вершин и обозначается hB.
17. Что такое хроматический индекс графа и какова его
величина?
Ответ:
Хроматический индекс графа – количество красок, если все ребра
окрашены. Обозначается hр
Алгоритм решения задачи о раскраске ребер графа
Шаг 1. Вычислить степени всех вершин. Расположить вершины в
порядке убывания степеней. Выбрать вершину с максимальной
степенью n.
Шаг 2. Окрасить все ребра, инцидентные этой вершине в n различных
цветов.
Шаг 3. Переходим к следующей вершине по списку. Окрашиваем ее
ребра.
И так далее.
18. Что называется матрицой смежности орграфа и каким
свойством обладает матрица смежности
неориентированного графа?
Ответ:
Матрица смежности орграфа G – это квадратная матрица А(G) размера n x n
(n – число вершин) с элементами
1, если в графе 𝐺 вершины 𝑣𝑖 и 𝑣𝑗 соединены ребром;
𝑎𝑖𝑗 = {
0 − иначе.
Матрица смежности графа D обладает свойством симметрии
19. Что называется матрицой инцидентности орграфа? Как
по матрице инцидентности восстановить орграф?
Ответ:
Матрица инцидентности орграфа D – это матрица В(D) размера n x m (n –
число вершин, m – число дуг) с элементами
−1, если 𝑗 дуга заканчивается в 𝑖 вершине;
1, если 𝑗 дуга начинается в 𝑖 вершине;
𝑏𝑖𝑗 = 0 − иначе;
{ 2, если 𝑗 дуга начинается и заканчивается в 𝑖 вершине (петле).
Надо показать, как это делается?
20. Как строится код Харари?
Ответ:
Пусть дан граф с n вершинами. Пронумеруем вершины произвольно и
составим матрицу смежности А. Так как граф неориентированный, то она
будет симметрична относительно главной диагонали, поэтому достаточно
взять ее верхний треугольник А'.
A'
Расположим А' в виде двоичной строки (слева направо и сверху вниз).
Меняя нумерацию вершин, мы получим другие двоичные строки. Сравним
их между собой как двоичные числа. Наибольшее из двоичных чисел
называется кодом Харари, а возникшую при этом нумерацию вершин –
канонической. Код Харари определяет граф однозначно, но не всякое число
может быть кодом Харари.
21. Что называется деревом, ордеревом и как они связаны
между собой?
Ответ:
Связный граф без циклов называется деревом.
не дерево
дерево
Орграф называется ордеревом с корнем х0, если:
1) в вершину х0 не заходит ни одна дуга;
2) в остальные вершины заходит единственная дуга;
3) граф не содержит контуров.
Ордерево называют бинарным, если каждая вершина имеет не более
двух потомков.
22. Как строится префиксный код бинарного ордерева?
Ответ:
Каждой вершине будем сопоставлять двоичное число (двоичную строку).
Корню ничего не сопоставляем, его левому потомку – 0, правому – 1.
Потомкам 0 сопоставляем 00 и 01, а потомкам 1-10 и 11 и т.д.
Оказалось, что достаточно хранить двоичные строки не для всех
вершин, а только для висячих (не имеющих потомков) {00;010;110}. Это и
есть префиксный код бинарного дерева. Он определяет ордерево
однозначно.
23. Как строится код Прюфера?
Ответ:
Пусть дано дерево или ордерево с n пронумерованными вершинами.
Действуем по алгоритму:
1. В списке всех вершин 1..2..3..n слева направо ищем первую висячую
вершину. Обозначим ее номер а1.
2. Вершина а1, будучи висячей, смежна с единственной вершиной b1,
которую заносим в новый список – будущий код Прюфера, а вершину
а1 удаляем и из списка и, из дерева.
3. Повторяем шаги 1,2 n-2 раза. Заметим, что дерево все время
уменьшается и в нем иногда возникают новые висячие вершины.
4. В итоге получаем новый список {b1,b2,…,bn-1} – код Прюфера. Он
определяет дерево однозначно (в ордереве на последнем шаге может
возникнуть два варианта).
24. Назовите три способа обхода бинарного ордерева (с
примером)?
Ответ:
Для бинарных ориентированных деревьев существует три канонических
способа обхода.
1. Прямой (КЛП – корень, лево, право). Сначала мы учитываем корень,
затем левое поддерево и правое поддерево. Это правило выполняется
для каждой вершины, начиная с корня.
2. Обратный (ЛКП – лево, корень, право). Сначала мы учитываем левое
поддерево, затем корень и правое поддерево. Это правило выполняется
для всех вершин, начиная с корня.
3. Концевой (ЛПК – лево, право, корень). Сначала мы учитываем левое
поддерево, затем правое и корень.
25. Что называется атомом, списком и как связаны деревья
со списками?
Ответ:
Атом – некоторый неделимый объект (буква, цифра и т.д.). Атомам
соответствуют висячие вершины ордерева. Число вершин первого уровня
является длиной списка. Причем, верно и обратное, что каждому дереву
можно сопоставить список его висячих вершин.
Списком называется последовательность атомов и списков,
заключенных в скобки и разделенных запятыми. Глубиной списка
называется глубина дерева.