Графы-2.

38. Графы-2.
Граффигура, состоящая из точек (называемых вершинами) и отрезков,
соединяющих некоторые из этих вершин. Соединяющие отрезки могут быть
прямолинейными или криволинейными; они называются ребрами графа.
Количество рёбер, выходящих из данной вершины, называется её
степенью.
В графе, изображенном на рис. Вершина А имеет степень 3, вершина
В  степень 2, вершина С  степень 1. Вершина графа, имеющая
нечетную степень, называется нечетной, а имеющая четную степень
четной.
Теорема. Число нечетных вершин любого графа  четно.
Граф называется связным, если любые его вершины могут быть соединены
путем, т.е. последовательностью ребер, каждое следующее из которых
начинается в конце предыдущего.
Замкнутый путь, т.е. такой, начало и конец которого совпадают, называется
циклом.
Граф, состоящий из нескольких “кусков”(компонент связности) в каждом из
которых от любой вершины можно добраться по ребрам до любой другой,
называется несвязным.
Граф, который можно нарисовать, не отрывая карандаш от бумаги и проводя
каждое ребро ровно один раз, называется эйлеровым; он имеет не более двух
нечетных вершин.
Теоретические и методические замечания к теме, задачи см.[10,с.51-55], также [31,с.1217,1823] и др. Литература
Задача 1. В городе Маленьком 15 телефонов. Можно ли их соединить
проводами так, чтобы каждый телефон был соединен ровно с пятью
другими?
Решение. Предположим, что это возможно. Рассмотрим тогда граф вершины
которого соответствуют телефонам, а ребра  соединяющим их проводам. В
этом графе 15 вершин, срепень каждой из которых равна 5. Посчитаем
количество ребер в этом графе. Для сначало просуммируем степени каждой из
вершин. Ясно, что при таком подсчете ккаждое ребро учтено дважды (ребро
соединяет две вершины). Поэтому число ребер графа должно быть равно 155/2.
Но это число не целое  такого графа не существует, и соединить телефоны
требуемым образом невозможно.
Задача 2. В классе 30 человек. Может ли быть так, что 9 из них имеют по 3
друга (в этом классе), 11 по 4 друга, а 10  по 5 друзей?
Решение:
Задача 3. Докажите, что число людей, когда-либо живших на Земле и
сделавших нечетное число рукопожатий, четно
Решение:
Задача 4. В стране Семерка 15 городов, каждый из которых соединен дорогами
не менее, чем с 7 другими. Докажите, что из любого города можно
добраться до любого другого (возможно, проезжая через другие
города).
Решение. Рассмотрим два произвольных города и предположим, что
они не соединены путем, т.е. такой последовательностью дорог, в
которой начало очедной дороги совпадает с концом предыдущей
Каждый из этих двух гордов по условию соединен не менее, чем с 7
другими; при этом все упомянутые города различны  ведь если какието два из них совпадают, то существует путь, соединяющий исходные
города (рис.). Т.о. мы указали не менее 16 городов. Противоречие
Задача 5. Докажите, что граф с п вершинами, степень каждой из которых не
менее (п1)/2,  связен.
Решение:
Задача 6. В Тридевятом царстве лишь один вид транспорта  ковер-самолет. Из
столицы выходит 21 ковролиния, из города Дальний  одна, а из всех
остальных городов  по 20. Докажите, что из столицы можно долететь
в Дальний (возможно с пересад-ками).
Решение:
Задача 7. В стране из каждого города выходит 100 дорог и от любого города
можно добраться до любого другого. Одну дорогу закрыли на ремонт.
Докажите, что и теперь от любого города можно добраться до любого
другого.
Решение:
Задача 8. Схема мостов города Кенигсберга изображена на рис1. Можно ли
совершить прогулку, пройдя по каждому мосту ровно олин раз?
Решение.
Граф, соответствующий схеме мостов см. рис.2. Этот
граф не представляет собой единого цикла: с какой бы
вершины ни начать обход, мы не сможем обойти весь
граф и вернуться обратно, не проходя никакого ребра
Рис.1
Рис.2
дважды. Число нечетных вершин больше двух.Нельзя.
Задача 9. Имеется группа островов, соединенных мостами так, что от каждого
острова можно добраться до любого другого. Турист обошел все
острова, пройдя по каждому мосту ровно раз. На острове Троекратном
он побывал трижды. Сколько мостов ведет с Троекратного, если
турист
а) не с него начал и не на нем закончил?
б) с него начал, но не на нем закончил?
в) с него начал и на нем закончил?
Ответ:
Задача 10. Дан кусок проволоки длиной 120см. Можно ли, не ломая проволоки,
изготовить каркас куба с ребром 10см? Какое наименьшее число раз
придется, если понадобится, ломать проволоку, чтобы все же
изготовить требуемый каркас?
Решение:
Содержание: